Download - Calculo Dif. e Int
![Page 1: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/1.jpg)
Calculo Diferencial e Integral
UNIVERSIDAD POLITECNICA DE TECAMAC
M. en C. en I. I. e Ing. Físico Adrián Hernández Omaña
![Page 2: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/2.jpg)
Temario
Matemáticas I
Programa: UNIDAD I Funciones, Límites y Continuidad 1.1 Tipo de Funciones 1.2 Concepto de Límite 1.3 Teoremas y Operaciones con Límites 1.4 Concepto de Continuidad de una función 1.5 Asíntotas Verticales y Horizontales.
![Page 3: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/3.jpg)
Temario
Matemáticas I
Programa: UNIDAD II
Derivación 2.1 Concepto de Derivada 2.2 Método de los cuatro pasos 2.3 Formulas y reglas para derivar 2.4 Derivadas de las funciones algebraicas y
trascendentes 2.5 Aplicación de la Derivada
![Page 4: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/4.jpg)
Temario
Matemáticas I
Programa: UNIDAD III
Integración 3.1 Concepto de la Integral 3.2 Sumas de Riemman 3.3 Reglas para la Integración 3.4 Métodos para Integrar
![Page 5: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/5.jpg)
Temario
Matemáticas I
Programa: UNIDAD IV Aplicaciones Básicas del Calculo
4.1 Diferenciales 4.2 Criterios de la Derivada 4.3 Máximos y Mínimos 4.4 Calculo de áreas 4.5 Calculo de Volúmenes 4.6 Calculo de solidos de Revolución 4.7 Integrales Múltiples
![Page 6: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/6.jpg)
Temario
Matemáticas I
Bibliografía
Stewart J. Calculo Diferencial e Integral Editorial
Thomson Ed. 2006. Larson, R. Hostetler Calculo Editorial Mc. Graw Hill
Interamericana Octava Edición Ayres F. Mendelson Calculo Editorial Mc. Grawn Hill Ed.
2000.
![Page 7: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/7.jpg)
Meta y objetivo
Que el alumno desarrolle las capacidades y habilidades necesarias para aplicar el cálculo, como una herramienta matemática, para solucionar problemas prácticos reales de ingeniería.
![Page 8: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Algebra de Matrices
1.1 Matrices1.2 Matrices especiales1.3 Operaciones con matrices1.4 Matrices por bloques
![Page 9: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/15.jpg)
Matrices por bloques
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
b11 b12
b21 b22
b31 b32
b41 b42
![Page 16: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/16.jpg)
Matrices por bloques
A11 A12
A21 A22
B11
B21
A11B11+A12B21
A21B11+A22B21
![Page 17: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/17.jpg)
En este momento…
Ya sabemos operar con matrices
![Page 18: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/18.jpg)
2. Sistemas de Ecuaciones
2.1 Algoritmo de Gauss2.2 Algoritmo de Gauss-Jordan2.3 Existencia de soluciones
2.4 Operaciones elementales por filas y matrices elementales
2.5 Factorización LU2.6 Geometría de ecuaciones lineales
![Page 19: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/19.jpg)
Sistema de ecuaciones lineales
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
.
.
.
an1x1+an2x2+...+annxn=bn
![Page 20: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/20.jpg)
Sistema de ecuaciones lineales
2x1+3x2=2
x1+x2=3
x2=2/3-(2/3)x1
x2=3-x1
3-x1=2/3-(2/3)x1 3-2/3 =x1-(2/3)x1
2.333=0.333x1 x1=7
x2=-4
![Page 21: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/21.jpg)
Sistema de ecuaciones lineales
2x1+3x2=2
x1+x2=3
x2=2/3-(2/3)x1
x2=3-x1
(7,-4)
![Page 22: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/22.jpg)
Algoritmo de Gauss
2x1+3x2=2
x1+x2=3
2 3
1 1
x1
x2
=2
3
![Page 23: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/23.jpg)
Algoritmo de Gauss
2 3
1 1
x1
x2=
2
3
2 3
1 1
x1
x2
=2
3
1/2 0
0 1
1/2 0
0 1
1 1.5
1 1
x1
x2
=1
3
1 0
-1 1
1 0
-1 1
1 1.5
0 -.5
x1
x2
=1
2
1 0
0 -2
1 0
0 -2
1 1.5
0 1
x1
x2
=1
-4
1 -1.5
0 1
1 -1.5
0 1
![Page 24: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/24.jpg)
Algoritmo de Gauss
1 0
0 1
x1
x2=
7
-4
1 0
-1 1
1 0
0 -2
1 -1.5
0 1=
-1 3
1 -2
2 3
1 1
1/2 0
0 1
-1 3
1 -2 =1 0
0 1
Inversa Original
![Page 25: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/25.jpg)
Notas
Si el sistema tiene soluciones Consistente
Si el sistema no tiene soluciones Inconsistente
Cada ecuación es la ecuación de una recta. Si todas las rectas se intersectan en al menos un punto, el sistema es consistente, caso contrario es inconsistente
Operaciones elementales multiplicar un renglón por una constante diferente de cero; intercambiar renglones; sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón
Definición. Se dice que una matriz de n*n es una matriz elemental si es posible obtenerla a partir de la matriz identidad In de n*n mediante una sola operación elemental en los renglones
![Page 26: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/26.jpg)
Notas
En el método de Gauss sólo se utilizaron matrices elementales
![Page 27: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/27.jpg)
Inversa de una matriz
x1
x2
=
-1 3
1 -2
-1 3
1 -2
2 3
1 1
2
3
x1
x2
=2 3
1 1
2
3
Si se tiene la inversa ...
![Page 28: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/28.jpg)
Inversa de una matriz
La inversa de una matriz cuadrada A se define como la matriz B que:
AB=BA=I y se denota como A-1
Teorema. Si B Y C son invesras de A, entonces B=C
Demo.
BA=I (BA)C=IC (BA)C=B(AC)=BI=B=C
![Page 29: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/29.jpg)
Inversa de una matriz
Teorema. Si A y B tienen inversa y son del mismo tamaño, entonces
a) AB tiene inversa
b) (AB)-1=B-1A-1
Demo
Demostrar que: (AB)(B-1A-1)=(B-1A-1)(AB)=I
(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1=I
(B-1A-1)(AB)=B-1(AA-1)B=I
![Page 30: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/30.jpg)
Inversa de una matriz
Notar que una matriz elemental tiene inversa. Esto es cierto ya que es una operación elemental por la matriz identidad.
Definición. Si A=E1E2...EnB con Ei elementales, entonces A es equivalente a B por renglones
Teorema. Si A es una matriz cuadrada, entonces las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) A tiene inversa
b) AX=0 únicamente tiene la solución trivial
c) A es equivalente por renglones a I
![Page 31: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/31.jpg)
Inversa de una matrizDemo
a) b)
Si A tiene inversa AX=0 A-1AX=A-10=0 X=0 es la única solución
b) c) AX=0, donde la única solución es X=0 se puede llevar por Gauss a la forma IX=0, pero para llevar a esta forma se tienen que utilizar matrices elementales, i.e.
EnEn-1...E1A=I, como las Ei tienen inversa, entonces
E1-1E2
-1...En-1I=A
c) a)
Como A es quivalente a I, entonces E1-1E2
-1...En-1I=A, y por tanto
A-1= EnEn-1...E1I
![Page 32: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/32.jpg)
En este momento…
Ya resolvemos sistemas de ecuaciones y conocemos cosas de la inversa.
![Page 33: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/33.jpg)
3. Determinantes
Determinantes3.1 Definición
3.2 Propiedades3.3 Determinantes e inversas
3.4 Regla de Cramer3.5 Determinantes y matrices por bloques
3.6 Interpretación geométrica
![Page 34: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/34.jpg)
Permutaciones
Conjunto n={1,2,...,n}, el conjunto de las permutaciones de n es Sn.
Una permutación Sn se escribe como
1 2 3 4
(1) (2) (3) (4)
![Page 35: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/35.jpg)
Composición
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
4 3 2 1=
=
=1 2 3 4
1 4 3 2 =
1 2 3 4
3 2 1 4
![Page 36: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/36.jpg)
Inversas
1 2 3 4
2 3 4 1
2 3 4 1
1 2 3 4= -1=
-1=1 2 3 4
4 1 2 3
![Page 37: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/37.jpg)
Transposición
1 2 3 4
1 3 2 4=
Todos permanecen iguales, excepto dos que se intercambiaron
![Page 38: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/38.jpg)
Ciclos
=
(1)=4, (4)=1 -- (2)=6, (6)=5, (5)=3, (3)=2
1 2 3 4 5 6
4 6 2 1 3 5=(1 4) (2 6 5 3)
Toda permutación se puede escribir como el producto de ciclos
![Page 39: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/39.jpg)
Ciclos
Chequen lo siguiente. Todo ciclo se puede escribir como un producto de transposiciones
ejemplo (4 5 3 2 1)=(2 1)(3 1)(5 1)(4 1)
No es única, pero todas las representaciones son pares o impares en el número de transposiciones una permutación es par o impar.
Definición. El signo de una permutación es (+) 1 si es par (-1) si es impar
![Page 40: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/40.jpg)
Determinante
A=[aij] de n*n, el determinante de A se define como:
Det(A)= Sn
)(sgn a1(1)a2(2)...an(n)
![Page 41: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/41.jpg)
Determinante
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 1
1 2 3
2 1 3
1 2 3
2 3 1
1 2 3
3 1 2
1 2 3
1 3 2
Ejemplo. Sea A una matriz de 3*3, entonces S3 tiene 6 elementos (3!)
Las permutaciones de arriba son pares, las de abajo impares.
Det(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a12a21a33-a13a22a31-a11a23a32
![Page 42: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/42.jpg)
PropiedadesR1
…
Ri+Rj
…
Rn
![Page 43: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/43.jpg)
En este momento…
Entendemos lo que es el determinante
![Page 44: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/44.jpg)
4. Espacios vectoriales
![Page 45: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/45.jpg)
Espacios vectoriales
Elementos de álgebra abstracta Grupos
Todo sobre homomorfismos Anillos Campos
![Page 46: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/46.jpg)
Algebra abstracta
Grupo: G(S,+) S Conjunto de elementos + Operación binaria
a+b=c, a,b,c S Existe e S, a+e=e+a=a Existe a-1 S a-1+a=e
![Page 47: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/47.jpg)
¿Es grupo?
¿Los naturales con +, *? ¿Z4, +?, ¿Z4, *? ¿Los reales con +, *? ¿Los racionales con +, *?
![Page 48: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/48.jpg)
Homomorfismos
Dos grupos (S1,+), (S2,*) H:S1S2
H(a+b)=H(a)*H(b) H(e1+e1)=H(e1)+H(e1)= H(e1)= e2 *H(e1) H(e1)*[H(e1)-1]= e2 *H(e1)* H(e1)-1=e2
H(e1)= e2
![Page 49: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/49.jpg)
Propiedad
H(x-1)=[H(x)]-1
H(x)+ H(x-1)=H(x+x-1)=H(e1)=e2
H(x-1)=[H(x)]-1
![Page 50: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/50.jpg)
Imagen
Im(H)={y|H(a)=y, aS1} Son elementos de S2
![Page 51: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/51.jpg)
Kernel
Ker(H)={x|H(x)=e1} son elementos de S1
![Page 52: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/52.jpg)
El kernel es una medida de la inyectividad de la función Suponer que H(x)=H(y)
H(x)+[H(y)]-1=e2 H(x+y-1)=e2
si y-1≠x-1
hay más de un elemento en el kernel de H y por lo tanto no es inyectiva H.
![Page 53: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/53.jpg)
La imagen es grupo
Sean a,b Im(H). a+b=H(x)+H(y)=H(x+y) a+b también
está en la imagen de H. H(e1)=e2 la identidad está en la
imagen Si a está en Im(H) H(x)=a H(x-1) es
el inverso de a.
![Page 54: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/54.jpg)
El kernel es grupo
Sean a,b Ker(H). a+b=H(a)+H(b)=e2+e2 H(a+b)=e2 a+b también está en el kernel de H. H(e1)=e2 la identidad está en el kernel Si a está en Ker(H) H(a)=e2 H(a+a-1)=H(a)+H(a-1)=e2+e2 a-1 está en
el kernel
![Page 55: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/55.jpg)
Subgrupos
Si G=(S,+) es un grupo, entonces H=(R,+) es un subgrupo de G ssi
H=(R,+) tiene las características de un grupo.
R es un subconjunto de S
![Page 56: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/56.jpg)
Coconjuntos
Si H=(R,+) es un subgrupo de G entonces para todo a elemento de G, el conjunto aH es llamado el coconjunto izquierdo de a debido a H.
![Page 57: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/57.jpg)
Coconjuntos
El conjunto de todos los coconjuntos de un grupo G debido a un grupo H es llamado el grupo cociente G/H debido a que tiene las propiedades de un grupo
Cada coconjunto de G/H es denotado como [a] (el elemento que le dió origen, H está fijo)
![Page 58: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/58.jpg)
Coconjuntos
Lo primero que hay que notar es que se puede establecer la siguiente relación de equivalencia
a~b ssi a-1+b pertenece a H a~a a está en aH, a-1+a=e, como en H está la identidad,
entonces en aH está a
![Page 59: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/59.jpg)
Coconjuntos
Si a~b entonces b~a a-1+b está en H (a-1+b)-1 está en H b-1+a está en H Además b está en aH
a-1+b está en H y e está en H y a está en aH a-1+b=h a+a-1+b=a+h b=a+h, i.e. es un
elemento de aH
![Page 60: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/60.jpg)
Coconjuntos
Si a~b y b~c entonces a~c a está en H a-1b, b-1cH a-1c H Además c está en aH,
Claro…
![Page 61: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/61.jpg)
Coconjuntos
Como vemos, la relación anterior particiona el conjunto S del grupo G=(S,+).
A su vez, cada partición es igual a un coconjunto de G/H, entonces los coconjuntos particionan a G/H si b aH existe x H, tal que ax=b aH a-1ax=a-1b=x H
![Page 62: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/62.jpg)
Recordatorio
TEOREMA. Sea L una partición del conjunto X. Defínase xRy si x, yS para algún S L. Entonces R es reflexiva, simétrica y transitiva.
![Page 63: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/63.jpg)
Recordatorio
Demo. Sea x X. Como X = L, x S para algún S L.
Entonces xRx y R es reflexiva. Sup. xRy. Entonces x e y pertenecen a un S L.
Como y y x pertenecen a S, yRx R es simétrica. Sup. xRy e yRx entonces x, y S L.
y, z T L. Si S T yS zT pero L es disjunta por pares no es posible; entonces S = T x y z S xRz; R es transitiva.
![Page 64: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/64.jpg)
Recordatorio
TEOREMA. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a X, sea
[a] = {x XxRa} entonces L = {[a] a X} es una partición de X
Demo Para verificar que L es una partición de X
i) X = L ii) L es una familia disjunta por pares
![Page 65: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/65.jpg)
Recordatorio
Sea a X; como aRa a [a]; entonces X = L > Dem que si aRb [a] = [b] - Sup aRb. Sea x [a], entonces xRa. Como aRb y R es
transitiva xRb. x [b] y [a] [b]. - Sup bRa. Sea x [b], entonces xRb. Como bRa y R es
transitiva, xRa. x [a] y [b] [a] > Sup [a], [b] L con [a] [b]. Probar [a] [b] = . - Sup para algún x, x [a] [b], entonces xRa y xRb,
entonces [x]=[a] y [x]=[b]; consecuentemente [a]= [b]: contradicción [a] [b] = y L es disjunta por pares.
![Page 66: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/66.jpg)
Grupos
En el grupo G/H el elemento [e] funciona como la identidad. [e]+[a]=[a]+[e]=[a] al menos el
elemento e+a está en la suma, pero este elemento está en [a]
El inverso de [a] es [a-1], al sumar a+a-1 se genera el elemento e y por tanto [e]
Además es cerrado
![Page 67: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/67.jpg)
Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:XY una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma:
x1~x2 ssi A(x1)=A(x2)
Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia.
Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-
![Page 68: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/68.jpg)
Significado geométrico de esta relación
x2
x1
x4
x3
x6
x5y4
y3
y2
y1
Observe que hay tantos clusters como imágenes de A
clustersX Y
Podemos hacer el conjunto de los clusters
Imagen de A
![Page 69: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/69.jpg)
Significado geométrico de esta relación
(A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos)
clusters
c1={x1, x2, x3}
c2={x4}
c3={x5, x6}
A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A
![Page 70: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/70.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónX/Ker A
c1={x1, x2, x3}
c2={x4}
c3={x5, x6}
Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva.
A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las “fibras” de A.
![Page 71: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/71.jpg)
c1=[0 4 8]
c2=[1 5 9]
c3=[2 6]c4=[3 7]
0 4 81 5 9
2 6
3 7
X
01
2
3
YX/Ker A
Aquí está A
Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia
Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker AIm(A)]
Significado geométrico de esta relación
![Page 72: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/72.jpg)
c1=[0 4 8]
c2=[1 5 9]
c3=[2 6]c4=[3 7]
0 4 81 5 9
2 6
3 7
X
01
2
3
YX/Ker A
Aquí está A
Significado geométrico de esta relaciónProposición. Sea A:XY y sea PA:XX/Ker A su proyección canónica, entonces g:X/ker Aim(A) tal que A=gPA, donde g es una biyección.
PA
![Page 73: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/73.jpg)
Demostración
Definir g(z)=A(x) ssi z=PA(x). Se afirma que g(z) es función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre
todo X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X
Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y. Suponer que si es así, (z,y1), (z,y2)g.
Entonces y1y2. Por la definición de g se tiene: z= PA(x1), y1=A(x1) y además z= PA(x2), y2=A(x2) Como PA(x1),= PA(x2) implica que A(x1)= A(x2) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y
Por tanto g(z) si es función.
![Page 74: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/74.jpg)
Demostración Ahora veremos que g es una biyección.
g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z’,y)g Entonces zz’ Entonces z=PA(x) y z’=PA(x’) Además A(x)=A(x’)=y. Como tienen la misma y, entonces PA(x)=PA(x’), una
contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker AIm(A), sólo abarca las
imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre.
Como es inyectiva y sobre, es una biyección.
![Page 75: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/75.jpg)
Demostración Por definición A=goPA
![Page 76: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/76.jpg)
Significado geométrico de esta relación,... Y ahora
Definición. Se dice que una relación R1 refina (es más fina) a R2 y se escribe R1R2 si (x,y)R1 entonces (x,y)R2. En otras palabras, todo coconjunto de R1 es un subconjunto de algún coconjunto de R2.
0 4 81 5 9
2 6
3 7 0 4 81 5 9
2 6
3 7
![Page 77: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/77.jpg)
• Ahora se generalizarán estos conceptosProposición. Sea f:XY y sea una partición del conjunto X, donde Ker f . Entonces existe un único mapa g:X/Y tal que f=gP.
• En pocas palabras, dice que si existe una partición más fina que la que deja la función, entonces es posible recuperar la informa-ción de la función vía la partición más fina (que en este caso sellama ).
Significado geométrico de esta relación
![Page 78: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/78.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 63 7
X
0 1
Y
Aquí está f
Aquí está Ker f (son los círculosque forman las clases de equivalencia)
Significado geométrico de esta relación
![Page 79: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/79.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 63 7
X
0 1
Y
Aquí está f
Aquí está (son los rectángulosque forman las clases de equivalencia),Se puede ver que Ker f
Significado geométrico de esta relación
![Page 80: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/80.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 63 7
X
0 1
Y
Aquí está f
e1=[0 2 4 6 8]
e2=[1 3 5 7 9]
Aquí está Pf
Significado geométrico de esta relación
![Page 81: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/81.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 63 7
X
0 1
Y
Aquí está f
e1=[0 4 8]
e2=[1 5 9]
e3=[2 6]e4=[3 7]
e1=[0 2 4 6 8]
e2=[1 3 5 7 9]
Aquí está P
Aquí está Pf
Significado geométrico de esta relación
![Page 82: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/82.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 63 7
X
0 1
Y
Aquí está f
e1=[0 4 8]
e2=[1 5 9]
e3=[2 6]e4=[3 7]
e1=[0 2 4 6 8]
e2=[1 3 5 7 9]
Aquí está P
Aquí está Pf
Aquí está g
Significado geométrico de esta relación
![Page 83: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/83.jpg)
Demostración
1. Definir g(z)=f(x) ssi z=P(x). Además para cada zk={xi|xiAi} existe una clase [xi]={xi|f(xi)=y} donde zk[xi]
2. como Ker f, entonces [xi] puede ser particionado en z1,...,zn
3. g es una función. a. Como zk pertenece a algún [xi], entonces este
g(zk) será igual a f(xi), o sea todo elemento de X/ será asociado con un valor en Y. X/ está cubierto.
b. Si (zk,yi), (zk,yj)g, implica que zk[xi] y zk[xj], pero por 2) esto no es cierto, por lo tanto cada zk se asocia con uno y sólo un valor de Y.
Significado geométrico de esta relación
![Page 84: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/84.jpg)
Demostración
Por la definición de g, se tiene que f(x)=g P(x)
Suponer que existe g’(z) tal que f=g’P
Sea xX g’(P(x)) =f(x)= g(P(x)) entonces g’=g.
Significado geométrico de esta relación
![Page 85: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/85.jpg)
Proposición. Sea f:XY y g:XZ y sea Ker fKer g. Entonces existe un mapa h:ZY tal que f=hg. Más aún, h está solamente definida en la imagen de g; esto es la restricción h|g(X).
• Intuitivamente dice que la imagen de g deja suficiente informaciónpara poder relacionar cada elemento de Z con uno y sólo uno de Y.
Significado geométrico de esta relación
![Page 86: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/86.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
X/Ker f
Aquí está f
Aquí está Pf
Hay una función isomórfica
e1
e2
0
1
Y
Significado geométrico de esta relación
![Page 87: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/87.jpg)
e1
e2e3
e4
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
0
1
2
3
Z
X/Ker g
Aquí está g
Aquí está Pg
Hay una función isomórfica
Significado geométrico de esta relación
![Page 88: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/88.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
• El Ker f Ker g
Significado geométrico de esta relación
![Page 89: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/89.jpg)
e1
e2e3
e4
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
0
1
2
3
Z
X/Ker f
Aquí está f
e1
e2
0
1
Y
X/Ker g
Aquí está g
Aquí está h
Significado geométrico de esta relación
![Page 90: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/90.jpg)
Demostración
h(z)=f(x) ssi z=g(x) [xi]={xi|f(xi)=y}; como Ker fKer g implica
que [xi] puede ser particionado en z1,...,zn tal que g(xi) =zi y por tanto h(zi)=y. Por la definición, h está definida en la imagen de g.
Como en el caso anterior h asigna a cada zi un único valor en Y.
Por la definición de h se tiene que h(g(x)=f(x). Se ve que se cumple, ya que como Ker fKer g, un xg-1(zi) xf-1(y)
Significado geométrico de esta relación
![Page 91: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/91.jpg)
Demostración
Suponer que existe h’(z) tal que f=h’g
Sea xX h’(g(x)) =f(x)= h(g(x)) entonces h’=h.
Significado geométrico de esta relación
![Page 92: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/92.jpg)
Proposición. Si , son dos particiones tal que , entonces existe una única función f:X/X/ tal que P=fP.
Significado geométrico de esta relación
![Page 93: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/93.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
0 4 81 5 9
2 6
3 7
X
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
La partición La partición
Significado geométrico de esta relación
![Page 94: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/94.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
e1
e2
e3
e4
X/
e1
e2
X/
Aquí está P Aquí está P
Significado geométrico de esta relación
![Page 95: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/95.jpg)
0 4 8
1 5 9
2 6
3 7
X
e1
e2
e3
e4
X/
e1
e2
X/
Aquí está P Aquí está P
Aquí está f
Significado geométrico de esta relación
![Page 96: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/96.jpg)
Congruencias de sistemas dinámicos
Un sistema dinámico sobre un conjunto X es un mapa :XX con la siguiente interpretación. Los elementos xX son llamados estados y es llamada función de transición de estados.
k es la k-ésima composición de ’s
![Page 97: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/97.jpg)
Congruencias de sistemas dinámicos
Sea una partición de X con proyección canónica P :XX/ . es una congruencia para si existe un mapa ’: X/ X/ tal que:
’ P = P
P P
’
X X
X/Ker X/Ker
![Page 98: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/98.jpg)
Congruencias de sistemas dinámicos
Recordando resultados previos es una congruencia de ssi
Ker P Ker (P )
P P
’X/Ker X/Ker
X X
![Page 99: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/99.jpg)
Anillos
Un anillo R=(S,+,*) es un conjunto con dos operaciones binarias. (S,+) es un grupo conmutativo (grupo
abeliano) (S,*) es un semigrupo (se le pide
cerrado, pero no unidad ni inversas)
![Page 100: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/100.jpg)
Anillos
En un anillo se deben cumplir las propiedades distributivas
a*(b+a)=a*b+a*c (b+c)*a=b*a+c*a
![Page 101: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/101.jpg)
Anillos
En un anillo elemento identidad de (S,+) será denotado como 0.
Si (S,*) forma un grupo para sus elementos no 0, es llamado anillo de división.
![Page 102: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/102.jpg)
Anillos
Un anillo de división, (S,*) si es conmutativo será llamado Campo
![Page 103: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/103.jpg)
Anillos
Por ser anillo se tiene a0=0a=0
a0=a(0+0)=a0+a0 a0+(-(a0))=a00=a0
a(-b)=-(ab)=(-a)b 0=a0=a(b+(-b))=ab+a(-b) -ab=a(-b)
a(b-c)=ab-ac a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac
![Page 104: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/104.jpg)
Espacios vectoriales
Espacios vectoriales Subespacios vectoriales Combinaciones lineales Dependencia e independencia lineal Base y dimensión
![Page 105: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/105.jpg)
Espacios vectoriales
Un espacio vectorial E=(V,F) Es un conjunto de elementos
llamados vectores sobre un campo F donde x+y=y+x y pertenece a V x+(y+z)=(x+y)+z Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x Para cada vector x existe el –x, tal que
x-x=0
![Page 106: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/106.jpg)
Espacios vectoriales
Cada elemento dol campo es llamado un escalar µ(x+y)= µx+µy µx= xµ (µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) 1x=x 1 la unidad multiplicativa del
campo
![Page 107: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/107.jpg)
Espacios vectoriales
ejemplos
![Page 108: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/108.jpg)
Espacios vectoriales
Teorema 0v=v0=0
0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 (-1)v=-v
v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 Agregando –v a ambos lados se tiene el
resultado
![Page 109: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/109.jpg)
Subespacio
Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V
![Page 110: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/110.jpg)
Subespacio
ejemplos
![Page 111: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/111.jpg)
Creación de espacios
Teorema. Espacio vectorial (V,F) S subconjunto de V
Si v1,…vn están en S, entonces también 1v1+…+nvn, donde i son elementos del campo
(S,F) es un subespacio Demo en clase por los alumnos
![Page 112: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/112.jpg)
Creación de espacios
Preguntas importantes ¿En qué condiciones dos conjuntos S1,
S2 crean el mismo espacio vectorial? ¿Cúal es la cardinalidad mínima de QS
tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial?
¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S?
![Page 113: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/113.jpg)
Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. El vector y=1v1+2v2+...+nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S.
![Page 114: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/114.jpg)
Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. S es linealmente independiente si 1v1+2v2+...+nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes.
![Page 115: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/115.jpg)
Dependencia e independencia lineal Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un
conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S.
![Page 116: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/116.jpg)
Dependencia e independencia lineal Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de
vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación:
[v1 v2 ... vn] =0
1
2
...
n
![Page 117: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/117.jpg)
Dependencia e independencia lineal Entonces ya podemos aplicar Gauss
para resolver el sistema y ver su solución Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n
entonces tiene solución única Si la matriz [v1 ... vn] es de rango
menor a n, entonces tiene más de una solución.
![Page 118: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/118.jpg)
Dependencia e independencia lineal Ejemplos en clase
![Page 119: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/119.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio
vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). S es linealmente independiente S genera (V,F)
![Page 120: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/120.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas ejemplos de bases en diferentes
espacios
![Page 121: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/121.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si z es una C.L. (combinación
lineal) de los vectores x1,...,xr; y xi es una C.L. de los vectores y1,...,ys. Entonces z es una C.L. de los vectores y1,...,ys.
z=a1x1+...+arxr
z=a1(b11y1+...+b1sys)+...+ar(br1y1+...+brsys) Es una propiedad de transitividad
![Page 122: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/122.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Notita. Si algunos vectores x1,...,xn
son linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x1,...,xn son L.D.
Suponer que x1,...,xk (k<n) son L.D. a1x1+...+akxk=0 con ai diferente de nulo. a1x1+...+akxk+0xk+1+...+0xn=0 es solución y el sistema es L.D.
![Page 123: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/123.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas La base B={v1, ..., vn} es un
conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros.
Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. v=1v1+2v2+...+nvn, a donde
1
2
...
nEs la representación del vector
Coordenadas
![Page 124: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/124.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Ejemplos de representación de
vectores
![Page 125: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/125.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. La representación del
vector es única v=1v1+2v2+...+nvn=
1’v1+2’v2+...+n’vn (1-1’)v1+...+ (n-n’)vn=0 base L.I. entonces la única
solución es cero (i-i)=0 i=i’
![Page 126: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/126.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Notita. El teorema anterior es cierto
si dice que z=a1x1+...+akxk los ai son únicos ssi los xi son L.I.
![Page 127: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/127.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Sea (V,F) un espacio
vectorial. Dos subespacios de (V,F); (V1,F) y (V2,F) se dicen equivalentes si los vectores de uno se pueden escribir como C.L. del otro y viceversa.
![Page 128: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/128.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Suponer que
B={v1, ...,vp} es una base para (V,F) y suponer que D={u1,...,uq} es un subconjunto L.I. en (V,F), entonces qp
Demostración. Como B es una base, entonces uiD,
(V,F) se puede expresar como una C.L. de B
![Page 129: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/129.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas S1={u1,e1,...,ep} es L.I. Existe un
vector que es C.L. de los anteriores, digamos que es ei.
Por transitividad el resto {u2,...,uq} es una C.L. de S1-{ei} y se puede aplicar el mismo procedimiento
Como se observa el procedimiento no puede eliminar todos los vp vectores antes de que los ui vectores se hayan agotado y qp.
![Page 130: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/130.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Número de vectores en la base.
Suponer que para un espacio (V,F) se tiene una base con p vectores. Entonces todas las bases tienen p vectores.
Demo. Aplicar teorema anterior suponiendo que se tiene otra base con q vectores. qp. Aplicar partiendo de la base con q vectores pq q=p.
![Page 131: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/131.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Definición. Al número de vectores en la
base de un espacio (V,F) se le llama dimensión de (V,F).
En especial, todos los subespacios equivalentes también tienen un conjunto de vectores que lo generan (ya que son un espacio en sí) y se tiene una base y por tanto también tienen su dimensión. En tal caso es más adecuado hablar de rango que de dimensión, ya que podemos hablar de un subespacio en R3, pero de rango 2.
A su vez, a la dimensión del espacio completo se le puede llamar rango, pero es mejor hablar de dimensión.
![Page 132: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/132.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas El espacio Rn tiene timensión n. Si la dimensión de un espacio es p
cualquier conjunto con s vectores s>p es L.D.
En efecto, la base tiene p vectores y el resto será una C.L. de la base.
![Page 133: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/133.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Teorema. Un espacio tiene dimensión
finita k ssi k es el maximo número de vectores que se pueden obtener en el espacio.
Demo. Si la dimensión es k la base tiene k vectores son L.I. y cualquier otro es una C.L. de la base (ya no es L.I.).
Si el máximo número de vectores L.I. es k estos generan todo el espacio y por tanto es una base k es la dimensión.
![Page 134: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/134.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Ok, regresemos a la representación
de vectoresB1={ }1
0
0
1
4
4=4 +4
1
0
0
1
![Page 135: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/135.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas El mismo vector en otra base
B2={ }1
1
0
1
4
0=4 +0
1
1
0
1
![Page 136: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/136.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas Si el mismo vector se puede
representar en diferentes bases, ¿se podrá transformar de una en otra?
1 0
0 1
1 0
1 1
4
4
4
0=
![Page 137: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/137.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas
1 0
0 1
1 0
1 1
4
4
4
0=
-1
Matriz de cambio de base de B1 a B2
![Page 138: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/138.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas• El concepto fácilmente se puede
generalizar a cualquier par de bases• Lo que es más chido...
• (P[x]2,R) una posible base es B={1, x, x2}
• v1=1 en la base 1
0
0
![Page 139: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/139.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas• v2=x en la base
• v3=x2
0
1
0
0
0
1
![Page 140: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/140.jpg)
Bases, Dimensión y coordenadas• v4=1-x• v5=3+x• v6=-2+2x+x2
• v7=2+3x+7x2
• ¿Son L.I.?
• ¡¡¡Todo cambia a matrices!!!
![Page 141: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/141.jpg)
Espacios vectoriales
Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
Ecuaciones lineales y espacios vectoriales Cambio de base Espacio cociente Sumas y sumas directas
![Page 142: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/142.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Kernel.
Todos los x tales que Ax=0 Kernel={x|Ax=0}
Se puede hablar de dos kerneles, el izquierdo y el derecho KerI={y|yTA=0} KerD={x|Ax=0}
![Page 143: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/143.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Imagen
Todos los y que son obtenidos de A multiplicado por un vector
Imagen={y|Ax=y}
![Page 144: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/144.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Teorema (operaciones columna y
dependencia lineal). Suponer que una secuencia de operaciones elementales por renglón transforma la matriz A en la matriz B, entonces: Una colección de columnas de A es linealmente
dependiente (independiente) ssi la collección correspondiente de columnas de B es linealmente dependiente (independiente).
Una matriz renglón puede ser escrita como una combinación lineal de (esto es linealmente dependiendte de) todos los renglones de A ssi puede ser escrita como una combinación lineal de todos los renglones de B.
![Page 145: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/145.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Demostración caso 1.- Sea F=E1E2...En la secuencia de matrices
elementales que realizan las operaciones elementales que transforman a A en B.
F tiene inversa=no singular FA=B Fx=0 x=0 (solución única) Si las columnas de A son L.D. entonces 1a1+2a2+...+nan=A[] FA[ ]=B[ ] Si A es LD hay muchas combinaciones
![Page 146: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/146.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz que dan cero esas mismas
combinaciones en B dan cero y sus columnas son LI.
Si A tiene una sola combinación que da cero, entonces en B será la única posibilidad de dar cero, ya que sólo es este caso FA[]=0
Apliquemos esto a cualquier colección de columnas de A y se tendrá la demostración de la primera parte.
Demostración caso 2.- Un matriz renglón y es una CL de los
renglones de A ssi y=xA para alguan matriz renglón x, pero y=xF-1FA=x’B, para x’=xF-1
![Page 147: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/147.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz como FA=B; y y=x´B ssi y es una CL
de los renglones de B.
![Page 148: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/148.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Veamos más a fondo el método de
Gauss
1 -1 2 3
-1 1 1 2
1 2 4 1
1 3 1 2
1 -1 2 3
0 0 3 5
0 3 2 -2
0 4 -1 -1
![Page 149: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/149.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Veamos más a fondo el método de
Gauss
1 -1 2 3
0 3 2 -2
0 0 3 5
0 4 -1 -1
1 -1 2 3
0 1 2/3 5/3
0 0 2 -2
0 0 -11/3
-23/3
![Page 150: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/150.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Veamos más a fondo el método de
Gauss
1 -1 2 3
0 1 2/3 -5/3
0 0 1 -1
0 0 -11/3
-23/3
1 -1 2 3
0 1 2/3 5/3
0 0 1 -1
0 0 0 1
![Page 151: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/151.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz
1 1.5
0 1
2 3
1 1
Matriz Forma de Gauss
Columnas dominantes
![Page 152: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/152.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz
1 -1
0 0
1 -1
-1 1
Matriz Forma de Gauss
Columnas dominantes
![Page 153: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/153.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz
0 1
0 0
0 -1
0 1
Matriz Forma de Gauss
Columnas dominantes
![Page 154: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/154.jpg)
Matrices
1. Por intercambio de renglones hacer que el elemento (1,1) sea diferente de cero.
2. Si no es posible es porque toda la columna 1 es igual a cero, tacharla y tratar de hacer lo mismo para la submatriz generada
3. El proceso se repite hasta tener un elemento diferente de cero.
![Page 155: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/155.jpg)
Matrices
4. Todo el renglón se divide entre el elemento diferente de cero y se procede a hacer cero el resto de los elementos de esta columna de acuerdo al método de Gauss
![Page 156: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/156.jpg)
Matrices
5. Una vez hecho esto se tacha el renglón y se obtiene una nueva submatriz
6. Con esta nueva submatriz se procede desde el punto 1)
7. El resultado es la matriz en la forma de Gauss
![Page 157: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/157.jpg)
Matrices
Si se tiene un renglón diferente de cero, entonces a la primer columna diferente de cero se le llamará dominante o líder.
![Page 158: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/158.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Teorema (matrices reducidas y
dependencias) Suponer que G es una matriz en la forma de Gauss y de rango k
a) El conjunto de las k columnas líderes es linealmente independiente
b) Cualquier columna a la izquierda de la primera columna líder es una columna cero. Cualquier columna a la izquierda de la i-ésima columna líder es combinación lineal de las anteriores columnas líderes.
![Page 159: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/159.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Definición.- Sea A una matriz de p*q a) El espacio columna de A es el
subespacio que es generado por el conjunto de columnas de A
b) El espacio renglón de A es el subespacio generado por los renglones de A.
![Page 160: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/160.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Poner ejemplos Dar las condiciones para que el
sistema tenga solución. Ax=b
![Page 161: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/161.jpg)
Pausa: Cosas de una Matriz Teorema. Sea una matriz A de rango k.
Entonces a) El espacio columna de A tiene
diemnsión k. Una base son las columnas líderes.
b) El espacio renglón es de dimensión k, una base son los renglones diferentes de cero.
c) Una matriz p*p es no singular si sus columnas son LI rango p
d) Una matriz p*p es no singular si sus renglones son LI rango p
![Page 162: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/162.jpg)
Matrices
Corolario Rango por columnas = rango por filas
Teorema (espacios renglón iguales). Sea A1 y A2 matrices de tamaño r*q y s*q respectivamente. El espacio renglón de A1 es igual al espacio rengloón de A2 ssi los renglones no cero de las matrices de Gauss coinciden.
![Page 163: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/163.jpg)
El maldito Kernel otra vez
Definición: Sea f:XY una función de X a Y. Con f se asocia una relación de equivalencia llamada equivalencia kernel de f y se denota por Ker f y está definida como sigue:
x1,x2X, x1~x2 ssi f(x1)=f(x2)
(mostrar que sí es una relación de equivalencia y por tanto particiona a X)
![Page 164: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/164.jpg)
Por qué se le llama equivalencia kernel Sucede que en el caso de homomorfismos
si f(x1)=f(x2) f(x1)-f(x2)=0 f(x1-x2)=0, i.e. x1-x2 está en el kernel de f.
Claramente una matriz A puede ser considereda como una función (y aún más, un homomerfismo, chequen en clase esto y verán que si la hace). Entonces el kernel que definimos de A es consistente con el kernel en homomerfismos y sucede que:
![Page 165: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/165.jpg)
Por qué se le llama equivalencia kernel El kernel de A es un subespacio La imagen de A es un subespacio Ya qué no saben qué, A/ker A es un
espacio y se le llama espacio cociente.
![Page 166: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/166.jpg)
Entendamos bien esto, que está demasiado fácil, salvo la primera vez Encontrar Kernel, imagen (range, no
rank), A/Ker A de la siguiente matriz A.
1 -1
-1 1
![Page 167: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/167.jpg)
Sistemas Lineales III:
Control Geométrico-1.8
Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:XY una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma:
x1~x2 ssi A(x1)=A(x2)
Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia.
Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-
![Page 168: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/168.jpg)
Significado geométrico de esta relación
x2
x1
x4
x3
x6
x5y4
y3
y2
y1
Observe que hay tantos clusters como imágenes de A
clustersX Y
Podemos hacer el conjunto de los clusters
Imagen de A
![Page 169: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/169.jpg)
Significado geométrico de esta relación
(A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos)
clusters
c1={x1, x2, x3}
c2={x4}
c3={x5, x6}
A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A
![Page 170: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/170.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónX/Ker A
c1={x1, x2, x3}
c2={x4}
c3={x5, x6}
Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva.
A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las “fibras” de A.
![Page 171: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/171.jpg)
c1=[0 4 8]
c2=[1 5 9]
c3=[2 6]c4=[3 7]
0 4 81 5 9
2 6
3 7
X
01
2
3
YX/Ker A
Aquí está A
Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia
Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker AIm(A)]
Significado geométrico de esta relación
![Page 172: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/172.jpg)
c1=[0 4 8]
c2=[1 5 9]
c3=[2 6]c4=[3 7]
0 4 81 5 9
2 6
3 7
X
01
2
3
YX/Ker A
Aquí está A
Significado geométrico de esta relaciónProposición. Sea A:XY y sea PA:XX/Ker A su proyección canónica, entonces g:X/ker Aim(A) tal que A=gPA, donde g es un isomorfismo.
PA
![Page 173: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/173.jpg)
Demostración Definir g(z)=A(x) ssi z=PA(x). Se afirma que g(z)
es función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre
todo X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X
Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y. Suponer que si es así, (z,y1), (z,y2)g.
Entonces y1y2. Por la definición de g se tiene: z= PA(x1), y1=A(x1) y además z= PA(x2), y2=A(x2) Como PA(x1),= PA(x2) implica que A(x1)= A(x2) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y
Por tanto g(z) si es función.
![Page 174: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/174.jpg)
Demostración Ahora veremos que g es un isomorfismo.
g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z’,y)g Entonces zz’ Entonces z=PA(x) y z’=PA(x’) Además A(x)=A(x’)=y. Como tienen la misma y, entonces PA(x)=PA(x’), una
contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker AIm(A), sólo abarca las
imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre.
Como es inyectiva y sobre, es un isomorfismo.
![Page 175: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/175.jpg)
Demostración Por definición A=goPA
![Page 176: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/176.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...
Si los conjuntos tienen estructura matemática, p.e. X, Y son espacios vectoriales y la función A resulta ser un operador lineal.
Ax1=Ax2 es la relación Ker A. Un caso particular es para la imagen cero.
En este caso todos los x, tales que Ax=0 formarán una clase de equivalencia. Las demás clases de equivalencia las obtendremos al estudiar las otras imágenes de A.
Sin embargo, este proceso puede resultar muy lento, sobre todo porque Y tiene un número infinito de elementos. Una forma más adecuada es estudiarlos a través de la clase de equivalencia del 0 [0].
![Page 177: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/177.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...Por ejemplo, si queremos estudiar el caso para la imagen y, entonces debemos encontrar todos los x tales que Ax=y.
x1, x2 [x], Ax1=Ax2=y, entonces A(x1-x2)=0. Entonces si x1[x], se tiene que x2[x] ssi (x1-x2)[0].
Como la clase [0] es un subespacio de X
De hecho si Ax=0 y Ay=0, entonces A(x+y)=0 y por tanto es un subespacio
entonces (x1-x2) span[0], o (x1-x2) = 1e1+2e2+...+nen
Si x1 está fijo, entonces x2= x1-1e1-2e2-...-nen.............................(1)
Como con la clase de equivalencia [0] se generan todas las demás, a está clase la llamaremos genéricamente Kernel de A.
![Page 178: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/178.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...
Como se observa, la ecuación (1) es un método para calcular todas las clases de equivalencia [x2].
Se puede ver que es un un espacio vectorial (el del Kernel) desplazado por x1 (cualquier vector de la clase).
A esta clase de equivalencia, y sólo cuando hablamos de operadores lineales en espacios vectoriales, le llamaremos una variedad lineal. No es un espacio, ya que en general, el cero no está incluído en dicha variedad, pero si será un espacio vectorial vía módulo algún vector de la clase.
Ejemplos
![Page 179: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/179.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...
A:22 tal que A([x y]T)=[x–y y-x]T. Claramente A es un operador lineal y un vector de la forma [k k]T está en la clase de equivalencia [0] o Kernel de A.
El vector [2 1]T no está en la clase [0], pero si está en la clase [[2 1]T]. Los vectores que pertenecen a esta clase, de acuerdo a la ecuación (1) son:
X=[2 1]T-[1 1]T
![Page 180: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/180.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...
Clase [0]
Clase [2 1]T
![Page 181: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/181.jpg)
Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...
En realidad, cada clase forma una línea paralela al Kernel de A.
![Page 182: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/182.jpg)
Significado geométrico de esta relación
Si tenemos un operador lineal A:VW, entonces el Kernel de A será un subespacio de V, y cada una de las clases de equivalencia será una variedad lineal paralela al Kernel de A.
Más aún, el conjunto de las clases de equivalencia se denotará en la forma común V/Ker A y será llamado el espacio cociente V/Ker A.
Proposición. Sea un operador lineal A:VW, entonces el conjunto V/Ker A es un espacio vectorial.
Demo. En este espacio, el vector nulo es la clase [0]. De hecho se tiene
![Page 183: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/183.jpg)
Significado geométrico de esta relación
[v1]=[v1]+[0] para cualquier v1V. De la ecuación (1) x2= v1-1e1-2e2-...-nen se observa que esto es cierto, ya que x2[v1].
Los escalares, son los del campo definido en V.
La suma de vectores [v1]+[v2]=[v3] se define como x1[v1], x2[v2] y x1+x2[v3]. Note que está bien definida ya que cualquier x1[v1] y x2[v2] sirven. De hecho v1- 1[0]+v2- 2[0]=v1+v2- [0]=[v3]
Todas las propiedades se pueden demostrar y resulta un espacio vectorial
![Page 184: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/184.jpg)
Significado geométrico de esta relación,... Pero hay más cosas
Claramente, Im(A)V/Ker A. Vimos que esto se cumple aún en el caso que no sean espacios vectoriales.
Ahora volvamos a los conjuntos.
Vimos que si A:XY, entonces Ker A es una relación de equivalencia.
Por la definición, cualquier función deja una relación de equivalencia en su dominio. Pero, además, nosotros sabemos que una relación de equivalencia sobre un conjunto X es equivalente a una partición de X
![Page 185: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/185.jpg)
Espacios vectoriales con producto interno
![Page 186: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/186.jpg)
Espacios vectoriales con producto interno
5.1 Producto interno 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 5.3 Ortogonalidad 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt 5.5 Espacios normados
![Page 187: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/187.jpg)
Norma
Definición.- Una norma (o norma vectorial) en (V,F) es una funcional que asigna a cada vector v un número real no negativo, llamado norma del vector v, y es denotado por ||v|| y satisface: ||v||>0 para v0, y ||0||=0 ||v||=|| ||v|| escalar y v vector ||u+v||||u||+||v||
![Page 188: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/188.jpg)
Norma
Definición.- Para vectores x=[x1 x2 ... xp]T, las normas ||||1, ||||2, |||| son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||||1=|x1|+|x2|+...+|xp| ||||2=(|x1|2+|x2|2+...+|xp|2)1/2
||||=max{|x1|, |x2|, ...,|xp|}
![Page 189: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/189.jpg)
Norma
Definición.- Sea |||| una norma en (V,F). Una secuencia de vectores vi se dice que converje al vector v ssi la secuencia de número reales ||vi-v|| Para vectores x=[x1 x2 ... xp]T, las normas ||||1, ||||2, |||| son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||||1=|x1|+|x2|+...+|xp| ||||2=(|x1|2+|x2|2+...+|xp|2)1/2
||||=max{|x1|, |x2|, ...,|xp|}
![Page 190: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/190.jpg)
Norma
Teorema: Sean x, y dos vectores. Entonces |xTy|||x||2||y||2
Demostración. sabemos 0||x+y||=(x+y)T(x+y)=||x||2
2+ 2 ||y||
22+2 |xTy|
si =-||x||22/xTy, entonces
0-||x||22+(||x||2
4||y||22/xTy|2)
Despejando se llega a la desigualdad
![Page 191: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/191.jpg)
Producto interno
Definición. El producto interno en (V,F) sobre un par de vectores (u,v) que satisface: (u,v)=(v,u) (u+v,w)= (u,w)+ (v,w) (w,u+v)= (w,u)+ (w,v) (u,u)>0, y es igual a cero si u es cero.
![Page 192: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/192.jpg)
Producto interno
El producto interno (u,v)1/2 induce una norma en el espacio vectorial.
Definición. Sean el producto interno (,) u, v son ortogonales ssi (u,v)=0 Un conjunto de vectores son ortogonales ssi cada par de
vectores (u,v) son ortogonales Si un vector u es usado para producir u/||u|| tal que ||v||=1,
entonces u se dice ser normalizado para producir el vector normalizado v
Un conjunto de vectores se dice ortonormal ssi es ortogonal y ||v||=1 para todo vector v
![Page 193: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/193.jpg)
Producto interno
Diferentes productos internos (u,v)=uTv si f y g son funciones real valuadas continuas en
0t1, entonces (f,g)=0 )()( dttgtf
![Page 194: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/194.jpg)
Proyecciones ortogonales
Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial. Sea (V0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Defínase la proyección ortogonal como sigue. Para cualquier vector v
P0v=1v1+...+qvq, donde i=(vi,v)/(vi,vi) entonces
v-P0v es ortogonal a todo vector v en (V0,F) P0(u+v)=P0u+P0v P0(v)= P0v
![Page 195: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/195.jpg)
Proyecciones ortogonales
Demostración (vi,v-P0v)=(vi,v)-1(vi,v1)-...-q(vi,vq)=(vi,v)-
i(vi,vi)=0 Los otros puntos salen de la definición de los
coeficientes .
vi
v
P0v= vi
v-P0v
![Page 196: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/196.jpg)
Proyecciones ortogonales
Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial con producto interno y con su norma inducida por el producto interno ||||. Sea (V0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Entonces para cualquier v, P0v es el único punto más cercano en (V0,F) a v, y ||v-P0v|| es la distancia de v a (V0,F) ||v-P0v||<||v-v0|| para todo v0 diferente de P0v en
(V0,F)
![Page 197: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/197.jpg)
Proyecciones ortogonales
Demostración. ||v-v0||2=(v-v0,v-v0)=(v-P0v+P0v-v0, v-P0v+P0v-v0)= (v-P0v,
v-P0v )+(v-P0v, P0v-v0)+(P0v-v0,v- P0v)+(P0v-v0, P0v-v0) Sabemos que v- P0v es ortogonal a los vectores en (V0,F),
entonces se obtiene que: ||v-v0||=||v- P0v||+|| P0v-v0|| entonces ||v-v0||>||v- P0v|| a menos que v0= ||v-v0||=||v-
P0v||+||
![Page 198: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/198.jpg)
Proyecciones ortogonales
Sea S={v1,...,vq} un conjunto de vectores ortogonales, entonces estos vectores son linealmente independientes.
si se toma el vector 0=c1v1+...+cqvq, tenemos que saber el valor de cada ci.
0=(vi,0)=(vi,c1v1+...+cqvq)=ci(vi,vi) como (vi,vi)>0 ci=0 y son L.I.
![Page 199: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/199.jpg)
Proyecciones ortogonales
Se sigue que si el vector proyectado v está en el espacio (V0,F), entonces P0v será el mismo v y los valores de las i será la representación del vector en la base seleccionada S.
![Page 200: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/200.jpg)
Proyecciones ortogonales
Teorema. Sea B={v1,...vq} una base ortogonal. La representación del vector v se calcula como v=1v1+...+qvq, donde i=(vi,v)/(vi,vi) Note que si la base es ortonormal, entonces los i
se calculan fácilmente
![Page 201: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/201.jpg)
Proyecciones ortogonales
Si tenemos S={v1,...,vq} un conjunto de vetores que genera (V,F) Tomar u1=v1, desde 2 hasta q, ui=vi-Pi-1vi
![Page 202: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/202.jpg)
Transformaciones lineales
![Page 203: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/203.jpg)
Transformaciones lineales
6.1 Definición 6.2 Propiedades 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal 6.4 Representación matricial de una
transformación lineal 6.5 Isomorfismos 6.6 Operaciones con transformaciones lineales 6.7 Algebra de transformaciones lineales
![Page 204: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/204.jpg)
Transformaciones lineales
Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de (V,F) a (W,G) es una correspondencia que asigna a cada vector v en V un vector w en W tal que:
T(v1+v2)=T(v1)+T(v2) T(v)= T(v)
Se sigue que T(0)=0, ya que T(v)=T(v+0)=T(v)+T(0) lo que implica que T(0) debe ser el cero de W.
![Page 205: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/205.jpg)
Transformaciones lineales
El espacio imagen Todos los vectores w en (W,G) tal que w=T(v) Solución. Si w es fijo, entonces existe v en (V,F) tal
que T(v)=w ssi w está en la imagen de T.
Se aplica Sobre
Claramente el problema Solución tiene solución si T es onto.
![Page 206: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/206.jpg)
Transformaciones lineales
Otro problema es si la solución es única. T(v1)=T(v2)=w
Se aplica Inyectividad
Claramente la solución es única si w esta en la imagen de T y T es inyectiva.
T(v1)=T(v2) T(v1)-T(v2)=0 T(v1-v2)=0
También T tiene kernel.
![Page 207: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/207.jpg)
Transformaciones lineales
Más propiedades de las transformaciones lineales T(u-v)=T[u+(-1)v]=T(u)+T[(-1)v]=T(u)+(-1)T(v)=T(u)-
T(v) T(1v1+...+nvn)= 1v1+...+nvn Esto se puede ver por asociatividad e inducción
Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y T1, T2 dos transformaciones lineales. Si T1(vi)=T2(vi) para todo vi en B, entonces T1(v)=T2(v) para v en (V,F).
Demo, como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T1(v)=T1(1v1+...+nvn)= T1(1v1)+...+T1(nvn)=T2(1v1)+...+T2(nvn)=T2(v)
![Page 208: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/208.jpg)
Transformaciones lineales
Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y (W,G) un espacio vectorial que contiene a los vectores w1,...,wn, entonces existe una única transformación lineal tal que T(vi)=wi, para vi en B.
Demo. Como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T se define como T(v)=1w1+...+nwn
T será una transformación lineal T(u+v)=T[(1v1+...+nvn)+(1v1+...+ nvn)]=
=T[(1+1) v1+...+( n+n) vn] Por la definición de T, = (1+1) w1+...+( n+n) wn=T(u)+T(v)
![Page 209: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/209.jpg)
Transformaciones lineales
De igual forma T(u)=T[(1v1+...+ nvn)] Por la definición de T, 1w1+...+ nwn= T(u) Por teorema anterior se tiene la unicidad
Tarea: Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. Demsotrar que el kernel de T es un subespacio de (V,F) y que la imagen de T es un subespacio de (W,G).
![Page 210: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/210.jpg)
Transformaciones lineales
Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. Nulidad de T = (T) =dim (Ker (T)) rango de T = (T) = dim (Im (T))
Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. (T)+ (T) = dim (V,F)
Demo. Suponer que (T)=r y que {v1,...vr} es una base para el kernel; además (T)=k y {w1,...wk} es una base para la imagen de T.
Entonces hay que demostrar que B={v1,...,vr,u1,...,uk}
![Page 211: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/211.jpg)
Transformaciones lineales
Sea un v que pertenece a (V,F). Como T(v)= 1w1+...+kwK
Al Vector v lo podemos escribir como v= 1u1+...+kuK-v’ v´= 1u1+...+kuK-v T(v’)=T(1u1+...+kuK-v)= 1T(u1)+...+kT(uk)-T(v) = 1w1+...+kwK-T(v)=0 v’ está en el kernel de T
Como {v1,...vr} es una base de Kernel de T, existen escalares 1 ,.., r tal que v’= 1v1+ ... +rvr=1u1+...+kuK-v
Por tanto v= 1u1+...+kuK- 1v1- ... -rvr y {u1,...,uk, v1,..., vr} genera (V,F) Ahora hay que ver que sean L.I.
![Page 212: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/212.jpg)
Transformaciones lineales
Sea un vector 1u1+...+ kuK+ 1v1+ ... + rvr=0 Entonces T(1u1+...+ kuK+ 1v1+ ... + rvr)=0 Como los vi están en el kernel 0= 1w1+...+ kwK, como los wi son una base de la
magen, entonces son L.I. y la única solución es i=0
Entonces el vector se reescribe como 1v1+ ... + rvr=0 , como los vi son una base para el
kernel son L.I., entonces la única solución i=0 y los vectores son L.I.
y por lo tanto es una base y la dimensión de (V,F) es (T)+ (T) = dim (V,F)
![Page 213: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/213.jpg)
Transformaciones lineales
Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) , entonces existe una única matriz A (dim(v), dim(W)) tal que T(x)=Ax
A est la matriz de transformación correspondiente a T.
Demo sea B={e1,...,en} la base canónica en (V,F) T(ei)=wi Se puede formar la matriz A=[w1 wn] entonces Aei=wi (T(ei)=wi) En general T(x)=T(1e1+ ... +nen)= 1w1+ ... +nwn
También Ax=A[1e1+ ... +nen]= 1w1+ ... +nwn =T(x)
![Page 214: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/214.jpg)
Transformaciones lineales
Suponer que T(x)=Ax=Bx (A-B)x=0, para x=ei (A-B)ei=0 que la i-ésima columna de
(A-B) es cero, por lo que las matrices son iguales y A es única.
Teorema Sea A la matriz de transformación correspondiente a T, entonces
i) Im T Im A, pero isomorfo ii)(T)=(A) iii)Ker TKer A, pero isomorfo iv)(T)=(A)
![Page 215: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/215.jpg)
Transformaciones lineales
Teorema. Sean (V,F), (W,G) dos espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Sea T(V,F)(W,G) una transformación lineal. Sean B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} las bases de los espacios respectivamente. Entonces existe una única matriz A (m,n) tal que: [T(x)]B2=A(xB1)
[T(x)]B2la representación de T(x) en B2 T(x)= 1w1+ ... +mwm [T(x)]B2=[1 ... m]T xB1 es la representación del vector en B1
La matriz A se conoce como la matriz de transformación correspondiente a T con respecto a las bases B1 y B2
![Page 216: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/216.jpg)
Transformaciones lineales
Considere los vectores T(v1, ...,T(vn), escríbase A=[[T(v1)]B2 ... [T(vn)]B2] Como AviB1=Aei= [T(vi)]B2 y xB1 es la representación del vector en B1, i.e. [1 ... n]T
entonces A xB1=[[T(v1)]B2 ... [T(vn)]B2] xB1= 1[T(v1)]B2+...+[T(vn)]B2]n Por otro lado T(xB1)=T(1v1+...+nvn)= 1T(v1)+...+nT(vn) Al poner cada uno de estos vectores en la
representación de la base B2 se obtiene que: A xB1= T(xB1) La unicidad es similar al teorema anterior
![Page 217: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/217.jpg)
Transformaciones lineales
Teorema.- Sea A (m,n) la matriz de transformación correspondiente a T:(V,F)(W,G) con respecto a las bases B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} respectivamente.
Suponga que hay otras bases B1’={v1’,...,vn’} y B2’={w1’,...,wm’} de los espacios respectivos.
Entonces la matriz A’ correspondiente a la misma transformación T con respecto a las bases B1’ y B2’ está dada por: A’=P-1AQ
P es la matriz de transición (de paso) de la base B2’ en B2
Q es la matriz de transición (de paso) de la base B1’ en B1
![Page 218: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/218.jpg)
Transformaciones lineales
Demo. Sabemos que [T(x)]B2=AxB1 Ahora, xB1=QxB1’ y [T(x)]B2=P[T(x)]B2’ Por tanto P[T(x)]B2’=A QxB1’ [T(x)]B2’=P-1A QxB1’ A’=P-1AQ es la matriz de transformación
![Page 219: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/219.jpg)
Transformaciones lineales
En especial, si (V,F) y (W,G) son los mismos, entonces
A’=P-1AP Definición. Se dice que dos matrices cuadradas A y
B son similares si existe una matriz P no singular (determinante diferente de cero) tal que
B=P-1AP
![Page 220: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/220.jpg)
Transformaciones lineales
Transformaciones T Inyectiva Kernel T = {0} Sobre
Teorema. T:VW una transformación lineal y dim v=n y dim w=m
i) si n>m, T no es inyectiva ii) si m>n T no es sobre
Demo. Tarea.
![Page 221: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/221.jpg)
Transformaciones lineales
Definición. Una T.L es un Isomorfismos ssi es inyectiva y sobre.
La matriz de un isomorfismo es invertible. Definición. Se dice que (V,F) y (W,G) son isomorfos ssi
existe un isomorfismo entre ambos Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales de
dimensión finita. Entonces (V,F) y (W,G) son isomorfos si dim (V,F)=dim (W,G)
Demo. Obtener bases para cada uno. Entonces quedan representados en (Rn,R). Como son bases en el mismo espacio, existe una matriz de cambio de base A. por teoremas anteriores existe una T.L. asociada a A que es un isomorfismo.
Si existe el isomorfismo entre las representaciones, lo existe entre los espacios.
![Page 222: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/222.jpg)
Transformaciones lineales
Corolario. Cualquier espacio de dimensión n es isomorfo a (Rn,R)
Teorema. Si T:(V,F)(W,G) es un isomorfismo i) Si {v1,...vn} genera (V,F), entonces {T(v1),...,T(vn)}
genera (W,G) ii) Si {v1,...vn} son L.I., entonces {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) si {v1,...vn} es una base, entonces {T(v1),...,T(vn)} es
una base. Demo.
i) v=1v1+ ... +nvn T(v)=w=1T(v1)+ ... +nT(vn) {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G)
iii) Suponga que 0=T(v)=w=1T(v1)+ ... +nT(vn) , entonces T(1v1+ ... +nvn)=0, como T es isomorfismo T(0)=0 es el único. Entonces 1v1+ ... +nvn=0, pero como son L.I. i=0 y por tanto {T(v1),...,T(vn)} son L.I.
iii) se sigue de anteriores.
![Page 223: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/223.jpg)
Transformaciones lineales
Prop. Si T:(V,F)(W,G) es un isomorfismo, entonces para todo vector wW existe un único vector v V tal que
T-1(w)=v, donde T-1:(W,G)(V,F) es conocida como la transformación inversa de T.
Demo. 2 partes T-1 es T.L. y T-1(w)=v único T(v1)=w1; T-1(w1)=v1; T(v2)=w2 T-1(w2)=v2 T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)=w1+w2 T-1(w1+w2)=v1+v2 T(v1)= T(v1)= w1 T-1(w1)= v1 Como T es isomorfiso, la definición de T-1 hace que
exista un único valor de regreso. Nota. T es T.L. A es su operador T-1 es la inversa de T, entonces A-1 es el operador
de T-1
![Page 224: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/224.jpg)
Transformaciones lineales
Operaciones con transformaciones lineales Sean (V,F) y (W,F) dos espacios vectoriales sobre
el mismo campo F. Hom(V,W) es el conjutno de todas las transformaciones lineales entre (V,F) y (W,F).
Sean T1 y T2 dos T.L. entre (V,F) y (W,F) Se define la suma T1+T2 como T1+T2:VW (T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v) para todo F, T1 es (T1)(v)=T1(v)
![Page 225: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/225.jpg)
Transformaciones lineales
El conjunto Hom(V,W) definido anteriormente es un espacio vectorial sobre el campo F.
Demo. Tarea.
![Page 226: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/226.jpg)
Algebra de Transformaciones lineales
Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 A y F:
T1(T2+T3)=T1T2+T1T3 (T2+T3)T1=T2T1+T3T1 (T1T2)=(T1)T2=T1(T2) Si además se cumple que (T1T2)T3=T1(T2T3) entonces A es un álgebra asociativa
![Page 227: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/227.jpg)
Algebra de Transformaciones lineales
Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1:VU y T2:UW dos transformaciones lineales.
Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))
Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es.
Demo. Sean u,v V y , F, entonces (T2T1)(v+u)=T2(T1(v+u))=T2(T1(v)+T1(u)) = (T2T1)(v)+ (T2T1)(u) (T2T1) es T.L.
Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.
![Page 228: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/228.jpg)
Adicional de Transformaciones lineales
Sean A, B dos matrices de qxn y nxp con coeficientes en el mismo campo.
Entonces (A)+(B)-n (AB) min((A), (B)) Demo
(B)(A)
R(B)
R(A) R(AB)
n(B)n(A)
p nd
![Page 229: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/229.jpg)
Adicional de Transformaciones lineales
De la figura (AB)min((A), (B)). También (AB)= (B)-d (la intersección de R(B) y
n(A). La dimensión de n(A)=n- (A) d n+ (A) y se sigue que (AB) (A)-n+ (B)
Si B es no singular (A)+(B)-n = (A) (AB) min((A),n) = (A)
(B)(A)
R(B)
R(A) R(AB)
n(B)n(A)
p nd
![Page 230: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/230.jpg)
4. Valores y vectores propios
![Page 231: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/231.jpg)
Valores y vectores propios
Definición y propiedades Teorema de Cayley-Hamilton Diagonalización de matrices
![Page 232: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/232.jpg)
Valores y vectores propios
Definición. Sea V un espacio vectorial y T:VV una transformación lineal del espacio en sí mismo. Sea vV un vector diferente de cero pa el cual existe un escalar tal que T(v)=v,
entonces se dice que es un valor propio de T y que v es un vector propio de T asociado a .
![Page 233: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/233.jpg)
Valores y vectores propios
Cuando V es un espacio de dimensión finita, la transformación T la podemos representar como una matriz A de n,n. Entonces podemos redefir los valores y vectores propios de la siguiente forma.
Definición. Sea A una matriz de n,n. El escalar se denomina valor propio de A si existe un vector x diferente del nulo, tal que Ax= x
nuevamente x es el vector propio asociado a .
![Page 234: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/234.jpg)
Valores y vectores propios
Teorema. Sea A una matriz de n,n. Entonces es un valor propio de A ssi det(I-A)=0
Demo. Sólo si. Suponga que es un valor propio
de A; entonces existe un vector x diferente de cero tal que Ax= x
(I-A)x=0, como x diferente de cero (I-A) es singular det(I-A)=0
![Page 235: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/235.jpg)
Valores y vectores propios
(si). Si det( I-A)=0 ( I-A) es singular
( I-A)x=0 tiene soluciones diferentes de cero, entonces existe x diferente de cero tal que Ax= x.
![Page 236: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/236.jpg)
Valores y vectores propios
Definición. La ecuación det(I-A)=0 se conoce como ecuación característica de A, y el polinomio p()=det(I-A)
Observe que p()=(det(I-A)=a0+a1+...+an
por el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n tiene n raíces (contando multiplicidades).
p()=(det(I-A)=a0+a1+...+an= (- 1)r1...(- m)rm
Los número ri son la multiplicidad algebraica de los valores propios de 1,..., m.
![Page 237: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/237.jpg)
Valores y vectores propios
Teorema. Sea un valor propio de A y E={x|Ax= x}. Entonces E es un subespacio vectorial de Cn
Nótese que E son las soluciones de (I-A)x=0, es decir el kernel de un operador lineal es un subespacio vectorial.
![Page 238: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/238.jpg)
Valores y vectores propios
Definición. Sean un valor propio de A. Entonces E se denomina espacio propio de A correspondiente a .
Definición. Sea E el espacio propio de A debido a . A la dimensión de E se le conoce como multiplicidad geométrica de .
Multiplicidad geométrica de =dim E=dim{Ker (I-A)}
![Page 239: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/239.jpg)
Valores y vectores propios
Ejemplos y procedimientos de cálculo.
4 -2
1 1
2 -1
-4 2
1 -1
2 -1
![Page 240: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/240.jpg)
Valores y vectores propios
Teorema. Sea un valor propio de A. Entonces se cumple que la multiplicidad geométrica de multiplicidad algebraica de
![Page 241: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/241.jpg)
Valores y vectores propios Teorema. Sean 1, 2, ..., m valores propios
diferentes de A (n,n), donde mn y sean x1, x2,..., xm sus vectores propios correspondientes. Entonces x1, x2, ..., xm son linealmente independientes.
Demostración. Suponga que {x1,...,xm} son L.D. y que xs
es el primer vector L.D. de los previos xs=1x1+2x2+...+s-1xs-1
Multiplicando por A Axs= 1Ax1+2Ax2+...+s-1Axs-1
![Page 242: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/242.jpg)
Valores y vectores propios sxs= 1 1 x1+2 2 x2+...+s-1 s-1 xs-1 Restando ecuaciones y multiplicando por
s se tiene 0=1(1-s)x1+2 (2-s) x2+...+s-1 (s-1-s)xs-1 Como xs es el primer vector L.D. entonces 1(1-s)=2 (2-s)=...=s-1 (s-1-s)=0 como is i=0 xs=0, lo cual contradice
la suposición las vectores son L.I.
![Page 243: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/243.jpg)
Valores y vectores propios
Teorema. La matriz A (n,n) tiene n vectores propios L.I. ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica.
Tarea (Grossman, pag 545)
![Page 244: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/244.jpg)
Valores y vectores propios Definición. Sea F(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
un polinomio y A una matriz cuadrada Se define el polinomio f(x) en la matriz A
como: F(A)=a0I+a1A+a2A2+...+anAn
Sy f(A) es igual a la matriz cero, entonces se dice que A es raíz (o cero) del polinomio f(x).
Sea F() (n,n) una matriz polinomial en la variable , i.e.
F()=F0+F1+...+Fmm= F()=F0+F1+...+mFm
donde F0, F1,...,Fm son matrices cuadradas reales.
![Page 245: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/245.jpg)
Valores y vectores propios Se dice que F() es de orden n; y si Fm0,
entonces F() es de grado m. Además F() se dice regular si det(Fm)0
Definicion. Sean F() y G() matrices polinomiales de orden n., y G() es regular. Las matrices polinomiales Q() y R() se conocen como cociente derecho y residuo derecho respectivamente de F() dicidida por G() si
F()= Q() G() + R() y si el grado de R() es menor que el grado
de G() [R() puede ser cero]
![Page 246: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/246.jpg)
Valores y vectores propios
De manera similar se pueden definir el cociente izquierdo y residuo izquierdo
Sea A (n,n) y denota F(A) la evaluación por la derecha de A en la matriz polinomial F() , esto es, si
F()=F0+F1+...+Fmm= F()= F0+F1A+...+FmAm
![Page 247: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/247.jpg)
Valores y vectores propios Teorema. Si la matriz polimial F() es dividida
por la derecha por la matriz (I-A) entonces el residuo es F(A), y si es dividida por la izquierda por (I-A) entonces el resiudo es F’(A) (por la izquierdA).
Demostración. Tarea. (teorema generalizado de Bezout,
Grantmatcher, pag 81)
![Page 248: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/248.jpg)
Valores y vectores propios Corolario. La matriz polinomial F() es
divisible por la derecha por la matriz (I-A) sin residuo (R()=0) ssi F(A)=0
(De manera similar se puede hacer por la izquierda)
Teorema (Cayley-Hamilton). Toda matriz A (n,n) es raíz de su polinomio característico.
Demostración. P()=det(I-A)=a0+a1+...+n
Hay que mostrar que P(A)=0
![Page 249: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/249.jpg)
Valores y vectores propios de teoremas previos (I-A)adj(I-A)=det(I-A)I=[adj(I-A)](I-A) Lo cual puede verse como P()=(I-A)Q()=Q()(I-A) donde Q()=adj(I-A) es una matriz
polinomial en y P()=det(I-A)I=a0I+a1I+...+nI como P() es divisible por la derecha y por la
izquierda por (I-A) sin residuos, entonces P(A)=a0I+a1AI+...+AnI
![Page 250: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/250.jpg)
Valores y vectores propios
Definición. Se dice que el polinomio F() es un polinomio aniquilador de la matriz A (n,n) si F(A)=0
(p.e. el polinomio característico de A) Definición. Al polinomio aniquilador
mónico Q() de A de menor grado se le conoce como polinomio mínimo de A.
![Page 251: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/251.jpg)
Diagonalización de matrices Definición. Se dice que A (n,n) es
diagonalizable (bajo similaridad) si existe una matriz no singular P tal que P-1AP es diagonal
![Page 252: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/252.jpg)
Diagonalización de matrices Teorema. La matriz A (n,n) es diagonalizable
ssi tiene n vectores propios linealmente independientes
Si 1, 2, ..., n son los valores propios de A y los vectores propios x1, x2, ..., xn correspondientes a estos valores propios son linealmente independientes, entonces P-
1AP=diag{1, 2, ..., n}, donde P=[x1 x2 ... Xn]
![Page 253: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/253.jpg)
Diagonalización de matrices Demostración. (si) Suponga que A tiene n vectores propios
L.I. x1 x2 ... xn correspondientes a los valores propios 1, 2, ..., n (algunos pueden ser repetidos).
Sea P la matriz [x1 x2 ... xn], entonces AP= [Ax1 Ax2 ... Axn]= [1x1 2x2 ... nxn] = [x1 x2 ... xn]diag{1, 2, ..., n} =Pdiag{1, 2, ..., n} Como P es no singular tiene inversa P-1AP=diag{1, 2, ..., n}
![Page 254: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/254.jpg)
Diagonalización de matrices Demostración. (sólo si) Suponga que existe una matriz no
singular P tal que P-1AP=diag{1, 2, ..., n} AP=Pdiag{1, 2, ..., n} Para cada xi de P se tiene que: Axi= ix xi es vector propio de A i es valor propio
de A P es no singular A tiene n vectores propios
L.I.
![Page 255: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/255.jpg)
Diagonalización de matrices Corolario. La matriz A (n,n) es
diagonalizable ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. En particular A es diagonalizable si todos sus valores propios son distintos
![Page 256: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/256.jpg)
Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares,
entonces tienen el mismo polinomio característico, y por consiguiente los mismos valores propios.
Demo. det(I-B)=det(I-P-1AP)=det(P-
1P-P-1AP)=det(P-1(I-A)P)=det(P-1)det(I-A)det(P)=det(I-A)
![Page 257: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/257.jpg)
Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares, i.e.
existe una matriz no singular tal que B=P-1AP. Entonces:
i) Bk=P-1AkP ii)Si f(x)=a0+a1x+...+anxn es un
polinomio cualquiera, entonces f(B)=P-1f(A)P
![Page 258: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/258.jpg)
Diagonalización de matrices
Demo Bk=(P-1AP)k= =(P-1AP)(P-1AP)...(P-1AP)= P-1AkP ii)Si f(B)=a0I+a1(P-1AP)+...+an(P-1AnP)= =P-1(a0+a1A+...+anAn)P=P-1f(A)P
![Page 259: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/259.jpg)
Diagonalización de matrices
1 1 2
0 1 3
0 0 2
![Page 260: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/260.jpg)
Diagonalización de matrices
Tiene dos propio valores 1=1, 2=2 con multiplicidades algebraicas 2 y 1 y geométricas 1 y 1 respectivamente no es posible diagonalizar A, pero ¿es posible encontrar una bse donde A sea casi diagonal?
![Page 261: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/261.jpg)
Diagonalización de matrices
Definición.- Un vector v es llamado un vector propio generalizado de rango k de A asociado con iff (A- I)kv=0 (A- I)k-1v0
Note que si k=1 coincide con vector propio
![Page 262: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/262.jpg)
Diagonalización de matrices
Definición.- vk=v vector propio generalizado vk-1=(A-I)v=(A-I)vk
vk-2=(A-I)2v=(A-I)vk-1
... v1=(A-I)k-1v=(A-I)v2
![Page 263: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/263.jpg)
Diagonalización de matrices
... vk-2=(A-I)2v=(A-I)vk-1
... Entonces para 1ik vi es un vector
propio generalizado de rango i, por ejemplo
(A-I)k-2vk-2=(A-I)k-2(A-I)2v=(A-I)kv=0 (A- I)k-1vk-2=(A-I)k-1v0
![Page 264: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/264.jpg)
Diagonalización de matrices
Definición.- Lleamaremos a los vectores {v1, v2,...,vk} una cadena de vectores propios generalizados si vk es un vector propio generalizado que dio origen a todos los demás vectores
![Page 265: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/265.jpg)
Diagonalización de matrices
Teorema. El conjunto de vectores propios generalizados v1, v2, ..., vk definidos anteriormente es L.I.
Demostración.- Suponer que v1, v2, ..., vk son L.D., entonces
existen soluciones diferentes de la trivial a: 1v1+2v2+...+kvk=0
Multiplicando por (A-I)k-1 y observando que vi=vk-(k-i)=(A-I)k-iv por definición
![Page 266: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/266.jpg)
Diagonalización de matrices
entonces (A-I)k-1vi=(A-I)2k-(i+1)v=0 para i=1,2,...,k-1 k(A-I)k-1vk=0 y sabiendo de la def. de vector propio
generalizado que (A-I)k-1vk0, k=0 Aplicando ahora (A-I)k-2 se demuestra que k-
1=0 Siguiendo esto se tiene que i=0, lo que
contradice la suposición. son L.I.
![Page 267: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/267.jpg)
Diagonalización de matrices
Teorema: Los vectores propios generalizados de A asociados con diferentes propio valores son L.I.
Demostración. Sea v vector propio generalizado 1
vi=(A-1I)vi+1=(A-1I)k-iv Sea u vector propio generalizado 2
ui=(A-2I)ui+1=(A-2I)l-iu
Del teorema anterior los vi son L.I. y los ui son L.I, falta ver que {ui}, {vi} son L.I.
![Page 268: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/268.jpg)
Diagonalización de matrices
Suponer que vi es L.D. en {u1,...,ul} vi=1u1+2u2+...+lul
Aplicando (A-1I)i 0= (A-1I)i [1u1+2u2+...+lul ] Ahora aplicando (A-2I)l-1 y observando que (A-2I)l-1 (A-1I)i = (A-1I)i (A-2I)l-1
y el hecho de que (A-2I)l-1 uj=0, j=1,2,..., l-1 0=l(A-1I)i(A-2I)l-1ul=l(A-1I)iu1
Como (A-2I)u1=0 o Au1=2u1, la ecuación anterior se reduce a
l(2-1)iu1=0
![Page 269: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/269.jpg)
Diagonalización de matrices
se reduce a l(2-1)iu1=0 lo cual implica que l=0. Un procedimiento similar llega a la
conclusión de que todos los i=0, lo que contradice la suposición y los vectores son L.I.
![Page 270: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/270.jpg)
Diagonalización de matrices
Teorema. Sean u y v propio vectores de rango o y l respectivamente, asociados con el mismo valor propio .
vi=(A-I)vi+1=(A-1I)k-iv ui=(A-I)ui+1=(A-2I)l-iu Si u1 y v1 son L.I. las cadenas son L.I.
![Page 271: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/271.jpg)
Diagonalización de matrices
El tratar de construir la forma casi diagonal (diagonal por bloques o forma de Jordan) se convierte en un proceso iterativo.
1.- se calculan propio valores y propio vectores de la forma tradicional.
2.- Si la multiplicidad algebraica es mayor que la geométrica tratar de encontrar una cadena lo suficientemente larga de vectores generalizados para construir los vectores L.I. independientes faltantes, de lo contrario construir cadenas más pequeñas hasta completarlos
![Page 272: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/272.jpg)
Matrices unitarias Si P es no singular B=P-1AP transformación
de similaridad Sirven para cambio de bases Más conveniente si las bases son ortogonales
y ortonormales Si {x1,...,xp} es un conjunto ortonormal
xiTxi=1 y xi
Txj=0 Si hacemos que P=[x1,...,xp] PTP=I o PT=P-1
![Page 273: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/273.jpg)
Matrices unitarias Definición. Una matriz P (de reales) para la
cual PT=P-1 tal que PTP=I, se dice ser unitaria. Teorema. a) P unitaria el conjunto de vectores
columna es ortonormal b) P unitiaria |det(P)|=1 c) P unitaria <PX,Py>=<x,y> d) P unitaria si valor propio de P ||=1 Demo. Clara
![Page 274: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/274.jpg)
Matrices unitarias Teorema. Si B=P-1AP donde P es unitaria (se dice
transformación de similaridad unitaria) todo lo que se vió de propiedades de similaridad sigue valiendo.
![Page 275: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/275.jpg)
Matrices unitarias Teorema. Si A es una matriz de pxp. a) A es similar unitaria a una matriz triangular
superior T; T=P-1AP con P unitaria y con los propiovalores de A en su diagonal principal. T es llamada la forma de Shur de A y la descomposición A=PTP-1= PTPT es la descomposición Shur de A.
Demo. Si p=1 ya terminamos. Suponer que para p=k es cierto Para p=k+1 tenemos.
![Page 276: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/276.jpg)
Matrices unitarias 1 es el propio valor asociado a x1, podemos
normalizar este vector para que ||x1||2=1 Entonces x1 entra a la base que ya teníamos
de propiovectores ortonormalizados {w1,...,wk} si no es otronormal a esta base, aplicamos Gram-Schmidt y tenemos la nueva base {x1,w1,...,wk}
U= [x1,w1,...,wk]=[x1,W] A’=UTAU=[x1,W]TA[x1,W]=[x1,W]T[Ax1 AW]=1 x1
TAW
0 WTAW
1 bT
0 C=
![Page 277: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/277.jpg)
Matrices unitarias Definición. Una matriz A de pxp es
normal si ATA=AAT
Teorema. A normal D=PTAP, D es diagonal, y P es unitaria.
Por tanto los propio vectores de A son p linealmente independientes
![Page 278: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/278.jpg)
Matrices unitarias Veamos ahora el caso en que A=UVT,
con U y V unitarias de pxp y qxq, es pxq casi cero, excepto en la diagonal que vale ii=i que es un real no negativo.2 0 0
0 0 03 0 0
0 2 0
4 0
0 6
0 0
Así son
![Page 279: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/279.jpg)
Matrices unitarias Claramente se tendría AV=U Avi=iui para
1imin(p,q), dende los ui, vi son las columnas de U y V respectivamente.
Además ATA= (UVT)T (UVT)=VTUTUVT=V(T)VT
donde T=D=VTATAV es diagonal de qxq que los propio vectores de ATA sirven para
construir V y D tiene los valores propios D=T Similarmente para el caso AAT=U(T)UT en este caso D= T
![Page 280: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/280.jpg)
Matrices unitarias
Definición. A la descomposición que hemos venido manejando, A=UVT, se le conoce como descomposición en valores singulares de A.
Viendo lo que hicimos para la descomposición de Schur, podemos ver que la descomposición en valores singulares siempre existe.
Los valores singulares de A son los i, y el número de valores no cero es el rango de A. Los ui son los vetores singulares izquierdos y los vi los vectores singulares derechos relacionados con i.
![Page 281: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/281.jpg)
1 1
2 2
2 2
9 9
9 9A=
ATA
propiovalores 18 y 0. 1=18(1/2) y 2=0Un par de vectores propios de ATA normalizados son
v1=[1.71/2 1.71/2]T y v2=[1.71/2 -1.71/2]T
Entonces V=[V1 v2]
![Page 282: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/282.jpg)
1 1
2 2
2 2
A=AAT=
propiovalores 18 y 0. 1=18 y 2=0Vectores propios de AAT normalizados son
u1=[1/3 2/3 2/3]T u2=[(-2)51/2/5 51/2/5 0]T u3 =[(2)51/2/15 (4)51/2/15 (-1)51/2/3 ]T Entonces U=[u1 u2 u3]
2 4 4
4 8 8
4 8 8
![Page 283: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/283.jpg)
1 1
2 2
2 2
A=AAT=
2 4 4
4 8 8
4 8 8
3(2)1/2 0
0 0
0 0
![Page 284: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/284.jpg)
Mínimos cuadrados
Suponer que A=UVT, es la descomposición en valores singulares, donde A es de rango k. El problema es minimizar ||Ax-b||2 con respecto a x.
||Ax-b||2=||UVTx-b||2=||y-UTb||2
y=VTx ||Ax-b||2 es mínimo cra x ssi ||y-UTb||2 es mínimo cra y.
||y-b’||22=|1y1-b1’|2+...+|kyk-bk’|2+|bk+1’|2+...+|bp’|2
b’=UTb Es minimizado si yi=bi’/i
![Page 285: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/285.jpg)
Mínimos cuadrados
Entonces para ||Ax-b||2 con respecto a x. Encontrar A=UVT
Calcular b’=UTb Calcular yi=bi’/i para 1ik, yi=0 otro caso x0=Vy y=VTx ||Ax-b||2 es mínimo cra x ssi ||y-UTb||2 es
mínimo cra y. ||y-b’||2
2=|1y1-b1’|2+...+|kyk-bk’|2+|bk+1’|2+...+|bp’|2
b’=UTb Es minimizado si yi=bi’/i
![Page 286: Calculo Dif. e Int](https://reader033.vdocuments.co/reader033/viewer/2022061609/55cf9984550346d0339dc809/html5/thumbnails/286.jpg)
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICO I Expresa algebraicamente las siguientes proposiciones: a) La suma de tres números consecutivos es 60 b) El largo de un terreno de forma rectangular mide el doble de su ancho más tres metros. El
perímetro es de 5010 metros. c) Tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y del tercero es igual al
doble del segundo
II ¿Qué es una ecuación y cuáles serían sus características? III ¿Cuáles son las características de una ecuación lineal o de primer grado? Dar un ejemplo IV Si se tiene una ecuación lineal o de primer orden, qué significado tiene la solución V ¿Cómo se representaría geométricamente una ecuación lineal o de primer orden? VI Grafica en un mismo plano a) 3x+2y=6 b) 25=x-7y c) –y=--x
VII ¿El punto (0,-10) es solución de 4x+25y=10? Justifica tu respuesta VIII Resolver el siguiente problema: En una alcancía hay billetes de $50, $100 y $ 200 pesos,
haciendo un total de $9600. El número de billetes de $100 es el triple que las de $200, y el número de billetes de $50 es el doble de los de $100. ¿Cuántos billetes de cada denominación hay en la alcancía?