Apunts de CalculTema 5. Nombres complexos
Lali Barriere, Josep M. OlmDepartament de Matematica Aplicada 4 - UPC
Enginyeria de Sistemes de TelecomunicacioEnginyeria Telematica
EETAC
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 1 / 22
Continguts
Continguts
5.1 La unitat imaginaria
5.2 Forma binomica d’un complexDefinicioOperacions en forma binomica
5.3 El pla complex
5.4 Forma exponencial d’un complexDefinicioOperacions en forma exponencialFormules trigonometriques
5.5 Arrels n-esimes d’un complex
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 2 / 22
5.1 La unitat imaginaria
5.1 La unitat imaginaria
Conjunts de nombres
I Els conjunts numerics estudiats fins ara son N, Z, Q i R, que satisfan:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
I Cadascun d’ells completa l’anterior, en el sentit que podem feroperacions que no tenien solucio en el conjunt precedent:
I A Z podem calcular 1− 2, cosa que no podem fer a N.I A Q podem calcular (treballar amb) 3
2 , cosa que no podem fer a Z.I A R podem calcular (treballar amb)
√2, cosa que no podem fer a Q.
I Fins ara hem treballat al conjunt R.
A R no podem calcular arrels quadrades de nombres negatius!!!
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 3 / 22
5.1 La unitat imaginaria
Arrels quadrades de nombres negatius: la unitat imaginaria
I Observem: √−2 =
√(−1) · 2 =
√−1 ·√
2
i el mateix raonament serviria per a qualsevol altre nombre negatiu.
I Per tant, si coneixem √−1,
podem calcular l’arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu.
I Definicio. Anomenem l’arrel quadrada de −1 unitat imaginaria. Larepresentem amb la lletra j. Aixı:
j =√−1
I De la definicio es dedueix que: j2 = −1
Utilitzant j, totes les equacions de segon grau tenen solucio.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 4 / 22
5.1 La unitat imaginaria
Solucions d’equacions de segon grau
Exemple
I Fins ara, l’equaciox2 − 4x+ 13 = 0
no te solucions (reals). Les solucions haurien de ser
x =4±√
16− 52
2=
4±√−36
2,
que no existeixen perque a R no existeix l’arrel d’un nombre negatiu.
I A partir d’ara, podem resoldre l’equacio (a C):
x2 − 4x+ 13 = 0⇔ x =4±√−36
2= 2± 3 ·
√−1⇒ x = 2± 3 · j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 5 / 22
5.1 La unitat imaginaria
Solucions d’equacions de segon grau
Exercici 1. Resoldre les equacions seguents, usant la unitat imaginaria:
1. x2 = −1
2. x2 = −4
3. x2 + x+ 1 = 0
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 6 / 22
5.2 Forma binomica d’un complex Definicio
5.2 Forma binomica d’un complex
Un nombre complex en forma binomica es un nombre de la forma
z = a+ b · j, amb a, b ∈ R
I a es la part real de z: Re(z) = a.
I b es la part imaginaria de z: Im(z) = b.
I Si Re(z) = 0, aleshores z = b · j. Diem que z es imaginari pur.
I Si Im(z) = 0, aleshores z = a i z es real.
I Donat z = a+ b · j, el conjugat de z es
z = a− b · j
Escrivim C per designar el conjunt dels nombres complexos Es compleix
R ⊂ C
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 7 / 22
5.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica
Suma, producte i divisio
I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:
z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d) · jz1 · z2 = (ac− bd) + (ad+ bc) · j
I Es compleix z = a+ b · j⇒ z · z = (a+ b · j) · (a− b · j) = a2 + b2.
I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:
z1z2
=z1z2· z2z2
= · · · = ac+ bd
c2 + d2+bc− adc2 + d2
· j
Dividir dos nombres complexos es, en realitat, racionalitzar un trencat.
Exercici 2. Donats z1 = 2− 3j i z2 = 5 + 4j, calcular z1z2
.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 8 / 22
5.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica
Potenciacio
I Notem que:
j0 = 1 j4 = j3 · j = −j · j = −j2 = 1 = j0
j1 = j j5 = j4 · j1 = j1 = j
j2 = −1 j6 = j4 · j2 = j2 = −1j3 = j2 · j = −1 · j = −j j7 = j4 · j3 = j3 = −j . . .
I Per tant, donat n ∈ N:jn = jr
on r es el residu de dividir n entre 4.
I El calcul de (a+ b · j)n per n petites (n = 2, 3, 4) es pot fer en formabinomica. Per a n mes grans es preferible usar una altra representaciodels complexos.
Exercici 3. Calcular:j51, (1 + 2j)2, (2− 2j)2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 9 / 22
5.3 El pla complex
5.3 El pla complex
Representacio grafica de nombres complexos
I Els nombres reals es representen a la recta real, R.
I Al nombre complex complex z = a+ b · j li podem fer correspondre elpunt del pla de coordenades cartesianes (a, b).
I El conjunt de tots els complexos, representats com a punts del pla,rep el nom de pla complex, i s’identifica amb R2.
Exercici 4. Representar en el pla complex:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +
√3j, −3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 10 / 22
5.3 El pla complex
Modul i argument d’un complex z = a+ b · jI |z| =
√z · z =
√a2 + b2 es el modul de z.
I arg(z) = arctan(ba
)(+π si a < 0) es l’argument de z.
I L’argument d’un complex no es unic: arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π, k ∈ Z.I L’argument principal de z es el que compleix 0 ≤ arg(z) < 2π.
α−2π
α+2π
α
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 11 / 22
5.3 El pla complex
Propietats
I z i z son simetrics respecte de l’eix real:
|z| = |z| i arg (z) = − arg(z)
I z i −z son simetrics respecte de l’origen de coordenades:
| − z| = |z| i arg (−z) = arg(z) + π
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 12 / 22
5.3 El pla complex
Exercicis
I Exercici 5. Trobar el modul i l’argument de:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +
√3j, −3
I Exercici 6. Expressar en forma binomica, representar graficament itrobar el modul i l’argument:
1 + j
1− j,
2− j√
3
1 + j,
(1 + j)2
1− j, (1− j)4
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 13 / 22
5.4 Forma exponencial d’un complex Definicio
Formula d’Euler i forma exponencial
I Formula d’Euler. Nombre complex de modul 1 i argument α:
eαj = cosα+ j · sinα
I Forma exponencial d’un nombre complexSi z = a+ b · j, amb |z| = R i arg(z) = α:
z = a+ b · j = R · (cosα+ j · sinα) = R · eαj
Forma binomica Forma exponencial
a+ b · j → R =√a2 + b2
α = arctanb
a(+π, si a < 0)
a = R · cosα ← R · eαjb = R · sinα
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 14 / 22
5.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial
Producte, divisio i potenciacio
I Producte i divisio
z1 = R1 · eα1j, z2 = R2 · eα2j ⇒
z1 · z2 = R1 ·R2 · e(α1+α2)j
z1z2
=R1
R2· e(α1−α2)j
I Potenciacioz = R · eαj ⇒ zn = Rn · enαj
Es dedueix directament de les propietats de l’exponencial!!!
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 15 / 22
5.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial
Exercicis
I Exercici 7. Demostrar que ejπ + 1 = 0.
I Exercici 8. Representar graficament i trobar el modul i l’argument:
ejπ2 , ej
π2 , −jej
π3 , −2ej
π3
I Exercici 9. Donar el resultat en forma binomica i en formaexponencial:
5j23 + 2j13, (1 + j)53,1 + 2j
2− j· e
π3j,
2e−π3j(1− j)2
(1 + j)eπ6j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 16 / 22
5.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques
Forma exponencial i relacions trigonometriquesA partir de la forma exponencial del nombres complexos i de les propietatsde les potencies, es poden deduir analıticament diferents relacionstrigonometriques
I e(α+β)j = eαj · eβj ⇒
cos(α+ β) + j sin(α+ β) = (cosα+ j sinα) · (cosβ + j sinβ) =
= cosα cosβ − sinα sinβ + j(sinα cosβ + cosα sinβ)
I enαj = (eαj)n ⇒
cosnα+ j sinnα = (cosα+ j sinα)n
I eαj = cosα+ j sinα, e−αj = cosα− j sinα⇒
cosα =1
2
(eαj + e−αj
), sinα =
1
2j
(eαj − e−αj
)Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 17 / 22
5.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques
Exercicis
I Exercici 10. Demostrar:
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θsin 2θ = 2 sin θ cos θ
I Exercici 11. Utilitzant l’exercici anterior i les raons trigonometriquesde l’angle π
6 , trobeu les raons trigonometriques de l’angle π12 .
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 18 / 22
5.5 Arrels n-esimes d’un complex
5.5 Arrels n-esimes d’un complexSi z = R · eαj, volem calcular n
√z, amb n ∈ N, n 6= 0.
I Volem trobar els nombres complexos w = S · eβj que compleixenw = n
√z, es a dir, wn = z.
I Observem:
w = n√z ⇐⇒ wn = z ⇐⇒ (S ·eαj)n = R ·eαj ⇐⇒ Sn ·enβj = R ·eαj
I A mes: α = arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π = α+ k · 2π, k ∈ Z.I Aixı,
w = n√z ⇐⇒ Sn · enβkj = R · e(α+k·2π)j
I Per tant, les arrels buscades son els nombres complexos S · eβj talsque
Sn = R⇐⇒ S =n√R
nβk = α+ k · 2π ⇐⇒ βk =α+ k · 2π
n, k ∈ Z
Hi ha un nombre infinit de possibles valors per a k!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 19 / 22
5.5 Arrels n-esimes d’un complex
ObservacioFem variar k en Z per a trobar tots els possibles valors de βk.
I Per a k = 0, . . . , n− 1, tots els βk donen valors de w diferents:
β0 =α
n
β1 =α+ 2π
n=α
n+
2π
n. . .
βn−1 =α+ (n− 1) · 2π
n=α
n+
(n− 1) · 2πn
I Altres valors de k donen βk diferents pero no nous valors de w.
βn =α+ n · 2π
n=α
n+ 2π = β0 + 2π
βn+1 =α+ (n+ 1) · 2π
n=α
n+
2π
n+ 2π = β1 + 2π
. . .
Nomes 0 ≤ k < n donen valors de l’arrel diferents!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 20 / 22
5.5 Arrels n-esimes d’un complex
Calcul d’arrels n-esimes
Si z = R · eαj, n ∈ N, n 6= 0, aleshores
wn = z ⇒ w =n√R · e
α+k·2πn
j, k = 0, 1, . . . , n− 1
I Si z 6= 0, z te n arrels n-esimes diferents.
I Escrivim:
n√z =
{n√R · e
α+k·2πn
j}k=0,1,...,n−1
=
w0 = n
√R · e
αnj
w1 = n√R · e
α+2πn
j
. . .
wn−1 = n√R · e
α+(n−1)2πn
j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 21 / 22
5.5 Arrels n-esimes d’un complex
Propietats
n√Reαj =
n√Re
α+k·2πn
j, k = 0, 1, . . . , n− 1
I Totes les arrels tenen el mateix modul, n√R.
I La diferencia angular entre dues arrels consecutives es constant:
βk − βk−1 =2π
n
I Les arrels n-esimes d’un nombre complex es troben en els vertexs d’unpolıgon regular de n costats, amb centre a l’origen de coordenades.
Exercici 12. Calcular i representar graficament:6√
1, 4
√−8 + 8
√3j
Exercici 13. Doneu en forma binomica i exponencial les arrels cubiques de1 +√
2j
1−√
2j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 22 / 22