1
Cap 4: Potencial eléctrico Segundo Leibniz, el resultado de las interacciones entre partículas se ve por el intermediar de un cambio de energía, cuantificado por el trabajo W El trabajo describe el efecto de una fuerza en un intervalo del espacio-‐tiempo (desplazamiento de a a b): (3.1)
Wa→b =
F ⋅dl
a
b
∫
Cuando no hay perdida de energía (fuerza conservativa): (3.2) Wab =Ua −Ub = − Ub −Ua( ) = −ΔU
• El trabajo es igual al negativo del cambio de energía potencial U Aplicando la ley de la conservación de energía: (3.3) Ka +Ua = Kb +Ub ⇒ Kb − Ka = − Ub −Ua( ) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la variación de energía cinética K (3.4) Wab = −ΔU = − Ub −Ua( ) = Kb − Ka = ΔK Para la interacción eléctrica, la fuerza de Coulomb
F = q0
E es conservativa y
tenemos para la energía potencial U = q0V donde V es el potencial eléctrico – la energía potencial por unidad de carga
2
Ej. Energía potencial eléctrica en un campo eléctrico uniforme Dos placas paralelas separadas por una distancia d producen un campo uniforme
E = E
Por definición la fuerza eléctrica,
F = −q0Ey , cuando
la partícula (positiva) se mueve por abajo sobre el eje y, sobre una distancia d = b − a , producen un trabajo igual al negativo de la diferencia de energía potencial:
(3.5) Wab =
F ⋅dl
a
b
∫ = −q0E cos(0)dla
b
∫ = −q0E b − a( )
Y esto corresponde a una diferencia de energía potencial (3.6) Wab = −ΔU = − Ub −Ua( ) = −q0E b − a( ) Este resultado implica que Ua = q0Ea y Ub = q0Eb y de forma general
(3.7) U = q0Ey⇒V = Uq0
= Ey
Que se mide = el efecto real de la interacción eléctrica = el trabajo
• Esto es la diferencia de energía potencial (la energía potencial en un punto sólo no tiene sentido físico)
El movimiento natural de la carga (trabajo positivo) va en el sentido de una disminución de la energía potencial eléctrica
23 .1 Energía potencial eléctrica 781
donde es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la partícu-la, y f es el ángulo entre y en cada punto de la trayectoria.
En segundo lugar, si la fuerza es conservativa, según se definió el término en lasección 7.3, el trabajo realizado por siempre se puede expresar en términos de unaenergía potencial U. Cuando la partícula se mueve de un punto donde la energía po-tencial es Ua a otro donde es Ub, el cambio en la energía potencial es DU 5 Ub 2 Ua,y el trabajo que realiza la fuerza es
(trabajo efectuado por una(23.2)
fuerza conservativa)
Cuando WaSb es positivo, Ua es mayor que Ub, DU es negativo y la energía potencialdisminuye. Eso es lo que ocurre cuando una pelota cae de un punto elevado (a) a otromás bajo (b) en presencia de la gravedad terrestre; la fuerza de la gravedad efectúa untrabajo positivo, y la energía potencial gravitacional disminuye (figura 23.1). Cuandose lanza una pelota hacia arriba, la fuerza gravitatoria hace un trabajo negativo duran-te el ascenso, y la energía potencial aumenta.
En tercer lugar, el teorema del trabajo y la energía establece que el cambio en laenergía cinética DK 5 Kb 2 Ka durante cualquier desplazamiento es igual al trabajototal realizado sobre la partícula. Si el único trabajo efectuado sobre la partícula lorealizan fuerzas conservativas, entonces la ecuación (23.2) da el trabajo total, y Kb 2Ka 5 2(Ub 2 Ua). Por lo general esto se escribe así:
(23.3)
Es decir, en estas circunstancias, la energía mecánica total (cinética más potencial) seconserva.
Energía potencial eléctrica en un campo uniformeA continuación se verá un ejemplo eléctrico de estos conceptos básicos. En la figura23.2 un par de placas metálicas paralelas con carga generan un campo eléctrico uni-forme descendente y con magnitud E. El campo ejerce una fuerza hacia abajo conmagnitud F 5 q0E sobre una carga de prueba positiva q0. A medida que la carga semueve hacia abajo una distancia d del punto a al punto b, la fuerza sobre la carga deprueba es constante e independiente de su localización. Por lo tanto, el trabajo reali-zado por el campo eléctrico es el producto de la magnitud de la fuerza por la compo-nente de desplazamiento en la dirección (descendente) de la fuerza.
(23.4)
Este trabajo es positivo, toda vez que la fuerza está en la misma dirección que el des-plazamiento neto de la carga de prueba.
La componente y de la fuerza eléctrica, Fy 5 2q0E, es constante, y no hay compo-nente x o z. Esto es exactamente análogo a la fuerza gravitatoria sobre una masa mcerca de la superficie de la Tierra; para esta fuerza, existe una componente y constan-te Fy 5 2mg, y las componentes x y z son iguales a cero. A partir de esta analogía sepuede concluir que la fuerza ejercida sobre q0 por el campo eléctrico uniforme en lafigura 23.2 es conservativa, igual que la fuerza gravitatoria. Esto significa que el tra-bajo WaSb efectuado por el campo es independiente de la trayectoria que sigue la par-tícula de a a b. Este trabajo puede representarse con una función de energía potencial U,como se hizo para la energía potencial gravitacional en la sección 7.1. La energía potencial para la fuerza gravitatoria Fy 5 2mg fue U 5 mgy; por consiguiente, laenergía potencial para la fuerza eléctrica Fy 5 2q0E es
(23.5)
Cuando la carga de prueba se mueve de la altura ya a la altura yb, el trabajo realizadosobre la carga por el campo está dado por
(23.6)WaSb 5 2DU 5 2 1Ub 2 Ua 2 5 2 1q0 Eyb 2 q0 Eya 2 5 q0 E 1 ya 2 yb 2U 5 q0 Ey
WaSb 5 Fd 5 q0 Ed
Ka 1 Ua 5 Kb 1 Ub
WaSb 5 Ua 2 Ub 5 2 1Ub 2 Ua 2 5 2DU
WaSb
FS
FS
d lS
FS
d lS
El trabajo realizadopor la fuerzagravitatoria esel mismo paracualquier trayectoriade a a b:Wa S b 52DU 5 mgh.
Objeto en movimiento en un campogravitacional uniforme
w 5 mgS S
h
a
b
23.1 Trabajo realizado sobre una pelotade béisbol en movimiento en un campogravitacional uniforme.
Carga puntual que se mueve en un campoeléctrico uniforme
S S
El trabajo realizado por la fuerzaeléctrica es el mismo para cualquiertrayectoria de a a b:
WaSb 5 2DU 5 q0Ed.
b
a
y
d
y
O
q0
F 5 q0E
ES
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
23.2 Trabajo realizado sobre una cargapuntual que se mueve en un campo eléctrico uniforme. Compare esta ilustración con la figura 23.1.
782 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico
– – – – –
+ ++ + +
a) La carga positiva se desplaza en dirección de E:• El campo realiza un trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.
ya
a
b
yb
ES
F 5 q0ES S
S
y
O– – – – –
+ ++ + +
b) La carga positiva se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza un trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.
yb
b
a
ya
ES
F 5 q0ES S
S
y
O
23.3 Carga positiva que sedesplaza a) en la dirección delcampo eléctrico y b) en ladirección opuesta a E
S.
ES
Cuando ya es mayor que yb (figura 23.3a), la carga de prueba positiva q0 se mueve haciaabajo, en la misma dirección que el desplazamiento tiene lugar en la misma direc-ción que la fuerza por lo que el campo realiza trabajo positivo y U disminuye.[En particular, si ya 2 yb 5 d como en la figura 23.2, la ecuación (23.6) da WaSb 5 q0Eden concordancia con la ecuación (23.4).] Cuando ya es menor que yb (figura 23.3b), lacarga de prueba positiva q0 se mueve hacia arriba, en dirección opuesta a el despla-zamiento se opone a la fuerza, el campo hace un trabajo negativo y U aumenta.
Si la carga de prueba q0 es negativa, la energía potencial aumenta cuando se muevea favor del campo y disminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).
Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplica la siguiente regla general: Uaumenta si la carga de prueba q0 se mueve en la dirección opuesta a la fuerza eléctri-ca (figuras 23.3b y 23.4a); U disminuye si q0 se mueve en la misma direc-ción que (figuras 23.3a y 23.4b). Éste es el mismo comportamiento que parala energía potencial gravitacional, la cual aumenta si una masa m se mueve hacia arri-ba (en dirección opuesta a la dirección de la fuerza gravitatoria) y disminuye si m semueve hacia abajo (en la misma dirección que la fuerza gravitatoria).
CUIDADO Energía potencial eléctrica La relación que hay entre el cambio en la energíapotencial eléctrica y el movimiento en un campo eléctrico es muy importante, y se utilizará confrecuencia. También es una relación que requiere cierto esfuerzo para comprenderse del todo.Tómese el tiempo necesario para revisar el párrafo anterior y estudie con cuidado las figuras23.3 y 23.4. ¡Hacerlo le será de gran utilidad más adelante! !
Energía potencial eléctrica de dos cargas puntualesLa idea de la energía potencial eléctrica no se restringe al caso especial de un campoeléctrico uniforme. En realidad, este concepto se puede aplicar a una carga puntual encualquier campo eléctrico generado por una distribución de carga estática. Recuerde,
FS
5 q0 ES
FS
5 q0 ES
ES
;
FS
5 q0 ES
,ES
;
– – – – –
+ ++ + +
a) La carga negativa se desplaza en la dirección de E:• El campo realiza trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.
ya
a
b
yb
ES
F 5 q0ES S
S
y
O– – – – –
+ ++ + +
b) La carga negativa se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.
yb
b
a
ya
ES
F 5 q0 ES S
S
y
O
23.4 Una carga negativa quese desplaza a) en dirección del campo eléctrico y b) en dirección opuesta a Compare con la figura 23.3.
ES
.
ES
782 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico
– – – – –
+ ++ + +
a) La carga positiva se desplaza en dirección de E:• El campo realiza un trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.
ya
a
b
yb
ES
F 5 q0ES S
S
y
O– – – – –
+ ++ + +
b) La carga positiva se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza un trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.
yb
b
a
ya
ES
F 5 q0ES S
S
y
O
23.3 Carga positiva que sedesplaza a) en la dirección delcampo eléctrico y b) en ladirección opuesta a E
S.
ES
Cuando ya es mayor que yb (figura 23.3a), la carga de prueba positiva q0 se mueve haciaabajo, en la misma dirección que el desplazamiento tiene lugar en la misma direc-ción que la fuerza por lo que el campo realiza trabajo positivo y U disminuye.[En particular, si ya 2 yb 5 d como en la figura 23.2, la ecuación (23.6) da WaSb 5 q0Eden concordancia con la ecuación (23.4).] Cuando ya es menor que yb (figura 23.3b), lacarga de prueba positiva q0 se mueve hacia arriba, en dirección opuesta a el despla-zamiento se opone a la fuerza, el campo hace un trabajo negativo y U aumenta.
Si la carga de prueba q0 es negativa, la energía potencial aumenta cuando se muevea favor del campo y disminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).
Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplica la siguiente regla general: Uaumenta si la carga de prueba q0 se mueve en la dirección opuesta a la fuerza eléctri-ca (figuras 23.3b y 23.4a); U disminuye si q0 se mueve en la misma direc-ción que (figuras 23.3a y 23.4b). Éste es el mismo comportamiento que parala energía potencial gravitacional, la cual aumenta si una masa m se mueve hacia arri-ba (en dirección opuesta a la dirección de la fuerza gravitatoria) y disminuye si m semueve hacia abajo (en la misma dirección que la fuerza gravitatoria).
CUIDADO Energía potencial eléctrica La relación que hay entre el cambio en la energíapotencial eléctrica y el movimiento en un campo eléctrico es muy importante, y se utilizará confrecuencia. También es una relación que requiere cierto esfuerzo para comprenderse del todo.Tómese el tiempo necesario para revisar el párrafo anterior y estudie con cuidado las figuras23.3 y 23.4. ¡Hacerlo le será de gran utilidad más adelante! !
Energía potencial eléctrica de dos cargas puntualesLa idea de la energía potencial eléctrica no se restringe al caso especial de un campoeléctrico uniforme. En realidad, este concepto se puede aplicar a una carga puntual encualquier campo eléctrico generado por una distribución de carga estática. Recuerde,
FS
5 q0 ES
FS
5 q0 ES
ES
;
FS
5 q0 ES
,ES
;
– – – – –
+ ++ + +
a) La carga negativa se desplaza en la dirección de E:• El campo realiza trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.
ya
a
b
yb
ES
F 5 q0ES S
S
y
O– – – – –
+ ++ + +
b) La carga negativa se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.
yb
b
a
ya
ES
F 5 q0 ES S
S
y
O
23.4 Una carga negativa quese desplaza a) en dirección del campo eléctrico y b) en dirección opuesta a Compare con la figura 23.3.
ES
.
ES
3
Energía potencial eléctrica relacionada a dos cargas puntuales
Segunda la ley de Coulomb:
(3.8) Fr =14πε0
qq0r2
Como la fuerza radial no es constante (disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia) el trabajo se calcula por un integral de línea:
(3.9) Wab =
F ⋅dl
a
b
∫ = Fr drra
rb
∫ = qq04πε0
drr2ra
rb
∫ = − qq04πε0
1rb− 1ra
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Solamente depende de los punto extremos⎯el trabajo correspondiente a una fuerza eléctrica es una integral de línea que no depende del camino La partícula se desplaza de a a b siguiendo dos caminos diferentes:
(3.10) Wab =
F ⋅dl
a
b
∫ = F cosϕ dla
b
∫
Pero cosφdl = dr , la proyección de la fuerza sobre el camino es no cero solo en la dirección radial
(3.11) Wab =
F ⋅dl
a
b
∫ = Fr dra
b
∫ = qq04πε0
drr2ra
rb
∫
Esto es un comportamiento propio a una fuerza conservativa, el trabajo no depende del camino, y existe un potencial tal que: (3.12) Wab = −ΔU Por lo tanto para un camino cerrado un fuerza conservativa da siempre: (3.13)
Wab =
F ⋅dl∫ = −ΔU = 0
23 .1 Energía potencial eléctrica 783
del capítulo 21, que cualquier distribución de carga se representa como un conjuntode cargas puntuales. Por consiguiente, es útil calcular el trabajo realizado sobre unacarga de prueba q0 que se mueve en el campo eléctrico ocasionado por una sola cargapuntual estacionaria q.
En primer lugar se considerará un desplazamiento a lo largo de una línea radial,como se ilustra en la figura 23.5, del punto a al punto b. La fuerza sobre q0 está dadapor la ley de Coulomb, y su componente radial es
(23.7)
Si q y q0 tienen el mismo signo (1 o 2), la fuerza es de repulsión y Fr es positiva; silas dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y Fr es negativa. Lafuerza no es constante durante el desplazamiento, y se tiene que integrar para obtenerel trabajo WaSb que realiza esta fuerza sobre q0 a medida que q0 se mueve de a a b.Resulta lo siguiente:
(23.8)
El trabajo efectuado por la fuerza eléctrica para esta trayectoria particular dependesólo de los puntos extremos.
En realidad, el trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles entre a y b.Para demostrar esto, se considera un desplazamiento más general (figura 23.6) en elque a y b no están en la misma línea radial. De la ecuación (23.1), el trabajo efectua-do sobre q0 durante este desplazamiento está dado por
Pero la figura muestra que cos f dl 5 dr. Es decir, el trabajo realizado durante un des-plazamiento pequeño depende sólo del cambio dr en la distancia r entre las cargas,el cual es la componente radial del desplazamiento. Así, la ecuación (23.8) es válidaincluso con respecto a este desplazamiento más general; el trabajo que efectúa sobreq0 el campo eléctrico producido por q sólo depende de ra y rb, y no de los detallesde la trayectoria. Asimismo, si q0 regresa a su punto inicial a por una trayectoria dife-rente, el trabajo total que se realiza en el desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero[la integral en la ecuación (23.8) es de ra de regreso a ra]. Éstas son las característicasnecesarias para una fuerza conservativa, según se definió en la sección 7.3. Así, lafuerza sobre q0 es conservativa.
Se ve que las ecuaciones (23.2) y (23.8) son consistentes si se define como la energía potencial Ua cuando q0 está en el punto a, a una distancia ra de q, y sedefine como la energía potencial Ub cuando q0 está en el punto b, a unaqq0 /4pP0 rb
qq0 /4pP0 ra
ES
d lS
WaSb 5 3 rb
ra
F cos f dl 5 3 rb
ra
14pP0
qq0
r2 cos f dl
WaSb 5 3 rb
ra
Fr dr 5 3 rb
ra
14pP0
qq0
r2 dr 5
qq0
4pP01 1ra
21rb2Fr 5
14pP0
qq0
r2
rb
r
q0
a
ra
q
bES
ES
La carga q0 sedesplaza de a a ba lo largo de unalínea radialdesde q
23.5 La carga de prueba q0 se desplaza a lo largo de una línea recta que se extiende en forma radial desde la carga q.Conforme se desplaza de a a b, la distancia varía de ra a rb.
dr
ra
r
b
qa
rb
f
ES
FS
dlSdrS
La carga de prueba q0se desplaza de a a ba lo largo de unatrayectoriaarbitraria
q0
23.6 El trabajo efectuado sobre la cargaq0 por el campo eléctrico de carga q no depende de la trayectoria seguida, sino sólo de las distancias ra y rb.
23 .1 Energía potencial eléctrica 783
del capítulo 21, que cualquier distribución de carga se representa como un conjuntode cargas puntuales. Por consiguiente, es útil calcular el trabajo realizado sobre unacarga de prueba q0 que se mueve en el campo eléctrico ocasionado por una sola cargapuntual estacionaria q.
En primer lugar se considerará un desplazamiento a lo largo de una línea radial,como se ilustra en la figura 23.5, del punto a al punto b. La fuerza sobre q0 está dadapor la ley de Coulomb, y su componente radial es
(23.7)
Si q y q0 tienen el mismo signo (1 o 2), la fuerza es de repulsión y Fr es positiva; silas dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y Fr es negativa. Lafuerza no es constante durante el desplazamiento, y se tiene que integrar para obtenerel trabajo WaSb que realiza esta fuerza sobre q0 a medida que q0 se mueve de a a b.Resulta lo siguiente:
(23.8)
El trabajo efectuado por la fuerza eléctrica para esta trayectoria particular dependesólo de los puntos extremos.
En realidad, el trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles entre a y b.Para demostrar esto, se considera un desplazamiento más general (figura 23.6) en elque a y b no están en la misma línea radial. De la ecuación (23.1), el trabajo efectua-do sobre q0 durante este desplazamiento está dado por
Pero la figura muestra que cos f dl 5 dr. Es decir, el trabajo realizado durante un des-plazamiento pequeño depende sólo del cambio dr en la distancia r entre las cargas,el cual es la componente radial del desplazamiento. Así, la ecuación (23.8) es válidaincluso con respecto a este desplazamiento más general; el trabajo que efectúa sobreq0 el campo eléctrico producido por q sólo depende de ra y rb, y no de los detallesde la trayectoria. Asimismo, si q0 regresa a su punto inicial a por una trayectoria dife-rente, el trabajo total que se realiza en el desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero[la integral en la ecuación (23.8) es de ra de regreso a ra]. Éstas son las característicasnecesarias para una fuerza conservativa, según se definió en la sección 7.3. Así, lafuerza sobre q0 es conservativa.
Se ve que las ecuaciones (23.2) y (23.8) son consistentes si se define como la energía potencial Ua cuando q0 está en el punto a, a una distancia ra de q, y sedefine como la energía potencial Ub cuando q0 está en el punto b, a unaqq0 /4pP0 rb
qq0 /4pP0 ra
ES
d lS
WaSb 5 3 rb
ra
F cos f dl 5 3 rb
ra
14pP0
qq0
r2 cos f dl
WaSb 5 3 rb
ra
Fr dr 5 3 rb
ra
14pP0
qq0
r2 dr 5
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4pP01 1ra
21rb2Fr 5
14pP0
qq0
r2
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r
q0
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ra
q
bES
ES
La carga q0 sedesplaza de a a ba lo largo de unalínea radialdesde q
23.5 La carga de prueba q0 se desplaza a lo largo de una línea recta que se extiende en forma radial desde la carga q.Conforme se desplaza de a a b, la distancia varía de ra a rb.
dr
ra
r
b
qa
rb
f
ES
FS
dlSdrS
La carga de prueba q0se desplaza de a a ba lo largo de unatrayectoriaarbitraria
q0
23.6 El trabajo efectuado sobre la cargaq0 por el campo eléctrico de carga q no depende de la trayectoria seguida, sino sólo de las distancias ra y rb.
4
La fuerza como gradiente de un potencial Una interpretación equivalente para el trabajo relacionado con una fuerza conservativa es de considerar el gradiente de un potencial Por definición, el trabajo esta igual a una diferencia de energía potencial: (3.14) Wab = −ΔU =Ua −Ub La energía potencial eléctrica tiene la forma:
(3.15) Ur =14πε0
qq0r
Pero como la fuerza de Coulomb tiene la forma Fr =14πε0
qq0r2
vemos que
(3.16) Fr = −∇Ur = − ∂∂r
14πε0
qq0r
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 14πε0
qq0r2
En general para una fuerza conservativa:
• La fuerza surge de un potencial • La fuerza es el negativo del gradiente de la energía potencial • El trabajo es independiente del camino
5
Ej. Interacción entre positrón y partícula α El positrón e+ es la antipartícula del electrón: tiene la misma masa me = 9.11×10
−31kg y carga, pero positiva e+ = +1.60 ×10−19C Cuando el positrón se encuentra a una distancia ra = 1.00 ×10
−10m (1 Å) de una partícula α (el núcleo de un átomo de He con carga 2e+ y masa mα = 2mp + 2mn )
se aleja a una velocidad de 3.00 ×106 m s−1 ; cual será su velocidad cuando llegara a 2ra o al infinito ∞ Para resolver este problema basta aplicar el principio de energía cinética Kb +Ub = Ka +Ua ⇒ Kb = Ka +Ua( )−Ub
Por definición Ua =14πε0
qq0ra
≈ 4.61×10−18 J y Ka =12meva
2 ≈ 4.10 ×10−18 J
Falta solamente saber la energía potencial a 2ra
Ub =14πε0
qq0rb
= 14πε0
qq02ra
= 12Ua ≈ 2.30 ×10
−18 J
Por lo tanto Kb = Ka +Ua( )−Ub ≈ 6.41×10−18 J
Usando la definición de la energía cinética vb =2Kb
me
≈ 3.80 ×106 ms
Aplicando la misma relación, la energía potencial al infinito es
U∞ = 14πε0
qq0∞
= 0
Por lo tanto K∞ = Ka +Ua( ) ≈ 4.71×10−18 J y la velocidad
v∞ = 2K∞
me
≈ 4.40 ×106 ms
6
Diferentes interpretación de la energía potencial de un sistema de cargas En caso que tenemos más que una carga, la energía potencial eléctrica es una suma algebraica de las energías potenciales individuales:
(3.17) U = q0
4πε0q1r1+ q2r2
++ qNrN
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= q04πε0
qirii=1
N
∑
Del otro lado, la distribución de cargas misma tiene su propia energía potencial:
(3.18) U = 14πε0
qiqjriji< j
∑
La suma se extiende a todas pares de cargas, no se permite i = j (auto interacción que no faz sentido físicamente), y se cuenta solamente la interacción de cada pares sólo una vez ( i < j ) Esto lleva a dos interpretación posible para el trabajo Consideramos un ejemplo:
Empezamos con dos cargas q1 = −e a x = 0 y q2 = +e en x = a y queremos poner una tercera carga q3 = +e a x = 2a Por definición el trabajo que se debe hacer sobre q3 por una fuerza externa es igual a la diferencia de energía potencial de U∞ a U2a ; pero por definición U∞ = 0 que nos deja que el trabajo es igual a:
W =U2a =q34πε0
q1r13
+ q2r23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= +e4πε0
−e2a
+ +ea
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
+e2
8πε0a
El trabajo W > 0 que sugiere que la formación del sistema implica una aumentación de energía potencial igual a un trabajo contra la repulsión de las cargas del sistema Del otro lado, la energía potencial del sistema formado de las 3 cargas es:
U = 14πε0
qiqjriji< j
∑ = 14πε0
q1q2r12
+ q1q3r13
+ q2q3r23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 14πε0
−e2
a+ −e2
2a+ e
2
a⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= − e2
8πε0a
La energía potencial del sistema es más baja que la energía potencial cuando las partes son separadas al infinito Se debe aumentar la energía del sistema, W > 0, para llevar sus partes al infinito⎯la energía potencial es igual al negativo de la energía de enlace del sistema
23 .2 Potencial eléctrico 787
Ejemplo 23.2 Sistema de cargas puntuales
Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q1 5 2e en x 5 0 y q2 5 1e en x 5 a. a) Determine el trabajo que debe realizar una fuer-za externa para llevar una tercera carga puntual q3 5 1e del infinito a x 5 2a. b) Determine la energía potencial total del sistema de tres cargas.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este problema implica la relación entre el trabajoefectuado para mover una carga puntual y el cambio en la energía po-tencial. También implica la expresión para la energía potencial de unconjunto de cargas puntuales.
PLANTEAR: La figura 23.10 presenta el arreglo final de las tres car-gas. Para determinar el trabajo que se requiere para traer a q3 del infini-to, se usa la ecuación (23.10) para encontrar la energía potencialasociada con q3 en la presencia de q1 y q2. Después se emplea la ecua-ción (23.11) para determinar la energía potencial total del sistema.
EJECUTAR: a) El trabajo que debe hacer una fuerza externa sobreq3 es igual a la diferencia entre dos cantidades: la energía potencial Uasociada con q3 cuando está en x 5 2a y la energía potencial que tienecuando está infinitamente lejos. La segunda de éstas es igual a cero,por lo que el trabajo que debe realizarse es igual a U. Las distanciasentre las cargas son r13 5 2a y r23 5 a, por lo que a partir de la ecua-ción (23.10),
Si q3 se lleva del infinito a lo largo del eje 1x, es atraída por q1 pero re-pelida con más fuerza por q2; por ello, debe hacerse un trabajo positivopara llevar q3 a la posición x 5 2a.
b) La energía potencial total del conjunto de tres cargas está dadopor la ecuación (23.11):
EVALUAR: Como el resultado en el inciso b) es negativo, el sistematiene menos energía potencial que si las tres cargas estuvieran infini-tamente alejadas. Una fuerza externa tendría que hacer trabajo nega-tivo para traerlas del infinito y acomodarlas en su arreglo, y trabajopositivo para llevarlas de regreso al infinito.
51
4pP0 1 12e 2 1 e 2
a112e 2 1 e 2
2a11 e 2 1 e 2
a 2 52e2
8pP0 a
U 51
4pP0 a
i, j
qiqj
rij5
14pP0
1q1q2
r121
q1q3
r131
q2q3
r232W 5 U 5
q3
4pP0 1 q1
r131
q2
r232 5
1e4pP0
12e2a
11ea 2 5
1e2
8pP0 a
FS
ext
23.10 Dibujo de la situación después de que se ha traído la tercera carga del infinito.
Evalúe su comprensión de la sección 23.1 Considere el sistema de tres cargas puntuales del ejemplo 21.4 (sección 21.3) y que se ilustra en la figura 21.14. a) ¿Cuál es el signo de la energía potencial total de este sistema? i) positivo; ii) negativo; iii) cero. b) ¿Cuál es el signo de la cantidad total de trabajo que tendría que hacerse para llevar las cargas infinitamente lejos una de otra? i) positivo; ii) negativo; iii) cero.
!
23.2 Potencial eléctricoEn la sección 23.1 se estudió la energía potencial U asociada con una carga de pruebaq0 en un campo eléctrico. Ahora interesa describir esta energía potencial sobre una ba-se “por unidad de carga”, al igual que el campo eléctrico describe la fuerza por unidadde carga sobre una partícula con carga en el campo. Esto lleva al concepto de poten-cial eléctrico, al que es frecuente llamar simplemente potencial. Este concepto esmuy útil en los cálculos que implican energías de partículas con carga. También faci-lita hacer muchos cálculos de campo eléctrico porque el potencial eléctrico se relacio-na estrechamente con el campo eléctrico Cuando se necesita determinar un campoeléctrico, a menudo es más fácil determinar primero el potencial y después, a partir deéste, el campo.
El potencial es la energía potencial por unidad de carga. Se define el potencial Ven cualquier punto en el campo eléctrico como la energía potencial U por unidad decarga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto:
(23.12)
Tanto la energía potencial como la carga son escalares, por lo que el potencial es unacantidad escalar. Sus unidades se encuentran a partir de la ecuación (23.12), dividien-do las unidades de energía entre las de carga. La unidad del SI para el potencial se
V 5Uq0 o bien, U 5 q0V
ES
.
11.13 Energía potencial eléctrica y potencial
O N L I N E
7
El potencial eléctrico Segundo la definición de la energía potencial eléctrica se define el potencial eléctrico como:
(3.19) V = Uq0
Las unidades del potencial eléctrico V[ ] = JC= Volt (Alessandro Volta 1745-‐1827)
Donde 1 volt = 1 J/C Por definición del trabajo vemos que:
(3.20) Wab
q0= − ΔU
q0= − Ub
q0−Ua
q0
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=Va −Vb =Vab
Donde Vab es la diferencia de potencial eléctrico entre a y b = voltaje Cuando se considera una carga unitaria positiva, el voltaje en dos puntos es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica (o el trabajo que se debe efectuar contra la fuerza eléctrica para mover una carga unitaria positiva de b a a) Se puede medir el voltaje usando un voltímetro (de µV a pV (10−12V )) Para una carga puntual:
(3.21) V = Uq0
= 14πε0
qr
Para una suma de cargas:
(3.22) V = 14πε0
qirii=1
N
∑
Para una distribución continua de cargas:
(3.23) V = 14πε0
dqr∫
8
Relación con campo eléctrico Es más natural determinar el potencial eléctrico á partir del campo eléctrico que de la fuerza de Coulomb, usando la relación
F = q0
E
(3.24)
Wab
q0= 1q0
F ⋅dl
a
b
∫ =E ⋅dl
a
b
∫ =Va −Vb
Para
E ⋅dl
a
b
∫ > 0 el potencial eléctrico disminuye Va >Vb
Por definición la unidad del campo eléctrico
E⎡⎣ ⎤⎦ =
NC
= Vm
Para sistemas atómicos y nucleares – cuando una partícula de carga se desplaza desde un punto de potencial Vb a un punto de potencial Va, el cambio de energía potencial ΔU es igual a (3.25) Ua −Ub = q Va −Vb( ) = qVab Si la carga es unitaria e = 1.602 ×10−19C , una diferencia de potencial Vab = 1volt (3.26) Ua −Ub = 1.602 ×10−19 J = 1 eV (electrón volt) Acelerador lineal Un protón con carga e+ = 1.602 ×10−19C se desplaza sobre una distancia d = 0.50m en línea recta dentro del acelerador El campo uniforme dentro del
acelerador es de E = 1.5 ×107 Vm la
fuerza correspondiente es F = qE ≈ 2.4 ×10−12N en la misma dirección que el desplazamiento El trabajo es igual a Wab = Fd ≈1.2 ×10
−12 J
Fermi “National accelerator” puede alcanzar hasta 0.98 Tev (1012 eV )
o en unidad de eV Wab ⋅1eV
1.602 ×10−19 J≈ 7.5MeV
Esto corresponde a una diferencia de potencial Vab =Wab
q≈ 7.5 ×106 J
Co V( )
23 .2 Potencial eléctrico 791
Si bien se ha definido el electrón volt en términos de energía potencial, se usa paracualquier forma de energía, como la energía cinética de una partícula en movimiento.Cuando se habla de “un millón de electrón volts protón,” significa que hay un protóncuya energía cinética es de un millón de electrón volts (1 MeV), lo que es igual a(106)(1.602 3 10219 J) 5 1.602 3 10213 J (figura 23.13).
23.13 Este acelerador en el Fermi National Accelerator Laboratory, en Illinois, da a los protones una energía cinética de 400 MeV (4 3 108 eV). Las etapas adicionales de aceleración incrementan su energía cinética a 980 GeV, o 0.98 TeV (9.8 3 1011 eV).
Ejemplo 23.3 Fuerza eléctrica y potencial eléctrico
En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga 1e 5 1.602 310219 C) se desplaza en línea recta de un punto a a otro punto b unadistancia total d 5 0.50 m. A lo largo de esta línea, el campo eléctricoes uniforme con magnitud E 5 1.5 3 107 V>m 5 1.5 3 107 N>C en la dirección de a a b. Determine a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo realizado sobre este por el campo; c) la diferencia de potencialVa 2 Vb.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este problema usa la relación entre el campo eléctrico(que es un dato conocido) y la fuerza eléctrica (que es una de las varia-bles buscadas). También utiliza la relación entre fuerza, trabajo y dife-rencia de energía potencial.
PLANTEAR: Se da el campo eléctrico, por lo que es fácil encontrar lafuerza eléctrica que se ejerce sobre el protón. El cálculo del trabajo querealiza esta fuerza sobre el protón también es fácil porque es unifor-me, lo que significa que la fuerza es constante. Una vez que se conoceel trabajo, se determina la diferencia de potencial empleando la ecua-ción (23.13).
EJECUTAR: a) La fuerza sobre el protón está en la misma direcciónque el campo eléctrico, y su magnitud es
b) La fuerza es constante y está en la misma dirección que el cam-po eléctrico, de manera que el trabajo efectuado sobre el protón es
5 7.5 3 106 eV 5 7.5 MeV
5 1 1.2 3 10212 J 2 1 eV
1.602 3 10219 J
WaSb 5 Fd 5 12.4 3 10212 N 2 10.50 m 2 5 1.2 3 10212 J
5 2.4 3 10212 N
F 5 qE 5 11.602 3 10219 C 2 11.5 3 107 N/C 2ES
c) De la ecuación (23.13), la diferencia de potencial es el trabajopor unidad de carga, que es
Se obtiene el mismo resultado con más facilidad si se recuerda que 1electrón volt es igual a 1 volt multiplicado por la carga e. Como el tra-bajo realizado es 7.5 3 106 eV y la carga es e, la diferencia de poten-cial es (7.5 3 106 eV)>e 5 7.5 3 106 V.
EVALUAR: El resultado del inciso c) puede comprobarse con las ecua-ciones (23.17) o (23.18) para calcular la integral del campo eléctrico.El ángulo f entre el campo constante y el desplazamiento es igual acero, por lo que la ecuación (23.17) se convierte en
La integral de dt de a a b tan sólo es la distancia d, por lo que una vezmás se obtiene
Va 2 Vb 5 Ed 5 11.5 3 107 V/m 2 10.50 m 2 5 7.5 3 106 V
Va 2 Vb 5 3b
a
E cos f dl 5 3b
a
E dl 5 E 3b
a
dl
ES
5 7.5 3 106 V 5 7.5 MV
Va 2 Vb 5WaSb
q5
1.2 3 10212 J
1.602 3 10219 C5 7.5 3 106 J/C
9
Ejemplos de potencial: esfera conductora con carga Usando la ley de Gauss encontramos que el campo eléctrico al interior de la esfera es cero Al exterior de la esfera, el campo
eléctrico es igual a E = 14πε0
qr2 y en la
superficie E = 14πε0
qR2
Considerando el potencial eléctrico al infinito como cero, el potencial a una distancia r de la superficie es dado por la eq. (3.21):
(3.27) V = 14πε0
qr
y en la superficie
(3.28) V = 14πε0
qR
Al interior de la esfera el campo esta cero
• Quiere decir que no hay trabajo sobre una carga de prueba se desplazando al interior de la esfera
• Implica que el potencial eléctrico debe ser constante
• Por lo tanto, debe ser igual al potencial eléctrico a la superficie V = 14πε0
qR
23 .3 Cálculo del potencial eléctrico 795
Ejemplo 23.8 Esfera conductora con carga
Una esfera sólida conductora de radio R tiene una carga total q. En-cuentre el potencial en todos los lugares, tanto fuera como dentro de laesfera.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Se usa la ley de Gauss como en el ejemplo 22.5 (sec-ción 22.4) para encontrar el campo eléctrico en todos los puntos paraesta distribución de carga. El resultado se emplea para determinar elpotencial en todos los puntos.
PLANTEAR: Se elige como origen el centro de la esfera. Como se co-noce E en todos los valores de la distancia r desde el centro de la esfe-ra, se determina V como función de r.
EJECUTAR: Del ejemplo 22.5, en todos los puntos fuera de la esfera elcampo es el mismo que si la esfera se eliminara y se sustituyera poruna carga puntual q. Se considera V 5 0 en el infinito, como se hizopara una carga puntual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el ex-terior de la esfera a una distancia r de su centro es el mismo que el po-tencial debido a una carga puntual q en el centro:
El potencial en la superficie de la esfera es
En el interior de la esfera, es igual a cero en todas partes; de otramanera, la carga se movería dentro de la esfera. De esta forma, si unacarga de prueba se desplaza de un punto a otro en el interior de la esfe-ra, no se efectúa ningún trabajo sobre la carga. Esto significa que el po-tencial es el mismo en todos los puntos del interior de la esfera y esigual a su valor en la superficie.q/4pP0 R
ES
Vsuperficie 5 q/4pP0 R.
V 51
4pP0 q
r
EVALUAR: La figura 23.17 ilustra el campo y el potencial como fun-ción de r para una carga positiva q. En este caso, el campo eléctricoapunta radialmente alejándose de la esfera. Conforme nos alejamos dela esfera, en la dirección de V disminuye (como debe ser). El campoeléctrico en la superficie tiene magnitud Esuperficie 5 0 q 0 /4pP0 R2.
ES
,
+++
+
++
+++
+
+ +++
+
+++
+ R
O
O
V
E
E 5 0r
r
qr 2E 5
14pP0
qR2E 5
14pP0
qR
V 5 1
4pP0
qrV 5
14pP0
23.17 Magnitud del campo eléctrico E y el potencial V en puntosdentro y fuera de una esfera conductora con carga positiva.
Ionización y descarga en coronaLos resultados del ejemplo 23.8 tienen numerosas consecuencias prácticas; una deellas se relaciona con el potencial máximo que puede aplicarse en un conductor en elaire. Este potencial está limitado porque las moléculas de aire se ionizan y el aire seconvierte en un conductor, a una magnitud de campo eléctrico de cerca de 3 3 106
V>m. De momento, suponga que q es positiva. Cuando se comparan las expresionesen el ejemplo 23.8 para el potencial Vsuperficie y la magnitud de campo Esuperficie en lasuperficie de una esfera conductora con carga, se observa que Vsuperficie 5 EsuperficieR.Así, si Em representa la magnitud de campo eléctrico a la que el aire se vuelve con-ductor (lo que se conoce como resistencia dieléctrica del aire), entonces el potencialmáximo Vm que se puede aplicar a un conductor esférico es
Para una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, Vm 5 (1022 m) (3 3 106 V>m)5 30,000 V. Ninguna cantidad de “carga” puede sobrepasar el potencial de una esferaconductora de este tamaño en el aire en más de 30,000 V, aproximadamente; si se in-tenta aumentar el potencial más allá de esto agregando carga adicional, se provocaríaque el aire circundante se ionizara y se convirtiera en conductor, y la carga adicionalescaparía al aire.
Para lograr potenciales aún mayores, las máquinas de alto voltaje como los genera-dores Van de Graaff usan terminales esféricas con radios muy grandes (véase la figura22.27 y la fotografía que abre el capítulo 22). Por ejemplo, una terminal de radio R 5 2 mtiene un potencial máximo Estasmáquinas se colocan a veces en tanques presurizados llenos de un gas como el hexa-fluoruro de azufre (SF6), que tiene un valor mayor de Em que el del aire y, por consi-guiente, es capaz de soportar campos aún más grandes sin volverse conductor.
Vm 5 1 2 m 2 13 3 106 V/m 2 5 6 3 106 V 5 6 MV.
Vm 5 REm
10
Una consecuencia importante del ejemplo anterior es el potencial máximo de un conductor esférico en el aire
• Este potencial esta limitado por la ionización de las moléculas del aire que
se torna conductor (ruptura dieléctrica) con un campo Em ≈ 3×106 Vm
Comparando el potencial a la superficie de una esfera conductor con el campo eléctrico, el potencial máximo es igual a: (3.29) Vm = REm Para R = 1cm, esto corresponde a 30000V; si se intenta aumentar la carga sobre el conductor, se provocaría ionización, el aire sería conductor y la carga se escaparía Para alcanzar alto voltaje se necesita aumentar R
• Para una esfera de 2m, Vm llega a 6MV Para aumentar las cargas de los generador de Van de Graaff se colocan en tanques lleno de gas como SF6 (hexafluoruro de azufre) que tiene valor mayor de Em Cuando un conductor tiene un rayo muy pequeño, objeto afilado o alambre fina, pequeñas cargas son suficientemente par ionizar el aire⎯la corriente resultante y su resplandor se llama corona
• Para evitar la corona en las antenas radio⎯la corona produce estática⎯se pone una esfera metálica en el extremo de las antenas
Los pararrayos metálicos son otros ejemplos: permiten de evacuar el exceso de carga en la atmósfera, como ocurre durante las tormentas
• En el extremo romo se acumula una cantidad sustancial de carga del signo contrario.
• Cuando la carga atmosférica se descarga a través de relámpagos, tiende a ser atraída hacia el pararrayos
• Un cable conductor que conecta el pararrayos con la tierra permite que la carga adquirida se disipe en forma inofensiva
• Un pararrayos con extremo agudo permitiría que se acumulara menos carga y por ello sería menos eficaz
El mástil metálico en la parte superior del edificio Empire State actúa como pararrayos
796 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico
a
y
dy
O
q0
b x
ES
23.19 Las placas paralelas con carga de la figura 23.2.
Ejemplo 23.9 Placas paralelas con cargas opuestas
Encuentre el potencial a cualquier altura y entre las dos placas parale-las con cargas opuestas que se estudiaron en la sección 23.1 (figura23.19).
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: De la sección 23.1 se conoce la energía potencialeléctrica U, para una carga de prueba q0 como función de y. La metaaquí es obtener el potencial eléctrico V debido a las cargas en las pla-cas como función de y.
PLANTEAR: De la ecuación (23.5), U 5 q0Ey en un punto a la distan-cia y sobre la placa inferior. Esta expresión se utiliza para determinar elpotencial V en ese punto.
EJECUTAR: El potencia V(y) en la coordenada y es la energía potencialpor unidad de carga:
Se ha elegido que U(y) y, por lo tanto, V(y) sean igual a cero en el pun-to b, donde y 5 0. Incluso si elegimos que el potencial sea diferente decero en b, se cumpliría que
El potencial disminuye conforme se mueve en la dirección de de laplaca superior a la inferior. En el punto a, donde y 5 d y V(y) 5 Va,
donde Vab es el potencial de la placa positiva con respecto a la pla-ca negativa. Es decir, el campo eléctrico es igual a la diferencia depotencial entre las placas dividida entre la distancia que las separa. Pa-ra una diferencia de potencial dada Vab, cuanto más pequeña sea la dis-tancia entre las dos placas, mayor será la magnitud de E del campoeléctrico. (Esta relación entre E y Vab se cumple sólo para la geometríaplana descrita. No se aplica para situaciones tales como cilindros o es-feras concéntricos en los que el campo eléctrico no es uniforme.)
Va 2 Vb 5 Ed y E 5Va 2 Vb
d5
Vab
d
ES
V 1 y 2 2 Vb 5 Ey
V 1 y 2 5U 1 y 2
q05
q0 Ey
q05 Ey
EVALUAR: El resultado nos dice cómo medir la densidad de carga so-bre las cargas en las dos placas de la figura 23.19. En el ejemplo 22.8(sección 22.4) se obtuvo la expresión E 5 s>P0 para el campo eléctricoE entre dos placas conductoras con densidades de carga superficiales1s y 2s. Al igualar esta expresión con E 5 Vab>d se obtiene lo si-guiente:
La densidad superficial de carga en la placa positiva es directamenteproporcional a la diferencia de potencial entre las placas, y su valor sse determina midiendo Vab. Esta técnica es útil porque no hay instru-mentos disponibles que lean directamente densidades superficiales decarga. En la placa negativa la densidad superficial de carga es 2s.
CUIDADO El “potencial cero” es arbitrario Quizá piense quesi un cuerpo conductor tiene un potencial igual a cero, necesariamentedebe tener también una carga neta de cero. ¡Pero no es así! Comoejemplo, la placa en y 5 0 en la figura 23.19 tiene un potencial de cero(V 5 0), pero tiene una carga por unidad de área, 2s, distinta de cero.Recuerde que no hay nada especial en la placa en que el potencial esigual a cero; este lugar se puede definir donde se desee. !
s 5P0 Vab
d
?
El resultado del ejemplo 23.8 también explica lo que sucede con un conductor concarga y cuyo radio de curvatura es muy pequeño, como un objeto afilado o un alam-bre fino. Como el potencial máximo es proporcional al radio, incluso potenciales relativamente pequeños aplicados a puntas agudas en el aire producen campos sufi-cientemente elevados inmediatamente afuera de las puntas para ionizar el aire que lasrodea y convertirlo en un buen conductor. La corriente resultante y el resplandor aso-ciado a ella (visible en un cuarto oscuro) se llama corona. Las impresoras láser y lasmáquinas de fotocopiado utilizan una corona de alambres muy finos para distribuircargas sobre el tambor que forma las imágenes (figura 21.2).
En situaciones en que es importante evitar que exista una corona, se usan conducto-res de radio grande. Ejemplo de esto es la esfera metálica en el extremo de las antenasde radio para automóviles, lo que evita que se presente la corona, la cual provocaría es-tática. Otro ejemplo es el extremo romo de los pararrayos metálicos (figura 23.18). Sihay un exceso de carga en la atmósfera, como ocurre durante las tormentas, en el ex-tremo romo se acumula una cantidad sustancial de carga del signo contrario. Como re-sultado, cuando la carga atmosférica se descarga a través de relámpagos, tiende a seratraída hacia el pararrayos y no hacia otras estructuras cercanas que podrían resultardañadas. (Un cable conductor que conecta el pararrayos con la tierra permite que lacarga adquirida se disipe en forma inofensiva.) Un pararrayos con extremo agudo per-mitiría que se acumulara menos carga y por ello sería menos eficaz.
23.18 El mástil metálico en la parte superior del edificio Empire State actúa como pararrayos. Es azotado por relámpagos hasta 500 veces al año.
11
Ej. Placas paralelas con cargas opuestas
El potencial en la coordenada y es la energía potencial por unidad de carga
V y( ) = U y( )q0
= q0Eyq0
= Ey
Se ha elegido que U b( ) = 0 , si no habría sido V y( )−Vb = Ey
El potencial disminuye conforme se mueve de la dirección del campo eléctrico de la placa superior a la placa inferior; por definición
Va −Vb = Ed⇒ E = Va −Vbd
= Vabd
Donde Vab es el potencial de la placa positiva con respeto a la placa negativa
A partir de este resultado podemos medir la densidad superficial de carga, usando el hecho que E =σ ε0 encontramos que
E = Vabd
= σε0
⇒σ = ε0Vabd
La densidad superficial de carga en la placa positiva es directamente proporcional a la diferencia de potencial entre las placas
796 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico
a
y
dy
O
q0
b x
ES
23.19 Las placas paralelas con carga de la figura 23.2.
Ejemplo 23.9 Placas paralelas con cargas opuestas
Encuentre el potencial a cualquier altura y entre las dos placas parale-las con cargas opuestas que se estudiaron en la sección 23.1 (figura23.19).
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: De la sección 23.1 se conoce la energía potencialeléctrica U, para una carga de prueba q0 como función de y. La metaaquí es obtener el potencial eléctrico V debido a las cargas en las pla-cas como función de y.
PLANTEAR: De la ecuación (23.5), U 5 q0Ey en un punto a la distan-cia y sobre la placa inferior. Esta expresión se utiliza para determinar elpotencial V en ese punto.
EJECUTAR: El potencia V(y) en la coordenada y es la energía potencialpor unidad de carga:
Se ha elegido que U(y) y, por lo tanto, V(y) sean igual a cero en el pun-to b, donde y 5 0. Incluso si elegimos que el potencial sea diferente decero en b, se cumpliría que
El potencial disminuye conforme se mueve en la dirección de de laplaca superior a la inferior. En el punto a, donde y 5 d y V(y) 5 Va,
donde Vab es el potencial de la placa positiva con respecto a la pla-ca negativa. Es decir, el campo eléctrico es igual a la diferencia depotencial entre las placas dividida entre la distancia que las separa. Pa-ra una diferencia de potencial dada Vab, cuanto más pequeña sea la dis-tancia entre las dos placas, mayor será la magnitud de E del campoeléctrico. (Esta relación entre E y Vab se cumple sólo para la geometríaplana descrita. No se aplica para situaciones tales como cilindros o es-feras concéntricos en los que el campo eléctrico no es uniforme.)
Va 2 Vb 5 Ed y E 5Va 2 Vb
d5
Vab
d
ES
V 1 y 2 2 Vb 5 Ey
V 1 y 2 5U 1 y 2
q05
q0 Ey
q05 Ey
EVALUAR: El resultado nos dice cómo medir la densidad de carga so-bre las cargas en las dos placas de la figura 23.19. En el ejemplo 22.8(sección 22.4) se obtuvo la expresión E 5 s>P0 para el campo eléctricoE entre dos placas conductoras con densidades de carga superficiales1s y 2s. Al igualar esta expresión con E 5 Vab>d se obtiene lo si-guiente:
La densidad superficial de carga en la placa positiva es directamenteproporcional a la diferencia de potencial entre las placas, y su valor sse determina midiendo Vab. Esta técnica es útil porque no hay instru-mentos disponibles que lean directamente densidades superficiales decarga. En la placa negativa la densidad superficial de carga es 2s.
CUIDADO El “potencial cero” es arbitrario Quizá piense quesi un cuerpo conductor tiene un potencial igual a cero, necesariamentedebe tener también una carga neta de cero. ¡Pero no es así! Comoejemplo, la placa en y 5 0 en la figura 23.19 tiene un potencial de cero(V 5 0), pero tiene una carga por unidad de área, 2s, distinta de cero.Recuerde que no hay nada especial en la placa en que el potencial esigual a cero; este lugar se puede definir donde se desee. !
s 5P0 Vab
d
?
El resultado del ejemplo 23.8 también explica lo que sucede con un conductor concarga y cuyo radio de curvatura es muy pequeño, como un objeto afilado o un alam-bre fino. Como el potencial máximo es proporcional al radio, incluso potenciales relativamente pequeños aplicados a puntas agudas en el aire producen campos sufi-cientemente elevados inmediatamente afuera de las puntas para ionizar el aire que lasrodea y convertirlo en un buen conductor. La corriente resultante y el resplandor aso-ciado a ella (visible en un cuarto oscuro) se llama corona. Las impresoras láser y lasmáquinas de fotocopiado utilizan una corona de alambres muy finos para distribuircargas sobre el tambor que forma las imágenes (figura 21.2).
En situaciones en que es importante evitar que exista una corona, se usan conducto-res de radio grande. Ejemplo de esto es la esfera metálica en el extremo de las antenasde radio para automóviles, lo que evita que se presente la corona, la cual provocaría es-tática. Otro ejemplo es el extremo romo de los pararrayos metálicos (figura 23.18). Sihay un exceso de carga en la atmósfera, como ocurre durante las tormentas, en el ex-tremo romo se acumula una cantidad sustancial de carga del signo contrario. Como re-sultado, cuando la carga atmosférica se descarga a través de relámpagos, tiende a seratraída hacia el pararrayos y no hacia otras estructuras cercanas que podrían resultardañadas. (Un cable conductor que conecta el pararrayos con la tierra permite que lacarga adquirida se disipe en forma inofensiva.) Un pararrayos con extremo agudo per-mitiría que se acumulara menos carga y por ello sería menos eficaz.
23.18 El mástil metálico en la parte superior del edificio Empire State actúa como pararrayos. Es azotado por relámpagos hasta 500 veces al año.
12
Ej. Línea de carga infinita o cilindro conductor
El campo eléctrico a una distancia r de una línea recta de carga tiene la forma
Er =12πε0
λr
Por definición de la diferencia de potencial
Va −Vb =
E ⋅dl
a
b
∫ = Er dra
b
∫ = λ2πε0
drra
b
∫ = λ2πε0
ln rbra
Si se toma el punto b al infinito con potencial cero, Va =λ2πε0
ln∞ra= ∞
Este resultado es una consecuencia de una distribución de carga que se extiende al infinito; pero como la definición de V = 0 es arbitraria, escogimos que Vb = 0 a un punto r0 arbitraria; por lo tanto
V r( ) = λ2πε0
ln r0r
Para un cilindro, se puede tomar V = 0 a la superficie del cilindro y para r > R
V r( ) = λ2πε0
ln Rr
En el interior del cilindro, E = 0 y el potencial tiene el mismo valor (cero) que en
la superficie
23 .3 Cálculo del potencial eléctrico 797
Ejemplo 23.10 Una línea de carga infinita o un cilindro conductor con carga
Encuentre el potencial a la distancia r de una línea muy larga de cargacon densidad lineal de carga l (carga por unidad de longitud).
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Un enfoque para este problema consiste en dividir lalínea de carga en elementos infinitesimales, como se hizo en el ejemplo21.11 (sección 21.5), para determinar el campo eléctrico que produceesa línea. Después se puede integrar como en la ecuación (23.16) paradeterminar el potencial neto V. Sin embargo, en este caso el objetivo sesimplifica mucho porque ya se conoce el campo eléctrico.
PLANTEAR: Tanto en el ejemplo 21.11 como en el 22.6 (sección22.4), se encontró que el campo eléctrico a una distancia r de una línearecta y larga de carga (figura 23.20a) sólo tiene una componente radial,dada por
Esta expresión se utiliza para obtener el potencial por integración de , como en la ecuación (23.17).
EJECUTAR: Como el campo sólo tiene una componente radial, el pro-ducto escalar es igual a Erdr. Así, el potencial de cualquier pun-to a con respecto a cualquier otro punto b, a distancias radiales ra y rb
de la línea de carga, es
Si se toma el punto b en el infinito y se establece que Vb 5 0, se en-cuentra que Va es infinito:
Esto demuestra que si se trata de definir V como cero en el infinito, en-tonces V debe ser infinito a cualquier distancia infinita de la línea de carga. Ésta no es una manera útil de definir V para este problema.La dificultad estriba en que la distribución de carga en sí se extiende al infinito.
Para sortear la dificultad se debe recordar que V puede definirse como cero en cualquier punto que se desee. Se establece que Vb 5 0
Va 5l
2pP0 ln
`
ra5 `
Va 2 Vb 5 3b
a
ES # d l
S5 3b
a
Er
dr 5
l
2pP0 3 rb
ra
drr
5l
2pP0 ln
rb
ra
ES # d l
S
ES
Er 51
2pP0 l
ren el punto b a una distancia radial arbitraria r0. Así, el potencial V 5 Va en el punto a a una distancia radial r está dado por V 2 0 5
o bien,
EVALUAR: De acuerdo con el resultado, si l es positiva, entonces Vdisminuye conforme r aumenta. Es así como debería ser: V decrececonforme nos movemos en la dirección de
Del ejemplo 22.6, la expresión para Er con la que se comenzótambién se aplica fuera de un cilindro conductor largo con carga porunidad de longitud l (figura 23.20b). De esta forma, nuestro resulta-do también da el potencial para ese cilindro, pero sólo para valoresde r (la distancia desde el eje del cilindro) mayores o iguales que elradio R del cilindro. Si se elige que r0 sea el radio del cilindro R, demanera que V 5 0 cuando r 5 R, entonces en cualquier punto para elque r . R,
En el interior del cilindro, y V tiene el mismo valor (cero) queen la superficie del cilindro.
ES
5 0,
V 5l
2pP0 ln
Rr
ES
.
V 5l
2pP0 ln
r0
r
1l/2pP0 2 ln 1 r0 /r 2 ,
a)Er
r
b)
Er
Rr
+ + + + + + + + + + + + +
+ ++
++
++ + ++
+
+
+ + + +
+
+
23.20 Campo eléctrico afuera de a) un alambre largo con cargapositiva, y b) un cilindro largo con carga positiva.
Ejemplo 23.11 Anillo de carga
Una carga eléctrica está distribuida de manera uniforme alrededor deun anillo delgado de radio a con carga total Q (figura 23.21). Determi-ne el potencial en un punto P sobre el eje del anillo a una distancia xdel centro del anillo.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Del ejemplo 21.10 (sección 21.5), ya se conoce elcampo eléctrico en todos los puntos a lo largo del eje x, por lo que el problema se resuelve por integración de , como en la ecuación(23.17), para obtener V a lo largo de este eje. En forma alternativa, sepodría dividir el anillo en segmentos infinitesimales y usar la ecuación(23.16) para encontrar V.
PLANTEAR: La figura 23.21 muestra que es mucho más fácil encon-trar V en el eje empleando el enfoque de segmentos infinitesimales.
ES
r 5 !x 2 1 a 2a
O x P
Q
23.21 Toda la carga en un anillo con carga Q está a la misma distancia r de un punto P situado sobre el eje del anillo.
continúa
13
Superficies equipotenciales
Superficies equipotenciales = superficie en 3D sobre la cual el potencial eléctrico es igual en todos los puntos
• Cuando una partícula se mueve sobre una superficie equipotencial el campo eléctrico no hace trabajo
• Líneas de campo eléctrico y superficies equipotenciales son siempre perpendiculares (aceleración es cero sobre el equipotencial, que explica que el trabajo es cero)
Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siempre es una superficie equipotencial
• Cuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico justo afuera de un conductor debe ser perpendicular a la superficie en cada punto, si no un trabajo seré hecho por el campo (y habría una corriente)
23 .4 Superficies equipotenciales 799
23.23 Las curvas de nivel en un mapa topográfico son curvas de elevación constante, es decir, de energía potencialgravitacional constante.
las curvas de nivel en un mapa topográfico en realidad son curvas de energía poten-cial gravitacional constante. Las curvas de nivel están muy cerca unas de otras en lasregiones en las que el terreno está muy inclinado y hay grandes cambios en la eleva-ción en una distancia horizontal pequeña; en cambio, las curvas de nivel están muyseparadas en los sitios en que el terreno tiene poca pendiente. Una pelota que se suel-ta cuesta abajo experimentaría la mayor fuerza gravitatoria ahí donde las curvas denivel están muy cercanas entre sí.
Por analogía con las curvas de nivel en un mapa topográfico, una superficie equi-potencial es una superficie tridimensional sobre la que el potencial eléctrico V es elmismo en todos los puntos. Si una carga de prueba q0 se desplaza de un punto a otrosobre tal superficie, la energía potencial eléctrica q0V permanece constante. En unaregión en la que existe un campo eléctrico, es posible construir una superficie equipo-tencial a través de cualquier punto. Los diagramas por lo general muestran sólo algu-nas superficies equipotenciales representativas, a menudo con iguales diferencias depotencial entre superficies adyacentes. Ningún punto puede estar en dos potencialesdiferentes, por lo que las superficies equipotenciales para distintos potenciales nuncase tocan o intersecan.
Superficies equipotenciales y líneas de campoComo la energía potencial no cambia a medida que una carga de prueba se trasladasobre una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo sobre esa car-ga. De ello se deriva que debe ser perpendicular a la superficie en cada punto, demanera que la fuerza eléctrica siempre es perpendicular al desplazamiento de unacarga que se mueva sobre la superficie. Las líneas de campo y las superficies equi-potenciales siempre son perpendiculares entre sí. En general, las líneas de camposon curvas, y las equipotenciales son superficies curvas. Para el caso especial de uncampo uniforme, en el que las líneas de campo son rectas, paralelas y están igualmen-te espaciadas, las superficies equipotenciales son planos paralelos perpendiculares alas líneas de campo.
La figura 23.24 muestra tres configuraciones de cargas. Las líneas de campo en elplano de las cargas están representadas por líneas rojas, y las intersecciones de las su-perficies equipotenciales con este plano (es decir, las secciones transversales de estassuperficies) se indican con líneas azules. Las superficies equipotenciales reales sontridimensionales. En cada cruce de una línea equipotencial y una línea de campo, lasdos son perpendiculares.
En la figura 23.24 aparecen dibujadas superficies equipotenciales de manera que las diferencias de potencial entre superficies adyacentes sean iguales. En las regionesen que la magnitud de es grande, las superficies equipotenciales están cerca entre sí E
S
q0 ES
ES
+ ++ +–
V 5 170 VV 5 150 VV 5 130 VV 5 150 V
V 5 170 VV 5 270 VV 5 250 V
V 5 230 V
V 5 170 VV 5 150 V
V 5 130 VV 5 0 V
V 5 130 V
c) Dos cargas iguales positivas
Secciones transversales de superficies equipotencialesLíneas decampo eléctrico
b) Un dipolo eléctricoa) Una sola carga positiva
23.24 Secciones transversales de superficies equipotenciales (líneas azules) y líneas de campo eléctricas (líneas rojas) para arreglos decargas puntuales. Hay diferencias de potencial iguales entre superficies adyacentes. Compare estos diagramas con los de la figura 21.29,que sólo muestran líneas de campo eléctricas.
Tanque de agua
800 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico
porque el campo efectúa una cantidad relativamente grande de trabajo sobre una car-ga de prueba en un desplazamiento más bien pequeño. Éste es el caso cerca de la cargapuntual en la figura 23.24a o entre las dos cargas puntuales en la figura 23.24b; observeque en estas regiones las líneas de campo también están más próximas. Ésta es una ana-logía directa con la fuerza de la gravedad cuesta abajo, que es mayor en las regiones deun mapa topográfico donde las curvas de nivel están más cerca una de otra. A la inver-sa, en las zonas en que el campo es más débil, las superficies equipotenciales están másseparadas; en la figura 23.24a esto ocurre en radios mayores, a la izquierda de la carganegativa o a la derecha de la positiva en la figura 23.24b, y a distancias mayores de am-bas cargas en la figura 23.24c. (Tal vez parezca que dos superficies equipotenciales seintersecan en el centro de la figura 23.24c, violando la regla de que esto nunca puedesuceder. De hecho, se trata de una sola superficie equipotencial en forma de “8”.)
CUIDADO E no necesita ser constante sobre una superficie equipotencial En unasuperficie equipotencial dada, el potencial V tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin em-bargo, en general la magnitud del campo eléctrico E no es la misma en todos los puntos sobreuna superficie equipotencial. Por ejemplo, sobre la superficie equipotencial con la leyenda “V 5230 V” en la figura 23.24b, la magnitud E es menor a la izquierda de la carga negativa de loque es entre las dos cargas. En la superficie equipotencial con forma de “8” en la figura 23.24c,E 5 0 en el punto medio entre las dos cargas; en todos los demás puntos de esta superficie, E esdistinto de cero. !
Equipotenciales y conductoresEl siguiente es un enunciado importante acerca de las superficies equipotenciales:Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siemprees una superficie equipotencial. Como el campo eléctrico siempre es perpendicu-lar a una superficie equipotencial, el enunciado se puede demostrar si se prueba quecuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico justo afuera de unconductor debe ser perpendicular a la superficie en cada punto (figura 23.25). Sesabe que en todos los lugares del interior del conductor; de otro modo, las car-gas se moverían. En particular, en cualquier punto apenas dentro de la superficie, lacomponente de tangente a la superficie es cero. Se deduce que la componente tan-gencial de también es igual a cero inmediatamente afuera de la superficie. Si nofuera así, una carga podría recorrer una trayectoria rectangular parcialmente dentro yparcialmente fuera (figura 23.26) y volvería a su punto de partida con una cantidadneta de trabajo realizado sobre ella. Esto violaría la naturaleza conservativa de loscampos electrostáticos, por lo que la componente tangencial de justo fuera de la su-perficie debe ser igual a cero en todos los puntos de la superficie. Así, es perpendicu-lar a la superficie en cada punto, lo que prueba nuestra aseveración.
Por último, ahora es posible demostrar un teorema que se citó sin la prueba corres-pondiente en la sección 22.5. Es el siguiente: en una situación electrostática, si unconductor contiene una cavidad en cuyo interior no hay carga, entonces no puede ha-ber carga neta en ningún lugar de la superficie de la cavidad. Esto significa que si seestá dentro de una caja conductora con carga, se puede tocar con seguridad cualquierpunto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para probar este teo-rema, primero se demuestra que todos los puntos en la cavidad están al mismo poten-cial. En la figura 23.27, la superficie conductora A de la cavidad es una superficieequipotencial, como se acaba de demostrar. Suponga que el punto P en la cavidad es-tuviera a un potencial diferente; entonces se podría construir una superficie equipo-tencial B diferente que incluyera al punto P.
Ahora considere una superficie gaussiana, como se ilustra en la figura 23.27, entrelas dos superficies equipotenciales. En virtud de la relación entre y las equipoten-ciales, se sabe que el campo en cada punto entre las equipotenciales se dirige de Ahacia B, o bien, en todos los puntos se dirige de B hacia A, lo que depende de cuál superficie equipotencial esté a un potencial mayor. En cualquier caso, es evidente queel flujo a través de esta superficie gaussiana es diferente de cero. Pero la ley de Gaussafirma que la carga encerrada por la superficie gaussiana no puede ser cero. Esto con-tradice nuestra suposición inicial de que en la cavidad no hay carga. Por lo tanto, elpotencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad.
Entonces, toda la región de la cavidad debe estar al mismo potencial. Pero paraque esto sea verdadero, el campo eléctrico dentro de la cavidad debe ser igual a cero
ES
ES
ES
ES
ES
ES
5 0
ES
+++
+
++++
++
–
–
–
–
–
–
–
–
–SE
Secciones transversales de lassuperficies equipotenciales
23.25 Cuando las cargas están en reposo,una superficie conductora siempre es unasuperficie equipotencial. Las líneas decampo son perpendiculares a una superficie conductora.
Un campo eléctrico imposibleSi el campo eléctrico inmediatamente afuerade un conductor tuviera una componentetangencial E i, una carga podría moverse enuna espira con trabajo neto realizado.
Vacío
ConductorE 5 0
E' Ei
E
S
S
23.26 En todos los puntos de la superficiede un conductor, el campo eléctrico debeser perpendicular a la superficie. Si tuviera una componente tangencial, se realizaría una cantidad neta de trabajosobre una carga de prueba al moverla enuna espira como la que se ilustra, lo que es imposible porque la fuerza eléctrica esconservativa.
ES
Sección transversal de una superficieequipotencial a través de P
Superficie gaussiana (en sección transversal)
Superficiede la cavidad
A
Conductor
B
P
23.27 Cavidad en un conductor. Si la cavidad no contiene carga, todos los puntos de tal cavidad están al mismo potencial, el campo eléctrico es igual a cero en cualquier lugar de ella, y no haycarga en ningún lugar sobre su superficie.
14
En una situación electrostática:
• Si un conductor contiene una cavidad en cuyo interior donde no hay carga, entonces no puede haber carga neta en ningún lugar de la superficie de la cavidad
• Se puede tocar con seguridad cualquier punto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga
• Esto es porque todos los puntos en la cavidad están al mismo potencial
Demostración:
1) La superficie conductora A de la cavidad = superficie equipotencial 2) Suponga el punto P a un potencial diferente; sobre una superficie
equipotencial B diferente (incluyendo al punto P ) 3) Considere una superficie gaussiana entre A y B 4) En virtud de la relación entre
E y las equipotenciales, el campo en cada
punto entre las equipotenciales se dirige de A hacia B, o vice-‐versa (depende de cuál superficie esté a un potencial mayor)
5) El flujo a través de esta superficie gaussiana es diferente de cero 6) Pero la ley de Gauss afirma que la carga encerrada por la superficie
gaussiana no puede ser cero 7) Esto contradice la suposición inicial de que en la cavidad no hay carga 8) Por lo tanto, el potencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared
de la cavidad
800 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico
porque el campo efectúa una cantidad relativamente grande de trabajo sobre una car-ga de prueba en un desplazamiento más bien pequeño. Éste es el caso cerca de la cargapuntual en la figura 23.24a o entre las dos cargas puntuales en la figura 23.24b; observeque en estas regiones las líneas de campo también están más próximas. Ésta es una ana-logía directa con la fuerza de la gravedad cuesta abajo, que es mayor en las regiones deun mapa topográfico donde las curvas de nivel están más cerca una de otra. A la inver-sa, en las zonas en que el campo es más débil, las superficies equipotenciales están másseparadas; en la figura 23.24a esto ocurre en radios mayores, a la izquierda de la carganegativa o a la derecha de la positiva en la figura 23.24b, y a distancias mayores de am-bas cargas en la figura 23.24c. (Tal vez parezca que dos superficies equipotenciales seintersecan en el centro de la figura 23.24c, violando la regla de que esto nunca puedesuceder. De hecho, se trata de una sola superficie equipotencial en forma de “8”.)
CUIDADO E no necesita ser constante sobre una superficie equipotencial En unasuperficie equipotencial dada, el potencial V tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin em-bargo, en general la magnitud del campo eléctrico E no es la misma en todos los puntos sobreuna superficie equipotencial. Por ejemplo, sobre la superficie equipotencial con la leyenda “V 5230 V” en la figura 23.24b, la magnitud E es menor a la izquierda de la carga negativa de loque es entre las dos cargas. En la superficie equipotencial con forma de “8” en la figura 23.24c,E 5 0 en el punto medio entre las dos cargas; en todos los demás puntos de esta superficie, E esdistinto de cero. !
Equipotenciales y conductoresEl siguiente es un enunciado importante acerca de las superficies equipotenciales:Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siemprees una superficie equipotencial. Como el campo eléctrico siempre es perpendicu-lar a una superficie equipotencial, el enunciado se puede demostrar si se prueba quecuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico justo afuera de unconductor debe ser perpendicular a la superficie en cada punto (figura 23.25). Sesabe que en todos los lugares del interior del conductor; de otro modo, las car-gas se moverían. En particular, en cualquier punto apenas dentro de la superficie, lacomponente de tangente a la superficie es cero. Se deduce que la componente tan-gencial de también es igual a cero inmediatamente afuera de la superficie. Si nofuera así, una carga podría recorrer una trayectoria rectangular parcialmente dentro yparcialmente fuera (figura 23.26) y volvería a su punto de partida con una cantidadneta de trabajo realizado sobre ella. Esto violaría la naturaleza conservativa de loscampos electrostáticos, por lo que la componente tangencial de justo fuera de la su-perficie debe ser igual a cero en todos los puntos de la superficie. Así, es perpendicu-lar a la superficie en cada punto, lo que prueba nuestra aseveración.
Por último, ahora es posible demostrar un teorema que se citó sin la prueba corres-pondiente en la sección 22.5. Es el siguiente: en una situación electrostática, si unconductor contiene una cavidad en cuyo interior no hay carga, entonces no puede ha-ber carga neta en ningún lugar de la superficie de la cavidad. Esto significa que si seestá dentro de una caja conductora con carga, se puede tocar con seguridad cualquierpunto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para probar este teo-rema, primero se demuestra que todos los puntos en la cavidad están al mismo poten-cial. En la figura 23.27, la superficie conductora A de la cavidad es una superficieequipotencial, como se acaba de demostrar. Suponga que el punto P en la cavidad es-tuviera a un potencial diferente; entonces se podría construir una superficie equipo-tencial B diferente que incluyera al punto P.
Ahora considere una superficie gaussiana, como se ilustra en la figura 23.27, entrelas dos superficies equipotenciales. En virtud de la relación entre y las equipoten-ciales, se sabe que el campo en cada punto entre las equipotenciales se dirige de Ahacia B, o bien, en todos los puntos se dirige de B hacia A, lo que depende de cuál superficie equipotencial esté a un potencial mayor. En cualquier caso, es evidente queel flujo a través de esta superficie gaussiana es diferente de cero. Pero la ley de Gaussafirma que la carga encerrada por la superficie gaussiana no puede ser cero. Esto con-tradice nuestra suposición inicial de que en la cavidad no hay carga. Por lo tanto, elpotencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad.
Entonces, toda la región de la cavidad debe estar al mismo potencial. Pero paraque esto sea verdadero, el campo eléctrico dentro de la cavidad debe ser igual a cero
ES
ES
ES
ES
ES
ES
5 0
ES
+++
+
++++
++
–
–
–
–
–
–
–
–
–SE
Secciones transversales de lassuperficies equipotenciales
23.25 Cuando las cargas están en reposo,una superficie conductora siempre es unasuperficie equipotencial. Las líneas decampo son perpendiculares a una superficie conductora.
Un campo eléctrico imposibleSi el campo eléctrico inmediatamente afuerade un conductor tuviera una componentetangencial E i, una carga podría moverse enuna espira con trabajo neto realizado.
Vacío
ConductorE 5 0
E' Ei
E
S
S
23.26 En todos los puntos de la superficiede un conductor, el campo eléctrico debeser perpendicular a la superficie. Si tuviera una componente tangencial, se realizaría una cantidad neta de trabajosobre una carga de prueba al moverla enuna espira como la que se ilustra, lo que es imposible porque la fuerza eléctrica esconservativa.
ES
Sección transversal de una superficieequipotencial a través de P
Superficie gaussiana (en sección transversal)
Superficiede la cavidad
A
Conductor
B
P
23.27 Cavidad en un conductor. Si la cavidad no contiene carga, todos los puntos de tal cavidad están al mismo potencial, el campo eléctrico es igual a cero en cualquier lugar de ella, y no haycarga en ningún lugar sobre su superficie.
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Gradiente de potencial y campo eléctrico
Por definición del trabajo:
(3.30) Va −Vb =
E ⋅dl
a
b
∫
Si V →V x, y, z( ) una función escalar, entonces:
(3.31) Va −Vb = dVb
a
∫ = − dVa
b
∫
Donde dV (una diferencial total) es el cambio infinitesimal de potencial que acompaña d
l
(3.32) − dV
a
b
∫ =E ⋅dl
a
b
∫
Por lo tanto: (3.33) −dV =
E ⋅dl
En componentes cartesianas:
(3.34) E ⋅dl = Exdx + Eydy + Ezdz
y por definición de la diferencial total:
(3.35) −dV = − ∂V∂x
dx − ∂V∂y
dy − ∂V∂z
dz
De manera que identificamos que:
(3.36) Ex = − ∂V∂x,Ey = − ∂V
∂y,Ez = − ∂V
∂z
En forma vectorial:
(3.37)
E = − ∂V
∂xi + ∂V
∂yj + ∂V
∂zk⎡
⎣⎢⎤⎦⎥= −∇V
El campo eléctrico es el gradiente del potencial eléctrico Por definición, entonces, en cada punto la dirección de
E es aquella en la que V
disminuye con más rapidez • Esto es ⊥ a la superficie de equipotencial que pasa por el punto
16
Ej. Campo de una carga puntual
El potencial de una carga puntual es V = 14πε0
qr donde r = x2 + y2 + z2
Aplicando la definición
E = − ∂V
∂xi + ∂V
∂yj + ∂V
∂zk⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
Derivamos por x, ∂V∂x
= ∂∂x
14πε0
qx2 + y2 + z2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = − 1
4πε0qx
x2 + y2 + z2( )3 2= − qx
4πε0r3
De la misma manera, encontramos que:
∂V∂y
= − qy4πε0r
3 y ∂V∂z
= − qz4πε0r
3
Por definición entonces:
E = − ∂V
∂xi + ∂V
∂yj + ∂V
∂zk⎡
⎣⎢⎤⎦⎥=
= − − qx4πε0r
3 i −qy
4πε0r3 j −
qz4πε0r
3 k⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
= q4πε0r
2xi + yj + zk
r⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= q
4πε0r2 r