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CAPTULO 4
EL CIRCUITO EN
ESTADO
TRANSIENTE
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EL CONDENSADOR
Relaciones diferenciales e integrales de tensin-corriente
La relacin tensin corriente es
Despejando v
Que puede escribirse como una integral indefinida, ms una constante de
integracin:
En muchos problemas reales no es posible distinguir v(t0), la tensin inicial
en el capacitor. En tales casos, desde el punto de vista matemtico ser
conveniente establecer t0 = - y v( - ) = 0, por lo que:
Puesto que la integral de la corriente en cualquier intervalo de tiempo es la
carga acumulada en ese periodo sobre la placa del capacitor hacia la cual
fluye la corriente, tambin se definira la capacitancia como:
q(t) = C v(t)
donde q(t) y v(t) representan los valores instantneos de la carga sobre
cualquiera de las placas y la tensin entre ellas
EJEMPLO
Determine la tensin de la capacidad que est asociada con la corriente
indicada en forma grfica en la figura.
dt
dvCi
)t(v'dt)'t(iC
1)t(v 0
t
t0
kdtiC
1)t(v
t
'dtiC
1)t(v
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Al interpretar la ecuacin en forma grfica, sabemos que la diferencia entre
los valores de la tensin en t y t0 es proporcional al rea bajo la curva de
corriente entre estos mismos dos valores del tiempo. La constante de
proporcionalidad es 1/C.
El rea de la figura a se obtiene por inspeccin para los valores deseados de
t0 y t
ANALITICAMENTE
La integral de la corriente entre t0 = - y 0, es cero, puesto que i = 0 en ese
intervalo.
v(t) = 0 + v( - ) - t 0 o v(t) = 0 t 0
Si consideramos ahora el intervalo de tiempo representado por el pulso
rectangular, obtenemos:
Puesto que v(0) = 0 v(t) = 4000 t 0 t 2 ms
En el intervalo semi-infinito que sigue al pulso, la integral i(t) es otra vez
cero, de modo que:
v(t)= 8 t 2 ms
Almacenamiento de energa
La potencia entregada a una capacidad est dada por
y la energa almacenada en su campo elctrico es entonces
por lo que
)t(v'dt)'t(iC
1)t(v 0
t
t0
)0(v'dt1020105
1)t(v
t
0
3
6
dt
dvvCivp
t
t
2
0
2)t(v
)t(v
t
t 0 00
})]t(v[)]t(v{[C2
1dvvCdt
dt
dvvCdtp
})]t(v[)]t(v{[C2
1)t(w)t(w
2
0
2
0CC
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donde la energa almacenada vale wC(t0) en joules (J) y la tensin en t0 es
v(t0).
Si elegimos una referencia de energa cero en t0 queda implcito que la
tensin de la capacidad es tambin cero en ese instante, entonces:
EJEMPLO
Calcule la energa mxima almacenada en la capacidad de la figura y la
energa que se disipa en la resistencia en el intervalo 0 < t < 0.5 seg.
RESPUESTA
La energa almacenada en el capacitor es simplemente:
En la figura se aprecia que WCmax =
100 mJ en t = 1/4 s,
La corriente iR es
y la energa disipada en la resistor
entre 0 y 0.5 seg. es
wR = 2.5 mJ.
2
C vC2
1)t(w
Jt2sen1,0vC2
1)t(w
22
C
At2sen10R
vi
4
R
5.0
0
225,0
0RR Jdtt2sen10dtpw
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Una energa igual a 2.5% de la mxima energa almacenada (100 mJ) se
perdi en el proceso de almacenamiento y remocin de energa en el
capacitor real, debido a su resistencia finita. El capacitor ideal nunca disipa
energa, slo la almacena. Si bien esto es cierto para el modelo matemtico,
no lo es para un capacitor fsico real.
Caractersticas importantes de una capacidad ideal
1. No hay corriente a travs de una capacidad si la tensin en l no cambia
con el tiempo. Por tanto, una capacidad es un circuito abierto para la c.c.
2. Se almacena una cantidad finita de energa en un capacitor, incluso si la
corriente que circula por l es cero, como sucede cuando la tensin entre
las placas es constante.
3.- Es imposible cambiar la tensin en un capacitor en una cantidad finita
en un tiempo cero, ya que lo anterior requiere una corriente infinita a
travs del capacitor.
Un capacitor se opone a un cambio abrupto de la tensin entre sus
placas, de una manera anloga a la forma en que un resorte se opone a
un cambio abrupto en su desplazamiento.
4. Un capacitor nunca disipa energa, slo la almacena. Si bien lo anterior
es cierto para el modelo matemtico, no lo es para un capacitor fsico
(real) debido a las resistencias finitas.
LA INDUCTANCIA
Modelo de la inductancia ideal
Hemos visto que para la inductancia
dt
diLv
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Si analizamos esta ecuacin podemos determinar que es posible considerar
la inductancia en cortocircuito para la c.c.
Un cambio repentino o discontinuo en la corriente debe asociarse con una
tensin infinita en el inductor. En otras palabras, si deseamos producir un
cambio abrupto en una corriente de inductor, necesitamos aplicar una
tensin infinita.
Un cambio abrupto en la corriente del inductor requiere tambin una
variacin abrupta en la energa almacenada en este mismo, y dicho cambio
repentino en la energa requiere una potencia infinita en ese instante.
Para evitar una tensin infinita y una potencia infinita, no debe permitirse
que la corriente del inductor salte de forma instantnea de un valor a otro.
Si se intenta poner en circuito abierto un inductor fsico a travs del cual
fluye una corriente finita, quizs aparezca un arco en el interruptor.
EJEMPLO
Dada la forma de onda de la corriente en un inductor de 3H, como se
muestra en la figura a, determine la tensin del inductor y grafquela
Podemos recurrir a la ecuacin para obtener la forma de onda de
tensin.
La forma de onda de tensin completa se bosqueja en la figura b.
dt
diLv
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Relaciones integrales de tensin-corriente
Se defini la inductancia por medio de una ecuacin diferencial simple:
Integrando
Como integral indefinida incluyendo una constante de integracin k:
Tambin se podra suponer que estamos resolviendo un problema real en el
que la seleccin de t0 como - asegura que no habr corriente o energa en
el inductor.
Por lo tanto, si i(t0) = i(- ) = 0, entonces:
Ejemplo
Se sabe que la tensin en un inductor de 2 H corresponde a 6 cos 5t.
Determine la corriente de inductor resultante si i(t = -/2) = 1 A.
De la ecuacin
o
= 0,6 sen 5t 0,6 sen 5t0 + i(t0)
El primer trmino indica que la corriente del inductor vara en forma
senoidal; el segundo y tercer trminos, en conjunto, representan slo una
constante que se determina cuando la corriente se especifica de forma
numrica en algn instante de tiempo.
Ya que la corriente es 1 A en t = -/2 s, identificamos t0 como -/2, con i(t0) = 1, y resulta:
dt
diLv
)t(i'dtvL
1)t(i 0
t
t0
kdtvL
1)t(i
t
'dtvL
1)t(i
)t(i'dtvL
1)t(i 0
t
t0
)t(i'dt't5cos6L
1)t(i 0
)t(it5sen5
6
2
1t5sen
5
6
2
1)t(i 00
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i(t) = 0,6 sen5t 0,6 sen (-2,5 ) + 1 = 0,6 sen 5t + 1,6
Se obtendra el mismo resultado a partir de la ecuacin
i(t) = 0,6 sen 5t + k
y establecemos el valor numrico de k forzando a que la corriente sea 1 A
en t = -/2
I = 0,6 sen (-2,5) + k o k = 1 + 0,6 = 1,6
y de ese modo, como antes: i(t) = 0,6 sen 5t + 1.6
La ecuacin provocar problemas con esta tensin
particular.
Fundamentamos la ecuacin en la suposicin de que la corriente era cero
cuando t = - .
Para estar seguros, lo anterior debe ser cierto en el mundo fsico real, pero
estamos trabajando en el mbito del modelo matemtico; nuestros
elementos y funciones forzadas son ideales.
La dificultad surge despus de que integramos, obteniendo:
al tratar de evaluar la integral en el lmite inferior:
i(t) = 0,6 sen 5t 0,6 sen ( -)
El seno de es indeterminado, y por tanto no podemos evaluar nuestra
expresin. La ecuacin de la corriente con la integral, es til slo si
evaluamos funciones que se aproximan a cero cuando t -
Almacenamiento de Energa
La potencia absorbida est dada por el producto corriente-tensin:
kdtvL
1)t(i
t
'dtvL
1)t(i
t't5sen6,0)t(i
dt
diLivip
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La energa wL aceptada por el inductor se almacena en el campo magntico
alrededor de la bobina y se expresa por la integral de la potencia sobre el
intervalo de tiempo deseado:
De tal modo: wL (t) - wL(t0) = L {[i(t)]2 - [i(t0)]
2}
Al usar la expresin de la energa, suele considerarse que se elige un valor
de t0 para el que la corriente es cero; se acostumbra suponer tambin que la
energa es igual a cero en este tiempo.
tenemos entonces simplemente: wL(t) = Li 2
, donde entendemos que
nuestra referencia para la energa cero es cualquier tiempo para el que la
corriente del inductor sea nula. En cualquier tiempo subsiguiente, en el que
la corriente es cero, encontramos que no se almacena energa en la bobina.
Siempre que la corriente no es nula, e independientemente de su direccin o
signo, la energa se almacena en el inductor.
Se concluye, por tanto, que se suministrar potencia al inductor durante una
parte del tiempo y se recuperar luego del mismo.
Toda la energa almacenada puede recuperarse de un inductor ideal; en el
modelo matemtico no hay cargos por almacenamiento ni comisiones.
Una bobina fsica, sin embargo, debe construirse a partir de un alambre
real, as que tendr siempre una resistencia asociada. No se puede
almacenar ni recuperar la energa sin prdida.
EJEMPLO
Determine la mxima energa almacenada
en el inductor de la figura y calcule la
energa que se disipa en el resistor durante
el tiempo que la energa se almacena en el
inductor y luego se recupera del mismo.
La energa almacenada en el inductor es:
})t(i)t(i{L2
1diiL'dt
'dt
diL'dtp
2
0
2)t(i
)t(i
t
t
t
t 000
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y esta energa aumenta desde cero en t = 0 hasta 216 J en t = 3 s. As, la
mxima energa almacenada en el inductor es igual a 216 J.
La tensin en el resistor est dada por:
Adems, la tensin en el inductor se determina al aplicar la ecuacin de
definicin de la inductancia.
Despus de alcanzar su valor mxima en t= 3 s, la energa sale por
completo del inductor. Veamos el precio que hay que pagar en esta bobina
por almacenar y quitar 216 J en 6 segundos.
La potencia disipada en el resistor se calcula con facilidad como:
y por tanto, la energa que se convierte en calor en el resistor dentro de este
intervalo de 6 s es,:
De tal modo, se consumieron 43.2 J en el proceso de almacenar y luego
recuperar 216 J en un intervalo de 6 s. Lo anterior representa 20% de la
mxima energa almacenada, as que representa un valor razonable para
muchas bobinas que tienen esta gran inductancia. En bobinas cuya
inductancia es alrededor de 100 , esperaramos una cifra cercana al 2 o 3%.
J6
tsen216Li
2
1w
22
L
V6
tsen2,1iRvR
Vt6
cos6)t6
sen12(dt
d3
dt
diLvL
W6
tsen4,14Rip
22
R
6
0
26
0RR dtt
6sen4,14dtpw
J2,43dtt3
cos12
14,14w
6
0R
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Caractersticas importantes de un inductor ideal
1.- No hay tensin en un inductor si la corriente que circula por l no
cambia con el tiempo. As, un inductor es un cortocircuito para la
c.c.
2.- Se almacena una cantidad finita de energa en un inductor, incluso si
su tensin es nula, como cuando la corriente que pasa por l es
constante.
3.- Es imposible cambiar la corriente que circula por un inductor por
una cantidad finita en el tiempo cero, ya que se necesitara una
tensin infinita en el inductor. Un inductor se opone a un cambio
abrupto en la corriente que pasa por l, de manera anloga a la
forma en que una masa se opone a un cambio abrupto en su
velocidad.
4.- El inductor nunca disipa energa, slo la almacena. Si bien lo
anterior es cierto para el modelo matemtico, no lo es para un
inductor fsico debido a las resistencias en serie.
COMBINACIONES DE INDUCTANCIAS Y
CAPACIDADADES
INDUCTANCIAS EN SERIE
Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff
1 2 1 2 1 2( )S N N Ndi di di di
v v v v L L L L L Ldt dt dt dt
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Entonces, para el circuito equivalente tenemos:
donde Leq = ( L1 + L2 + + LN )
INDUCTANCIAS EN PARALELO
La ecuacin de nodos nos da
Comparndola con el resultado del circuito equivalente de la fig.b
Puesto que la ley de Kirchhoff de corriente exige que iS(t0) sea igual a la
suma de las corrientes de rama en t0, los dos trminos integrales deben ser
iguales; por consiguiente:
Para el caso especial de dos inductancias en paralelo
CAPACIDADES EN SERIE
dt
diLv eqS
N
1n
0n
t
tn
N
1n
nS )t(idtvL
1ii
0
)t(idtvL
10
N
1n
n
t
t
N
1n n0
)t(idtvL
1i 0S
t
teq
S0
N21
eq
L1
L1
L1
1L
21
21
eqLL
LLL
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Para determinar un capacitor que es equivalente a N capacitores en serie,
usamos el circuito de la figura a) para escribir:
y
Sin embargo, la ley de tensin de Kirchhoff establece la igualdad de vS(t0) y
la suma de las tensiones de la capacidad en t0; de tal modo:
por lo que, las capacidades en serie se combinan como lo hacen las
conductancias en serie, o los resistores en paralelo.
El caso especial de dos capacidades en serie, desde luego, da como
resultado:
CAPACIDADES EN PARALELO
Por ltimo, los circuitos de la figura
permiten establecer el valor de la
capacitancia del capacitor
equivalente a N capacidades en
paralelo, como:
Ceq = C1 + C2 +... + CN
As que no resulta sorprendente
advertir que las capacidades en
paralelo se combinan de la misma
manera que las resistencias en serie.
N
1n
0n
t
tn
N
1n
ns )t(vdtiC
1vv
0
N
1n
0n
t
t
N
1n n
)t(vdtiC
1
0
)t(vdtiC
1v 0S
t
teq
S0
N21
eq
C1
C1
C1
1C
21
21
eqCC
CCC
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EJEMPLO
Simplifique la red de la figura a) mediante combinaciones serie/paralelo.
EJEMPLO
Respuesta: 3,18 F
EJEMPLO
Esta es una red LC en la que no es posible efectuar combinaciones en serie
o en paralelo de inductancias y capacidades
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ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN FUNCIN DEL
TIEMPO
Volvamos al anlisis nodal y de malla Se pueden aplicar con seguridad las ecuaciones de Kirchhoff para cualquier
instante de tiempo. Las ecuaciones sern integro-diferenciales. Difciles de
resolver
Familiaricmonos con el uso de estas leyes para circuitos RLC
EJEMPLO Escriba las ecuaciones nodales
apropiadas para el circuito de la
figura
Las tensiones de nodo se eligen
como se indica y sumamos las
corrientes que salen del nodo
central:
donde iL(t0) es el valor de la corriente de la inductancia en el tiempo en el
que comienza la integracin.
En el nodo del lado derecho
Al rescribir estas ecuaciones:
De estas ecuaciones surgen varios puntos interesantes
t
t
1
2
21
0Ls10
0dt
dvC
R
vv)t(idt)vv(
L
1
0iR
vv
dt
)vv(dC S
12S2
1
t
t
t
t0LS
2
1
1
2
1
0 0
)t(idtvL
1
R
vdtv
L
1
dt
dvC
R
v
S
S
1
2
1
21 idt
dvC
dt
dvC
R
v
R
v
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Primero, ocurre que la fuente de tensin vS entra en las ecuaciones como
una integral y como una derivada. Puesto que ambas fuentes estn
especificadas para todo el tiempo, se podr evaluar la derivada o la integral.
Segundo, el valor inicial de la corriente de la inductancia iL(t0) acta como
una fuente de corriente (constante) en el nodo central
La linealidad se aplica de igual modo a los circuitos RLC. Un circuito
compuesto por fuentes independientes, fuentes dependientes lineales, y
resistencias, inductancias y capacidades lineales es un circuito lineal.
Por tanto todos las leyes y teoremas vistas en el captulo de circuitos
resistivos son aplicables tambin en los circuitos RLC, tales como, por
ejemplo, el teorema de Thvenin y el de Norton.
CIRCUITOS RL Y RC BSICOS
El anlisis de circuitos que contienen inductores y/o capacitores depende de
la formulacin y solucin de ecuaciones integro-diferenciales que
caracterizan a los circuitos.
Llamamos ecuacin diferencial lineal homognea al tipo especial de
ecuacin que obtenemos, la cual es simplemente una ecuacin diferencial
en la que cada trmino es de primer grado en la variable dependiente o en
una de sus derivadas.
Se obtiene una solucin cuando encontramos una expresin para la variable
dependiente que satisface la ecuacin diferencial y tambin la distribucin
de energa preescrita en los inductores o capacitores en el instante de
tiempo preestablecido, por lo general t = 0.
La solucin de la ecuacin diferencial representa una respuesta del circuito
y se conoce por muchos nombres.
Respuesta natural, transitoria o complementaria.
Puesto que depende de la "naturaleza" general del circuito (los tipos de
elementos, sus tamaos, la interconexin de los elementos), se denomina a
menudo como respuesta natural
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Sin embargo, todo circuito real que construyamos no puede almacenar
energa por siempre; las resistencias necesariamente asociadas con los
inductores y capacitores a la larga convertirn toda la energa almacenada
en calor. La respuesta debe al final extinguirse, y por esta razn con
frecuencia se conoce como respuesta transitoria.
Por ltimo, debemos tambin familiarizarnos con la aportacin de los
matemticos a la nomenclatura: asignan el nombre de funcin
complementaria a la solucin de una ecuacin diferencial lineal
homognea.
Respuesta forzada, solucin particular o permanente
Cuando analizamos fuentes independientes que actan sobre un circuito,
parte de la respuesta recordar la naturaleza de una fuente particular (o
funcin forzada) utilizada; dicha parte, denominada solucin particular,
respuesta de estado permanente o respuesta forzada, se "complementar"
por medio de la respuesta complementaria, natural o transitoria,
producida en el circuito sin fuente.
Respuesta completa
La respuesta completa del circuito estar dada entonces por la suma de la
funcin complementaria y la solucin particular.
A la respuesta sin fuente la llamaremos respuesta natural.
Empezamos nuestro estudio del anlisis transitorio considerando
el circuito simple RL en serie que se presenta
en la figura.
Parece bastante extrao analizar una corriente
variable en el tiempo que fluye en un circuito sin
fuentes!
Tenga presente que slo conocemos la corriente
en el tiempo especfico t = 0; no conocemos la
corriente antes de ese tiempo.
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En el mismo sentido, tampoco sabemos cmo se vea el circuito antes de
t = 0.
Para que circule una corriente, sera necesaria la presencia de una
fuente en algn punto, pero no tenemos esa informacin.
Por fortuna, lo anterior no se requiere para analizar el circuito indicado.
Por tanto, tenemos:
o (1)
Nuestra meta es ahora encontrar una expresin para i(t) que satisfaga esta
ecuacin y tambin tenga el valor Io en t = 0.
La solucin se puede obtener mediante varios mtodos diferentes.
Mtodo directo Un mtodo muy directo para resolver una ecuacin diferencial consiste en
expresar la ecuacin de manera que se separen las variables y luego se
integre cada miembro de la ecuacin.
Entonces
Integrando
Luego
Comprobamos nuestra solucin demostrando primero que la sustitucin de
esta ecuacin en la ecuacin [1] produce la identidad 0 = 0, y demostrando
despus que la sustitucin de t = 0 en esta ecuacin tiene como resultado
i(0) = l0. Ambos pasos son necesarios; la solucin debe satisfacer la
ecuacin diferencial que caracteriza al circuito y tambin debe satisfacer la
condicin inicial.
0dt
diLiRviR L
0iL
R
dt
di
dtL
R
i
di
'dtL
R
'
'dt
0
)t(i
I0
t
0
i
I 'tL
R'iln
0
)0t(L
RIlniln 0
tL
R
I
iln
0
LtR
0 eI)t(i
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METODO ALTERNATIVO
Repitamos la ecuacin del circuito (1)
La solucin tambin se podra obtener por medio de una ligera variacin
del mtodo anterior. Luego de separar variables, se tendra la integral
indefinida de cada lado de la ecuacin si incluimos tambin una constante
de integracin.
Entonces: (2)
La constante K no puede evaluarse mediante la sustitucin de la ecuacin
[2] en la ecuacin diferencial original [1]; resultar la identidad 0 = 0, pues
la ecuacin [2] es una solucin de la ecuacin [1] para cualquier valor de K
(comprubelo usted mismo).
La constante de integracin debe elegirse para satisfacer la condicin inicial
i(0) = l0 As, en t = 0 la ecuacin [2] se convierte en:
ln l0 = K
y empleamos este valor para K en la ecuacin [2] para obtener la respuesta
deseada:
como antes
MTODO GENERAL
Cualquiera de los mtodos anteriores se utiliza cuando las variables son
separables, aunque sta no es siempre la situacin. En los casos restantes
confiaremos en un mtodo muy poderoso, cuyo xito depender de nuestra
intuicin o experiencia.
Slo supondremos una forma para la solucin y luego probaremos nuestras
suposiciones, primero mediante la sustitucin en la ecuacin diferencial, y
luego aplicando las condiciones iniciales dadas.
0iL
R
dt
di
dtL
R
i
diKdt
L
R
i
diKt
L
Riln
0IlntL
Riln L
tR
0 eI)t(i
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Puesto que no se puede suponer la expresin numrica exacta para la
solucin, consideramos una solucin que contenga varias constantes
desconocidas y elegimos los valores para estas ltimas con el fin de
satisfacer la ecuacin diferencial y las condiciones iniciales.
Muchas de las ecuaciones diferenciales que se encuentran en el anlisis de
circuitos tienen una solucin que pudiera representarse mediante la funcin
exponencial o la suma de varias funciones exponenciales.
Recordemos la ecuacin [1] (1)
Supondremos una solucin de la ecuacin [1] en forma exponencial
donde A y s1 son constantes por determinar
Despus de sustituir esta solucin supuesta en la ecuacin [1], tenemos:
Con el fin de satisfacer la ecuacin para todos los valores del tiempo, se
requiere que A = 0 o s1 = - o s1 = -R/L. Pero si A = 0 o si s1 = - ,
entonces toda respuesta es nula; ninguna puede ser una solucin para
nuestro problema. Por tanto, debemos elegir:
as que nuestra solucin supuesta toma la forma:
La constante restante debe evaluarse aplicando la condicin inicial i(0) = I0.
De este modo, A=I0 y la forma final de la solucin supuesta es otra vez.
0iL
R
dt
di
ts1eA)t(i
0eAL
ResA
tsts
111
0eAL
Rs
ts
11
L
Rs1
LtR
eA)t(i
L/tR
0 eI)t(i
-
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Antes de pasar a la interpretacin de la respuesta, verifiquemos las
relaciones de potencia y energa en este circuito.
La potencia que se disipa en la resistencia es igual a:
y la energa total que se convierte en calor en la resistencia se determina
integrando la potencia instantnea desde el tiempo cero hasta el tiempo
infinito:
Lo anterior es el resultado que esperbamos, debido a que la energa total
almacenada al principio en los inductores es LI02 de modo que ya no hay
ninguna energa almacenada en el inductor en el tiempo infinito, puesto que
su corriente a la larga disminuye hasta cero.
Por tanto, toda la energa inicial se disipa en la resistencia.
EJEMPLO
Para el circuito de la figura a), calcule la corriente a travs de la
inductancia de 5 H en t = 200 ms.
Con el circuito de la figura c) reducido a un circuito simple RL con R = 50
y L = 5 H, esperamos una corriente en la inductancia de la forma
La condicin inicial para calcular I0 est dada por el circuito de la figura b).
Como el circuito est alimentado por corriente continua la inductancia se
encuentra en cortocircuito. Luego
I0 = 24/10= 2,4 A
LtR22
0
2
R eRIRip
0 0
L/tR22
0RR dteRIdtpw2
00
L/tR22
0 IL2
1e
R2
LRI
L/tR
0 eI)t(i
-
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22
Sustituyendo en la ecuacin de la corriente y calculando para t = 200 ms se
obtiene
IL(200 ms)=324,8 mA
Propiedades de la respuesta exponencial
Consideremos la naturaleza de la respuesta en el circuito RL en serie.
Sabemos que la corriente de la inductancia se representa por medio de
En t = 0, la corriente tiene un valor l0 pero cuando el tiempo aumenta, la
corriente disminuye y se aproxima a cero.
Consideremos el tiempo que se
requerira para que la corriente
decrezca hasta cero si contina
disminuyendo a su tasa inicial.
La tasa inicial de decaimiento se
calcula evaluando la derivada en el
tiempo cero:
Designamos el valor del tiempo que tarda i/I0 en disminuir desde la unidad
hasta cero, suponiendo una tasa de decaimiento constante, mediante la letra
griega (tau). De tal modo:
El valor de tiempo se denomina constante de tiempo y se mide en
segundos
El valor del tiempo se muestra de manera grfica en la figura.
LtR
0 eI)t(i
L
Re
L
R
I
i
dt
d
0t
L/tR
ot0
1L
R
R
L
-
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La constante de tiempo es L/R para un circuito RL en serie, la cual constituye el tiempo requerido para que la curva de respuesta disminuya
hasta cero, si sta aminora a una tasa constante igual a su tasa de
decaimiento inicial.
Una interpretacin igual de importante de la constante de tiempo se obtiene determinando el valor de i(t)/I0 en t = . Tenemos:
o i() = 0,3679 I0
As, en una constante de tiempo la respuesta disminuye hasta 36.8% de su
valor inicial; el valor de tambin se determina en forma grfica a partir de este hecho, como se indica en la figura siguiente.
Resulta conveniente medir el
decaimiento de la corriente en
intervalos de una constante de
tiempo; adems, al recurrir a una
calculadora manual o a una tabla de
exponenciales negativas se indica
que i(t)/I0 es 0.3679 en t = , 0.1353 en t = 2, 0.04979 en t = 3,
0.01832 en t = 4 y 0.006738 en t =
5.
En algunos puntos, entre tres a cinco constantes de tiempo despus del
tiempo cero, la corriente es una fraccin nfima de lo que era al principio.
En consecuencia, si se nos preguntara, "cunto tarda la corriente en
decaer hasta cero?", nuestra respuesta podra ser, "cerca de cinco
constantes de tiempo. En este punto, la corriente es menor que 1 % de
su valor original!
3679,0eI
)(i 1
0
-
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El circuito RC sin fuente
Los circuitos que se basan en combinaciones resistencia-capacidad son ms
comunes que sus anlogos resistencia-inductancia.
Veamos en qu grado el anlisis del circuito RC en
paralelo (o est en serie?) mostrado en la figura
corresponde al del circuito RL
La corriente total que sale del nodo en la parte
superior del diagrama de circuito debe ser cero, por
lo que se escribira:
[3]
La ecuacin [3] tiene una forma familiar con la ecuacin
[1]
En consecuencia
v(t) = v(0) e-t/RC = V0 e-t/RC [4]
Esta ecuacin define una constante de
tiempo = RC
UNA PERSPECTIVA MS GENERAL
Los resultados obtenidos para los circuitos RL o RC en serie se pueden
generalizar a circuitos que contenga cualquier nmero de resistencias y una
inductancia o con cualquier nmero de resistencias y una capacidad.
0R
v
dt
dvC 0
RC
v
dt
dv
0iL
R
dt
di
-
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25
Circuitos RL. generales
Para empezar, fijamos nuestra
atencin en las dos terminales de la
inductancia y determinamos la
resistencia equivalente entre dichos
terminales. As, el circuito se reduce a
uno en serie.
Como ejemplo, al examinar el circuito ilustrado en la figura, la resistencia
equivalente que la inductancia enfrenta es:
y por tanto la constante de tiempo vale
La corriente en la inductancia est dada por:
y esto representa lo que podramos llamar la solucin bsica del problema.
Es muy probable que se necesite determinar alguna otra corriente o tensin
aparte de iL, como por ejemplo la corriente i2 en R2.
Siempre podemos aplicar las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm a la parte
resistiva del circuito sin ninguna dificultad, sin embargo la divisin de
corriente proporciona la respuesta ms rpida en este circuito
Tambin quizs conozcamos el valor inicial de alguna corriente aparte de la
del inductor.
Puesto que la corriente en un resistor tal vez cambie de manera
instantnea, indicaremos el instante posterior a cualquier cambio que
podra ocurrir en t = 0 mediante el uso del smbolo 0+; en un lenguaje ms
matemtico, iL(0+) es el lmite de la derecha de iL(t) conforme t tiende a
cero. Por tanto, si se nos da el valor inicial de iL como iL(0+), entonces el
valor inicial de i2 es:
21
2143eq
RR
RRRRR
eqR
L
/t
LL e)0(ii
/12
1 2
(0) tLR
i i eR R
-
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A partir de tales valores, obtenemos el valor inicial necesario de iL(0) [sea
iL(0-) o iL(0
+)]
as que la expresin de i2 se convierte en:
Veamos si se obtiene esta ltima expresin de modo ms directo.
Puesto que la corriente en el inductor decae de manera exponencial como
e-t/
, toda corriente que circula por el circuito debe seguir el mismo
comportamiento funcional.
Lo anterior resulta claro al considerar la corriente en el inductor como una
fuente de corriente que se aplica a una red resistiva. Cada corriente y
tensin en la red resistiva debe tener la misma dependencia de tiempo.
Mediante estas ideas, expresamos por tanto i2 como:
i2 = Ae-tl donde
y A debe determinarse a partir del conocimiento del valor inicial de i2.
Puesto que se conoce i1(0+), la tensin a travs de R1 y de R2 se determina
como:
R2i2(0+) = R1i1(0
+)
lo que nos conduce a:
Por tanto:
Una secuencia similar de pasos proporcionar una solucin rpida a un gran
nmero de problemas.
Reconocemos primero la dependencia del tiempo de la respuesta como un
decaimiento exponencial, determinamos la constante de tiempo apropiada
combinando resistencias, escribimos la solucin con una amplitud
desconocida y luego determinamos la amplitud a partir de una condicin
inicial.
2
112
R
R)0(i)0(i
1 21 2 1
2
(0 ) (0 ) (0 ) (0 )LR R
i i i iR
/t
2
112 e
R
R)0(ii
eqR
L
2
112
R
R)0(i)0(i
/t
2
112 e
R
R)0(ii
-
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Ahora nos abocamos a la tarea de determinar la respuesta natural de
cualquier circuito que pueda representarse mediante un inductor
equivalente en serie con un resistor equivalente.
Un circuito que contenga varios resistores e inductores no siempre posee
una forma que permite que los resistores o los inductores se combinen en
elementos equivalentes individuales.
En tales casos, no hay un solo trmino exponencial negativo o una sola
constante de tiempo asociados con el circuito, sino que habr, en general,
varios trminos exponenciales negativos, siendo el nmero de ellos igual al
de inductores que quedan luego de haber efectuado todas las combinaciones
posibles de inductores.
Circuitos RC generales
Muchos de los circuitos RC para los que nos gustara encontrar la respuesta
natural contienen ms de un solo resistor y un solo capacitor.
Del mismo modo que lo hicimos para los circuitos RL, analizamos primero
los casos en los que el circuito dado puede reducirse a un circuito
equivalente consistente en slo un resistor y un capacitor.
Supongamos primero que nos enfrentamos con un circuito que nada ms
contiene un capacitor, pero un nmero cualquiera de resistores. Se puede
sustituir la red resistiva de dos terminales que se encuentra en las terminales
del capacitor por un resistor equivalente, y luego se podra escribir de
inmediato la expresin para la tensin del capacitor.
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EJEMPLO
Determine v(0+) e i1(0
+) para el circuito de la figura a) si v(0
-) = V0
Simplificamos el circuito de la figura a) como se muestra en la b), que nos
permite escribir
v = V0 e-t/ReqC
Donde v(0+) = v(0-) = V0 y
Toda corriente y toda tensin en la parte resistiva de la red debe tener la
forma Ae-t/ReqC, donde A es el valor correspondiente a las condiciones
iniciales de esa corriente o tensin. As, la corriente en R1, por ejemplo, se
expresara como
i1 = i1(0+)e
-t/ donde
e i1(0+) queda por determinarse a partir de la condicin inicial. Cualquier
corriente que fluya en el circuito cuando t =0+, debe provenir del capacitor.
Por lo tanto, ya que v no puede cambiar de forma instantnea tenemos:
Algunos circuitos que contienen varios resistores y capacitores se podran
sustituir por un circuito equivalente que contenga slo un resistor y un
capacitor.
31
312eq
RR
RRRR
CRR
RRR
31
312
31
3
31312
01
RR
R
)RR/(RRR
V)0(i
-
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29
Para esto se requiere que el circuito original sea uno que pueda
descomponerse en dos partes, una que incluya todos los resistores y la otra
todos los capacitores, de modo que ambas partes slo se conecten mediante
dos conductores ideales,.
Sin embargo, ste por lo general no es el caso, as que con mucha
probabilidad se requerirn las constantes de tiempo mltiples, a fin de
describir circuitos con varios resistores y capacitores.
Accionamiento de circuitos RL y RC
Hemos estudiado la repuesta de los circutos RL y RC cuando no se
presentan fuentes o funciones forzadas; la denominamos como respuesta
natural, debido a que su forma depende slo de la naturaleza del circuito.
La razn de que se obtenga alguna respuesta surge de la presencia de
almacenamiento de energa inicial dentro de los elementos inductivos o
capacitivos en el circuito.
En algunos casos nos enfrentamos a circuitos que contienen fuentes e
interruptores; se nos inform que ciertas operaciones de conmutacin se
efectuaron en t = 0 con el fin de eliminar todas las fuentes del circuito, al
tiempo que se dejan cantidades de energa almacenadas aqu y all. En otras
palabras, hemos resuelto problemas en los que las fuentes de energa se
eliminan en forma repentina del circuito.
Vamos a considerar ahora el tipo de respuesta que se producir cuando
las fuentes de energa se apliquen de forma sbita a un circuito.
Hemos hablado de la "aplicacin repentina" de una fuente de energa, y por
esta frase se entiende que su aplicacin es en el tiempo cero.
La operacin de un interruptor en serie con una batera es por tanto
equivalente a una funcin forzada que es nula hasta el instante en que se
cierra el interruptor, y es igual de ah en adelante a la tensin de la batera.
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La funcin forzada tiene un rompimiento, o discontinuidad, en el instante
en el que se cierra el interruptor. Ciertas funciones forzadas especiales que
son discontinuas o tienen derivadas discontinuas se denominan funciones
singulares, siendo las ms importantes de ellas la funcin escaln unitario
y la funcin impulso unitario
(Ver Seales y Formas de Onda en el captulo 3 de Circuitos con
Corriente Alterma)
Accionamiento de circuitos RL
Estamos listos para someter una red simple a la aplicacin repentina de
una fuente de c.c.
Resulta evidente que la corriente i(t) es nula antes de t = 0; en consecuencia
podemos sustituir la batera y el interruptor por una funcin forzada de
escaln de tensin V0*u(t), que no produce tampoco respuesta antes de t =
0.
Determinaremos i(t) en este tiempo
escribiendo la ecuacin de circuito apropiada
y resolvindola despus por separacin de
variables e integracin.
Luego de que obtenemos la respuesta e
investigamos las dos partes de las que se
compone, veremos que hay un significado
fsico para cada uno de ambos trminos.
Procedamos con el mtodo de solucin ms
formal.
Al aplicar la ley de Kirchhoff de tensin al
circuito de la figura b), tenemos:
)t(uV
dt
diLRi 0
-
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31
Puesto que la funcin forzada de escaln unitario es discontinua en t = 0,
consideramos primero la solucin para t < 0 y luego para t > 0.
La aplicacin de tensin cero fuerza a una respuesta cero, puesto que
t = - , por lo que:
i(t) = 0 t < 0
En el tiempo positivo, sin embargo, u(t) es unitaria y debemos resolver la
ecuacin:
t > 0
Las variables se separan mediante pasos algebraicos simples, con lo cual se
obtiene:
y cada lado puede integrarse en forma directa:
Para evaluar k, debe referirse a una condicin inicial.
Antes de t = 0, i(t) es cero, y por ello i(0-) = 0.
Puesto que no se puede cambiar la corriente en una inductancia por una
cantidad finita en el tiempo cero, sin que se asocie con una tensin infinita,
debemos tener i(0+) = 0.
Dejando i = 0 en t = 0, obtenemos:
y, por tanto:
Reordenando, se tiene t > 0
As, una expresin para la respuesta, vlida para cualquier t sera:
0Vdt
diLRi
dtRiV
diL
0
kt)RiVln(R
L0
kVlnR
L0
L/Rt00 eR
V
R
Vi
)t(ueR
V
R
Vi
L/Rt00
0 0
L- [ln(V - Ri) - lnV ] = t
R
-
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32
Un procedimiento directo
La solucin deseada no se obtuvo de la forma ms simple. Para establecer
un procedimiento ms directo, trataremos de interpretar los dos trminos
que aparecen en la ecuacin.
El trmino exponencial tiene la forma funcional de la respuesta natural del
circuito RL; es una exponencial negativa, tiende a cero cuando aumenta el
tiempo y se caracteriza por la constante de tiempo L/R.
As la forma funcional de esta parte de la respuesta resulta idntica a la que
se obtuvo en el circuito sin fuente.
Sin embargo, la amplitud del trmino exponencial depende de la tensin de
la fuente V0.
Podramos generalizar entonces que la respuesta ser la suma de dos
trminos, donde un trmino tiene una forma funcional idntica a la de la
respuesta sin fuente, pero cuenta con una amplitud que depende de la
funcin forzada.
Pero, qu pasa con el otro trmino?
La ecuacin incluye tambin un trmino
constante, V0/R.
Por qu se presenta?
La respuesta es simple: la respuesta natural tiende a cero cuando la energa
se disipa de manera gradual, pero la respuesta total no tiende a cero. A la
larga, el circuito se comporta como una resistencia y una inductancia en
serie con una batera. Puesto que la inductancia funciona como un
cortocircuito para la c.c., la nica corriente que circula en este caso es
V0/R..
)t(ueR
V
R
Vi
L/Rt00
)t(ueR
V
R
Vi
L/Rt00
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33
Dicha corriente es una parte de la respuesta que se atribuye de manera
directa a la funcin forzada y la llamamos respuesta forzada. sta es la
respuesta que se presenta durante mucho tiempo despus de que se cierra el
interruptor.
La respuesta completa se compone de dos partes, la respuesta natural y la
forzada.
La respuesta natural, es una caracterstica del circuito y no de las fuentes.
Su forma se podra encontrar considerando el circuito sin fuente y tiene una
amplitud que depende de la amplitud inicial de la fuente y del
almacenamiento de energa inicial.
La respuesta forzada tiene las caractersticas de la funcin forzada; se
determina al considerar que todos los interruptores se cerraron desde hace
mucho tiempo. Puesto que por ahora nos interesan slo los interruptores y
las fuentes de c.c, la respuesta forzada es meramente la solucin de un
problema de circuito de c.c. en estado estacionario.
Desarrollo de un entendimiento intuitivo
La razn para las dos respuestas, forzada y natural, quiz se vea a partir de
argumentos fsicos.
Sabemos que nuestro circuito asumir a la larga la respuesta forzada. Sin
embargo, en el instante en que se cierren los interruptores, las corrientes de
la inductancia iniciales (o en circuitos RC, las tensiones en las capacidades)
tendrn valores que dependen slo de la energa almacenada en dichos
elementos.
No se puede esperar que tales corrientes o tensiones sean las mismas que
las demandadas por la respuesta forzada. Por consiguiente, debe haber un
periodo transitorio durante el cual las corrientes y las tensiones cambien de
sus valores iniciales dados a los valores finales requeridos.
La parte de la respuesta que proporciona una transicin desde los valores
iniciales hasta los finales es la respuesta natural (o transitoria,).
-
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34
Si describimos la respuesta de un circuito RL simple sin fuente en estos
trminos, entonces podemos afirmar que la respuesta forzada es nula y que
la respuesta natural sirve para conectar la respuesta inicial dictada por la
energa almacenada, con el valor cero de la respuesta forzada.
La descripcin slo resulta apropiada para circuitos en los que la respuesta
natural se desvanece a la larga.
Lo anterior ocurre siempre en circuitos fsicos donde se asocia cierta
resistencia con cada elemento, aunque existen varios circuitos "patolgicos"
en los que la respuesta natural no desaparece cuando el tiempo se vuelve
infinito. Por ejemplo, los circuitos en los cuales las corrientes atrapadas
circulan por lazos inductivos, o las tensiones estn atrapadas en cadenas de
capacitores en serie.
Determinacin de la respuesta completa Usaremos el circuito simple RL en serie para
ilustrar la forma de determinar la respuesta
completa mediante la adicin de las respuestas
natural y forzada.
Este circuito ya se analiz, pero por un mtodo
ms largo. La respuesta deseada es la corriente
i(t), as que expresamos primero esta corriente
como la suma de la corriente natural y de la
corriente forzada:
i = in + if La forma funcional de la respuesta natural debe
ser la misma que la obtenida sin fuente alguna. Por tanto, sustituimos la
fuente de tensin de escaln por un cortocircuito y reconocemos el lazo en
serie RL anterior.
De tal modo: in = A e-Rt/L
donde la amplitud A an debe determinarse; puesto que la condicin inicial
se aplica a la respuesta completa. No podemos suponer simplemente que
A = i(0).
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Enseguida analizamos la respuesta forzada.
En este problema particular la respuesta forzada debe ser constante, debido
a que la fuente es una constante V0 para todos los valores positivos de
tiempo. Por tanto, despus de que la respuesta natural se desvanece, no hay
tensin en el inductor; por consiguiente, aparece una tensin V0 en los
extremos de R, de modo que la respuesta forzada es simplemente:
Observe que la respuesta forzada est por completo determinada; no hay
una amplitud desconocida.
A continuacin combinamos las dos respuestas para obtener:
y aplicamos la condicin inicial para evaluar A.
La corriente es cero antes de t = 0, adems, no es posible que cambie de
valor en forma instantnea, puesto que es la corriente que fluye por un
inductor. En consecuencia, la corriente es nula inmediatamente despus de t
= 0 y:
y por tanto:
Observe con todo cuidado que A no es
el valor inicial de i, pues A = - V0/R,
en tanto que i(0) = 0.
Al considerar los circuitos sin fuente, encontramos que A fue el valor inicial
de la respuesta.
Sin embargo, cuando se presentan funciones forzadas, debemos determinar
primero el valor inicial de la respuesta y luego sustituido en la ecuacin de
la respuesta completa para determinar A.
R
Vi 0f
R
VeAi 0
l/Rt
R
VA0 0
-Rt / L0V
i(t) = 1 - eR
-
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EJEMPLO
Determine i(t) para todos los valores de tiempo en el circuito de la
figura
El circuito contiene una fuente de
tensin de c.c., as como una fuente
de tensin de escaln.
Podramos eligir sustituir todo lo que
est a la izquierda del inductor por el
equivalente de Thvenin, pero mejor slo vamos a reconocer la forma de tal
equivalente como un resistor en serie con alguna fuente de tensin.
El circuito contiene nada ms un elemento de almacenamiento de energa:
el inductor. Observamos primero que:
y recordamos que: i = i f + in
La respuesta natural es por tanto una exponencial negativa como se vio
antes:
t > 0
Puesto que la funcin forzada es una fuente de cd, la respuesta forzada ser
una corriente constante. El inductor acta como un cortocircuito para la cd,
de modo que:
Por tanto: i = 50 + A e-0,5t amperes t > 0
Para evaluar A, debemos establecer el
valor inicial de la corriente de la
inductancia. Antes de t = 0, la
corriente es igual a 25 A y no puede
cambiar en forma instantnea; en
consecuencia:
25 = 50 + A
A = -25
s25,1
3
R
L
eq
2/t
n eAi
amperes2
100i f
-
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37
Por consiguiente:
i = 50 25 e-0,5t amperes t > 0
Completamos la solucin al establecer tambin:
i = 25 amperes t < 0
o escribiendo una expresin simple vlida para cualquier t:
i = 25 + 25(1 - e-0,5t
)u(t) amperes
EJEMPLO
Determine la respuesta de corriente en un circuito RL en serie simple
cuando la funcin forzada se compone de un pulso de tensin rectangular
de amplitud V0 y duracin t0-
Obtendremos la respuesta mediante el principio de superposicin.
Considere que i1(t) designa la parte de i(t) que se debe a la fuente superior
V0u(t) que acta sola, y que i2(t) designa la parte debida al desempeo
individual de V0 u(t - to).
Entonces: i(t) = i1(t) + i2(t)
Nuestro objetivo consiste en escribir ahora cada una de las respuestas
parciales i1 e i2 como la suma de la respuesta natural y de la forzada.
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38
La respuesta i1(t) resulta familiar; este problema fue resuelto en la ecuacin:
t >0
Dirigimos ahora nuestra atencin a la otra fuente y a su respuesta i2(t).
Slo difieren la polaridad de la fuente y el tiempo de su aplicacin. No hay
necesidad, por tanto, de determinar la forma de la respuesta natural y de la
respuesta forzada; la solucin para i2(t) es:
t > t0
Ahora sumamos las dos soluciones, pero lo hacemos con cuidado, puesto
que cada una es vlida para un intervalo de tiempo diferente.
De tal modo: 0 < t < t0
y t > t0
La solucin se completa estableciendo que i(t) es cero para t negativo y
graficando la respuesta como una funcin del tiempo. El tipo de la curva
obtenida depende de los valores relativos de t0 y de la constante de tiempo
; en la figura se muestran dos curvas posibles.
( )-Rt / L01V
i (t) = 1 - eR
( )0-R(t -t )/ L0
2
Vi (t) = - 1 - e
R
( )-Rt / L0V
i(t) = 1 - eR
( ) ( )0-R(t -t ) / L-Rt / L0 0
V Vi(t) = 1 - e - 1 - e
R R
-
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39
Accionamiento de circuitos RC
La respuesta completa de cualquier circuito RC tambin se obtiene como la
suma de las respuestas natural y forzada. Ilustramos esto al resolver un
ejemplo de manera completa.
EJEMPLO
Determine la tensin en el capacitor vc(t) y la corriente i(t) en el resistor
de 200 de la figura para cualquier tiempo.
Primero, suponemos que desapareci cualquier respuesta transitoria que
resulte del movimiento original del interruptor hacia a, quedando slo una
respuesta forzada causada por la fuente de 120V.
Se nos pide vC(t), as que empezamos determinando la respuesta forzada
previa a t = 0 con el interruptor en la posicin a.
Las tensiones por todo el circuito, mostradas en la figura b, son constantes;
por tanto, no hay corriente en el capacitor. La simple divisin de tensin
nos produce entonces la tensin inicial:
V100)120(
1050
50)0(vc
-
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40
Puesto que la tensin del capacitor no puede cambiar en forma instantnea,
esta tensin tambin es vlida en t = 0- y t = 0+.
El interruptor se mueve ahora hacia b
Al mover el interruptor hacia b, queda el circuito que se muestra y la
respuesta completa ser:
vC = vCf + vCn
La forma de la respuesta natural se obtiene sustituyendo la fuente de 50 V
por un cortocircuito y evaluando la resistencia equivalente para encontrar la
constante de tiempo (en otras palabras, estamos determinando la resistencia
equivalente de Thvenin "vista" desde las terminales del capacitor):
De modo que:
Veamos ahora la respuesta forzada
Para evaluar la respuesta forzada con el interruptor en b, esperamos hasta
que todas las tensiones y corrientes hayan dejado de cambiar; por tanto
consideramos al capacitor como un circuito abierto y aplicamos una vez
ms la divisin de tensin:
Por tanto:
y de la condicin inicial ya obtenida: 100 = 20 + A
o vC = 20 + 80 e-t/1,22
V t > 0
La respuesta se grafica en la figura;
tambin en este caso se ve que la
respuesta natural forma una transicin
desde la respuesta inicial hasta la
final.
24
60
1
200
1
50
1
1Req
2,1/tqCRe/t
Cn eAeAV
V20)50()20050/()200)(50(60
)20050/()200)(50(vCf
VeA20v2,1/t
C
-
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41
A continuacin abordamos i(t). La respuesta no necesita permanecer constante durante el periodo de
conmutacin.
Con el contacto en a, resulta evidente que
i = 50/260 = 192,3 miliamperes.
Cuando el interruptor se mueve a la posicin b, la respuesta forzada para
esta corriente se vuelve:
La forma de la respuesta natural es la misma que la que ya determinamos
para la tensin en el capacitor:
in = A e-t/1,2
Al combinar las respuestas natural y forzada, obtenemos:
i = 0,1 + A e-t//1,2
amperes
Para evaluar A, necesitamos conocer i(0+), la cual se calcula fijando nuestra
atencin sobre el elemento de almacenamiento de energa (el capacitor).
Puesto que vC(0+) = 100 V, y como el capacitor est en paralelo con el
resistor de 200 , encontramos que i(0+) = 0,5 ampere, A = 0,4 ampere, y por ello:
i(t) = 0,1923 amperes t < 0
i(t) = 0,1 + 0,4 e-t/1,2
amperes t > 0
o i(t) = 0,1923 + ( - 0,0923 + 0,4 e-t/1,2) u(t) amps
La respuesta completa para cualquier t tambin se escribe de manera
concisa utilizando u(- t), correspondiendo as a la unidad para t < 0 y a 0
para t > 0. As:
i(t) = 0,1923 u(-t) + (0,1 + 0,4 e-t/1,2
) u(t) amperes
amperes1,020050
50
)6050/()200)(50(60
50i f
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42
Esta respuesta se presenta en la figura.
Observe que slo se necesitan cuatro
nmeros para escribir la forma
funcional de la respuesta de este
circuito de un solo elemento de
almacenamiento de energa, o para
hacer la grfica:
1) el valor constante antes de la conmutacin (0,1923 ampere),
2) el valor instantneo justo despus de la conmutacin (0,5 ampere),
3) la respuesta forzada constante (0,1 ampere) y
4) la constante de tiempo (1,2 s).
En este caso, la funcin exponencial negativa apropiada resulta fcil de
escribir o graficar.
Resumen
- La respuesta de un circuito con fuentes que se activan o desactivan en
forma repentina de un circuito en el que hay capacitores e inductores
siempre estar compuesta de dos partes:.una respuesta natural y una
respuesta forzada.
- La forma de la respuesta natural (denominada tambin como la respuesta
transitoria) depende slo de los valores de las componentes y de la forma
en que se alambran entre ellas.
- La forma de la respuesta forzada refleja la de la funcin forzada. Por lo
tanto, una funcin forzada de cd siempre provoca una respuesta forzada
constante.
- Un circuito reducido hasta una sola inductancia equivalente L y una sola
resistencia equivalente R tendr una respuesta natural dada por i(t) = I0 e-t/
donde = L/R representa la constante de tiempo del circuito.
- Un circuito reducido hasta una sola capacitancia equivalente C y una sola
resistencia equivalente R, tendr una respuesta natural dada por v(t) = V0
e-tI donde = RC es la constante de tiempo del circuito.
-
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43
- La funcin de escaln unitario constituye una manera til para hacer el
modelo del cierre o la apertura de un interruptor, siempre que tengamos
cuidado de vigilar las condiciones iniciales.
- La respuesta completa de un circuito RL o RC excitado por una fuente de
cd tendr la formal f(0+) = f() + A y f(t) = f() + [f(0+) -f ()] et/, o respuesta total = valor final + (valor inicial - valor final) e-t/.
Circuito RLC
Nuestras metas y objetivos primordiales sern:
- Determinar el factor de amortiguamiento caracterstico y la frecuencia
resonante de circuitos RLC en serie y en paralelo
- Entender las respuestas sobreamortiguada, crticamente amortiguada y
subamortiguada del circuito RLC en serie y en paralelo
- Determinar la respuesta completa (la natural ms la forzada) de los
circuitos RLC
Introduccin
Nuestro anlisis anterior se enfoc exclusivamente en circuitos resistivos
con capacitores o con inductores, pero no con ambos.
La presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito produce al
menos un sistema de segundo orden, que est constituido por una ecuacin
diferencial que incluye una derivada de segundo orden, o dos ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden.
Este aumento en el orden hace necesario evaluar dos constantes arbitrarias.
Adems, se necesita determinar condiciones iniciales para las derivadas.
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Circuito en paralelo sin fuente
Nuestra primera tarea consiste en determinar la
respuesta natural, que tambin en este caso se
lleva a cabo de un modo ms conveniente al
considerar el circuito sin fuente.
Luego se podran incluir fuentes de cd,
interruptores o fuentes de escaln en el circuito
que de nuevo representen la respuesta total como la suma de la respuesta
natural y la respuesta forzada.
Empezamos con el clculo de la respuesta natural de un circuito simple R,
L y C en paralelo.
Deduccin de la ecuacin diferencial para un circuito RLC en paralelo
La ecuacin nodal simple es:
Debemos resolver esta ecuacin sujeta a las condiciones iniciales:
i(0+)= I0 y v(0+) = Vo
Diferenciando una vez con respecto al tiempo, el resultado consiste en una
ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden.
cuya solucin v(t) es la respuesta natural deseada.
Solucin de la ecuacin diferencial
Hay varias formas de resolver esta ecuacin, elegiremos el mtodo ms
rpido y simple.
Supondremos una solucin, confiando en nuestra intuicin y experiencia
para solucionar una de las varias formas posibles que resultan adecuadas.
0dt
dvC)t(i'dtv
L
1
R
v0
t
t0
0vL
1
dt
dv
R
1
dt
vdC
2
2
-
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Nuestra experiencia con las ecuaciones de primer orden quizs nos sugiera
que al menos probemos una vez ms la forma exponencial.
As, suponemos: v = A e st
que es la forma ms general posible y que permite que A y s sean nmeros
complejos, en caso de ser necesario.
Sustituyndola en la ecuacin diferencial, obtenemos
o
Para que se satisfaga esta ecuacin todo el tiempo, al menos uno de los tres
factores debe ser cero.
Si cualquiera de los primeros dos factores se iguala a cero, entonces v(t) =
0. sta es una solucin trivial de la ecuacin diferencial que no puede
satisfacer nuestras condiciones iniciales dadas. Por lo tanto, igualamos a
cero el factor restante:
Puesto que esta ecuacin es cuadrtica, hay dos soluciones identificadas
como s1 y s2:
Si cualquiera de estos dos valores se usa para s en la solucin supuesta,
entonces la solucin satisface la ecuacin diferencial dada; de tal modo sta
se convierte en una solucin vlida.
Sustituyendo s por s1 y por s2 en la solucin supuesta
0AeL
1Ase
R
1eCAs
ststst2
0L
1s
R
1CsAe
2st
0L
1s
R
1Cs
2
LC
1
RC2
1
RC2
1s
2
1
LC
1
RC2
1
RC2
1s
2
2
ts
111eAv
ts
222eAv
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Cada una de estas soluciones satisfacen la ecuacin diferencial y por
linealidad su suma tambin la satisface. De este modo tenemos la forma
general de la respuesta natural:
donde s1 y s2 estn dadas por las ecuaciones mostradas y A1 y A2 son dos
constantes arbitrarias que se deben seleccionar para satisfacer las dos
condiciones iniciales especificadas.
La forma de la respuesta natural, como se da en esta ecuacin ofrece poca
informacin acerca de la naturaleza de la curva que podramos obtener si
v(t) se graficara como una funcin del tiempo.
Las amplitudes relativas de A1 y A2, por ejemplo, sern importantes para
determinar la forma de la curva de respuesta.
Adems, las constantes s1 y s2 son nmeros reales o nmeros complejos
conjugados, dependiendo de los valores de R, L y C en la red dada.
Estos dos casos produce formas de respuesta fundamentalmente diferentes.
Por lo tanto, es til efectuar algunas sustituciones simplificatorias en la
ecuacin de la respuesta.
Recordemos que:
frecuencia resonante
Definamos
coeficiente de amortiguamiento
exponencial
s, s1 y s2 son cantidades que formarn las bases de nuestro trabajo posterior
y se denominan frecuencias complejas.
Juntemos estos resultados.
ts
2
ts
121 eAeA)t(v
LC
1
RC2
1
RC2
1s
2
1
LC
1
RC2
1
RC2
1s
2
2
LC
10
RC2
1
2
0
2
1s
2
0
2
2s
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A1 y A2 deben determinarse aplicando las condiciones iniciales dadas.
En resumen
Con
La respuesta descrita por las ecuaciones precedentes se aplica no slo a las
tensiones v(t) sino tambin a la corriente que fluye en cada uno de los tres
elementos de circuito. Los valores de las constantes A1 y A2 para v(t) sern,
desde luego, diferentes a los de las corrientes.
Vemos ahora que la naturaleza de la respuesta depende de la magnitud
relativa de y 0. El radical que aparece en las expresiones para s1 y s2 ser
real cuando sea mayor que 0 imaginario cuando sea menor que 0 y cero cuando y 0 sean iguales.
Cada uno de estos casos se considerar por separado a continuacin.
Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado
Repitiendo las ecuaciones
Si LC > 4R2C2 , ser mayor que 0 entonces s1 y s2 tendrn valores reales negativos.
ts
2
ts
121 eAeA)t(v
2
0
2
1s
2
0
2
2s
LC
10
RC2
1
ts
2
ts
121 eAeA)t(v
2
0
2
1s
2
0
2
2s
LC
10
RC2
1
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De tal manera, la respuesta v(t) se expresa como la suma algebraica de dos
trminos exponenciales decrecientes que tienden a cero cuando aumenta el
tiempo.
De hecho, puesto que el valor absoluto de s2 es mayor que el de s1, el
trmino que contiene a s2 tiene una tasa de reduccin ms rpida y, para
valores grandes del tiempo, la expresin lmite se escribira como:
El siguiente paso consiste en determinar las constantes arbitrarias A1 y A2
conforme a las condiciones iniciales.
EJEMPLO
El almacenamiento de energa inicial se
especifica eligiendo una tensin inicial en el
circuito v(t) = 0 y una corriente de inductor
inicial i(0) = 10 A.
Se determinan con facilidad los valores de
varios parmetros
= 3.5 0 = s1= - l s2= - 6
y la forma general de la respuesta natural:
v(t) = A1 e-t + A2 e
-6t
Clculo de los valores para A1 y A2
Si conociramos la respuesta v(t) en dos valores diferentes del tiempo, tales
valores podran sustituirse en la ecuacin de v(t), de modo que A1 y A2 se
determinaran sin ningn problema. Sin embargo, conocemos slo un valor
instantneo de v(t):
v(0) = 0 y, por tanto: 0 = A1 + A2
tcuando0eA)t(vts
11
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Se obtiene una segunda ecuacin que relaciona A1 y A2 tomando la derivada
de v(t) con respecto al tiempo, determinando el valor inicial de la derivada
mediante el uso de la condicin inicial restante i(0) = 10 e igualando los
resultados. As, al derivar ambos lados de la ecuacin de v(t), tenemos:
v(t) = A1 e-t + A2 e
-6t
y al evaluar la derivada en t= 0:
obtenemos una segunda ecuacin
Si bien esta forma parece ser til, no tenemos un valor numrico para el
valor inicial de la derivada, por lo que no disponemos todava de dos
ecuaciones con dos incgnitas.
La expresin dv/dt sugiere una corriente de capacitor, puesto que
La ley de Kirchhoff de corriente debe cumplirse en cualquier instante de
tiempo, ya que se fundamenta en la conservacin de la carga. De tal modo,
se podra escribir:
-iC(0) + i(0) + iR(0) = 0
Al sustituir nuestra expresin para la corriente del capacitor y al dividir
entre C, tenemos:
puesto que la tensin inicial cero en el resistor requiere una corriente inicial
cero a travs de l.
En consecuencia tenemos nuestra segunda ecuacin es 420 = -A1 - 6A2
y la solucin simultnea de las ecuaciones 0 = A1 + A2
420 = -A1 - 6A2
proporciona las dos amplitudes A1 = 84 y A2 = -84.
t6
2
t
1 eA6eAdt
dv
21
0t
A6Adt
dv
dt
dvCiC
sV420C
)0(i
C
)0(i)0(i
C
)0(i
dt
dv RC
0t
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Por lo tanto, la solucin numrica final para la respuesta natural de este
circuito es:
v (t) = 84 (e-t - e-6t) V
En nuestras dems explicaciones relativas a los circuitos RLC, siempre
requeriremos dos condiciones iniciales para especificar del todo la
respuesta. Una de ellas casi siempre ser muy fcil de aplicar, ya sea una
tensin o una corriente en t = 0. La segunda condicin suele causamos
un poco de problemas. Aunque a menudo tendremos a nuestra
disposicin una corriente inicial y una tensin inicial, una de ellas se
necesitar aplicar de manera indirecta a travs de la derivada de nuestra
solucin supuesta.
OTRO EJEMPLO
Determine vc(t) despus de t = 0 en el circuito de la figura
Preste atencin de como
se han obtenido las dos
condiciones iniciales
que se necesitan para
calcular A1 y A2.
Empezamos calculando
los valores de los
parmetros , 0, s1 y
s2. Los valores de los
elementos necesarios se
identifican al considerar
el circuito sin fuente
indicado en la figura b).
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Por lo tanto, = 1/2RC = 125.000 s-1
s1 = -50.000 s-1
s2 = -200.000 s-1
La forma de la solucin es por tanto: vc(t) = A1 e-50.000t
+ A2e-200.000t
Ahora determinamos A1 y A2
En la figura c), vemos que iL(0-) = -150/(200 + 300) = - 0.3 A,
mientras que vC (0-) = 200(0.3) = 60 V.
Ambos valores aparecen marcados en nuestro circuito de la figura d) para t
= 0+, puesto que no les permitimos cambiar en el tiempo cero.
Este circuito identifica tambin los valores de corriente, iR(0+) e iC(0
+), que
no tienen restricciones acerca de la rapidez de su cambio.
De tal modo, ya tenemos vC(0+) = vC(0
-) = 60 V, as que slo necesitamos
el valor de dvC/dt|t=0+ . ste se relaciona de manera sencilla con la corriente
del capacitor, por lo que:
Usamos ahora los valores iniciales de iC y dvC/dt en nuestra ecuacin para
vC(t):
vC(0+) = 60 = A1 + A2 y
obtenemos A1 = 80 y A2 = -20
La solucin para nuestro problema es:
vC(t) = 80e-50.000t
- 20e-200.000t
V t > 0
2
0
2
2,1s
srad000.100LC10
+
9+ + +C
C L R
t=0
dv 1 1 10 60= i (0 ) = -i (0 ) - i (0 ) = 0,3 - = 0
dt C C 20 200
21
0t
C A000.200A000.500dt
dv
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Amortiguamiento crtico
Ajustemos ahora los valores de los elementos hasta que a y 0 sean iguales.
Es un caso muy especial que recibe el nombre de amortiguamiento
crtico.
Si tratramos de construir un circuito RLC en paralelo que est crticamente
amortiguado, intentaramos una tarea en esencia imposible, pues nunca
podramos lograr. que a fuera exactamente igual a 0.
El resultado de dicho intento producira un circuito sobreamortiguado, o un
circuito subamortiguado.
Para completar el tema, sin embargo, explicaremos aqu el circuito
crticamente amortiguado, ya que muestra una transicin interesante entre
el sobreamortiguamiento y el subamortiguamiento.
El amortiguamiento crtico se obtiene cuando
EJEMPLO
El almacenamiento de energa inicial se
especifica eligiendo una tensin inicial en
el circuito v(t) = 0 y una corriente de
inductor inicial i(0) = 10 A.
Antes de seguir con el ejemplo, veamos cual es la forma de la respuesta de
un circuito crticamente amortiguado
Forma de una respuesta crticamente amortiguada
Procedemos a tratar de construir una respuesta como la suma de dos
exponenciales para la ecuacin diferencial:
oamortiguadtecriticamen
CR4L
CR4LCo
2
22
0
1
21
1
0
s6ss
s6
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Cuando a = 0 la ecuacin diferencial,, se convierte en:
La solucin es:
Debe observarse que la solucin sigue expresndose como la suma de dos
trminos, donde uno es la familiar exponencial negativa y el otro es t veces
una exponencial negativa. Debemos advertir que la solucin contiene las
dos constantes arbitrarias esperadas.
Volviendo al ejemplo, calculamos ahora las constantes A1 y A2.
Clculo de los valores de A1 y A2
Recordemos que v(t) = 0 y i(0) = 10 A
y
Luego
establecemos los valores de A1 y As al imponer primero las condiciones
iniciales sobre la propia v(t), v(0) = 0; de tal modo, A2 = 0.
Este simple resultado aparece debido a que se eligi como nulo el valor
inicial de la respuesta v(t); el caso ms general requerir la solucin
simultnea de dos ecuaciones.
0vL
1
dt
dv
R
1
dt
vdC
2
2
0vdt
dv2
dt
vd 22
2
)AtA(ev 21t
1
21
1
0
s6ss
s6
)AtA(ev 21st
t6
2
t6
1 eAteAv
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La segunda condicin inicial debe aplicarse a la derivada dv/dt, justo como
en el caso sobreamortiguado. Por ello diferenciamos, recordando que
A2 = 0:
evaluamos en t = o:
y expresamos la derivada en trminos de la corriente inicial en el capacitor:
En consecuencia: A1 = 420 V
La respuesta es, por tanto: v (t) = 420te
-2,45t V
Representacin Grfica
CIRCUITO RLC EN PARALELO SUBAMORTIGUADO
Forma de la respuesta subamortiguada
Empezamos con la forma exponencial
donde:
t6
1
t6
1 eAe)6(tAdt
dv
1
0t
Adt
dv
C
)0(i
C
)0(i
C
)0(i
dt
dv RC
0t
ts
2
ts
121 eAeA)t(v
2
0
2
2,1s
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2 se hace ms pequea que 02 y el radical que aparece en la expresin
para s1 y s2 se vuelve negativo.
y en ese caso sea:
donde:
Consideremos ahora el nuevo radical, que es real para el caso
subamortiguado, pero lo denominamos d la frecuencia resonante
natural:
La respuesta se escribira ahora como:
que expresada en trminos de funciones trigonomtricas toma la forma
EJEMPLO
El almacenamiento de energa inicial
se especifica eligiendo una tensin
inicial en el circuito v(t) = 0 y una
corriente de inductor inicial i(0) = 10
A.
De tal manera:
Salvo por la evaluacin de las constantes arbitrarias, en este caso se conoce
la respuesta:
Ahora pasamos a calcular B1 y B2
El clculo de las dos constantes procede como antes. Si seguimos v(0) = 0 e
i(0) = 10, entonces B1 debe ser cero. De ah que:
22
0
22
0
2
0
2j1
1j
22
0d
)eAeA(e)t(vtj
2
tj
1
t dd
)tsenBtcosB(e)t(v d2d1t
1s2
RC2
1
1
0 s6LC
1
s/rad222
0d
)t2senBt2cosB(e)t(v 21t2
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La derivada es:
y en t = 0 se convierte en:
Por lo tanto:
CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE
Deseamos ahora determinar la respuesta natural de un modelo de circuito
compuesto por un resistor ideal, un inductor ideal y un capacitor ideal
conectados en serie.
El circuito RLC en serie es el dual del circuito RLC en paralelo, as que
este simple hecho resulta suficiente para hacer que su anlisis sea un asunto
trivial.
t2senBe)t(v 2t2
t2seneB2t2coseB2dt
dv t22
t2
2
420C
)0(iB2
dt
dv C2
0t
t2sene2210)t(vt2
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La ecuacin integrodiferencal fundamental del
circuito serie es:
y debe compararse con la ecuacin anloga para
el circuito RLC en paralelo, dibujado de nuevo
en la figura b.
Las respectivas ecuaciones de segundo orden que
se obtienen diferenciando estas dos ecuaciones
con respecto al tiempo tambin son duales:
Nuestro anlisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera
directa al circuito RLC en serie.
Las condiciones iniciales sobre la tensin en el capacitor y la corriente en el
inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en la corriente en el
inductor y la tensin en el capacitor; la respuesta de tensin consiste en una
respuesta de corriente.
Un breve resumen de la respuesta del circuito serie
La respuesta sobreamortiguada es:
donde:
con
La respuesta crticamente amortiguada es:
y la respuesta subamortiguada es:
0)t(v'idtC
1iR
dt
diL 0C
t
t0
0)t(i'vdtvR
1
dt
dvC 0L
t
t9
0iC
1
dt
diR
dt
idL
2
2
0vL
1
dt
dv
R
1
dt
vdC
2
2
ts
2
ts
121 eAeA)t(i
2
0
2
2
2,1LC
1
L2
R
L2
Rs
LC
1y
L2
R0
)AtA(e)t(i 21t
)tsenBtcosB(e)t(i d2d1t
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58
con
Respuesta completa del circuito RLC
Consideremos ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se
conmutan en la red y producen respuestas forzadas que no necesariamente
se anulan cuando el tiempo se vuelve infinito.
La solucin general se obtiene mediante el mismo procedimiento que se
sigui en los circuitos RL y RC:
- la respuesta forzada se determina por completo;
- la respuesta natural se obtiene como una forma funcional adecuada
que contiene el nmero apropiado de constantes arbitrarias;
- la respuesta completa se escribe como la suma de las respuestas
forzada y natural;
adems, las condiciones iniciales se determinan y se aplican a la respuesta
completa a fin de calcular los valores de las constantes.
Este ltimo paso con frecuencia resulta el ms complicado para los
estudiantes.
La mayor parte de la confusin al determinar y aplicar las condiciones
iniciales surge por la simple razn de que no contamos con un conjunto de
reglas rigurosas dispuestas, que sea viable seguir.
En cierto punto de cada anlisis, suele surgir una situacin en la que se ve
involucrada alguna idea que resulta ms o menos nica para ese problema
particular, lo cual es casi siempre la fuente de la dificultad.
La parte fcil
La respuesta completa (supuesta de manera arbitraria como la respuesta de
tensin) de un sistema de segundo orden consiste en:
)paralelo(
RC2
1
)serie(
L2
R
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59
una respuesta forzada vf(t) = Vf que es una constante para la
excitacin de c.c.
y una respuesta natural:
En consecuencia:
Suponemos que s1 , s2 y Vf ya se determinaron en el circuito y en las
funciones forzadas que se indican queda por conocer A y B.
La ltima ecuacin muestra la interdependencia funcional de A, B, v y t, de
modo que la sustitucin del valor conocido de v en t = 0+ nos da entonces
una sola ecuacin que relaciona A y B,
v(0+) = Vf + A + B
sta es la parte fcil
La otra parte
Desafortunadamente, se requiere otra relacin entre A y B, la cual se
obtiene casi siempre al tomar la derivada de la respuesta:
y sustituir el valor conocido de dv/dt en t = 0+.
As, tenemos dos ecuaciones que relacionan a A y B y que se resolveran de
manera simultnea para evaluar las dos constantes.
El problema que resta es determinar los valores de v y dv/dt en t = 0+.
Supongamos que v es una tensin en el capacitor. Puesto que iC = CdvC/dt,
debemos reconocer la relacin entre el valor inicial de dv/dt y el valor
inicial de alguna corriente en el capacitor.
Si podemos establecer un valor para dicha corriente inicial en el capacitor,
entonces estableceremos de manera automtica el valor de dv/dt.
tsts
n21 BeAe)t(v
tsts
f21 BeAeV)t(v
ts
2
ts
121 BesAes0
dt
dv
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60
Casi siempre los estudiantes pueden obtener con facilidad v(0+), pero suelen
titubear un poco al determinar el valor inicial de dv/dt.
Si hubiramos elegido una corriente en el inductor iL como nuestra
respuesta, entonces el valor inicial de diL/dt estara ntimamente relacionado
con el valor inicial de cierta tensin en el inductor.
Otras variables, aparte de las tensiones en el capacitor y de las corrientes en
el inductor, se determinan al expresar sus valores iniciales y los valores
iniciales de sus derivadas en trminos de los valores correspondientes para
vC e iL.
REDES MAS COMPLEJAS UN TRATAMIENTO GENERAL
Hasta aqu hemos visto circuitos RL, RC y RLC serie y paralelo con
funcin forzada constante
Trataremos ahora circuitos generales con cualquier tipo de fuentes
Veamos un ejemplo
Ejemplo 1
a) Determinar la ecuacin diferencial
para el vol