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7/21/2019 Captulo 3 - Lneas de Transmisin (Parte2)
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin Observando los campos:
Modelando los campos en trminos de elementosconcentrados:
H/m
F/m
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin Adems debido a la resistencia interna de los
conductores y la conductancia del aislante
Combinando ambos efectos
/
/
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin Regresando al esquema de tiempo de transito:
=
Podemos aplicar el anlisis decircuitos de baja frecuenciadado que podemos despreciar elefecto tiempo de transito en !
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin El circuito de parmetros concentrados para un
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
= 0
=
+
(,)
= (,)+
(,)
(3.3)
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin Aplicando Kirchhoff:
= 0
=
+
lim
(,)
= (,)+
(,)
(3.4)
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin Haciendo uso de fasores:
= + ()
= + ()
(3.5)
(3.6)
ECUACIONES DEL TELGRAFO
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin Adems derivando (3.5) respecto a x y
sustituyendo en (3.6)
= +
= + + ()
= + + (3.7)
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= 0 De manera similar para
= 0
(3.8) y (3.9) son llamados ecuaciones de onda parael voltaje y la corriente, respectivamente
es llamada la constante de propagacin compleja
de la lnea de transmisin
3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
(3.8)
(3.9)
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Adicionalmente, si consideramos = +
= =
Las soluciones a las ecuaciones diferenciales (3.8) y
(3.9) vienen dadas por:
= +
[V]
= + [A]
Tenemos 4 incgnitas
,
,
,
3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
Constante de atenuacin Np/mConstante de fase rad/m
(3.10)
(3.11)
-
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Reemplazando (3.10) en (3.5)
+ = ( + )
=
+ [A]
Comparando (3.12) y (3.11)
=
+
=
=
=
[]
3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
(3.12)
(3.13)
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Donde es llamada la IMPEDANCIA CARACTERSTICA
de la lnea de transmisin
=
+
=
+
+
Ntese que Z0
es la relacin entre el voltaje y lacorriente de cada onda viajera por separado. NO esigual a la relacin entre el voltaje y la corrienteabsolutas ( /) y por lo tanto no tiene ningn
significado fsico.
3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
(3.14)
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
Por lo tanto (3.11) puede ser escrito:
=
Pero como interpretamos fsicamente estas
ecuaciones?
=
+
(,)= {() +
()}
(,)
=
( ) +
( + )
(3.15)
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
Asumiendo que no existe atenuacin ( = 0) y por
simplicidad
=
= 1
(,)= ( ) + ( + )
Considerando para fines ilustrativos = = 1(,)= ( ) + ( + )
(3.16)
1 2
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3.4 Ecuaciones de lnea de transmisin
Asimismo:
, =
(,)=
( + )[](3.17)
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3.5 La lnea de transmisin sin prdidas
De acuerdo a la seccin anterior, las lneas de
transmisin pueden ser caracterizadas por , Z0 obien por
L y G
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3.5 La lnea de transmisin sin prdidas
= +
+ =
Sabemos que:
=2
= 2
= 1
Adems utilizando (2.12)= =
1
(3.19)
(3.20)
(3.21)
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3.5 La lnea de transmisin sin prdidas
Por tratarse de una onda TEM y asumiendo que la
onda EM se desplaza enteramente a travs deldielctrico.
Donde y corresponden al material dialctico
Adems se demuestra que para un medio sininteraccin magntica ( = ):
=
1
= (3.22) (3.23)
=
=
(3.24) (3.25)
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3.5.1 Coeficiente de Reflexin Reescribiendo las ecuaciones (3.10) y (3.15) para el caso sin
prdidas:
Para despejar las incgnitas (y ) debemos colocar la L. de T.en un circuito:
= +
=
(3.26)
(3.27)
X=-l X=0Cto. generador Cto. de carga
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3.5.1 Coeficiente de Reflexin
Por convencin la referencia del eje espacial se toma
de tal forma que x=0 coincide con la ubicacin de lacarga
En el punto x=-l se coloca un generador con
resistencia interna Zg En x=0
=
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3.5.1 Coeficiente de Reflexin
Pero considerando (3.26) y (3.27)
= ()= +
= ()=
=
=
, despejando
=
+
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3.5.1 Coeficiente de Reflexin
La relacin entre la amplitud de onda (de voltaje)
que viaja desde la carga(reflejada) y la amplitudde la onda que viaja hacia la carga(incidente) esconocida como Coeficiente de Reflexin de Voltaje
=
=
+ =
1
+ 1
(3.28)
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3.5.1 Coeficiente de Reflexin
Se puede encontrar que:
=
=
=
es llamada impedancia normalizada
En general es una cantidad compleja: =
Ntese que es siempre 1 y <
(3.29)
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3.5.1 Coeficiente de Reflexin
Se dice que una carga esta adaptada a la lnea si
= o, equivalentemente, si = 0, lo cualsignifica que no habr onda reflejada desde lacarga (
= 0) y toda la energa ser consumida
por la carga.
De otro lado para un cto. abierto = , = 1 y
=; y para un corto cto. = 0, = 1 y
= . En ambos casos toda la energa resulta
reflejada hacia el generador.
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3.5.1 Coeficiente de Reflexin
Ej:
Encuentre el coeficiente de reflexin en la carga parauna seal de 100MHz
= 100
= 50
= 10
= + 1
= 50 15
=
= 0.76. o 0.76 60.7
Utilizando (3.28)
Si una L. de T. sin prdidas se conecta a una carga puramentereactiva, entonces = 1 siempre. Demostrar.
