Aproximaciones y errores de redondeo
Cifras significativas
• Los métodos numéricos dan resultados aproximados.
• Se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiables son.
• Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.
Fig 3.1
Cifras significativas
• Las computadoras sólo retienen un número finito de cifras significativas, los números irracionales jamás se podrán representar con exactitud.
• La omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo
Exactitud y precisión
• Exactitud: se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.
• Precisión: se refiere a qué tan cercano se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.
Fig 3.2Exactitud creciente
Pre
cisi
ón
cre
cien
te
Exactitud y precisión
• Inexactitud: conocida como sesgo, se define como una desviación sistemática del valor verdadero.
• Imprecisión: conocida como incertidumbre, se refiere a la magnitud en la dispersión de los datos.
Definiciones de error
• De truncamiento: resultan del empleo de aproximaciones.
• De redondeo: se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.
Errores
• La relación entre el resultado exacto y verdadero está dado por:
Valor verdadero = valor aproximado + error
• Et= valor verdadero – valor aproximado
Error
error verdaderoError relativo fraccional verdadero =
valor verdadero
error verdadero100%
valor verdaderot
Cálculo de errores
• Se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm.
• Calcule el error verdadero• Calcule el error relativo porcentual
Error
• En situaciones reales a veces es difícil o imposible contar con el valor verdadero.
• Cuando no se conoce a priori la respuesta verdadera, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor aproximación posible al valor verdadero.
Error
error aproximado100%
valor aproximadoa
aproximacion actual - aproximacion anterior100%
aproximacion actuala
el subindice a significa que el error esta normalizado a un valor aproximado
Error
• Los signos de las ecuaciones anteriores pueden ser positivos o negativos.
• A menudo, no importa mucho el signo del error, sino que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada s
Error
a s
Si se cumple esta relación, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable fijado previamente.
Error
• Es posible demostrar que si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad de que el resultado es correcto con al menos n cifras significativas.
2(0.5*10 )%ns
Estimación del error con métodos iterativos
• La función exponencial se calcula usando la siguiente Serie de Maclaurin:
2 3
12! 3! !
nx x x xe x
n
Errores de redondeo
Errores de redondeo
• Se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo.
• Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10.
Errores de redondeo
• Se relacionan de manera directa con la forma en que se guardan los números en la memoria de la computadora.
Representación de números
• La unidad fundamental se llama palabra (byte).
• Una palabra es una cadena de dígitos binarios o bits.
• Los números son guardados en una o más palabras.
Sistemas numéricos
• Notación posicional
• Bases
Fig 3.3
Representación entera
• Método de magnitud con signo
• Emplea el primer bit de una palabra para indicar el signo. (0 positivo, 1 negativo).
• Los otros bits se usan para guardar el número.
• 1000000010101101=-173
Fig 3.4
NúmeroSigno
Complemento a 2
• Incorpora directamente el signo dentro de la magnitud del número.
Punto Flotante
• Se utiliza para representar números fraccionarios.
• Todo número se expresa como una parte fraccionaria llamada mantisa y una parte entera llamada exponente.
emb
Punto Flotante
156.78=0.15678x103
• En punto flotante, el primer bit se usa para el signo.
• La siguiente serie de bits para el exponente con signo.
• Los últimos bits para la mantisa.
Fig 3.5
Mantisa
Exponente signado
Signo
Mantisa normalizada
• Si se guarda en una computadora que sólo permite cuatro lugares decimales, se guardaría como 0.0294x100
• El cero inútil a la derecha del punto decimal hacer perder el dígito 1.
10.029411765
34
Mantisa normalizada
• El número se normaliza para eliminar el cero, multiplicando por 10 y disminuyendo el exponente en 1, quedando:
0.2941x10-1
• Así se conserva una cifra adicional.
Mantisa normalizada
• La normalización consiste en limitar el valor absoluto de m a:
11m
b
Punto Flotante• Permite representar tanto fracciones como
números muy grandes.
• Requieren más espacio y más tiempo de procesamiento.
• Introducen un error de redondeo ya que la mantisa conserva un número finito de cifras significativas.
Problema
• Determinar un conjunto hipotético de números con punto flotante para una máquina que guarda la información usando palabras de 7 bits.
• El primer bit para signo del número.• Los otros 3 para signo y magnitud del
exponente.• Los últimos 3 para magnitud de la mantisa.
Problema• 0111100 número positivo más pequeño.
0111100=+0.5x10-3
• Los siguientes números más grandes son:
0111101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-3=0.078125
0111110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-3=0.093750
0111111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-3=0.109375
Fig 3.6
Signo de número
Signo de exponente
Magnitud de mantisa
Magnitud de exponente
Problema
• Las equivalencias en base 10 se esparcen de manera uniforme en un intervalo de 0.015625.
• Para continuar el incremento se debe disminuir el exponente a 10, lo cual da
1x21+0x20 = 2
Problema
• La mantisa vuelve a disminuir hasta su valor más pequeño: 100, por lo que el siguiente número es:
0110100=(1x2-1+0x2-2+0x2-3)x2-2=0.125000
• Lo cual sigue dando una brecha de 0.015625
Problema
• Los siguientes números incrementando mantisa son:
0110101=(1x2-1+0x2-2+1x2-3)x2-2=0.156250
0110110=(1x2-1+1x2-2+0x2-3)x2-2=0.187500
0110111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x2-2=0.218750
La brecha es ahora de 0.03125
Problema
• El número más grande es
0011111=(1x2-1+1x2-2+1x2-3)x23=7
Fig 3.7Redondeo
Rebose
Cancelación
“Hueco” de subrebose en cero
Errores de redondeo
• El rango de cantidades que pueden representarse es limitado.
• Existe sólo un número finito de cantidades que puede representarse dentro de un rango limitado.
• El intervalo entre los números aumenta conforme los números aumentan en magnitud.
Rangos limitado
• Hay números grandes positivos y negativos que no pueden representarse.
• Intentar emplear números fuera del rango da como resultado error de desbordamiento (overflow).
• Números muy pequeños tampoco pueden representarse (underflow) debido al agujero entre el cero y el primer número positivo.
Número finito de cantidades
• El grado de precisión es limitado.
• Los números irracionales no pueden representarse de manera exacta.
• Tampoco los racionales que no concuerdan pueden ser representados de manera precisa.
• Errores de cuantificación.
Errores de cuantificación
• La aproximación real se realiza de dos formas: cortando o redondeando.
• Cortando: simplemente omitir o cortar a partir de un término. Todos los errores son positivos.
• Redondeando: produce un error menor que el corte pero aumenta el trabajo computacional.
Intervalo entre números
• Permite que la representación de punto flotante conserve los dígitos significativos.
• También significa que los errores de cuantificación sean proporcionales a la magnitud del número representado.
Intervalo entre números
• Para normalizar los números de punto flotante, esta proporcionalidad se expresa:
Corte: x
x
Redondeo:
2
x
x
Intervalo entre números
• b es el número base
• t es el número de dígitos significativos en la mantisa.
1-t
epsilon de la maquina
=b
Fig 3.8
Error relativo
más grande