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UNIDAD I
Definición de Estadística
Es aquella que se encarga de los, métodos científicos para recolectar,
organizar, reunir, presentar y analizar datos. Con el objetivo de tener una mejor
toma de decisiones de acuerdo con la muestra analizada.
Tipos de Estadística.
A la parte de la Estadística que busca únicamente describir y analizar un gripo
determinado de datos sin obtener conclusiones validas recibe el nombre de
Estadística inductiva o inferencial.
Al recolectar datos que determina las características de un grupo de individuos
u objetos, por ejemplo las estaturas y los pesos de los estudiantes de una
universidad o la cantidad de piezas defectuosas y no defectuosas producidas
en una fabrica durante un día determinado, muchas veces es imposible o
impráctico observara todo el grupo, especialmente si este es demasiado
grande. En lugar de examinar a todo el grupo que recibe el nombre de
población o universo se examina una pequeña parte a la que se le llama
muestra de la población.
Una población puede ser finita o infinita, es decir; la población que comprende
todas las piezas producidas en un día determinado por una fábrica es finita,
mientras que la población que consta de todos los resultados posibles en el
lanzamiento sucesivo de una moneda (águila o sol) es infinita.
Variables discretas y variables continuas.
Una variable es un símbolo, y se representa con las letras latinas mayúsculas
H, A, B, J, Y, etc. Si la variable solo toma un valor entonces recibe el nombre
de constante. A la variable que toma cualquier valor, entre 2 valores dados
recibe el nombre de variable continua, si no es así se denomina variable
discreta.
Ejemplo: De acuerdo con los siguientes enunciados indicar el tipo de variable
que corresponde.
El número de niños en una familia.-VARIABLE DISCRETA
La altura H de un individuo registrada en centímetros. VARIABLE CONTINUA
El número de acciones vendidas por día en la bolsa de valores. VARIABLE
DISCRETA.
Las temperaturas registradas cada 13 horas en un observatorio. VARIABLE
CONTINUA
El ingreso semestral de los `profesores universitarios.-VARIABLE DISCRETA
El tiempo de vida de una lámpara incandescente. VARIABLE CONTINUA.
INSTRUCCIONES: Realice cada una de las operaciones indicadas. Redondear
el resultado a 3 decimales.
a) 48.0 x 943=45,264
b) 8.35 / 98=0.085
c) (28)(4,193)(182)=21,367,528
d) [(526.7)(0.001280)]/0.000034921=19,305.747
e) ¶√71.35= 26.537
f) √128.5-89.24=6.266
La siguiente tabla muestra el número de celemines medida de volumen
equivalente a 4.625 litros en especial de granos de trigo y de maíz producidas
por una granja de 1997 a 2007.
AÑO# DE CELEMINES DE
MAIZ
# DE CELEMINES DE
TRIGO
1997 200 75
1998 185 90
1999 225 100
2000 250 85
2001 240 80
2002 195 100
2003 210 110
2004 225 105
2005 250 95
2006 230 110
2007 235 100
Usando la tabla determine el o los años en los que:
a) Se produjo el menor número de celemines de trigo.
En el año de 1997
b) Se produjo el mayor número de celemines de maíz.
En los años 2000 y 2005.
c) Se dio el mayor descenso en la producción de trigo.
Del año de 1999 al 2000
d) Se produjeron las mismas cantidades de trigo.
En los años 2003 y 2006 con la cantidad de 110 celemines; y en los
años 2002 y 2007 con la cantidad de 100 celemines.
e) L a producción de maíz disminuyo, mientras la producción de trigo
aumento.
En 1998,2002 y 2006
f) Se obtuvo la máxima producción conjunta
En el 2005
Logaritmos
Log MN=Log M + Log N
Log M/N=Log M-Log N
Log MP=P Log M
Ejemplo: Calcule cada una de las expresiones.
1. P= (3.81) (43.4)
Log P = Log (3.81)+Log (43.4)
Log P=.0580924975+1.63748973
Log P=2.218414706
P=Antilog (2.218414706)
P=165.3
2. P=[(784.6)(0.04311)]/28.23
Log P=
Log P=
Log P=
P=
P=
3. P=
Log P=
Log P=
Log P=
P=
P=
4. P=
Log P=
Log P=
Log P=
P=
P=
5. P=
Log P=
Log P=
Log P=
P=
P=
Datos:
Son aquellos datos que no han sido reforestados ni organizados
numéricamente. Un ejemplo es el conjunto de estaturas de 100 estudiantes en
una universidad obtenidas en el registro universitario.
Datos ordenados.
Es el conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente
de magnitud.
Ejemplo: La siguiente tabla muestra las calificaciones en Matemáticas de 80
estudiantes universitarios.
6.8 8.4 7.5 8.2 6.8 9.0 6.2 8.8 7.6 9.3
7.3 7.9 7.5 7.3 6.0 9.3 7.1 5.9 8.5 7.5
6.1 6.5 8.8 8.7 7.4 6.2 9.5 7.8 6.3 7.2
6.6 7.8 8.2 7.5 9.4 7.7 6.9 7.4 6.8 6.0
9.6 7.8 8.9 6.1 7.5 9.5 6.0 7.9 8.3 7.1
7.9 6.2 6.7 9.7 7.8 8.5 7.6 6.5 7.1 7.5
6.5 8.0 7.3 5.7 8.8 7.8 6.2 7.6 5.3 7.4
8.6 6.7 7.3 8.1 7.2 6.3 7.6 7.5 8.5 7.7
A partir de esta tabla encuentre.
a) Su ordenación en forma creciente
5.3 6.2 6.5 7.1 7.3 7.5 7.7 7.9 8.5 9.3
5.7 6.2 6.6 7.1 7.4 7.5 7.8 8.0 8.5 9.3
5.9 6.2 6.7 7.1 7.4 7.5 7.8 8.1 8.6 9.3
6.0 6.2 6.7 7.2 7.4 7.6 7.8 8.2 8.7 9.4
6.0 6.3 6.8 7.2 7.5 7.6 7.8 8.2 8.8 9.5
6.0 6.3 6.8 7.3 7.5 7.6 7.8 8.3 8.8 9.5
6.1 6.5 6.8 7.3 7.5 7.6 7.9 8.4 8.9 9.5
6.1 6.5 6.9 7.3 7.5 7.7 7.9 8.5 9.0 9.7
b) La calificación más alta
9.7
c) La calificación más baja
5.3
d) Las 5 calificaciones más altas
9.7, 9.6, 9.5, 9.5 y 9.4
e) Las 3 calificaciones más bajas
5.3, 5.7 y 5.9
f) La calificación del alumno que tuvo el vigésimo lugar más alto
8.2
g) El número de estudiantes con 7.5 o más.
44
h) El número de estudiantes con calificaciones menores a 8.5
63
i) Las calificaciones que no aparecen en la tabla.
5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 6.4, 7.0, 8.7, 9.1, 9.2, 9.8, 9.9, 10
Distribuciones de frecuencias.
Si se reúnen grandes cantidades de datos sueltos, es útil distribuirlos en clases
o categorías y determinar el número de individuos que pertenecen a cada
categoría recibe el nombre de frecuencia de clase. A la disposición tabular de
los datos, por clases con sus respectivas frecuencias se le conoce como
distribución de frecuencias.
Ejemplo: la siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de las
estaturas de 100 estudiantes hombres en una universidad.
ESTATURA
PULGADAS
NÚMERO DE
ESTUDIANTESF.C. C M.C.
F.R.
%F.A
60-62 5 59.5-62.5 3 61 5% 5
63-65 18 62.5-65.5 3 64 18% 23
66-68 42 65.5-68.5 3 67 42% 65
69-71 27 68.5-71.5 3 70 27% 92
72-74 8 71.5-74.5 3 73 8% 100
La primera clase o categoría comprende las estaturas entre 60 y 62 pulgadas y
se indica con el rango-
Intervalos de clase.
El símbolo que define a un intervalo de clase corresponde a los 2 datos
separados por un guion en la parte de en medio.
Limites de clase.
El número más pequeño (60) recibe el nombre de límite inferior de clase,
mientras que el número más grande (62) es el límite superior de clase.
NOTA: Aquel intervalo que no tiene límite de clase inferior o superior recibe el
nombre de intervalo de clase abierto.
Fronteras de clase.
Se abrevia con las letras latinas mayúsculas FC. Si se miden las estaturas con
una exactitud de una pulgada por 2 personas diferentes sus criterios no serán
los mismos, para que esto no ocurra, se utiliza el error de agrupamiento.
Limites de tolerancia
Tamaño o amplitud del intervalo de clase.
Se le conoce como la diferencia entre las fronteras de clase inferior y superior,
se representa por la letra C y su valor siempre es constante.
Marca de clase
Se abrevia por las letras latinas mayúsculas MC y se obtiene promediando los
límites superior e inferior de clase.
Frecuencias relativas
L a frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida entre la
frecuencia total de todas las clases y se expresa generalmente como
porcentaje.
Frecuencias acumuladas
Es la frecuencia total de los valores de la frontera de clase para cada intervalo
se simboliza con las letras FA.
Polígonos de frecuencias, Histogramas y ojivas.
El polígono de frecuencias, el histograma y la ojiva son 3 representaciones
básicas de las distribuciones de frecuencias.
Un polígono de frecuencia es una representación grafica de línea de las
frecuencias de clase dibujada con respecto a la marca de clase y se obtiene
uniendo los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos del
histograma.
Un histograma consiste en un conjunto de rectángulos que tienen sus bases en
el eje X (horizontal), sus centros en las marcas de clase y longitudes iguales a
los tamaños del intervalo de clase.
Una ojiva es aquella que recoge las frecuencias acumuladas por debajo de
cualquiera de las fronteras de clase superiores.
UNIDAD II MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Notación de Índices
Denotemos el valor xj, para cualquiera de los N valores que van desde x1, x2,
x3…xN que toma la variable x. La letra j puede valer desde 1 hasta N y recibe el
nombre de subíndice.
Nota: En algunas ocasiones es posible utilizar para que esto no cause
confusión otro tipo de letras en lugar de j como pueden ser f, k, q, r, s, w, etc.
Notación de Sumatoria
El símbolo ∑j=1
N
x j denota la suma de todos los valores xj desde j=1 hasta j=N.
Por definición se acepta la siguiente fórmula:
∑j=1
N
x j=x1+x2+x3+...+xN
En algunas ocasiones el símbolo de sumatoria se puede utilizar o expresar de
diferentes formas:
1. ∑ x
2. ∑ xj
3. ∑, xj
Ejemplo:
Represente las siguientes sumatorias:
1. ∑j=1
N
x1 y j=x1 y1+x2 y2+ x3 y3+...+xN
∑j=1
N
x j y j=(x1+x2+x3+…+xN ) ( y1+ y2+ y3+…+ yN )
2. ∑j=1
N
a x j=a x1+a x2+a x3+...+a xN
3. ∑ (ax+by−cz )=∑ (by−cz+ax )
∑ (ax+by−cz )=(ax−cz+by )∑
∑ (ax+by+cz )=∑ ax+∑ by+∑ cz
Ejercicios:
Escriba los términos explícitos de cada uno de las siguientes sumas:
1. ∑j=1
6
x j=x1+x2+x3+x4+x5+ x6
2. ∑j=1
4
( y j−3 )2=( y1−3 )2+ ( y2−3 )2+( y3−3 )2+( y 4−3 )2
3. ∑j=1
N
a=a+a+a+...a
4. ∑k=1
5
f k xk=f 1 x1+ f 2 x2+ f 3 x3+ f 4 x4+ f 5 x5
5. ∑j=1
3
( x j−a )=(x1−a )+(x2−a )+(x3−a )
Exprese en notación de sumatoria cada uno de los siguientes términos:
1. x1+ x2+x3+x4+...+x20=∑j=1
20
x j
2. ( y1−3 )2+ ( y2−3 )2+( y3−3 )2+...+( yN−3 )2=∑j=1
N
( y j−3 )2
3. f 1 x1+ f 2 x2+ f 3 x3+ f 4 x4=∑k=1
4
(f k xk )
4. a1b1+a2b2=∑j=1
2
a jb j
5.f 1 x1 y1a
+f 2 x2 y2a
+f 3 x3 y3a
+f 4 x4 y4a
+ ...+f N x N yNa
=∑k=1
N f j x j y ja
Ejercicios:
Dos variables X y Y toman los siguientes valores:
x1= 1, x2= -5, x3= 4, x4= -8, y1= -3, y2= -8, y3=10, y4= 6 respectivamente:
a) ∑ x=(2)+(−5 )+(4 )+(−8 )=−7
b) ∑ y=(−3 )+(−8 )+ (10 )+(−6 )=5
c) ∑ xy=(2 )(−3)+(−5 )(−8)+(4 )(10)+(−8 )(6)=26
d) ∑ x2= (2 )2+(−5 )2+ (4 )2+(−8 )2=109
e) ∑ x y2=(2 ) (−3 )2+(−5 ) (−8 )2+(4 ) (10 )2+(−8 ) (6 )2=−190
f) ∑ xy=( 2−3 )+(−5−8 )+( 410 )+(−86 )=−39
40
Promedios o medidas de Tendencia Central
Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos.
Como tales valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos
ordenados por magnitud (menor a mayor) los promedios se les conoce como
medidas de tendencia central. Entre las cuales tenemos la media aritmética,
la media aritmética ponderada, la mediana, la moda, etc.
Media Aritmética (x ).
La media aritmética o simplemente media es representada por el siguiente
símbolo x.
De un conjunto de N números x1, x2, x3…xN por definición se acepta lo
siguiente:
Fórmula para datos sueltos:
x=∑j=1
N
x j
N=X1+X2+X3+... X N
N
Fórmula para datos agrupados:
x=∑j=1
K
f 1 x1
N=f 1 x1+f 2 x2+ f 3 x3+... f K xK
f 1+f 2+ f 3+...+ f N
Ejemplos:
Encuentre la media aritmética para los siguientes datos:
a) 10, 8, 3, 12, 5.
x=10+8+3+12+55
x=7.6
b) Si los números 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1
respectivamente. Encuentre su media aritmética:
x=(3 ) (5 )+(2 ) (8 )+(4 ) (6 )+(1 )(2)
3+2+4+1=5710
x=5.7
Media Aritmética Ponderada
Algunas veces se asocia a los números x1, x2, x3…xk para ciertos factores de
peso w1, w2, w3…wk dependiendo de la influencia asignada a cada número.
Cuando esto ocurre recibe entonces el nombre de media aritmética
ponderada y por definición se acepta lo siguiente:
x=∑ wx
∑ w=w1 x1+w2 x2+w3 x3+...+wk xk
w1+w2+w3+...+w k
Ejemplo:
Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación
parcial y un alumno tuvo una calificación de 85 en su examen final y 70 y 90 en
los dos parciales. ¿Cuál es la calificación promedio media?
x=(1 ) (70 )+ (1 ) (90 )+ (3 )(85)
1+1+3=4155
x=83es lacalificaci ón promediomedia
Calculo de la Media Aritmética para datos agrupados
La siguiente formula nos indica el cálculo de la media para datos agrupados,
siempre y cuando exista un intervalo de clase también se le conoce con el
nombre de método de codificación y por definición se acepta la formula
siguiente:
x=A+(∑j=1K
f ju j
N)C=A+( fuN )C
Donde: A es la parte media de los datos
Ejercicio:
Determine x para los datos de las siguientes tablas:
a)
Solución:
x=67+( 15100 ) (3 )
x=67.45
b)
x u f fu
61 -2 5 -10
64 -1 18 -18
67 0 42 0
70 1 27 27
73 2 8 16
∑f=100 ∑f=15
x u f fu
255 -2 8 -16
265 -1 10 -10
275 0 16 0
285 1 14 14
295 2 10 20
305 3 5 15
315 4 2 8
∑f=65 ∑f=31
Solución:
x=285+( 3165 ) (10 )
x=289.77
Mediana y Moda
Mediana.
La mediana de un conjunto de datos ordenados en magnitud (de menor a
mayor) es el valor central del conjunto de datos.
Ejemplos:
1. El conjunto de números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 tiene una mediana de 6.
2. El conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 tiene una mediana de
10.
Mediana para datos agrupados:
Para datos agrupados la mediana se obtiene de la siguiente forma:
mediana=L1+( N2 −(∑ f )1fmediana )C
Donde:
L1= Frontera inferior de la clase.
N= Número total de datos.
2= Constante.
(∑f)1= Suma de las frecuencias de las clases inferiores de la mediana.
fmediana= frecuencia de la clase de la mediana.
C= Tamaño del intervalo de clase.
Moda.
Es el valor que ocurre con mayor frecuencia.
Nota 1: La moda puede no existir, cuando esto ocurre recibe el nombre de
moda inexistente.
Nota 2: Cuando la moda se presenta una vez recibe el nombre de unimodal.
Nota 3: Si la moda se presenta dos veces entonces se llama bimodal. Si se
presenta tres veces ó más se llama polimodal.
Ejemplos:
De acuerdo con los enunciados indique el tipo de moda que corresponde:
a) 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 15
Solución: Unimodal 9
b) 7, 3, 4, 16, 9, 20
Solución: Moda inexistente
c) 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9.
Solución: bimodal 4
Moda para datos agrupados:
moda=L1+( ∆1∆1+∆2 )C
L1= Frontera inferior de la clase modal
∆1= Diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase inferior
inmediata.
∆2= Diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase superior
inmediata.
C= Tamaño del intervalo de clase
Ejercicios:
1. Encuentren la media, mediana y la moda de los siguientes conjuntos de
números:
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
Números ordenados: 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9
Media=x=2+2+3+5+5+5+6+6+8+9
10=5110
x=5.1
Mediana= 5
Moda= Unimodal 5
b) 51.6; 47.8; 50.3; 49.5; 48.9
Números ordenados: 47.8; 48.9; 49.5; 50.3; 51.6
Media= x=47.8+48.9+49.5+50.3+51.6
7=248.1
7
x=49.62
Mediana= 49.5
Moda= Moda inexistente
2. Encuentre la mediana para datos agrupados cuando L1= 280, N= 65,
(∑f)= 17, fmediana= 12, C=9.
mediana=L1+( N2 −(∑ f )1fmediana )C
mediana=280+( 652 −(17 )1
12 )9mediana=280+(32.5−1712 )9mediana=291.625
3. Obtenga el tamaño del intervalo de clase para los siguientes datos:
Moda= $277.50
L1= $269.99
Δ1=16-10
Δ2=16-14
moda=L1+( ∆1∆1+∆2 )C
Solución:
C=moda−L1
∆1∆1+∆2
C=277.50−269.9968
C=7.510.75
C=10.013
Relaciones empíricas entre media, mediana y moda.
Para curvas de frecuencia unimodales que sean moderadamente sesgadas o
asimétricas se presenta la siguiente relación empírica:
media−moda=3 (media−mediana)
Ejemplos:
Del ejercicio anterior numero 1 verificar si se cumple la relación empírica entre
media, mediana y moda:
a) media−moda=3 (media−mediana)
5.1−5=3(5.1−5)
0.1=0.3 No se cumple la relación entre las 3 variables
La Figura 1 y la Figura 2 nos indican las posiciones relativas de la media, la
mediana y la moda para curvas de frecuencia sesgadas a la derecha o a la
izquierda respectivamente.
Figura 1:
Figura 2:
Nota: Si tuviéramos curvas simétricas entonces quiere decir que los valores de
la media, la mediana y la moda coinciden.
La Media Geométrica (G).
Se representa con la letra mayúscula G de un conjunto de N números positivos
que van desde x1, x2, x3…xN y se obtiene multiplicando cada uno de los datos
para después extraer la raíz N-esima del total de los datos.
G=N√ (x1 ) (x2 ) (x3 )… (xN )
De acuerdo con los datos del problema 1 obtenga la Media Geométrica:
a) G=10√ (2 ) (2 ) (3 ) (5 ) (5 ) (5 ) (6 ) (6 ) (8 ) (9 )
G=4.56
b) G= 5√(47.8 ) (48.9 ) (49.5 ) (50.3 ) (51.6 )
G=49.60
La Media Armónica (H)
Representada por la letra mayúscula H de un conjunto de números positivos x1,
x2, x3…xN y es el reciproco de la sumatoria de cada uno de los datos y está
representada como sigue:
H= N
∑ 1x
Ejemplo:
Encontrar la media armónica para el siguiente conjunto de datos: 2, 4, 6.
Solución:
H= 312+14+16
H= 398
H=2
Ejercicios:
De acuerdo con los datos del problema 1 encuentre la media armónica:
a)H= 10
12+12+13+15+15+15+16+16+18+19
H= 10901360
H=3600901
=3.99
b)H= 5
147.8
+148.9
+149.5
+150.3
+151.6
H= 5.101
=49.5
Media Cuadrática (MC).
La Media Cuadrática de un conjunto de números en ocasiones se llega a
simbolizar √ x2 y por definición se representa de la siguiente forma:
MC=√∑j=1N
x j2
N=√∑ x2
N
Ejercicios:
Relación entre la media aritmética, le media geométrica y la media
armónica.
La media geométrica de un conjunto de números positivos x1, x2, x3...xN es
menor o igual a su media aritmética pero es mayor o igual a su media armónica
es decir: H≤G≤X.
Ejemplos:
Encuentre la H, G y X de los siguientes datos:
a) 2, 3, 4
Solución:
1. H= 3
12+14+18
= 378
=247
=3.42
2. G= 3√(2 ) (4 ) (8 )=4
3. x=2+4+83
=143
=4.66
Quartiles, Deciles y Percentiles.
En primera instancia existen dos formas de obtener los quartiles, deciles, y
percentiles, la primera es para datos sueltos y la segunda para datos
agrupados.
Para datos sueltos es la siguiente, necesitamos ordenar los datos en forma
creciente de magnitud.
De manera que el punto medio recibe el nombre de Mediana.
Extendiendo esta idea al conjunto de datos que lo divide en cuatro partes
iguales recibe el nombre de Quartil.
Nuevamente el conjunto de datos que divide en 10 partes iguales recibe el
nombre de Decil.
Finalmente el conjunto que divide en 100 partes iguales recibe el nombre de
Percentil.
1 100
Para datos agrupados se representa de la siguiente forma:
UNIDAD III MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Dispersión o variación
La dispersión o variación de los datos es el grado en el que los datos
numéricos tienden a espaciarse alrededor de un punto medio o de un valor
promedio, entre los más comunes podemos mencionar: El rango, el rango
modificado, la desviación media, la desviación estándar, la varianza, etc.
Rango
El rango se define de la diferencia del dato mayor menos el dato menor o
viceversa, (menor menos mayor) se deberá ubicar en dos líneas verticales,
cuyo significado es valor absoluto.
Range=¿datomayor−datomenor∨¿
Ejemplo:
Calcule el rango de los siguientes datos: 2, 15, 8, 3, 9, 4, 4, 4, 4, 4, 6
Solución:
Range=|15−2|=13
Rango semiintercuartilar
También se le conoce con el nombre de desviación cuartilar y se denota con la
letra Q
Q=Q3−Q12
Ejercicio:
Calcule el cuartil 1
Q=11.25
Q3=268.25
Q1=?
Solución:
Q (2 )−Q3=−Q1
(11.25 ) (2 )−268.25=−Q1
22.5−268.25=−Q1
−245.75=−Q1
Q1=245.75
Rango percentilar 10-90
Se caracteriza por la diferencia de percentiles y se define como:
Rango percentilar 10−90=P90−P10
Ejercicio: Calcule el rango percentilar 10-90:
P10=62.5+518
(3)
P90=68.5+2527
(3)
Solución:
Rango percentilar 10−90=[68.5+ 2527 (3 )]−[62.5+ 518 (3 )]Rango percentilar 10−90=[71.28 ]−[63.34 ]
Rango percentilar 10−90=7.94
Rango semipercentilar
También se le conoce como rango modificado, se define como:
Rangomodificado=12(P90−P10)
Ejemplo:
Con los datos del ejercicio anterior, obtén el dato semipercentilar
Rangomodificado=12(7.94)
Rangomodificado=3.97
La desviación media D.M.
Se le conoce con el nombre de desviación promedio de un conjunto de N datos
que van desde X1 hasta X N
D .M=∑j=1
N
│ x−x│
N=
|x−x|N
Ejemplo:
Calcule la desviación media de:
a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Solución:
a) x=3+5+6+7+10+12+15+18
8=768
=9.5
D .M=|3−9.5|+|5−9.5|+|6−9.5|+|7−9.5|+|10−9.5|+|12−9.5|+|15−9.5|+|18−9.5|
8
¿ 6.5+4.5+3.5+2.5+0.5+2.5+5.5+8.58
=348
=4.25
b) x=3+8+8+8+9+9+9+18
8=728
=9
D .M=|3−9|+|8−9|+|8−9|+|8−9|+|9−9|+|9−9|+|9−9|+|18−9|
8
¿ 6+1+1+1+0+0+0+98
=188
=2.25
Si x1 , x2,…., xk ocurren con frecuencias f 1 , f 2 ,…. , f k respectivamente, la
desviación media puede expresarse:
D .M=∑j=1
K f j|x j−x|N
Ejemplo:
Calcule la desviación media para datos agrupados de acuerdo con los datos de
la tabla:
Dato x=67.50
Pulgadas
Marca de
clase
(x)
|x−x| f f|x−x|
60-62 61 6.5 5 32.5
63-65 64 3.5 18 63
66-68 67 0.5 42 21
69-71 70 2.5 27 67.5
Solución:
DM=32.5+63+21+67.55+18+42+27
=18492
=2
La desviación estándar
Se representa con la letra s y existen dos formas para diferenciarlas:
S→Muestra
σ→Población
Para datos sueltos:
S=√∑j=1N
(x j−x )2
N=√∑ ( x−x )2
N
Para datos agrupados
S=√∑j=1K
f j (x j−x )2
N=√∑ f ( x−x )2
N
Ejercicio:
Calcule la desviación estándar de:
a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Solución:
a) x=9.5
S=√ (12−9.5 )2+ (6−9.5 )2+ (7−9.5 )2+ (3−9.5 )2+ (15−9.5 )2+ (10−9.5 )2+(18−9.5 )2+(5−9.5 )2
8
S=√ 6.25+12.25+6.25+42.25+30.25+0.25+72.25+20.258=√ 1908 =√23.75=4.87
b) x=9
S=√ (9−9 )2+(3−9 )2+(8−9 )2+ (8−9 )2+ (9−9 )2+ (8−9 )2+ (9−9 )2+ (18−9 )2
8
S=√ 0+36+1+1+0+1+0+818=√ 1208 =√15=3.87
Ejercicio: Calcule la desviación estándar para datos agrupados de acuerdo con
los datos de la tabla:
Dato x=67.50
Pulgadas
Marca de
clase
(x)
|x−x|2 f f|x−x|2
60-62 61 42.25 5 211.25
63-65 64 12.25 18 220.5
66-68 67 0.25 42 10.5
69-71 70 6.25 27 168.75
Solución:
S=√ 211.25+220.5+10.5+168.755+18+42+27=√ 61192 =√6.64=2.58
Métodos cortos para el cálculo de la desviación estándar
También se les conoce con el nombre de métodos de codificación, en donde la
formula 1 y 3 se utilizan para datos sueltos y las restantes para datos
agrupados.
1)S=√∑j=1N X j
2
N−(∑j=1
N
X j
N)2
=√∑ X2
N−(∑ X
N )2
2)S=√∑j=1K f j X j
2
N−(∑j=1
K
f j X j
N)2
=√∑ f X2
N−(∑ f X
N )2
3)S=√∑j=1N d j2N
−(∑j=1N
d j
N)2
=√∑ d2
N−(∑ d
N )2
4)S=√∑j=1K f jd j2N
−(∑j=1K
f jd j
N)2
=√∑ f d2
N−(∑ fd
N )2
5)S=c√∑j=1K f ju j2N
−(∑j=1K
f ju j
N)2
=c √∑ f u2
N−(∑ fu
N )2
Ejercicio:
Calcular la desviación estándar aplicando una de las 5 formulas para cada
tabla:
1)
Pulgadas f M.C x2 f X2
60-62 5 61 3721 18605
63-65 18 64 4096 73728
66-68 42 67 4489 188538
69-71 27 70 4900 132300
72-74 8 73 5329 42632
=100 =455803
Solución:
S=√ 455803100−( 6745100 )
2
=√4558.03−4549.5025=√8.5275=2.92
2)
Pulgadas f d=X-A fd f d2
60-62 5 -6 -30 180
63-65 18 -3 -54 162
66-68 42 0 0 0
69-71 27 3 81 243
72-74 8 6 48 288
=100 =45 =873
Solución:
S=√ 873100−( 45100 )2
=√8.73−0.2025=√8.5275=2.92
3)
Pulgadas f U= X−Ac
fU f U 2
60-62 5 -2 -10 20
63-65 18 -1 -18 18
66-68 42 0 0 0
69-71 27 1 27 27
72-74 8 2 16 32
=100 =15 =97
Solución:
S=3√ 97100−( 15100 )2
=3√0.97−0.0225=2.92
Varianza
La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la
desviación estándar.
Ejemplo:
Varianza= (2.92)2=8.5264
Comprobación de Charlier
Utiliza las siguientes dos identidades
∑ f (u+1 )=∑ fu+∑ f=∑ fu+N
∑ f (u+1 )2=∑ f (u2+2u+1 )=∑ f u2+2∑ fu+∑ f=∑ f u2+2∑ fu+N
Ejercicio:
Utilice la comprobación de Charlier.
x u f fu fu2
70 -6 4 -24 144
74 -5 9 -45 225
78 -4 16 -64 256
82 -3 28 -84 252
86 -2 45 -90 180
90 -1 66 -66 66
94 0 85 0 0
98 1 72 72 72
102 2 54 108 216
106 3 38 114 342
110 4 27 108 432
114 5 18 90 450
118 6 11 66 396
122 7 5 35 245
126 8 2 16 128
N=480 fu=236 fu2=3404
Solución:
∑ f (u+1 )=∑ fu+N
∑ f ' (u+1 )=716
¿236+480=716
∑ f (u+1 )2=∑ f u2+2∑ fu+N
∑ f (u+1)2=4356
=3404+2 (236 )+480=4356
Corrección de Sheppard
Esta formula se aplica cuando existe un calculo en la desviación estándar, el
cual presenta cierto grado de error ocasionado por el agrupamiento de los
datos.
Varianzacorregida=Varianzade datos agrupados− c2
12
Varianzacorrecta=√Varianzac orregida
Ejemplos:
1) s2=8.5273c=3
Varianza corregida=8.5273− 32
12=8.5273−0.75=7.7773
Varianzacorrecta=√7.7773=2.79
2) s2=243.41c=10
Varianzacorregida=243.41−102
12=243.41−8.33=235.07
Varianzacorrecta=√235.07=15.33
3) s2=109.60c=4
Varianzacorre gida=109.60− 42
12=109.60−1.33=108.27
Varianza correcta=√108.27=10.43
Relaciones empíricas entre medidas de dispersión:
Reciben el nombre de relaciones empíricas aquellas formulas que presenten
los siguientes puntos.
a) Tengan desviación estándar (Para efectos de cálculos)
b) Sea para distribuciones moderadamente sesgadas a la izquierda o a la
derecha (Para efectos de graficación)
Y se definen como:
D .M=45S
Rango semiintercuartilar=25(Desviaciónestándar)
Variable estandarizada
Es la variable que mide la desviación estándar con respecto de la media
aritmética, teniendo unidades adimensionales (carente de unidades)
Se representa de la siguiente forma:
z= x−xs
Donde:
z= Variable estandarizada
X= Valor cualquiera
x= Media aritmética (Promedio)
s=Desviación estándar
Coeficiente de dispersión absoluta y relativa
La dispersión o variación real es determinada a partir de la dispersión estándar
u otra medida de dispersión, recibe el nombre de dispersión absoluta y se
obtiene por simple inspección, es decir comparando dos datos.
Para obtener la dispersión relativa se requiere la dispersión absoluta mayor o
menor según sea el caso, dividido entre alguna medida de tendencia central y
su resultado se expresa en porcentaje.
Dispersiónrelativa=Dispersión absolutaPromedio
×100
Coeficiente de Variación
Se expresa con la letra mayúscula (V) y al igual que el anterior su resultado
debe estar escrito en porcentaje.
Coeficiente de variación (V )= sx
Ejemplos:
1) Calcule la desviación media para los siguientes datos:
a) 3.2, 3, 4.6, 2, 2.8, 1, 5.2, 7, 4.4, 5
Solución:
x=3.2+3+4.6+2+2.8+1+5.2+7+4.4+510
=38.210
=3.82
D .M=|3.2−3.8|+|3−3.8|+|4.6−3.8|+|2−3.8|+|2.8−3.8|+|1−3.8|+|5.2−3.8|+|7−3.8|+|4.4−3.8|+|5−3.8|
10
D .M=|0.6|+|0.8|+|0.8|+|1.8|+|1|+|2.8|+|1.4|+|3.2|+|0.6|+|1.2|
10=14.210
=1.42
2) Con los datos del ejercicio anterior, calcule:
a) Rango
Range=¿datomayor−datomenor∨¿
Range=|7−1|=6
b) Desviación estándar
x=3.82
S=√ (3.2−3.8 )2+(3−3.8 )2+(4.6−3.8 )2+(2−3,8 )2+(2.8−3.8 )2+ (1−3.8 )2+(5.2−3.8 )2+(7−3.8 )2+(4.4−3.8 )2+ (5−3.8 )2
10
S=√ 27.71610=√2.7716=1.66
3) Aplique la formula 1 de métodos cortos para calcular su desviación
estándar.
70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118
Solución:
S=√ 702+742+782+822+862+902+942+982+1022+1062+1102+1142+118213−( 122213 )
2
S=√ 11778013− (94 )2=√9060−(8836 )=√224=14.97
4) Si el valor de la D.M.=12.90 y el rango semiintercuartilar es igual a 95.97
encontrar el valor de la desviación estándar.
UNIDAD 4
MOMENTOS, ASIMETRIA Y CURTOSIS
Momento:
Pueden ser utilizados en la aplicación de matriz, costo, utilidad, venta etc.
Si los valores X1, X2, Xn de la variable X se define como N los valores y la expresión es:
xr=∑i=1
N
x ir
N=x1
r+x2r+xn
r
mr=∑i=1
N
(¿ x i−x)
N=∑(¿x−x)
m
N¿¿
m1=∑i=1
N
¿¿¿ = ∑ ¿¿¿
1) 2,3,7,8,10 A= 6 B= 45.2 c = 378 d= 3,318.8
x1=21+31+71+81+101÷5=6
x2=22+32+72+82+102÷5=45.2
x3=23+33+73+83+103÷5=378
x4=24+34+74+84+104÷5=3318.8
2) 2, 3, 7, 8, 10 4 momentos 1=0 2=9.2 3= 3.6 4=122
m1=(2−6 )1+(3−6 )1+ (7−6 )1+ (8−6 )1+ (10−6 )1÷5
m1 = 0
m2=(2−6 )2+(3−6 )2+(7−6 )2+(8−6 )2+(10−6 )2÷5
m2 = 9.2
m3=(2−6 )3+(3−6 )3+(7−6 )3+(8−6 )3+(10−6 )3÷5
m3 = 3.6
m4=(2−6 )4+(3−6 )4+ (7−6 )4+(8−6 )4+ (10−6 )4÷5
m4 = 122
3) Cuando A = 4 I=2 2=13.2 3=59.6 4=330
m1=(2−4 )1+ (3−4 )1+(7−4 )1+ (8−4 )1+(10−4 )1÷5
m1 = 2
m2=(2−4 )2+ (3−4 )2+(7−4 )2+ (8−4 )2+(10−4 )2÷5
m3 = 13.2
m3=(2−4 )3+ (3−4 )3+(7−4 )3+(8−4 )3+ (10−4 )3÷5
m3 = 59.6
m4=(2−4 )4+ (3−4 )4+ (7−4 )4+(8−4 )4+(10−4 )4÷5
m4 = 330
Momentos Datos Agrupados
xr=∑i=1
k
f i x ir
N=f 1 x1
x+ f k xkr
N
mr=∑i=1
k
f i ¿¿¿
mr=∑i=1
k
f i ¿¿¿
Momentos adimensionales
ar= mr
√m2r
a1= 01
√120 = 0
a2= 02
√9.222=1
a3= 03
√9.223
a 4= 04
√9.224
Relaciones entre momentos
m2=m21−m1
12
m3=m31−3m1
1m21+2m1
13
m4=m41−4m1
1m21+2m1
14
m2=13.2− (22 )
m2 = 9.2
m3=59.6−(3 (2 )(13.2))+2¿
m3 = 3.6
m4=330−4 (12(13.2))+6¿
m4 = 122
Cálculo de momentos para datos agrupados
Método de codificación, utilizado para el cálculo de los
x U f fu fu2 fu3 f461 -264 -167 070 173 0
4 momentos
M 1r=cr∑ f ur
N
x U f fu fu2 fu3 fu470 -6 4 24 -144 864 -518474 -5 9 45 -225 1125 -562578 -4 16 64 -256 1024 -409682 -3 28 84 -252 756 -226886 -2 45 90 -180 360 -72090 -1 66 66 -66 66 -6694 0 85 0 0 0 098 1 72 72 72 72 72
102 2 54 108 216 432 864106 3 38 114 342 1026 3078110 4 27 108 432 1728 6912114 5 18 90 450 2250 11250118 6 11 66 396 2376 14256122 7 5 35 245 1715 12005126 8 2 16 128 1024 8192
∑ 480 240 3,404 6,428 74,528
m11=41( 236480 ) = 1.96
m21=42( 3,464480 ) = 113.46
m31=43( 6,428480 ) = 857.06
m31=44(74,588480 ) = 3,978.02
Comprobación de Charlier
∑ f= (u+1 ) = ∑ fu+N
∑ f= (u+1 )2 = ∑ f u2+2∑ fu+N
∑ f= (u+1 )3 = ∑ f u3+3∑ f u2+3∑ fu+N
∑ f= (u+1 )4 =∑ f u4+4∑ f u3+6∑ f u2+4∑ fu+N
Corrección de Sheppard
m2 Corregido = m2 - 112c2
m4 Corregido = m4 - 112c2m 2+ 7
240c4
El m1 y el m3 no requieren corrección
A) m2 = 8.5275 C=3m4 = 199.3759
m2 = 8.5275 - 112
(9) m2C = 7.7775
m2 = 199.3759 - 112
(9) (8.5275) + 7240
(81)
m4C = 163.3646
B) m2 = 109.5488 C=4m4 = 35,627.2853
m2c = 109.5488 - 112
(16) m2C = 108.2654
m2 = 109.5488 - 112
(16) (109.5488) + 7240
(256)
m4C = 34,757.9615
ASIMETRIA
Es la ausencia o distorsión de la simetría de una distribución. Si la curva de la “f” para una distribución tiene una cola más larga que la derecha, que hacia la izquierda, entonces esta sesgada a la derecha o tiene sesgo positiva. Si es al revés, tiene sesgo a la izquierda y la asimetría es negativa.
1° y 2° coeficientes de asimetría del Pearson.
1° = x−Moda
s
2° = 3(x−Moda)
s
65 empleados Media = $279, 76 Mediana = $79.06Moda = $277.50 D.E. 15.60
1° = 279.76 –277.50
15.62° =
3(279.76−79.06)15.6
1° = $0.1448 2° = $ 38.5961
En términos de Cuartiles y Percentiles
CoeficienteDe asimetría =Cuartilar
CoeficienteDe asimetría =Perceptilar
Coeficiente de momento
De asimetría: m3
√m23
A) Q1 = $268.25 Q2 = P50 = $279.06 Q3= $290.75P10 = P1 = 258.12 P40 = Dq = 301
=290.75−2 (279.06 )+268.25
290.75−268.25 = $.03911
=301−2 (279.06 )+258.12
301−258.12 = $0.0233
B) M3 = -2.69 M2 = 8.53
= .69
√(8.53 )3
CURTOSIS
Puntiaguda es la distribución
Leptocúrtica Plantoecúrtica Mesocúrtica
Coeficiente de
Momento m 4
m22
De curtosís
Percentil y Cuartil
k= QP90−P10
UNIDAD 5
Relación entre variables
Para ecuaciones de 1° grado con 2 incógnitas
A= método de eliminación por igualación.
B= método por sustitución
C= método por reducción o suma y resta
D= método de Cramer
Para ecuaciones de 3 incognitas
E= método de triangulación
F= método Gauss Jordan
G= método de determinantes o cofactores
H= regla de Sarrus
A=2a+b=107a−3b=9 B=
3a+5b=242a+3b=14 C=
8 x−3 y=2 (7)3 x+7 y=−9 (3)
b=10−2a 56 x−21 y=149 x+21 y=−27
b=9−7 a−3 65x=-13
10−2a=9−7a−3
x=-13/65
X=−15
D= 5 A−9B=−103 A−4B=16 X=
c 1b2−c 2b1a1b2−a2b1
Y= a1c 2−a2c1a1b2−a2b1
ELIMINACIÓN GAUSSIANA
x−4 y−z=62 x+5 y−7 z=−93 x−2 y+z=2
(1 4 −12 5 −73 −2 1 |692)(−2)(−3)
(1 4 −10 −3 50 −14 4 | 6
−21−16)(−13 )
X=1Y=2Z=3
Para generar unos, el reciproco (no camba signo) se multiplica por cada elemento de fila hilera o renglón.
Para 0 se utiliza inverso (cambio de signo), se da en la fila do0nde hay 1 luego se multiplica por cada fila y el R= se suma el resta en la fila donde 0.
(1 4 −10 1 5 /30 −14 4 | 67−16)(4)
(1 4 −10 1 5 /30 −14 82 /3| 6782)( 382 )
(1 4 −10 1 5/30 0 1 |673)
Z=3
Y+5/32=7 x+4y-2= 6
X= 1
Y=5=7
Y=2
5 x+2 y+3 z=−52x−3 y−6 z=1x+5 y−4 z=22
(1 5 −42 −3 −65 2 3 | 221−5) (−2 )(−5)
(1 5 −40 −13 20 −23 23 | 22−43
−115)(−1/13)
(1 5 −4
0 1−213
0 −23 23| 224313−115
) (23 )
(1 5 −4
0 1−23
0 025313
| 224313
−50613
)( 13253 )
(1 5 −40 1 −2/30 0 1 | 22
43 /13−2 )
Z= -2
y− 213 (−2 )
=43 /13
y=4313
−4/13
y=3
x+5 (3 )−4 (−2 )=22x=22−15−8
x=−1
MÉTODO DETERMINANTES
X= det . |x|det . |D|
=−82−82
=1
Y= det . |y|det . |D|
=−164−82
=2
Z=det . |z|det . |D|
=−246−82
=3
x∓ 4 y−2 z=62 x+5 y−7 z=−93 x−2 y+z=2
det . ¿
5-84+4+15-14-8=-82
det . ¿
det . ¿=-164
det . ¿
X+4Y−Z=62 X+5Y−7 Z=−93 X−2Y +Z=2
det .|D|=|1 4 −12 5 −7312
−245
2−1−7
|=−82
det .|x|=| 6 4 −1−9 5 −726
−9
−245
2−1−7
|=−82
det .|y|=|1 6 −12 −9 −7312
26
−9
2−1−7
|=−164
det .|z|=|1 4 62 5 −9312
−245
26
−9|=−246
X= −82−82
Y= −164−82
Z= −246−82
X=−1000−898
=500449
Y=−976−898
=488449
Z=226
−898=−113449
Sarrus
2-4+16 x−195
=-y
10-x−228
=2 y−1
4z+3y=3x-y
16 x+5 y+2=23−x−16 y−22=−18−3 x+4 y+42=0
det .|D|=|16 5 1−1 −16 −2−316−3
45
−16
41
−2|=−898
et .|X|=| 23 5 1−18 −16 −2023
−18
45
−16
41
−2|=−1000
et .|y|=|16 23 1−1 −18 −2−316−1
023
−18
412
|=−976
et .|Z|=|16 5 23−1 −16 −18−316−1
45
−16
023
−18|=226
Gauss
2a−2=−b+c3a−4b+2c=44 a+3b−5c=−8
2a+b−c=23a−4b+2c=44 a+3b−5c=−8
(2 1 −13 −4 24 3 −5|248)(1/2)
(1 1/2 −1 /23 −4 24 3 −5 |148) (−3 )(−4)
(1 1/2 −1/20 −11 /2 7/20 1 −3 | 1
1−12)
(1 1/2 −1/20 1 −30 −11 /2 7/2 | 1
−121 ) (11/2 )
(1 1/2 −1/20 1 −30 0 −13 | 1
−12−65) (−1/13 )
(1 1/2 −1/20 1 −30 0 1 | 1
−125 )
C=5 x+1/2(3)-1/2(5)=1
Y-12+5 x=1-3/2+5/2
b= 3 a= 2
Determinantes
5 x+2 y+32=−52x−3 y−62=1x+5 y−42=22
det . |D|=|5 2 32 −3 −61 5 −4
5 22 −31 5 |=60-12+30+9+150+16=253
det . |x|=|−5 2 31 −3 −622 5 −4
−5 21 −322 5 |=60-264+15+198-150+8=253
det . |y|=|5 −5 32 1 −61 22 −4
−5 −52 11 22|=-20+30+132-3+660-40=759
det . |z|=|5 2 −52 −3 11 5 22
5 22 −31 5 |=-330+2-50-15-25+88=-506
X=253
−253=−1
Y=759253
=3
Z=−506253
=−2
Gauss Jordan
3u−5 v+6w=75u+3 v−2w=−14 u−8 v+10w=11
MÉTODO DE CORRELACIÓN
Con el uso de técnicas como las que vimos antes. Para determinar la ecuación que relacione variables.
X y Y denotan estaturas y pesos de adultos con una muestra n, se representa:
Estaturas PesosX1, X2, X3, XN Y1, Y2, Y3, YN
Gráfica puntos (x1, y1), (x2, y2), (Xn,Yn), en un eje rectangular.Se unen los puntos cuyo R=, se llama “diagrama de dispersión.”A partir del diagrama, se pueden ajustar los tipos de curva, mediante métodos vistos antes.
Eje:
Figura A Figura B
Parece línea recta visualiza la dirección/2 variables
Figura A relación lineal entre dos variables figura B relación de variables no lineal
El problema general. Para encontrar ecuación de curvas de aproximación que se ajusten al conjunto de datos = ajuste de curvas.
ECUACIONES DE CURVAS DE APROXIMACION
Se presentan curvas de aproximación para tener referencia.
X y Y = constantes
X y Y = variables dependientes e independientes
Y= a0+a1x
181716151413121110
987654321
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A= línea recta con los datos
x 2 3y 1 3
5 7 97 11 15
1017
B= ecuación para
1=a0+a13=a0+a1
23
a0+2a1=1(−3)a0+3a1=3(2)
−3a0−6a1=−32a0+6a1=6
−a0=3
a0=−3
−3+2a1= 1+3
2a1=1+3
7=a0+a15
11=a0+a17
y=−3+2x
y=2x−3
a1=2
x 1 3y 1 2
4 6 84 4 5
9 11 147 8 9
1= a0+a1 1
2=a0+a1 3
a0+a1=1(−3)
a0+3a1=2(1)
−3a0- 3a1=-3
a0+3a1=2
−2a0=-1
a0=−1−2
a0=0.5
RECTAS DE REGRESIÓN DE MINIMOS CUADRADOS
Se considera que la recta es la relación de dos variables
∑ y=a0N+a1∑ x
∑ xy=a0∑ x+a1∑ x2
a0=N∑ xy−¿¿¿
De x sobre y
X= b0+b1 y
∑ x=b0 N+b1∑ y
∑ xy=b0∑ y+b1∑ y2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
b0=¿¿
La tabla muestra
x 65 63y 68 66
67 64 6868 65 69
62 70 6666 68 65
68 67 6971 67 68
7170
X y x2 y2 xy
65 68 4225 4624 4420
63 66 3969 4356 4158
67 68 4489 4624 4556
64 65 4096 4225 4165
68 69 4624 4761 4692
62 66 3844 4356 4092
70 68 4900 4624 4760
66 65 4356 4225 4290
68 71 4624 5041 4828
67 67 4489 4489 4489
69 68 4761 4624 4692
71 70 5041 4900 4970
811=a0+a1800
5410=a0811+a153148
12a0+800a1=811 (-800)
800a0+53418a1=54107 (12 )
-9600-640000a1=−648800
9600+641016a1=649284
1016a1=484
a1=0.48
a0=35.82
Y = 35.82+0.48x