1
APLICACIONES DE LAS MATRICES
Ejercicio nº 1.-
a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
no es inversible.
Ejercicio nº 2.-
Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
Para los casos en los que a = 2 y a = 0.
Ejercicio nº 3.-
Halla una matriz, X, tal que AX + B = 0, siendo:
Ejercicio nº 4.-
Halla X tal que AX = B, siendo:
Ejercicio nº 5.-
a) Calcula para qué valores de λ existe la inversa de la matriz:
−
−
−−
=
222
11
11
a
a
a
A
1b) Calcula para 2.A a− =
+
+=
aa
aA
11111111
−−−−
=
−−
−=
144412
y111
102011
BA
=
−
−=
213105126
y111
320112
BA
λ−
−λ
−λ
=
21
12
21
A
0. para Calcula b) 1 =λ−A
2
Ejercicio nº 6.-
Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:
Ejercicio nº 7.-
Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:
Ejercicio nº 8.-
Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:
Ejercicio nº 9.-
Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 10.-
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
Ejercicio nº 11.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:
=+
=++
−=−+−
32
02
53
z x
zyx
zyx
=++
=+
=−+
32
1
624
zyx
z x
zyx
=+
=−+
=++
02
52
732
zy
zyx
zyx
=+−=+−=+−
72826
zyxzyxzyx
−=+−−=+−
=−+−
1423
12
zyxzyxzyx
=−++−
=+−+
=−+−
1
22
32
tzyx
tzyx
tzyx
3
Ejercicio nº 12.-
Estudia la compatibilidad del sistema:
Ejercicio nº 13.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 14.-
Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:
Ejercicio nº 15.-
Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 16.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:
=−+−
=+−
=−+−
=−+
555
22
12
3
zyx
zyx
zyx
zyx
=++=−+−=+−
332132
zyxzyxzyx
=−=−=−+−=+−
2732143
yxz xzyxzyx
=−
=+−
−=+−
=−
5
26
13
32
yx
yx
yx
yx
=−+−=+−
=−+−
=+−=+−
1233
02b)1
53a)
zyxzyxzyx
yxyx
4
Ejercicio nº 17.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer:
Ejercicio nº 18.-
Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Ejercicio nº 19.-
Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:
Ejercicio nº 20.-
Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Ejercicio nº 21.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:
Ejercicio nº 22.-
Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
−=−−=++−=−−
−=−=+−
3231202b)
12323a)
zyxzyxzyx
yxyx
=++
=++−
=−+
=+
=−
63
42
2b)
53
02
a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
=+−−=++−
=−+
=+−=+
5353
12b)15
523a)
zyxzyxzyx
yxyx
=+−=−+
−=+−
=−−=+−
63332
32b)732
64a)
zyxzyxzyx
yxyx
=−+=−+−=+−=++
73125362
zyxzyxzyxzyx
−=+−−=++=++
−=−+−
126352
343
zyxzyxzyxzyx
5
Ejercicio nº 23.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:
Ejercicio nº 24.-
Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:
Ejercicio nº 25.-
Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:
Ejercicio nº 26.-
Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejercicio nº 27.-
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de λ y resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Ejercicio nº 28.-
Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:
Ejercicio nº 29.-
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro λ. Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
=++−=++−=−+−
811574352
zyxzyxzyx
=+++−=+−+=−++
2221822
tzyxtzyxtzyx
=++−−
=+−+
−=−++
5
3222
22
tzyx
tzyx
tzyx
( )
=++=+++
=+
22321
zyazyxaayax
=−λ+=+λ+−=+−λ
020202
zyxzyxzyx
=++=+=++
112
mzmyx myx
zymx
( )( )
=−+−=+−=+
010202
zyxzyz x
λλ
λ
6
Ejercicio nº 30.-
Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del parámetro a:
Ejercicio nº 31.-
Estudia el siguiente sistema, en función de a y b. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:
Ejercicio nº 32.-
Discute, en función de λ y µ, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:
Ejercicio nº 33.-
Estudia, en función de a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:
Ejercicio nº 34.-
Estudia el siguiente sistema según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:
Ejercicio nº 35.-
Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:
( )
=−+−+=+
=+
azaayxazax
azy
2112
12
=−+=++=+−
bazyxazyxazyx
2321
µ=++−=λ−+−
=λ++
zyxzyxzyx
422
2
=+−−=+−
=−+
bzyxzyaxzayx
2122
2
=+λ+
=+−
µ=++−
32
22
zyx
zyx
zyx
=++=+
==+
bxabyxax
yx
235
32
7
SOLUCIONES EJERCICIOS APLICACIONES DE LAS MATRICES
Ejercicio nº 1.-
a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
no es inversible.
Solución:
Calculamos el determinante de A:
Ejercicio nº 2.-
Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
Para los casos en los que a = 2 y a = 0.
−
−
−−
=
222
11
11
a
a
a
A
1b) Calcula para 2.A a− =
1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A− ≠
( ) ( ) →=+−=−−−⋅+−−+=
−
−
−−
= 0253222222
222
11
11
22 aaaaaaa
a
a
a
A
=
=±
=−±
=→321
615
624255
a
aa
.32 para y 1 para inversible es no matriz la tanto, Por == aa
:queda matriz La . 4 que tenemos , 2 Parab) AAa ==
( ) ( )( ) →
−−−=→
−−−
=→
−
−−=
342142
102
311440222
220121112
tAAdjAAdjA
( )( )
−−−==→ −
342142
102
41 1 1 tAAdj
AA
+
+=
aa
aA
11111111
8
Solución:
Para a = 2, queda:
Para a = 0, queda:
Ejercicio nº 3.-
Halla una matriz, X, tal que AX + B = 0, siendo:
Solución:
Despejamos X en la ecuación dada:
=
231
111
113
A
:calculamos La . existe sí caso, este En .2 Entonces, 1−−= AA
( ) ( )( ) →
−−−
−=→
−−
−−=
282251
011
220851
211tAAdj AAdj
( )( )
−−
−
−
==→ −
141
125
21
021
21
11 tAAdjA
A
=
011
111
111
A
. 0 iguales, son filas primeras dos las Como =A
. existe no caso, este en tanto, Por 1−A
−−−−
=
−−
−=
144412
y111
102011
BA
: existe si ver para Calculamos 1−AA
1 Existe02
111
102
011
−→≠−=
−−
−
= AA
BAXBAAXABAXBAX 1110 −−− −=→−=→−=→=+
9
Hallamos la matriz inversa de A:
Obtenemos la matriz X:
Ejercicio nº 4.-
Halla X tal que AX = B, siendo:
Solución:
Despejamos X de la ecuación dada:
Hallamos la matriz inversa de A:
Obtenemos la matriz X:
( ) ( )( ) →
−−−−−
=→
−−−−
−=
202111111
211011211
tAAdjAAdj
( )( )
−−−=
−−−−−
−==→ −
202111111
21
202111111
211 1 tAAdj
AA
−=
−−−−
−=
−−−−
−−−
−=−= −
021121
042242
21
144412
202111111
211BAX
=
−
−=
213105126
y111
320112
BA
: existe si ver para A Calculamos 1−A
1 Existe05
111
320
112−→≠−=
−
−
= AA
BAXBAAXABAX 111 −−− =→=→=
( ) ( )( ) →
−−−−
−=→
−−−−−
=412613
505
465110235
tAAdjAAdj
( )( )
−−−−
−−
==→ −
412613
505
51 11 tAAdj
AA
10
Ejercicio nº 5.-
a) Calcula para qué valores de λ existe la inversa de la matriz:
Solución:
Calculamos el determinante de A:
b) Para λ = 0, la matriz es:
Ejercicio nº 6.-
Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:
−
−
=
−
−−
−−−
=
−−
−−
−−
=
101
201
113
505
1005
5515
51
213
105
126
412
613
505
51X
λ−
−λ
−λ
=
21
12
21
A
0. para Calcula b) 1 =λ−A
1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A− ≠
( )2222 1336342142 2112
21 +λ=+λ+λ=+λ+λ+−λ+λ=
λ−−λ
−λ=A
( ) 1 01 013 0 2 −=λ→=+λ→=+λ→=A
.1 para existe tanto, Por 1 −≠λ−A
( ) ( )( )
−=→
−=→
−−
−=
210423120
241122030
201102
210tAAdjAAdjA
3=A
( )( )
−==−
210423120
31 11 tAAdj
AA
=+
=++
−=−+−
32
02
53
z x
zyx
zyx
11
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Calcula la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = −1, z = 1
Ejercicio nº 7.-
Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA =→
−
=
−−
→
−
=
=
−−
=
3
0
5
102
121
113
3
0
5
;;
102
121
113
: existe si ver para Calculamos 1−AA
1
3 1 11 2 1 1 0 Existe 2 0 1
A A−
− −= = − ≠ →
( ) ( )( ) →
−−−−
=→
−−−
−=
724211312
723
211412
tAAdjAAdj
( )( )
−−−−−
==→ −
724211312
11 tAAdj A
A
CAXCAAXACAX 111 −−− =→=→=
−=
−
−
−−
−−
=
1
1
1
3
0
5
724
211
312
X
=++
=+
=−+
32
1
624
zyx
z x
zyx
12
Solución: Expresamos el sistema en forma matricial:
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es: x = 1, y = 1, x = 0
Ejercicio nº 8.-
Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA =→
=
−
→
=
=
−
=
3
1
6
112
101
124
3
1
6
;;
112
101
124
: existe si ver para Calculamos 1−AA
1 Existe03
112
101
124−→≠−=
−
= AA
( ) ( )( ) →
−−
−−=→
−−−−
=201561
231
252063111
tAAdj AAdj
( )( )
−−
−−−
==→ −
201561
231
31 11 tAAdj
AA
CAXCAAXACAX 111 −−− =→=→=
=
−
−−
=
−
−
−−−
=
0
1
1
0
3
3
31
3
1
6
201
561
231
31X
=+
=−+
=++
02
52
732
zy
zyx
zyx
13
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
Si llamamos:
Obtenemos X:
Por tanto la solución del sistema es: x = 1; y = 2; z = −1
Ejercicio nº 9.-
Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA =→
=
−→
=
=
−=
0
5
7
210
211
132
0
5
7
;;
210
211
132
: por izquierda la por ndomultiplica despejamos ,resolverlo Para 1−AX
CAXCAAXACAX 111 −−− =→=→=
: hallamos y 03 que sComprobamo 1−≠= AA
( ) ( )( ) →
−−−
−−=→
−−−−
−=
121542754
157245
124 tAAdjAAdj
( )( )
−−−
−−==→ −
121542754
31 1 1 tAAdj
AA
−
=
−
=
−−
−
−−
== −
1
2
1
3
6
3
31
0
5
7
121
542
754
311CAX
=+−=+−=+−
72826
zyxzyxzyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA =→
=
−
−
−
→
=
=
−
−
−
=
7
8
6
121
112
111
7
8
6
;;
121
112
111
14
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es: x = 2, y = −1, z = 3
Ejercicio nº 10.-
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
Solución:
Expresamos el sistema en forma matricial:
: existe si ver para , Calculamos 1−AA
1
1 1 12 1 1 1 0 Existe 1 2 1
A A−
−= − = − ≠ →
−
( ) ( )( ) →
−−
−=→
−
−−=
113101011
110101311
tAAdjAAdj
( )( )
−−−
−==→ −
113101
011 11 tAAdj
AA
CAXCAAXACAX 111 −−− =→=→=
−=
−−
−
−
=
3
1
2
7
8
6
113
101
011
X
−=+−−=+−
=−+−
1423
12
zyxzyxzyx
CAX
z
y
x
C
z
y
x
XA =→
−
−=
−
−
−−
→
−
−=
=
−
−
−−
=
1
4
1
111
213
121
1
4
1
;;
111
213
121
: existe si ver para , Calculamos 1−AA
1 Existe01
111
213
121−→≠−=
−
−
−−
= AA
15
Calculamos la inversa de A:
Despejamos X:
Por tanto, la solución del sistema es: x = −2, y = 0, z = 1
Ejercicio nº 11.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Además:
Por tanto, ran (A) = 3.
Con esto, también deducimos que ran (A') = 3, siendo A' la matriz ampliada.
( ) ( )( ) →
−−−−
−=→
−−−
−−=
512101
311
513101211
tAAdj AAdj
( )( )
−
−−==→ −
512101311
11 tAAdjA
A
CAXCAAXACAX 111 −−− ==→=
−=
−−
−
−−=
102
14
1
512101311
X
=−++−
=+−+
=−+−
1
22
32
tzyx
tzyx
tzyx
−−−
−−=
11111112
1211
A
031211
:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=−
09
111
112
211
≠=
−
−
−
16
Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 12.-
Estudia la compatibilidad del sistema:
Solución: Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Como ran (A) = ran (A') = no de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
Ejercicio nº 13.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
−−
−
−−
=
11111
21112
31211
'A
=−+−
=+−
=−+−
=−+
555
22
12
3
zyx
zyx
zyx
zyx
( ) 3 03
112
121
111
551
112
121
111
=→≠=
−
−−
−
→
−−
−
−−
−
= AranA
( ) 3' 0'
5551
2
1
3
112
121
111
' =→=→
−−
−
−−
−
= AranAA
=++=−+−=+−
332132
zyxzyxzyx
( ) 2 0111
120
3111
311
12
=→≠=−
−→=→
−−
−
= AranAA
17
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Como ran (A) ≠ ran (A'), el sistema es incompatible.
Ejercicio nº 14.-
Utiliza el teorema de Rouché para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:
Solución:
• Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:
Veamos si la 4ª fila depende linealmente de las dos primeras:
Por tanto, ran (A) = 2.
• Hallamos el rango de la matriz ampliada:
( ) 3' 05
311
211
112
3311
21
13
11
12
' =→≠−=−
−
→
−−
−
= AranA
=−=−=−+−=+−
2732143
yxz xzyxzyx
−−
−−−
=
01
1101
11
2143
A
022143
:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=−
−
primeras. dos las de depende fila 3 La0
101
121
143a→=
−
−−
−
primeras. dos las de elinealment depende también fila 4 La0
011
121
143a→=
−
−−
−
0211321143
;0
70131
2143
2071
1101
3111
2143
' =−
−−
=−−
→
−−
−−
−
=A
18
Por tanto, ran (A') =2.
• Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 15.-
Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:
Solución: Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Como ran (A) ≠ ran (A'), el sistema es incompatible.
Ejercicio nº 16.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:
Solución:
La solución del sistema es: x = 2, y = −1
=−
=+−
−=+−
=−
5
26
13
32
yx
yx
yx
yx
( ) .2 013121
11613121
=→≠=−
−→
−−−
−
= AranA
( ) 3' 03261131
321
52
1161
13
31
21
' =→≠−=−
−−−
→
−−
−−
−
= AranA
=−+−=+−
=−+−
=+−=+−
1233
02b)1
53a)
zyxzyxzyx
yxyx
4;1131
;111531
153a)
−=
−=
−−
=+−=+−
AAyxyx
14
44
1151
;248
41135
−=−
=−
−−
==−−
=−
−
= yx
19
Ejercicio nº 17.-
Resuelve, aplicando la regla de Cramer:
Solución:
La solución del sistema es: x = 1, y = 3
3112
131121
;11123131
0121
1233
02b)−=
−−
−−=
−−−
−−
=−+−=+−
=−+−A
zyxzyxzyx
;339
3112
131101
;34
34
3111
133120
=−−
=−
−−
−−
==−−
=−
−−−
−
= yx
314
314
3112
331
021
=−
−=
−
−−
−
=z
314;3;
34:es sistema del solución La === xyx
−=−−=++−=−−
−=−=+−
3231202b)
12323a)
zyxzyxzyx
yxyx
1;12
23;
112323
12323a)
−=
−
−=
−−
−
−=−=+−
AAyxyx
313
112
33
;111
111
23
=−−
=−
−−
==−−
=−
−−= yx
2231
121112
;323111210112
3231202b)
−=−−
−−−
=
−−−−
−−
−=−−=++−=−−
Azyxzyxzyx
;02
02
231111102
;122
2233
121110
=−
=−
−−−
−
==−−
=−
−−−
−−
= yx
224
2331
121
012
=−−
=−
−−
−
−
=z
20
La solución del sistema es: x = 1, y = 0, z = 2
Ejercicio nº 18.-
Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Solución:
La solución del sistema es: x = 1, y = 2
La solución del sistema es: x = 1, y = 2, z = 1
Ejercicio nº 19.-
Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:
Solución:
=++
=++−
=−+
=+
=−
63
42
2b)
53
02
a)
zyx
zyx
zyx
yx
yx
5;1312
;50
1312
5302a)
=
−=
−
=+=−
AAyxyx
25
105
5302
;155
51510
=====
−
= yx
12113121111
;611341212111
63422b)
=−−
=
−
−
=++=++−=−+
Azyxzyxzyx
;21224
12163141121
;11212
12116124112
==
−−
===
−
= yx
11212
12613421211
==
−
=z
=+−−=++−
=−+
=+−=+
5353
12b)15
523a)
zyxzyxzyx
yxyx
7;1523
;115523
15523a)
−=
=
−
=+−=+
AAyxyx
21
La solución del sistema es: x = 1, y = −4
La solución del sistema es: x = 2, y = 0, z = 1
Ejercicio nº 20.-
Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:
Solución:
La solución del sistema es: x = 2, y = −1
47
2871553
;177
71125
−=−
=−
−
==−−
=−
−
= yx
22311113121
;53115113
1121
5353
12b)=
−−
−=
−−−
−
=+−−=++−
=−+A
zyxzyxzyx
0220
22351153111
;22244
22315115121
==
−−−
===−
−−
= yx
12222
22511
513
121
==−
−−
=z
=+−=−+
−=+−
=−−=+−
63332
32b)732
64a)
zyxzyxzyx
yxyx
5;32
41;
732641
73264a)
−=
−
−=
−
−−
=−−=+−
AAyxyx
15
55
7261
;25
105
3746
−=−
=−
−−
==−−
=−
−−
= yx
17311132
121;
631131323121
63332
32b)=
−−
−=
−−
−−
=+−=−+
−=+−A
zyxzyxzyx
;1745
17361132
131
;1715
17316133
123
=
−−
=−
=−
−−−
= yx
22
Ejercicio nº 21.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resuélvelo si es posible:
Solución:
Empezamos estudiando la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Además:
Por tanto, ran (A) =3.
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Así, ran (A) = ran (A') = no incógnitas. El sistema es compatible determinado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 4a ecuación, que es combinación lineal de las otras tres.
Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:
1754
17611332321
=−
−−
=z
1754,
1745,
1715:es sistema del solución La ==
−= zyx
=−+=−+−=+−=++
73125362
zyxzyxzyxzyx
−−−
−=
11
3121
12
1311
A
0413
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=
−
.011121
113211
≠=−−
−
−
−−−
=
7131156
121113211
'A
( ) 3' que tenemos, 0A' Como == A ran
23
La solución del sistema es: x = 2, y = 2, z = 1
Ejercicio nº 22.-
Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Además:
Por tanto, ran (A) = 3.
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
;21122
11111
153261
;21122
11121
115216
==−−
===−
−
= yx
11111
11121513611
==−
−
=z
−=+−−=++=++
−=−+−
126352
343
zyxzyxzyxzyx
−−
−−
=
23
1111
11
2143
A
0102143
:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=−
022311121143
≠−=−−
−−−
−−−
=
1211653
311121143
'A
( ) .3' ,0' Como == AranA
24
Así, ran (A) = ran (A') = no incógnitas. El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4ª ecuación, pues es combinación lineal de las otras tres.
Lo resolveremos aplicando la regla de Cramer:
La solución del sistema es: x = 2, y = 1, z = 1
Ejercicio nº 23.-
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Hallamos el rango de la matriz ampliada:
Sabemos que la 3a columna depende linealmante de las otras dos primeras. Veamos qué ocurre con la 4a columna:
Por tanto, ran (A') = 2.
12222
22361151133
;22244
22316125143
=−−
=−
−−−
==−−
=−
−−
= yx
12222
22611
521
343
=−−
=−
−−
=z
=++−=++−=−+−
811574352
zyxzyxzyx
−−=
115712
3111
A
043111
:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=−
( ) .2 ran tanto, Por .0A Además, == A
−−−−
=
811574152
3111
'A
0857431511
=−−−
25
Como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 3a ecuación pues es combinación lineal de las dos primeras. Pasamos la z al 2o miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Las soluciones del sistema son:
Ejercicio nº 24.-
Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Además:
−−=++−=+−
zyxzyx
4325
λ−−λ+−−
λ=431
2511: Hacemos z
.43111
que Sabemos −=−
λ−=−
λ+−=
−λ−−λ+−
=47
411
4711
434125
x
λ+−
=−
λ−=
−λ−−λ+−−
=41
49
49
441
251
y
. con,;41
49;
47
411 R∈λλ=λ+
−=λ−= zyx
=+++−=+−+=−++
2221822
tzyxtzyxtzyx
−
−
−=
2111
2111
1122A
032111
:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=−
09121111
122≠=
−−
26
Por tanto, ran (A) = 3.
Con esto, también deducimos que ran (A) = 3, siendo A' la matriz ampliada:
Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos la t al 2º miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Las soluciones del sistema son: x = 2 + λ, y = 1 − λ, z = 2 + λ, t = λ, con λ ∈ Ρ.
Ejercicio nº 25.-
Estudia la compatibilidad de este sistema y resuélvelo si tiene solución:
−−
−=
221211111181122
'A
−=++−−=−++=++
tzyxtzyxtzyx
2221822
λ−−λ−−λ+
λ=22121
11118122
: Hacemos t
.9121111
122 que Sabemos =
−−
λ+=λ+
=λ−
−λ−λ+
= 29
9189
1222111
128
x
λ−=λ−
=λ−−
−λ−λ+
= 1999
91221111
182
y
λ+=λ+
=λ−−
λ−λ+
= 29
9189
2221111822
z
=++−−
=+−+
−=−++
5
3222
22
tzyx
tzyx
tzyx
27
Solución:
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad del sistema. Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Luego, ran (A) ≥ 2.
Además:
Por tanto, ran (A) = 3.
Con esto, también deducimos que ran (A') = 3, siendo A' la matriz ampliada:
Así, como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos t al 2º miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Hacemos t = λ. Entonces:
−−−
−=
11112211
1221
A
031221
:cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠−=
02111212
121≠−=
−−−
−−−
−−=
511113221221121
'A
−=+−−−=−+
+−=++
tzyxtzyxtzyx
52322
22
λ−−−λ−−λ+−
511123212
2121
.2111212
121 que Sabemos −=
−−−
λ−=−
λ+−=
−
−λ−−λ−
λ+−
= 51621032
21152123
122
x
λ+−=−
λ−=
−
λ−−−λ−
λ+−
= 4132826
21512232
121
y
28
Las soluciones del sistema son: x = 16 −5λ, y = −13+4λ, z = 8−2λ, t = λ, con λ ∈ Ρ.
Ejercicio nº 26.-
Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:
Solución:
Estudiando el rango de la matriz de los coeficientes:
• Si a ≠ −1 → ran (A) = ran (A') = 3. El sistema es compatible determinado. Para cada valor de a ≠ −1, tenemos un sistema con solución única:
Para cada valor de a ≠ 1, tenemos un sistema diferente. Cada uno de los sistemas tiene solución única:
x = 1, y = 0, z = 2
• Si a = −1
λ−=−
λ+−=
−
λ−−−λ−λ+−
= 282
4162
5112312
221
z
( )
=++=+++
=+
22321
zyazyxaayax
( ) ( ) 10112212012101
−=→=+−=+−−=→
+= aaaaaAaa
A
( ) 111
112212301
=−−−−
=+−
+
=aa
a
aa
x
( ) 01
1201310
=+−
++
=a
aaaa
y
( )( )
( ) 2112
1220
3211
=+−+−
=+−
++
=aa
a
aaaa
z
29
Las dos últimas filas son iguales, luego ran (A') = 2.
Como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, en este caso el sistema sería compatible indeterminado. Prescindimos de la 3a ecuación, pues es idéntica a la 2a, pasamos z al 2o miembro y resolvemos el sistema:
Las soluciones del sistema son:
Ejercicio nº 27.-
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores de λ y resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
Solución:
Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0).Veamos si tiene, en algún caso, más soluciones:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
• Si λ ≠ −1 → el sistema solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).
• Si λ = −1, quedaría:
1 1 00 2 10 2 1
A−
=
( ) .2 entonces ,011201
Como =≠= Aran
1 1 0 1' 0 2 1 2
0 2 1 2
A− −
=
λ−=λ−
=→λ=
−=−=+−
211
22 Hacemos
221
yzzy
yx
λ−=+λ−=+=2121
2111yx
1 12 ; 1 ; , con 2 2
x y zλ λ λ λ= − = − = ∈ R
=−λ+=+λ+−=+−λ
020202
zyxzyxzyx
( ) 1013363
12
21
2122 −=λ→=+λ−=−λ−λ−=→
−λ
λ−
−λ
= AA
−−−−−−
000
12
1211
211
30
Luego, ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas.
El sistema sería compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro y aplicamos la regla de Cramer:
Las soluciones del sistema son:
x = µ; y = µ; z = µ, con µ ∈ Ρ
Ejercicio nº 28.-
Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores del parámetro m:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
• Si m ≠ 0, m ≠ 1 y m ≠ −1 → El sistema es compatible determinado.
Para cada valor de m, distinto de 0, 1 y −1, tenemos un sistema diferente, todos ellos con solución única:
.031211
además, y,iguales son filas primeras dos Las ≠=−−−
µ=
=−−=−−
=−−=+−−
zzyx
zyxzyxzyx
Hacemos2
20202
µ−
µ−−−12
211
.31211
que Sabemos =−−−
µ=µ
=µ
µ−−
=µ=µ
=−µ−µ−
=3
33
221
;3
33
112
yx
=++=+=++
112
mzmyx myx
zymx
( )
−===
→=−=−=→
=
110
011
0111
23
mmm
mmmmAmm
mm
A
( )( )( ) 1
12112
1
101112
222 −−
=−
−=
−=
mm
mmmm
mm
mmm
x
31
• Si m = 0, queda:
Luego, el sistema es compatible indeterminado.
Las soluciones serían:
• Si m = 1, queda:
• Si m = −1, queda:
Las ecuaciones 1ª y 3ª son contradictorias. El sistema sería incompatible.
Ejercicio nº 29.-
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores del parámetro λ. Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:
( )( )( ) 1
21
21
1101112
222 −−
=−
−=
−=
mm
mmmm
mm
m
m
y
( ) 01
111121
2=
−=
mm
mm
m
z
−−
−− 0,
12,
112: 22 m
mmmSolución
112
00101
0110
.010110
y iguales son filas últimas dos Las ≠−=
21 Es decir: 1, 2 , , con
y zx x y zz
λ λ λλ
= − = = = − = ∈=
R
le.incompatib sería sistema El orias.contradict son 3 y 1 ecuaciones Las
111110112111
aa
( )
−−−
−−−⋅→
−−−
− −
111110112111
111110112111
a
a
a
3
2
11FILAS
( )( )
=−+−=+−=+
010202
zyxzyz x
λλ
λ
32
Solución:
Por tratarse de un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0). Veamos si tiene, en algún caso, más soluciones.
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
• Para λ = 1, queda:
El sistema sería compatible indeterminado.
Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:
Las soluciones serían: x = −2µ; y = µ; z = µ, con µ ∈ Ρ
El sistema sería compatible indeterminado. Para resolverlo, pasamos z al 2o miembro:
=λ
=λ=−λ+λ−=→
−−λ−λ
λ=
34
10473
11112020
2AA
( )4Para 1 y El sistema solo tiene la solución trivial 0, 0, 0 .3
λ λ• ≠ ≠ →
−
−000
11012
1001
( ) ( ) .2' ,0110
01 Como ==≠−=
−AranAran
2 0 2Hacemos
0x z x z
zy z y z
µ+ = = −
= − + = =
4Para , queda:3
λ• =
−
−
0
00
113/112
3/2003/4
( ) ( ) .2' ,098
320
034
Como ==≠−
=− Aran Aran
zzy
zzx
zyzx
zyzx
zy
zx
23
23
23
46
3264
032064
032
0234
=−−
=
−=
−=
−=−−=
=+−=+
=+−
=+
3 3Las soluciones serían: ; ; , con 2 2
x y zµ µ µ µ−= = = ∈ R
33
Ejercicio nº 30.-
Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función del parámetro a:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Estudiamos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, ran (A') = 2.
Como ran (A) = ran (A') < no incógnitas, el sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de a. Podemos prescindir de la 3ª ecuación, pues es combinación lineal de las dos primeras. Lo resolvemos pasando la z al 2º miembro:
Las soluciones del sistema serían:
Ejercicio nº 31.-
Estudia el siguiente sistema, en función de a y b. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:
Solución: Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
( )
=−+−+=+
=+
azaayxazax
azy
2112
12
( ). de valor cualquier para0
1110110
2 aAaaaa
A =→
−−=
( ) . de valor cualquier para2 entonces ,010110
Como aAran =≠−=
( )0
2111201
10
212
1
1110110
' 2 =−
+→
+
−−=
aaa
aa
aaaa
A
λ=
−+=−=
+=+=+
zzaax
azyazax
azy Hacemos
121
12
122
22 1 ; 1 ; , con .x a a y a zλ λ λ λ= + − = − = ∈ R
=−+=++=+−
bazyxazyxazyx
2321
34
• Si a ≠ 0 → El sistema es compatible determinado, cualquier que sea el valor de b.
• Si a = 0, queda:
Si a = 0 y b ≠ 2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema es incompatible.
Si a = 0 y b = 2 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:
Ejercicio nº 32.-
Discute, en función de λ y µ, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
• Si λ ≠ 1 → El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de µ. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
003
21
12
11
=→=−=→
−
−
= aaA
a
a
a
A
206321
312111
31
02100
1211
' =→=−=−
→
−= bb
bbA
31
33211
;34
31311
;31211
321
===
−
==−
λ==+=−
yxzyxyx
4 1Las soluciones son : ; ; , con 3 3
x y z λ λ= = = ∈ R
µ=++−=λ−+−
=λ++
zyxzyxzyx
422
2
1033141
2111
=λ→=λ−=→
λ−−
λ= AA
λ−λµ−
=λ−
λµ−=
λ−
µλ−−
λ
=1
233
3633
142212
x
033
1121
21
=λ−
µλ−−−
λ
=y
35
• Si λ = 1, queda:
Si λ = 1 y µ ≠ 2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema es incompatible.
Si λ = 1 y µ = 2 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 33.-
Estudia, en función de a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
• Si a ≠ 1 y a ≠ 4 → El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de b.
• Si a =1, queda:
Si a = 1 y b ≠1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema sería incompatible.
Si a = 1 y b =1 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:
λ−−µ
=λ−
−µ=
λ−
µ−−
=1
233
6333
41221
211
z
.1
2,0,1
2 es solucion La
λ−−µ
λ−λµ−
206341
221211
22
14111
2111
' =µ→=−µ=µ
−−→
µ−−−=A
=+−−=+−
=−+
bzyxzyaxzayx
2122
2
=
==−+−=→
−
−
−
=4
1045
112
22
112
a
aaaAa
a
A
103312
12
2111
1
2
11221
2111
' =→=+−=
−−−→
−−
−−= bb
bbA
λ=
−−=−+=+
−=+−=−+
zzyx
zyxzyxzyx
Hacemos212
2122
2
36
Las soluciones son: x = 1; y = 1 + λ; z = λ, con λ ∈ Ρ
• Si a = 4, queda:
El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:
Ejercicio nº 34.-
Estudia el siguiente sistema según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:
λ−−−
λ+2121
211
133
3221
12
;321
11=
−−
=−
−λ−−λ+
=−=−
x
λ+=−
λ−−=
−λ−−
λ+
= 1333
3211
21
y
210918
12124
2411
2
11221
2441
' −=→=−−=
−−−→
−
−
−−= bb
bbA
( ) ( )1Si 4 y 2 3. El sistema sería incompatible.2
a b ran A ran A− ′= ≠ → = ≠ =
( ) ( )1Si 4 y 2 2
oa b ran A ran A n incógnitas− ′= = → = = <
λ=
−−=−+=+
−=+−=−+
zzyx
zyxzyxzyx
Hacemos2124
241224
24
λ−−−
λ+2124
241
3186
18221
42
;1824
41 λ−=
−λ
=−
−λ−−λ+
=−=−
x
21
31896
18214
21
+λ
=−
−λ−=
−λ−−
λ+
=y
1Las soluciones son: ; ; , con 3 2 3
x y zλ λ λ λ−= = + = ∈ R
=+λ+
=+−
µ=++−
32
22
zyx
zyx
zyx
37
Solución:
Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
• Si λ ≠ 0 → El sistema es compatible determinado. Para cada valor de λ ≠ 0 y cada valor de µ, tenemos un sistema diferente, cada uno de ellos con solución única. Lo resolvemos:
• Si λ = 0, queda:
Si λ = 0 y µ = 1 → ran (A) = ran (A') = 2 < no incógnitas. El sistema es compatible determinado. Si λ = 0 y µ ≠ 1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3. El sistema es incompatible.
Ejercicio nº 35.-
Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según los valores de los parámetros que contiene. Resuélvelo en los casos en los que sea compatible determinado:
Solución:
• Observando la 2ª y la 4ª ecuación, deducimos que, si a ≠ b, el sistema es incompatible.
003
21
112
111
=λ→=λ=→
λ
−
−
= AA
λλµ−µ−λ+
=λ
λ−
µ
=3
2223
2311211
x
λµ−
=λ
µ−=
λ
µ−
=1
333
323112211
y
λλµ+µ+λ+−
=λ
λ−
µ−
=3
2213
31212
11
z
λλµ+µ+λ+−
λµ−
λλµ−µ−λ+
3221,1,
3222 :Solución
101301212
11
32
20111
1211
' =µ→=−µ=−µ−
→
µ
−−
=A
=++=+
==+
bxabyxax
yx
235
32
38
• Si a = b, queda:
El sistema sería compatible determinado. La solución es: x = a, y = 3 − 2a
aaaxayax
axy
ayxax
yx
23533533
2323
335
32
−=−+=−+==
−=−=
+=+==+