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8/14/2019 Capitulo 5, Optimo Del or
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Captulo 5
ptimo del Consumidor
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Racionalidad Econmica
x El principal postulado acerca delcomportamiento del consumidordice que escoje la mejor alternativadel conjunto de alternativasfactibles.
x Las alternativas disponibles
constituyen el conjunto factible.x Cul es la mejor canasta del
conjunto factible?
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x2
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x2Utilidad
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Utilidad x2
x1
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Utilidad
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Utilidad
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Utilidad
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Factible, pero no es lamejor de las alternativasfactibles.
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Utilidad La mejor de lascanastas factibles
Factible, pero no es lamejor de las alternativasfactibles.
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Utilidad
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Utilidad
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Canastasfactibles
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Canastasfactibles
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Canastas que sonms preferidas
Canastasfactibles
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Canastasfactibles
Canastas que sonms preferidas
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x1
x2
x1*
x2*
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x1
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x1*
x2*
(x1*,x2*) es la mejorDe las canastafactibles.
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x La mejor de las canastas factibles esconocida como la DEMANDAORDINARIA a los precios y el
ingreso dados.x La demanda ordinaria se denota por
x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m).
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x Cuando x1* > 0 y x2* > 0 la canastademandada es INTERIOR.
x
Si se compra (x1*,x2*) el costo es mentonces se agota el ingreso.
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x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es interior.
(x1*,x2*) agota el ingreso.
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x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es interior.(a) (x1*,x2*) agota elingreso:p1x1* + p2x2* = m.
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x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es interior .(b) la pendiente de lacurva de indiferencia en(x1*,x2*) es igual a la
pendiente de la restriccinde presupuesto.
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x
(x1*,x2*) satisface dos condiciones:x (a) el ingreso se agota:
p1x1* + p2x2* = m
x (b) la pendiente de la restriccin depresupuesto, -p1/p2, y la pendientede la curva de indiferencia que
contiene a (x1*,x2*) son iguales en(x1*,x2*).
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Estimando la Demanda Ordinaria
x Cmo podemos emplear estainformacin para poder encontrarla canasta (x1*,x2*) para los precios
p1, p2 y el ingreso m?
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Estimando la demanda ordinara. Ejemplopara una Cobb Douglas
x Supongamos que las preferencias delconsumidor son del tipo Cobb-Douglas.
U x x x xa b( , )1 2 1 2
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x En consecuencia:
ba xaxxUTUMg
2
1
1
1
1
==
1
21
2
2
==baxbx
xUTUMg
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xY la TMgS:
./
/
1
2
1
21
2
1
1
2
1
1
2
bx
ax
xbx
xax
xTU
xUT
dx
dx
TMgS ba
ba
====
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x En (x1*,x2*), se debe cumplir queTMgS = -p1/p2 , en consecuencia
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= =axbx
p
px
bp
apx2
1
1
22
1
21
*
*
* *. (A)
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xY sabemos que (x1*,x2*) agota elpresupuesto del consumidor:
p x p x m1 1 2 2* * .= (B)
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x En consecuencia, sabemos que:
xbp
ap
x21
2
1* *= (A)
p x p x m1 1 2 2* *
.= (B)
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xbp
ap
x21
2
1* *= (A)
p x p x m1 1 2 2* *
.= (B)Sustituyendo
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xbp
apx2
1
21
* *= (A)p x p x m1 1 2 2
* *
.= (B)p x p
bp
apx m1 1 2
1
2
1* *
.=y tenemos:y simplificando .
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xam
a b p1
1
*
( )
.+
-
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y sustituyendo este valor de x1* enp x p x m1 1 2 2
* *+ =Obtenemos:
xam
a b p1
1
*
( ).+
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xbm
a b p2 2
*
( ).
+
-
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As hemos descubierto que la mejor
canasta factible para el consumidor conpreferencias Cobb-Douglas es
( , )( )
,( )
.* * ( )x x am
a b p
bm
a b p1 2
1 2
= + +
-
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x1
x2
xam
a b p1 1
*
( )= +
xbm
a b p
2
2
*
( )
=+
U x x x xa b( , )1 2 1 2
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Restricciones para el ptimo del consumidor
x Cuando x1* > 0 y x
2* > 0
y (x1*,x2*) agota el ingreso,y la curva de indiferencia tiene una formaregular, no especial , la demanda ordinaria
se obtiene mediante:x (a) p1x1* + p2x2* = m
x (b) la pendiente de la restriccin depresupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la
curva de indiferencia en la canasta (x1*,x2*)son iguales.
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x Pero, y si x1* = 0?
x Pero y si x2* = 0?
x Si x1* = 0 x2* = 0 entonces lademanda ordinaria (x1*,x2*) es unasolucin de esquina.
j l d l i d i
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Ejemplo de soluciones de esquina el caso de sustitutos perfectos
x1
x2TMgS = -1
-
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x1
x2
pendiente = -p1/p2con p1 > p2.
TMgS = -1
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x1
x2TMgS = -1
pendiente = -p1/p2con p1 > p2.
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x1
x2
xy
p
2
2
* =
x1 0* =
TMgS = -1
pendiente = -p1/p2con p1 > p2.
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x1
x2
xy
p1
1
* =x2 0
* =pendiente = -p1/p2con p1 < p2.
TMgS = -1
-
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En consecuencia, si la funcin de utilidad
es = x1 + x2, la canasta ptima es (x1*,x2*)donde:
= 0,py
)x,x(1
*2*1
y
= 2*2*1 py,0)x,x(
si p1 < p2
si p1 > p2.
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x1
x2TMgS = -1
pendiente = -p1/p2
con p1 = p2.
y
p1
y
p2
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x1
x2Todas las canastas en larestriccin de presupuestoson canastas ptimas sip1 = p2.
y
p2
y
p1
Ej l d l i d i l
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Ejemplo de soluciones de esquina elcaso de las preferencias no convexas
x1
x2 mejor
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x1
x2
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x1
x2Cul es la canasta ptima?
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x1
x2
La canasta ptima
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Ej l d l i t l
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Ejemplos de soluciones en punta elcaso de complementarios perfectos
x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
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x1
x2
TMgS = 0
U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
-
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x1
x2
TMgS = -
TMgS = 0
U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
-
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x1
x2
TMgS es indefinida
U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
TMgS = -
TMgS = 0
-
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x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
-
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x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
Cal es la canasta ptima?
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x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
La canasta ptima
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x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*x2*
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x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*x2*
(a) p1x1* + p2x2* = m
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x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
x1*x2*
(a) p1x1* + p2x2* = m
(b) x2* = ax1*
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(a) p1x1* + p2x2* = m;
(b) x2* = ax1*.
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(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.
Substituyendo, tenemos
p1x1* + p2ax1* = m
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21
*
1 app
m
x +=
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Y sustituyendo este resultadopara obtener x2*:
.
21
*
2app
amx+
=
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x1
x2 U(x1,x2) = mn{ax1,x2}
x2 = ax1
xm
p ap1
1 2
* =
x
am
p ap
2
1 2
* =+