L U N E S , 8 D E N O V I E M B R E D E 2 0 1 0

Problemas matemticos relacionados con el viajea Marte

Medelln,Noviembre2010

PROBLEMASMATEMTICOSASOCIADOSALVIAJEAMARTE

1.Fuerzasconservativas

Figura1

Trabajorealizadoporlafuerzadelagravedad.

dlenladireccindelarectatangentealatrayectoriaenP

LafuerzadeatraccinentreunplanetayelSolescentralyconservativa.Una fuerza es central, cuando el vector posicin r esparalelo al vector fuerzaF, por tanto elMomento de lafuerzaserMxF=0.SiLeselmomentoangular:M=dL/dtComoM=0,entoncesL=Constante

U N B L O G D E D I C A D O A LC O N O C I M I E N T O

Los cosmlogos dan teoras sobre eluniverso con base en especulaciones.Los fsicos tratan de conocer lossecretos del cosmos, con base en elmtodo cientfico. Ambos seequivocan, y aun estamos muydistantes de tener un conocimientomas o menos acertado, pero creo quelos ltimos estn mas cerca de saberla naturaleza del universo, a travsdel conocimiento de las partes deste como la luz, la masa, lagravedad, la geometra y el tiempo

0 Ms Siguienteblog nicodelalbino@gmail.com Panel Salir

A S T R O N O M A" P A R A L A A L T U R A D E L O S C I E L O S , Y P A R A L A P R O F U N D I D A D D E L A T I E R R A , Y P A R A E L

C O R A Z N D E L O S R E Y E S , N O H A Y I N V E S T I G A C I N . " P R O V E R B I O S 2 5 3 B I B L I A R E I N A V A L E R A

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza deatraccinF.

Lasnegrillasrepresentanvectores.

F=G(Mm/r2)ur

ureselvectorunitarioenladireccinder

eselnguloagudoquehaceelradiorconladireccindelarectatangenteenP.

El trabajo infinitesimal realizado por la fuerza F, paradesplazar la masa m una distancia dl es el productoescalardelvector fuerzaFporelvectordesplazamientodl,tangentealatrayectoria.

dw=F.dL=|F||dL|cos(180)=|F||dL|cos=|F|dr

dw=|F|dr.............(1)

Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de lapartculaenladireccinradial.

Paraencontrarel trabajototal realizadopor la fuerzadegravedad, sobre la partcula de masa m integramos lafrmula (1), entre la posicin inicial A, distante r1 delcentroylaposicinfinalB,distanter2.

IndependientedelatrayectoriaquesehayaseguidoparairdesdeAhastaB.

Elhechodequelafuerzadeatraccinseaconservativa,implicaquelaenergatotal(cinticamspotencial)delapartcula es constante, en cualquier punto de latrayectoria.

Et=mv2/2+(GMm/r)...........(5)

Ahoraconsideremoslafigura2

Figura2

Lanaveseencuentraoenelperiheliooenelafeliodelarbitaelptico.

aeselsemiejemayordelaelipse.

beselsemiejemenordelaelipse.

cesladistanciafocal.

r1esladistanciadelanavealfocoenelperihelioPF.

r2esladistanciadelanavealfocoenelafelioFA

Si,lasnicasfuerzasqueactansobreelsistemasonMdelcuerpograndeenelfocoymdelanaveuobjetoquerota,elmomentoangularquetiene lanavecuandoestenAseconservacuandoestenB

LA = LB ........Ley de la conservacin del momentoangular.

IAA=IBB

DondeAeslavelocidadangularenAyBlavelocidadangular en B, IA es el momento de inercia de la nave,respectodelSol,cuandoestenAe IBelmomentodeinerciacuandopasaporB.

mr12v1/r1=mr22v2/r2...........(6)

Yaque

=v/r

v1r1=v2r2...............................(7)

AhoralaenergatotalenAesigualalaenergatotalenB

(1/2)mv12+(GMm/r1)=(1/2)mv22+(GMm/r2)..(8)

Resolviendo simultneamente las ecuaciones (7) y (8)encontramoslasvelocidadesv1yv2.

Dela(7)despejamosv2yllevamosestedatoala(8)

v2=v1(r1/r2)

(1/2)v12(1r12/r22)=GM(r2r1)/r1r2

v12=2GMr2/(r1(r1+r2)

Comor1+r2=2a

v12=GMr2/r1a

Recordemos:

Cuando la nave est en un punto cualquiera P de lacurvasuvelocidadtangencialsepuedecalcularcon:

1. Despus de que la nave aterrice en Marte, cuntotiempohayqueesperarall,hastaqueelalineamientoTierra Marte sea el adecuado para el lanzamientodesdeMarte?

Recordemos que tanto la ida, como el regreso tardan258.9 das. Cundo se hace el lanzamiento desde laTierra,lasituacinestrepresentadaenlafigura(3)

Figura3

PosicinrelativadelaTierrayMartealmomentodellanzamientodesdelaTierra.

Cuando la nave llegueal puntoA, habrn transcurridos258.9das,duranteloscualesMartehallegadoalpuntoAylaTierrahaavanzadounnguloiguala:

258.9dasx360/365das=255.35

Elnguloque forman laTierra yMarte ser : 255.35 180=75.35

Ahora laposicinde laTierra yMarteestdadapor laposicin1delosplanetasenlafigura4.

Figura4

PosicionesrelativasdeLaTierrayMarte,cuandolanaveaterrizaenMarteycuandosehaceellanzamientode

regreso,desdeMarte.

PararealizarelregresoygarantizarquecuandolanaveregresealaTierra,estaestpasandoporelafeliodelaelipsedeHohmann,esdecirquelanaveylaTierraestnenelmismopuntodelespacio,laposicindeMarteylaTierradebeserlaqueestmarcadacomo2enlafigura4.

CuntotiempotienelatripulacinqueesperarenMarte?

LaTierra tiene que alcanzar aMarte, superarlo y viajarhastaquequede75.35detrsdeMarte.

ElngulobarridoporlaTierraserx+360

El ngulo barrido porMarte ser 75.35 + x + 75.35 =150.7+x

Eltiempoeselmismo.

ElperiododelaTierraes365das

ElperiododeMartees686.9771das.

Porloanterior,elviajeaMartetardar:

Ida:258.9das.

EstadaenMarte:452.7das.

Regreso:258.9

Total:920.5das=2.66aos

JuanFernandoSanin

Juanfernando.sanin@gmail.com

PUBLICADO POR JUAN FERNANDO EN 11:22

N O H A Y C O M E N T A R I O S :

P U B L I C A R U N C O M E N T A R I O E N L A E N T R A D A

Entrada ms reciente Entrada antigua

Salir

Avisarme

Introducetucomentario...

Comentarcomo: NicolasRomero(Google)

Publicar Vistaprevia

Pgina principal

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)