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8/19/2019 Apoyo Cubo Electricidad Potencial

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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA - 1/7/2005

Tiempo: 3h. y media

1.- (1.5 puntos) Explicar por qué las líneas de campo eléctrico no se pueden cortar.Suponiendo que las líneas de campo se cruzasen en algún punto ¿qué podríamos decir de

la fuerza eléctrica que sentiría una partícula cargada situada en dicho punto? ¿Puedencortarse entre sí superficies equipotenciales? Razonar la respuesta.

Suponiendo que dos líneas de campo eléctrico secortaran, en el punto P de corte el campo eléctricotendría 2 valores, tal como vemos en la figura. Esto notiene sentido, ya que el valor del campo eléctrico en unpunto está unívocamente determinado por la ley deCoulomb.

Una carga puntual situada en el punto P “sentiría” unafuerza que tendría a la vez 2 valores distintos, lo cual es

igualmente absurdo.Razonando de forma similar, podemos afirmar que 2superficies equipotenciales no pueden nunca tenerningún punto común, pues entonces a ese punto lecorresponderían 2 valores diferentes de potencial.

----------------------------------------------------------------------------

2.- (1.5 puntos) Tenemos ocho cargas puntualestodas iguales de valor q en los vértices de uncubo de lado (arista) a. (ver figura). Calcular:

a) El campo eléctrico en el centro del cubo (puntoO)b) El potencial eléctrico en el centro del cubo

(punto O)c) El campo eléctrico en el centro de la cara

superior (punto B)d) El potencial eléctrico en el centro de la cara

superior (punto B)

a) Por la simetría de las 8 cargas respecto del centro O, el campo eléctrico en dichopunto será nulo.

b) La distancia de cada uno de los vértices del cubo; es decir, de cada una de lascargas q, es:

222

222 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

aaab , y por lo tanto el potencial debido a cada una será:

b

qKV =1 , y el total: b

qKV 8

c) Para determinar el campo eléctrico en el punto B, no hace falta considerar las 4cargas de la cara superior del cubo, puesto que por simetría sus efectos en B secancelan. Por lo tanto el campo, EB , será la suma de los producidos por las 4 cargas

de la cara inferior. La distancia de cada una de dichas cargas a B será:2

22

22a

aac

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= , y el módulo del campo debido a una carga será:


2/6

21 c

qKEB = . Las componentes sobre los ejes X e Y se anularán por simetría.

La componente sobre el eje Z será: βcosc

qKE ZB 21 , siendo c

acos =

Por lo tanto, nos queda finalmente: k jiEB ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

βcos

c

qK

2400

d) El potencial eléctrico, , será la suma de los potenciales de cada una de las 8 cargas.La distancia de cada una de las 4 cargas de la cara superior será.

22

22 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

aad y por lo tanto, el potencial debido a las 4 cargas de la cara

superior:d

qKVBS 4 y el potencial debido a las 4 de la cara inferior: c

qKVBI 4 .

Por lo tanto el potencial total en el punto B será:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

dcKq

d

qK

c

qKVB

11444

----------------------------------------------------------------------------

3.- (1.5 puntos) Una varilla de longitud L está cargada con una densidad lineal uniformede carga λ y carga total Q. Calcular:

a) El campo eléctrico en un punto del eje que se encuentra a una distancia x0 de unextremo.b) El potencial eléctrico para cualquier punto del eje x exterior a la varilla.c) Utilizando la expresión obtenida en el apartado b), calcular el campo eléctrico en el

punto x0. Comprobar que el resultado coincide con el obtenido en el apartado a).d) El trabajo para llevar una carga puntual de valor q0 desde el punto x1 al x0

a) Considerando descompuesta la varilla en elementos de longitud infinitesimal dx , elmódulo del campo eléctrico en un punto del eje x a distancia x0 será:

2

0

0 xx

dxKdE x

λ

= y como la dirección es la del mismo eje x, tendremos:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ

=

∫ LxxK

xxdxKE

L

x000

2

0

011 , que es el módulo. El vector será:

k jiE x0 0011

00

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

LxxK (1)

b)xx

dxKdVx

λ

=

0

0 e integrando⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ

∫

0

0

0 0

0 x

LxlnK

xx

dxKV

L

x

c) Teniendo el potencial en función de la distancia x0, podemos calcular el campoeléctrico por la relación fundamental 0xVgradE x0 − . En este caso, como

estamos sobre el eje x, solo tenemos que derivar Vx0 respecto de la variable x0:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

LxxK

x

VE xx

000

00

11, que es el mismo valor obtenido en a)


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d) El trabajo será:⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ

01

1010010 xLx

xLxlnKVVqW XXx,x

----------------------------------------------------------------------------

4.- (1.5 puntos) Calcular el campo eléctrico creado por un plano infinito cargada con una

densidad superficial uniforme decarga σ1.1 σ2Se añade otro plano infinitoparalelo al anterior, cargado condensidad superficial uniforme de

carga σ2 y a una distancia d delprimero. Calcular para la nuevaconfiguración el campo eléctricoen todos los puntos del espacio.d

d

σ

2

σ

1

Al considerar infinitos los planos, por simetría, el vector campo eléctrico será perpendiculara dichos planos, lo que nos permite aplicar ventajosamente la ley de Gauss. Tomaremoscomo superficie de Gauss un cilindro (ver figura 1): el flujo a través del área lateral seránulo y a través de las bases será:

12 E A siendo E1 el módulo del campo eléctrico. Aplicando Gauss (ver Figura 1): nos

queda:0

112

ε

σ

=

AE A , de donde sacamos:

0

11

2ε

σ

=E (módulo).

Figura 1

Si añadimos otro plano paralelo y con densidad σ2, el razonamiento será idéntico. Para

puntos fuera del espacio entre ambos planos, el flujo a través del área lateral será nulo y através de las bases será: siendo Eext,,ext,, E A 2121 2 1,2,ext el módulo del campo eléctrico


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para puntos fuera del espacio entre planos. Aplicando Gauss (ver Figura 2): nos queda:

0

212121 2

ε

σ

=

AE A ext,,ext,, , de donde sacamos:

0

2121

2ε

σ

=ext,,E (módulo).

Igualmente, para puntos situados entre ambos planos (ver Figura3) resulta:

0

12121 2

ε

σ

=

AE A in t,,in t,, , de donde sacamos:

0

121

2ε

σ

=int,,E (módulo)

Figura 2 Figura 3

----------------------------------------------------------------------------

5.- (1.5 puntos) Dos condensadores de placas paralelas tienen la misma separación eigual superficie de las placas. La capacidad de cada uno de ellos es inicialmente 10 µF.Insertando un dieléctrico en el espacio completo entre las placas de uno de los

condensadores, su nueva capacidad es 35 µF. Los condensadores de 35 µF y 10 µF seconectan en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 100 V. A continuaciónde desconecta la fuente de tensión.

a) Cuales son las cargas de los dos condensadoresb) Cual es la energía almacenada en este sistema

A continuación se extrae el dieléctrico del condensador

c) Cuales son las nuevas cargas de los dos condensadores d) Cual es la energía final almacenada en el sistema e) ¿Se cumple el principio de conservación de la energía? Razonar la respuesta

Suponemos que inicialmente el dieléctrico es el vacío (constante ε0). La capacidad inicialde ambos es C0= 10 µF, el área A, la separación d, la capacidad del condensador en elque introducimos el dieléctrico de constante ε1, es C1= 35 µF.

a) C0 y C1 conectados en paralelo a una d.d.p. V=100 V. La carga almacenada en C0 será: q0= C0V; q0= 1 mC. La carga almacenada en C1 será: q1= C1V; q 1= 3.5 mC

b) 2102

1VCCW ; W = 0.225 J

c) Al extraer el dieléctrico, el condensador de capacidad C1 pasa a tener una capacidadC0. Al estar desconectada la fuente de energía, la carga total se conserva, es decir,será q0+ q1 = 4.5 mC. La nuevas cargas serán por lo tanto q= 2.25 mC en cada uno.


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d) La energía ahora será: 202

002

1VCVCCW ´

=

; W´= 0.100 J

e) Como vemos, W> W´, es decir, aparentemente, no se cumple el principio deconservación de la energía. Como eso no es admisible, hemos de justificar laenergía que falta. Esta no es otra que la energía invertida en la polarización deldieléctrico. Cuando el dieléctrico se extraiga, las moléculas de desordenarán, lo que

significa que aumentará la temperatura del mismo.

----------------------------------------------------------------------------

6.- (1 punto) El espacio comprendidoentre dos paralelepípedos coaxiales delongitud L y con sus lados de valores a,b, c y d está lleno de un materialconductor de resistividad ρ. Se conectaentre los puntos R y S una fuente de

tensión V. Calcular:

L

a

b

c

d

R

V

S

a) La resistencia del materialb) La corriente que circulac) ¿Cómo podríamos disminuir laresistencia?

a)cdab

LR

−

b)

L

cdabV

R

VI

ρ

−

=

c) Mecanizando la pieza de forma que disminuyera L y, por consiguiente, aumentarael área ab-cd. También podríamos enfriar el conductor, con lo que disminuiría laresistividad.

----------------------------------------------------------------------------


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7.- (1.5 puntos) Tenemos un bloque de germanio de longitud L=1 mm y de área S =0.01mm

2 a una temperatura de 20º C. Calcular:

a) La resistencia del bloque de germanio intrínseco entre A y B.b) La resistencia del bloque si añadimos impurezas de fósforo en proporción1/10

6.

Datos: ni(concentración intrínseca Si a 20º C) =2.36 1019

m-3

, µn = 0,390 m2

(V s)-1

,

µp =0,182 m2 (V s) -1, densidad DGe=5.32 g cm

-3; Masa atómica AGe=73 g mol-1; número de

Avogrado N A=6.02x1023

mol-1

; carga del electrón e = - 1.6x10

-19C

a)S

LR ii ρ ; donde

ii

σ

1 y pnii ne µ . Finalmente, nos queda:

pnii neS

LR

µ

y numéricamente: Ri≈ 4.63 x 108 Ω i≈ 463 MΩ

b) El SC será tipo N, los portadores mayoritarios serán los electrones y despreciaremos laproporción de huecos minoritarios.

S

LR NN ρ ; donde

NN

σ

1 y nN ne µ . Finalmente, nos queda:

nN neS

LR

µ

y

Ge

Ge A

ADNn = y sustituyendo en la anterior:

Gen

GeN DneS

ALRµ

. Numéricamente nos resulta:

RN≈ 1424.61 Ω

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