13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 1/8ClculodiferencialDeWikipedia,laenciclopedialibreElclculodiferencialesunapartedelanlisismatemticoqueconsisteenelestudiodecmocambianlasfuncionescuandosusvariablescambian.Elprincipalobjetodeestudioenelclculodiferencialesladerivada.Unanocinestrechamenterelacionadaesladediferencialdeunafuncin.El estudio del cambio de una funcin es de especial inters para el clculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables esinfinitesimal,estoes,cuandodichocambiotiendeacero(sehacetanpequeocomosedesee).Yesqueelclculodiferencialseapoyaconstantementeen el concepto bsico del lmite. El paso al lmite es la principal herramienta que permite desarrollar la teora del clculo diferencial y la que lodiferenciaclaramentedellgebra.Desdeelpuntodevistamatemticodelasfuncionesylageometra,laderivadadeunafuncinenunciertopuntoesunamedidadelatasaenlacualunafuncincambiaconformeunargumentosemodifica.Estoes,unaderivadainvolucra,entrminosmatemticos,unatasadecambio.Unaderivadaeselclculodelaspendientesinstantneasde encadapunto .Estosecorrespondealaspendientesdelastangentesdelagrficadedichafuncinensuspuntos(unatangenteporpunto)Lasderivadaspuedenserutilizadasparaconocerlaconcavidaddeunafuncin,susintervalosdecrecimiento,susmximosymnimos.Lainversadeunaderivadasellamaprimitiva,antiderivadaointegralindefinida.ndice1Diferenciacinydiferenciabilidad1.1Nocindederivada1.2Elcocientediferencialalternativo1.3Funcionesdevariasvariables2Historia3Aplicacionesimportantesdelclculodiferencial3.1Rectatangenteaunafuncinenunpunto3.2Usodelasderivadaspararealizargrficosdefunciones3.3AproximacinlocaldeTaylor3.4Clculodepuntos3.4.1Puntossingulares3.4.2Puntoscrticos4Generalizacindelclculodiferencial13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 2/8Rectasecanteentrelospuntosf(x+h)yf(x).4Generalizacindelclculodiferencial5Vasetambin6Referencias7Enlacesexternos7.1VideotutorialesDiferenciacinydiferenciabilidadUnafuncindeunavariableesdiferenciableenunpunto sisuderivadaexisteenesepuntounafuncinesdiferenciableenunintervalosiloesencadapunto pertenecientealintervalo.Siunafuncinnoescontinuaenc,entoncesnopuedeserdiferenciableencsinembargo,aunqueunafuncinseacontinuaenc,puedenoserdiferenciable.Esdecir,todafuncindiferenciableenunpuntocescontinuaenc,peronotodafuncincontinuaencesdiferenciableenc(comof(x)=|x|escontinuaperonodiferenciableenx=0).NocindederivadaLasderivadassedefinentomandoellmitedelapendientedelasrectassecantesconformesevanaproximandoalarectatangente.Esdifcilhallardirectamentelapendientedelarectatangentedeunafuncinporquesloconocemosunpuntodesta, el punto donde ha de ser tangente a la funcin. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectassecantes.Cuandotomemosellmitedelaspendientesdelassecantesprximas,obtendremoslapendientedelarectatangente.Paraobtenerestaspendientes,tomemosunnmeroarbitrariamentepequeoquellamaremosh.hrepresentaunapequea variacin en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntosy esEsta expresin es un cocientediferencial de Newton. La derivadadefen x es el lmite del valor del cocientediferencialconformelaslneassecantesseacercanmsalatangente:13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 3/8Siladerivadadefexisteencadapuntox,podemosdefinirladerivadadefcomolafuncincuyovalorenelpuntoxesladerivadadefenx.Puestoquelainmediatasustitucindehpor0dacomoresultadounadivisinporcero,calcularladerivadadirectamentepuedeserpocointuitivo.Unatcnicaessimplificarelnumeradordemodoquelahdeldenominadorpuedasercancelada.Estoresultamuysencilloconfuncionespolinmicas,peroparalamayoradelasfuncionesresultademasiadocomplicado.Afortunadamente,hayreglasgeneralesquefacilitanladiferenciacindelamayoradelasfuncionesdescritas.ElcocientediferencialalternativoLaderivadadef(x)(talcomoladefiniNewton)sedescribicomoellmite,conformehseaproximaacero.UnaexplicacinalternativadeladerivadapuedeserinterpretadaapartirdelcocientedeNewton.Siseutilizalafrmulaanterior,laderivadaencesigualallmiteconformehseaproximaacerode[f(c+h)f(c)]/h.Sisedejaqueh=xc(porendec+h=x),entoncesxseaproximaac(conformehtiendeacero).As,laderivadaesigualallmiteconformexseaproximaac,de[f(x)f(c)]/(xc).Estadefinicinseutilizaparaunademostracinparcialdelaregladelacadena.FuncionesdevariasvariablesPara funciones de varias variables las condiciones de diferenciabilidad son ms estrictas y requieren ms condiciones a parte de laexistenciadederivadasparciales.Enconcretoserequierelaexistenciadeunaaproximacinlinealalafuncinenelentornodeunpunto.Dadaunabasevectorialestaaproximacinlinealvienedadaporlamatrizjacobiana:HistoriaLos problemas tpicos que dieron origen al clculoinfinitesimal, comenzaron a plantearse en la poca clsica de la antiguaGrecia (siglo III a.c), conconceptos de tipo geomtrico como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron mtodos sistemticos deresolucinhastaelsigloXVIIporlaobradeIsaacNewtonyGottfriedLeibniz.13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 4/8Ellossintetizarondosconceptosymtodosusadosporsuspredecesoresenloquehoyllamamosdiferenciacineintegracin.Desarrollaronreglasparamanipularlasderivadas(reglasdederivacin)ymostraronqueambosconceptoseraninversos(teoremafundamentaldelclculo).Desde el siglo XVII, muchos matemticos han contribuido al clculo diferencial. En el siglo XIX, el clculo tom un estilo ms riguroso, debido amatemticoscomoAugustinLouisCauchy(17891857),BernhardRiemann (18261866), y KarlWeierstrass (18151897). Fue tambin durante esteperiodoqueelclculodiferencialfuegeneralizadoalespacioeucldeoyelplanocomplejo.AplicacionesimportantesdelclculodiferencialRectatangenteaunafuncinenunpuntoLarectatangenteaunafuncinf(x)escomosehavistoellmitedelasrectassecantescuandounodelospuntosdecortedelasecanteconlafuncinsehace tender hacia el otro punto de corte. Tambin puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximacin lineal a la funcin en su punto detangencia,estoes,larectatangenteeslafuncinpolinmicadeprimergradoquemejoraproximaalafuncinlocalmenteenelpuntodetangenciaqueconsideremos.SiconocemoslaecuacindelarectatangenteTa(x)alafuncinf(x)enelpuntoapodemostomarTa(x)comounaaproximacinrazonablementebuenadef(x)enlasproximidadesdelpuntoa.Estoquieredecirquesitomamosunpuntoa+hyloevaluamostantoenlafuncincomoenlarectatangente,ladiferencia serdespreciablefrenteahenvalorabsolutosihtiendeacero.Cuantomscercaestemosdelpuntoatantomsprecisasernuestraaproximacindef(x).Paraunafuncinf(x)derivablelocalmenteenelpuntoa,larectatangenteaf(x)porelpuntoaes:Ta(x)=f(a)+f'(a)(xa).UsodelasderivadaspararealizargrficosdefuncionesLasderivadassonunatilherramientaparaexaminarlasgrficasdefunciones.Enparticular,lospuntosenelinteriordeundominiodeunafuncindevalores reales que llevan a dicha funcin a un extremo local tendrn una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos crticos sonextremos locales. Por ejemplo, f(x)=x tiene un punto crtico en x=0, pero en ese punto no hay un mximo ni un mnimo. El criterio de la primeraderivadayelcriteriodelasegundaderivadapermitendeterminarsilospuntoscrticossonmximos,mnimosoninguno.Enelcasodedominiosmultidimensionales,lafuncintendrunaderivadaparcialdeceroconrespectoacadadimensinenunextremolocal.Enestecaso,lapruebadelasegundaderivadasepuedeseguirutilizandoparacaracterizaralospuntoscrticos,considerandoeleigenvalordelamatrizHessianadelassegundasderivadasparcialesdelafuncinenelpuntocrtico.Sitodosloseigenvaloressonpositivos,entonceselpuntoesunmnimolocalsi13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 5/8todossonnegativosesunmximolocal.Sihayalgunoseigenvalorespositivosyalgunosnegativos,entonceselpuntocrticoesunpuntosilla,ysinosecumpleningunodeestoscasos,lapruebaesnoconcluyente(e.g.,losengeivaloresson0y3).Unavezqueseencuentranlosextremoslocales,esmuchomsfcilhacersedeunaburdaideadelagrficageneraldelafuncin,yaque(enelcasodeldominio mono dimensional) se incrementar o decrementar uniformemente excepto en los puntos crticos, y por ello (suponiendo su continuidad)tendrvaloresintermediosentrelosvaloresenlospuntoscrticosdecadalado.AproximacinlocaldeTaylorHemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una funcin derivable localmente en un punto. Si se cumple que la funcin essuficientementesuaveenelpuntoodominiodeestudio(estoes,lafuncinesdeclase )sepuedeaproximarlafuncinnoporpolinomiosdegradouno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximacin recibe el nombre de desarrollo polinmico de Taylor y sedefinedelasiguientemanera:DondeP(x)eselpolinomiodegradonquemejoraproximaalafuncinenelpuntox=a.NtesequesievaluamosP(x)enx=atodoslostrminossalvoelf(a)seanulan,luegoP(a)=f(a).Ntesetambinquelaecuacindelarectatangentedelapartadoanteriorcorrespondealcasoenelquen=1.Cuandoa=0eldesarrollosedenominadesarrollodeMacLaurin.EnlaprcticalamayoradelasvecesseempleandesarrollosdeMacLaurin.EjemplosdedesarrollosimportantesdeMacLaurinson:Ntese el smbolo que denota aproximacin que no igualdad. Si la funcin a aproximar es infinitamente derivable ( ) y agregamos infinitostrminosaldesarrolloentoncesel seconvierteenun yeldesarrolloanteriorseconvierteenunaseriedeTaylor.LasfuncionesquesonigualasuseriedeTaylorsedenominanfuncionesanalticas.13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 6/8ClculodepuntosPuntossingularesSedenominanpuntossingularesestacionariosalosvaloresdelavariableenlosqueseanulaladerivadaf'(x)deunafuncinf(x),esdecir,sif(x)=0enx1,x2,x3,...,xn,entoncesx1,x2,x3,...,xnsonpuntossingularesdef(x).Losvaloresf(x1),f(x2),f(x3),...,f(xn),sellamanvaloressingulares.PuntoscrticosPorpuntocrticoseentiende:unpuntosingular,unpuntodondenoexistaladerivadaounpuntoextremoaobdeldominio[a,b]dedefinicindelafuncin.Silasegundaderivadaespositivaenunpuntocrtico,sedicequeelpuntoesunmnimolocalsiesnegativa,sedicequeelpuntoesunmximolocalsivalecero,puedesertantounmnimo,comounmximoounpuntodeinflexin.Derivaryresolverenlospuntoscrticosesamenudounaformasimplede encontrar mximos y mnimos locales, que pueden ser empleados en optimizacin. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichosproblemasGeneralizacindelclculodiferencialCuando una funcin depende de ms de una variable, se utiliza el concepto de derivada parcial. Las derivadas parciales se pueden pensarinformalmentecomotomarladerivadadeunafuncinconrespectoaunadeellas,manteniendolasdemsvariablesconstantes.Lasderivadasparcialesserepresentancomo (endonde esuna'd'redondeadaconocidacomo'smbolodeladerivadaparcial').Elconceptodederivadapuedeserextendidodeformamsgeneral.Elhilocomnesqueladerivadaenunpuntosirvecomounaaproximacinlinealala funcin en dicho punto. Quiz la situacin ms natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades. La derivada en un cierto puntoentoncesseconvierteenunatransformacinlinealentreloscorrespondientesespaciostangentesyladerivadadelafuncinseconvierteenunmapeoentrelosgrupostangentes.Paradiferenciartodaslasfuncionescontinuasymuchoms,sepuededefinirelconceptodedistribucin.Paralasfuncionescomplejasdeunavariablecompleja,ladiferenciabilidadesunacondicinmuchomsfuertequelasimpleparterealeimaginariadelafuncindiferenciadaconrespectoalaparterealeimaginariadelargumento.Porejemplo,lafuncin satisfacelosegundo,peronoloprimero.VeatambinFuncinholomrfica.13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 7/8Veatambin:diferintegral.Dadaslasfunciones,devalorreal,yambascondominio,elproblemaconsisteenhallarlosvaloresmximosomnimos(valoresextremos)decuandoserestringeatomarvaloresenelconjunto.VasetambinDerivadaDerivadaparcialTabladederivadasIntegralDiferencial(matemticas)AnlisisReferenciasCalculusofaSingleVariable:EarlyTranscendentalFunctions(3aedicin)porBruceHEdwards,RobertP.Hostetler,yRonLarson(2003).Calculus(2aedicin)porMichaelSpivak.CalculusEarlyTrascendentals(6aedicin)porJamesStewart.PrincipiosdeAnlisisMatemticoporEnriqueLinsEscardo.EnlacesexternosWikiversidadalbergaproyectosdeaprendizajesobreClculodiferencial.Wikilibrosalbergaunlibroomanualsobreclculodiferencial.Librodeclculodiferencialeintegral(http://forja.rediris.es/frs/download.php/1924/CAL20_1.pdf)(bajolicencialibreCreativeCommons)WIMSCalculadordefunciones(http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en)haceelclculodederivadasenlneaClculo Diferencial e Integral en una Variable (http://www.ciencias.epn.edu.ec/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=91)(librogratuito)Videotutoriales13/8/2015 ClculodiferencialWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial 8/8Derivacin con lmites (http://www.apoyodidactico.com/calculodiferencial/derivadadeunafuncion/derivadasconlimites/derivacionconlimitesejemplo01.html)Ecuacin de la recta tangente en un punto dado (http://www.apoyodidactico.com/calculodiferencial/derivadadeunafuncion/ecuaciondelarectatangente/ecuaciondelarectatangenteenunpuntodadoejemplo01.html)Derivadas con formulas (http://www.apoyodidactico.com/calculodiferencial/derivadadeunafuncion/derivadasconformulas/derivadasconformulasejemplo01.html)Aplicaciones de la derivada (http://www.apoyodidactico.com/calculodiferencial/aplicacionesdeladerivada/aplicacionesdeladerivadaejemplo01.html)Obtenidodehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Clculo_diferencial&oldid=83699248Categora: ClculodiferencialEstapginafuemodificadaporltimavezel10jul2015alas13:28.EltextoestdisponiblebajolaLicenciaCreativeCommonsAtribucinCompartirIgual3.0podranseraplicablesclusulasadicionales.Lanselostrminosdeusoparamsinformacin.WikipediaesunamarcaregistradadelaFundacinWikimedia,Inc.,unaorganizacinsinnimodelucro.