UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES

MÉTODOS MATEMÁTICOS

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PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIALCAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS

CURVILÍNEAS ORTOGONALES.LECCIÓN OCHO.

Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales.

Una de las principales ventajas de expresar una ecuación que gobierna determinado fenómeno, en términos del gradiente, la divergencia, el rotacional o el laplaciano, es que un cambio en el sistema de coordenadas no modifica la forma de la ecuación en cuestión. Por ejemplo, en un sistema cartesiano una ley dada se expresa porla ecuación, , esta ecuación será invariante para cualquier sistema de coordenadas sea cartesiano o curvilíneo. Lo que puede cambiar es la forma de la expresión de

0)q(div ��

)q(div�

. Así, es de mucha importancia elconocimiento de las ecuaciones que expresan el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano ensistemas de coordenadas curvilíneas. De ecuaciones ya vistas en el curso se puede obtener:

* Para el gradiente de una función escalar ),,( 321 ������ :

1,2,3ii,ensumaha

ii

i �����

����

Donde el componente i de es:)(grad �

iensumaesnoh1)(

iii ��

�����

*Para la divergencia de una función vectorial ),,(VV 321 ������

:

��

�

���

�

���

��

��

��

����

���

��3

i21

2

i31

1

i32

321i

ii321

321

)Vhh()Vhh()Vhh(hhh

1hVhhh

hhh1V

�

* Para el rotacional de una función vectorial ),,(VV 321 ������

:

� � 3.a1dek yji,ensuma)Vh(

hahhh

1Vj

kkijkii

321 ���

������

O escribiendo solamente el componente i del rotacional:

� � iensumanopero3,a1dek yjensuma)Vh(

hhhh

1Vj

kkijki

321i ��

�����

�

* Para el operador laplaciano:

���

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����

����

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���

����

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���

����

����

����

���

��

���

����

�

���

���

������

33

21

322

31

211

32

1321

2

i2i

321

i321

2

hhh

hhh

hhh

hhh1

3a1deiensumah

hhhhhh

1