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Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 1
Tema 5: Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control Automático
3º Curso. Ing. IndustrialEscuela Técnica Superior de IngenierosUniversidad de Sevilla
Curso 2008-09
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Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Sistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Moldeo de la función de lazo.
Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)
Control PD y red de avance
Control PI y red de retardo
Control PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
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Introducción
Los métodos en el dominio de la frecuencia son clásicosen ingeniería de control.El lazo de realimentación se analiza considerando quelas señales y sistemas se describen mediante unadescripción frecuencial.
Qué aprenderemos en este tema?Por qué las técnicas frecuenciales son herramientas útiles paradiseñar/analizar controladores.Cómo la estabilidad del sistema realimentado se puede analizar por métodosfrecuenciales.Cómo las especificaciones y objetivos de control se trasladan al dominio de la frecuencia.Cómo se pueden diseñar controladores (P, PD, PI, PID) desde un punto de vista diferente (con sus pros y sus contras).
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Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuenciaSistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Moldeo de la función de lazo.
Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)
Control PD y red de avance
Control PI y red de retardo
Control PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
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Análisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Algunas nociones básicas
Los dominios del tiempo y de la frecuencia son descripcionesmatemáticas equivalentes de la misma realidad
Ambas contienen la misma información
Por qué el dominio de la frecuencia?
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Análisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Ejemplo: representación de un senoen el dominio de la frecuencia (DF).
Información sobre la amplitud y
frecuencia en el dominio del tiempo (DT)
Qué ocurre con señales más complejas?
Interpretación del dominio de la frecuencia
A señal en el DT puede describirse como unasuma de ondas con diferentes amplitudes y fases (Propiedad de Linealidad)
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Análisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Transformada de Fourier
¿Cómo se puede calcular las componentes frecuencialesde una señal temporal?
Nota: Si la transformada de Fourier converge, ésta es equivalentea la transformada de Laplace de la señal evaluada en s = jω
Pero, ¿Recordais la transformada de Laplace?
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Análisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
La transformada de Laplace es la herramienta básicapara analizar sistemas lineales.
Hay una relación útil entre
Dominio temporal
Dominio de Laplace
Dominio de Fourier
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Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Sistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Moldeo de la función de lazo.
Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)
Control PD y red de avance
Control PI y red de retardo
Control PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
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Sistemas dinámicos como filtros
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
2
4
6
8
10
12
Un sistema dinámico lineal puede interpretarse como un filtro
Los filtros aplifican ciertas frecuencias y atenúan otras
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Baja frec.Amplifica
Alta frec. Atenúa
Frecuencia (Hz)
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Sistemas dinámicos como filtros
Tipos de filtros según su respuesta frecuencial
Filtro paso bajo
Frequency (Hz)
Bajas frec.
Atenúa
Altas frec.
Amplifica
Frequency (Hz)
Frec.medias
Amplifica
Frequency (Hz)
Filtro paso banda Filtro paso alto
• Frecuencia de corte (wc): Máxima frecuencia tal que
Baja frec.Amplifica
Alta frec. Atenúa
Altas y Bajas frec.Atenúa
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Trazado de la respuesta frecuencial
Una vez más, gracias a la transformada de Laplace
¿Cómo podríamos calcular la respuesta frecuencial de un filtro (funciones de transferencia)?
Factor de amplificaciónpara la frecuencia ω
Desfasepara la frecuencia ω
Importante: estas relaciones son sólo válidaspara sistemas G(s) estables
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Trazado de la respuesta frecuencial
10-3
10-2
10-1
100
101
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Mag
nitu
de (d
B)
La información de G(jω) se suele mostrar con diferentesrepresentaciones gráficas
Diagrama de Bode
Diagrama de Nyquist
-2 0 2 4 6 8 10-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50 dB
-10 dB-6 dB
-4 dB
-2 dB
10 dB6 dB
4 dB
2 dB
Nyquist Diagram
Real AxisIm
agin
ary
Axis
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Representaciones gráficas
Objetivo: representar gráficamenteDiagrama de Bode:
2 Gráficas escalares en escala semilogarítmica
Módulo
Argumento
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102 103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequenc y (rad/s ec )
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102 103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequenc y (rad/s ec )
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Representaciones gráficas
Objetivo: representar gráficamente
Diagrama de Nyquist
Representación en polaresCada punto es un valor de G(jw) para cierta frecuencia wCurva parametrizada
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
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Diagrama de Bode
Expresar el sistema en Forma de Bode
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Bode de la Ganancia
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Bode de un Cero de fase mínima
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Bode de un integrador
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Bode de un polo estable
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Bode de un Polo Complejo
• Depende de δ• El módulo presenta un máximo para δ≤0.707
Pico de Resonancia
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Bode de un Polo Complejo
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Ejemplo de trazado
m1m3
G(jω)
200
-20
m2
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
m4
)100()1()G(
++
=ssss
26
Ejemplo de trazado
0º
-90º f2
f1
G(jω)
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
90º
f3
f4
0º
-90º f2
f1
G(jω)G(jω)
10-2 1 10 103 rad/s10-1 10210-2 1 10 103 rad/s10-1 102
90º
f3
f4
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Interpretación de un Diagrama de Bode
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Mag
nitu
de (d
B)
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
• Cerca del pico de resonancia:Altas amplitudes
Ganancia > 0dB
F(s)u y
u
yu
y • Altas frecuencias:Pequeñas amplitudes
Ganancia < 0dB
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Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Sistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Moldeo de la función de lazo.
Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)
Control PD y red de avance
Control PI y red de retardo
Control PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
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Criterio de estabilidad de Nyquist
¿Es Gbc(s) estable?
Analizando sólo G(s)
Z=num polos de Gbc(s) en CP=num polos de G(s) en CN=num de vueltas de G(C) en
torno al -1 (sent. Horario)
N=Z-P
Gbc(s) estable si y sólo si Z=0 (es decir N = -P)
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Ejemplo
P=1 Sistema estable si N=-1
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Criterio de Nyquist reducido
Si el Diagrama de Nyquist cierra por la derecha y P=0 (Sistemas estables y de fase mínima)
Márgenes de estabilidad
G(s) es estable si Mg y Mf son positivos
Margen de fase
Margen de ganancia
32
Criterio reducido de Nyquist
¿Cómo se miden el Mg y el Mf en un Diagrama de Bode?
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagrams
−100
−50
0
50
10−2
10−1
100
101
−300
−250
−200
−150
−100
−50
Mf
Mg
ωp ω
g
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Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Sistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Moldeo de la función de lazo.Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)
Control PD y red de avance
Control PI y red de retardo
Control PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
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Moldeo de Lazo (Loop shaping)
-G(s)
U(s) Ybc(s)C(s)
R(s)
El diseño de controladores en el dominio de la frecuencia se puede poner como:
Esto plantea ciertas cuestiones:• ¿Cómo se puede manipular la respuesta frecuencial del sistema en
bucle cerrado mediante C(s)?• ¿Cómo se pueden estudiar en el dominio de la frecuencia las
especificaciones dadas en el dominio del tiempo?• ¿Qué se considera una “forma adecuada” de la respuesta
frecuencial del sistema en bucle cerrado?
Moldeo de LazoEncontrar un controlador C(s) quemodifique (de forma) la respuestafrecuencial del sistema en buclecerrado de forma que su respuestacumpla las especificaciones.
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Moldeo de Lazo• En general, es difícil encontrar una relación
exacta de cómo C(s) afecta a la respuestafrecuencial en bucle cerrado.
• Las respuestas frecuenciales en bucleabierto y en bucle cerrado estánrelacionadas.
• El efecto de C(s) en la respuesta frecuencialen bucle abierto es directo usando el Diagrama de Bode.
• La respuesta frecuencial en bucle abiertoprovee información importante de la respuesta en bucle cerrado(estabilidad, Mg, Mf, etc)
El controlador C(s) modifica la respuestafrecuencial de C(s)G(s)
e indirectamente los objetivos de control del sistema en bucle cerrado.
G(s)C(s)
Ybc(s)U(s)
-G(s)C(s)
R(s)
El modeo de lazo se realiza sobre la función
en bucle abierto
Bucle cerrado
Bucle abierto
36
Moldeo de Lazo
• Estabilidad: Márgenes de ganancia y fase positivos( Si C(s)G(s) no tiene polos en el semiplano derecho)
• Sobreoscilación: SO(%) ≅ 60-Mf
• Tiempo de subida:
• Régimen permanente: Tipo de C(s)G(s) y ganancia de Bode
Respuesta frecuencial del sistema en bucle abierto determina la respuestaante escalón del sistema en buclecerrado
G(s)C(s)
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Especificaciones en el dominio de la frecuencia
¿Qué se considera una forma adecuada de C(s)G(s)?
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
Alta frecuenciaRechazo al ruido
Baja frecuenciaRégimen permanente
Frecuencia de corte:Estabilidad y transitorio
Wc
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Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuencia
Sistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Moldeo de la función de lazo.
Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)
Control PD y red de avance
Control PI y red de retardo
Control PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
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Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Las especificaciones del controlador se suelen dar en el dominio del tiempo (SO, ts, te, etc)
Es necesario trasladarlas al dominio de la frecuenciaEn el método del Lugar de las Raíces: las especificaciones
temporales se transforma en límites geométricos en el plano
complejo.
Dos tipos diferentes de especificaciones
Régimen permanente
Régimen transitorio
40
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Las especificaciones afectan a diferentes frecuencias
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
Alta frecuenciaRechazo al ruido
Baja frecuenciaRégimen permanente
Frecuencia de corte:Estabilidad y transitorio
Wc
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Especificaciones en el dominio de la frecuencia
La señal de error e(t) depende de la referencia r(t)Se utilizan diferentes entradas patrón (escalón, rampa, etc)
La señal de error viene dada por
Las especificaciones en régimen permanente se suelen transformar en un mínimo valor de la ganancia (o de su pendiente) a bajas frecuencias
-G(s)
U(s) Ybc(s)C(s)
R(s) E(s)
Entrada en escalón
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Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Tipo de un sistema = nº de integradores
0 1 2
Escalón 0 0
Rampa 0
Parábola
ErrorTipo
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Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Condiciones sobre el sistema realimentado Típicamente ante una señal de referencia en escalón
Para simplificar el diseño:
Hipótesis simplificatoria
Hay que comprobar la validez de la hipótesis
(Efectos de los ceros y de los polos)
Respuesta en b.c ⇔ Forma del sistema en b.a.
El sistema realimentado tiene un par de polos complejos dominantes
x
x
ox
44
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
10-2 10-1 100 101 102-100-80-60-40-20
0204060
10-2 10-1 100 101 102-180
-135
-90
Respuesta en b.c.
Respuesta frecuencial del sistema en b.a.
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Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Cualitativamente
(Nyquist)
↑SO ↓ Mf
Cuantitativamente
Mf(δ) - SO(δ) Curva
Mf(δ)~100 δ
SO~ 60-Mf
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
δ
SO(%)Mf (grados)
Relación Sobreoscilación – Margen de fase
46
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Cuantitativamente
Ancho de Banda (ωc) frente a tiempo de subida (ts)
Cualitativamente : ↑wc ↓ ts
wc ~ wn
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
SO(%)
ωcts
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Especificaciones en el dominio de la frecuencia
Disminución de gananciaa alta frecuencia
Recomendable para reducirel efecto de los ruidos
Espec. Rég. PermanenteImpone una ganancia mínima(o una mínima pendiente) a
baja frecuencias
tsimpone un mínimo del ancho de
banda (Wc)
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
Wc
Las especificaciones en el dominio del tiempo se pueden trasladar a restricciones geométricas en la representación frecuencial del sistema en b.a.
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IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuenciaSistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)Control PD y red de avance Control PI y red de retardoControl PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
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Diseño frecuencial de controladores
Ya sabemos cómo
El diseño de controladores en el DF consiste en modificar la respuesta frecuencial de Gba(s) paraque cumpla las especificaciones.
Moldeo de Lazo (Loop shaping)Importante: El moldeo de lazo sólo se puede aplicar sobre sistemas estables(con integradores en serie).Esta limitación no se da en el método del lugar de las raíces
Especificaciones de Gbc(s)en el dominio del tiempo
Especificaciones de Gba(s)en el dominio de la frecuencia
50
Ejemplo motivador
• Sistema de control de la posición (o velocidad) de un sistema mecánico porrealimentación.
• Permite posicionar sistemas mecánicoscon grandes potencias a partir de movimientos con poco esfuerzo(referencia)
Servomecanismo
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Ejemplo motivador
• Ecuaciones eléctricas
Modelado del servomecanismo
• Ecuaciones mecánicas
Motor
Engranaje
Carga
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Ejemplo motivador
• Descripción externa del sistema
Modelo del servomecanismo
• Función de transferencia
con
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Ejemplo motivador
• Diagrama de bloques
-
U(s) Ybc(s)R(s)
Planta
Sensor
Controlador
• Sistema en bucle cerradoDefiniendo
-
U(s) Ybc(s)R(s)
Ym(s)Variable medida
Ym(s)
• Diagrama de bloques modificado La variablemedida se tomacomo salida
54
Ejemplo motivador
Respuesta ante escalón en b.a.
Velocidad angularSist. Primer orden estable
Posición angular
Integral de la velocidadEvolución inestable
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
-4
Time(s)
θ (ra
d)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
-5
Time(s)
d θ/
dt (r
ad/s
)
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Ejemplo motivador
Control de un servomecanismo con los siguientes parámetros
10-4 10-2 100 102-200
-100
0
100
200Diagrama de Bode
ω (rad/s)
Mód
ulo
(dB
)
10-4 10-2 100 102
-250
-200
-150
-100
-50
0
ω (rad/s)
Fase
(gra
dos)
56
Ejemplo motivador
Especificaciones de control (en posición)
Especificacionesen el
dominio del tiempo
00
Tiemp
y(t)
)()()(
..∞
∞−=
yyty
OS p
)(∞y
etptst
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Ejemplo motivador
Especificaciones de control
Ganancia del controladorKc>33.3 (30.5 dB)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
δ
SO(%)Mf (grados)
Especificacionesen el
dominio del tiempo
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
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Control proporcional (P)Control PD y red de avance Control PI y red de retardoControl PID y red mixta
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Control proporcional (P)
Ley de Control
Función de transferencia
Modifica la ganancia de G(s)C(s)Frecuencia de corteEstabilidadRapidezComportamiento
19
19.2
19.4
19.6
19.8
20
20.2
20.4
20.6
20.8
21
Mag
nitu
de (
dB)
100
101
−1
−0.5
0
0.5
1
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
60
Control proporcional (P)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-300
-200
-100
0
100
200
Mag
nitu
de (d
B)
Efecto sobre el sistema
• Puede subir o bajar el módulo
• No afecta a la fase
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Control proporcional (P)
Alta frecuencia
Efecto del ruido: empeora
(Mayor ganancia a altafrecuencia)
Baja Frecuencia
Régimen permanente: Mejora
• Menor error en régimenpermanente
• Mejores propiedades de seguimiento
Frecuencia de Corte
- Estabilidad: empeora(Disminuyen los márgenes)
- Rapidez del transitorio: mejora
- Sobreoscilación: empeora
Análisis según la forma de lazo
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Wc
62
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Control proporcional (P)
Diseño para el servomecanismo de posición
InestableUn simple Controlador P no puede
satisfacer todas las especificaciones
• Ajustar Kc para cumplir las especificaciones
Tomamos el valor mayor
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63
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90Ph
ase
(deg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Control proporcionalDiseño para el servomecanismo de posición
• Dado que todas las especificaciones no se pueden cumplir, sería posiblediseña el controlador para cumplir sólo la de sobreoscilación.
Esta ganancia es menorque la necesaria para
cumplir las especificacionesde régimen permanente y
de tiempo de subida
64
Control proporcional (P)
¿Sería posible desacoplar el ts y la SO?
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Time (s)
y(t)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 32
65
Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuenciaSistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)Control PD y red de avance Control PI y red de retardoControl PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
66
Control proporcional derivativo (PD)
Bajas frecuenciasGanancia como un PFase aprox. Igual
Altas frecuenciasGanancia aumenta a razón de 20 dB/decFase sube 90º
Implementación:Filtro de derivadas
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 33
67
• Factorización del problema
• Generalmente Kc se fija a partir de las especificaciones en régimen permanente (el menor de valor de Kc que satisface la especificación)• El valor de Kc se agrupa con G(s) , formando el sistema sin compensar KcG(s)
-
U(s)R(s)
PlantControlador
Ym(s)=Y(s)
-
U(s)R(s)
Sistema sin compensar
C(s)/Kc
Ym(s)=Y(s)
• A partir del diagrama de Bode de KcG(s) se diseña C(s)/Kc
Control proporcional derivativo (PD)
68
Efecto sobre el sistema
• A bajas frecuencias como un P• A altas frecuencias aumenta
• El módulo 20 dB/dec• La fase sube 90º
Respuesta más rápiday menos oscilatoria
Control proporcional derivativo (PD)
Dos casos:
Si -100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 34
69
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Efecto sobre la respuesta temporal en b.c
Un buen ajuste puedeproporcionar unarespuesta más rápida y menos oscilatoria
Si
Control proporcional derivativo (PD)
70
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Wc
Análisis del moldeo de lazo
Control proporcional derivativo (PD)
Baja Frecuencia
Régimen permanente: Mejora(Igual que el control P)
• Menor error en régimenpermanente
• Mejores propiedades de seguimiento
Frecuencia de Corte
- Estabilidad: mejora- (Aumentan los márgenes)
- Rapidez del transitorio: mejora
- Sobreoscilación: mejora
Alta frecuencia
Efecto del ruido: empeora
(La pendiente aumenta20 dB/dec)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 35
71
Caso 1: Kc fijada por las especificaciones
Control proporcional derivativo (PD)
72
• El cálculo de es complejo
• Simplificación
siendo
Típicamente
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Control proporcional derivativo (PD)
• En general dado que la adición del cero podría modificar la frecuencia de corte.
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 36
73
Caso a)
Elegir el menor Td posible
Minimizar la amplificación a altas frecuencias
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Control proporcional derivativo (PD)
Diferentes diseños según la fase que debe aportar
74
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Control proporcional derivativo (PD)
Caso b)
Aproximación ajustar iterando
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 37
75
Ejemplo PD
2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
+=
+ + +
Especificaciones:• erp ante escalón < 1%• SO < 20%
Especificación en eprpKp>99, como Kp=25 Kc=> Kc ≥ 4 se toma Kc=4
No se puede controlar con un P.
Un PD introduce fase por lo que es una buena posibilidad.
-2 -1 0 1 210 10 10 10 10
-20
0
20
40
-180
-90
0
90
G
KcG
G
76
Ejemplo PD
2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
+=
+ + +
eprp < 1%, SO < 20%
• Se toma Kc=4
• Especificación en SOMfd=50º
Mf=-15º, wc=2.6 rad/sΔMf=50º-(-15º)>45Lo que implica caso b) 1/Td<wc
Tomando δ=10ΔMf=50º-(-15º)+(10º)=75ºTd=tan(75º)/2.6=1.431/Td = 0.7 rad/s
-2 -1 0 1 210 10 10 10 10
-20
0
20
40
-180
-90
0
90
C
KG
L=CG
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 38
77
Ejemplo PD (cont.)El resultado
obtenido se caracteriza por:• Mf= 66o
• Mg= inf• wc = 4 rad/s
-2 -1 0 1 210 10 10 10 10
-20
0
20
40
-180
-90
0
90
C
KG
L=CG
78
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2 y(t)
r(t)
El resultado obtenido se caracteriza por:•Mf= 66o
•Mg= inf•wc = 4 rad/s
Mediante simulación es posible obtener:•SO= 13%•ts= 0.28 s
Ejemplo PD (cont.)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 39
79
Paso 1: Seleccionar la frecuencia de corte de las especificaciones(tiempo de subida o tiempo de establecimiento)
Nota: Si las especificaciones no fijan un valor de , entonces se puede elegir como la mayor posible tal que requiera un ΔMf realizable (es decir, inferior a 90º)
Paso 2: Seleccionar Td para satisfacer la condición de margen de fase para la frecuencia de corte anteriormente fijada.
Paso 3: Ajustar Kc para garantizar que la frecuencia de corte es la del paso 1.
Caso 2: Kc NO fijada por las especificaciones
Control proporcional derivativo (PD)
80
Ejemplo PD (Caso 2)
Especificaciones• evrp ≤1%• SO ≤ 20% → Mf ≥ 45o
El sistema realimentado unitariamente es inestable pues Mf<0
Además este sistema no se puede controlar con un P, pues la fase del sistema es siempre inferior a -180o
Ejemplo de diseño
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 40
81
Ejemplo PD (Caso 2)
• El sistema es tipo 2, por lo que se cumple la especificación en régimen permanente para todo Kc
• La frecuencia de corte ω’c se fija como la máxima que permita el PDPor ejemplo, como Mfd=50º, si imponemos ΔMf=75º, entonces ω’c=2.3 rad/s.
Td=tan(75º)/2.3=1.621/Td = 0.62 rad/s
• Finalmente, Kc se toma para que la frecuencia de corte sea ω’c=2.3 rad/s.
|Kc G(jw’c)(1+Tdw’cj)|=0dBKc=3.6dB ≡ 1.51
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
82
La respuesta ante escalón del sistema controlado en bucle cerrado es tal que
• SO= 26%• ts= 0.9 s
La sobreoscilación mayor que la deseada se debe al cero que añade el controlador PD.
Posible solución: rediseñar con una restricción de SO más exigente.
Ejemplo PD (Caso 2)
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time (s)
y(t)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 41
83
Control PD del servomecanismo
Inestable
Primero se calcula la ganancia del controlador
Para estabilizar el sistema, se debeaumentar el Mf: término derivativo
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
84
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Mf= 23.7ºNo se cumplen lasespecificaciones
Del D. Bode de
Control PD del servomecanismo
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 42
85
Red de avance de fase
Controller structure:
Frecuencias bajas
• La ganancia se afecta por Kc (proporcional)• Desfase nulo
Frec. Altas
•Módulo aumenta hasta un valor máximo•Desfase nulo
Frec. intermedias
• Pendiente en el módulo de 20 dB/dec.• Desfase máximo
0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6Módulo asintótico
dB
0 0.1 0.2 0.30
15
30
45
60
75
90Fase
grad
os
τ
20 dB/dec
ω
86
Red de Avance
Algunas expresiones
Máximo avance de fase en
Módulo en
Ganancia máxima
0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6Módulo asintótico
dB
0 0.1 0.2 0.30
15
30
45
60
75
90Fase
grad
os
τ
20 dB/dec
ω
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 43
87
Red de Avance
0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
0 0.1 0.2 0.30
15
30
45
60
75
90Fase
grad
os
1/τ
Kc
20 dB/dec
1/(α·τ)
20log(1/α) 10log(1/α)
Φm
ωm
Efectos práctiocs
• La RA añade fase en un rango determinado de frecuencias
• El máximo módulo estálimitado. Beneficioso parael efecto de los ruidos
• El efecto es similar al del PD con una módulolimitado
88
Red de Avance
Efectos en el dominiode la frecuencia
• Efecto en el dominio del tiempo similar al del PD, pero con una amplificaciónlimitada del ruido.
100
101
-60
-40
-20
-10
0
20
40Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
100
101
-270
-225
-180
-135
-90Fase
grad
os
-10log(1/α)
ωm=ω' =5.6 rad/s 1/τ 1/(α τ)
Sistema más rápido ymenos oscilatorio.
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 44
89
Ánálisis de Lazo de la red de avance
Análisis de la función de lazo
Baja Frecuencia
Régimen permanente: Mejora(Por el efecto de Kc)
• Menor error en régimenpermanente
• Mejores propiedades de seguimiento
Frecuencia de Corte
- Estabilidad: mejora- (Disminuyen los márgenes)
- Rapidez del transitorio y sobreoscilación: mejoran
Alta frecuencia
Empeora como en PD(ganancia limitada a altasfrecuencias)
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
w’c
90
Red de AvanceUn procedimiento de ajuste de una RA:Caso a) ( Kc fijada por las especificaciones)
Paso 1: Kc se elije para satisfacer las especificaciones en régimenpermanente y frecuencia de corte. Se calcula la frecuencia de cortey márgen de fase del sistema sin compensar
Nota: Si la Kc no viene fijada, ésta se puede elegir al final para lograruna determinada frecuencia de corte.
Paso 2: Calcular el incremento de márgen de fasecon
si es negativo o mayor que , la RA no se podrá diseñar.
Importante: Incremento de fase máximo
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 45
91
Red de Avance
Paso 3: Calcular para garantizar que el avance de fase se produce en la frecuencia de corte.
Se sabe que el máximo de frecuencia está en y
Así que se busca la frecuencia tal que
0 dB
92
Red de Avance
Se sabe que
Si , se debe rediseñar. La forma más sencilla es volver al Paso 1 y tomar de forma talque la frecuencia de corte de sea .
Como es siempre mayor que , la condición se satisface(Se está forzando que ).No obstante, aumentando , también se reduce el margen de fase de así que se requieren valores mayoresde (Recuérdese que está limitado a 78.5º)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 46
93
Red de Avance
Ejemplo: 2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
+=
+ + +
• Error en posición ≤ 1%• SO ≤ 20%
Especificaciones:
Static gain of controller ≥ 4 = 12.04 dB
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
δ
SO(%)Mf (grados)
94
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-225
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -8.37 dB (at 1.93 rad/sec) , Pm = -15 deg (at 2.81 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Red de Avance
Ejemplo:
Paso1 (Ajuste de la ganancia del controlador)
Paso 2 (Estimar el incremento de margende fase necesario)
Incremento de Mf
2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
+=
+ + +
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 47
95
Red de Avance
Paso 3 (Cálculo de )
Fijar tal que (deseada)
Dado que
0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
0 0.1 0.2 0.30
15
30
45
60
75
90Fase
grad
os
1/τ
Kc
20 dB/dec
1/(α·τ)
20log(1/α) 10log(1/α)
Φm
ωm
Se busca la frecuencia tal que
Así
Tomando
96
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Red de Avance
Diseño final
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 48
97
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
time (s)
y(t)
Red de Avance
Respuesta en escalón del sistema controlado:
• SO= 23%• ts= 0.28 s
Requiere ajuste
98
Caso b) (Kc NO viene fijada por las especificaciones)
Paso 1: Seleccionar la frecuencia de corte desada de lasespecificaciones (tiempo de subida o de establecimiento)
Nota: Si las especificaciones no imponen un valor específico de frecuencia de corte , ésta se puede elegir libremente. Un posibleopción es tomar la mayor posible, es decir, la mayor frecuencia querequiera un
Paso 2: Calcular el incremento de margen de fase necesario
Si es negativo o mayor que , la RA no es adecuada
Red de AvanceUn procedimiento de diseño de la RA
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 49
99
Red de Avance
Paso 3: Determinar para garantizar que el pico de incremeno de fasese produce en la frecuencia de corte.
Paso 4: Ajustar la ganancia Kc para fijar la frecuencia de corte exactamenteen
100
Red de Avance
Especificaciones:• evrp≤ 0.01• SO ≤ 20%
El sistema en es intestable cuando se realimenta unitariamente.
Con un controlador P es imposible estabilizar el sistema.(El P no añade fase)
Ejemplo de diseño
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 50
101
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)10
-210
-110
010
110
210
3-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
El sistema es de tipo 2. Por lo tanto evrp=0y las especificaciones se cumplen para cualquier valor de Kc
• Por lo tanto, ω’c se puede fijar para permitir el que la RA se pueda diseñar.Por ejemplo, dado que Mfd=50º, si se impone que Φm=75º, entonces podríamos tomar ω’c=2.3 rad/s.
• Finalmente se calcula Kc para que la frecuencias de corte sea ω’c=2.3 rad/s.
Red de Avance
102
Respuesta en escalón del sistema controlado
• SO= 23%• ts= 0.8 s
La condición de SO se sobrepasa ligeramente.Se debe reajustar o rediseñar.
Red de Avance
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
time (s)
y(t)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 51
103
Ejemplo del servosistema
Paso 1 (Ajustar la ganancia Kc)
Paso 2 (Estimar el incremento de fase)-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -25.9 dB (at 0.5 rad/sec) , Pm = -21.9 deg (at 2.14 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
IMPOSIBLE EL DISEÑO!!
104
Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuenciaSistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)Control PD y red de avance Control PI y red de retardoControl PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 52
105
Control PIMódulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0Fase
grad
os
1/Ti
Kc- 20 dB/dec
Efectos:
• Incrementa el tipo del sistema (número de polos en el origen)• Reduace la fase a frecuemcais menores a 1/Ti
106
Control PIEfectos en el sistema
• A bajas frecuencias la magnitudsube debido al polo en el origen.
• A altas fecuencias la magnitud no se modifica.
• Para frecuencas inferiores a 1/Ti la fase decrece.
Mejora el rechazo a perturbaciones y laspropiedades de seguimiento de referencia
Puede introducirinestabilidad(menor margen de fase)
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
200
Mag
nitu
de (
dB)
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
−270
−180
−90
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Sin modificación
Descenso de fase
Incremento de pendiente
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 53
107
Análisis de Lazo del controlador PI
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Alta frecuencia
La respuesta a altasfrecuencias no se modifica.
Baja frecuencia:
-A baja frecuencia la respuestamejora. Lapendiente se incrementa en -20dB/dec.
-Rechazo a perturbaciones mejora
-Seguimiento mejora
Frecuencia de Corte
- El margen de estabilidad puedeempeorar
- El margen de fase decrece parabajas frecuencias. La sobreoscilación puedeaumentar.
Wc
Análisis de Lazo
-20 dB/dec
108
(1 )( ) ic
i
T sC s KT s+
=
)1)((')1()()()()( sTsKGsTssG
TKcsGsCsL ii
i
+=+==
El problema de diseño se puede plantear como el de un controlador PD
Control PI
Ajuste de Kc y Ti
Kc is not the bode gain of the controller!
Procedimiento de diseño de un controlador PI
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 54
109
Diseño de un PI
• AjustePaso 1: Elegir para satisfacer las especificaciones de respuesta transitoriaPaso 2: Elegir para evitar un descenso elevado del margen de fasePaso 3: Determinar que satisfaga
o aproximadamente.
Caso a) K=Kc/Ti no está fijada por especificaciones de error en régimenpermanente (1 )( ) i
ci
T sC s KT s+
=
Un valor de 1/Ti bajo implicarechazo a perturbaciones lento y tiempo de establecimiento alto
Elegir Ti lo más pequeño posible
110
Especificaciones:
• Error frente a entrada en rampa (error en velocidad) ≤ 0.01(régimen permanente)
• SO ≤ 20%
1( )( 1)( 10)
G ss s s
=+ +
Ejemplo de diseño de un PI
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 55
111
Error en velocidad ≤ 0.01Esta especificación fija un límite inferior para la ganacia de bode del controlador C(s)
Kv = 0.1Kc ≥100 KB =1000
Márgen de fase de 1000G(s) = -40ºSO ≤ 20% Mfd≥45ºUn controlador proporcianal no puede estabilizarel sistema y satisfacer las especificaciones de error en valocidad
Se puede incrementar la fase añadiendo un PD?ΔMf = Mfd – Mf + Δ
= 45-(-40)+10 =95ºNo se puede usar un PD porque Kc esdemasiado alta
1( )( 1)( 10)
G ss s s
=+ +
Ejemplo de diseño de un PI
-2 -1 0 1 210 10 10 10 10
-200
2040
-180
-90
0
G(s)1000G(s)
112
Solución: Usar un controlador PIEl PI incrementa el tipo de la función de transferencia en bucle abierto y por lo tantola especificación de error en régimenpermanente se satisface automáticamente.
Se pueden elegir los parámetros Kc y Ti paracumplir el resto de las especificaciones.
Para obtener un sistema en bucle cerradorápido elegimos la frecuencia de cortemáxima que nos da el margen de faserequerido.
Mfd=45o, wc’=0.7rad/s, |G(j w’c)|=-18 dB
Kc se elige para obtener la w'c deseada
Kc=18 dB (Kc=8)
Ejemplo de diseño de un PI
-2 -1 0 1 210 10 10 10 10
-200
2040
-180
-90
0
G
w’c
Mf’=45o
w'c=0.7rad/s
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 56
113
Ti se elige para garantizar que el término integral no disminuye el nrgen de fase del sistemacontrolado:1/ Ti = w'c/10 = 0.05Ti = 20
C(s) = (Kc/Ti) (1+Ti s) /s= 8·0.05 (1+ 20s) / s= 0.4 (1+ 20s) / s
Respuesta frecuencial de C(s)G(s)Mf= 48ºMg= 22 dBwc = 0.7 rad/s
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
-100
-50
0
50
100
-270
-180
-90
0
G
L
C
Ejemplo de diseño de un PI
114
Respuesta temporal del sistemaen bucle cerrado:
SO= 22%ts= 2.7 s
El tiempo de establecimiento esmayor que el de subida.
El tiempo de estableciemientodepende de la respuesta a bajas frecuencias de L(s) = C(s)G(s) y en particular de la situación del cero del PI.
Menor Ti implica mayor tiempode establecimiento (y mayoresproblemas de estabilidad)
0 10 20 30 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2y(t)
r(t)
Ejemplo de diseño de un PI
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 57
115
Controlador PI
Caso b): KB= Kc/Ti está fijada por las especificación de error en régimen permanente
Ajuste:
Paso 1: Elegir KB para satisfacer las especificaciones de
error en régimen permanente
Paso 2: Diseñar un controlador C(s) para el sistema G'(s)
Paso 3: Una vez elegido Ti, Kc se obtiene de Kc= KB·TiNota: En general Ti se elige tal que 1/Ti es menor que la frecuencia de corte.
¡El diagrama de bode de G'(s)Es diferente del de G(s)!
116
Especificaciones:
• Error frente a entrada en parábola (error en aceleración) ≤ 0.01(régimen permanente)
• SO ≤ 20%
1( )( 1)( 10)
G ss s s
=+ +
Ejemplo de diseño de un PI
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 58
117
EspecificacionesError en aceleración < 0.01SO < 20%
G(s) tiene Mf=80o, Mg= 40dB
G(s) es de tipo 1 (un polo en el origen)
Para satisfacer las especificacionesde permanente hay que usar un controlador PI.
1( )( 1)( 10)
G ss s s
=+ +
-2 -1 0 1 210 10 10 10 10
-200
2040
-180
-90
0
G
Ejemplo de diseño de un PI
118
Error en aceleración ≤ 0.01 fija la mínima
ganancia de bode KB del controlador:
Error en aceleración = 1/Ka
Ka = 0.1Kc/Ti
Kc/Ti ≥ 1000
Repuesta frecuencial de sistema modificado
G’ = KBG/s
Mf = -80o, wc = 10 rad/s
ΔMf=50-(-80)+Δ > 90o
EL margen de fase es demasiado pequeño
Es imposible cumplir todas las
especificaciones
Ejemplo de diseño de un PI
-2 -1 0 1 210 10 10 10 10
-200
20
40
-180
-90
0
Mf
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 59
119
Especificaciones
• Error frente a entrada en rampa (velocidad) < 0.01
• SO < 60%
Ejemplo de diseño de un PI
120
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102 103-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
EspecificationesError en velocidad < 0.01SO < 60%
G(s) tiene Mf=59o, Mg= ∞
G(s) es de tipo 0 (sin polos en el origen)
Para satisfacer las especificacionesde permanente hay que usar un controlador PI.
Ejemplo de diseño de un PI
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 60
121
Error en aceleración ≤ 0.01 fija la mínima
ganancia de bode KB del controlador:
Error en aceleración = 1/Ka
Ka = 0.1Kc/Ti
Kc/Ti ≥ 1000
Respuesta frecuencial del sistema
modificado G’ = KBG/s
Mf = -34.3o, wc = 8.66 rad/s
ΔMf=20-(-34.3) +δ = 25-(-34.3) +10.7= 65º
Ese es el márgen de fase a añadir con el
cero del controlador PI
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = -19.2 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = -34.3 deg (at 8.66 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Ejemplo de diseño de un PI
122
SO ≤ 60% implica que el mínimo Mf es Mf’ = 20o
ΔMf= Mfd – Mf + δ =20-(-34.3)+ 10.7 => ΔMf =65o
Teniendo en cuenta el Bode del cero en -1/T_i
wcTi=tan(Δ Mf) = tan(65o) =2.14
Ti=2.14/8.66=0.247
Finalmente, Kc = KB·Ti = 2.47.
El controlador PI tiene la siguiente función de transferencia
Margen de fase resultante:
Mf= 22.3º > 20º OK
Ejemplo de diseño de un PI
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 61
123
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Respuesta frecuencialde la función de Lazo
Mf= 22.3o
Mg= ∞ dBw’c = 14.5 rad/s
G(s)C(s)
C(s)G(s)
Respuesta en b.c.
SO= 56%ts= 0.12 s
w’c
Ejemplo de diseño de un PI
Control PI del servomecanismo
Imposible cumplir las especificaciones con un PI !!!
Con el PI, el sistema compensado esde tipo 2Por tanto, error en velocidad nulo.Se cumple la especificación paracualquier valor de KcPero dado que
El controlador PI no añade fase
La máxima frecuencia de corte para la cual el controlador podría satisfacer lasrestricciones es
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 62
125
Red de Retardo
Estructura del controlador:
Bajas frecuencias
• Ganancia afectada por Kc (Proporcional)• Incremento de fase 0
Altas frecuencias
•Ganancia alcanza un valor mínimo•Incremento de fase 0
Frecuencias intermedias
• Pendiente del módulo -20 dB/dec.• Disminución de fase
Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0Fase
grad
os
1/τ
Kc
-20 dB/dec
1/(α·τ)
-20log(α)
126
Red de Retardo
Algunas expresiones
• La caída de fase no es deseable
• La Red de Retardo se diseñapara incrementar el módulo a bajas frecuencias, y la caída de fase se debe alejar de la frecuencia de corte.
Ganancia mínima
Ganancia máximaMódulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0Fase
grad
os
1/τ
Kc
-20 dB/dec
1/(α·τ)
-20log(α)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 63
127
Red de Retardo
Practical effects:
• La Red de Retardo restafase en un rangodeterminado de frecuencias.
• Se puede usar paraaumentar la ganancia a baja frecuencia. (Beneficioso para el régimen permanente)
• El efecto es similar al controlador PI pero con unaganancia limitada a bajafrecuencias
Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0Fase
grad
os
1/τ
Kc
-20 dB/dec
1/(α·τ)
-20log(α)
128
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-270
-180
-90
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Red de Retardo
Efectos en el dom. de la frecuencia:
• La ganancia a baja frecuenciase aumenta, manteniendo el módulo a frecuenciasintermedias y altasMejora del Reg. Permanente
• La caída de fase se ubicaen las bajas frecuencias => Margen de fase no se altera
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 64
Ánálisis de Lazo de la red de retardo
Análisis de la función de lazo
Baja Frecuencia
Régimen permanente: Mejora(Por el efecto de Kc)
• Menor error en régimenpermanente
• Mejores propiedades de seguimiento
Frecuencia de Corte
- Estabilidad: prácticamenteconstante
- (podría mejorar según el sistema)- (pueden disminuir los márgenes)
Alta frecuencia
Prácticamente constante
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Wc
Red de Retardo: diseñoIdea: Kc para error en r.p. y α para fijar la w’c
(Semejante al caso del PI en que Kc/Ti no fijada)
• Determinar la Kc para cumplir error en r.p.• Trazar el Bode de Kc·G(s)
• Determinar w’c para que se cumplan especificaciones detransitorio ( Puede no tener solución!)
w’c: Mf(w’c)=Mf’+Δ (Δ Є [5,10] por que cae la fase)
Si w’c <wcd, entonces no se puede diseñar.• Calcular α
|C(jw’c)/Kc|+|Kc·G(jw’c)|=0 20log(α )=|KcG(jw’c)|
• Calcular T para que caiga poco la fase
1/T ∈[w’c/30, w’c/10]
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 65
131
Red de Retardo: diseño
• Procedimiento de diseñoPaso 1: Tomar Kc=Kcd
(para garantizar la especificación en régimen permanente)
Paso 2: Tomar la frecuencia de corte w’c donde Mfd=Mf(KcG(s))+Δ. Es decir, como el margen de fase no se puede incrementar con unared de retardo, tomamos la frecuencia en la que KcG(s) tiene el margen de fase deseado (más un término adicional Δ que compensala pérdida de fase que introduce el controlador) Si w‘c<wcd, el sistema no se puede controlar con una red de retardo.
Especificaciones: Mínima ganancia del controlador ( Kcd)., Mínima frecuencias de corte (wcd) y Mínimo margen de fase (Mfd)
132
Red de Retardo: diseño
•Procedimiento de diseño (CONT.)Paso 3: Calcular α, para hacer que w’c sea la frecuencia de corte.
|C(jw’c)/Kc|+|Kc·G(jw’c)|=0 20log(α )=|KcG(jw’c)|
Paso 4: Calcular τ para introducir el menor descenso de fase posible
en la frecuencia de corte. 1/ τ ∈[w’c/30, w’c/10]
0 dB
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 66
Control del servomecanismo
Imposible cumplir las especificaciones con una Red de Retardo !!!
Para satisfacer las especificaciones en régimen permanente, se toma Kc= 33.3
La máxima frecuencia de corte para la cual el controlador podría satisfacer lasrestricciones es
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
134
Red de Retardo: Ejemplo
Sistema: 2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
+=
+ + +
• Error frente a entrada en escalón (posición) < 1%• SO < 20%
Especificaciones:
Ganancia estática del controlador > 4 = 12.04 dB
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
δ
SO(%)Mf (grados)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 67
135
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102-120-100-80-60-40-20
020406080
100120140
Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102-270
-225
-180
-135
-90
-45
0Fase
grad
os
Kc·G(s)C(s)/KcGba(s)
Red de Retardo: Ejemplo
Ejemplo:
Paso 1 (Ajuste de la ganancia del controlador)
Paso 2 (Cálculo de α)w’c: Mf(w’c)=Mfd+Δ= 48º+7º=55ºPor lo tantow’c=0.6 rad/s
20log(α)=|KcG(0.6j)|=45 dBα=178
Paso 3 (Cálculo de τ)1/ τ =0.1 τ =10
2
( 5)( )( 0.1)( 2 2)
sG ss s s
+=
+ + +
136
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
To: Y
(1)
RR RA
Red de Retardo: Ejemplo
Controlador
La respuesta es más lenta que en el caso de la red de avance (menor ancho de banda).
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 68
Hallar tal que
137
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Red de Retardo: Ejemplo (II)
Diseño de una red de reatrdo para el servomecanismo
Paso 1 (Ajuste de la ganancia del controlador)
Paso 2 (Frecuencia de corte.)
Por lo tanto
138
Red de Retardo: Ejemplo (II)
Diseño de una red de retardoPaso 3 (cálculo de )
De la ganancia de la red de retardo
El cero se coloca de forma que
así
Paso 4 (cálculo de )
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 69
139
-300
-200
-100
0
100
200
300
Mag
nitu
de (d
B)
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102
-270
-180
-90
0Ph
ase
(deg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Red de Retardo: Ejemplo (II)Diseño de una red de retardo
Controlador
No puede cumplir todaslas especificaciones
140
Repaso de controladores
0 0.1 0.2 0.30
0.2
0.4
0.6Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
0 0.1 0.2 0.30
15
30
45
60
75
90Fase
grad
os
1/τ
Kc
20 dB/dec
1/(α·τ)
20log(1/α) 10log(1/α)
Φm
ωm
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 1020
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
PD Red de Avance
Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0Fase
grad
os
1/Ti
Kc- 20 dB/dec
PI Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-75
-60
-45
-30
-15
0Fase
grad
os
1/τ
Kc
-20 dB/dec
1/(α·τ)
-20log(α)
Red de Retardo
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 70
141
Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuenciaSistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)Control PD y red de avance Control PI y red de retardoControl PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
142
Controlador PIDMódulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-60
-30
0
30
60
90Fase
grad
os
- 20 dB/dec 20 dB/dec
2 11( ) 1 i d ic d c
i i
TT s T sC s K T s KT s T s
⎛ ⎞ + += + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
• Ceros reale o complejos(Si Ti>4Td ceros reales)
• Ti y Td son diferentes a los del PD y PI
• PID tiene el mismo problema que el PD• Amplificación de ruido• No implementable (Red mixta)
Efectos:• Incrementa el tipo del sistema (mejora del régimen permanente)• Incrementa el margen de fase (menor sobreoscilación)• Incrementa la frecuencia de corte (menor tiempo de subida)
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 71
143
Controlador PID
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Alta frecuencia
- La ganancia sube . (Amplificación de ruido)
Baja frecuencia:
Aumenta la magnitud
Efecto similar al del PI
Importante: AUMENTA el tipo del sistema
Frecuencia de corte
- Estabilidad mejora (Ligeramentemenor margen de fase)
- Puede ser maximizada (en general), añadiendo fase con la partePD del controlador
Rapidez del sistema mejora
Wc
Análisis de lazo
144
Controlador PID: diseñoCaso 1: Kc/Ti no está fijado por las especificaciones de permanente.
12
1
1( ) (1 )T sC s K T sT s+
= +
• Elegir w’c y calcular ΔMf= Mfd – Mf(w’c)
• Diseñar un PD tal que Mfd se cumpla: w’c·T2=atan(ΔMf)
• Calcular K para fijar w’c: K+20·log(w’c·T2)=-|G(jw’c)|
• Elegir T1 tal que 1/ T1∈ [w’c/30, w’c/10]
• Calcular los parámetros del PID1 2 1 2
1 21 1 2
, , c i dT T TTK K T T T T
T T T+
= = + =+
Expresar el PID como un PI en serie con un PD
• Habitual para restricciones severas en permanente
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 72
145
Controlador PID: diseñoCaso 2: Kc/Ti viene fijado por las especificaciones de permanente.
1 21( ) (1 )(1 )C s K T s T ss
= + +
• Elegir la mínima K que satisfaga las especificaciones de permanente.
• Dibujar el diagrama de bode de G’(s)=K/s·G(s)
• Diseñar los dos PDs para cumplir las especificaciones de transitorio
(SO and/or wc’) (Sugerencia: tomar T1=T2)
• Calcular los parámetros del PID
1 21 2 1 2
1 2
( ), , c i dTTK K T T T T T T
T T= + = + =
+
Expresar el PID como 1 integrador y 2 PD
146
Controlador PID: Ejemplo1( )
( 1)( 10)G s
s s s=
+ +
Especificaciones:
• Error frente a entrada en parábola ≤ 0.5
• SO ≤ 40%
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 73
147
10-1 100 101 102-80
-60
-40
-20
0
20
40
6060módulo asintótico de G(w*j)
10-1
100
101
102
-360
-315
-270
-225
-180-180Fase de G(w*j)
Controlador PID: Ejemplo1( )
( 1)( 10)G s
s s s=
+ +Especificaciones:• Error frente a entrada en parábola ≤ 0.5• SO ≤ 40%
La especificación de error en régimen permanente invita a incrementar el tipo del sistema PI o PID con ganancia fijada
Del error en régimen permanente, K=20De la especificación en SO., Mfd=35º
Del diagrama de bode de 20G(s)/s
Mf=-55º y wc=1.2 rad/s
(No se puede usar un PI)
KG(s)/s
KG(s)/s
148
10-1
100
101
102
103
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60módulo asintótico de G(w*j)
10-1
100
101
102
103
-270-255-240-225-210-195-180-165-150-135-120-105-90-90
Fase de G(w*j)
Controlador PID: Ejemplo
KG(s)/s
KG(s)/s
1 21( ) (1 )(1 )C s K T s T ss
= + +
Esto es equivalente a diseñar dos PDstales que
ΔMf=Mfd-Mf+D=35-(-55)+20=110
Si tomamos T1 = T2
Cada PD debe incrementar la fase en 55º
Tomando T1 = T2=tan(55)/1.2=1.19L(s)
L(s)
1 2
1 2
1 2
1 2
( ) 20·1.19·2 47.62·1.19 2.381.19 0.6
2
c
i
d
K K T TT T T
TTTT T
= + = =
= + = =
= = =+
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 74
149
Controlador PID: Ejemplo
10-1 100 101 102-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
6060módulo asintótico de G(w*j)
10-1 100 101 102-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
9090Fase de G(w*j)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Mf ’=60.6ºw’c=2.8 rad/s L(s)
L(s)
C(s)
C(s)
G(s)
G(s)
KG(s)/s
KG(s)/s
150
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Controlador PID: Ejemplo (II)
Diseño de un PID para el servomecanismo
• Tomemos
Con un PID el sistema se hace de tipo 2.Por lo tanto evrp=0 (las especificaciones en permanente se cumplen para cualquier Kc/Ti)
Es el caso 1 del problema de diseño de PIDs
Por ejemplo
• Calculando la parte de PD
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 75
151
Controlador PID: Ejemplo (II)
Diseño de un PID para el servomecanismo
• Determinar K=Kc/Ti para fijar la •frecuencia de corte deseada.
• Por último se elige de forma que
Así pues
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Mf= 51º<Mfd . El margen de fase ha sido menor que le esperado. Rediseñar
152
Red mixta
Estructura del controlador:
Bajas frecuencias• Comportamiento como red de retardo• La ganancia es Kc (Proportional)
Altas frecuencias• Comportamiento como red de avance• Ganacia limitada
Frecuencias intermedias.• Ganacia próxima a 0 dB • Incremento de ganacia
Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-45
0
45
90Fase
grad
os
Kc
1/τ1 1/(α2 τ2)1/τ21/(α1 τ1)
-20 dB/dec 20 dB/dec
-20 dB/dec
20log(1/α2)
Φm(α2)
ωm(α2)
20log(1/α1)
Red de Avance y de Retardo en serie
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 76
153
Red mixta
Red mixta:
Módulo asintótico
ω (rad/s)
dB
-90
-45
0
45
90Fase
grad
os
Kc
1/τ1 1/(α2 τ2)1/τ21/(α1 τ1)
-20 dB/dec 20 dB/dec
-20 dB/dec
20log(1/α2)
Φm(α2)
ωm(α2)
20log(1/α1)
• Con un diseño apropiadola red mixta puede unirlos efectos beneficiososde la red de avance y de reatraso.
• La parte de avance se usa para mejorar el transitorio
• La parte de retraso se diseña para mejorar el permanente y el rechazoa perturbaciones
154
10-2
10-1
100
101
-60
-40
-20
0
20
40
60
80módulo asintótico de G(w*j)
10-2
10-1
100
101
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90Fase de G(w*j)
Kc G(s)C(s)/KcC(s) G(s)
Lead-Lag compensator
Efectos en el dominio de la frecuencia:
• Ganacia limitada a altasfrecuencias => se evita unaamplificación excesiva de ruido
• La ganancia de bajafrecuencia aumenta(efectro RR), manteniendola ganáncia a frecuenciasintermedias y altas => Mejora del permanente
• La fase se incrementa a frecuencias intermedias(próximas a la frecuencia de corte) (around crossover) => Margen de fase mejora
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155
Red mixta
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
Mag
nitu
de (d
B)
Alta frecuencia
- Se incrementa la ganacia pero limitada. (Efecto del ruidoatenuado)
Baja frecuencia:
Se incrementa la magnitud
Efecto similar a la red de retardo
Importante: NO CAMBIA el tipo del sistema
Frecuencia de corte
- Mejora la estabilidad incremento del margen de fase)
- Puede maximizarse (en general), añadiendo fase con la partede red de avance
repidez mejora
Wc
Análisis de lazo
156
Red mixta: diseño
•Procedimiento de diseñoPaso 1: Elegir Kc=Kcd para cumplir las especificaciones en reg. permanente
Paso 2: Elegir w’c >wcd que satisfaga las especificaciones
Paso 3: Calcular el aumento de fase necesario ΔMfΔMf=Mfd-Mf(KcG(jw’c))+Δ ; Δ∈[5º,10º]
Paso 4: Obtener α2 tal que Φm(α2)=ΔMf
Suposición: De las especificaciones en el dominio temporal se obtiene unaganancia mínima del controlador, Kcd, una frecuencia mínima de corte, wcd, un mrgen de fase deseado, Mfd
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157
Lead-Lag compensator design
•Procedimiento de diseño (Idea gráfica del paso 6)
20 log(1/α1)-10 log(1/α2)=|KcG(jwc’)|
0 dB
158
Lead-Lag compensator design
•Procedimiento de diseño (CONT.)
Paso 5: Calcular τ2 tal que wm(α2)=w’c
Paso 6: Hallar α1 para que w’c sea la frecuencia de corte final.|C(w’cj)|/Kc|+|KcG(jwc’)|=0
Como w’c=wm, entonces |C(w’cj)|/Kc|=-[20 log(1/α1)-10 log(1/α2)]
Por lo tanto 20 log(1/α1)-10 log(1/α2)=|KcG(jwc’)|
Paso 7: Calcular τ1 tal que la pérdida de fase no sea aprecible
1/τ1 ∈[w’c/30, w’c/10]
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 79
159
Red mixta: Ejemplo (II)
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Diseño de una red mixta para el servomecanismo
Paso 2 (Elección de la frec. de corte.)
Paso 3 (Cálculo del avance de fase necesario)
así
Tomamos
Para que la partede avance sea realizable
Paso 1 (Ajuste de la ganancia del controlador.)
160
Red mixta: Ejemplo (II)
Diseño de una red mixta para el servomecanismo
Paso 4 (cálculo de )
Para la parte de avance
Así
Paso 5 (determinación de )-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Paso 6 (determinación de )
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 80
161
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Red mixta: Ejemplo (II)
Diseño de una red mixta para el servomecanismo
Todas lasespecificaciones en el dominio frecuencial se
cumplen¡¡ Pero !!
162
Red mixta: Ejemplo (II)
Simulación de la red mixta para el servomecanismo
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Hay demasiada sobreoscilación !!
¿¿ Que pasa ??
• Las hipótesis de diseño no son válidas (el sistema en bucle cerrado no presenta un par de polos).
• Soluciones:• Condiciones más restrictivas
rediseño• Revisión de las hipótesis
Tema 5. Control Automático. 3º Ing. Industrial. Dpto. Ing. Sistemas y Automática. ETSI.US. 81
163
Índice
IntroducciónAnálisis de la respuesta temporal en el dominio de la frecuenciaSistemas dinámicos como filtros. Diagramas de Bode y Nyquist.Estabilidad en el dominio de la frecuencia. Márgenes de estabilidad.Especificaciones en el dominio de la frecuencia.Diseño de controladores en el dominio de la frecuencia
Control proporcional (P)Control PD y red de avance Control PI y red de retardoControl PID y red mixta
Conclusiones y comentarios
164
Conclusiones
Se pueden usar distintas estructuras lineales de control para modificar cada rango de frecuencia del controlador
PD (o Red de Avance) modifica frecuencias intermedias y altas. => Respuesta transitoriaPI (o Red de Retardo) Modifica bajas frecuencias => Reg. PermanentePID (o Red Mixta) puede adecuar todo el rango de frecuencias. => El diseño puede abordae especificaciones en transitorio y permanente.
Elegir siempre el controlador más simple posible (a veces no es simple !)Los procedimientos de diseño son aproximados. Habitualmente, es necesario iterar o rediseñar.Hipótesis de diseño (polos dominantes) deben ser comprobadas con simulaciones temporales
Satisfacer las especificaciones frecuenciales. NO GARANTIZAcumplir las especificaciones temporales.