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APLICACIÓN: TEOREMA DE VIVIANI
OBJETIVO: APLICAR LA FÓRMULA DE DISTANCIA Y PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS.
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CONCEPTOS PREVIOS PARA LA CLASE DE HOY
• Ecuación de distancia entre dos puntos.
• Ecuación de punto medio entre dos puntos.
• Concepto de perpendicularidad
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CONTEXTO
Usaré un teorema del siglo XVII para que ejercitemos las ecuaciones de distancia ypunto medio entre dos puntos. Este teorema fue descubierto por el italiano VincenzoViviani.
Anécdotas de Viviani:• Galileo lo contrató como colaborador
impresionado por su talento.• Al morir Galileo, quiso publicar todas
sus obras y una biografía pero la iglesia lo prohibió.
• Tradujo al italiano los Elementos de Euclides.
(1622,1703)
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EL TEOREMA DE VIVIANI
El teorema dice que:
”Dado un triángulo rectángulo y un punto cualquiera en el interior de este. La suma de
las distancias perpendiculares desde este punto a los lados es igual a la altura del
triángulo”
Según la imagen, si el triángulo ABC tienealtura h:
h = u + t + s
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VEAMOS SI SE CUMPLEVamos a darnos un punto P tal que sus proyecciones perpendicularescaigan en los puntos medios de los lados del triángulo equilátero.
Sean los puntos 𝐴 −3,0 , 𝐵 3,0 , 𝐶 0,3 3 y el punto interior 𝑃(0, 3).
Realicemos los siguientes pasos:• ¿Cuánto mide la altura del triángulo?• ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos
medios de los lados del triángulo?• ¿Cuánto miden los segmentos perpendiculares
desde P a los lados del triángulo?• ¿Se cumple el teorema de Viviani?
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EXTENSIONES DEL TEOREMA DE VIVIANI
• El Teorema de Viviani se puede extender a cualquier polígono regular. En polígonos de n lados se cumple que dado un punto cualquiera P: la suma de las proyecciones perpendiculares desde P a los lados del polígono ES IGUAL a n veces la apotema.
• Ejercicio: Comprobémoslo con las coordenadas del pentágono regular y el punto P(0,0).