Download - Axiomatica de Peano (Número Natural)
Ce.R.P. del Centro Área Matemática
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Álgebra 4° año Prof. Cecilia Mir
Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
NÚMERO NATURAL
TEORÍA AXIOMÁTICA DE PEANO
Los Elementos de Euclides (siglo III A.C.) constituyen un remoto y magnífico intento
de desarrollar la Geometría como sistema deductivo. Tales intentos no se dan en la aritmética
sino hasta épocas relativamente recientes. Aún desarrolladas de modo más o menos informal las
ampliaciones del concepto de número para obtener a partir de los números naturales (0, 1, 2,
3,…..) clases cada vez más amplias de números (enteros, racionales, reales, complejos,…),
durante gran parte del siglo XIX el concepto de número natural aparecía como algo tan simple
y transparente a la mente, que parecía difícil analizarlo o referirlo a otros conceptos más
simples. En este sentido afirma L. Kronecker: “el número natural fue creado por dios; todo lo
demás es obra del hombre”
G. Peano (1858 – 1932) y R. Dedekind (1831 – 1916) fundamentaron el número natural
en cinco axiomas, a partir de los cuales desarrollan el estudio de propiedades, operaciones, etc.
Conceptos primitivos
1) Un conjunto cuyos elementos se llaman “números naturales”.
2) Un objeto matemático llamado “cero” e indicado por el símbolo 0.
3) Una relación binaria en (o sea de en ) denotada por “es siguiente de” o por el
símbolo “ sg ”. Dado un elemento x , un elemento de que estén esa relación con
él se llamará “siguiente de x ” y se indicará “ sg x ”.
Los conceptos primitivos anteriores se caracterizan implícitamente por las siguientes
proposiciones llamadas
Axiomas de Peano:
Axioma 1: 0
Axioma 2: Si x , existe y es único sg x
Axioma 3: , 0x sg x
Axioma 4: Si sg x sg y , entonces x y .
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Axioma 5: (Axioma de I.C.)
0
H
H H
x H sg x H
Observaciones:
El axioma 2 expresa que la relación sg es una función de en ; el axioma 4
expresa que esta función es inyectiva; de los axiomas 1 y 3 se deduce que no es
sobreyectiva, pues un elemento de , indicado por 0, queda fuera de su recorrido.
Un conjunto H se llama inductivo si verifica: x H sg x H . Con esta
definición el axioma 5 puede enunciarse: “Un subconjunto inductivo de que
contenga a 0 es todo ”.
Teorema 1:
x y sg x sg y
Dem
Supongamos que: .4Ax
sg x sg y x y Absurdo (contradice Hipótesis)
x y sg x sg y
Teorema 2:
sg x x x
Dem
.3 .5
.1
/
.1: 0 0 0 0,
/
Ax Ax
Teo
Sea C x x sg x x C
por Ax sg C Cx sg x x
x C sg x x sg sg x sg x sg x C
C x x sg x x
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Teorema 3:
, 0, /x x y x sg y
Dem
Sean /C x x verifica el teorema y ' 0C C
* '
*0 '
*B.I : (0) , (0) 0 0 / (0) (0)
*H.I : ', , 0 / ( )
T.I : ( ) ,
1
( ) 0 / ( )
2
) (
3
C
C
sg sg sg sg
x C x x y x sg y
sg x sg x y sg x sg y
Dem
Por . : ( ) ( ) ( ( )) ( ) ' 4H I x sg y sg x sg sg y sg x C
De 1 , 2 , 3 y 4 por el Axioma 5: 'C
y por el Axioma 5: 'C
' 0, 0 se verifica el teorema.
0
C Cx x
C
Notación: 0
Corolario 1:
El “ y ” del Teorema 3 es único.
Dem
Por Ax. 4 y Teo. 3:
1: :sg x es biyectiva sg biyectiva llamada precedencia
diremos que x pr y (“ x precede a y ” o “ x es precedente de y ”)
x pr y sg x y
Corolario 2:
* :x sg pr x x
Dem 1 1sg pr x sg sg x sg sg x Id x x (La composición de
funciones inversas es la identidad)
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SUMA Y PRODUCTO
Teorema 4:
Sea la aplicación :f tal que para todo par ( , ) ( , )x y f x y , se
verifica:
,0
, ( )
1
( ,2 ) ,
f x x x
f x sg y sg f x y x y
Veamos que esta aplicación existe y es única.
Dem
Existencia
Sea
/ : quecumple : ,0
, ( ) ( , )
x x
x x
x f x i f x xH
ii f x sg y sg f x y y
* H 1
* 0 H pues basta definir 0 : 0f tal que 0 (0, )f y y y
2
*H.I: Supongamos ahora que x H , esto es, existe :xf x que verifica:
T.I: sg x H
Dem
Definimos la aplicación:
( ) : ( )sg xf sg x tal que ( ) ( ), ( , )sg x xf sg x y sg f x y .
Entonces:
( ).
( ) ( ).
( ),0 ( , ) ( )
( ), ( ) , ( ) ( , ) ( ),
sg x xH I
sg x x x sg xH I
i f sg x sg f x o sg x
ii f sg x sg y sg f x sg y sg sg f x y sg f sg x y
( )sg x H 3
0
0 0
0,0 0
0, ( ) ( ) (0, )
i f
ii f sg y sg y sg f y y
,0
, ( ) ( , )
x
x x
i f x x
ii f x sg y sg f x y
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De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: H
Como esto se verifica para cada x , siempre existe :xf x para todo x
entonces podemos garantizar que existe :f tal que:
( , ) ( , ) ,xf x y f x y x y .
Unicidad
Consideremos que existen dos aplicaciones : y g :f que
satisfacen las condiciones 1 y 2 .
Para cada x definimos:
/ ( , ) ( , ) con fijoxH y f x y g x y x
* xH 1
* 0 xH , puesto que
1 1
,0 ,0f x x g x 2
*H.I: xy H
T.I: ( ) xsg y H
Dem
.
, ( ) , , , ( )H I
f x sg y sg f x y x sg g x y g x sg y
( ) xsg y H 3
De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: xH
Como este razonamiento es válido para cada x podemos concluir que
( , ) ( , ) ,f x y g x y x y , esto es f g .
Definición:
A la aplicación anterior se la conoce con el nombre de adición o suma de números naturales
y se simboliza con el signo de “ ”.
Así puede definirse la adición de números naturales como una operación : tal
que para cada par de números naturales ,x y existe un único número natural x y tal
que:
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0
(
1
) ( )2
x x
x sg y sg x y
Teorema 5: Propiedad Asociativa de la Suma
, , :x y z x y z x y z
Dem: Haremos inducción sobre z .
Sea / , con , fijosH z x y z x y z x y
* H 1
* 0 ,pues 0 0H x y x y x y 2
*H.I: z H
T.I: ( )sg z H
Dem
.
( ) ( ) ( )H I definición definición
suma suma
x y sg z sg x y z sg x y z x sg y z x y sg z
( )sg z H 3
De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: H
Definición 4:
El número 0sg se llama uno y se indica “1”.
Observaciones:
1) 0 0 1 1neutro
sg x sg x x sg x sg x x
2) Teorema:
: 1 ( )x x sg x
Dem
Sea / 1 ( )H x x sg x
* H 1
* 0 H , pues 1 0 1 (0)sg 2
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*H.I: x H
T.I: ( )sg x H
Dem
.
1 ( ) (1 ) (1 )definición H Isuma
sg x sg x sg sg x
( )sg x H 3
De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: H
3) Teorema:
: 0x x x
Dem
Sea / 0H x x x
* H 1
* 0 H , pues 0 0 0 2
*H.I: x H
T.I: ( )sg x H
Dem
.0 ( ) (0 ) ( )
definición H Isuma
sg x sg x sg x
( )sg x H 3
De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: H
Teorema 6: Conmutativa de la Suma
, :x y x y y x
Dem: Haremos inducción en x .
Sea / , con fijoH x x y y x y
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* H 1
* 0 H pues .3
0 0Obs
y y y 2
*H.I: x H
T.I: ( )sg x H
Dem
. .2( ) ( 1) ( ) 1 ( ) 1 ( 1) (1 )
( 1) ( )
asociativa H I asociativa Obs asociativasuma suma suma
y sg x y x y x x y x y x y
x y sg x y
( )sg x H 3
De 1 , 2 y 3 y por el Axioma 5: H
Teorema 7:
y z x y x z x
Dem
Sea / ,H x x y x z con y z fijos y z
por def de H H
Si 0x
Si ( )x H sg x H
Dem
por teo 1 conmutativa por teo 4
conmutativa
Si ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x H x y x z sg x y sg x z sg y x sg z x
y sg x z sg x sg x y sg x z sg x H H
Corolario: Propiedad cancelativa de la suma.
x y x z y z
Dem
Sup. .7Teo
y z x y x z (contradice Hip.)
0
0 0 0 0
por def.
y y
z z y z H
y z
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Teorema 8:
Sea la aplicación :f que cumple:
1 ( ,0 ) 0f x
2 ( , ( ) ) ( , )f x sg y f x y x
Existencia
Sea
por def de H H
Si 0x me defino 0 0*1
: 0 / 0, 0f f y veamos que esta función cumple
(1) 0*1
0,0 0f
(2)
Si ( )x H sg x H
Dem
Sea ( ) ( ): ( ) / ( ), ,sg x sg x xf sg x f sg x y f x y y veamos que esta función
cumple:
(1) ( )
( )por def por def de de
( ),0 ,0 0 0
sg x x
sg x x
f f
f sg x f x
(2)
/ : que cumple (1) ,0 0
(2) , ( ) ,
x x
x x
x f x f xH
f x sg y f x y x y
0 0*1 neutro
0, ( ) 0 0, 0
0
f sg y f y
H
( )
( )
( )por def por def de de
asociativa por def conmutativade suma
por def por def de suma de
( ), ( ) , ( ) ( ) , ( )
, ( ) , ,
,
sg x x
sg x
sg x x x
f f
x x x
x s
f
f sg x sg y f x sg y sg y f x y x sg y
f x y x sg y f x y sg x y f x y sg y x
f x y y sg x f
( ) ( ), ( )g x sg x y sg x sg x H H
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Como esto se verifica para cada x ; siempre existe :xf x para cada
x entonces podemos garantizar que existe :f definida como
( , ) , ,xf x y f x y x y .
Unicidad
Sean f y g ambas de que satisfacen 1 y 2 .
Sea / , , , con fijo.xH y f x y g x y x
por def de x xH H
Si 0y
,0 0,0 ,0 0
,0 0
f xf x g x H
g x
Si ( )x xy H sg y H
Dem
por (2) por hip. por (2)
( , ( )) ( , ) , , ( ) ( )f x sg y f x y x g x y x g x sg y sg y H H f g
Como este razonamiento es válido para cada x podemos concluir que
, , ,f x y g x y x y , esto es f g .
Definición 3:
A la aplicación anterior se la conoce como la multiplicación de números naturales y se
la simboliza con “.”.
Así pues puede definirse el producto de números naturales como una operación
tal que para cada par de números naturales ,x y existe un único número natural
.x y tal que:
1 .0 0x
2 . ( ) .x sg y x y x
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Teorema 10:
0. 0y y
Dem
Sea / 0. 0H y y
por def de H H
Si 0y por def de producto
0.0 0 0 H
Si ( )y H sg y H
Dem
por def por hip.de producto
0. ( ) 0. 0 0 0 0 ( )sg y y sg y H H
Teorema 11:
. ( ). ,x y y sg x y x y
Dem
Sea / . ( ). ,H y x y y sg x y x fijo
por def de H H
Si 0y
Si ( )y H sg y H
Dem
.0 0 0 0 0.0 0 ( ).0 0
( ).0 0
xx sg x H
sg x
por def por def asociativade producto de suma
conmutativa por def por hip.asociativa de suma
. ( ) ( ) ( . ) ( ) (( . ) ) ( ( )
(( . ) ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( )
x sg y sg y x y x sg y sg x y x y sg xy x y
sg x y y x xy y sg x sg x y sg x sg x sg y sg y
H
H
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Teorema 12:
. . ,x y y x x y
Dem
Sea / . . ,H x x y y x y fijo
por def de H H
Si por teo ante
por def de producto
0. 0
0 0. .0 0.0 0
y
x y y Hy
Si ( )x H sg x H
Dem
por def por hip. por teo antede producto
. ( ) . . ( ). ( )y sg x y x y x y y sg x y sg x H H
Observaciones:
por def de producto
por def neutrode producto
. 0 .0
.1 .0 .1 0 .1
0 1
x sg x x
x x x x x x x
sg
.1 1.x x
.1 1.x x x 1 es el neutro de la multiplicación.
Teorema 13: Distributividad de la multiplicación a la izquierda respecto de la suma.
, ,x y z x y x z x y z
Dem
Sea / .( ) . . , ,H z x y z x y x z x y fijos
por def de H H
Si 0z
Si ( )z H sg z H
.( 0) ..( 0) . .0 0
. .0 . 0 .
x y x yx y x y x H
x y x x y x y
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Dem
por def por hip. por hip. asociativade producto
( ) 1
. .( 1) . . .( ) .(( ) 1) .( ( 1))
( )
sg z z
x y x z x y x z x x y z x x y z x y z
sg z H H
Corolario: Distributividad de la multiplicación a la derecha respecto de la suma.
, ,y z x y x z x x y z
Dem
conmutativa por teo anterior comnutativa( ). .( ) . . . .y z x x y z x y x z y x z x
Teorema 14: Asociatividad de la multiplicación
, ,x y z x y z x y z
Dem
Sea
por def de H H
Si 0z
Si ( )z H sg z H
Dem
/ ( . ). .( . ), ,H z x y z x y z x y fijos
( . ).0 0( . ).0 .( .0) 0
.( .0) 0
x yx y x y H
x y
por def de producto
( . ).( 1) . . . .( . ) ( .( 1)) ( )x y z x y z x y x y z y x y z sg z H H
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ORDEN
Definición 5:
Dados ,x y , diremos que “ x es menor o igual que y ”:
/x y u x u y
Si además x y (o sea 0u ), diremos que “ x es menor que y ” ( :nt x y ).
Definición 6:
Si ,x y , definimos:
y x x y (mayor o igual)
y x x y (mayor)
Teorema 13: Tricotomía
,x y , se verifica una y sólo una de las siguientes proposiciones:
, ,x y x y y x
Dem
Sea fijo, definimos del siguiente modo:
tal que
Demostraremos por inducción completa en , es decir tengo que probar que existe tal que:
o . Si 0 es
1) W
x W
W y y y x y x x y
y h
x y h y x h h x y
por definición de .
2) Para 0. Como 0 por Existencia del neutro a la izquierda es .
Tomo y encontré un natural que sumado a 0 nos da , entonces 0 .
3)
H)Inducción
. Es decir:
W
y x h x h
x h x x y W
y W h
tal que o
T)Inducción
. Es decir: k tal que o sg
x y h y x h
sg y W x sg y k y x k
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Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
def.4 Aso
Demostración: Distinguiremos aprovechando la hipótesis los dos casos siguientes:
a) , 0
Tomo porque todo natural distinto de cero es el siguiente de un natural.
= 1 =
x y h h x y
h sg k
x y sg k y k
ciativa y def.4Conmutativa de lasuma.
1 =
)
Aplicamos la función siguiente en ambos miembros de la igualdad:
y k sg y k
sg y W
b y x h y x
sg y s
Def.suma
= con
W=
g x h x sg h sg h sg y W
Teorema 14
La relación es de orden amplio; es decir, verifica las siguientes propiedades:
i. Reflexiva: x x x
Dem
.5
: 0 .2:
0 def
x x x defx x x
ii. Antisimétrica: x y y x x y
Dem Sup. x y
.5
.5
) :
.13) :
def
def
por H x yx y
x yx y y x contradice Teo
por H y xy x
x y
x y es falso x y
iii. Transitiva: x y y z x z
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Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
Dem
.5
.5 .5
.5
/
:/
def
def Teo
def
x y u x u y
por H x u v z x u v zy z v y v z
.5def
x z
Corolario: La relación es de orden amplio.
Observación: También se demuestra que las relaciones < y > son de orden estricto, es decir
que cumple las propiedades: Areflexiva, Asimétrica, Transitiva.
Teorema 15: Monotonía de la suma
i. x y x z y z
ii. x y x z y z
Dem
i.
.5
0 /LCIdef
cancelativa
por H x y u x u y x u z y z
. . .
0
asociat conmut asociatx u z y z x z u y z x z u y z
u
x z y z
ii. Dem. análoga.
Teorema 16: , 0x x
Dem
. 2.3
. 4
0 1
0 / 1 1ObsTeoDef
x
x ó
x u x sg u u x
.
1
1 0 0 1 1 0 1 0 21 0
1 0transit
x
sg x
1 2 0 0 0x ó x x x
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Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
Corolario 1: 0 1x x x
Corolario 2: , ; 1x y y x y x
Dem
.1 .
, 0 /1
0 1 1Cor monot
y x u u y x uy x
u u x u x
Corolario: Si ,x y , se verifica: x y y x x y
Dem Sup. x y
.5
.5
) :
.13) :
def
def
por H x yx y
x yx y y x contradice Teo
por H y xy x
x y
x y es falso x y
Teorema 14: (Transitiva)
, ;x y x y
x zy z
Dem
.5
.5 .5
.5
/
:/
def
def Teo
def
x y u x u y
por H x u v z x u v zy z v y v z
.5def
x z
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Álgebra 4° año Prof. Cecilia Mir
Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
Teorema 15:
La relación es de orden amplio; es decir, verifica las siguientes propiedades:
iv. Reflexiva: x x x
v. Antisimétrica: x y y x x y
vi. Transitiva: x y y z x z
Dem
i.
.5
: 0 .2:
0 def
x x x defx x x
ii. Demostrada en el corolario del Teo. 13
iii. Teorema 14.
Corolario: La relación es de orden amplio.
Observación: También se demuestra que las relaciones < y > son de orden estricto.
Teorema 16: (Monotonía de la suma)
iii. x y x z y z
iv. x y x z y z
Dem
iii.
.5
0 /LCIdef
cancelativa
por H x y u x u y x u z y z
. . .
0
asociat conmut asociatx u z y z x z u y z x z u y z
u
x z y z
iv. Dem. análoga.
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Álgebra 4° año Prof. Cecilia Mir
Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
Teorema 17: , 0x x
Dem
. 2.3
. 4
0 1
0 / 1 1ObsTeoDef
x
x ó
x u x sg u u x
.
1
1 0 0 1 1 0 1 0 21 0
1 0transit
x
sg x
1 2 0 0 0x ó x x x
Corolario 1: 0 1x x x
Corolario 2: , ; 1x y y x y x
Dem
.1 .
, 0 /1
0 1 1Cor monot
y x u u y x uy x
u u x u x
Teorema de Buena Ordenación
Todo conjunto de naturales no vacio tiene mínimo.
/ min( )A
m m AA
Dem
0 :0
0 min( ), 0
Como 0
Si A Como Aa a A
An n
A
0 :Consideraremos ;Si A H x x a a A
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Tengo que probar que H tiene un “último” elemento x0 y su siguiente x0+1 es el mínimo de A.
Ax. Ind.Completa
0
Supongo que , 1
Ademas por definición de H:
Por definición de H:
H
x A x H H A H A
H
H A
Por Hipótesis:
(Absurdo) Contradice hipótesis.
A A A
A
Lo que supuse es falso ( , 1 )x H x H
0 0, 1x H x H
Tengo que probar ahora que 0 1 min( )x A
0 0 0
(1)
0 0
0 0 0 0
(2)
0
Como 1
Por otro lado 1 1
, 1 1
De (1) y (2): 1 min( )
x H x a a A x a a A
x H x a a A
a A x a x A
x A
Observaciones:
m se llama mínimo del conjunto A .
En otras palabras, hemos demostrado que es un conjunto bien ordenado. (Decimos
que un conjunto es bien ordenado si todo subconjunto no vacío del mismo tiene
mínimo).
H
...10
A
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Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
Teorema 17: Sean , ; 0 0 . 0x y x y x y
Dem
.3 .9
0 0 / . .Teo Teo
y y u y sg u x y x sg u
.5 ) .
. . 0 . 0def H transit
x y x u x x x y
Corolario : (Inexistencia de divisores de cero)
Sean , ; 0 0 . 0x y x y x y
Dem
Por Teo. 15, en decir 0 equivale a decir 0 , lo cual lo reduce al Teorema 17.
Teorema 18:
Sean , ;
. .Sea ; 0
x y x yx z y z
z z
Dem:
x y x y x y
.10
, 0 /Teo
x y u u x y u z x z y u
. .17
) 00
0 Cor Teo
z x z y z u
z x z y z x z y
H zz u
u
x y (dem. análoga)
Corolario : (Prop. Cancelativa de la multiplicación)
, , ; . .
0
Sean x y z z x z yx y
z
Dem:
.18
Supongo (Contradice hipótesis)
Por hipótesis: 0 Teo
x yz x z y
z
Ce.R.P. del Centro Área Matemática
22
Álgebra 4° año Prof. Cecilia Mir
Modificaciones de: Lucía Andrade, Pierina Costa, Nadia Irureta, Ana Laura Machado.
INDEPENDENCIA
Para probar que cada uno de los axiomas de Peano es independiente de los demás,
construiremos modelos consistentes en los que valgan los demás axiomas y el opuesto del que
se estudia:
Axioma 1.
Reemplazado el conjunto por 0 se cumplen todos los axiomas excepto el 1. Queda
probada así la independencia del axioma 1 con respecto a los demás.
Axioma 2.
Sea 0,1,2 con 0 1, 1 2sg sg . Satisface los axiomas 1, 3, 4 y 5 pero no el 2,
pues no existe el siguiente de 2.
Axioma 3.
0,1,2 con 0 1, 1 2 , 2 0sg sg sg satisface los axiomas 1, 2, 4 y 5 pero no
el 3.
Axioma 4.
El conjunto 0,1 con 0 1 1sg sg verifica los axiomas 1, 2, 3 y 5 pero no el 4
Axioma 5.
Sean /x x es racional no negativo y 1sg x x .
Consideremos el conjunto /H x x es entero no negativo
0
H
H
x H sg x H
sin embargo H