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1Aplicación de matrices y determinantes
APLICACIÓNES DE LAS MATRICES
Matrices estocásticas
Supongamos una población que puede variar entre un conjunto finito de estados (e1, e2, ..., en). Por ejemplo, los residentes de una determinada localidad los podemos clasificar en un determinado momento como: no fumadores, fumadores de una o menos de una cajetilla de tabaco diario, fumadores de más de una cajetilla diaria. Por supuesto, esta situación no es estable, sino que se producen transiciones entre un estado y otro.
La probabilidad de que un miembro de esa población cambie de un estado e1 a otro e2vendrá dada por un número comprendido entre 0 y 1. Siendo 0 una probabilidad nula de cambio y el 1 supone un cambio seguro del estado e1 a e2.Podemos representar estas probabilidades de transición mediante una matriz como sigue:
Del estado...
e1 e2 ... en
Al estad
o
p11 p12 ... p1n e1p21 p22 ... p2n e2... ... ... ... ...pn1 pn2 ... pnn en
Por ejemplo, la probabilidad del cambio del estado e1 al e2 viene dada por p21.
De igual manera p11es la probabilidad de pasar del estado e1 al mismo e1, es decir de quedarse en el mismo estado.
p12representa la probabilidad de pasar del estado e2 a e1.
pn1es la probabilidad de cambiar de e1 a en
Y pnn representa la probabilidad de no cambiar de en a otro estado.
Esta matriz, que representa las probabilidades de transición de un estado a otro de los miembros de una población, se llama matriz de probabilidades de transición y para interpretarla tienes que hacerlo
2Aplicación de matrices y determinantes
fijándote en que es una tabla de doble entrada. En horizontal colocamos los estados actuales y en vertical los estados a los que se puede pasar y ya no nos queda sino colocar las probabilidades de transición de un estado a otro para rellenarla.
Como las probabilidades de transición de un estado a otro oscilan entre 0 y 1, todos los elementos de la matriz de probabilidades de transición están entre estos dos valores. Además, fíjate en las columnas, las probabilidades de transición, por ejemplo del estado e1a todos los demás posibles, están reflejados en la columna 1, con lo cual la suma de todos los valores de esta columna tiene que ser igual a 1(la suma de las todas las probabilidades posibles). Lo mismo ocurre en el resto de las columnas.
De las dos aseveraciones anteriores obtenemos la definición de matriz estocástica (estocástico significa "hábil en conjeturar"):es una matriz en la que todos sus elementos tienen un valor comprendido entre 0 y 1. Además la suma de los elementos de cada columna de una matriz estocástica es igual a 1. Fíjate que se tienen que cumplir las dos condiciones y no basta con una sóla.
Por lo tanto, podemos concluir que la matriz de probabilidades de transición es una matriz estocástica.
Para enfrentarnos a los problemas que vienen a continuación también tenemos que saber a qué llamamos matriz de estado. Dicha matriz representa el estado actual de la población en cada uno de los estados posibles.
EJEMPLO
En una población de 10000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes? ¿Y dentro de dos meses?
3Aplicación de matrices y determinantes
Comencemos haciendo el esquema de la situación:
A la vista del esquema ya podemos confeccionar la matriz de probabilidades de transición P y la matriz de estado X (esta última con los
datos del problema).
No fumanFuman 1
paquete o menosFuman más de 1
paquete
Al estado
0,93 0,10 0,05 No fuman
0,05 0,80 0,10Fuman 1 paq. o
menos
0,02 0,10 0,85Fuman más de 1
paquete
Al cabo de un mes, la matriz de estado será P. X y al cabo de dos meses P2 . X
Matriz de estados
Matriz de probabilidades de transición
4Aplicación de matrices y determinantes
P= 0.93 0.10 0.050.05 0.80 0.100.02 0.10 0.85
X= 500025002500
PX= 502525002475
Como se ve, al cabo de un mes habrá
5025 no fumadores
2500 fuman 1 paquete, o menos, diarios
2475 fuman más de un paquete diarios.
P^2*X= 0.93 0.10 0.050.05 0.80 0.100.02 0.10 0.85
x 502525002475
P^2*X= 5047
2498.752454.25
Podemos observar que cabo de un mes habrá
5047 no fumadores
2499 fuman 1 paquete, o menos, diarios
2454 fuman más de un paquete diarios.
5Aplicación de matrices y determinantes
Criptografía
Encriptación de mensajes
Un criptograma es un mensaje escrito en un código secreto (la palabra griega kryptos significa “oculto”).Empezamos asignando un número a cada letra del abecedario (con 0 asignado al espacio en blanco), como sigue.
Así el mensaje se convierte en una secuencia de números que se parte en matrices fila no codificadas, de n elementos, como ilustra el paso 1.
Paso 1: Formando las matrices filas no codificadasEscribir las matrices fila no codificadas de tamaño 1x3 para el mensaje MEET ME MONDAY.
Solución. Partiendo el mensaje (incluidos los espacios en blanco, pero ignorando otros signos de puntuación) en grupos de tres se obtienen las siguientes matrices fila no codificadas:
Hemos usado un espacio en blanco para completar la última matriz fila.Para codificar el mensaje, elegimos una matriz invertible A n x n y multiplicamos las matrices fila no codificadas por A por la izquierda. Así, se obtienen las matrices fila codificadas, como ilustra el paso 2.
6Aplicación de matrices y determinantes
Paso 2: Codificación de un mensaje
Usando la matriz de codificación.Codificar el mensaje MEET ME MONDAYSolución. Las matrices fila codificadas son el resultado de multiplicar a la izquierda por A cada una de las matrices fila no codificadas del ejemplo 4.
Por tanto, la secuencia de matrices filas codificadas es
Finalmente, suprimiendo la notación matricial, queda el siguiente criptograma:
7Aplicación de matrices y determinantes
A quien no conozca la matriz A le será muy difícil descifrar ese criptograma del paso 2.Pero a un receptor autorizado, conocedor de la matriz A, le bastará multiplicar el criptograma A por la matriz A-1 para recuperar el mensaje original. En otras palabras, si
Es una matriz 1 X n no codificada diente matriz codificada. El receptor puede decodificar Y multiplicando a la derecha por A, con lo que obtendrá
El paso 3 se muestra como funciona este método.
Paso 3: Decodificación de un mensajeUsar la inversa de la matriz
Para decodificar el criptograma
Solución. En primer lugar, hallamos A por eliminación de Gauss-Jordan.
Ahora para decodificar el mensaje, lo partimos en grupos de tres para formar lasMatrices fila codificadas
Para hallar las matrices fila decodificadas, multiplicamos las codificadas por A (a laDerecha)
8Aplicación de matrices y determinantes
Por lo tanto, la secuencia de matrices fila decodificadas es
Y el mensaje
9Aplicación de matrices y determinantes
APLICACIONES DE LAS DETERMINANTES
Área de un triángulo en el plano xy
El área de un triángulo cuyos vértices son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) esta dada por
Area = ± ½ x 1 y 1 1x 2 y 2 1x3 y 3 1
Donde el signo ( ±) se elige para obtener un área positiva.
Prueba para determinar si tres puntos en el plano xy son colineales
Tres puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3,y3) son colineales si y solo si
x 1 y 1 1x 2 y 2 1x3 y 3 1
= 0.
10Aplicación de matrices y determinantes
Ejempló
Encuentre el área de un triangulo cuyos vértices son los puntos (1,0) (2,2) (4,3)
0 1 2 3 4 5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
2
3
eje x
eje
y
1 0 12 2 14 3 1
=(2+0+6) – (8+3+0) = 3
Área =½ (3) = 3/2 u²
11Aplicación de matrices y determinantes
Volumen de un tetraedro
El volumen de un tetraedro cuyos vértices son (X1,Y1,Z1), (X2,Y2,Z2), (X3,Y3,Z3), (X4,Y4,Z4) está dada por
Volumen = ±16 [X1 Y 1 Z1
X2 Y 2 Z2
X3 Y 3 Z3
111]
Donde el signo ± se elige para obtener un volumen positivo
Ejemplo
Determine el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: (0,4,1), (4,0,0), (3,5,2), (2,2,5).
Al aplicar la fórmula de la determinante, el volumen se obtiene así
X4 Y4 Z4 1
12Aplicación de matrices y determinantes
16 [0 4
4 04 5
1 10 12 1].
.¿
[A]= a21 +a 22 + a23 + a24
[A]= -(4)a21 +(0)a 22 -(0) a23 +(1) a24
[A]= -(4)a21+(1) a24
[a21]= -4[4 1 15 2 13 5 1]=¿ -4[(8+2+25)-(4+20+5)] = -4(6) = -24
[a24]= 1[0 4 13 5 22 2 5]=¿ 1[(0+6+16)-(10+0+60)] = 1(-48) = -48
[A]= a21+a42
[A]= -24-48=-72
V= ±16
(-72) =726
U3 = 12 U3
2 2 5 1
+ - + -
13Aplicación de matrices y determinantes
Tarea
Los refrescos más consumidos de Hidalgo son coca-cola y pepsi; un total de 650,000 personas consumen refresco al año, actualmente 300,000 prefieren coca-cola , 230,000 pepsi y el resto de las personas consumen otro refresco.
¿Cuántos consumidores tendrán coca-cola y pepsi en el transcurso de uno y dos años?
15% 33%
60% 27%
25% 32%
40% 40%
28%
Al cabo de un año, la matriz de estado será P. X y al cabo
de dos años P2 . X
P= 0.60 0.27 0.400.15 0.33 0.320.25 0.40 0.28
X= 300000230000120000
Un año
PX= 0.60 0.27 0.400.15 0.33 0.320.25 0.40 0.28
x 300000230000120000
= 290000159300200600
Coca−cola
PepsiOtro refresco
Dos años
Coca-cola Pepsi
Otro refresco
Matriz de estadosMatriz de probabilidades de transición
14Aplicación de matrices y determinantes
P²X= 0.60 0.27 0.400.15 0.33 0.320.25 0.40 0.28
x 290000159300200600
= 297311160276192413
Coca−cola
PepsiOtro refresco
Codificar y decodificar el siguiente mensaje:
"LO MEJOR PARA JUANMA"
2 1 43 −1 20 3 6
A
15Aplicación de matrices y determinantes
"LO MEJOR PARA JUANMA"
[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]
Secuencia de matrices fila codificadas
[72,-4,80] [41,38,122] [89,-3,102] [37,73,184] [2,31,64] [47,63,174] [29,12,54]
Después voy multiplicando las matrices filas obtenidas por la inversa de A.
Después recompongo en orden los resultados obtenidos de los anteriores productos
[12,16,0] [13,5,10] [16,19,0] [17,1,19] [1,0,10] [22,1,14] [13,1,0]
16Aplicación de matrices y determinantes
LO MEJOR PARA JUANMA"
Encuentre el área de un triangulo cuyos vértices son
a) (-1,0), (1,1) (3,3)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.51
1.52
2.53
3.5
0
1
3
eje x
eje
y
−1 0 11 1 13 3 1
=( -1+3) – (3-3) = 2
Área = ½ (2) = 1u²
b) (-1,-3), (-4,7) (2,-13)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
0
5
107
-3
-13
eje x
eje
y
17Aplicación de matrices y determinantes
−1 −3 1−4 7 1
2 −13 1 = (-7-6+52) – (14+13+12) = 0 no existe àrea y es colineal.
Determine el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: (-3,-1,1), (4,-4,4), (1, 1,1), (0,0,1).
Al aplica la fórmula de la determinante, el volumen se obtiene así
16 [−3 −1
4 −41 1
1 14 11 1].
.¿
[A]= a41 +a 42 + a43 + a44
[A]= (0)a1 +(0)a 42 +(1) a43 -(1) a44
[A]= (1)a43+(1) a44
[a43]= 1[3 −1 14 −4 11 1 1]=¿ 1[(-12+4+1)-(4+3-4)] = 1(-2) = -2
[a44]= 1[3 −1 14 −4 41 1 1 ]=¿ 1[(-12+4-4)-(-4+1-4)] = 1(-16) = -16
[A]= a43+a44
[A]= -2-16=-18
V= ±16
(-18) =186
U3 = 3 U3
0 0 1 1
- + - +
18Aplicación de matrices y determinantes
EXAMEN
En una ciudad viven 350000 personas, 85000 de ellas se trasladan en trasporte público, 50000 en taxi y el resto en automóvil particular
¿Qué preferencia habrá para cada transporte en el trascurso de un año?
50% 70%
60% 5%
10% 25%
15% 20%
65%
Al cabo de un año, la matriz de estado será P. X
P= 0.40 0.05 0.150.50 0.70 0.200.10 0.25 0.65
X= 8500050000
215000
Un año
PX= 0.40 0.05 0.150.50 0.70 0.200.10 0.25 0.65
x 8500050000
215000 =
68750120500160750
Trasporte público
TaxiAutomóvil particular
Transporte público Taxi
Automóvil particular
Matriz de estadosMatriz de probabilidades de transición
19Aplicación de matrices y determinantes
Codificar y decodificar el mensaje
4 2 1−3 −3 −13 2 1
PLEASE SEND MONEY
(PLE) (ASE) (SEN) (D MO) (NEY)
(17 12 5) (1 20 5) (0 20 5) (14 4 0) (13 16 14) (5 26 0)
Secuencia de matrices fila codificadas
(47 8 10)(-41 -48 -14)(-45 -50 -15) (44 16 10) (46 6 11) (-58 -68 -21)
Sacar la inversa de la matriz
4 2 1−3 −3 −13 2 1
20Aplicación de matrices y determinantes
A−¹= 1 0 −10 −1 −1
−3 2 6
Suprimiendo la notación matricial, queda el siguiente criptograma
(PLE) (ASE) (SEN) (D MO) (NEY)
(17 12 5) (1 20 5) (0 20 5) (14 4 0) (13 16 14) (5 26 0)
Encuentre el área de los siguientes triángulos que tienen los vértices
a) (1,2) (3,4) (5,6)
0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
2
4
6
eje x
eje
y
1 2 13 4 15 6 1
= (4+10+18) – (20+6+12) =0 no existe area, los puntos son colineales
b) (1,1) (2,4) (4,2)
21Aplicación de matrices y determinantes
0 1 2 3 4 5 60
0.51
1.52
2.53
3.54
4.5
1
4
2
eje x
eje
y
1 1 12 4 14 2 1
= (4+4+4) – ( 16+2+2) = -8
Área= -1/2 (-8) = 4u²
c) (1,1) (-1,1) (0,-2)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
-2
1
eje x
eje
y
22Aplicación de matrices y determinantes
1 1 1−1 1 10 −2 1
= ( 1+2) – (-2-1) = 6
Área= ½ (6) = 3 u²
Determine el volumen de un tetraedro cuyos vértices son: (1,1,1), (0,0,0), (2, 1,-1), (-1,1,2).
Al aplica la fórmula de la determinante, el volumen se obtiene así
16
=[1 10 02 1
1 10 1
−1 1]..¿
[A]= a21 +a 22 + a23 + a24
[A]= (0)a21 +(0)a 22 +(0) a23 +(1) a24
[A]= (1) a24
-1 1 2 1
+ - + -
23Aplicación de matrices y determinantes
[a24]= 1[ 1 1 12 1 −1
−1 1 2 ]=¿ 1[(2+2+1)-(-1-1+4)] = 1(3) = 3
[A]= a44
[A]= 3
V= ±16
(3) =36
U3 = 12
U3
LISTA DE CALIFICACIONES
Equipo 4
Álgebra Lineal
Ing. Miguel Ángel Acosta Jiménez
Nombre 1º evaluació
n
2º evaluación
Calificación
Alamilla Juárez EsliTahlia 95 100 98Aldana Hernández María Guadalupe
90 100 95
Alvarado Sánchez Yuritzin 70 60 65Ángeles Franco Linda Roslin 70 40 55Ángeles Hernández Adhara Marisol
100 40 70
Arteaga Ortiz Ana Andrea 95 N/P 48Ávila Sánchez Adolfo 90 90 90Bello Velázquez Jesús Amauri 80 65 73Cabrera Cruz Felipe 90 N/P 45
24Aplicación de matrices y determinantes
Cruz Sánchez Diana Celina 75 5 40De la Torre Olarte Alicia Jennyfer N/P 35 18Duran Pérez José Fernando 100 75 88Domínguez Escudero Rosalía 100 100 100Gómez Castillo Salvador 100 60 80Gutiérrez Meyer Jesús Efraín 50 N/P 25Hernández Daniel Karla Lizet 75 100 88Hernández Ramírez José Luis 100 55 78López García Israel 60 70 65Morales Escamilla Teresa 90 100 95Resendiz Rojas Dulce María 90 100 95Sánchez Ruiz Eleisy Yajaira 75 N/P 38Sánchez Zamora Sandra M. 60 N/P 30Serrano Cornejo Gustavo 90 100 95Talavera Apodaca Jonathan 80 N/P 40Tovar Pardo Karen 100 100 100Trejo Nolasco Karen Giovanna 85 N/P 43Ubaldo García Juan Carlos 70 60 65Vargas Ledezma Aldo Francisco 75 70 73Vargas Sánchez Lluvia Celeste N/P 100 50Vázquez Morales Izamar Lucero 90 100 95Velasco Hernández Francisco Javier
80 N/P 40
Vergara Pérez Leslie Amaya 80 10 45Vizueto Cruz María Moncerrat N/P 50 25PROMEDIO GENERAL 65.15