AREA ENTRE DOS

CURVAS

CALCULO INTEGRAL

INTRODUCCION

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo [a,b]. El área

determinada entre las gráficas de f(x) y g(x) en el intervalo [a,b] está dada por la

integral:

𝐴 = 𝑎𝑏𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Cuando se requiere calcular el área entre dos curvas es recomendable calcular el área por partes y al final realizar una suma de cada una de ellas.

No es recomendable calcular el área en uno solo debido a que obtenemos una aproximación y no un área exacta. Para encontrar esos puntos el ejemplo nos

debe de indicar en que eje ocupa para poder calcular el área (es decir, si es en el eje x o en el eje y). Una vez hecho eso, calcular los puntos que pasan sobre ese eje. Para ello solo basta con saber que cuando empezamos a calcular la función (de todos los valores de x (dominio)) y ver que el valor de y (condominio) sean 0

(cero).

Veamos algunos ejemplos de un libro que tomé y que me empezó a llamar la atención. Y pues, quiero compartirlo con ustedes. Jajajajajaja…!!!!

Calcular el área determinada por la función

𝑦 = 𝑥3 y el eje x en el intervalo [-1,2]

Solución:

𝑦 = 𝑥3

X Y

-1 -1

0 0

1 1

2 8

La gráfica de la función será así:

Como vemos que el único punto que topa con el eje x ese será la primera parte del área que se calculará y luego lo restante (segunda parte del área)

𝐴1 = −1

0

𝑥3 𝑑𝑥 =1

4𝑥4

0

−1=1

40 4 −

1

4−1 4 = −

1

4

𝐴1 =1

4

𝐴2 = 0

2

𝑥3 𝑑𝑥 =1

4𝑥42

0=1

42 4 −

1

40 4 =

16

4= 4

𝐴2 = 4

Y para finalizar el área total es:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2 =1

4+ 4 =

1

4+16

4

∴ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =17

4𝑈2

Calcule el área determinada por la función

𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 y en el eje x en el intervalo [-2,3]

Solución:

𝑦 = 𝑥3 − 𝑥

X Y

-2 -6

-1 0

0 0

1 0

2 6

3 24

La gráfica de la función sería así:

En este caso hay tres puntos en los que en el que los valores del condominio son cero, por lo tanto serán partes en donde en cada uno de ellos se calculará el área:

𝐴1 = −2

−1

𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 =1

4𝑥4 −

1

2𝑥2−1

−2=

1

4−1 4 −

1

2(−1)2 −

1

4−2 4 −

1

2(−2)2

=1

4−1

2−16

4+4

2=1

4−2

4−16

4+8

4=−9

4=9

4−−−−−→ 𝐴1 =

9

4

𝐴2 = −1

0

𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 =1

4𝑥4 −

1

2𝑥2

0

−1=

1

40 4 −

1

2(0)2 −

1

4−1 4 −

1

2(−1)2

= 0 − 0 −1

4+1

2= −

1

4+2

4=1

4=1

4−−−−−→ 𝐴2 =

1

4

𝐴3 = 0

1

𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 =1

4𝑥4 −

1

2𝑥21

0=

1

41 4 −

1

2(1)2 −

1

40 4 −

1

2(0)2

=1

4−1

2− 0 + 0 =

1

4−2

4=−1

4=1

4−−−−−→ 𝐴3 =

1

4

𝐴4 = 1

3

𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥 =1

4𝑥4 −

1

2𝑥23

1=

1

43 4 −

1

2(3)2 −

1

41 4 −

1

2(1)2

=1

4(81) −

1

2(9) −

1

4(1) −

1

2(1) =

81

4−9

2−1

4+1

2=80

4−8

2=80

4−16

4=64

4

= 16 −−−−−→ 𝐴4 = 16

Y para finalizar el área total es:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 =9

4+1

4+1

4+ 16 =

75

4

∴ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =75

4𝑈2

Calcule el área por y = x sen x en el intervalo

[-𝜋

2,3𝜋

2].

Recordando un poco de la geometría se debe recordar la siguiente fórmula para calcular la conversión de radianes a

grados:

𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ° =180

𝜋× 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

=180

𝜋× −

𝜋

2= −90°

=180

𝜋×3𝜋

2= 270°

Y vemos que el intervalo ya expresado en grados es:

−𝜋

2,3𝜋

2−−−−−→ [−90°, 270°]

NOTA: Con esto se aplicará en forma directa en los siguientes ejemplos

La gráfica de la función sería así:

Y los valores del dominio en los que el condominio da cero son:

X Y

-90° -1

-60°−3

2

-30°−1

2

0° 0

30° 1

2

60° 3

2

90° 1

X Y

120° 3

2

150° 1

2

180° 0

210°−1

2

240°−3

2

270° -1

Por lo tanto hay existencia de dos dominios en los que el condominio tiene como resultado 0 (cero). Así que el área en cada una en sus diferentes límites son los siguientes:

𝐴 = −𝜋2

3𝜋2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ?

Antes de calcular el área está se resolverá mediante una integral indefinida ya que se resolverá el método de integración por partes:

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶

(Ver la solución de ésta integral en la siguiente diapositiva)

𝐴 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = − cos 𝑥

𝐴 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 cos 𝑥 − −cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶

Ahora sí, comenzamos a evaluarla con los límites dados en donde se mostrará a continuación:

𝐴 = −𝜋2

3𝜋2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝐴1 = −𝜋2

0

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶0

−𝜋2

= − 𝜋 cos 𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 𝐶 − − −𝜋

2cos −

𝜋

2+ 𝑠𝑒𝑛 −

𝜋

2+ 𝐶

= 0 − −1 = 1 = 1

𝐴2 = 0

𝜋

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶𝜋

0= − 𝜋 cos𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 𝐶 − −0 cos 0 + 𝑠𝑒𝑛 0 + 𝐶

= − 𝜋 −1 − 0 = 𝜋A2 = 𝜋

𝐴3 = 𝜋

3𝜋2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶

3𝜋2𝜋= −

3𝜋

2cos3𝜋

2+ 𝑠𝑒𝑛

3𝜋

2+ 𝐶 − −𝜋 cos 𝜋 + 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + 𝐶

= −1 − [−𝜋 −1 ] = −1 − 𝜋 = − 1 + 𝜋𝐴3 = 1 + 𝜋

Y para finalizar el área total es:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 1 + 𝜋 + 1 + 𝜋 = 2 + 2𝜋

∴ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 + 2𝜋 𝑈2 = 2(1 + 𝜋)𝑈2

Calcule el área determinada por las curvas

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y 𝑦 = cos 𝑥 en el intervalo [0, 2𝜋]

𝐴 = 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 𝑑𝑥

Para saber cuales son los puntos existen en los que topan en el eje x y para realizarlo un poco más rápido se hace el siguiente cálculo:

h x = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥0 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

1 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥= 𝑡𝑔 𝑥

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1

= 45° =𝜋

4

= 225° =5𝜋

4

La grafica de la función sería así:

Y entonces:

𝐴 = 0

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 𝑑𝑥

𝐴1 = 0

𝜋4𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ]

𝜋40

= −𝑐𝑜𝑠𝜋

4− 𝑠𝑒𝑛

𝜋

4− −cos 0 − 𝑠𝑒𝑛 0 = −

2

2−

2

2− −1 − 0 = − 2 + 1

= − 2 − 1 = 2 − 1

𝐴2 = 𝜋4

5𝜋4𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥 𝑑𝑥 = −cos𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ]

5𝜋4𝜋4

= −𝑐𝑜𝑠5𝜋

4− 𝑠𝑒𝑛

5𝜋

4− −cos

𝜋

4− 𝑠𝑒𝑛

𝜋

4= − −

2

2− −

2

2− −

2

2−

2

2

=2

2+

2

2+

2

2+

2

2= 2 2

𝐴3 = 5𝜋4

2𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos𝑥 𝑑𝑥 = −cos𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ]2𝜋

5𝜋4

= −𝑐𝑜𝑠2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛2𝜋 − −𝑐𝑜𝑠5𝜋

4− 𝑠𝑒𝑛

5𝜋

4= −1 − 0 − − −

2

2− −

2

2

= −1 −2

2+

2

2= − 1 + 2 = 1 + 2

Y para finalizar el área total es:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 2 − 1 + 2 2 + 1 + 2 = 4 2

∴ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 2 𝑈2

Calcule el área determinada por las

curvas x = 𝑦2 y = x − 2

En este caso el eje será en el eje y, así que, se despejará “x” en la función x = 𝑦2 y y = x − 2 (aunque en la primera función no es necesario despejar x ya que ya lo está), por lo que obtenemos la siguiente integral:

𝐴 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑑𝑦 = |𝑦2 − (𝑦 + 2)|𝑑𝑦 = 𝑦2 − 𝑦 + 2 𝑑𝑦

Para saber cuales son los limites necesarios para calcular el área entre esas dos curvas se hace el siguiente cálculo:

𝑦2 − 𝑦 − 2 = ℎ 𝑦𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0𝑦 − 2 𝑦 + 1 = 0

Y por ello concluimos que hay dos puntos y son:

𝑦 = 2 𝑦 𝑦 = −1

Ahora vemos que el dominio es “y” y el condominio es “x”. Y continuamos con calcular los valores del dominio (y) para encontrar el 0 en el condominio (x) de la nueva función (es decir h(y)), respetando el

intervalo [-1,2].

La gráfica de la función sería así:

x = 𝑦2 y = x − 2

Como el condominio de la función x = 𝑦2 da cero en el dominio cero y concuerda con el mismo punto pero a una distancia lejana en la función y = x − 2 se calculará el área en dos partes, la

primera con el intervalo [-1,0] y la segunda con este intervalo [0,2] pero realizando una resta del área mayor con el área menor debido a que el eje x está cortando el área entre esas dos curvas

(además de que es muy ancho; si fuera con un punto o que el área sea topado con un punto como los ejemplos anteriores se sumaría) y con la función nueva, es decir h(x) (espero haberme

explicado, sino se los dejaré a su criterio; solo espero que en cálculo de puedan comprenderlo un poco).

y x

-1 1

0 0

1 1

2 4

X Y

-1 -3

0 -2

1 -1

2 0

𝐴 = −1

2

𝑦2 − 𝑦 − 2 𝑑𝑦

𝐴1 = −1

0

𝑦2 − 𝑦 − 2 𝑑𝑦 =1

3𝑦3 −

1

2𝑦2 − 2𝑦

0

−1

=1

30 3 −

1

20 2 − 2 0 −

1

3−1 3 −

1

2−1 2 − 2 −1

= 0 −−1

3−1

2+ 2 = 0 +

1

3+1

2− 2 =

5

6− 2 = −

7

6

𝐴1 =7

6

𝐴2 = 0

2

𝑦2 − 𝑦 − 2 𝑑𝑦 =1

3𝑦3 −

1

2𝑦2 − 2𝑦

2

0

=1

32 3 −

1

22 2 − 2 2 −

1

30 3 −

1

20 2 − 2 0

=8

3−4

2− 4 − 0 =

8

3− 2 − 4 =

8

3− 6 = −

10

3

𝐴2 =10

3=20

6

Y para finalizar el área total es:

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 − 𝐴2 =20

6−7

6=13

6

∴ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =13

6𝑈2

ESPERO QUE HAYAN ENTENDIDO ESTE TEMA. EL CALCULO REFLEJA TODO AUNQUE LO QUE EXPLICO PUEDE SER UN POCO CONFUSO, PERO INTENTO LO MEJOR. SI NO ENTENDIERON, INSISTO, PUEDEN ANALIZAR EL CALCULO Y EXPRESARLO SON SUS

PROPIAS PALABRAS.

CUALQUIER DUDA O SUGERENCIA DEJENME UN COMENTARIO O LOS QUE SEAN NECESARIOS

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Enjoyful and thank you very much!!!

BIBLIOGRAFIA

AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE CÁLCULO INTEGRAL”, 1ra

edición, División Iberoamericana, Julio 2003, págs. 38-47.

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