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CAL 2 PC 3 / CICLO 2014 0
INTEGRALES DOBLES
I.EN COORDENADAS CARTESIANAS:
A.INTERCAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACION:
1.Prof. Clemente-Rivas-Euclides(11-1)
Dada la integral:
a) Graficar la región de integración. (1p)
b) Intercambiar el orden de integración. (1p)
c) Evaluar la integral de la parte b). (3p)
2.Prof. Euclides (10-2) Dada la integral:
a) Graficar la región de integración.(2p)
b) Intercambiar orden de integración. (3p)
3.Prof. Clemente-Rivas-Euclides(10-1)
Cambiar el orden de integración
de: (5p)
4.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1)
Dado la Integral i) Describir y graficar la región de
integración. (1p)
ii) Hallar el valor de la integral dada. (4p)
5.Prof. Ramos (09-1) Usando integrales dobles hallar el
área de la región R limitada por las
curvas: , ,
. (5p)
Prof. Clemente (09-1) Evaluar las siguientes integrales:
a)
b) , siendo la región
(4p)
6.Prof. Soto (09-1)
Dada . Dibujar la región de integración y calcular la integral doble. (5p)
7.Prof. Cárdenas (09-0)
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Dado , donde
a) Graficar la región .
(1p) b) Intercambiar orden de integración.
(1p)
c) Calcular el valor de la integral. (2p)
8.Prof. Aníbal (08-1)
Evaluar a) Graficar según límites de
integración.b) Haga Ud. Su cambio de variable e
integrar. (4p)
B.AGRUPACION DE INTEGRALES:
9.Prof. Clemente (09-1)
Representar en una sola integral,
la suma de las integrales:
(4p)
10.Prof. Ramos (09-1) Intercambiar el orden de
integración y expresar en una sola integral doble:
(5p)
11. (08-1) Dado la suma de integrales:
a) Construir la región de integración.b) Expresar la suma de integrales
como una sola integral.c) Calcular el valor de la integral
hallada en b) para la función
. (4p)
II.EN COORDENADAS POLARES:
A.EN POLARES NORMALES (CIRCUNFERENCIAS):
12.Prof. Primitivo Cárdenas (10-2) Dado la Integral:
i) Graficar la región de integración y cambiar la orden de integración. (3p)
ii) Expresa la integral en coordenadas polares. (2p)
13.Prof. Primitivo Cárdenas (10-2)
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Evaluar
i) Si es la región triangular
acotada por . (3p)
ii) Si (2p)
14.Prof. Primitivo Cárdenas (10-1)
i) Calcular
ii) , donde (5p)
15.Prof. Ramos (09-2) Dada la integral:
i) Describir gráficamente el dominio de integración.
ii) Calcular la integral sobre el dominio hallado. (4p)
16.Prof. Ramos (09-2)i. Construir la gráfica de la región D
en el plano XY, limitada por las líneas:
ii. Calcular sobre la región construida. (4p)
17.Prof. Cantoral (09-2)
Hallar donde la región plana R está limitada por
. (4p)
18.Prof. Clemente (09-1) Dada la integral
, siendo la región definida como:
. (4p)
19.Prof. Cárdenas (09-0)
Calcular , donde
en el semi-plano del primer cuadrante. (4p)
20.Prof. Clemente (08-1) Señale en un diagrama la región
de integración y calcule el valor de
la integral:
(5p)
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B.EN POLARES MODIFICADAS (ELIPSES):
21.(08-1) Calcular la integral doble:
, siendo
la región en el primer cuadrante
acotada por: y los ejes coordenados. (4p)
III.COORDENADAS GENERALES:
22.Prof. Clemente-Rivas-
Euclides(11-1) Sea D una región acotada por las
rectas: , , ,
. Usando cambio de
variable , .a) Graficar ambas regiones.
(2p)
b) Calcular la región (3p)
23.Prof. Euclides (10-2)
Dada la integral
considerar cambio de variables
, donde D es una
región limitada por las rectas
, , ,
a) Graficar las regiones D y su
transformación.
(2p)b) Evaluar la integral.
(3p)
24.Prof. Clemente-Rivas-Euclides (10-1)
Dada la integral:
a) Dibujar la región de integración.
b) Si se conoce ;
calcular el valor de .(5p)
(Sugerencia: , )
25.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1)i) Sea la región :
(1p) Graficar D en el plano uv. (1.5p)
ii) Hallar el área de la región D. (2.5p)
26.Prof. Ramos (09-2) Si la región D en el plano XY es el
triángulo determinado por la recta
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y los ejes coordenados.
Calcular la integral: . (4p)
27.Prof. Ramos (09-1)
Calcular siendo el triángulo limitado por los ejes
coordenados y la recta . (5p)
28.Prof. Soto (09-1) Aplicando la transformación:
, . Calcular
. (5p)
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
I.CENTRO DE MASA
29.Prof. Clemente-Rivas-Euclides (11-1)
Determinar el centro de masa de la región D limitada por las curvas:
, , si la densidad
de esta dada por . (5p)
30.Prof. Euclides (10-2)
Determinar el centro de masa de
un trapecio de vértices
Si la función de densidad en cualquier punto es
. (5p)
31.Prof. Clemente-Rivas-Euclides (10-1)
Hallar el centro de masa de la
región D, limitadas por las curvas
si la densidad de D
es . (5p)
32.GUIA. Hallar el centroide de la región del
primer cuadrante interior al círculo
.33.GUIA. Hallar el centroide de la región
plana R limitada por las curvas:
, x = a, y = 0 .
34.GUIA. Calcular el centroide de la región
plana R limitada por la curva : y = cos x , el eje OX y el eje OY
.
II.MOMENTO DE INERCIA:
35.GUIA. Hallar el momento de inercia
respecto al eje OX de una lámina
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homogénea con densidad de
masa , que ocupa la
región R limitada por la curva y las rectas y = 0, x = 0 , x = 1.
III.AREAS:
36.Prof. Primitivo Cárdenas (10-2)
Determinar el área de la región acotada por la gráfica de la curva
. (4p)
37.Prof. Euclides (10-2)
Sea la región D acotada por las
curvas:
a) Graficar la región D.
(2p)
b) Hallar el área de la región D
usando integrales dobles.
(3p)
38.Prof. Primitivo Cárdenas (10-1) Hallar el área de la región acotada
por la gráfica de (5p)
39.Prof. Ramos (09-2)i. Construir la gráfica de la región D,
limitada por las líneas: ,
, , .
ii. Calcular el área de la región construida. (4p)
40.Prof. Clemente (09-1)a) Determinar el área de la región D,
limitada por las curvas:
b) Usando integral doble hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano
. (4p)
41.Prof. Cárdenas (09-0)
Hallar el área de la región acotada por las curvas
, , , (Eje X). (4p)
42.(08-1) Hallar el área de la región plana
limitada por la parte de arriba por:
y en la parte de abajo
por . (4p)
43.Prof. Clemente (08-1)a) Mediante integral doble calcular el
área de la región D limitada por las curvas:
.b) Mediante integral doble
determinar el volumen de un tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano
. (5p)
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44.GUIA. Área de la región R dada por
IV.VOLUMENES USANDO INTEGRALES DOBLES:
45.Prof. Primitivo Cárdenas (10-2)
Hallar el volumen del sólido
acotada por las superficies
. (4p)
46.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1) Determinar el volumen del solido
acotado por el plano x+z=1, el
plano XY y por . (5p)
47.Prof. Clemente-Rivas-Euclides(10-1)
Hallar el volumen del solido acotado por el paraboloide
y el cilindro (5p)
48.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1) Determinar el volumen del solido
acotado por las superficies
, (5p)
49.Prof. Aníbal (09-1)
Hallar el volumen del solido
limitado por: .
(4p)
50.Prof. Clemente (09-1) Calcular el volumen del solido
comprendido entre los
paraboloides ,
. (4p)
51.Prof. Soto (09-I) Hallar el volumen del tetraedro
limitado por: y los planos coordenados. (5p)
52.Prof. Ramos (09-1) Hallar el volumen del solido
limitado por el paraboloide
, el cilindro y
el plano .
(5p)
53.GUIA. Volumen del sólido acotado W,
limitado por el paraboloide
y el plano XY.}
54.GUIA. Volumen de la región común a la
esfera y al sólido
cilíndrico .
55.GUIA.
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Calcular el volumen del sólido:
.
INTEGRALES TRIPLES
I. COORDENADAS CARTESIANAS:
56.Prof. Rivas-Soto-Ramos (10-1)i. Graficar el sólido S acotado por las
ecuaciones: , ,
, . (1.5p)
ii. Determinar el volumen del solido S por integrales triples. (3.5p)
57.Prof. Ramos (09-2)
Evaluar la integral:
(4p)
II. COORDENADAS CILINDRICAS:
58.Prof. Clemente-Rivas-Euclides (11-1)
a) Calcular
b) Calcular , donde
es la región limitada por ,
, . (5p)
59.Prof. Clemente (08-1)
Calcular , donde la regios S está limitado por las
superficies .
(5p)
60.Prof. Aníbal (08-1)
Hallar la integral , si
, sobre la porción de
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cilindro , que se
encuentra entre los planos y
. (4p)
III. COORDENADAS ESFERICAS:
61.Prof. Primitivo Cárdenas (10-2)
Calcular la integral:
Graficando la región de integración.
(4p)
62.Prof. Primitivo Cárdenas (10-1) Calcular:
, graficando la región de integración. (5p)
63.Prof. Cantoral (09-2)
Hallar: . (4p)
64.Prof. Aníbal (09-1) Usando coordenadas esféricas.
Evaluar:
. (4p)
65.Prof. Aníbal (09-1)
Evaluar ,
para . (4p)
66.Prof. Cantoral (09-2) Usando integrales tripes hallar el
volumen del solido limitado por el
cono y la esfera
siendo . (4p)
67.Prof. Primitivo Cárdenas (09-0)
Calcular , si Q
está acotada inferiormente por el plano XY y entre las esferas
y . (4p)
68.Prof. Primitivo Cárdenas (09-0)
Por medio de integrales triples,
calcular el volumen del solido
encerrado por (4p)
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MISCELÁNEA DE INTEGRALES TRIPLES
69.Calcular:
∫0
2
∫0√4−x2 ∫0
√4−x2− y2 z √4−x2− y2 dzdy dx
70.Calcular:
71.Calcular:
∫−3
3 ∫−√9−x 2√9−x2 ∫0
9−x2− y2
x2dz dy dx
72.Calcular:
∫01 ∫y2
y
∫0y− z2
( y+z2 ) dx dz dy
73.Expresar la integral
∫∫s∫ f ( x , y , z ) dx dy dz
como una integral iterada en 06 formas sobre la región:
74.Sea S, la región acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la superficie Z = x2 + y2, x 0, y
0. Calcular :
75.Si S es la región limitada por x2 + y2 = 3z2; z 0, y 0, x2+ y2 + z2 =
4. Calcular: ∫∫
S∫ z dx dy dz√x2+ y2
76.Sea S la región limitada por las superficies z = x2 + y2, x2 + y2
= a2. Calcular: ∫∫
S∫√ x2+ y2 dx dy dz
77.Calcular ∫∫
S∫ zdx dy dz
donde S es el sólido limitado por las superficies:
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