Download - Anreal B Presentasi 4
-
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
1/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012)
Hendra Gunawan
Dosen FMIPA - ITB
E-mail: [email protected].
September 12, 2011
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
2/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
3/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidikikekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui limitnya.Persisnya, jika kita dihadapkan pada sebuah barisan yang monotondan terbatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ia konvergen.
Namun bagaimana bila barisan tersebut bukan barisan monotondan limitnya tak dapat diterka? Upaya yang dapat kita lakukandalam hal ini adalah mengamati jarak antara satu suku dengansuku lainnya.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
4/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Barisanxn disebut barisan Cauchyapabila untuk setiap >0terdapat N N sedemikian sehingga untuk m, nN berlaku
|xm
xn
|< .
Secara intuitif, suku-suku pada barisan Cauchy dapat sangatberdekatan satu sama lain, dan ini terjadi tidak hanya pada duaatau beberapa suku berturutan tetapi semua suku setelah indekstertentu.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
4 3 B i C h
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
5/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Proposisi 10
Jikaxn konvergen, makaxn merupakan barisan Cauchy.
Bukti. Misalkanxn konvergen ke L. Diberikan >0, pilih N Nsedemikian sehingga untuk tiap nN berlaku|xn L|< 2 .Maka, untuk m, nN, kita peroleh
|xm
xn
| |xm
L|
+|L
xn
|nkdan jika i,jnk+1, maka|xi xj|< 12k+2 .Tinjau
Ik :=
xnk 1
2k, xnk+ 1
2k
, k N.Maka Ik+1Ikuntuk tiap k N. (Jika xIk+1, maka xIkkarena|x xnk| |x xnk+1 | + |xnk+1 xnk|< 12k+1 + 12k+1 = 12k.)
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
10/25
D ft I i4.3 Barisan Cauchy
-
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
11/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Contoh 13
Diketahui barisanxn dengan x1= 1, x2= 2, danxn+2=
1
2(xn+1+xn), n N.
Maka, dapat diperiksa bahwa untuk tiap n N kita mempunyai
|xn+2 xn+1|= 12n
.
Dengan menggunakan Ketaksamaan Segitiga, kita peroleh untukm>n
|xm xn| |xm xm1| + + |xn+1 xn| 1
2n2 .Diberikan >0, kita dapat memilih N N sedemikian sehingga
12N2
< . Maka, untuk m, nN, kita peroleh|xm xn| 12N2 < . Ini menunjukkan bahwaxn Cauchy, dankarenanya konvergen.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
12/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
y4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Soal Latihan
1 Buktikan secara langsung bahwa jikaxn Cauchy, makaxnterbatas (tanpa melalui fakta bahwaxn konvergen) .
2 Tentukan limit barisanxn pada Contoh 13.3 Barisan
xn
dikatakan kontraktifapabila terdapat 0< K
-
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
13/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Misalkanxn barisan dannk barisan naik murni dengan nk Nuntuk tiap k N. Maka, barisan
xnk
disebut sebagai sub-barisan darixn.Catatan. Pada pembuktian Teorema 12, kita mengkonstruksisubbarisanxnk yang konvergen ke suatu x R. Secara umum,dapat ditunjukkan bahwa setiap barisan terbatas selalu mempunyai
subbarisan yang konvergen.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
14/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Contoh 1
(i) Diketahui barisan(1)n. Maka,
(1)2k1=1 dan (1)2k=1
merupakan sub-barisan dari(1)n. (Pada sub-barisan pertamank= 2k 1, sedangkan pada sub-barisan kedua nk= 2k.)(ii) Misalkanrn adalah barisan 1, 2, 32 , 53 , 85 , 138, . . . . Maka
1,3
2,8
5, . . . dan 2,
5
3,13
8 , . . .
merupakan sub-barisan darirn. (Pada sub-barisan kedua,nk=k+ 1.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy4 2 S b b i
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
15/25
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Hipotesisnk naik murni merupakan bagian penting dalam definisisub-barisan. Salah satu akibat dari hipotesis ini, kita mempunyai
nk k
untuk tiap k N. Fakta ini dapat dibuktikan dengan PrinsipInduksi Matematika. (Jelas bahwa n11. Selanjutnya, jikankk, maka nk+1>nkkdan karenanya nk+1k+ 1.)Catat bahwa setiap sub-barisan dari barisan terbatas juga bersifat
terbatas. Selanjutnya, kita mempunyai teorema berikut.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4.3 Barisan Cauchy4 2 S b b i
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
16/25
4. BARISAN - BAGIAN II4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Teorema 2
Jikaxn konvergen ke L, maka setiap sub-barisan darixnkonvergen ke L.
Bukti. Misalkanxnk adalah sub-barisan darixn. Diberikan >0, pilih N N sedemikian sehingga untuk setiap nNberlaku|xn L|< . Maka, untuk setiap kN, kita mempunyainkkN, dan karenanya|xnk L|< . Dengan demikianxnkkonvergen ke L.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi 4.3 Barisan Cauchy4 2 Sub barisan
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
17/25
4. BARISAN - BAGIAN II4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Contoh 3
Kita telah membahas kedivergenan barisan(1)n. Buktialternatif yang lebih sederhana dapat diberikan dengan
menggunakan Teorema 2. Karena terdapat sub-barisan1 yangkonvergen ke -1 dan sub-barisan1 yang konvergen ke 1, makabarisan(1)n tidak mungkin konvergen. (Jika ia konvergen,maka menurut Teorema 2 kedua sub-barisan di atas seharusnya
konvergen ke bilangan yang sama.)
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi 4.3 Barisan Cauchy4 2 Sub barisan
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
18/25
4. BARISAN - BAGIAN II4.2 Sub-barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Contoh 4
Pada Soal Latihan 3.4 No. 3, anda diminta menunjukkan bahwaxn konvergen untuk 0
-
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
19/25
Daftar Isi4 BARISAN BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan
-
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
20/25
4. BARISAN - BAGIAN II4.2 Sub barisan4.3 Barisan Konvergen ke
Soal Latihan
1 Diketahui barisanxn. Tunjukkan jikax2k1 danx2kkonvergen ke bilangan yang sama, makaxn konvergen.
2 Buktikan jikaxn Cauchy dan mempunyai subbarisan yangkonvergen ke x, maka xnx bila n .
3 Diketahui barisan
xn
didefinisikan secara induktif dengan
x1= 1 dan
xn+1=xn+ 1
xn, n N.
Mungkinkahxn konvergen?4 Diketahui barisan
rn
didefinisikan secara induktif dengan
r1= 1 dan
rn+1= 1 + 1
rn, n N.
Tunjukkan jikarn konvergen, maka ia akan konvergen ke
(1 +
5)/2.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4 BARISAN BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
21/25
4. BARISAN - BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke
Barisanxn dikatakan konvergen ke+ dan kita tuliskanxn+ bila n
apabila untuk setiap M>0 terdapat N N sedemikian sehinggauntuk setiap nN berlaku xn >M.Serupa dengan itu, barisanxn dikatakan konvergen kedankita tuliskan
xn bila n
apabila untuk setiap M>0 terdapat N N sedemikian sehinggauntuk setiap nN berlaku xn
-
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
22/25
4. BARISAN - BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke
Catatan. Walaupun di sini kita menggunakan istilah konvergendan notasi yang mirip dengan notasi untuk barisan konvergen,
barisan yang kita bahas sebetulnya merupakan barisan divergen diR. Proposisi 5 pada Bab 3 tidak berlaku untuk barisan yangkonvergen kemengingat / R.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4 BARISAN BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan
http://find/http://goback/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
23/25
4. BARISAN - BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke
Contoh 16
(i) Barisann konvergen ke +; sementara barisannkonvergen ke.
(ii) Barisan
1 +
1
2+ +1
n
pada Soal Latihan 3.4 no. 5merupakan barisan yang konvergen ke +.(iii) Barisan(1)nn bukan merupakan barisan yang konvergen ke+ ataupun konvergen ke.Catatan
. Barisanxn yang divergen dan bukan merupakanbarisan yang konvergen kedikatakan berosilasi.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4 BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan
http://find/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
24/25
4. BARISAN BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke
Teorema 17
(i) Jikaxn naik dan tak terbatas (di atas), maka ia konvergen ke+.(ii) Jikaxn dan tak terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke.
Catatan. Teorema 17 merupakan perluasan dari Teorema 11 padaBab 3. Sebagai akibatnya, pada sistem bilangan real yang
diperluas, barisan monoton selalu konvergen.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
Daftar Isi4. BARISAN - BAGIAN II
4.3 Barisan Cauchy4.2 Sub-barisan4 3 B i K k
http://goforward/http://find/http://goback/ -
8/10/2019 Anreal B Presentasi 4
25/25
4. BARISAN BAGIAN II4.3 Barisan Konvergen ke
Soal Latihan
1 Buktikan Teorema 17.
2 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan rasional r>0, barisannr konvergen ke +.3 Misalkanxn >0 untuk tiap n N. Buktikan bahwaxn
konvergen ke 0 jika dan hanya jika
1xn
konvergen ke +.
Hendra Gunawan ANALISIS REAL
http://find/http://goback/