Download - Calculo proposicional saia asig1
Aljallady QuinteroC.I.: 18.071.791
Prof.: Domingo MéndezSAIA B
CALCULO PROPOSICIONAL
Universidad Fermín ToroFacultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
PROPOSICIONES
• Ejem.: El hidrogeno es un gas.
Verdadero
(1)
• Ejem.: Todo estudiante es Universitario.
Falso
(0)
Las Proposiciones
tienen un único valor lógico
OPERACIONES VERITATIVAS
Los conectivos u operadores lógicos son símbolos que permiten enlazar o conectar proposiciones lógicas.
Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos se dice que es una proposición atómica o simple; si una proposición reúne a mas de una proposición simple o atómica, se dice que es una proposición compuesta o molecular.
Para formar una proposición compuesta o molecular se hace necesario emplear un elemento de enlace entre las proposiciones simples o atómicas, a los cuales se les denomina conectivos lógicos.
p: maría es doctora Proposición Simple
Juan es maestro y carolina es arquitecto Proposición Compuesta
p q
Ejem.:
TABLA DE CONECTIVOS
Operación Símbolo Significado
Negación ~ No, no es el caso que
Conjunción ᴧ Y
Disyunción ᴠ O
Disyunción Exclusiva V O….. O
Condicional Si… entonces
Bicondicional Si y sólo si
CONECTIVOS LOGICOS
La Negación:
Es un conectivo que niega el valor de una proposición o en su defecto, devuelve el valor contrario de la misma.
~p, que se lee “no p”, “no es cierto que p”, “es falso que p”
La Conjunción:
p ~p
1 0
0 1
Este conectivo se lee “Y”, el cual une dos proposiciones y entrega un valor verdadero solo en el caso que ambas tengan valor verdadero.
p ᴧ q se lee, “p y q”
p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
La Disyunción Inclusiva:
La Disyunción Exclusiva:
Significa “o” y une dos proposiciones. Su resultado es un valor verdadero siempre y cuando al menos una de ellas tenga valor verdadero
p ᴠ q se lee, “p o q”
p q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Significa “o una u otra” une dos proposiciones y resulta en un valor verdadero cuando los valores de las mismas son diferentes entre si.
p V q se lee, “o p o q”
p q (pVq)
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Condicional:
Este conectivo se lee “Si .., entonces …”, y une dos proposiciones, cuyo resultado solo es falso cuando p es verdadero y q es falso.
p q se lee, “si p, entonces q”
En el condicional p es antecedente y q consecuente. El antecedente es la condición suficiente y el consecuente la condición necesaria.
p q (p q)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Condicionales Asociados
1. Directo: p q2. Recíproco: q p3. Contrarrecíproco: ~ q ~ p4. Contrario: ~ p ~ q
Bicondicional:
La proposición p q se lee “p si sólo si q” o “p es condición necesaria y suficiente para q” y su resultado es verdadero cuando los valores de las mismas son iguales.
p q se lee, “p si sólo si q”
p q (p q)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Formas Proposicionales
Se llama así a las nuevas expresiones que resultan de unir las variables proposicionales a través de los conectivos lógicos: se puede decir que las variables proposicionales también son formas proposicionales.
TABLA DE VERDAD
Determinan el valor de verdad de una proposición compuesta, analizando sus proposiciones simples relacionadas con los conectivos lógicos. La combinación de valores de verdad depende del numero de proposiciones dadas.
Para n proposiciones se tiene combinaciones
p q pVq p q p q ~p
1 1 1 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 1
TAUTOLOGIA
Proposición molecular que es verdadera sin importar los valores de sus variables proposicionales.
CONTRADICCION
Proposición molecular que es falsa independientemente de los valores de sus variables proposicionales.
p ~p
1 0 1
0 1 1
p ~p
1 0 0
0 1 0
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes Idempotentes:
p ᴠ p ≡ pp ᴧ p ≡ p
Leyes Conmutativas:
p ᴠ p ≡ q ᴠ pp ᴧ p ≡ q ᴧ p
Leyes de Identidad:
p ᴠ F ≡ pp ᴧ F ≡ Fp ᴠ V ≡ Vp ᴧ V ≡ p
Leyes Asociativas:
Leyes Distributivas:
Leyes de Complementación:
(p ᴠ q) ᴠ r ≡ p ᴠ p (q ᴠ r)(p ᴧ q) ᴧ r ≡ p ᴧ p (q ᴧ r)
p ᴠ (q ᴧ r) ≡ (p ᴠ q) ᴧ (q ᴠ r)p ᴧ (q ᴠ r ) ≡ (p ᴧ q) ᴠ (p ᴧ r)
p ᴠ ~ p ≡ V (tercio excluido)p ᴧ ~ p ≡ F (contradicción)~ ~ p ≡ p (doble negación)~ V ≡ F, ~ F ≡ V
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes de Morgan:
~ (p ᴠ q ) ≡ ~ p ᴧ ~ q~ (p ᴧ q) ≡ ~ p ᴠ ~ q
Otras Equivalencias Notables:
p →q ≡ ~ p ᴠ q (Ley del Condicional)p ↔ q ≡ (p →q) ᴧ (q →p) (Ley del Bicondicional)p ᴠ q ≡ (p ᴧ ~ q) ᴠ (q ᴧ ~ p) (Ley de Disyunción Exclusiva)p →q ≡ ~ q → ~ p (Ley del Contrarrecíproco)p ᴧ q ≡ ~ (~ p ᴠ ~ q)((p ᴠ q) →r) ≡ (p →r) ᴧ (q →r) (Ley de Demostración por casos)(p →q) ≡ (p ᴧ ~ q →F) (Ley de Reducción al Absurdo)
INFERENCIA
Modus Ponendo Ponens (MPP)
p →q
Modus Tollendo
Tollens (MTT)
p →q
Silogismo Hipotético (S.H)
p →q
Ley de Simplificación
ó
Silogismo Disyuntivo (S.D) ó (Modus Tollendo
Ponens (MTP))
p ᴠ q ó p ᴠ q
INFERENCIA
Ley de Adición
Ó
Ley de Conjunción
p