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Vectores Coordenados
Ilustración 38
Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que
pasa por el punto A(-2, 1, 3) y es paralela al vector ⎯→ ⎯
DT , siendo D(4, 0, -1) y
T(2, -3, 1).
Solución
Designemos esta recta por ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎯→ ⎯ DT A L ,
Sea P(x, y, z) tal que P∈ ; esto es P representa un punto genérico
de la recta.
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎯→ ⎯ DT A L ,
Determinemos los vectores de posición Py
rr
A respectivamente.
Tenemos ahora que:
1. P = A + AP2. AP = λDT Con λ ∈ a R. ¿Porqué?3. P = A + λDT Sustitución de 2 en 1.4. DT = T – D ¿Porqué?5. P = A + λ(T - D), λ∈R} Ecuación vectorial de esta recta.
6. L(A, DT) ={P (x, y, z) / P = A + λ(T - D), λ∈R}
O
A
P
P
y
x
z
AD
T
⎟⎟ ⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ ⎯→ ⎯ DT A L ,
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Como DT = T – D (2,-3,1)-(4, 0, -1); esto es DT (-2,-3,2)
Por la correspondencia entre vectores de posición y vectores coordenadostenemos de 5:
7. P (x, y, z) = (-2,1,3) + λ(-2,-3,2)(x, y, z)= (-2 -2λ, 1-3λ, 3+2λ) y de la igualdad de n-tuplas se obtiene:
x = -2 -2λ y = 1 - 3λ λ ∈ R. Ecuaciones paramétricas de esta recta. z = 3 + 2λ
8. Despejando el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores y por latransitividad en la igualdad tenemos:
2
3
3
1
2
2 −=
−−
=−+ z y x
Ecuaciones simétricas de esta recta.
Ilustración 39
Determine para la recta de la ilustración anterior:
Sus interceptos con los planos z y x ↔↔↔ yz,x, •
• Su intersección con el plano de ecuación cartesiana 2x-y+3z=5Solución:
La ecuación cartesiana del plano y x ↔ corresponde a: 0x +0y+z=0; ysustituyendo las coordenadas respectivas, de las ecuaciones paramétricas enesta ecuación tenemos: 3 + 2λ=0 y λ= -3/2, evaluando para este valor, lasecuaciones paramétricas, se obtiene:
X=-2+2 (3/2) =1Y= 1 + 3(3/2)= 11/2
Z=0
En consecuencia (1, 11/2, 0) corresponde al punto de intersección de la rectacon el plano y x ↔ .
Determine el intercepto con los otros dos planos.Veamos ahora el intercepto con el plano de ecuación 2x-y+3z=52(-2 -2λ)-(1-3λ)+3(3+2λ)=5-4 - 4λ-1+3λ+9+6λ=54+5λ=5, λ= 1/5; evaluando las ecuaciones paramétricas con este valor,
obtenemos el punto (-8/5, 8/5, 17/5), correspondiente a la intersección.
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Ilustración 40
Dadas las rectas L1 y L2 en el espacio y de ecuaciones:
x = -2 +3λ
x = 3 - β L2: y = 5 +2β β ∈ R.
L1: y = 5 - λ λ ∈ R. z = 2λ
z = β
Determine el conjunto L1∩L2 e interprete geométricamente sus posiciones
relativas:
•
• Sea
• Sea
θ
Veamos inicialmente si L1//L2, por ser muy sencillo el criterio que lo
determina.→1u ↔ (3,-1,2) con u // L
→
1 1 ¿Porqué?→
2u ↔ (-1,2,1) con u //L2→
2
L1//L2 si y solo si u //u ¿Porqué?→
1
→
2
Pero si y solo si u . Teorema. Criterio del paralelismo.→→
21// uu→→
= 21 u
Asumamos, a prueba de hipótesis . Esto es (3,-1,2) = θ(-1,2,1); si esto
se diera tendríamos que:
→→
= 21 uu θ
3= -θ -1= 2θ Generando un sistema inconsistente; lo que nos permite concluir
que u ╫ y en consecuencia ╫ L →
1
→
2u 1 L 2 2 = θ
Procedemos ahora a determinar 1 L 2 L∩ .
1) β λ −=+− 332 1) 3 5=+ β λ 2) β λ 255 +=− 2) 02 =−− β λ 3) β λ =2 3) 2 0=− β λ
Aplicando el método de reducción de Gauss - Jordan se tiene:
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
12
21
13
5
⎥⎥⎥
⎦
⎤
0
0
5
⎯→ ⎯ 12 E
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−12
13
21
⎥⎥⎥
⎦
⎤
0
5
0
⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ +− 213 E E
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
50
50
21
⎥⎥⎥
⎦
⎤
0-E1
0
-2E1+ E3
⎯ ⎯ ⎯ → ⎯
+− 32 E E
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−0050
21
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
− 55
0
-
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Lo que nos permite afirmar que el sistema es inconsistente y en consecuencia= Φ .1 L ∩ 2 L
Este ultimo resultado y la conclusión previa de que ╫ , nos permiteconcluir, según la teoría, que las rectas y se “cruzan en el espacio”.
1 L 2 L
1 L 2 L
Ilustración 41
Dados los planos π1, π2 y π3 de ecuaciones cartesianas en su orden:
π1 : x – y +2z = 1π2 : x + 3y – z = 2π3 : 2x + 6y – 2z = 3
Determine e interprete geométricamente1. π1 ∩ π2 2. π2 ∩ π33. π1 ∩ π2 ∩ π3 Veamos para el primer conjunto.
Por el método de reducción de Gauss Jordan
⎢⎣
⎡−
−
131
211 ⎥
⎦
⎤2
1 ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ +− 21 E E ⎢
⎣
⎡−
−
340
211⎥⎦
⎤1
1 ⎯ ⎯ → ⎯ 24/1 E ⎢
⎣
⎡−
−
4/310
211⎥⎦
⎤4/1
1
⎯ ⎯ → ⎯ + 12 E E ⎢
⎣
⎡− 4/310
4/501 ⎥
⎦
⎤4/1
4/5
Sistema equivalente reducido.1. x +5/4z = 5/42. y -3/4z = 1/4
x = 5/4 - 5/4λ 1. y = 1/4+ 3/4λ λ ∈ R Solución del sistema
2. z = λ Esto significa que π1 ∩ π2 = L( A, ), donde A(5/4, 1/4, 0) y (-5/4, 3/4,1)
→
t →
t
Ilustración 42
Dados S (-4,-2,6) y (2,1,2)→
n ↔Determine:
1. La ecuación vectorial del plano que pasa por S y es perpendicular al
vector ; que designamos por π( , S).
→
n
→
n2. La ecuación cartesiana de este plano.
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3. La distancia de un punto Q(3,4,-2) a este plano.4. Las coordenadas correspondientes a la proyección ortogonal de Q
sobre el mismo plano.5. Las coordenadas del punto simétrico de Q respecto al plano inicial.
6. El ángulo entre el plano π( , S) y el plano de ecuación 5x -2y + z = -3
→
n Solución:
1. Sea P(x, y, z) ∈ π( , S).→
n
Entonces→
SP ⊥ y por lo tanto→
n
Ecuación vectorial.→
SP . = o→
n
2. = ( x+4, y+2, z-6)→
SP→→
− S P ↔
. = 2 (x + y) + (y + 2) + 2(z – 6) = 0→
SP→
n
2x + y +2z = 2 Ecuación cartesiana.+ + =
3. Sea A ∈ π( , S); en particular→
n
A (0, 0, 1) está en el plano
d(Q, π( , S)) = HQ→n
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
•=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ==
⎯→ ⎯
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
⎯→ ⎯
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
2
n
n AQ
n
AQ pr AT HQ
-
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Por tanto→
→
→→→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= n
n
n AQ HQ
2
. =
→
→→
n
n AQ..
= 33.19
4=
Calculemos las coordenadas del punto H
Podemos afirmar que { H } = π( , S) ∩ L (Q, ). ¿Por qué?→
n→
n
• Si P (x, y, z) ∈ L (Q, ), entonces P = Q + λ y sus ecuacionesparamétricas son:
→
n→
n
1. x = 3 + 2λ 2. y = 4 + λ R∈λ 3. z = -2 +2λ
( ) ( ) ( ) 22224232 =+−++++ λ λ λ 9/4−=∴λ
y ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
9
22,
9
32,
9
19 H
Designemos Q´ por el punto simétrico de Q respecto al plano π( , S), se
cumple en consecuencia que:
→
n
Q´ = Q + QQ´ ¿Porqué?Q´ = Q + 2QH ¿Porqué?QH = H – Q ↔ )9/4,9/4,9/8( −−Q´ (3, 4, -2) + (-16/9, -8/9, 8/9)Q´ = (11/9, 28/9, -10/9)
Q´
Q
O
A H
→
n
´
-
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Determinemos perpendicular al plano de ecuación 5x – 2y + z = -3, en
particular ; y por lo tanto el ángulo entre los planoscorresponde a:
→
t
( 1,2,5 −↔→
t )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=→→
→→
−
t n
t n .cos 1α ¿Por qué?
º51,52309
10cos 1 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
×= −α
Ilustración 43
Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwarz.
Si , entonces,3, E ba ∈→→
..→→→→
≤ baba
Demostración
1. α cos.→→→→
= baba Definición de producto escalar.
α cos.→→→→
= baba2. Tomado de valor absoluto en 1
α cos.→→→→
= baba Propiedad de valor absoluto y magnitud
de un vector libre.
3.
4. 1cos1 ≤≤− α Rango de la función coseno
5. 1cos ≤α Propiedad del valor absoluto de 4
6.→→→→
≤ baba α cos ¿Por qué?
7.→→→→
≤ baba . ¿Por qué?
Ilustración 44
-
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Sea ∆ ABC con ángulo recto en AH C A B ;ˆ altura. Demuestre vectorialmenteque:
1. HBCB AB→→
=→ 2
2.CH CB AC →→=→ 2
3.→→
=→
CH BH AH
2
B C
A
H
Solución
1. AB AB AB→→
=→
.
2 Definición de producto escalar.
2. CACB AB→
−→
=→
Diferencia de E3
3. HA HB AB→
−→
=→
Diferencia de E3
4. De 2 y 3⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ →−
→→−
→=
→→ HA HBCACB AB AB ..
5. Propiedad distributiva delproducto escalar respecto a lasuma
→→→→→→→→→→
+−−= HACA HBCA HACB HBCB AB AB .....
6. ¿Por qué?0. =→→
HACB
7. Sustitución de 6 en 5→→→→→→→→
+−= HACA HBCA HBCB AB AB ....
8. Distributividad del producto
escalar respecto a la suma.
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +−+= →→→→→→→
HA HBCA HBCB AB AB ...
-
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9.→→→
=− BA HB HA ¿Porque?
10. Sustitución de 9 en 8→→→→→→
+= BACA HBCB AB AB ...
11. ¿Por qué?0. =
→→
BACA
12. º0. Cos HBCB AB AB→→→→
= Sustitución de 11 en 10. y
definiciones de productoescalar.
13.→→→
= HBCB AB2
¿Por qué?
Ilustración 45
Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
)3,1,9(),1,2,3(),2,0,5( −−↔−↔−↔ →→→
cba
Solución:
Volumen de este paralelepípedo determinado por los vectores = ),,(→→→
cba
(Producto mixto de ) ¿Por qué?→→→
cba ,,
319
123
205
),,(
−−
−
−
=→→→
cba = 5
Luego el volumen del paralelepípedo es igual a 5 unidades cúbicas.Calcular el volumen del tetraedro, determinado por estos mismos vectores.
Ilustración 46
B
C
P A
),,( C B AΠ
Si A, B, C son puntos distintos y no colineales, demuestre que una ecuaciónvectorial para el plano π (A, B, C) es:
0),,( =→→→ AP AC AB ; siendo P un
punto genérico del plano.
Demostración
1. Sea P(x, y, z) , P∈π(A, B, C)
-
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2. Determinemos ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
AP AC AB ,,
3. ),,(,, C B A AP AC AB π ⊂ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
de la hipótesis y de 1.
4. ¿Por qué?0)( =• →→ ⎯→ ⎯
AP x AC AB
5. La ecuación vectorial anteriorCorresponde al plano ),,( C B Aπ
Determine, utilizando este resultado, una ecuación vectorial y la ecuacióncartesiana del plano ),,( S N M π ; cuando M(-5, 2, 1), N(3, -1, 0), S(4, -3, -1).
Ilustración 47
Demuestre vectorialmente que para ;3
, E ba ∈
→→
0,, =⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
bbaba
Demostración
1. . Definición
producto mixto.
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
bbababbaba ,,
2. .
Distributividad del producto vectorial respecto a la suma.
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ ×−ו⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
bbbababbaba ,,
3. - ¿Por qué? ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
=× Obb
4. . Sustitución 3 en 2⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ו⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
bababbaba ,,
5. .
Distributividad del producto escalar respecto a la suma.
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ו+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ו=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
babbaabbaba ,,
6. y . Definición del producto vectorial.
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
⊥× aba ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
⊥× bba
7. y ¿Por qué?0=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ו
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
baa 0=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ו
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
bab
8. Sustitución de 7 en 5.0,, =⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
bbaba
Ilustración 48
Para las rectas de la ilustración 40, determine la distancia entre ellas(transversal mínima).
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Solución.
1. Designemos por A y→t un punto particular y un vector paralelo a la
primera recta obteniendose A(-2, 5, 0) y→t ↔ (-1,2,1).
2. Designemos por B y elementos análogos en la segunda recta,
obteniéndose B(3, 5, 0) y
⎯→ ⎯
s
( )1,2,1−↔ ⎯→ ⎯
s
3. ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
×
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
st
st AB
s B Lt A Ld
,,
,,,
,
¿Por qué?
(Justifique la fórmula y su aplicación en esta situación)4. ( )0,0,5↔−=
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
A B AB
25)5(5
121
213
005
,, −=−=
−
−=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ st AB
5. ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
+−−=
−
−=× k ji
k ji
st )5()5()5(
121
213
)5,5,5( −−↔× ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
st ; 75=× ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
st
6. 88.275
25)),(),,(( =
−=
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
s B Lt A Ld unidades de longitud
Ilustración 49
En el ∆ ABC, P y Q son puntos medios de AB y BC respectivamente, G es el
baricentro.Demuestre vectorialmente que: Área (∆PQG)= 1/12 Área (∆ ABC)
C
Q
G
A BP
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12/15
Solución
1. Área (∆PQG) = ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
× PGPQ2
1 ¿Por qué?
2. ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
= AC PQ2
1 Teorema de la paralela media.
3. ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
−== CPPC PG3
1
3
1 ¿Por qué?
4. ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
CBCACP2
1 Teorema de la proporción, de la hipótesis.
5. Área (∆PQG) = ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−×
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
CBCA AC 6
1
2
1
2
1 Sustitución 2, 3 y 4 en 1
6. Área (∆PQG) = ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−×
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
CBCA AC 24
1 Propiedad del producto vectorial y
magnitud de un vector.
7. Área (∆PQG) = ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −×
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
CB AC AC AC 24
1 Distributividad del
producto vectorial, respecto a la suma.
8. ¿Por qué? ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
=−× O AC AC
9. ¿Por qué? ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
×=−× CBCACB AC
10. Área (∆PQG) = ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
× CBCA24
1 Sustitución 8 y 9 en 7
11. Área (∆PQG) =12
1 Área (∆ ABC) ¿Por qué?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sean ( ) ( ) ( ) ( 1,2,1,1,0,0,,2
1,2
1 ,1,1,1,0 −↔−↔−↔−↔ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
d cba )
Determine las coordenadas de los vectores: y ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
+−= cbas 32 ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯
+−−= d cbat 22
Determine los cosenos y los ángulos directores de ⎯→ ⎯
s
Determine el ángulo entre y . ⎯→ ⎯
s→
t
-
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Determine un vector de magnitud igual a 2/5 en la dirección y en el
sentido de→
t
2. Identifique cada una de los siguientes conjuntos de puntos en R2
2.1 ( ){ } R y x y x ∈+−−= θ θ θ ),7,4()0,3)(1(),/(,
2.2⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈+−=
→→→
RPPP y xP β β β ,)1(/),( 21
2.3⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈= R x y y x ,5
3/),(
2.4 [ ){ }+∞∈+−= ,0),5,2()1,3(),/(),( θ θ y x y x 2.5 [ ]{ }1,0),5,2()1,3(),/(),( ∈+−= θ θ y x y x
3. Sean P1 (x1,y1,z1) , P2 (x2,y2,z2). Determine vectorialmente lascoordenadas del punto medio del segmento 21PP .
4. Determine las ecuaciones: vectorial, paramétricas y cartesianas de cadauno de los siguientes planos.4.1π siendo A ( 0,-2,1), C ( -4,1,-1), K (5,0,2).),,,( K C A
4.2 π , siendo D ( -1,1,2),),,(→→
t u D )5,1,2(),1,0,3( −↔−↔ →→
t u
4.3 el plano que pasa por T(-1,0,2) y contiene a la recta
L: 1. x = 3-λ 2. y =2λ R∈λ 3. z = 1-5λ
5. Sean: 0: 11111 =+++ d zc yb xaπ π 0: 22222 =+++ d zc yb xa
Demuestre que π1//π2 si y solo si existe R∈λ tal que λ ===1
2
1
2
1
2
c
c
b
b
a
a
6. Demuestre vectorialmente la ley del coseno.7. Demuestre vectorialmente que todo ángulo inscrito en unasemicircunferencia es recto.
8. Demuestre vectorialmente la desigualdad triangular.
Para→→→→→→→
+≤+∈ baba E cba ,,, 3
9. Sea A un vértice de un cubo. Desde A se trazan una diagonal del cuboy una diagonal de una de las caras. Calcule el ángulo entre estas dosdiagonales.
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10. Establezca un criterio vectorial para determinar cuando cuatro puntosdistintos del espacio son coplanarios. Utilice dicho criterio paradeterminar si A ( 1,2,1), B (-3,1,2), C (-4,-1,1) y D (-3,-2,0) soncoplanarios.
11. Una pirámide cuyo vértice es P; tiene como base el cuadrilátero ABCD.Calcule el volumen de esta pirámide si se tiene:P ( 0,0,8); A ( 3,0,-1); B ( 2,9,3); C ( -2,0,4); D ( -4,-6,4) .
12. Demuestre la identidad de Jacobi:→→→→→→→→→→
=××+××+×× Obacacbcba )()()( sug: Utilice la relación de Gibas
13. Resuelva para→
X el siguiente sistema.
1.→→→
=× cb X
2. =•→→
a X α sugerencia: Utilice la relación Gibbs
14. Dado el tetraedro ABCP.
Sean vectores normales a cada cara y de magnitud igual alárea de la cara respectiva.
43,2,,1 ,→→→→
nnnn
Demuestre que =432,1→→→→
+++ nnnn→
O
15. Demuestre la identidad de Lagrange.
Para 3,,, E d cba ∈→→→→
→→→→
→→→→→→→→
••
••=ו×d bcb
d acad cba )()( Sugerencia: Utilice las propiedades del
Producto mixto.
16. Sean linealmente independientes y→→→
cba ,,→→→→
++= cbad γ β λ
Demuestre que),,(
),,(
, →→→
→→→
=cba
cbd λ ; = β
),,(
),,(
, →→→
→→→
cba
cd a;
),,(
),,(
, →→→
→→→
=cba
d baγ
P
A
B
1
→
n3
→n
4n
2
→
n
C
→
-
8/16/2019 Aplicaciones de Los Vect Geom Ala Geom Analitica
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17. Utilice el resultado anterior para resolver el siguiente sistema:( Regla de Cramer ) .
1. 532 =−+ γ β λ 2. 222 =−+− γ β λ
3. 34 =−+− γ β λ