Razonamiento Cuantitativoaplicado a la

Economa Chilena

Alejandro CorvalanUniversidad Diego Portales

Marzo, 2015

Apunte Preliminar, no distribuir

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Contents

I Metodos Basicos 5

1 Dimensiones y Unidades 61.1 Magnitudes, Dimensiones y Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Flujos y Stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Reglas del Analisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Dimension de la Derivada: Capital e Inversion . . . . . . . . . . . . . 131.5 Variables adimensionales: Tasa de Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Analisis Dimensional 182.1 Parametros y Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Dividiendo Decisiones con Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Transformacion de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Ordenes de Magnitud 273.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Base 10 y Notacion Cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 El Tamano del Exponente Importa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Billonarios and Billionaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Logartimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Usando Numeros Grandes 374.1 Uso de Numeros Grandes en Economa . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Aproximacion a Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Operaciones con Ordenes de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Calculando Numeros Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 PIB y PIB per capita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Calculo y Aproximacion 475.1 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Aproximaciones del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Aproximacion a Primer Orden del Producto . . . . . . . . . . . . . . 52

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5.4 Aproximacion del Cuociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5 Impuestos y Subsidios: Efectos sobre la Desigualdad . . . . . . . . . . 575.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

II Estimacion Informal 61

6 Elementos Basicos 626.1 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2 Principios Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Estimacion desde los extremos: promedio geometrico . . . . . . . . . 676.5 Propagacion del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7 Distancias y Superficies 717.1 Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2 Estimaciones con Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.3 Superficies: Pases y Regiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.4 Superficies: Ciudades y Areas Urbanas . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.5 Estimaciones con Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8 Estimacion de Fermi 828.1 Enrico Fermi y el Problema de los Pianos . . . . . . . . . . . . . . . . 828.2 Estimacion de Fermi y Economa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.3 Estimacion de Profesionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.4 Estimacion de Bienes y Servicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.5 Estimacion del Costo de Infraestructura . . . . . . . . . . . . . . . . 898.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9 Estimacion de Flujos 929.1 Motivacion: numero de bebes en EEUU . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.2 Poblacion por ano de edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.3 Aproximacion por Agrupamiento: analisis comparado . . . . . . . . . 969.4 Estimaciones con Flujos de Poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

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10 Estimaciones de Polticas Publicas 10110.1 Empleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.2 Votantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.3 Educacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.4 Estimaciones Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

III Funciones 112

11 Funciones Lineales 11311.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11311.2 La Funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11511.3 Calculando una Funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.4 Graficando una Funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11811.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12 Linealidad y No-linealidad 12212.1 Argumentos Lineales y No-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12212.2 Argumentos Contrarios a la Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 12412.3 Extrapolando la Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12512.4 Aplicacion: Numero de Parlamentarios en Chile . . . . . . . . . . . . 12712.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

13 Funciones No Lineales 13113.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13113.2 Funcion Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13213.3 Funciones por Trozos (piecewise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13413.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

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Part I

Metodos Basicos

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1 Dimensiones y Unidades

1.1 Magnitudes, Dimensiones y Unidades

Todas las variables economicas - el PIB, la inflacion o el salario mnimo - sonvariables dimensionales. Es decir, cada una de estas variables tiene asociada unadeterminada dimension, que se mide por una o varias unidades dimensionales. As,una variable economica tiene la siguiente forma:

Variable = Magnitud [unidad dimensional]

donde las unidades dimensionales se notan en parentesis cuadrado, del tipo [un.dim.].Notar que la dimension de una variable es una propiedad intrnsica de ella, es decir,es independientes de un determinado sistema de medida. Por el contrario, la unidaddimensional esta necesariamente referida a un sistema de medida en particular. Lamagnitud asociada a la variable depende, naturalmente, de la unidad dimensionalelegida.

Ejemplo 1.1: Altura Humana

La altura de una persona tiene dimensiones de distancia. Su unidad de medida escualquier unidad de distancia, digamos [km] o [cm], [millas], [pies], etc. La magnitudque acompana la altura de una persona esta depende de la unidad en que se exprese.Por ejemplo, todas las siguientes formas de expresar una altura H son equivalentes:

H = 1800[mm]

= 1.8[m]

= 0.0018[km]

Aunque equivalentes, el ejemplo anterior muestra que ciertas unidades son mejores -en el sentido que no tenemos que escribir tantos ceros - para expresar ciertas variables.En el ejemplo, la altura humana esta mejor medida en [metros]. Pero nada impideque lo hagamos en cualquier otra unidad de distancia, como [mm] o [km].

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Ejemplo 1.2: Precio de un Bien

El precio de un bien tiene dimensiones de dinero sobre cantidad. Su unidades cualquier combinacion de unidades de dinero, o unidades monetarias (las cualespodran depender, por ejemplo, del pas en que se anuncia ese precio; en este cursolas notaremos genericamente como [$]), sobre unidades del bien (que dependen deque unidades se usen para medir la cantidad de ese determinado bien). Por ejemplo,las unidades para el precio de un auto en EEUU, el precio de los tomates en Espanay el precio de la energa en Chile estan dados por:

[pa] = [usd/auto]

[pt] = [eur/kg]

[pe] = [clp/KwH]

Las unidades monterias corresponden a las de cada pas. Las unidades en el denom-inador corresponde a las unidades de venta del bien: por unidad en el caso de losautos, por peso en el caso de los tomates y por kilowatt-hora en el caso de la energa.

Ejercicio 1.1: Crecimiento del pelo (del libro Innumeracy, de John A. Paulos;ver [9]).

Un profesor le pregunta a sus estudiantes cuanto crece el pelo de una persona en[kilometros por hora]. Uno de sus estudiantes le responde que: el pelo no crece enkm por hora.

- Comente esta respuesta. Por que es incorrecta?- Sin embargo, el comentario del estudiante s alude a un hecho cierto: el crec-

imiento del pelo y los [km/h] no parece muy relacionados. Podra refrasear el co-mentario del estudiante para indicar esto?

- Bonus: Cuanto crece el pelo en [km/h]?

1.2 Flujos y Stocks

Comprender que las variables economicas tienen dimensiones, y por tanto se midenen determinadas unidades dimensionales, evita un problema recurrente, cual es el decomparar peras con manzanas. El siguiente ejemplo muestra este punto.

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Ejemplo 1.3: Comparacion entre PIB y Riqueza (Mahajan, p1; ver [11])

Un crtico de la globalizacion afirmo lo siguiente:

El PIB de Nigeria, un pas relativamente fuerte en terminos economicos, es deusd 99 billones. La riqueza neta de Exxon es de usd 119 billones. Cuando unamultinacional tiene una riqueza neta mas alta que el PIB del pas donde opera, deque tipo de relaciones de poder estamos hablando?

Esta comparacion no es correcta pues estamos comparando dos variables - el PIBde Nigeria y la riqueza de Exxon - que tienen dimensiones distintas. La riquezacorresponde al valor monetario que se posee en un determinado momento. El PIB,en cambio, corresponde a la produccion de un pas, tambien medida en unidadesmontarias, en un determinado perodo de tiempo el cual tpicamente es un ano. Esdecir:

Riqueza = [u.monetaria]

PIB =[u.monetaria]

[u.tiempo]

El problema de comparar una medidad que esta definida en un momento fijo enel tiempo con otra que se produce durante un perodo temporal, es que este perodoes arbitrario. En el caso anterior, por que comparar la riqueza de Exxon con lo queproduce Nigeria en un ano? Segun indica Mahajan, supongamos que los economistasubiesen elegido la decada como la unidad temporal para medir el PIB, entonces elPIB de Nigeria sera de 1 trillon, mucho mas alto que el valor asociado a Exxon.

La incorrecta comparacion anterior, peras con manzanas, sugiere recordar la sigu-iente regla general: solo se pueden comparar variables que tienen las mismasdimensiones. Si las unidades dimensionales son las mismas, basta comparar lasmagnitudes. Pero aun se pueden comparar variables con distintas unidades dimen-sionales siempre que la dimension sea la misma (por ejemplo, un hombre que mide 6[pies] es mas alto que uno que mide 1.50[m]).

Adicionalmente, el Ejemplo 1.3 muestra una distincion muy importante en economa:aquella entre stock y flujo. Sus definiciones son las siguientes:

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- Una variable de stock es una cantidad que existe en un momento del tiempo, lacual ha sido acumulada en el pasado.

- Una variable de flujo, por el contrario, corresponde a la variacion de una canti-dad sobre una unidad de tiempo arbitraria. Su unidad dimensional, entonces, es decantidad sobre tiempo.

En el ejemplo anterior, la riqueza es un stock que se mide en unidades monetarias.El producto interno bruto PIB, unidades monetarias producidas en un ano, es ununidad de flujo. Las variables de stock no son comparables con las variables de flujo,dado que tienen dimensiones distintas.

1.3 Reglas del Analisis Dimensional

El analisis dimensional se basa en las reglas que siguen.

Regla 1. Solo se suman o restan variables que tienen la misma dimension

En economa, muchas veces que queremos sumar bienes. Por ejemplo, queremossaber cual es la produccion total del pas en una ano, lo cual implica sumar todos losbienes y servicios hechos en el pas. Supongamos que el pas produjo q1 peras y q2manzanas. La Regla 1 indica que la produccion total no puede escribirse simplementecomo q1 + q2, pues esta expresion no hace sentido dimensionalmente.

Para resolver el problema anterior, peras y manzanas deben llevarse a la mismaunidad de medida: unidades monetarias. Para eso, se multiplica la cantidad por suprecio, cuyas unidades son

precio = [$/q]

Los precios no son unidades monetarias [$], sino que estan divididos por la cantidada la cual se requiere el precio (ver ejemplo). Por lo tanto al multiplicarlas por unacantidad, resulta un nueva variables, el gasto, que s esta en unidades monetarias. Elgasto tiene sentido dimensional, pues antes de sumarse, las distintas variables fueron

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transformadas a una moneda comun: la moneda peso.

Gasto = p1q1 + p2q2

= [$/peras] [peras] + [$/manzanas] [manzanas]= [$]

La Regla 1 tiene una importancia adicional. Notemos que una igualdad de laforma a = b puede ser escrita tambien como a b = 0. Por lo tanto, la Regla 1tambion implica la siguiente regla: en una igualdad, ambos terminos debentener las mismas dimensiones.

Ejercicio 1.2: Tasa de Crecimiento

La variable economica que mide como cambia el PIB en el tiempo se denominatasa de crecimiento, y se nota como g. Existe un sencilla regla que aplica para tasasde crecimiento pequenas: si un pas crece a una tasa g, entonces dobla su productoen un tiempo T = 0.7/g. A partir de esta relacion, Que dimensiones tiene g? Si Tse mide en [anos], como se interpreta el valor de g en la ecuacion anterior?

Regla 2. Cantidades de distintas dimensiones pueden multiplicarse o dividirsesin problemas.

Variables con distintas dimensiones que se dividen o multiplican generan nuevasvariables. De hecho, en el caso anterior, la multiplicacion de una cantidad por unprecio genera la variable gasto. Asimismo, podemos definir la produccion total delpas o PIB por la poblacion de dicho pas, lo cual genera una nueva variable llamadaPIB per capita, la cual tiene unidades de [$/ ano persona].

Un caso particular es la division entre stocks y flujos. Si bien vimos que la com-paracion entre ellos no es correcta dimensionalmente, en economa muchas magnitudesse definen como el cuociente entre stock y flujo, o viceversa. En estos cuocientes, launidad de stock se simplifica, y por lo tanto su unidad es de tiempo o frecuencia(tiempo invertido). Veamos ambos casos.

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En primer lugar, la Razon Stock-Flujo tiene unidades de tiempo:

stock

flujo=

[u]

[u/T ]= [T ]

Ejemplo 1.4: Razon Deuda-Producto

La razon Deuda-Producto D/PIB: la deuda es una variabla de stock, que tieneunidades monetarias [$], y corresponde al monto adeudado en un determinado mo-mento. El PIB, o producto, como ya mencionamos, es una unidad de flujo y tieneunidades de [$/T ] donde T es medido en anos. El cuociente D/PIB tiene unidadesde tiempo. La interpretacion de esta razon, por lo tanto, debe hacerse en terminosde tiempo. En este caso, D/PIB corresponde al numero de anos que la producciondel pas demorara en pagar la deuda.

Ejercicio 1.3: Razon Precio-Ganancia

Considere los siguientes cuocientes:

- La razon entre el precio de una vivienda y su precio de arriendo. Indique quedimensiones, o unidades, tienen cada uno de esos precios. Indique la unidad de larazon entre ellos, e interprete esta razon en funcion de dicha unidad.

- La razon Precio-Ganancia (razon P/E, E por Earnings) corresponde al precio deuna accion de una determinada empresa, dividido por los beneficios netos anuales de lamisma empresa por cada accion. Indique las dimensiones de P , E y P/E. Interpretela razon Precio-Ganancia. Indicacion: razone de manera similar al ejercicio anterior.

La Razon Flujo Stock, por el contrario, tiene unidades de Frecuencia:

flujo

stock=

[u/T ]

[u]= [1/T ]

Ejemplo 1.5: Velocidad del Dinero

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La Velocidad del Dinero se define como nT valor nominal de todas las transac-ciones hechas en un perodo de tiempo (flujo) dividido por la masa monetaria M(stock)

V =nT

M

El resultado es una frecuencia. Veamos en un caso concreto: una granjero y unmecanico tienen $50 pesos entre ambos. Se realizan 3 transacciones en 1 ano: elgranjero compra un tractor al mecanico por $50, y el mecanico compra trigo por $40y carne por $10. La velocidad del dinero es 2[1/ano], dado que la cantidad de dineroque cambio de manos entre ambos es de $100. Esto indica que cada peso cambio demanos dos veces en el ano.

Regla 3. Los exponentes son unidades sin dimension

Una variable dimensional v no debiese introducirse como el argumento de unafuncion exponencial, exp(v), o logartmica, log(v). Las variables que son argumentosde estas funciones deben ser, necesariamente, a-dimensionales. Ver una discusiongeneral en [2], y aplicaciones a la economa en [8].

Ejemplo 1.6: Tasa de Interes

Consideremos que se presta una unidad 1 a una tasa de interes r. En un tiempoT se debe devolver

exp(1 + rT )

Cual es la unidad de una tasa de interes? Por la Regla 3, notamos que elexponente debe tener unidades a-dimensionales. Tambien podemos considerar laRegla 1, y observar que solo podemos sumar(1 + rT ) si tienen las mismas unidades,es decir, si rT es a-dimensional al igual que 1. Por lo tanto, la tasa de interes tieneunidad [1/T ].

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1.4 Dimension de la Derivada: Capital e Inversion

La derivada de una variable con respecto a otra es una medida de como vara laprimera variable con respecto a la segunda. Esta variacion tiene dimension igual a larazon entre las dimensiones de la variables originales. Es decir:

dx[u]

dy[v]=dx

dy

[uv

]La fsica provee el ejemplo mas conocido de dimensionalidad en derivadas. La

velocidad se define como la derivada de la posicion, que se mide en unidades dedistancia [D], con respecto del tiempo, medido en unidades de [T ]. La velocidad,entonces, tiene unidades de [D/T ]. Mas aun, la velocidad puede volver a derivarse,lo cual corresponde a derivar dos veces la posicion, variables que se denomina acel-eracion. La unidad de aceleracion, por lo tanto, es de [D/T 2]. La aceleracion degravedad, por ejemplo, es igual a 9.81[m/s2], donde [m] y [s] son metros y segundos,respectivamente.

En economa, las derivadas tienen aplicacion directa, pues segun indicamos, unavariable de flujos corresponde a la tasa de variacion de una variable de stock. As, siuna variable de stock en t se denomina Q(t), entonces su derivada temporal dQ(t)/dtes el flujo que determina el cambio de stock. Una ecuacion con derivadas, entonces,es una ecuacion que muestra los flujos de una determinada variables, y todos losterminos de la ecuacion deben tener unidades de flujo.

Ejemplo 1.7: Capital e Inversion

El stock de capital K(t) vara en el tiempo debido a dos terminos: aumentadebido a la inversion de capital I(t), y disminuye porque parte del capital existentese deprecia a una tasa D(t). La tasa de cambio del stock de capital se escribe:

dK(t)

dt= I(t)D(t)

En esta igualdad, y usando la Regla 1, todos los terminos tienen las misma di-mension: unidades de capital sobre unidades de tiempo. La unidad particular de

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tiempo que se ocupe es arbitraria. Por ejemplo, podemos calcular la variacion decapital diaria, mensual o anual. En dicho caso, los flujos de inversion y depreciacionson flujos diarios, mensuales o anuales, respectivamente.

Ejercicio 1.4: Tasa de Depreciacion

En la ecuacion anterior, el flujo de depreciacion del capital, D(t), se puede escribircomo D(t) = K(t) donde es una constante llamada tasa de depreciacion, y quemultiplicada por el stock actual de capital entrega el flujo depreciado. Que dimensiontiene esta tasa de depreciacion? En la practica, en que unidades cree usted que semide?

1.5 Variables adimensionales: Tasa de Inflacion

Existen variables que no tienen dimensiones, o que su dimension es requieren deunidad, es decir, son adimensionales y se notan como [1]. Estas cantidades tpicamenteson cocientes, ya sean razones o elasticidades.

Ejemplo 1.8: Indice de Kaitz

Para comparaciones internacionales, el salario mnimo puede no ser muy indicativoporque los pases tiene nivel salariales muy distintos.Por lo tanto, se define el ndicede Kaitz como la razon entre salario mnimo y salario medio, la cual es una variableadimensional:

salario mnimo

salario promedio=

[$/T ]

[$/T ]= [1]

Ejemplo 1.9: Indice de Gini

La desigualdad relative de una poblacion es aquella que cumple con la siguientepropiedad: si todos lo individuos aumentan su ingreso en una proporcion , entoncesla desigualdad se mantiene constante. Esta relacion sugiere que la desigualdad relativa

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debe usar cocientes o razones entre ingresos, pues en si ambos ingresos cambian en lamisma proporcion, la razon entre ellos no cambia. De esta manera, la mayora de losndices de desigualdad son adimensionales. El ndice mas conocido de desigualdad esel Gini, el cual para una poblacion de n individuos con ingresos y1, y2, ..., yn se definecomo:

Gini =2iyi

nyi n+ 1

n

Esta expresion es adimensional, porque en la primera fraccion las unidades deingreso se cancelan, y por tanto es la suma de unidades adimensionales.

Hay otras variables que parecen ser adimensionales pero no lo son. En el ejercicio1.2 vimos que la tasa de crecimiento no es un mero porcentaje, sino que tiene unidadesde frecuencia. Los mismo ocurre para la tasa de interes, en el ejercicio 1.2. La razones que estas tasas son cambios definidos en una determinada unidad de tiempo. Enmuchas discusiones, el perodo de tiempo esta explcito en la definicion, por lo cualestas tasas pasas a ser adimensionales. Por ejemplo, la tasa de interes anual ola tasa de crecimiento anual son porcentajes, dado que la unidad de tiempo estaindicada en su definicion. Pero notemos que tambien podramos definir una tasa deinteres mensual. En cualquier caso, conviene recordar que estas variables economicastienen unidades de frecuencia.

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.5

Indique la dimension, e indique al menos una unidad dimensional, para las sigu-ientes variables: PIB, Salario Real, Salario Nominal, Tasa de desempleo e Indiceaccionario.

Ejercicio 1.6

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Considere el siguiente extracto del libro de Nial Fergusson The Ascent of Money,A Financial History of the World (2008):

Last year (2007) the income of the average American (just under $34,000) wentup by at most 5 per cent. But the cost of living rose by 4.1 per cent. So in realterms Mr Average actually became just 0.9 per cent better off. Allowing for inflation,the income of the median household in the United States has in fact scarcely changedsince 1990, increasing by just 7 per cent in eighteen years. Now compare Mr Averagessituation with that of Lloyd Blankfein, chief executive officer at Goldman Sachs, theinvestment bank. In 2007 he received $68.5 million in salary, bonus and stock awards,an increase of 25 per cent on the previous year, and roughly two thousand timesmore than Joe Public earned. That same year, Goldman Sachs net revenues of $46billion exceeded the entire gross domestic product of more than a hundred countries,including Croatia, Serbia and Slovenia; Bolivia, Ecuador and Guatemala; Angola,Syria and Tunisia. The banks total assets for the first time passed the $1 trillionmark. Yet Lloyd Blankfein is far from the financial worlds highest earner. Theveteran hedge fund manager George Soros made $2.9 billion. Ken Griffin of Citadel,like the founders of two other leading hedge funds, took home more than $2 billion.Meanwhile nearly a billion people around the world struggle to get by on just $1 aday.

- Para cada variable mencionada, indique si se trata de variables de stock o deflujo

- Es correcta la comparacion entre la renta neta de Goldman Sachs y el PIB deun pas? Cuanto es el PIB chileno en billones de dolares?

- Bonus: es difcil hacerse una idea de un salario de $68.5 millones de dolaresanuales. Puede escribirlo en terminos diarios?

Ejercicio 1.7

Una determinada variable economica v tiene cierta dimension que se mide pormedio de la unidad [u]. Para un grupo de esas variables indexadas como vi, se defineel promedio y la varianza como:

=

vi

V = (1/n)

(vi )2

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- Indique las unidades de y - Se define la desviacion estandar como la raz cuadrada de V . Que unidades

tiene ?- Se define el coeficiente de variacion como /, que unidades tiene?

Ejercicio 1.8: Desigualdad

Considere que dos individuos, uno rico y un pobre, tienen ingresos dados por yRy yP , respectivamente, con yR > yP .

- Construya una medida de desigualdad absoluta, es decir, que tenga unidadesde ingreso.

- Construya una medida de desigualdad relativa, es decir, que sea adimensional.

Ejercicio 1.9

La temperatura medida en grados Celsius, TC se transforma a temperatura medidaen grados Fahrenheit, TC , por medio de la siguiente relacion lineal: TF = a + bTC .Indique las dimensiones que tienen los parametros a y b.

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2 Analisis Dimensional

2.1 Parametros y Formulas

Una de las aplicaciones comunes del analisis dimensional es adivinar como losparametros intervienen en la solucion de un problema. Este metodo se basa en elhecho de que cierto resultado, el cual tiene cierta dimension, solo puede ser expresadoen termino de las variables del problema de determinada manera para que existaconsistencia dimensional. Lo interesante del metodo es que no requiere de teora. Elresultado no son formulas exactas, dado que el analisis dimensional no captura lasconstantes, pero indica como intervienen la magnitudes mas relevantes en la relacion.

El analisis dimensional es muy usado en fsica (ver [11]). Revisaremos un ejemplosencillo, aquel de la cada libre.

Ejemplo 2.1: El problema de la cada libre

Un cuerpo de masa m [M ] cae desde una altura H [D]. La aceleracion de gravedades g [D/T 2]. Las unidades entre parentesis cuadrados [M ], [D] y [T ], indican unidadesde masa, distancia y tiempo, respectivamente. Cuanto demora en llegar al suelo?

La pregunta por el tiempo en caer es una pregunta por una unidad de tiempo[T ]. El analisis dimensional sugiere construir una unidad de tiempo a partir de losparametros del problema. La unica unidad de tiempo esta en g, [D/T 2], pero notamosque aparece invertida, al cuadrado y multiplicada por una unidad de distancia. Elprimer caso, es eliminar la unidad de distancia dividiendo por H. Luego, invertimosy tomamos raz, de modo de dejar la unidad de tiempo despejada. As, la expresionmas sencilla posible a partir de las variables del problema se logra combinando lasvariables de la siguiente manera:

H/g =[

D/(D/T 2)]

= [T ]

El tiempo de cada es proporcional a la expresion anterior. Esta relacion deproporcionalidad permite resolver algunas preguntas relevantes:

- La masa m no interviene en la formula: no importa si un cuerpo es liviano opesado, su tiempo de cada es el mismo.

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- Se puede calcular como escala el tiempo de cada con H. Por ejemplo, sidoblamos H el tiempo aumenta en un factor

2.

En economa, el analisis dimensional no es tan usual. La razon es que la economano contiene ecuaciones dimensionalmente consistentes. Por el contrario, las dimen-siones no se usan extensivamente, asunto que no ha estado excento de crticas. Doslibros de analisis dimensional en Economa son el clasico de deJong, [2], y el recientede Grudzewski, [6]. Para un discusion sobre el uso de dimensiones en teora economicaver [1] y [4].

Algunos problemas sencillos de oferta y demanda pueden ser resueltos por mediode analisis dimensional.

Ejemplo 2.2: Equilibrio Economico

Considere las siguientes curvas de Oferta y Demanda:

qD = a bpqO = a + bp

Por consistencia dimensional, los parametros tienen las siguientes unidades:

a, a = [q]

b, b = [q]/[p]

= [q]2/[$]

A partir del analisis dimensional buscaremos la relacion entre estos parametros ylas cantidades de equilibrio.

- En primer termino, el precio de equilibrio debe tener unidades de precio. Porla tanto, su expresion debe ser una combinacion lineal de a y a, dividida por unacombinacion de b y b.

- En segundo lugar, observamos que el precio es 0 si a = a.- En tercer termino, observamos que para que exista interseccion se debe cumplir

que b 6= b.A partir de estas consideraciones, resulta que el precio de equilibrio es:

peq =a ab+ b

19

Folson (ver [4]) indica que la poca atencion que los economistas colocan a lasdimensiones del problema se refleja en el hecho que la ecuacion qD = abp tpicamentees presentada con numero, del estilo qD = 10 5p, sin ninguna discusion de lasunidades de 10 y 5.

Ejercicio 2.1: Tasa de Depreciacion

Un productor tiene un costo marginal, o costo por unidad producida, igual a c yobserva una demanda de la forma qD = a/p.

- Escriba las unidades de c y a.

- Usando analisis dimensional, escriba la relacion entre qeq y peq y las variables delproblema.

- Note que sus respuestas anteriores no dependen de la estructura de mercado.como cambian sus resultados si se trata de competencia perfecta o de monopolio?

2.2 Dividiendo Decisiones con Dimensiones

En economa, los individuos toman decisiones. Si las alternativas entre las quedebe decidir el individuo estan todas en valores monetarios, entonces el problema dedecision es directo. Pero en muchos casos, las diversas altenativas estan en unidadesdistintas. En estos casos, la razon entre estas alternativas tambien tiene unidades di-mensionales, y tipicamente esta nueva unidad ilustra cual es la variable relevante pararesolver el problema de decision. Esta idea quedara ilustrada con algunos ejemplos.

Ejemplo 2.3: Tipos de Seguros

Un seguro de auto ofrece dos modalidades. La primera modalidad vale 43, 000[$/mes],y tiene un deducible (dinero fijo que se paga en caso de accidente) de 75, 000[$/accidente];la segunda modalidad vale 38, 000[$/mes], y tiene 125, 000[$/accidente] de deducible.

Para entender la decision entre seguros, resulta conveniente dividir el valor men-sual del seguro sobre el deducible. La unidad de ese cociente es [accidente/mes].

20

Esta unidad dimensional es muy ilustrativa para entender la variable relevante enla seguros: la probabilidad de tener accidentes al mes. De hecho, una persona conalta probabilidad de tener accidentes prefiere pagar un seguro de mayor precio men-sual pero con menor deducible; un persona con baja probabilidad, prefiere el segurocontrario.

Si resolvemos el problema, vemos que necesariamente debemos introducir unaprobabilidad de accidente al mes p. As, el pago mensual sera de 43[$/mes] +75m[$/accidente] p. Notamos que p tiene justamente unidades de [accidente/mes].Este pago mensual debe considerarse para ambos seguros, y elegir aquel seguro demenor pago mensual. La solucion es que existe un valor p = (43 38)/(125 75)[accidente/mes] tal que valores por encima o por debajo de p determinan quetipo de seguro resulta mejor.

El ejemplo anterior muestra que el cuociente entre varibles de costo que no tienenla misma dimension, tiene una dimensionalidad que es relevante para resolver el prob-lema.

Ejercicio 2.2: Compra de un departamento

Usted debe decidir si compra un departamente. Su precio P y su precio de arriendoes A. El valor de la tasa de interes de mercado es r.

- Indique las unidades de P y A. Son variables de Stock o Flujo?

- Indique la unidad de la tasa de interes.

- Usted construye la variable A/P . Que unidades tiene esta variable? De quele sirve esta variable en su decision de comprar el departamento o no?

2.3 Transformacion de Unidades

Una aplicacion muy util del analisis dimensional es la transformacion de unidades.Este tipo de transformaciones son muy comunes en economa. Por una parte, en dis-tintas partes del mundo las unidades usadas son distintas, en particular las unidadesmonetarias, y por lo tanto se deben transformar. Por otra parte, muchas veces resultailustrativo expresar una variable en otra unidad dimensional.

21

La manera de transformar unidades es escribir las mismas y operarlas hasta llegara la unidad buscada. Para introducir la transformacion de unidades, usaremos unsencillo ejemplo. En Amazon, el libro How not to be Wrong: the Power of Math-ematical Thinking, de Jordan Ellenberg (ver []), costaba 12.77 [usd] en formatoblando, el Marzo del 2015. Calculemos ese valor en pesos chilenos, sabiendo que eltipo de cambio es de 628 pesos por usd. Aunque el ejemplo es sencillo, lo haremospaso a paso para mostrar la mejor manera para hacerlo. Primero, escribirmos elproblema colocando atencion en las unidades:

precio[clp] = ? 12.77[usd]

El valor de ? es la tasa de conversion. Por analisis dimensional, las unidades dela tasa de conversion son las siguientes:

precio[clp] = ?

[clp

usd

] 12.77[usd]

Vemos que en esta expresion, los [usd] de la tasa de conversion y aquellos del valordel libro se cancelan, y tanto el lado derecho como el lado izquierdo de la igualdadtienen unidades de [clp]. Finalmente, se colocan los valores que corresponden a latasa de conversion, es decir, cuantos [clp] corresponden a un [usd]:

precio[clp] =628

1

[clp

usd

] 12.77[usd]

= 8, 020[clp]

En la practica, transformar pesos en dolares no requiere de efectuar estos pasosintermedios, sino que multiplica, o divide, directamente por el tipo de cambio. Sinembargo, cuando se transforma mas de una unidad, es conveniente agrupar primerolas unidades y proceder en orden, segun veremos en los ejemplos que siguen.

Ejemplo 2.4: Ingreso Promedio en EEUU

22

En EEUU, las cifras individuales de ingreso se miden en dolares y en forma an-ualizada. En Chile, se miden en pesos y mensualizadas. Si el ingreso promedio enEEUU fue de 36 mil dolares anuales el ano 2014, y un dolar vale 600 pesos chilenos,ese ingreso se calcula en pesos mensuales de la siguiente forma:

renta

[clp

mes

]= 36mil

[usd

ano

] ?

[pesosusd

] ?

[ano

mes

]= 36mil

[usd

ano

] 600

1

[pesosusd

] 1

12

[ano

mes

]= 1, 800mil

[clp

mes

]

La primera lnea de la ecuacion es la parte mas importante del razonamiento: lasunidades nos indican que transformaciones debemos hacer. La segunda lnea calculalas cifras para hacer la transformacion, mientras que finalmente calculamos el valorpedido.

Ejercicio 2.3: Ingreso Acumulado

Considere que Ud. ganara, entre los 25 y los 65 anos, un salario promedio de2, 000, 000[$/mes].

- Calcule el monto total, en [usd], que recibira en todo ese tiempo.

- Arturo Vidal recibio el ano 2014 del orden de 15 millones [usd/ano]. Calcule encuantos das, o meses, el jugador ganara lo mismo que usted recibira en toda su vida,segun su respuesta anterior.

Un ultimo ejemplo mostrara la utilidad del metodo que hemos desarrollado. Elprecio de la energa debende de la potencia de energa usada, es decir, el voltaje delaparato que consume y el tiempo que este en funcionamiento.

Ejemplo 2.5: Gasto Anual de una Ampolleta

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Una ampolleta de 100[w] esta prendida en promedio 2 horas al dia. Si el precio dela energia en Chile es de 100[$/kwhora], calcule el gasto G en pesos de la ampolletaal ano.

G

[$

ano

]= 100

[$

kw hora]

100[w] 2

[hora

da

]?

[kw

w

]?

[da

ano

]= 100

[$

kw hora]

100[w] 2

[hora

da

]1

1000

[kw

w

]365

1

[da

ano

]= 7, 300

[$

ano

]

2.4 Ejercicios

Ejercicio 2.4

Un pendulo de largo l y masa m oscila debido a la aceleracion de gravedad g.- Indique las unidades de l, m y g.- Calcule una relacion entre las variables que sea proporcional al perodo del

pendulo.

Ejercicio 2.5

Una firma produce Q bienes a un costo c cada uno.- Indique las unidades dimensionales del costo marginal y del costo total.- Indique si la siguiente afirmacion tiene constencia dimensional: el precio es

igual al costo marginal.- Indique si la siguiente afirmacion tiene constencia dimensional: el precio es

igual al costo total.

Ejercicio 2.6

24

Un productor tiene un costo marginal, o costo por unidad producida, igual a c.La demanda esta dada por la expresion qD = a bp.

- Indique las unidades dimensionales de a, b y c.- Escriba combinaciones de estos parametros que tengan unidades de precio y

cantidad. Argumente que dichas magnitudes en equilibrio deben depender de estosvalores.

- Verifique sus resultados con los siguientes valores de equilibrio para competenciaperfecta y monopolio, cuyos valores de equilibrio son:

Competencia q = a bc p = cMonopolio q = 1/2a 1/2bc p = 1/2c 1/2a/b

Ejercicio 2.7

El almuerzo en el casino de la universidad tiene un precio P . Adicionalmente, launiversidad le ofrece el siguiente convenio: por un pago mensual de Q usted puedealmorzar los das que quiera en el casino.

- Indique en que unidades esta el precio del almuerzo P .- Indique en que unidades esta el precio Q.- Que unidades tiene Q/P?- Bajo que condiciones a usted le conviene comprar el cupon Q. Como se relaciona

esta respuesta con las unidades que calculo en la pregunta anterior?

Ejercicio 2.8

Segun Forbes, Leo Messi es el deportista numero 11 segun sus ingresos anuales,los cuales son 20 Mill. de USD por salario y otros 19 por publicidad. Calcule cuantogana Messi al da en pesos chilenos.

Ejercicio 2.9

Money Mayweather recibio 40 y 45 millones de dolares por sus peleas contraVictor Ortiz y Miguel Cotto, respectivamente. Calcule el salario mensual en pesosque tendra de por vida con el dinero de esas peleas si es que decide retirarse (noconsidere intereses u otros usos de ese dinero).

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Ejercicio 2.10

Segun las Bases de Licitacion para el suministro electrico de la Empresa Conce-sionaria CGE Distribucion, el precio o valor maximo de las Ofertas Economicas serade 129,040 [usd/MWh]. Cuanto mas caro es, en porcentaje, el valor de 100 [$/KWh]que vale la energa en su hogar?

26

3 Ordenes de Magnitud

3.1 Definicion

Muchas aplicaciones practicas no requieren conocer la magnitud exacta, sino unaidea gruesa o la escala de dicho valor. Por ejemplo, es imporante diferenciar si enChile existen 10 mil o 100 mil colegios, pero su numero exacto - 12, 116 el ano 2009 -no siempre es necesario. En segundo termino, expresar las cifras abultadas haciendomencion a su escala, lo cual se denomina notacion cientfica, simplifica mucho sucalculo. Estas consideraciones motivan la siguiente definicion.

Un orden de magnitud mide la potencia de 10 asociada a cierta cantidad, es decir,cuenta los dgitos que esan antes o despues de la coma decimal. El uso mas extendidopara describir los ordenes de magnitud lo constituye la notacion cientfica.

As, una cifra con orden de magnitud 8 es una cifra en cientos de millones:100, 000, 000. Por otra parte, dos numeros difieren 3 ordenes de magnitud si unoes 1000 veces mas grande que el otro. Diremos que dos numeros tienen el mismoorden de magnitud si la division del grande por el pequeno es bastante menor a 10.Por ejemplo, 23 y 82 tienen el mismo orden de magnitud, pero 23 y 820 no.

Ejemplo 3.1: Poblacion en el Mundo

La poblacion de Chile, Peru y Brasil es de, aproximadamente, de 17.6 millones,30.3 millones y 200.3 millones de personas. La poblacion de China, el pas mas pop-uloso del mundo, alcanza los 1,357.4 millones de personas. (Fuente: Banco Mundial,ano 2013). Entonces:

- La poblacion de Chile y Peru son del mismo orden de magnitud.- La poblacion de Brasil es un orden de magnitud mas alta que la de Chile y Peru.- La poblacion de China es un orden de magnitud mas alta que la de Brasil, y dos

ordenes de magnitud mas alta que la de Chile y Peru.

Ejercicio 3.1: Poblacion en Chile

Clasifique las regiones de Chile segun el order de magnitud de su poblacion. Con-sidere (fuente Wikipedia 2012):

27

- Habitantes de la Region de Aysen: 100 mil (104, 843 hbs)- Habitantes de la Region de la Araucana: 1 millon (970, 419 hbs)- Habitantes de la Region de Santiago: 10 millonesUse estos tres ordenes de magnitud para clasificar las regiones de Chile en

pequenas, medianas y grandes.

Es importante enfatizar que las diferencias en ordenes de magnitud (es decir,diferencias de 10 veces) son muy abultadas. A medida que los ordenes de magnitudaumentan, lo que crece es el exponente de la potencia de 10, lo cual, como veremosmas adelante en este curso, se trata de un tipo de crecimiento explosivo conocidocomo crecimiento exponencial. Para hacernos una idea concreta del aumento queinvolucran consecutivos ordenes de magnitud, consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2: Millones de Segundos

Calcularemos cuanto tiempo corresponde a 1 (100), mil (103), un millon (106) ymil millones (109) de segundos. En cada caso escribiremos el resultado en la mejorunidad de tiempo, es decir, aquella que ocupa pocos ceros antes o despues de la coma.

En primer lugar, 100 es un segundo por definicion. Luego, consideramos que unminuto son 60 segundos, por lo cual 17 minutos suman 103 segundos, aproximada-mente. Para los siguientes calculos conviene calcular el numero de segundos en unda:

60[ segmin

] 60

[min

hora

] 24

[horas

da

]= 86, 400

[segda

]

Por lo tanto, 106 segundos son aproximadamente 1, 000, 000[seg]/86, 400[das/seg] =11.6[das]. Finalmente, 109 segundos corresponden a mil veces el resultados anterior,es decir, 11, 600[das]. Dividiendo por 365 das en un ano, el resultado es de 32 anos,aproximadamente.

El resultado podra ser sorprendente para alguien que no esta familiarizado conlos ordenes de magnitud. Un aumento progresivo de 3 ordenes, o mil veces, en el

28

numero de segundos, corresponden a tiempos de 1[seg], 17[min], 12 [das] y 32[anos].Esto s se trata de crecimiento rapido!

3.2 Base 10 y Notacion Cientfica

Los numeros se escriben respecto a una base. El uso de base 10, que permite eluso de solo 10 dgitos para escribir cualquier numero, fue introducido en Europa hacia1220 por Fibonacci (su difusion por Europa tardo mas de 3 siglos!).

Un numero se escribe en base 10 de la siguiente manera:

n = a0 + a110 + a2100 + ...+ ap10p

=p

i=0ai10

i

El numero 5896, por ejemplo, se descompone en base 10 segun

5.896 = 5000 + 800 + 90 + 6

Es decir, al escribir un numero existe un acuerdo tacito de lo que significa cadanumero por su posicion. En el colegio, estas magnitudes reciban nombres: decenas,centenas, unidades de mil, decenas de unidades de mil, etc. Usando potenciasde 10, se escribe

5.896 = 5 103 + 8 102 + 9 101 + 6 100

En este caso (a0, a1, a2, a3) = (6, 9, 8, 5) y p = 3.

Ejercicio 3.2: Numeros Binarios

La base 10 no es la unica base en la cual se puede escribir un numero. Un numeron se escribe en base 2 a partir de los valores de a0, a1, ... segun:

n = a020 + a12

1 + a222

Calcule a0, a1 y a2 para todos los numero entre 1 y 7.

29

Expresar un numero en potencias de 10, permite expresar el numero en su ordende magnitud. Para esto, el numero se expresa en funcion de su potencia mas alta.En el caso anterior, tenemos:

5.896 = (5 + 8 101 + 9 102 + 6 103) 103= (5 + 0, 8 + 0, 09 + 0, 006) 103= 5, 896 103

En este caso, el orden de magnitud asociado a 5896 es 3 (es decir, se trata demiles). Cualquier numero puede ser tranformado en un numero entre 1 y 10 condecimales, con su exponente igual al orden de magnitud.

3.3 El Tamano del Exponente Importa

Consideremos que un numero se escribe en notacion cientfica cuando se agre-gan todos los decimales al primer numero y se mantiene la potencia mas grande.Escribimos

n = a 10p

En esta expresion, el numero mas relevante es p. Este punto es importante, ylo ilustraremos comparando los resultados de agregar un unidad en a y en p. En elprimer caso, el numero aumenta en el siguiente factor

(a+ 1) 10pa 10p =

(a+ 1)

a

y si aumentamos en 1 el valor de p

a 10p+1a 10p = 10

Es decir, mientras que en el primer caso el numero es (a+ 1)/a veces mas grande(por ejemplo, si a = 5 entonces el nuevo numero es 6/5 o 20% mas grande), en elsegundo caso es 10 veces (es decir 1, 000%).

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Ejemplo 3.3: Poblacion de EEUU (del libro Guesstimation, de Weinstein yAdam; ver [?])

Al momento de escribir que la poblacion de EEUU, de 300 millones de personas,como 3108, el 8 es mucho mas importante que el 3. Este es debido a que si cambiamosel 3 por un 4, la poblacion cambia solo en un 1/3 o 30%. Pero si cambiamos el 8 por el9, entonces estamos cambiando la poblacion por un factor 10, es decir 1, 000%. Estees un cambio gigantesco, especialmente si creemos que ya hay bastante gente en estepas. As, el uso de notacion cientfica permite escribir este exponen explcitamente.

3.4 Billonarios and Billionaires

Los ordenes de magnitud en potencias de 10 reciben distintos nombres en espanoly en ingles

Espanol Ingles102 cien cien103 mil mil106 millon millon109 mil millones billon1012 billon trillon

En este curso, usaremos el termino billonarios en su acepcion anglosajona: milesde millones. La razon es que este es un orden de magnitud relevante para una seriede variables economicas relevantes. Por ejemplo, las grandes fortunas del mundo semiden en billones de dolares. Asimismo, el PIB de los pases se mide en billones dedolares anuales.

Ejemplo 3.4: Billonarios Historicos

En el libro Outliers, de Malcolm Gladwell (ver [5]), aparece un lista con los 75hombres mas ricos de la historia. La riqueza neta de cada persona es calculada endolares actuales. Dado que todas las unidades estan en billones de dolares, usaremosel termino B para notar billones.

El hombre mas rico de la historia es John D. Rockefeller, con 318 B[usd]; el ultimode la lista es el prncipe Al-Waleed de Arabia Saudita, con 29 B[usd]. Se mencionanpersonajes antiguos, como el senador romano Marco Licinio Craso con 166 B[usd] o el

31

faraon Amenophis III con 155 B[usd], hasta personas actuales, como Carlos Slim con74 B[usd] o Bill Gates con 58 B[usd]. La lista tiene por objetivo mostrar que la riquezaesta determinada por ciertas condiciones historicas: una cantidad sorprendente deestos billonarios, 14 de 75, es decir un 20%, nacieron entre 1831 y 1840. Pero nuestroproposito aca es mucho mas humilde: nos importa recordar que las riquezas masgrandes de la historia estan medidas en billones de dolares.

Ejercicio 3.3: Billonarios Actuales

La revista Forbes elabora actualmente una lista con los billonarios del mundo:http://www.forbes.com/billionaires/. A partir de la informacion de la revista, re-sponda:

- Cuantos billonarios, usando la acepcion latina, hay en el mundo? Indiquecual es la riqueza agregada de todos los billionaires mencionados en la revista.

- Cuantos billonarios, usando la acepcion anglosajona, hay en el mundo? In-dique la proporcion de mujeres.

- Cuantos billonarios, use la mejor acepcion segun lo aprendido en las dospreguntas anteriores, hay en Chile? Indique sus nombres.

3.5 Logartimo

No sera ideal tener una funcion que nos indicase directamente el orden de mag-nitud de un numero? Efectivamente existe: la funcion logaritmo. El logaritmo deun numero no es otra cosas que su orden de magnitud en base 10. Revisaremos estafuncion en lo que sigue.

Si considermos la ecuacionx = 10y

entonces decimos que y es el logarito (en base 10) de x

y = log(x)

32

Si escribimos un numero en notacion cientfica

n = a 10p

entonces su logaritmo esta dado por

log(n) = p+ log(a)

Al escribir el numero en notacion cientfica, a en un numero menor que 10, y porlo tanto, log(a) es un numero entre 0 y 1. Por lo tanto, el log(n) es un numero entrep y p+ 1. El orden de magnitud asociado al numero n es p.

Ejemplo 3.5: Logaritmo y Orden de Magnitud

El numero 634 se escribe en notacion cientfica como 634 = 6, 34102. Su orden demangitud es 2. Su logaritmo es un numero entre 2 y 3, como muestran las siguientesdesigualdades:

100 < 634 < 1000

102 < 634 < 103

2 < log(634) < 3

La expresion anterior muestra que para calcular el logaritmo de cualquier numero,basta conocer el logaritmo entre 1 y 10, y luego contar el numero de dgitos del numeroantes o despues de la coma.

El logaritmo tiene una sencilla propiedad. Consideremos su definicion

x1 = 10y1

x2 = 10y2

de estas expresiones se tiene que y1 = log(x1) y y2 = log(x2). Multiplicando estasexpresiones se tiene

x1x2 = 10(y1+y2)

33

Por lo tanto

log(x1x2) = y1 + y2

= log(x1) + log(x2)

y tenemos la siguiente propiedad: el logaritmo de la multiplicacion es igual a lasuma de los logaritmos.Dicho en terminos de magnitud, la propiedad es la siguiente:cuando dos numeros de multiplican, sus ordenes de magnitud se suman.

Ejemplo 3.6: Indice de Seguridad Logartmico (del libro Innumeracy, de JohnA. Paulos; ver [9]).

El ndice de seguridad permite hacernos una idea de los peligros que entranandeterminadas actividades, procedimientos y enfermedades. Se construye de la manerasiguiente: si en una actividad muere una persona entre N personas, el ndice es ellog(N). Por ejemplo, cada ano muere un norteamericano de cada 5.300 en accidente deautomovil. El ndice de seguridad correspondiente a viajar en automovil sera 3, 7 =log(5, 300). Vemos que a mayor ndice de seguridad, mas segura sera la actividad encuestion.

Segun estimaciones de los Centros de Control de Enfermedad, en los EstadosUnidos se producen unas 300.000 muertes prematuras por fumar, lo que equivale a queun norteamericano de cada 800 muere del corazon, los pulmones u otras enfermedadesproducidas por el tabaco. El logaritmo de 800 es 2,9, con lo que el ndice de seguridadde fumar es menor aun que el de conducir.

Ejercicio 3.4: Indice de Seguridad

Considere el ndice de seguridad que acabamos de denifir. Responda:- Las enfermedades cardiacas o circulatorias generan una tasa anual de 1 muerto

cada 380. Cual es su ndice de seguridad? Es muy seguro o poco seguro este valor.- El ndice de seguridad de morir en bicicleta es cercano a 5. Interprete este

numero en terminos del numero de personas entre las cuales se cuenta un ciclistamuerto.

- Uno de cada 6 millones de americanos muere de una picadura de abeja. Calculesu ndice de seguridad.

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- Jugar ruleta rusa parece ser muy peligroso. Pero si calculamos su ndice deseguridad, nos da muy cercano a 10, es decir, se trata de una actividad muy segura.Explique este resultado.

3.6 Ejercicios

Ejercicio 3.5

Indique si las siguientes afirmaciones son correctas o no:- Un aumento de un 100% es un aumento de un orden de magnitud.- Un aumento de un 100% es un aumento de dos oderenes de magnitud.- Un aumento de un 1, 000% es un aumento de un order de magnitud.- Un aumento de un 1, 000% es un aumento de tres ordenes de magnitud.

Ejercicio 3.6

Segun Forbes 2014, Iris Fontbona encabeza la lista de billonarios en Chile, conuna riqueza de 13, 8 B[usd] (donde B son billones, o miles de millones). Escriba estenumero en usd usando ordenes de magnitud. Calcule el error si:

- El exponente decrese en una unidad- El coeficiente disminuye en una unidad

Ejercicio 3.7

La revista America Economa anualmente genera un ranking de las 500 empresasmas grandes de Chile, segun el valor de sus ventas anuales en millones de [usd]. Elano 2012, la primera empresa de dicho ranking fue COPEC, con ventas de 22.770[Musd/ano], la numero 100 fue Corpbanca con 823.42[Musd/ano], la numero 200fue PROVIDA con 342.10[Musd/ano], y la ultima de ese grupo fue EDELMAG, con57.30[Musd/ano].

- Escriba todas esas magnitudes en orden de magnitud. Indique la diferencia entrecualquier par de ellas en ordenes de magnitud.

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- Suponga que usted quiere estudiar las 10 empresas mas grandes de Chile. Queunidad le parece mejor para describir sus ventas?

- Suponga que usted quiere estudiar las 200 empresas mas grandes de Chile. Queunidad le parece mejor para describir sus ventas?

- Bonus: Calcule la diferencia y el cociente entre las ventas de estas empresas. Cual de estos calculos usted preferira a la hora de comparar entre ellas?

Ejercicio 3.8

Para calcular el logaritmo de cualquier cantidad, basta conocer los logaritmos entrede los umeros entre 1 y 10. En este problema se le pide calcular, aproximadamente,los logaritmos de todos los dgitos sin usar calculadora.

- A partir de la definicion, calcule el valor de log(1) y log(10).- Considere que el log(2) = 0.3. Use las reglas del logaritmo para calcular log(4)

y log(8).- Interpole los valores anteriores para calcular el logaritmo de los dgitos: 3, 5, 6,

7 y 9.

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4 Usando Numeros Grandes

4.1 Uso de Numeros Grandes en Economa

En Economa, resulta usual calcular numeros grandes. Los valores montetariostipicamente usan cifras bastante abultadas, y muchas veces se deben operar con cifraspoblacionales de modo de obtener variables agregadas.

A modo de ejemplo, consideremos la definicion del PIB per capita. Este corre-sponde al cociente entre el PIB total, que suma toda la produccion anual de un pasen bienes y servicios, y la poblacion de un pas. El calculo requiere la division de dosnumeros abultados.

Ejemplo 4.1: PIB per capita en Francia

El ano 2013, el PIB de Francia fue de 2, 806, 427, 978, 234[usd/ano] (current [usd];Fuente: Wold Bank). Por otra parte, su poblacion ese mismo ano era de 66, 028, 467[ind].Se define el PIB per capita como:

PIB pc

[usd

ano ind]

=2, 806, 427, 978, 234

66, 028, 467

[usd

ano ind]

La division directa de este numero es difcil. Pero se puede lograr un resultadoaproximado de manera muy sencilla. Para eso, se deben seguir los siguientes dospasos:

Paso 1. Escribir el numero a primer orden en notacion cientfica

Paso 2. Multiplicar/dividir usando las reglas de los ordenes de magnitud.

En los que sigue discutiremos estos dos pasos separadamente.

37

4.2 Aproximacion a Primer Orden

La aproximacion a primer orden tiene varias aplicaciones. En muchas aplicacionespracticas no se requiere memorizar un numero exacto, sino que basta con tener unaidea aproximada de dicha numero. Es decir, basta considerar su aproximacion deprimer orden. En segundo termino, muchos calculos que hacemos se basan en can-tidades aproximadas, por lo cual el resultado no puede ser mas preciso que lo datosoriginales. Veamos esto ultimo con un ejemplo.

Ejemplo 4.2: Gasto en Gasolina (del libro Guesstimation, de Weinstein y Adam;ver [?])

Muchos de nosotros cometemos el mismo tipo de error cuando usamos nuestrascalculadoras. Supongamos que usamos 23.0 galones de gasolina para manejar 327millas. Si dividimos 327 en 23 en nuestra calculador obtendremos 14.2173913.... Peroesta no puede ser la respuesta a nuestro problema. Nosotros no medidimos las millascalculadas o la gasolina consumida en 1 parte en un billon, por lo tanto nuestrarespuesta tampoco puede tener ese grado de precision. Nuestro consumo por milladebe ser 327[mil]/23[gal] = 14.2[mpg].

Finalmente, el uso de valores aproximados permite simplificar los calculos poste-riores.

Un numero se puede aproximar a distintos ordenes de magnitud:

5.896 = 5, 896 103 5, 89 103 5, 8 103 5 103

Para decidir cual es la aproximacion mas util, en algun sentido que tambien re-quiere ser especificado, es apropiado estudiar el error asociado a la aproximacion. Sean la aproximacion de un numero n, entonces el error es

error =n nn

La aproximacion a primer orden indica que este error debe ser menor al 10%.

38

Calculemos el error formalmente. Considere un numero n y una aproximacion n

con j decimales

n =p

i=0ai10

i

n =p

i=pjai10

i

El error de la aproximacion esta dado por

n nn

=

pj1i=0 ai10

ipi=0 ai10

i

pj1i=0 ai10

i y ap10p NC, entonces el puntaje esaquel dado por NEMi mas una bonificacion lineal, tal que Ri = 850 puntos para ital que NEMi = NMC. El nuevo grafico que incluye la bonificacion por ranking esel siguiente,

Este grafico es de la pagina del http://www.psu.demre.cl/proceso-admision/factores-seleccion/puntaje-rankingDEMRE

119

11.5 Ejercicios

Ejercicio 11.7

Considere un grafico que tiene en el eje horizontal el tiempo, y en el vertical, ladistancia a casa. Dibuje una funcion que represente las siguientes historias:

- Sal de casa, me di cuenta que deje mis libros y tuve que devolverme a buscarlos.- Las cosas iban bien hasta que pinche un neumatico y tuve que cambiarlo.- Sal caminando tranquilo, pero me percate que iba atrasado y tuve que apu-

rarme.

Ejercicio 11.8

Los inversionistas saben que un activo de alto retorno tambien tiene alto riesgo.- Grafique esta relacion, mostrando el retorno esperado en funcion del riesgo.- Justifique en que lado de la curva, arriba o abajo, le gustara tener un activo a

un inversionista.

Ejercicio 11.9

Suponga que la funcion de productividad de una fabrica depende del numero detrabajadores, y que esta funcion tiene la forma de un cerro (es decir, primero sube,llega a la cima, y luego baja). Describa una historia que justifique esta funcion deproductividad.

Ejercicio 11.10

El valor de un auto, V , es una funcion de la antiguedad del auto a, de modo queV = g(a), donde g es el nombre de la funcion.

- Interprete la afirmacion g(5) = 9 si el valor del auto V se mide en miles dedolares y a se mide en anos.

- En las mismas unidades, el valore de un auto Honda esta dado por g(a) =13.78 0.8a. Encuentre e interprete el intercepto vertical y horizontal del grafico querepresenta esta funcion de depreciacion g.

Ejercicio 11.11

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Una compana disena una poltica que fomenta compra grandes, y por lo tanto elprecio p disminuye con el numero de unidades compradas q segun la siguiente tabla(q, p) = (3, 15), (4, 12), (5, 9), (6, 6).

- Escriba la ecuacion de q en funcion de p.- Escriba la ecuacion de p en funcion de q.

Ejercicio 11.12

Una compania renta autos a 40 [usd/da] y 0.15 [usd/milla]. Otra compania ofreceel mismo producto por 50 [usd/da] y 0.10 [usd/milla].

- Para cada compania, escriba la formula que determina el costo de rentar un autoen funcion de la distancia que se va a recorrer.

- En un mismo grafico, dibuje ambas funciones.- De que depende en que compania usted arrendara el auto?

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12 Linealidad y No-linealidad

Muchos argumentos que observamos a diario suponen que existe una tendencialineal entre variables que no necesariamente lo son.

12.1 Argumentos Lineales y No-lineales

Una ilustracion muy interesante respecto al uso de argumentos lineales versus no-lineales en poltica publica esta en How not to be wrong? de Jordan Ellenberg. Elejemplo que mostraremos en el resto de esta seccion abre el primer captulo, tituladoLinearity.

A proposito de la reforma de Salud implementada por Obama en EEUU (Afford-able Care Act), Daniel Mitchell, del Cato Institute (libertarios), escribio una entradade blog titulada Por que Obama quiere que America sea como Suecia, si Suecia estatratando de ser menos Suecia. El ttulo es provocativo, dado que ilustra un sencilloargumento: Obama esta tratando de nadar contra la historia, pues mientras los es-tados de Bienestar - Suecia includo - estan reduciendo sus impuestos y programassociales, el promete hacer justamente lo contrario.

Para responder esta crtica, Ellenberg usa lo que el mismo llama graficos bastantecientficos. El primero de ellos, muestra el argumento de Mitchell.

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Sin embargo, la vision de Mitchell no es la unica posible. Un segundo graficoilustra la posicion mas razonable desde el punto de vista de los democratas.

Las figuras anteriores ilustran la diferencia entre linealidad y no-linealidad,una de las distinciones mas importantes en matematicas. La curva de Cato es un

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lnea; la segunda curva no lo es. La diferencia fundamental es que una lnea tiene susextremos solo en los bordes, la curva no lineal puede tener maximos internos. Sinembargo, es importante indicar que la mayora de las curvas en economa (y en otrasciencias) son no-lineales.

El argumento de Mitchell es uno de falsa linealidad. Principios como masestado es malo, menos estado es bueno es un ejemplo de argumento basado en lafalsa linealidad.

Otra difencia fundamente respecto a estas funciones, y que se relaciona con laposicion de su punto optimo, es acerca de la pregunta: Hacia donde avanzar? Lano linealidad implica que para donde ir, depende de donde se esta. Es decir, puedeconvenir al mismo tiempo a EEUU aumentar su gasto fiscal, y a Suecia reducirlo.Esta es una diferencia fundamental respecto a la funcion lineal, la cual predice unaunica direccion hacie donde moverse.

Ejercicio 12.1: Izquierdizacion de Bachelet en Chile.

Comente el argumento de que el gobierno de Bachelet se ha izquierdizado, a partirde la diferencia entre argumentos lineales y no-lineales. En particular, discuta lapregunta: No sera que el pas se esta izquierdizando, pero solo para moverse haciael centro?

12.2 Argumentos Contrarios a la Linealidad

Como distinguir si una funcion es lineal o no? Existen dos formas, dependiendode la aplicacion. La primera, es el uso de argumentos extremos. Dado que una lnearecta mantiende su misma tendencia en el tiempo, valores muy grandes de x implicanvalores muy grandes (o muy pequenos) de y.

Ejemplo 12.1: Altura y Edad.

Consideremos al funcion Altura(Edad). Veamos porque esta funcion no es lineal.Supongamos que al ano de vida, un ser humano mide 50[cm], y a los 10 anos, 150[cm].Si suponemos que la funcion es lineal, entonces a los 70 anos una persona debiese medir7.5[m]. Esto indica que la funcion Altura(Edad) no es lineal, sino que debe curvarse

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en alguna edad de modo que la altura no continue aumentado indefinidamente.

Una segunda forma de chequear si una funcion es lineal o no, es observar sus tasasde cambio. En una funcion lineal, la tasa de cambio es constante. Para cualquiervalor del eje x, el cambio en y es el mismo. No es difcil ver que muchas funciones nocumplen esta restriccion.

Ejemplo 12.2: Altura y Edad.

Consideremos nuevamente la funcion Altura(Edad). Esta funcion no es lineal puesno es razonable sugerir que el cambio en altura entre los 0 y los 30 anos de un serhumano es el mismo que aquel entre los 30 y 60 anos.

12.3 Extrapolando la Linealidad

Los economistas, por medio de la econometra y usando un metodo conocidocomo regresion lineal, logran determinar la mejor funcion lineal que describe ciertarelacion. El metodo consiste en encontrar la mejor linea recta (la mejor en el sentidoque minimiza algun tipo de funcion de error) para un grupo de puntos. Sin embargo,extrapolar esta relacion lineal fuerta del ambito de observacion puede ser incorrecto.A pesar de esto, esta es una practica muy frecuente y que puede dar lugar a resultadosabsurdos.

Un ejemplo trivial de esto se relaciona al ejemplo anterior de la funcion Al-tura(Edad). Supongamos que tenemos una serie de ninos entre 0 y 10 anos, y notamosque estos tiene 8[cm] mas de altura por cada ano de vida. As, un nino que naciomidiendo 50[cm], a los 10 anos mide 1.30[m]. Sin embargo, no es apropiado extrapolareste resultado a cualquier edad en la vida. Si as lo hacemos, a los 50 anos el mismonino que medira 4.5[m].

Otro ejemplo, tambien del libro de Jordan Ellenberg, es la extrapolacion de losdatos de obesidad en EEUU. El artculo Will all Americans become overweight orobese?, Obesity, 16(10): 2323-2330, indica que todos los norteamericanos tendransobrepeso el ano 2048. El problema de este argumento es que extrapola un compor-tamiento lineal, observado entre 1987 y 2013, para todo el futuro.

Por que podra esta extrapolacion ser incorrecta? Es decir, que efecto podran

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estar curvando esta relacion. La principal razon, en este tipos de casos en que esta-mos hablando de una epidemia, es que a medida que la epidemia se expande ocurrendos fenomenos que tienden a retardarla. En primer lugar, cada vez quedan menospersonas sin obesidad, as que la tasa no puede mantenerse constante sino que debedecrecer en el tiempo (notemos que la obesidad no es una enfermedad de contagio,en cuyo caso este argumento se revertira). Se segundo lugar, al crecer una epidemiaaumentan los esfuerzos de poltica publica para contenerla. Por lo tanto, estas ten-dencias tienden a tener una forma acotada y no lineal.

Ejemplo 12.3: Record en Salto con Garrocha

Consideremos el ejemplo del salto con garrocha presentado en la seccion anterior.La funcion lineal que indica la altura obtenida en las primeras cuatro competenciasolmpicas, entre 1900 y 1912 es:

y = 130 + 2t

donde t es el ano de la competicion medido desde 1900. La pregunta es si se mantieneesta tendencia lineal en el tiempo. Es decir, podemos usar la relacion anterior masalla del ano 1912?

Naturalmente una relacion como la anterior no es extrapolable en el futuro. Larazon es simple: el hombre no podra saltar una altura arbitrariamente grande, noimporta cuanto tiempo transcurra. De hecho, la relacion lineal predice que la alturaen las Juegos Olmpicos del ano 2012 es de 354[inches]=9[mts]. Este valor es bastantemas alto que el record en dicha competicion, igual a 5.97[mts] y del actual record delmundo 6.16[mts].

La Tabla siguiente muestra el record de altura en salto con garrocha para losJuegos Olmpicos durante 1990s.

Juegos Olmpicos [anos] Altura [pulgadas]

1992 2281996 233200 232

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Ejercicio 12.2: Salto con Garrocha en 1990s.

Calcule las tasa de crecimiento anual del record de salto con garrocha desde 1992al ano 2000, suponiendo que el crecimiento es lineal.Como se comparar este cambiocon aquel descrito por la funcion y = 130 + 2t?

Este comportamiento, es decir, el hecho de que el record en salto con garrocha no eslineal sino que las tasa decrecen en el tiempo, se observa en cualquier comportamientodeportivo. El siguiente grafico muestra el record en los cien metros planos.

12.4 Aplicacion: Numero de Parlamentarios en Chile

El ano 2015, y luego de mas de 20 proyectos de ley, se modifico el Sistema ElectoralChileno que provena de tiempos de la dictadura, conocido como el Sistema Binominal.Un discusion clave para este cambio fue aquella acerca del numero de Parlamentarios.Finalmente, dicho numero aumento con la reforma desde 158 a 205, aumentando losDiputados de 120 a 155, y los Senadores de 38 a 50.

En esta discusion, el siguiente argumento se dio en las redes sociales para justificarel aumento de parlamentarios:

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En Chile desde 1990 con poco mas de 13 millones de habitantes, los 156 Parla-mentarios (120 Diputados + 36 Senadores) de la epoca debieran ser hoy cerca de 205,considerando que en la actualidad hay 17 millones de habitantes.

Formalmente, esta relacion puede verse como un ejemplo de la llamada regla detres:

156

13M

[Parlamentarios]

[Habitantes]=

205

17M

[Parlamentarios]

[Habitantes]

La relacion anterior indica que debe haber un representante por cada 83.000 habi-tantes. Es decir, este argumento nace del supuesto de que la relacion entre numerode representantes y habitantes es lineal. De hecho, el supuesto es mas fuerte: asumeque hay una relacion proporcional (Por que este es un supuesto mas fuerte?).

Para mostrar que el numero de Parlamentarios no es una proporcion al numerode habitantes, evaluemos la identidad 1 [parlamentario] por cada 100mil=105 [habi-tantes] en pases con casos extremos de poblacion. Consideremos primero un pasde pocos habitantes, como Uruguay.

- Uruguay- Poblacion: 3 106[habitantes]- Representantes: 3 101=30[parlamentarios]Este numero de 30 parlamentarios parece muy pequeno para operar razonable-

mente bien. Que ocurre en la caso contrario, en que tenemos un pas muy poblado?- China- Poblacion: 1, 7 109[habitantes]- Representantes: 1, 7 104=17,000[parlamentarios]As como 30 parlamentarios son muy pocos para sesionar, 17,000 es un numero

extremadamente alto como para hacerlo. De hecho, el Parlamento Uruguayo, lla-mado Asamblea General, tiene 130 miembros (31 Senadores y 99 Representates), yel Parlamento Chino, llamado Asamblea Popular Nacional, tiene del orden de 3,000diputados, pero solo 157 de ellos forman el Comite Permanente que es el equivalentea nuestro Parlamento.

Es evidente a partir de la discusion anterior, que la relacion entre poblacion ynumero de representantes no es lneal. Los datos siguientes muestran esta tendencia

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no lineal para el caso de Latinoamerica. Los datos son del paper Auriol, E., Gary-Bobo, R. J. (2012). On the optimal number of representatives. Public Choice,153(3-4), 419-445.

12.5 Ejercicios

Ejercicio 12.3

Critique los siguientes argumentos desde la perspectiva lineal/nolineal:- Menos regulacion de parte del gobierno mejora la inversion de los privados.- Mas impuestos siempre aumentan la recaudacion.- Mas desigualadad economica genera incentivos para que quienes estan en la parte

de abajo de la distribucion de ingreso.

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Ejercicio 12.4

Indique si estas funciones son lineales (justifique):- Relacion entre altura y largo de un brazo.- Relacion entre ingreso y esperanza de vida (curva de Preston).

Ejercicio 12.5

Considere la relacion entre horas de estudio diarias y los resultados en una pruebaestadarizada. Sin horas de estudio, el puntaje esperado es 30. Con 8 horas de estudioel puntaje es 80.

- Suponga que la relacion anterior es lineal. Escriba la ecuacion de esta lnea.- Calcule el puntaje para 16 horas de estudio. Cree que estos valores son razon-

able?

Ejercicio 12.6

Hacer una fiesta cuesta 500 e inicialmente la entrada se coloca a 1, 000. Unapersona plantea que conviene subir la entrada a 2, 000, pues vendra la mitad de lagenter, pero la ganacia por persona aumentara en 3 veces. Critique el argumento.

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13 Funciones No Lineales

La funcion lineal es un caso muy particular de funcion. La mayora de las funcionesson no lineales. La pregunta sobre la forma funcional es acerca de como escalan di-versas problemas que pueden ser representados por medio de funciones. Aca veremosalgunos ejemplos.

13.1 Polinomios

El siguiente ejemplo muestra como se origina un tipo de crecimiento que es maspronunciado que un crecimiento lineal. Es decir, las tasas de crecimiento no sonconstantes sino que aumentan con el argumento de la funcion.

Ejemplo 13.1: La Ley de Metcalfe.

La ley de Metcalfe indica el numero de connecciones en una red de telecomunica-ciones en funcion del numero de aparatos conectados.

Hay dos formas de calcular este numero de connecciones:

Forma 1.- La primera unidad (n = 1) no tienen otra coneccion: C(1) = 0.- La segunda unidad (n = 2) se conecta con la primera: C(2) = 1.- La tercera unidad (n = 3) se conecta con las primeras dos, por lo tanto el total

de conecciones es: C(3) = 1 + 2.- La n-esima unidad se conecta con todas las anteriores: C(n) = 1 + 2 + ...n 1.- El resultado de esta suma es C(n) = n(n 1)/2

Forma 2.- Todas las conecciones: n2

- Auto connecciones: n- Estamos contando dos veces cada conneccion: 1/2Se obtiene

C(n) =1

2(n2 n)

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Vemos que si n es muy grande, C(n) tiende asintoticamente a n2. Es decir, elerror de aproximar la funcion anterior por (1/2)n2 (1/n), por lo cual la aproximaciones suficientemente cercana para valores grandes de n.

Ejercicio 13.1: Parejas en la Sala.

Calcule el numero posibles de parejas de alumnos (cualquier genero), en funciondel numero de alumnos.

Ejemplo 13.2: Armando Rompecabezas.

Considere el tiempo que usted ocupara en armar un rompecabeza. Como escalaese tiempo segun el numero de piezas?

Para resolver este problema, consideremos un modelo sencillo sobre como hacerun rompecabeza. Supongamos que se coloca un pieza al azar, y luego se la intentajuntar con las n 1 piezas restantes. Sea el tiempo que demora esta operacion.Por lo tanto, en valores esperado, el tiempo que demora colocar la segunda piezaes (n 1)/2. El termino 1/2 surge del valor esperado, pues en promedio la piezala encontraremos en la mitad de nuestra busqueda. Para la tercera pieza se tiene(n 2)/2. Luego, la suma de estos tiempo es la suma sobre n, que sabemos quetiende a n2. Por lo tanto, nuestro modelo sencillo indica que el tiempo escala demanera cuadratica.

Ciertamente, el problema podra no tener un exponente igual a dos, sino cercano.Pero lo importante de este ejemplo es entender que el problema no es lineal, sino masbien cuadratico, pues la complejidad del armado escala mas que lineal.

13.2 Funcion Modulo

La funcion modulo de x, o |x| entrega la magnitud de x en valor positivo. Porlo tanto, es igual a x en el rango de los numeros positivos, y cambia de signo en elrango de los numero negativos.

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|x| ={x x < 0x x 0

El grafico de la funcion es un triangulo invertido centrado en cero.

Ejemplo 13.3: Historia de Tres Ciudades.

Considere las siguientes tres ciudades consecutivas: Arica (A), Iquique(B) y Antofa-gasta(C). Una persona viaja desde Arica a Antofagasta a velocidad constante v. Es-cribamos las funciones que describen la distancia a cada una de las ciudades en funciondel tiempo de viaje. Para el caso de las distancias a Arica y Antofagasta funcion deltiempo, DA(t) y DC(t), respectimente, las funciones son:

DA(t) = v tDC(t) = D0 v t

La primera es una funcion lineal creciente, que indica que la distancia del viajeroa Arica aumenta en el tiempo. Lo contrario ocurre hacia Antofagasta, cuya distanciadecrece. Notamos que D0 es la distancia entre las dos ciudades, y hay un tiempo ten el cual DC(t)=0, es decir, un tiempo para el cual el viajero llego a Antofagasta.

La distancia a Iquique requiere de cierta no-linealidad en la funcion, pues dichadistancia disminuye en la medida que el viajero se aleja de Arica y se acerca a Iquique,pero luego de pasar el viajero por Iquique dicha funcion disminuye. SeaD1 la distanciaentre Arica e Iquique, entonces dicha funcion es:

DB(t) = |v tD1|

Vemos que en t = 0 la distancia a Iquique es D1. Luego decrece en el tiempohasta el punto es que D1 = v t, tiempo en el cual el viajero pasa por Iquique. Paratiempos mayores, la funcion comienza a crecer.

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Ejercicio 13.2: Funcion Modulo.

Describa otras dos situaciones de la vida cotidiana que pueden describirse a partirde la funcion modulo.

13.3 Funciones por Trozos (piecewise)

Una funcion usada recurrentemente en economa y polticas publicas es la funcionescalon. Este es un caso particular de funciones definidas por trozos, es decir, sedefinen por intervalos del argumento. Un clasico ejemplo de funcion escalon es elprecio de un taxi: 300[$] la bajade de bandera, y 120[$/200m]. Otras dos aplicacionesque veremos aca son los sistemas electorales y el esquema tributario (ver ejercicios).

Definicion. Una funcion f : R R es una funcion escalon si se escribe:

f(x) =ni=0

i Aj(x), x R

donde n 0,i R; Ai R, siendo el dominio de la funcion A = iAi R; y Ai(x)es una funcion indicador:

Ai(x) =

{1 If x Ai;0 If x / Ai.

Un ejemplo de funcion escalon es el siguiente:

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

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Ejemplo 13.4: Sistemas Electorales.

Un sistema electoral es una funcion que transforma (fraccion de) votos en asientos.Supongamos que hay dos partidos I,D, y el partido I saca una fracion de votos v.Supondremos ademas que hay un distrito, y en ese distrito se escoge 1 asiento. Elasiento es divisible (es decir, podran ser 100 asientos en vez de 1; pero aca solo nosinteresan fracciones). El sistema electoral asocia una determinada fracion del asiento,que llamermos A, en funcion de la fracion de votos. Graficaremos A(v) para losmodelos mas conocidos de sistemas electorales.

Sistemas Proporcionales: un sistema proporcional asigna asientos propor-cionalmente al numero de votos. Estos sistemas priorizan la representatividadde las preferencias. Considereremos el caso extremo en que la proporcionalidad esperfecta, es decir, se asocia la misma fraccion de asientos que de votos. En este caso,la funcion que describe el sistema electoral es una funcion lineal con una inclinacionde 45 grados.

Sistemas Mayoritarios: se asocia 1 asiento al partido que saca mas del 50% delos votos. Estos sistemas priorizan la gobernabilidad de la mayora. En este caso,la funcion que describe el sistema electoral es un funcion escalon, que toma el valorcero si v < 0.5 y toma el valor 1 en caso contrario.

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El siguiente ejercicio le muestra un sistema electoral intermedio entre estas doscategoras.

Ejercicio 13.3: Sistema Binominal.

El sistema Binominal es un caso particular de sistema proporcional, donde se asig-nan dos asientos por distrito. Dado que estamos considerando un asiento divisible,diremos que el partido I se lleva todo el asiento si dobla en votos al partido D, selleva media asiento si no lo dobla pero tampoco es doblado, y cero asientos cuandoI saca menos de la mitad de votos que D. Grafique la funcion que representa estesistema electoral, y muestre que hay un tramo de votos en que la mayora de vo-tos no se traduce en una mayora de asientos. Note que este empate ficticio esuna particularidad del sistema binominal que no se observa en los ejemplos vistosanteriormente.

Ejemplo 13.5: Promocion por compras grandes.

Considere la siguiente promocion: a partir del quinto producto, todo el resto es amitad de precio. Hay varias funciones relevantes en este sencillo problema.

Primero, escribamos la funcion que describe el precio pagado por la unidad numeroq. Se trata de la funcion escalon en q = 5:

p(q) =

{p si q 512p si q > 5

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En segundo termino, la funcion del gasto G de comprar q unidades es una funcionlineal que es continua en 5 pero cambia de pendiente en ese valor.

G(q) =

{qp si q 5

5p+ (q 5)12p si q > 5

Tercero, el precio efectivo pe, definido como el precio promedio por unidad, de qunidades. Esta es una funcion continua, recta hasta q = 5 y luego decae asintoticamentea p/2.

pe(q) =

{p si q 5

5p2q

+ 12p si q > 5

13.4 Ejercicios

Ejercicio 13.4

Considere la funcion que relaciona el largo de la sombre de un poste de luz enfuncion de la hora del da. Suponga, por simplicidad, que el sol aparece a las 8 AMy se esconde a las 8 PM; y que a las 12 del da el sol esta exactamente sobre el poste.

- Grafique esta funcion.- Indique como vara la tasa de cambio de la funcion.- Por que esta funcion es no-lineal?

Ejercicio 13.5

Existen un serie de personas que viven a una distancia d de la parada de bus,y demoran d (velocidad=1) hasta ese lugar. El bus sale cada 5 minutos y tarda 10minutos mas en llegar al lugar de trabajo. Grafique el tiempo total de viaje t(d) enfuncion de d.

Ejercicio 13.6

La siguiente es una tabla simplificada que simula un impuesto a la renta

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factor tasa efectiva0-100 0.00% 0.00%100-200 5.00% 2.50%200-300 25.00% 10.00%300- mas 40.00% mas de 23.33%

Cuanto paga un individuo con W = 250? Considere que los primeros 100 pesosno pagan impuestos, los 100 que siguen se les imputa un factor de 5% y as. Cuantopaga un individuo con W = 500?

Ejercicio 13.7

El impuesto de segunda categora en Chile impone tasa tributarias en funciondel tramo de ingreso. Considere los valores de estas tasas para el ano 2014:http://www.sii.cl/pagina/valores/segundacategoria/imp2daenero2014.htm

- Grafique la tasa de impuestos en funcion de ingreso- Grafique el pago total del impuestos como funcion de ingreso- Grafique la tasa neta de impuestos como funcion del ingreso.

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