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Autor: Ing. Martn Mares Tavares

RECOMENDACIONES PARA UN MEJOR APROVECHAMIENTO DEL CURSO ASISTENCIA Y PUNTUALIDAD El curso es un conjunto integrado. Si usted tiene faltas parciales o totales le ser muy difcil entender el conjunto. Planee sus actividades

diarias para llegar a tiempo al curso.

SEA UN PARTICIPANTE ACTIVO El profesor expone teoras y conocimientos generales, as como ejemplos particulares que ilustran la teora. Si usted participa haciendo

preguntas o planteando nuevas situaciones, el curso se enriquecer para todos. Si las teoras o ejemplos tienden a ser generales, su participacin

tratar detalles concretos.

SI ALGO NO ENTIENDE, PREGUNTE El profesor est para responder sus preguntas. Sus preguntas constituyen una valiosa aportacin al curso.

NO ESPERE TODO DEL PROFESOR Usted debe estudiar, analizar y realizar ejercicios. En base a su estudio y anlisis podr hacer preguntas concretas para situaciones

especficas.

TOME APUNTES Los apuntes debern contener la informacin relevante del tema tratado por el profesor. Los apuntes son el complemento del libro de

texto de la materia juntos son la base para el estudio posterior del tema impartido.

APLIQUE LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS Un curso que no se aplica es como un cheque que no se cobra. Aproveche los conocimientos que adquirido.


UNIDAD I

TENSIN, COMPRESIN Y CORTANTE


INTRODUCCIN La resistencia de materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas en el interior de los

slidos. Adems no supone que los slidos son idealmente deformables, sino que las deformaciones, por pequeas que sean, tienen

gran inters. Las propiedades del material de que se construye una estructura afectan tanto a su eleccin como a su diseo, ya que

deben satisfacer las condiciones de resistencia y de rigidez.

ANLISIS DE FUERZAS INTERNAS La resistencia de materiales estudia la distribucin interna de esfuerzos que produce un sistema de fuerzas exteriores aplicadas. En general, el sistema de fuerzas internas equivale a una fuerza y un par resultantes que, por conveniencia, se descomponen segn la normal y la tangente a la seccin. El origen del sistema de ejes coordenados se considera siempre en el centroide, que es el punto de referencia de la seccin.

F1 F3

F2

F4 a

a


F1 Pxy F2 Pxz Pxx X Z

De acuerdo a la figura anterior se tiene:

Pxx Fuerza Axial Pxy, Pxz Fuerzas Cortantes

Mxx Momento Torsionante Mxy, Mxz Momentos Flexionantes

Y

Mxy

Mxz

Mxx


ESFUERZO SIMPLE La fuerza por unidad de rea que soporta un material se suele denominar ESFUERZO en el material, y se expresa matemticamente en la forma:

AP =

Una determinacin ms exacta del esfuerzo exige dividir la fuerza diferencial dP entre el elemento de rea diferencial dA sobre el que acta, as se tiene:

dAdP =

La situacin en la que el esfuerzo es constante o uniforme se llama estado de ESFUERZO SIMPLE. Si la fuerza que acta en la seccin transversal del elemento pasa por el CENTROIDE (o centro de gravedad) de la seccin considerada, la distribucin del esfuerzo siempre ser uniforme.


Para que pueda existir un esfuerzo uniforme, P debe pasar por el centroide C Y dP x dA C b O X P Z

Para comprobar lo anterior se tiene que:

( ) dA x dP x Pb 0 My

dA dP P 0 Fz

===

===

si la distribucin de esfuerzos es uniforme entonces es constante, entonces: == A dA P por lo tanto ( ) == dA x b A Pb por consiguiente, eliminando se obtiene:

x dA x

b == A

por lo tanto la coordenada b del punto es la misma coordenada x del centroide de la seccin, lo cual se quera demostrar.


INTRODUCCIN A LA MECNICA DE MATERIALES

La mecnica de materiales es una rama de la mecnica aplicada que trata del comportamiento de los cuerpos

slidos sometidos a varios tipos de carga.

El objetivo principal de la mecnica de materiales es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias,

desplazamientos en estructuras y sus componentes debido a las cargas que actan sobre ellas.

ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIN UNITARIA NORMAL BARRA PRISMTICA. Es un miembro estructural de seccin constante en toda su longitud. FUERZA AXIAL. Es una carga dirigida a lo largo del eje del miembro que somete a ste a tensin o a

compresin. SECCIN TRANSVERSAL. Es la seccin perpendicular al eje longitudinal del elemento.


ESFUERZO NORMAL

La intensidad de la fuerza por unidad de rea se llama ESFUERZO y se designa con la letra griega (sigma).

Los esfuerzos pueden ser de TENSIN o COMPRESIN. Debido a que los esfuerzos actan perpendiculares a la

seccin transversal, se llaman ESFUERZOS NORMALES.

AP

= NOTA. La ecuacin anterior slo es vlida si el esfuerzo est uniformemente distribuido sobre la seccin transversal

del elemento. Esta condicin se cumple si la fuerza axial P acta a travs del CENTROIDE del rea de la seccin

transversal.

CONVENCIN DE SIGNOS: Esfuerzos de Tensin son : POSITIVOS Esfuerzos de Compresin son : NEGATIVOS


DEFORMACIN UNITARIA NORMAL

Si en una barra prismtica actan fuerzas axiales ya sean de tensin o compresin, la barra se deformar

longitudinalmente alargndose o acortndose.

El alargamiento es el resultado acumulativo del alargamiento de todos los elementos del material en todo el

volumen de la barra. Si el alargamiento total lo dividimos entre la longitud L de la barra obtendremos la

DEFORMACIN UNITARIA representada por la letra griega (psilon) la cual esta dada por la ecuacin:

L =

NOTA. La deformacin unitaria a tensin representa alargamiento, se considera POSITIVA La deformacin unitaria a compresin representa acortamiento, se considera NEGATIVA


DIAGRAMA ESFUERZO DEFORMACIN F

ESFUERZO

D B ESFUERZO FLUENCIA ESFUERZO LTIMO C

A LMITE PROPORCIONAL FRACTURA E

1 2 3 4 DEFORMACIN

1) REGIN LINEAL 2) PLASTICIDAD O

FLUENCIA 3) ENDURECIMIENTO POR

DEFORMACIN 4) ESTRICCIN


ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y FLUJO PLSTICO

ELASTICIDAD. Es la propiedad por medio de la cual un material recupera sus dimensiones originales al ser

descargado, y se dice que el material es elstico.

PLASTICIDAD. Es la caracterstica que tienen los materiales cuando sufren deformaciones unitarias inelsticas

ms all de la deformacin unitaria en el lmite elstico.

FLUJO PLSTICO Se presenta cuando ocurren grandes deformaciones en un material dctil cargado en la

regin plstica


ELASTICIDAD LINEAL, LEY DE HOOKE Y RAZN DE POISSON

ELASTICIDAD LINEAL. Cuando un material se comporta elsticamente y existe una relacin lineal entre el

esfuerzo y la deformacin unitaria.

MDULO DE ELASTICIDAD Es la pendiente del diagrama de Esfuerzo Deformacin unitaria en la regin

elstica lineal, en ocasiones tambin se llama Mdulo de Young.

LEY DE HOOKE establece la relacin lineal entre las cargas aplicadas y las deformaciones resultantes.

E=


RAZN DE POISSON

Cuando una barra prismtica se somete a tensin, el alargamiento axial va acompaado de una contraccin

lateral ( o sea, una contraccin normal a la direccin de la carga aplicada ).

La deformacin unitaria lateral en cualquier punto de una barra es proporcional a la deformacin unitaria axial en

el mismo si el material es elstico lineal.

Se dice que los materiales que tienen las mismas propiedades en todas direcciones (axial, lateral e intermedia)

son istropos. Si las propiedades difieren en varias direcciones, el material es anistropo (o aeolotrpico), un material

ortotrpico es aquel que tiene las mismas propiedades en una sola direccin.

La razn de la deformacin unitaria lateral a la deformacin unitaria axial se conoce como razn de

Poisson y se denota con la letra griega (nu) ; entonces,

==axialunitarianDeformacilateralunitarianDeformaci

=


Para una barra en tensin, la deformacin unitaria axiales positiva y la deformacin unitaria lateral es negativa (porque el ancho de la barra decrece). Para la compresin tenemos la situacin opuesta; la barra se acorta

(deformacin axial unitaria negativa) y se ensancha (deformacin unitaria lateral positiva); por lo tanto, para materiales

ordinarios la razn de Poisson siempre tiene un valor positivo, las ecuaciones anteriores slo se podrn aplicar a una

barra en estado de esfuerzo uniaxial, esto es, a una barra en que el nico esfuerzo es el esfuerzo normal en la direccin axial. La razn de Poisson permanece constante slo en el intervalo elstico lineal.

CAMBIO DE VOLUMEN. Cuando se aplica una carga a tensin o compresin a una barra esta experimenta un cambio

de volumen y este se puede calcular a partir de las deformaciones unitarias axiales y laterales Y

X

Z


CAMBIO DE LA FORMA Y

a

a

c

c

b b O X

Z


VOLUMEN FINAL

V1 = abc(1+)(1-)(1-) = Vo(1+)(1-)(1-) = Vo( 1+-2 )

CAMBIO DE VOLUMEN

V = V1 Vo = Vo ( 1-2 )

EXPANSIN

e = V / Vo = ( 1 2 ) = ( 1 2 ) / E


ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIN UNITARIA CORTANTE El esfuerzo cortante acta tangencialmente a la superficie del material. Existe otro tipo de esfuerzo que se genera

por el contacto llamado esfuerzo de aplastamiento. El rea de aplastamiento se define como el rea proyectada de la superficie de aplastamiento.

b

bb A

F=

El esfuerzo cortante promedio sobre la seccin transversal se obtiene dividiendo la fuerza cortante total V entre

el rea A de la seccin transversal sobre la que acta.

AV

prom =


El cortante directo o cortante simple se presenta cuando la accin de las fuerzas es directa al tratar de cortar el

material, mientras que la tensin, torsin y flexin producen el cortante en forma indirecta.

IGUALDAD DE LOS ESFUERZOS CORTANTES EN PLANOS PERPENDICULARES 1. Los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas ( y paralelas ) de un elemento son iguales en magnitud y

opuestas en sentido.

2. Los esfuerzos sobre caras adyacentes ( y perpendiculares ) de un elemento son iguales en magnitud y

tienen sentidos tales que ambos esfuerzos sealan hacia la lnea de interseccin de las caras o bien, ambos

esfuerzos se alejan de tal lnea.

NOTA. Cada cara del cubo tiene una flecha que representa el esfuerzo cortante en esta. Y

X Z


DEFORMACIN UNITARIA CORTANTE

Los esfuerzos cortantes producen un cambio en la forma. El ngulo es una medida de la distorsin, o cambio en la forma del elemento y se llama deformacin unitaria cortante. Como la deformacin unitaria cortante

es un ngulo, se mide en grados o radianes.


LEY DE HOOKE EN CORTANTE

De los diagramas de esfuerzo deformacin unitaria en cortante, se puede obtener las propiedades de los

materiales como el lmite de proporcionalidad, el mdulo de elasticidad, el esfuerzo de fluencia y el esfuerzo

ltimo.

Para muchos materiales, la parte inicial del diagrama esfuerzo deformacin unitaria en cortante es una

lnea recta que pasa por el origen, igual que en el caso de tensin. Para esta regin elstica lineal, el esfuerzo

cortante y la deformacin unitaria cortante son proporcionales y por lo tanto se tiene la siguiente ecuacin para la

Ley de Hooke en Cortante:

G= Donde:

G es el mdulo de elasticidad en corte La siguiente ecuacin relaciona los mdulos de elasticidad en tensin y cortante:

)(EG+

=12


ESFUERZOS Y CARGAS PERMISIBLES

Una estructura es cualquier objeto que debe soportar o transmitir cargas. La capacidad de una estructura

para resistir cargas se llama resistencia, entonces: la resistencia verdadera de una estructura debe exceder la

resistencia requerida. La razn de la resistencia verdadera a la resistencia requerida se llama factor de seguridad

n :

requerida aResistenciverdadera aResistenci n seguridadde Factor =

Las normas y especificaciones pretenden proporcionar niveles razonables de seguridad sin que se incurra

en costos demasiados altos. Al aplicar un factor de seguridad con respecto al esfuerzo de fluencia ( o resistencia a la fluencia ),

obtenemos un esfuerzo permisible ( o esfuerzo de trabajo ) que no debe excederse en ninguna parte de la

estructura, entonces:

seguridadde Factor

fluencia la a aResistenci permisible Esfuerzo =


en donde : y y y son los esfuerzos de fluencia y 1n y 2n son los factores de seguridad

El factor de seguridad se aplica al esfuerzo ltimo y no al esfuerzo de fluencia. Este mtodo es adecuado

para materiales frgiles como el concreto y algunos plsticos y para materiales sin un esfuerzo de fluencia bien

definido, entonces:

4

uperm

3

u perm n

yn

==

en donde : u y u son los esfuerzos ltimos y 3n y 4n son los factores de seguridad

Despus de que se ha establecido el esfuerzo permisible para un material o estructura es posible establecer

la carga permisible :

Carga permisible = Esfuerzo permisible X rea de la seccin

2

yperm

1

yperm n

yn

==


DISEO POR CARGAS AXIALES Y CORTANTE DIRECTO

El anlisis de una estructura consiste en determinar las cargas permisibles, esfuerzos, deformaciones unitarias y deformaciones en los elementos que la constituyen. El anlisis consiste en determinar la

respuesta de una estructura a las cargas, cambios de temperatura, deformaciones unitarias y otras acciones

fsicas. Por respuesta de una estructura se entienden los esfuerzos, deformaciones unitarias y deformaciones

producidas por las cargas, tambin la respuesta se refiere a la capacidad de tomar carga de una estructura. Se

dice que una estructura es conocida ( o dada ) cuando tenemos una descripcin fsica completa de ella, o sea,

cuando conocemos sus propiedades. Las propiedades de una estructura incluyen los tipos de miembros y como

estn dispuestos, sus dimensiones de estos, tipos de soportes y donde se encuentran, los materiales usados y sus

propiedades. Entonces , al analizar una estructura, las propiedades estn dadas y hay que hallar la respuesta.

El proceso inverso se llama diseo. Al disear una estructura, debemos determinar las propiedades

de la estructura para que soporte las cargas y realice las funciones previstas, es decir, determinar el tamao de los

elementos para que soporten las cargas dadas. Al conocer las cargas por trasmitir y los esfuerzos permisibles en

los materiales, se puede calcular el rea requerida para los elementos de la estructura, entonces:

permisible Esfuerzosetransmitir por Carga requerida rea =

Nota: esta ecuacin es aplicable a estructuras con esfuerzos uniformemente distribuidos sobre el rea


El diseo de una estructura comprende los conceptos de rigidez y estabilidad. La rigidez se refiere a

la capacidad de una estructura para resistir cambios de forma ( p.e., al alargamiento, flexin o torsin ); la

estabilidad se refiere a la capacidad de la estructura para resistir el pandeo bajo esfuerzos de compresin.

Otra parte del proceso de diseo es la optimizacin, que consiste en disear la mejor estructura

para satisfacer un objetivo particular, como el de peso propio mnimo. Al disear una estructura es necesario

referirse a las cargas o reacciones. Las cargas son fuerzas activas que se aplican a la estructura por

alguna causa externa, como la gravedad o una presin de agua. Las reacciones son fuerzas pasivas

inducidas en los soportes de la estructura y cuyas magnitudes y direcciones son determinadas por la

naturaleza de la estructura misma.

Al dibujar diagramas de cuerpo libre, conviene distinguir las reacciones de las cargas o de otras

fuerzas aplicadas, trazando una diagonal sobre la flecha que representa una fuerza reactiva.


UNIDAD II

MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE


INTRODUCCIN

Los miembros cargados axialmente slo estn sujetos a fuerzas axiales de tensin o de compresin. CAMBIOS DE LONGITUD EN MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE

Resortes. Cuando se aplica una carga a lo largo del eje de un resorte, ste se alarga o se acorta dependiendo de

la direccin de la carga. Si la carga acta alejndose del resorte, ste se alarga y decimos que el resorte est en tensin.

Si la carga acta hacia el resorte, ste se acorta y decimos que el resorte est cargado en compresin.

k P = P f = RIGIDEZ FLEXIBILIDAD

L f1 k =

k1 f =

P


Barras prismticas. Los cambios de longitud en una barra cuando acta una fuerza axial, pueden ser de

alargamiento o de acortamiento. Si la carga es de tensin el elemento se estirar, mientras que una fuerza de

compresin causar acortamiento en l.

P P L P P L + ALARGAMIENTO RIGIDEZ FLEXIBILIDAD

A EL P =

LA E k =

A EL f =


CAMBIOS EN LONGITUD DE BARRAS NO UNIFORMES

La aplicacin de la frmula EAPL = para el alargamiento de una barra en situaciones ms generales , como en

el caso de una barra prismtica cargada axialmente en diferentes puntos intermedios, el cambio en su longitud puede

determinarse sumando algebraicamente los alargamientos y acortamientos de los segmentos individuales.

N1 A PB L1 PB N2 B B N3 L2 C C C PC PC PC L3 D D D D PD PD PD PD

EA

L N EA

L N EA

L N

P N P P N P P P- N

333

222

111

D3DC2DCB1

===

=+=++=

321 ++=


El mtodo de anlisis anterior se puede utilizar cuando se tiene una barra con varios segmentos prismticos,

cada uno con una fuerza axial, dimensin y material diferentes. El cambio de longitud puede obtenerse con la siguiente

ecuacin :

PA A

E1 L1

B PB =

=n

i 1 i i

ii

A E L N

E2 L2 C


UNIDAD III

TORSIN


INTRODUCCIN

La torsin se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos que tienden a producir una

rotacin alrededor del eje longitudinal de la barra.

Los momentos que producen torcimiento en una barra, se llaman pares o momentos de torsin.

P1

P2 T2 = P2 d2

Eje de la barra

d1 P1 P2 d2 T1 = P1 d1


DEFORMACIONES TORSIONANTES DE UNA BARRA

Si todas las secciones transversales de una barra son idnticas y

cada una de est sometida al mismo par interno T, se dice que la barra

est en TORSIN PURA.

El ngulo de torsin cambia a lo largo del eje de la barra y en

secciones intermedias tendr un valor ( )x entre cero en el extremo

inicial y en el final. Si toda seccin transversal de una barra tiene el

mismo radio y est sometida al mismo par (torsin pura), el ngulo ( )x variara de manera lineal entre los extremos.


es el ngulo de torsin por unidad de longitud y es

dxd =

mx Deformacin unitaria cortante entonces es

=

= r dxd

mx

Slo para torsin pura se podr aplicar:

Lr r

mx

==

Entonces los elementos interiores estn tambin en cortante puro

mx

r ===


BARRAS CIRCULARES DE MATERIALES ELSTICO LINEALES

Se debe recordar que los elementos de esfuerzo son objetos

tridimensionales con espesor perpendicular al plano de la figura.

De acuerdo a la Ley de Hooke al cortante:

= G Considerando las deformaciones unitarias se tiene:

= r G mx

r

G ===

Donde mx es el esfuerzo cortante en la superficie exterior de la barra

(radio r), es el esfuerzo cortante en un punto interior (radio ) y es

la razn de torsin, teniendo sta ltima unidades en radianes.


FRMULA DE LA TORSIN

Se tiene que el momento de la fuerza que acta en el elemento es:

dA r

dA dM 2mx ==

El momento resultante (igual al par T) es la suma sobretodo el rea de

la seccin transversal de todos los momentos elementales:

Pmx

A2

Amx I

r dA

r dM T ===

en donde

dA IA

2 P =

es el momento de inercia polar de la seccin transversal circular


Para un crculo se tiene:

32d

2r I

44

P

=

=

As la frmula de la Torsin es:

Pmx I

r T =

Para una seccin transversal circular slida:

3 mx d T 16

=


El esfuerzo cortante a una distancia del centro de la barra es:

Pmx I

T r

==

esta ecuacin es la frmula generalizada de torsin

El ngulo de torsin por unidad de longitud es:

PI GT =

donde PI G es la rigidez torsional ( LI G k PT = ,

PT I G

L f = )

Asi el ngulo ( es decir L = total es:

PI GL T =


TUBOS CIRCULARES

Los tubos circulares resisten con ms eficiencia cargas de torsin

que las barras slidas. Los esfuerzos cortantes de una barra circular

slida son mximos en el borde exterior de la seccin transversal y cero

en el centro, mientras que en un tubo la mayora del material est en el

borde y donde los esfuerzos cortantes y brazos de momento son

grandes.

El momento polar de inercia de un tubo es:

( ) ( )41424142P d - d 32 r - r 2 I

=

=

NOTA. Las ecuaciones obtenidas se limitan a barras de seccin

transversal circular (slidas o huecas) que se comportan de manera elstica lineal, es decir las cargas no exceden lmite proporcional.


PROBLEMAS DEL CAPTULO I ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIN UNITARIA

1.2-1 Una barra metlica ABC que tiene dos reas transversales diferentes est cargada por una fuerza axial P. Las partes AB y BC son de seccin transversal circular con

dimetros de 1.75 y 1.25 in, respectivamente. Si el esfuerzo normal en la parte AB es de

5000 psi, cul es el esfuerzo normal BC en la parte BC ? A B C P SOLUCIN A d AB B d BC P

Datos : d AB = 1.75 in ; d BC = 1.25 in ; AB = 5000 psi Encontrar : BC

Sabemos que : AP = , como la carga aplicada es la misma para ambas secciones, entonces:

BC BC AB AB A A P ==

sustituyendo valores se tiene:

( ) ( ) 1.25 4

1.75 4

5000 2 BC2

=

resolviendo se tiene que :

psi 9800 BC =


SOLUCIN

F

Observe que al hacer suma de momentos en A podemos determinar la fuerza F as se

( ) ( )

N 220 50

275 40 50

275 P F

0 275 P - 50 F0 M

=

==

=

=

Para determinar el esfuerzo de compresin C en la biela aplicamos la ecuacin del

esfuerzo axial, as se tiene que:

( )MPa 11.2

54 220

2C ==

1.2-2 Calcule el esfuerzo de

compresin C en la biela, cuando

se aplica una fuerza P = 40 N al pedal

del freno. ( Note que la lnea de accin

de la fuerza P es paralela a la biela. El

dimetro de la biela es de 5 mm y las

otras dimensiones ilustradas se miden

perpendicularmente a la lnea de

accin de la fuerza P .)

A

DDee aaccuueerrddoo aall ddiiaaggrraammaa ssee ttiieennee::

DDooss rreeaacccciioonneess eenn eell aappooyyoo AA

FF eess llaa ffuueerrzzaa ddee ccoommpprreessiinn eenn llaa

bbiieellaa

dd eess eell ddiimmeettrroo ddee llaa bbiieellaa

PP llaa ffuueerrzzaa aapplliiccaaddaa aall ppeeddaall

AY AX


Extensmetro P P L = 20 in SOLUCIN Considerando que el tubo esta en compresin se tiene: P P L = 20 in Si se considera que: D1 = 2.0 in y D2 = 2.4 in Entonces:

a) Determinacin del acortamiento del tubo

( ) in 0.0114 20 570X10 L 10 X 570

6 -

6 -

===

=

b) Clculo de la carga de compresin P

( ) ( ) ( )[ ]( ) lb 8290 1.382 6 A P

in 1.38 2.0 - 2.4 4

D - D 4

A

ksi 6 2 222

122

===

===

=

1.2-3 Un tubo circular de aluminio de longitud de L = 20 in est cargado a compresin por fuerzas P. Los dimetros exterior e interior son de 2.4 in y 2.0 in, respectivamente. Se coloca un extensmetro sobre el exterior del tubo para medir deformaciones unitarias normales en la direccin longitudinal.

a) Si la deformacin unitaria medida es 6 - 10 X 570 = , cul es el acortamiento del tubo ?

b) Si el esfuerzo de compresin en el tubo debe ser de 6 ksi, qu valor debe tener la carga P ?


X 0.5 m 0.4 m 1.2 m 0.4 m 0.4 m Y O 0.5 m 0.4 m SOLUCIN Y 0.93 2 0.60 1 3 0.26 4 X O 0.25 0.63 0.7

c) Clculo de las coordenadas del centroide FIGURA xi ai xiai

1 0.25 0.6 0.15 2 y 4 0.63 0.16 0.1013

3 0.7 0.16 0.112 0.3633

1.2-4. En la figura se muestra la seccin transversal de un pedestal de concreto cargado uniformemente a compresin.

a) Determine el esfuerzo promedio de compresin

C en el concreto si la carga es igual a 11.5 MN.

b) Halle las coordenadas X y Y del punto donde la carga resultante debe actuar para producir un esfuerzo normal uniforme.

a) Clculo del C Determinamos el rea total y luego el C

( )

( )

( )

( )

MPa 12.5 0.9211.5

m 0.92 0.16 0.08 2 0.6 A 2A A

m 0.16 0.4 0.4

m 0.08 0.4 0.4 21 A

m 0.6 0.5 1.2

2321

23

242

21

==

=++=

++=

==

===

==

c

AAA

A

A

Por simetra: m 0.6 21.2 Y ==

m 0.395 0.92

0.3633 A

a x ii ===X


SOLUCIN

Diagrama de cuerpo libre del muro y del puntal B F 30 CH 1.5 C A AH CC AV

1.2-6. Un muro de retencin de gran longitud es apuntalado por puntales de madera

inclinados 30 y soportados por muros de concreto. Los puntales estn espaciados

uniformemente a 3 metros. Para fines de anlisis, el muro y los puntales se idealizan

como se ve en la figura , suponiendo que en

la base del muro ambos extremos de los

puntales estn articulados. La presin del

suelo contra el muro se supone

triangularmente distribuida y la fuerza

resultante que acta sobre una longitud de 3 metros de muro es F= 190 kN. Si cada puntal tiene una seccin transversal

cuadrada de 150x150 mm, cul es el

esfuerzo de compresin C en los puntales?

A = 150(150) = 22, 500 2mm A = 0.0225 2m

== 30 sen C C 30 cos C C V H

( ) ( )

( )

kN 117.14 C

0Ccos3050sen30 C41.5F-

0 C4C1.5F-

0 M

HV

A

=

=++

=++

=

.

Clculo del esfuerzo de compresin:

MPa 5.21 0.0225117.14

AC C ===


SOLUCIN Diagrama de cuerpo libre del punto B FAB 3 4 B 3 4 FBC P = 12 kN FAB = Fuerza de tensin en el cable AB FBC = Fuerza de compresin en el puntal BC

( ) kN 10 1265

65PFF

0 P53F

53F

0 F

F F

054F

54F -

0 F

BCAB

BCAB

vert

BCAB

BCAB

horiz

===+

=

+

=

=

=

+

=

1.2-8. El dispositivo ABC formado por un

cable y un puntal soporta una carga vertical

P = 12 kN. El cable tiene un rea transversal

efectiva de 160 2mm y el puntal tiene un rea

de 340 2mm . a) Calcule los esfuerzos normales AB y BC en el cable y puntal,

respectivamente, e indique si estn en tensin

o compresin. b) Si el cable se alarga 1.1 mm,

cul es su deformacin unitaria? c) Si el

puntal se acorta 0.37 mm, cul es su

deformacin unitaria?

a) Clculo de los esfuerzos normales en el cable y en el puntal

Cable:

( )T MPa 62.5 16010

AF

AB

AB ===AB

Puntal:

( )C MPa 29.434010

AF

BC

BCBC ===

b) Deformacin unitaria en el cable

( )alarg 10 x 4402.51.1

L6-

AB ===

c) Deformacin unitaria en el puntal

( )acort x10 148 2.50.37

L6-===

BC


SOLUCIN Diagrama de cuerpo libre del cable BD TBC TDE D B Q P Determinacin de las ecuaciones aplicando Las ecuaciones de la ESTTICA

( )

( )

( )

( )

( )

3 tan tan

QcosTP

0PLLcosT 0M

2 tan sen

QsencosTT

0senTcosT 0F

1 sen

QT

0LsenT QL 0M

BC

BDBDBCD

DEBC

BCDEHORZ

DE

BDDEBDB

==

==

==

=+=

=

==

1.2-9. En la figura se muestra un dispositivo para extraer del suelo un tubo. Un cable ABC est unido

al tubo en A y al robusto marco en C. Un segundo

cable BDE se conecta al primer cable en B y se

une al marco en E. Por ltimo, una persona jala

verticalmente hacia abajo del segundo cable en D

con una fuerza en Q. Las longitudes de los cables

son tales que AB es vertical, BD es horizontal, BC

est inclinado un pequeo ngulo respecto a la

vertical y DE est inclinado un pequeo ngulo

respecto a la horizontal. Ambos cables tiene la

misma rea transversal CA , a) Obtenga frmulas para la fuerza P de levantamiento y para los

esfuerzos mximos de tensin BC y DE en los

cables ABC y BDE, respectivamente. b) Calcule la

fuerza P de levantamiento y los esfuerzos

mximos para los siguientes datos: Q = 120 lb, = 6 , = 8 , y 2 C in 0.119 A = .

a) Frmulas para la fuerza P y los esfuerzos mximos de tensin:

senAQ

AT

tan senAQ

AT

tan tanQP

CC

DEDE

CC

BCBC

==

==

=

b) Sustituyendo valores se tiene:

psi 7,250 psi 68,600 lb 8,120 P

in 0.119 A

8 ; 6 ; lb 120Q

DE

BC

2C

=

==

=

===


SOLUCIN w A H t B L L H = Altura del gancho a la losa L = Longitud de cada lado de la losa t = Espesor de la losa

= Peso especfico de la losa W = Peso de la losa

t L W 2= Las dimensiones del cable se pueden obtener por Pitgoras, as se tiene: LAB = Longitud del cable A

LAB H 2LH L

22

AB +=

B

2

L 2D=

1.2-11. Una losa de concreto reforzado de 8 ft por lado y 9 in de espesor es levantada por cuatro cables unidos a sus esquinas, como se muestra en la figura. Los cables estn unidos a un gancho situado a 5ft sobre la losa. Los cables tienen un rea transversal efectiva A = 0.12 2in . Determine el esfuerzo t de tensin en los cables. ( La losa de concreto pesa 150 2ftlb .)

Diagrama de cuerpo libre de los cables W T = Tensin en el cable A T T T T Cable AB: TH TV T

4W

2LH HT

4W T 0 4TW

0 F

22

V V

VERT

=

+

==

=

2222

2HL1 4W

H2LH

4W T +=+=

El esfuerzo de tensin en los cables es:

22t 2HL1 4AW

AT +==

Sustituyendo valores numricos se tiene:

psi 22,600 lb 718 2 T

lb 200 7 t L W in 0.12 A ;ft 5 h

ft 0.75 in 9 t ft 8 L ; ftlb 150

t

2

2

3

=

=

==

==

====

AB

V

LH

TT

=

+=

2LH HT T

22V

Losa de concreto reforzado


O SOLUCIN 57.04 ksi

0 R 1

+=

9

60

731

10600 (ec.1)

P = 2.8 k

( )ksi 57.04

250 4

2.8 AP

2===

.

sustituyendo en la ec.1 : 0.00684 1 = Considerando la derivada de respecto a :

( ) 10600

1 60

73 19

601

73

10600

dd 98

9

++

=

1.4-5. Una barra redonda con longitud de 5ft y dimetro de 0.25 in est hecha de una aleacin de aluminio cuya curva esfuerzo deformacin unitaria puede describirse

matemticamente con la siguiente ecuacin:

+=

9

60731

10600

en donde tiene unidades en kips entre pulgada cuadrada ( ksi ). La forma de la curva esfuerzo deformacin unitaria se presenta en la figura. La barra est cargada axialmente

por fuerzas de tensin P = 2.8 k, y luego se retiran las cargas. cul es la deformacin unitaria ?

Por lo tanto:

+=

9

60

7301

106001

La pendiente de la curva Esfuerzo - Deformacin

9

60

7301

10600 dd

1 dd

+

==

( ec. 2)

en el origen ksi 10600 dd y0 ==

recuperacin elstica: R1E = De la pendiente de las lneas:

0.00538 1060057.04

pendienteE===

Esfuerzo residual:

0.00146 0.00538 0.00684

R

E1R

=

==

Deformacin permanente:

( ) in 088060 0.00146 L R .===


SOLUCIN La barra de aluminio 7075-T6 est en tensin as se tiene: D = 10 mm; mm 0.016 d = De la tabla H-2: E = 72 Gpa; 0.33 = De la tabla H-3: MPa 480 y = Deformacin lateral:

dd ' ==

Deformacin axial:

( )10 0.330.016

d d ==

0.004848 = ( elongacin) Esfuerzo axial: ( )0.004848 72 E == MPa 349.1 = ( Tensin ) Como y , por lo tanto: La Ley de Hooke es valida

1.5-4. Una barra de 10 mm de dimetro est hecha de una aleacin de aluminio 7075-T6. Cuando una fuerza axial P la estira, su dimetro disminuye 0.016 mm.

Encuentre la magnitud de la carga P y la expansin de la barra.

Clculo de la fuerza de tensin:

( )

tensin) de fuerza ( kN 27.4 P

10 4

349.1 A P 2

=

==

Calculo de la expansin:

( )( )[ ]

( )% 0.16 10 x 1.65 0.33 21 0.004848

21 e

3-=

==


10 mm 50 mm P P P SOLUCIN Clculo del esfuerzo axial:

( )MPa 254.6

10 4

20 AP

2===

Si se considera el por abajo del lmite de proporcionalidad la Ley de Hooke se cumple : Deformacin axial:

0.00244 50

0.122 L

===

a) Mdulo de Elasticidad:

GPa 104 0.00244

254.6 E ===

b) Relacin de Poisson:

( ) 0.34 10 0024400.00830

d d

d d ' d

===

==

.

1.5-6 Una probeta de latn de 10 mm de dimetro se prueba a tensin usando una longitud calibrada de 50 mm. Cuando la carga de tensin P alcanza un valor de 20 kN, la distancia entre las marcas calibradas se ha incrementado 0.122 mm. a) Cul es mdulo de elasticidad E del latn? b) Si el dimetro decrece 0.0083 mm, cul es la razn de Poisson? c) Cul es la expansin?

c) Expansin:

( )( )

0.00078 0.68 1 0.00244

21 e

=

=

=

e


SOLUCIN Clculo de la carga P sobre el ngulo: P = p b L = 2 ( 70 ) 200 = 28 kN Aplastamiento entre la mnsula y los tornillos: rea de aplastamiento: Ab = 2 d t = 2 (16 ) (18 ) = 576 2mm ( para dos tornillos )

MPa 48.6 57628

AP

bb ===

Esfuerzo cortante promedio en los tornillos: V = Fuerza cortante en un tornillo

( )MPa 69.6

16 4

14AV

kN 14 2P V

2prom ===

==

1.6-4 Una mnsula de ngulo con espesor t = 18 mm est unida al patn de una columna por medio de dos pernos de 16 mm de dimetro. Una carga uniformemente distribuida acta sobre la cara superior de la mnsula con una presin p = 2 MPa. La cara superior de la mnsula tiene una longitud L = 200 mm y un ancho b = 70 mm. Determine la presin de aplastamiento

b entre el ngulo y los pernos y el esfuerzo cortante prom en los pernos.


SOLUCIN Remaches entre tres placas de acero

a) Esfuerzo de aplastamiento:

Carga sobre un remache 2P =

ksi 17.1

43

85 2

16 t d 2

P b =

==

b) Carga ltima en cortante: Fuerza cortante sobre un remache = V

( ) k 39.3 32 85

4 4

4d 4 A 4 P

AV

4P

2P

21 V

2

lt

2

ltlt =

=

==

=

=

=

1.6-5. Tres placas de acero, cada una de in de espesor, estn unidas por remaches de 5/8 in como se presenta en la figura. a) Si la carga P = 16 k, cul es el esfuerzo mximo de aplastamiento b sobre los remaches? b) Si el esfuerzo cortante ltimo (esfuerzo promedio) en los remaches es de 32 ksi, qu fuerza ltP se requiere para que los remaches fallen por cortante?

t

Donde A es el rea transversal de un remache


SOLUCIN Diagrama de cuerpo libre

HA VA VC Por trigonometra se tiene: B 5 1 A 2 C HA A RA VA

AAA

A V5 R 15

VR

==

1.6-6. Un bastidor ACD consiste en un tubo vertical CD y una riostra AB construida con dos barras planas. El bastidor est soportado por conexiones a base de pernos en los puntos A y C que estn separados entre s 2 m. La riostra est sujeta al tubo en el punto B (1 m arriba del punto C) por un perno de 18 mm de dimetro. Una carga horizontal P acta en el punto D (2 m arriba del punto C). Si P = 12 kN, cul es el esfuerzo cortante promedio prom en el perno B?

HC

A

Haciendo suma de momentos en C se tiene:

0 V2P 2 0 M AC == Por lo tanto: VA = P Entonces: P 5 V5 R AA == RA es igual a la fuerza de compresin en la riostra AB. As, el esfuerzo cortante en el tornillo en B ( doble cortante ) es:

( )

( )MPa 52.7

18 4

2

12 5

mm 18 d ykN 12 P si

4d 2

P 5 A2R

2prom

2Torn

Aprom

=

=

==

==


SOLUCIN

1.6-9. Un momento de torsin 0T de 75 k-in se transmite entre dos ejes con platos en sus extremos por medio de cuatro pernos de in. cul es el esfuerzo cortante promedio prom en cada perno si el dimetro d del crculo de pernos es de 6 in?

F F

F

F

F = Fuerza cortante en un tornillo

( )

ksi 14.1

43

4

6.25

4d F

AF

:cortante esfuerzo del Clculo

k 6.25 6 2

75 d 2

T F

: F despejando

d F 2 T

2 2 B tor

prom

0

0

=

===

===

=


1.6-13. La adherencia entre barras de refuerzo y concreto se prueba por medio de una prueba de extraccin de una barra embebida en concreto. Una fuerza de tensin P se aplica al extremo de la barra que tiene un dimetro d y longitud de empotramiento L. a) Suponga que el esfuerzo cortante (o esfuerzo por adherencia) entre la barra y el concreto est uniformemente distribuido sobre la longitud L. Entonces, si P = 4000 lb, d = 0.5 in y L = 12 in, qu esfuerzo cortante promedio prom se desarrolla entre el acero y el concreto? b) El esfuerzo de adherencia entre el acero y el concreto es mnimo cerca de la superficie y mximo en el extremo interior de la barra; por lo tanto, para obtener resultados ligeramente mejores, suponga que el esfuerzo cortante est dado por la ecuacin:

( )3233mx 6xLx9L44L +=

en donde mx es el esfuerzo cortante mximo y la distancia x se mide desde el extremo interior de la barra hacia la superficie del concreto. Entonces, si P = 4000 lb, d = 0.5 in, y L = 12 in, cul es el esfuerzo cortante mximo mx

SOLUCIN a) Considerando que el esfuerzo cortante es constante:

P L d

( )

psi 212

12 0.5 000 4

L d P

AP

s

=

===

prom

prom

b) Considerando que el esfuerzo cortante varia a lo largo de L: P x dx L


1.6-15. La armadura ABCDEFGH mostrada en la figura es parte de un puente de madera sobre una pequea corriente. La armadura tiene altura h y longitud b de panel; ambas dimensiones son iguales. Los miembros de la armadura que se unen en el nudo H se muestran en detalle en la segunda parte de la figura. Un solo perno de dimetro d = 1.5 in conecta los miembros en este nudo. Consideraremos el efecto de slo una carga sobre la armadura; es decir, de una carga P = 1 k actuando en el centro del claro (como la carga tiene un valor unitario, las fuerzas para cualquier otro valor de la carga pueden obtenerse por multiplicacin). a) Cul es la fuerza cortante mxima Vmx en el perno del nudo H? b) Cul es el esfuerzo cortante promedio prom en el perno en la seccin transversal de la fuerza cortante mxima?


1.7-2. Una barra de aluminio AB est unida a un soporte por un pasador de dimetro d = 16 mm. La barra tiene espesor t = 15 mm y ancho b = 40 mm. Si el esfuerzo permisible de tensin en la barra es de 125 MPa y el esfuerzo cortante permisible en el pasador es de 75 MPa, encuentre el valor permisible de la carga P de tensin.


1.7-4. Un larguero de barco est unido a la base de un mstil por medio de una conexin de perno. El larguero es un tubo de acero de dimetro exterior d2 = 80 mm y de dimetro interior d1 = 70 mm. El pasador de acero tiene un dimetro d = 25 mm y las dos placas que conectan el largueo al pasador tienen espesor t = 12 mm. Los esfuerzos permisibles son: esfuerzo de compresin en el larguero = 75 MPa, esfuerzo cortante en el pasador = 50 MPa y esfuerzo de aplastamiento entre el pasador y las placas de unin = 120 MPa. Determine la fuerza permisible de compresin Pperm en el larguero.


1.7-9. El pistn de un motor est unido a una biela AB conectada a su vez al brazo BC del cigeal. El pistn se desliza sin friccin en un cilindro y est sometido a una fuerza P (supuesta constante) mientras se mueve hacia la derecha de la figura. La biela, que tiene un rea transversal A y longitud L, est unida en ambos extremos por pasadores. El brazo del cigeal gira respecto al eje C con el pasador en B movindose en un crculo de radio R. El eje en C, que est soportado por cojinetes, ejerce un momento resistente M contra el brazo del cigeal .a) Obtenga una frmula para la fuerza permisible mxima Pperm con base en un esfuerzo permisible de compresin c en la biela. b) Calcule la fuerza Pperm para los siguientes datos: c = 22 ksi, A = 0.10 2in y R = 0.28L


1.7-11. La armadura articulada en sus nudos mostrada en la figura soportada por tres cargas verticales de 3 k cada una. Adems, una carga horizontal P acta hacia la derecha en el nudo. El miembro AB tiene un rea transversal de 3.13 2in y el esfuerzo permisible en compresin es de 12000psi. Considerando slo el esfuerzo en el miembro AB, cul es la carga P permisible?


1.8-6. Dos barras de seccin transversal rectangular, cada una sometida a una carga de tensin P = 31 kN, estn conectadas por un solo perno AB. El esfuerzo cortante permisible en el perno es de 90 MPa y el esfuerzo permisible de aplastamiento entre el perno y las barras es de 150 MPa. Si el espesor t de las barras es de 15 mm, determine el dimetro mnimo requerido dmn del perno.


1.8-7. Un cilindro sometido a presin interna tiene una tapa sujeta con pernos de acero. La presin p del gas es de 280 psi, el dimetro interior D del cilindro es de 10 in y el dimetro db de los pernos es de 0.5 in. Si el esfuerzo permisible de tensin en los pernos es de 10 000 psi, encuentre el nmero n de pernos necesarios para sujetar la tapa.

UNIDAD IINTRODUCCINANLISIS DE FUERZAS INTERNAS

De acuerdo a la figura anterior se tiene:ESFUERZO SIMPLEINTRODUCCIN A LA MECNICA DE MATERIALESESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIN UNITARIA NORMALESFUERZO NORMALDEFORMACIN UNITARIA NORMALDIAGRAMA ESFUERZO DEFORMACINELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y FLUJO PLSTICOELASTICIDAD LINEAL, LEY DE HOOKE Y RAZN DE POISSONRAZN DE POISSONCAMBIO DE LA FORMAVOLUMEN FINALCAMBIO DE VOLUMENEXPANSIN

ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIN UNITARIA CORTANTEDEFORMACIN UNITARIA CORTANTELEY DE HOOKE EN CORTANTEINTRODUCCINCAMBIOS EN LONGITUD DE BARRAS NO UNIFORMES

PROBLEMAS DEL CAPTULO IESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIN UNITARIA

SOLUCINP PSOLUCINSOLUCINP PSOLUCINSOLUCINP = p b L = 2 ( 70 ) 200 = 28 kNSOLUCIN

YAFFFF

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