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CAPTULO 2
APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.1 ANLISIS Y TRAZO DE CURVAS
2.1.1 Estudio de la Variacin de una Funcina) Tabulacin y Graficacin de una Funcin
b) Dominio y Rango de una Funcin
2.1.2 ntersecciones con los E!es "oordenadosa) "eros de la Funcinb) nter#alos $ara los %ue la Funcin es &ositi#ac) nter#alos $ara los %ue la Funcin es 'egati#a
2.1.( *+imos y ,nimos de una Funcina) nter#alos $ara los %ue la Funcin es "reciente
b) nter#alos $ara los %ue la Funcin es Decrecientec) "riterio de la &rimera Deri#ada $ara la -btencin de
*+imos y ,nimos de una Funcin
2.1.2 &untos de nfle+ina) "riterio de la egunda Deri#ada $ara la -btencin de los
&untos de nfle+inb) "onca#idad y "on#e+idad
2.2 ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL
2.3 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS DEOPTIMIZACIN Y RAZN DE CAMBIO
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P R O P S I T O
"onsidera as siguientes $reguntas antes de introducirte al estudio de este ca$,tulo estote ayudar* a tener un $anorama general de sus contenidos la forma de abordarlos y lautilidad %ue te re$ortar* su a$rendi3a!e.
45u6 #oy a a$render 4"mo lo #oy a lograr 4&ara %u6 me #a a ser#ir
"riterios $ara anali3ar
cuantitati#a y
cualitati#amente funciones
%ue modelan situaciones
%ue se $resentan endi#ersas ramas del
conocimiento y la
acti#idad 8umana.
Estableciendo modelos
matem*ticos $ara di#ersas
situaciones incluyendo sus
gr*ficas am$liando el
conce$to de deri#ada ya$licando las t6cnicas de
deri#acin.
&ara 8allar la solucin de
$roblemas %ue se refieren a
o$timi3acin y ra3n de
cambio y tener m*s
elementos $ara la toma dedecisiones tanto en la #ida
cotidiana como en tu
acti#idad $rofesional.
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CAPTULO 2
APLICACIONES DE LA DERIVADA
: menudo la #ida nos enfrenta al $roblema de encontrar un me!or modo de 8acer unadeterminada labor. &or e!em$lo un agricultor %uiere escoger la me3cla de culti#os %uesea la m*s a$ro$iada $ara obtener el mayor a$ro#ec8amiento. :lgunas #eces un$roblema de esta naturale3a $uede asociarse de tal manera %ue in#olucre ma+imi3ar ominimi3ar una funcin sobre un con!unto es$ec,fico.
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2.1 ANLISIS Y TRAZO DE CURVAS
En este tema se e+aminar*n las funciones mediante la tabulacin y el $osterior an*lisis
de su com$ortamiento gr*fico.
2.1.1 ESTUDIO DE LA VARIACIN DE UNA FUNCIN
a) Tab!a"#$% & G'a(#"a"#$% * %a F%"#$%
E!em$lo.
;n gru$o de in#estigadores ecologistas obser# %ue el crecimiento de un $ino de unaes$ecie determinada esta dado $or la siguiente funcin.
y < x
En donde =+> re$resenta el n?mero de a@os transcurridos de la #ida del $ino y la =y>re$resenta su altura en metros.
"om$leta la siguiente tabla
+ 9 1 2 ( A B C 7 / 0
y 9 1 2 (
os #alores %ue se le dan a =+> son arbitrarios y $ueden ser m*s grandes %ue 0 $ero no
m*s $e%ue@os %ue cero 4$or %u6
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Y+,a'#ab!*
)*-*%)#*%.*/
0*.'12)
/(
a gr*fica %ueda como se muestra a continuacin.
A
(
2
1
9
9 1 2 ( A B C 7 / 0 19
3+,a'#ab!* #%*-*%#*%.*/a412)
Recuerda %ue la #ariable =y> es una funcin de =+> y < f +) ).
ACTIVIDAD DE REGULACIN
"ontesta las siguientes $reguntas con base a la funcin %ue rige el crecimiento del $ino.
4"u*l es el m*s $e%ue@o #alor %ue $uede tomar el tiem$o +)
4"u*l es el mas alto #alor %ue $uede tomar el tiem$o +)
4"u*l es el m*s $e%ue@o #alor %ue $uede tomar la altura del $ino )
4"u*l es el m*s alto #alor %ue $uede tomar la altura del $ino )
E!em$lo
a altura a la %ue se encuentra una $elota $ateada desde un $unto situado a 19 $iessobre el ni#el del suelo esta dada $or la siguiente funcin
8 t) < /9t 1Ct2
19
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/A
En donde HtI es el tiem$o en segundos) y 8 t ) es la altura en $ies ) sobre el suelo a la%ue se encuentra situada la $elota en el instante t.
"om$leta la siguiente tabla
T 9 1 2 2.B ( A B C
8 t ) 19C 19C
a gr*fica se muestra a continuacin
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/B
-bser#a la gr*fica y anali3a las siguientes $reguntas.
4&ara %ue #alores del tiem$o t ) la altura 8 ) %ue alcan3a la $elota tiene significadolgico : ese con!unto se llama dominio y se $resenta as,J
9 t B.12
o %ue significa %ue =t> es mayor o igual %ue cero $ero menor o igual %ue B.124"u*les son los $osibles #alores de la altura %ue $uede alcan3ar la $elota : esecon!unto se le llama rango y se $resenta as,J
9 8 119
y significa %ue =8> es mayor o igual %ue cero $ero menor o igual %ue 119.
b) D0#%# & Ra%5 * %a F%"#$%
: $artir de las gr*ficas siguientes obt6n la informacin necesaria $ara contestar lo
%ue se te $ide a continuacinJ
4"u*l es el inter#alo de #alores %ue $uede tomar =+> $ara %ue la funcin e+ista
4"u*l es el inter#alo de #alores %ue $uede tomar =y> %ue corres$onden a las im*genesde los #alores %ue $ueden tomar =+>
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/C
a) b)y y
+ +9 9
c) d)y y
1+ +
9 2 9
:8ora ya se $ueden definir el dominio y el rango definiciones
D-'- D). El dominio de una funcin son todos los #alores de la #ariableinde$endiente =+> %ue 8acen %ue la funcin sea real es decir %ue e+ista.
R:'G- R). El rango o con!unto de im*genes de una funcin son todos los#alores %ue $uede tomar la funcin y) $ara todos y cada uno de los elementos deldominio.
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ACTIVIDAD DE REGULACIN
1. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra su gr*fica su dominio y surango.
a) f +) < B 9 K + K C este inter#alo debeconsiderarse comoel dominio)
b) f +) < (L 2 M( + (.
c) f +) 4De %ue modo
-bser#a nue#amente la tabla.
4E+iste alg?n #alor $ara las ganancias f+) tal %ue la $roduccin =+> sea igual a cero
P"laro estaQ "uando f+) #ale 1299 =+> #ale cero.
45u6 es lo %ue esto significa $ara la em$resa
Tambi6n $uedes #erificarlo en la gr*fica.
&ero el m6todo algebraico $ara 8allar las intersecciones con el e!e =y> es como sigueJ
i en la funcin original f +) < +2
/9+ 1299
e 8ace %ue =+> sea igual a cero 4%u6 se obtiene
f +) < 9)2 /99) 1299
o sea f +) < 1299
lo %ue se es$eraba.
:s, %ue
&ara 8allar las intersecciones con el e!e =+> se 8ace %ue f+) sea igual a cero y seresuel#e la ecuacin resultante.
&ara 8allar las intersecciones con el e!e =y> se 8ace %ue =+> sea igual a cero y seresuel#e la ecuacin resultante.
Definicin.
e llama =ceros> de una funcin a todos los #alores de =+> $ara los cuales la funcin esnula es decir cero.
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ACTIVIDAD DE REGULACIN
1. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra su gr*fica las interseccionescon el e!e =+> las intersecciones con el e!e =y> y los ceros.
a) f +) < (+ 2 d) f +) < 2+2
(2
b) f +) < M2+ ( e) f +) < L2
+ C
c) f +) < +2
C+ f) f +) < 2+2
7+ (
2. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra su gr*fica las interseccionescon el e!e =+> las intersecciones con el e!e =y> y los ceros.
2
a) f +) < C+ 1 d) f +) < + A0
2b) f +) < (+ 2 e) f +) < + /+ 1B
c) f+) < +2
M A+ f) f +) < (+2
/+ (
b) I%*',a! -a'a ! 7* !a F%"#$% * P##,a
-bser#a la siguiente tabla
+ 9 19 29 (1 A9 A0 C9 79 /9
f +) 1299 B99 9 (10 A99 (10 9 B99 1299
4&ara %u6 #alores de la $roduccin + la em$resa obtiene ganancias f +)
PSienQ Estos son (1 A9 y A0 $ants.
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:8ora obser#a la siguiente gr*fica
f+) $esos
A99
+9 19 29 (9 A9 B9 C9 79 /9 numero de $ants)
4E+isten otros #alores de la $roduccin $ara %ue la em$resa obtenga ganancias
4"u*l es el m,nimo #alor de la $roduccin $ara el %ue la em$resa obtiene ganancias
4"u*l es el m*+imo #alor de la $roduccin $ara el %ue la em$resa obtiene ganancias
4"u*l es el inter#alo %ue obtienes
&ues bien el inter#alo de la $roduccin $ara el %ue la em$resa obtiene ganancias esJ
21 + B0
en los inter#alos cerrados los e+tremos si se incluyen) y deben leerse as, =+> es
mayor o igual %ue 21 $ero menor o igual %ue B0. o %ue es muy cierto $uesto %uecuando L < 29 o L < C9 la funcin no es $ositi#a ni negati#a es nula. :dem*s los#alores de =+> deben ser numeros enteros $uesto %ue re$resentan la $roduccin de $antscom$letos).
") I%*',a! -a'a ! 7* !a (%"#$% * %*5a#,a
4&ara %ue #alores de la $roduccin +) la em$resa registra ganancias negati#as esdecir $erdidas
+ 9 19 29 (1 A9 A0 C9 79 /9
f +) 1299 B99 9 (10 A99 (10 9 B99 1299
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:8ora obser#a nue#amente la gr*fica anterior.
4E+isten mas #alores de =+> $ara los %ue las ganancias sean negati#as
4En cuantos inter#alos la funcin f +) es negati#a
4"u*les son
P"laroQ Estos inter#alos deben ser
9 K + K 29 y C9 K + K
en los inter#alos abiertos K los e+tremos no se incluyen)
el signo = > indica %ue la $roduccin $uede ser muy alta muc8o m*s grande %ue /9%ue son los #alores $ara los %ue siem$re se obtendr*n $erdidas. 4&or %u6 moti#os se$odr,a $resentar esta situacin en la em$resa
Definiciones
F;'"O' &-TV:. ;na funcin es $ositi#a si al graficarla se encuentra $or encimadel e!e =+>.
F;'"O' 'EG:TV:. ;na funcin es negati#a si al graficarla se encuentra $or deba!odel e!e =+>.
ACTIVIDAD DE REGULACIN
1. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra sus ceros los inter#alos endonde la funcin es $ositi#a y los inter#alos en donde es negati#a.
a) f +) < (+ 2 d) f +) < 2+2
M (2
b) f +) < M2+ ( e) f +) < +2 + C
c) f +) < +2
C+ f) f +) < 2+2 7+ (
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2. &ara cada una de las funciones siguientes encuentra sus ceros los inter#alos dondela funcin es $ositi#a y los inter#alos en donde la funcin es negati#a.
a) f +) < C+ 1 d) f +) < +2 A0
b) f +) < M(+ 2 e) f +) < +2 /+ 1B
c) f +) < +2 A+ f) f +) < (+2 (+ (
2.1.3 MIMOS Y MNIMOS DE UNA FUNCIN
E!em$lo
Desde el fondo de un $o3o de 1B metros de $rofundidad un e+cursionista %ue all, seencontraba $or accidente lan3a $iedras $ara %ue sus com$a@eros las #ean y as, $uedaser rescatado.a #elocidad con la %ue lan3a las $iedras #erticalmente 8acia arriba es de Vo < 29 ms.e sabe %ue la funcin %ue describe la altura %ue alcan3a la $iedra en t6rminos deltiem$o es
8 t) < Vo t gt2
2
ustituyendo Vo < 29 ms y g < 0./ ms2
tenemos %ue 8t) < 29t A.0t2
&ara graficar esta e+$resin #ariamos el #alor de HtI seg?n la siguiente tabla.
t 8t)
9 9 89) < 299) A.09)2 < 9
1 1B.1 81) < 291) A.01)2
< 1B.1
2 29.A 82) < 292) A.02)2
< 29.A
( 1B.0 8() < 29() A.0()2
< 1B.0
A 1.C 8A) < 29A) A.0A)2
< 1.C
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8t) metros
22.A10.2
1C
12./
0.C
C.A
(.2
91 2 ( A t segundos)
-bser#a la tabla y la gr*fica $ara contestar las siguientes $reguntasJ
4&ara %ue #alor de =t> la $iedra asciende El #alor de la funcin aumenta es decir
crece)
4&ara %ue #alor =t> la $iedra desciende el #alor de la funcin disminuye es decir
decrece)
4"u*l es el m*+imo #alor %ue $uede tomar la altura
Definicin
&;'T- UL-. e dice %ue un $unto sobre una determinada cur#a f +) es unm*+imo relati#o si los #alores de la funcin un $oco a la i3%uierda y un $oco a laderec8a de dic8o $unto son m*s $e%ue@os.
f+) &m*+imo
+
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a) I%*',a! -a'a ! 7* !a F%"#$% * C'*"#*%*
Des$u6s de obser#ar la tabla y la gr*fica anteriores
4&odr,as decir cual es el inter#alo $ara el %ue la funcin es creciente
Recuerda %ue el inter#alo de definicin debe estar en t6rminos de la #ariable =t>.:s, %ue debe ser 9 K t K 2
'o se incluyen los e+tremos t < 9 y t < 2 dado %ue en esos $untos la funcin no crece nidecrece.
b) I%*',a! -a'a ! 7* !a F%"#$% * D*"'*"#*%*
Des$u6s de obser#ar la tabla y la gr*fica anteriores
4&odr,as decir cual es el inter#alo $ara el %ue la funcin es decreciente
Dic8o inter#alo debe ser as,J2 K t K (
Definiciones
F;'"O' "RE"E'TE. ;na funcin es creciente cuando al aumentar el #alor de la#ariable inde$endiente +) el #alor de la #ariable de$endiente y) tambi6n aumenta.
F;'"-' DE"RE"E'TE. ;na funcin es decreciente cuando al aumentar el #alor dela #ariable inde$endiente +) el #alor de la #ariable de$endiente y) disminuye.
Durante los $rimero 7 segundos el $ulso en $ulsaciones $or minuto) de un indi#iduo =t>segundos des$u6s de %ue comien3a a correr est* dado $or
& t) < 2t2 t BC
El dominio de la funcin est* dado en el mismo enunciado del $roblema. 4&uedes decir
cu*l es
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"om$leta la siguiente tabla
t 9 1 2 ( A B C 7 1 2 ( 9.2B
&t) C2 122 CC BB./12B
a gr*fica de esta funcin es la %ue a continuacin se muestra P#erif,caloQ
&t)
BB./12B
9.2BBB./12B) ,nimo
M1 9 9.2B 1 2ts)
ACTIVIDAD DE REGULACIN
Des$u6s de obser#ar la tabla y la gr*fica anteriores contesta las siguientes $reguntasJ
4"u*l es el #alor m*s $e%ue@o de la funcin
4&ara %ue #alor de =t> la funcin es creciente
4&uedes determinar el inter#alo de #alores de =t> $ara los %ue la funcin sea decreciente
en el sentido del conte+to del $roblema
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Puy bienQ El #alor m*s $e%ue@o de la funcin es BB./7B $ulsaciones $or minuto).:dem*s el inter#alo de #alores de =t> $ara los %ue la funcin es creciente es
9.2B K t K 7
y el inter#alo de =t> $ara los %ue la funcin es decreciente es
9 K t K 9.2B
Definicin.
&;'T- '-. e dice %ue un $unto sobre una determinada cur#a f L) es unm,nimo relati#o si los #alores de la funcin un $oco a la i3%uierda y un $oco a laderec8a de dic8o $unto son m*s grandes.
f+)
&m,nimo
+
ACTIVIDAD DE REGULACIN
&ara las gr*ficas %ue se muestran a continuacin determinaJ
os inter#alos en los %ue la funcin es $ositi#a osinter#alos en los %ue la funcin es negati#a osinter#alos en los %ue la funcin es creciente osinter#alos en los %ue la funcin es decreciente
y y
a) b)
+
+
-
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yyc) d)
+ +
") C'#*'# * !a P'#0*'a D*'#,aa Pa'a !a Ob*%"#$% * M89#0 & M:%#0 * %aF%"#$%.
"once$tos S*sicos.
Recordaras %ue la deri#ada de una funcin y < f+) en un $unto :+y) estare$resentada geom6tricamente $or la $endiente de la tangente a la cur#a en ese $unto.
i < f +)
entonces f = +) < tg
en donde = > es la inclinacin de la recta tangente y =tg > es la $endiente de dic8atangente.
y
Tangente a la cur#a en el $unto =:>
f+)
y :
++
:dem*s tambi6n se re%uiere %ue recuerdes como es la orientacin de la tangentemencionada con anterioridad cuando su $endiente es $ositi#a negati#a o cero.
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yy
++
Recta con $endiente $ositi#a Recta con $endiente negati#a
y
+
Recta con $endiente =cero>
ACTIVIDAD DE REGULACIN
"ontesta las siguientes $reguntas con base a las gr*ficas anteriores.
4"mo debe se la deri#ada de la funcin cuando la tangente tiene $endiente $ositi#a
4"mo debe se la deri#ada de la funcin cuando la tangente tiene $endiente negati#a
4"mo debe se la deri#ada de la funcin cuando la tangente tiene como $endiente el#alor cero
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2+.)
En un laboratorio de in#estigaciones nucleares cierto cient,fico encontr %ue la funcin%ue describe la $osicin de cient,fico encontr %ue la funcin %ue describe la $osicin deuna determinada $art,cula subatmica %ue se des$la3a sobre una recta coordenadaesta dada $or
s t ) < t 3 12t 2 (Ct 29
En donde st) re$resenta la $osicin de la $art,cula en el instante =t> y la #ariable =t>re$resenta cual%uier instante en segundos).
t 9 9.B 1 1.B 2 2.B ( (.B A
st) 29 19.(7B 19.C2B A
A.B B B.B C C.B 7 7.B / 19
1/.C2B (.12B
a gr*fica %ue corres$onde a la funcin dada es
1B
19
B
9
MB
M19
M1B
M29
M2B
9 1 2 ( A B C 7 /
.
4&uede dar los inter#alos en los %ue la funcin es creciente
4"u*l es el inter#alo en donde la funcin es decreciente
"laro %ue seria m*s f*cil 8allar dic8os inter#alos si se conocieran con seguridad los#alores de =t> $ara los %ue la funcin es m*+ima o m,nima.
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4"mo deben ser las tangentes en los $untos cr,ticos ya sea m*+imos o m,nimos
4 como deben ser sus $endientes
4 cual debe ser el #alor de la deri#ada de la funcin en dic8os $untos
&ues bien $ara 8allar con $recisin los m*+imos y m,nimos en la ecuacin resultante sedes$e!a la #ariable.
:s, si la funcin es
u deri#ada resulta sert) < t
3 12t
2 (Ct 29
=t) < (t2
2At (C
al igualar a cero se obtiene %ue
(t2
2At (C < 9
se $uede #er %ue se trata de una ecuacin de segundo grado y $ara resol#erla debesa$licar la ecuacin general
X = b b
2 4ac
1,22a
45u6 #alores obtu#iste
4&uedes decir lo %ue significan
os #alores obtenidos son t1 < 2 seg. t2 < C seg. %ue son los instantes en donde se
obtiene un m*+imo y un m,nimo.
&ero si no conocieras la gr*fica 4$odr,as determinar en %ue instante se obtiene unm*+imo y en cual otro se obtiene un m,nimo
4"u*l es el #alor de la deri#ad $ara un #alor de =t> a la i3%uierda de t < 2
4&uedes obtener una conclusin a este res$ecto
4"u*l es el #alor de la deri#ada $ara un #alor de =t> a la i3%uierda de t < C
4"u*l es el #alor de la deri#ada $ara un #alor de =t> a la derec8a de t < C
4&uedes obtener una conclusin a este res$ecto
"omo la deri#ada de la funcin es =t) < (t2
M 2At (C
Entonces $ara t < 1.0 seg. %ue es un #alor de =t> un $oco a la i3%uierda de t < 2 seg. setiene %ue
=1.0) < ( 1.0)2
2A 1.0) (B < 1.2(
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y como es un #alor $ositi#o de la deri#ada entonces la $endiente es $ositi#a y la funcinen ese instante es creciente.
:s, tambi6n $ara t < 2.1 seg. %ue es un #alor de =t> un $oco a la derec8a de t < 2 seg.
se tiene %ue=2.1) < ( 2.1)
2 2A 2.1) (C < 1.17
y como es un #alor negati#o de la deri#ada entonces la $endiente de la tangente a lacur#a es negati#a y a la funcin en ese instante es decreciente.
En conclusin como la funcin $rimero crece en t < 1.0) y luego decrece en t < 2.1)entonces el $unto cr,tico encontrado en t < 2 es un m*+imo.
&ara calcular el #alor del $unto m*+imo se sustituye t < 2 en la funcin original sinderi#ar).
t) < t( 12tW (Ct 29
se obtiene %ue 2) < 2)
( 12 2)W (C 2) 29 < 12
$or tanto las coordenadas del $unto m*+imo son & 212)
t)
12& 212)
t9 2 C
M29 &CM29)
Del mismo modo $ara determinar %ue ti$o de $unto critico m*+imo o m,nimo ) es el%ue se encuentra en t < C seg. se sustituye $or el #alor de =t> un $oco a la i3%uierda det < C $or e!em$lo t < B.0 y otro un $oco a la derec8a de t < C $or e!em$lo t < C.1 enla funcin deri#ada como se muestra a continuacin.
: $artir de>t) < (tW 2At (C
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19A
$ara t < B.0 se tiene %ue
>B.0) < ( B.0)W 2A B.0) (C < 1.17
y como es un #alor negati#o de la deri#ada significa %ue la $endiente es negati#a y lafuncin en ese instante es decreciente.
:s, tambi6n $ara t < C.1 se tiene %ue
> C.1 ) < ( C.1) W 2A C.1) (C < 1.2(
y como es un #alor $ositi#o de la deri#ada entonces la $endiente de la tangente a lacur#a es $ositi#a y la funcin es creciente.
En conclusin como la funcin $rimero decrece en t < B.0) y luego crece en t < C.1)entonces el $unto critico encontrado en t < C es un m,nimo.
&ara calcular el $unto m,nimo se sustituye t < C en la funcin original sin deri#ar ).
t) < t( 12tW (Ct 29
y se obtiene %ueC) < C)
(M 12 C)W (C C) 29 < 29
&or tanto las coordenadas del $unto m,nimo son &m C29).
-bser#a la gr*fica anterior).
as siguientes gr*ficas te ayudaran a concretar tus ideas.
& m +) K 9 y la funcin es decreciente.
i m < 9 entonces f> +) < 9 y la funcin no crece ni decrece se trata de un m*+imo oun m,nimo
-
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19B
2.1.; PUNTOS DE INFLEIN
&ara la funcin deri#ada del $roblema anterior
> t) < (tW 2At (C
Termina de llenar la tabla siguienteJ
t 2 ( (.B (./ (.0 A A.1 A.2 A.B B C
>t) M11.2B M11.07 12 M11.// M0
4"u*l es el #alor m*s $e%ue@o de la deri#ada > t)
4&ara %ue #alor de =t> sucede esto
&ues bien e+iste entre un $unto m*+imo y un $unto m,nimo otro $unto en donde laderi#ada tiene ya sea el m*+imo #alor o el m,nimo #alor. : dic8o $unto se le llama $untode infle+in.
a gr*fica de la funcin deri#ada es la %ue se muestra a continuacin
s> t )
M(MC
M0
M12
t
1 2 ( A B C
&uesto %ue la gr*fica $resenta simetr,a res$ecto al #alor de t < A se $uede decir %uee+iste un $unto de infle+in all, mismo en t < A.
-
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19C
a) C'#*'# * !a S*5%a D*'#,aa -a'a !a Ob*%"#$% * ! P% * I%(!*9#$%
"omo $udiste obser#ar en la gr*fica anterior el $unto de infle+in se $resenta cuando laderi#ada de la funcin tiene un m,nimo aun%ue $uede ser un m*+imo como ya se di!o.
Entonces se a$licar* el criterio de la $rimera deri#ada sobre la funcin deri#ada > t)$ara 8allar el m*+imo o el m,nimo #alor de dic8a funcin deri#ada consulta el criterio dela $rimera deri#ada).
"omo el criterio de la $rimera deri#ada indica %ue se debe deri#ar la funcin en estudioy dic8a funcin es ya una funcin deri#ada entonces se tiene la deri#ada de unaderi#ada y de a%u, %ue se le llame comoJ =criterio de la segunda deri#ada>.
De este modo al deri#ar la funcin deri#ada
> t) < ( t W 2At (
e obtiene %ue>> t) < Ct 2A
:l igualar a cero esta ultima deri#ada resulta %ue
C t 2A < 9
y al des$e!ar =t = %ueda
t en donde la deri#ada > t) tiene un #alor e+tremom,nimo) es decir es el #alor de =t> en donde se $resenta el $unto de infle+in o $untosde infle+in si =t> tomara #arios #alores).
&ara 8allar la abscisa del $unto de infle+in se sustituye t < A en la funcin original
t ) < t3
12tW (Ct 29
as,
A) < (4)3 12 A)W (C A) 29
o bien A ) < A
-
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197
&or lo %ue el $unto de infle+in se encuentra en & AA)
t)
12
MA
M29
2 A C t
&AMA)
"omo $uedes a$reciar la conca#idad de la cur#a antes del $unto de infle+in esnegati#a y des$u6s del $unto de infle+in es $ositi#a.
DEF'"O'
&;'T- DE 'FELO'. Es un $unto sobre la cur#a f +) en donde la cur#a cambia laconca#idad.
b) C%"a,#a & C%,*9#a
: $artir de la segunda deri#ada de la funcin del $roblema anterior
>> t ) < Ct 2A
"om$leta la siguiente tabla.
t 2 2.B ( (.B A A.B B B.B C
>>t) M0 MC 9 ( 12
-
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19/
"omo $uedes obser#ar la segunda deri#ada de la funcin antes del $unto de infle+int < A) es negati#a lo %ue %uiere decir %ue la conca#idad de la cur#a es negati#a en eseinter#alo K t K A). :s, tambi6n la segunda deri#ada de la funcin des$u6s del$unto de infle+in es $ositi#a lo %ue %uiere decir %ue la conca#idad de la cur#a es$ositi#a en ese inter#alo A K t K ).
Definiciones
"-'":VD:D. e dice %ue una funcin es cnca#a cuando su conca#idad es$ositi#a es decir cuando la segunda deri#ada de la funcin es $ositi#a.
"-'VELD:D. e dice %ue una funcin es con#e+a cuando su conca#idad esnegati#a es decir cuando la segunda deri#ada de la funcin es negati#a
ACTIVIDAD DE REGULACIN
1. &ara cada una de las siguientes funciones encuentra utili3ando los criterios de la$rimera y de la segunda deri#adaJ
os inter#alos en donde la funcin es creciente.
os inter#alos en donde la funcin es decreciente.
os $untos e+tremos m*+imos yo m,nimos).
os $untos de infle+in.
os inter#alos en donde la funcin es cnca#a.
os inter#alos en donde la funcin es con#e+a.
Xa3 una gr*fica a$ro+imada de cada una de las siguientes funciones sin tabular.
a ) f +) +) < 9 +( +A
ntersecciones con el e!e H+I con y12>+) < 9 +B +C &untos de nfle+inJ &+ByB) &+CyC)
f>>+) N 9
f>>+) K 9
,nimo
cnca#a)
*+imo con#e+a)
-
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2.2 ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL
"uando estudiaste geometr,a anal,tica atem*ticas V) seguramente te encontraste con
el $roblema de 8allar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una cur#a en un$unto determinado. &ues bien en esta seccin $odr*s obtener dic8as ecuacionesutili3ando la deri#ada de la funcin.
E!em$lo.
ea la ecuacin de una $ar*bola y < +W + C
'os interesa encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a dic8a cur#a enel $unto &2A).
"omo la deri#ada de la funcin re$resenta la $endiente de la recta tangente a la cur#a
en cual%uiera de sus $untos entonces em$e3aremos $or obtener dic8a deri#ada.:s, y> < 2+ 1
como el $unto en donde nos interesa obtener las ecuaciones de las rectas tangentes ynormal es $2A) %ue tiene como abscisa el #alor de + < 2 entonces el #alor de laderi#ada de la funcin en + < 2 es
f> 2) < 2 2) 1
< A 1
< (
&or tanto la $endiente de la recta tangente a la cur#a en el $unto dado es m < (
Debes recordar %ue las ecuaciones de las rectas tangente y normal sonJ
y y1
< m + +1) Ecuacin de la recta tangente
1y y
1< + +1) Ecuacin de la recta normal
m
en donde =m> re$resenta la $endiente de la recta tangente y los #alores +1 e y1re$resentan las coordenadas del $unto de tangencia %ue en nuestro $roblema estadado $or el $unto $).
De este modo al sustituir los datos %ue tenemos en las ecuaciones anteriores resultaJ
-
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111
a) $ara la ecuacin de la recta tangente
y A < ( + 2)
y A < (+ C
o sea y < (+ 19
o bien (+ y 19 < 9
b) $ara la ecuacin de la recta normal
1y A <
3+ 2)
al multi$licar la ecuacin anterior $or ( %ueda.
(y 12 < + 2)
o bien (y 12 < + 2
o tambi6n + (y 19 < 9
a gr*fica es como a continuacin se muestra
y
RE"T: T:'GE'TE
+M( M2 M1 9 1 2 ( A
MA &2MA)
RE"T: '-R:
MC
-
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112
ACTIVIDAD DE REGULACIN
1. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal $ara cada una de lassiguientes funciones y en los $untos %ue se indican.
a) f +) < +W + C en + < (
b) f +) < +W (+ A en + < 2
c) f +) < +(
A+W (+ 2 en + < 1
2. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal $ara cada una de lassiguientes funciones y en los $untos %ue se indican.
a) f +) < +W A en + < 9
b) f +) < +W + 29 en + < (
c) f +) < 2+(
2+W ( en + < 1
EPLICACIN INTEGRADORA
;no de los $roblemas %ue moti# la in#encin del c*lculo fue el $roblema relati#o a latangente a una cur#a en un $unto dado.
:nteriormente a$rendiste %ue la recta tangente a la gr*fica de f+) en el $unto &+1f+1))tiene $endiente m < f>+1). "on este conocimiento la ecuacin de la tangente se obtienef*cilmente $ues conocemosJ a) as coordenadas de un $unto &+1f+1)) y b) la$endiente m < f>+1).
:s, la ecuacin de la recta tangente esJ y f+1) < f>+1) + +1)
a normal a la cur#a en el $unto &+1f+1)) es $er$endicular a la tangente $or lo tanto su
$endiente es rec,$roca y de signo contrario es decir 1
.
f Y +1 )1
&or lo tanto la ecuacin de la recta normal esJ y f+1) < + +1)f Y +1 )
-
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11(
2.3 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS DEOPTIMIZACIN Y RAZN DE CAMBIO
E!em$lo.
El director de una determinada em$resa editorial 8a obser#ado %ue si fi!a el $recio de undeterminado libro Z29 #ende 19999 e!em$lares. &ero $or cada $eso %ue incrementa el$recio las #entas disminuyen en A99 co$ias. 45u6 $recio deber* fi!ar el editor a cadalibro de manera %ue el ingreso $ara la em$resa $or la #enta de estos libros seam*+imo 4"u*l es el #alor de dic8o ingreso
&lanteamiento.
4"mo crees %ue se calculan los ingresos
os ingresos se calculan multi$licando el $recio de articulo #endidos as,
< 29) 19999) donde < ingreso
u$ongamos %ue =+> re$resenta el numero de $esos en %ue se incrementa el $recio dellibro entonces.
29 + es el nue#o $recio del libroA99 + es el n?mero de co$ias %ue de!an de #enderse $or cada $eso %ue
aumenta el $recio19999 A99+ es el nue#o numero de e!em$lares #endidos.
Entonces la funcin %ue re$resenta el ingreso en t6rminos del numero de $esos en %uese aumenta el $recio del libro es
+) < 29 +) 19999 A99+)
Esta funcin +) recibe el nombre de funcin ob!eti#o $or%ue es la funcin %ue sere%uiere o$timi3ar.
olucin
:8ora se debe a$licar el criterio de la $rimera deri#ada se deri#a y se iguala a cero lafuncin resultante.
a deri#ada de la funcin +) es
> +) < 1) 19999 A99+) A99 29 +)
o sea > +) < 19999 A99+ /999 A99+
-
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11A
o bien > +) < /99+ 2999
:l igualar a cero resulta %ue /99+ 2999 < 9
o bien /99+ < 2999
o tambi6n x = 2000
800
y $or tanto9 < = 2.>
5ue re$resenta el n?mero de $esos en %ue se debe incrementar el $recio del libro $araobtener el m*+imo ingreso.
De esta manera al incrementar el $recio de #enta del libro en Z2.B se obtiene el m*+imoingreso. &ara calcular el ingreso m*+imo se sustituye + < 2.B en la funcin ob!eti#o yresulta
2.B) < 29 2.B) [19999 A99 2.B )]
o 2.B) < 22.B) 19999 1999)
o bien 2.B ) < 22.B) 0999)
$or tanto 2.B) < Z 292B99.99
5ue re$resenta el m*+imo ingreso.
E!em$lo.
En una f*brica de art,culos de fibra de #idrio se desea construir un reci$iente cil,ndricocon ta$a %ue tenga ca$acidad de un metro c?bico. 4"u*les deben ser las dimensionesde dic8o reci$iente $ara %ue la cantidad de material em$leado en su construccin sea
m,nima
-
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11B
&lanteamiento.
El reci$iente tiene la siguiente forma
r
8
&ero si $udiera desen#ol#erlo %uedar,a as,
ta$a r
Cuerpo del cilindro 8
rta$a
el *rea del reci$iente seria la suma del *rea del cuer$o del cilindro m*s el*rea de las dos ta$as
: < 2
olucin.
"*lculo del *rea del cuer$o del cilindroJ
"omo el largo del rect*ngulo es igual a la longitud de la circunferencia c < 2 r
y su altura es =8> entonces el *rea del rect*ngulo : < base + altura) %ueda as,
: < 2 r 8
-
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11C
"alculo del *rea de las dos ta$asJ
"omo las ta$as tienen forma circular entonces
: < rWy $or tratarse de dos ta$as
: < 2 rW
as, el *rea total es
: < 2 r 8 2 rW funcin ob!eti#o)
"omo la funcin ob!eti#o esta en t6rminos de dos diferentes #ariablesIrI y H8I esnecesario con#ertir dic8a funcin en t6rminos de una sola #ariable y as, $oder deri#arlaf*cilmente.
"omo el #olumen %ue se desea en el reci$iente es de 1 m3
y el #olumen de un cilindroesta dado $or la frmula.
V < r2
8
Entonces
r2
8 < 1
o sea
8
t1
< 2.1 seg.
t2
< 1.17 seg.
4"u*l de estos dos #alores es el correcto
45u6 inter$retacin les das
-
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12A
ACTIVIDAD DE REGULACIN
. -bt6n la solucin de los siguientes $roblemas.
1) Encuentra dos n?meros $ositi#os cuya suma sea 199 y su $roducto sea m*+imo
2) Encuentra dos n?meros cuya suma sea B9 y tales %ue la suma de sus cuadradossea m,nima
() El ingreso mensual $or conce$to de la #enta de =+> unidades de cierto art,culo estadado $or R +) < 12+ 9.91+W $esos. Encuentra el n?mero de unidades %uedeben #enderse cada mes con el $ro$sito de ma+imi3ar los ingresos. 4cu*l esese ingreso m*+imo
A) En una f*brica de conser#as necesitan botes cil,ndricos con una ca$acidad de unlitro. "alcula las dimensiones de dic8o bote radio y altura) de manera %ue en suconstruccin entre la menor cantidad de material $osible.
B) e re%uiere construir un rect*ngulo con un tro3o de alambre %ue tiene una longitudde 1 metro de manera %ue se forme un rect*ngulo e la mayor *rea $osible. 4cu*les deben ser las dimensiones de los lados
C) ;n tan%ue de aceite %ue tiene forma de un cilindro circular con un radio de / m sellena constantemente a ra3n de 19 m( min. 4"on %u6 ra$ide3 sube el ni#el delaceite
7) e %uiere construir una ca!a cerrada %ue tenga una base cuadrada y unaca$acidad de B999 cm(. si el costo de la base y de la ta$a es de Z C.99 $or cadacmW y el costo de los lados es de Z 2.99 $or cada cmW. Determina las dimensiones%ue debe tener la ca!a $ara %ue sea construida con un costo m,nimo.
/) ;na com$a@,a de bienes ra,ces es due@a de 1/9 de$artamentos %ue se ocu$an ensu totalidad cuando la renta es de Z (999.99 mensuales. a com$a@,a calcula %ue$or cada Z 199.99 de aumento en la renta se desocu$an B de$artamentos. 4cu*ldebe ser la renta mensual $ara %ue la com$a@,a obtenga el m*+imo ingreso
0) ;n tan%ue tiene la forma de un cono in#ertido. a altura de dic8o tan%ue es de1C $ies y el radio de su base es de A $ies. ;na lla#e de agua llena el tan%ue a
ra3n de 2 $ies
(
min. 4%u6 tan r*$ido crece el ni#el cuando el agua tiene B $ies de$rofundidad
-
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12B
19) e lan3a #erticalmente 8acia arriba una $iedra con una #elocidad inicial de112 ms. i se sabe %ue la ley del mo#imiento es de < 112t A.0 tW en donde =>es la distancia al $unto de $artida calculaJ
a) a #elocidad y la aceleracin en los instantes t < ( y t < A.b) a m*+ima altura alcan3adac) El tiem$o %ue tarda en llegar a una altura de 0C m.d) a aceleracin en cual%uier instante
11) Encuentra dos n?meros reales $ositi#os cuya suma sea A9 y su $roducto seam*+imo.
12) Encuentra dos n?meros cuyo $roducto sea 1C y cuya suma sea m,nima
1() De entre todas las latas cil,ndricas de 8o!alata con ca$acidad de 199 cm(
4cu*l esla %ue re%uiere menos metal Encuentra =r> y =8>).
1A) i el n?mero de turistas %ue 8acen un recorrido en autob?s a una determinadaciudad es de (9 e+actamente la em$resa cobra Z299 $or $ersona. &or cada$ersona %ue se suma a las (9 el costo $or $ersona se reduce en ZB. 4cu*l es eln?mero $timo de turistas %ue el autob?s debe lle#ar $ara %ue la em$resa obtengael m*+imo beneficio
1B) ;n alambre de C9 cm. De largo se $arte en dos $eda3os. "on una de las $artesformar* un c,rculo y con la otra se formar* un triangulo e%uil*tero. 4cu*l debe serla longitud de cada uno de estos $eda3os $ara %ue la suma de las *reas de lasdos figuras sea m*+ima 4y $ara %ue sea m,nima
1C) De una $ie3a cuadrada de cartn se #a a formar una ca!a abierta en su $artesu$erior y $ara ello se recorta un $e%ue@o cuadrado en cada una de las es%uinasy $osteriormente se doblan sus bordes. El cartn mide A9 cm. &or cada lado.
recortar
A9cm
doblar
A9cm
Encuentra las dimensiones de la ca!a de modo %ue se obtenga el #olumen m*+imo.
-
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12C
17) ;na escalera de 2B $ies de largo se a$oya contra una $ared #ertical. i la base dela escalera se desli3a 8ori3ontalmente ale!*ndose de la $ared a ( $iesseg. 4%u6tan r*$ido se desli3a la $arte su$erior de la escalera cuando la base se encuentraa 1B $ies de la $ared
1/) El agua esca$a $or la $arte inferior de un de$sito cnico a ra3n de 1 $ie(min.
4"on%ue ra$ide3 #aria el ni#el del agua cuando su altura sobre el fondo es de C$ies
4: %ue ra3n cambia el radio de la su$erficie del agua en ese instante
10) Desde un te!ado de 112 m de altura se lan3a #erticalmente 8acia arriba una $elota%ue finalmente regresa al suelo. i se sabe %ue el es$acio => recorrido desde elte!ado es < 0Ct 1C tW m) calculaJ
a) a $osicin de la $elota su #elocidad y el sentido del mo#imiento en el instante
t < 2.b) u #elocidad al llegar al suelo.
-
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127
EPLICACIN INTEGRADORA
a deri#ada nos $ermite resol#er toda una gama de $roblemas de o$timi3acin comoma+imi3ar ganancias minimi3ar la cantidad de material em$leado $ara fabricar un$roducto y $ara calcular ra3ones de cambio como #elocidad aceleracin etc.
&ara resol#er un $roblema se necesitaJ
1. "om$render el $roblema. En esta fase se identifican los datos las incgnitas y lascondiciones.
2. Elaborar un $lan $ara lo cual se determina la relacin entre los datos y la incgnita seformula el modelo matem*tico y se establecen los $asos a seguir incluyendo laa$licacin de los conce$tos del "*lculo Diferencial.
(. E!ecutar el $lan.
A. Verificar la solucin obtenida.
-
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12/
Variacin de
una Funcin
mediante
Gr*fica
identific ndo
Dominio y
Rango
RECAPITULACIN
Xas concluido el estudio del ca$,tulo 2 Ha$licaciones de la deri#adaI anali3a el siguientees%uema en donde se muestran los conce$tos %ue se abordaron $ara ayudarte aorgani3ar los conocimientos %ue 8as ido construyendo.
:&":"-'E
DE : DERV:D:
en $ara obtener en la solucin de
:n*lisis y Tra3o de
"ur#as
Ecuaciones de las
Rectas Tangente y
&roblemas de -$timi3acin
y Ra3n de "ambio
estudiar determinar calcular identificar
ntersecciones con
los E!es "oordenados
*+imos y
,nimos
&untos de
nfle+in
$ara obtener anali3ando usando
"eros de una
Funcin
y encontrar
nter#alos $ara los
%ue una Funcin es
&ositi#a o 'egati#a
nter#alos
$ara los %ue
la Funcin
es "reciente
o
Decreciente
a$licando
"riterio de la
1\ Deri#ada
"riterio
de la 2\
Deri#ada
$ara determinar
"onca#idad
y
"on#e+idad
-
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120
ACTIVIDADES INTEGRALES
"on el ob!eto de reafirme tus conocimientos resuel#e los siguientes $roblemasJ
1 En un determinado 8uerto el agricultor $lanta man3anos con una densidad de (9man3anos $or acre y el #alor de la cosec8a $roducida $or cada *rbol es deZ199.99.si adem*s se sabe %ue $or cada *rbol e+tra %ue se $lante en un acre el#alor de la cosec8a disminuye en Z(.99 entonces se $odr,an $lantear las siguientes$reguntasJ
a) 4"u*l es el n?mero de *rboles %ue deben $lantarse $or acre con el ob!eto deobtener el m*+imo #alor de la cosec8a
b) 4"u*l es el #alor m*+imo de la cosec8a
c) 4"u*l debe ser el inter#alo de #ariacin del n?mero de man3anos e+tra$lantados $ara %ue el $roblema tenga sentido
d) 4"u*l es el inter#alo de #ariacin $ara el #alor de la cosec8a %ue es $osible eneste $roblema
-
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1(9
2 ;n atleta ol,m$ico dis$ara una flec8a con una #elocidad #ertical de (Bms. e sabe%ue la flec8a se encontrar* a una altura sobre el suelo de 8 t) < A.0t
2 (Bt HtI
segundos des$u6s del dis$aro entonces se $regunta lo siguienteJ
a) 4"u*nto tiem$o se tarda el $royectil en llegar al suelob) 4"on %u6 #elocidad #ertical llega al suelo la flec8ac) 4"u*l es la altura m*+ima %ue alcan3ad) 4: %ue #elocidad #ertical #ia!a la flec8a al cabo de ( B o 7seg. e) 4"u*l es la aceleracin #ertical %ue e+$erimenta la flec8a al cabo de ( B o
7seg.
( ;no de los e+tremos de una #arilla s6 1B cm. de longitud se encuentra unida en suse+tremos a dos correderas una #ertical y otra 8ori3ontal.
i se !ala la corredera interior 8acia la derec8a a ra3n de 90.( cms. EntoncesJ
a) 4"on %u6 #elocidad ba!a el e+tremo su$erior de la #arilla cuando su e+tremoinferior se encuentra ale!ado de la corredera #ertical a una distancia de A cm.
b) 4"u*ndo se mo#er*n con la misma #elocidad los dos e+tremos de la #arillac) 4"u*ndo ba!a el e+tremo su$erior de la #arilla a ra3n de 1.2 cm. seg.
-
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AUTOEVALUACIN
"om$ara las res$uestas %ue obtu#iste en las acti#idades de consolidacin con los#alores %ue enseguida se te muestran
En caso de %ue tengas dudas consulta con tu asesor de contenido.
1) a) (9 B() *rboles o bien (2 *rboles.
b) Z(99/ acrec) 9 K + K (( + < n?mero de man3anos adicionalesd) CC K y K (99/ y < #alor de la cosec8a en Z).
2)a) t < 7.1A seg.
b) 8[ 7.1A) < (Bms.c) 8[ (.B7) < C2.B m.d) 8[ () < B.Cms.
8[ B) < 1A ms.8[ 7) < (( ms.
e) 8[[t) < 0./ msW
()a) dy < 9.2B cms.b) cuando + < yc) cuando + < 12 cm. e y < 0 cm.