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Resumen cálculo III (certamen 2)
Gráficos en
Esfera: Si el centro es y su radio es r, entonces su ecuación es
Cilindro: Si su eje de simetría es paralelo al eje Z
Si su eje de simetría es paralelo al eje Y
Si su eje de simetría es paralelo al eje X
Si (respectivamente) la base del cilindro será una circunferencia en caso
contrario será una elipse.
Cono: Eje de simetría paralelo al eje Z
Eje de simetría paralelo al eje Y
Eje de simetría paralelo al eje X
Si (respectivamente) la base del cilindro será una circunferencia en caso
contrario será una elipse.
Paraboloide elíptico: Eje de simetría paralelo al eje Z
Cambio de variable
Fórmula del cambio de variables:
Bajo las condiciones de que la transformación
sea de clase y tal que el Jacobiano de T no se anule.
Coordenadas polares:
donde
Coordenadas cilíndricas:
donde
Coordenadas esféricas:
donde
Curvas en
Propiedades importantes de curvas:
a) La curva es simple cuando es inyectiva en el intervalo O sea, la
curva no se corta a sí misma.
b) la curva es cerrada cuando .
c) una curva simple y cerrada se denomina curva de Jordan.
d) dada una curva parametrizada por , la función ,
parametriza una curva que recorriendo el mismo conjunto
tiene punto inicial y punto terminal . Se denomina curva opuesta a y se
denota .
Definición Dada una curva parametrizada por de clase , su longitud se
define por
Integrales de línea
Definición (integral de trayectoria) Sea una curva parametrizada por de clase
y un campo escalar continuo en un abierto A que contiene a la curva C. La
integral de f a lo largo de C es
Definición (integral de línea) Sea una curva parametrizada por de clase y
un campo vectorial continuo en un abierto A que contiene a la curva C. La
integral de F a lo largo de C es
En forma diferencial:
Un caso particular de una integral de línea es el trabajo
Al tener un campo de vectores para el cual existe un campo escalar f tal que
se dice que es un campo gradiente y que es el potencial del campo vectorial .
Teorema
En el caso que sea una curva cerrada, esto es , se tiene que
Esta característica de un campo vectorial define a los llamados campos conservativos.
Integrales de línea sobre curvas con orientaciones opuestas
Sea la misma curva que , pero con la orientación opuesta. Entonces
Integrales de campos escalares sobre curvas con orientaciones opuestas
Sea la misma curva que , pero con la orientación opuesta. Entonces
Integrales de línea sobre curvas formadas por varias componentes
Una curva cerrada simple , tiene 2 orientaciones:
i. positiva: anti horario, se denota por .
ii. negativa: horario, se denota por .
Teorema de Green en el plano
Teorema Sea una curva en el plano, simple y cerrada con orientación positiva, y D la región
interior a C. Si es de clase en un abierto que contiene a D,
entonces
Teorema (segunda versión del teorema de Green) Sean una curva en el plano, simple y
cerrada con orientación positiva, una curva simple y cerrada con orientación negativa, con
en el interior de C y D la región interior a C y exterior a . Si
es de clase en un abierto que contiene a D, entonces
Superficies en
Supongamos que es una superficie parametrizada.
De la parametrización se obtienen los vectores
que son tangentes a la superficie en el punto . Estos vectores definen
el cual es perpendicular a la superficie.
Integrales de superficie
En las dos definiciones posteriores es una superficie suave parametrizada por
de clase .
Definición (integral de superficie para un campo escalar) Para un campo escalar f continuo en
un abierto que contiene a S
Para el caso particular que el campo escalar es constante e igual a 1 resulta
Definición (orientabilidad) La superficie suave S es orientable cuando existe un campo de
vectores unitarios normales a la superficie,
Intuitivamente, una superficie es orientable cuando tiene dos caras.
Definición (integral de superficie para un campo vectorial) (flujo) Dado un campo de vectores
continuo sobre la superficie S orientada por , la integral de sobre la superficie S es
Ésta última fórmula considera la normal al exterior.
Divergencia y rotacional de un campo vectorial
Definición (rotor) Sea diferenciable con . El rotacional o rotor de
, considerando el operador , es
Se dice que es irrotacional cuando .
Definición (divergencia) Sea un campo vectorial diferenciable. La divergencia
de es
Teorema de Gauss (divergencia)
Teorema Sea una región del espacio acotada por la superficie suave cerrada , orientada
exteriormente y un campo vectorial suave en un abierto que contiene a . Se tiene
entonces
Teorema de Stokes
En el enunciado del teorema de Stokes se considera una superficie S suave, orientada y con
borde .
Teorema Si es un campo de clase en un abierto que contiene a , entonces
Campos conservativos
Teorema Sea un campo de clase en , salvo quizás en un número finito de puntos. Son
equivalentes:
a) curva de Jordan:
b) curvas suaves con igual origen y extremo:
c)
d)
Cuando el campo satisface una de las cuatro condiciones (y por lo tanto todas ellas) se
denomina conservativo.
Teorema: Si es un campo vectorial conservativo y de clase en un abierto A
de , entonces
para todo
a) Para n=2 y la condición (*) se escribe
b) Para n=3 y la condición (*) se expresa por las tres igualdades:
Parametrizaciones
Recta: Dados dos puntos
Elipse: con
Circunferencia: con
Si C es la gráfica de una ecuación para , entonces C tiene ecuaciones
paramétricas