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3/22
SECC.8.3:GRADOSDELIBERTAD
DINMICO
S
3
Dr.JAVIER
PIQUDELPOZO
masasseencuentrantodasinterconectadasdandoorigenaloquesedenominamodelo
deacoplamientolejano.Estemodelose
representaenlaFig.8.2.
Fig.8.2Modelodeacoplamientolejano
8.3
GRADOSDELIBERTADDIN
MICOS
Losgradosdelibertaddinmicosson
aquellosenloscualessegeneranlasfuerzas
inerciales(masaporaceleracinomo
mentodeinerciaporaceleracinangular).Por
ende,dichosgradossonlosqueinteresa
rnpararealizarelanlisis.
EnlaFig.8.3.asemuestrasemuestraelmodelodeunaedificacin
de2
niveles,conformadaporvigasycolumnas.Suplantaestaesquematizado
enla
Fig.8.3.b,enellaseresaltalascolum
nascuyosejesfuertessonparalelosalejey
.EnlaFig.8.3.csemuestraunprticosecundariotpico.Finalmenteenla
Fig.
8.3.dsepuedeapreciarunprticoprincipaltpico,elcualserusado,deaquen
adelante,parapoderexplicarlosconceptos.
1m2m3m
1P2P
3P
4
CAP.8:VIBRACIN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBERTAD
Fig.8
.3Edificacinde2niveles:(a)Modelo.(b)Planta.(c)PrticoSecundario.
(d)PrticoPrincipal.
1L
1L
1L
2L
2L
x
y
(a)Modelodeunaedificacinde2niveles.
(b)Plantadelaedificacin.
x
(c)Prticosecundario
tpico.Elevaciny.
(d)PrticoPrincipal
Tpico.Elevacinx
.
z
2L
2L
1L
1L
1L
z
y
x
y
z
[Figu
raobtenidadelprogramaSAP2000versin
educacional]
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5/22
SECC.8.4:VIBRACIN
FORZADAYLIBREDE
SISTEMASDEVARIOSGDL.AMORTIGUAMIENTO
7
Dr.JAVIER
PIQUDELPOZO
8.4VIBRACIN
FORZADA
YLIBREDESISTEMASDEVARIOSGRA
DOS
DELIBERTAD(GDL).AMORTIGU
AMIENTO
Enestaseccinnuestroestudioestar
basadoenelsistemasimplificadode2GDL
DinmicosvistoenlaFig.8.6,enelqueademsdelasfuerzasinercialestam
bin
seconsiderarnfuerzasactuantesen
cadaGDLtalcomosepuedeobservar
enla
Fig..8.7.Primeramenteobtendremos
unaexpresingeneralparalavibracin
forzadadelsistemanoamortiguado.Luegoharemosalgunassimplificaciones
para
poderobtenerlavibracinlibre(en
laSecc.8.4.2presentaremoslaexpresin
generalqueconsideraelamortiguam
iento).Parapoderestudiarlaspropiedades
bsicasdeunsistemacomoelquesemuestraenlaFig.8.7seharusodelmodelo
tipocortante(verSecc.8.2).
Fig.8.7Sistemanoamortiguado
simplificadomasfuerzasactuantes.
EldesplazamientorelativoesesquematizadoenlaFig.8.8debido
asu
importanciamencionadaenelCap..5
.Puestoqueparapoderobtenerlasfuerzas
delresorte,eneldiagramadecuerpo
libredelsistemaquesemuestraenla
Fig.
8.9seempleaeldesplazamientorelativo.
Fig.8.8Desplazamientorelativo
generadoenunsistemade1GDL
V
k
k
V
1
m
)(2
tfP
)(1
tfP
2k2
m
1k
8
CAP.8:VIBRACIN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBERTAD
Fig.8.9Diagramadecuerpolibre(DCL)delSiste
maSimplificado.
DelaFig.8.9aplicandoequilibriodinmicopara
elprimerysegundonivel,
resulta:
)(
)
(
)(
)
(
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
tfP
uk
u
k
k
um
tfP
u
u
k
uk
um
(8.1)
)(
)(
)
(
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
tfP
uk
uk
um
tfP
u
uk
um
(8.2)
Ordenando
matricialmentelasEcs.(8.1)y(8.2)setiene:
)(
0
0
21
21
2
2
2
2
1
21
2
1
tf
PP
uu
k
k
k
k
k
uu
m
m
Oloqueeslomismoescribir:
)
(tfF
KU
UM
(8.3)
donde:
21
21
21
,
PP
F
y
uu
U
uu
U
sonelvectoraceleracin,desplazamientoyfuerza
(P1yP2sonconstantes)en
eseorden;y
2u
2
1m
2m
1
k2
k
1
1um
)(2
tf
P )(1
tfP
1u 111
1
1
uk
k
)
(
1
2
2
2
2
u
uk
k
)
(
1
2
2
2
2
u
uk
k
2
2um
-
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SECC.8.4:VIBRACIN
FORZADA
YLIBREDE
SISTEMASDEVARIOSGDL.AMORTIGUAMIENTO1
1
Dr.JAVIER
PIQUDELPOZO
0
0
)(
K
U
UM
tfF
KU
UM
(8.8)
SECC.8.4.1.1:ECUACIN
CARACTERSTICA
11
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
donde0repre
sentaunvectorconncomponentes,todasellascero.Lascondiciones
inicialesson:
0
0
)0(
)0(
U
U
y
U
U
Recordemo
squeenelCap.5seobservqueunsistemade1GDLsometidoauna
perturbacininicialdesdesuposicindeequilibrioestaraforzadoavibrarconun
movimientope
ridicodeperodoTo
frecuenciacircular
/T
=
2
,queesuna
caractersticad
elsistema
=k/M)
(
2
.Poranalogaesinteresanteaveriguarsiun
sistemadeva
riosgradosdelibertad,alqueseleimponenunjuegoinicialde
desplazamientos(ovelocidades)vibrararmnicamente,manteniendolaforma
relativadeesto
sdesplazamientosyvariandosolamentesusamplitudesporunfactorde
proporcionalidad.Basadoenesto,paranuestrosistemade2GDLelvectorde
desplazamientosvendraaser:
)
t
(
Sen
X
U
)
t
(
Sen
xx
)
t
(
Sen
x
)
t
(
Sen
x
uu
U
21
21
21
dondex
1yx2sonlosmximosdesplazam
ientosdelospisos1y2
respectivamen
te(loscualesobviamentenosonfuncin
deltiempo).
Derivando
laEc.(8.9)dosveces,obtenemos:
)t
(
Sen
X
U
2
(8.10)
Reemplaza
ndolasEcs.(8.9)y(8.10)enlaEc.(8.8)setiene:
0
2
)
t
(Sen
XK
)
t
(
Sen
X
M
Alsimplificarlaltimaexpresinseobtiene:
0
2
XM
XK
(8.11)
8.4.1.1EcuacinCaracterstica
Elproblem
a,enlaEc.(8.11),esdeterminarsie
squehayvaloresde
2
y
vectorescorre
spondientesXquesatisfacenestaecua
cinmatricial,ademsdela
solucintrivial
0
0,X=
=
.
Esteesunproble
mamatemticollamadode
valorescaractersticosodevalorespropios[Ref.9].
AlfactorizarelvectordemximosdesplazamientosenlaEc.(8.11),el
problemaaconsiderarresultadelaforma:
0
)
(
2
X
M
K
(8.12)
(8.9)
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18
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
IERA
SISMORRESISTENTE
Xa
=
V
i
1
n 1=i
(
8.24)
Loscoeficientesaiseobtienen
usandolascondicionesdeortogonalidad.
Siendoai(t)unavariabledependie
ntedeltiempoqueexpresalacontribucin
participacindinmica(elloseverenelCap.9).
Pre-multiplicandoambosladosdelaecuacinporlamatrizMyelvectorXTj:
i
Tj
n i
i
Tj
XM
Xa
VM
X
1
(
8.25)
perocomo
0j
Ti
XM
X
paraidiferentedej:
i
TiTi
i
XMX
VMX
a
(
8.26)
Estapropiedadesextremadamenteimportanteporquepermiteexpresarlasolucin
decualquierproblemadinmicocomounasumatoriadondecadatrminorepresentala
contribucindeunmodo.Permitereducirlasolucindeunsistemadengradosde
libertadalasolucindensistemasindependientesde1GDL,desacoplandoaslas
ecuacionesdemovimiento.
8.4.1.6
Aplicacin
yVerificacin
de
las
Propiedadesde
lasForma
s
de
MododeVibracinLibre
Paraelsistemamostradocalcule:
a)Laecuacincaracterstica.
b)Lasfrecuenciasylosperiodos.
c)Formasdemodo.
d)Normalizarlasformasdemodo.
e)Verificarlaspropiedades.
Datos:
1m
2u 1u
2k1k
2m
mt
k
y
mt
k
mst
g
peso
m
m
88,
27
9
3
87,
689
3
437,11
/
2
1
2
2
1
SECC.8.4.1.6:APLICACIN
YVERIFICACIN
DELASPROPIEDADESDELASFORMASDEMODO 19
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
Solucin:
a)Sabemosqueparaestetipodesistemalaecuaci
ncaracterstica,porserde
vibracinlibre(verSecc8.4.1.1,Ec.(8.13)),vienedadapor:
0
2
M
K
0
0
0
0
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
m
k
k
k
m
kk
m
m
k
k
k
k
k
Siendolas
matricesK(derigidez)yM(demasas)alreemplazarlosdatos:
9,
279
3
9,
27
9
3
9,
279
3
75,
9696
437,
11
0
0
437,11
0
0
2
2
2
2
1
2
1
K
k
k
k
k
k
K
M
m
m
M
Luegoeldeterminantedelaecuacincaractersticavendradadopor:
0
4
37
,11
9,
279
3
9,
279
3
9,2793
437,11
75,
969
6
2
2
b)
Eslasolucindeldeterminantelaquenospermitirlaobtencindelas
frecuenciasylosperiodos.Luego,operandoeldeterminante:
0
)9,
279
3(
)
437,11
9,
279
3).(
437,11
75,
969
6(
2
2
2
Resolviend
oestaltimaecuacin,sabiendoque
eselvalor
caracterstico,setiene:
0
988,
516
92
133,
896
2
Estaltimaecuacinesllamadaelpolinomiocaracterstico.Polinomiocuyas
racesnospro
porcionarnlasfrecuenciasyperiodos
,paraelloesnecesarioque
lasfrecuenciasangularesseordenendemenoramayo
r:
2
077,
777
059,
119
:
2
1
y
por
dadas
vienen
races
Cuyas
-
8/10/2019 Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO UJCM
12/22
20
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
Frecuenciasangulares:
2
1
2
1
:
/
876
,27
/
91,10
que
Observe
s
rad
y
s
rad
Comoelperiodonaturalsedefine
como:
s
,
T
y
s
,
T
225
0
576
0
2
1
ObservequesegnlaEc.(8.16):
2
1
T
)
damental
PeriodoFun
(
T
Frecuenciasnaturales:
2
1
2
1
:
44,4
74,1
f
f
que
Observe
Hz
f
y
Hz
f
c)LasFormasdemodoseobtendrnapartirdelasfrecuenciasangularesya
calculadas.Delasiguienteigualdad(verSecc8.4.1.3):
00
21
2
2
2
2
2
1
2
2
1
ii
i
i
xx
m
k
k
k
m
k
k
Alusarlaprimerafila,puestoque
lasegundafilaesdependientedelaprimera
oviceversa,tenemos:
0
2
2
1
1
2
2
1
i
i
i
x
k
x
m
k
k
Reemplazando:
0
9,
279
3
437,11
75,
969
6
2
1
2
i
i
i
x
x
Notarquecada
producir
unaformademododistinta
,c
uyas
componentes,aldespejarlaltimaecuacin,seran:
i
i
i
i
x
y
x
x
2
2
2
1
437,11
75,
969
6
9,
279
3
Sesuelehacer
,esdecirlacomponentesegundaencadamodotomar
elvalordeuno.EngeneralparasistemasdenGDLsehace
siendo
dichovaloraelegirarbitrario.
i
i
i
iT
2
i
i
T
f
1
i
iX
1
2
i
x
1nx
(ordenamien
toquesehahechoparaobtenerT1>T2)
SECC.8.4.1.6:APLICACIN
YVERIFICACIN
DELASPROPIEDADESDELASFORMASDEMODO 21
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
Recordarqueen
la
Secc8.4.1.3
se
despejenfuncinde
.Eneste
problemaoptaremospordespejarenfuncinde
,queesequivalentealo
hechoenlase
ccinantesmencionadapuestoquela
nicafinalidadesobtenerde
maneracualitativalasformasdemodo
correspondientesa
.Luegopara:
)
(
15848
,05848
,0
91,10
437,11
75,
969
6
9,
279
3
1
/
91,10
:
1
1
1
1
1
1
2111
1
11
2
11
21
21
1
2
1
2
11
21
1
t
Sen
X
U
X
xx
X
luego
x
x
x
x
m
k
k
k
x
x
y
s
rad
i
i
)
(
17104
,17104
,1
876,27
437,11
75,
969
6
9,
279
3
1
/
876,27
:
2
2
2
2
2
2
2212
2
12
2
12
22
22
1
2
1
2
12
22
2
t
Sen
X
U
X
xx
X
luego
x
x
x
x
m
k
k
k
x
x
y
s
rad
i
i
iX
iix1
i
x
2
)
876,27(
17104
,1
2
]2
[
2
2
t
Sen
U
Modo
i
)
91,10(
15848
,0
1
]1
[
1
1
t
Sen
U
Modo
i
1
21x
5848
,0
11x
1
22
x
7104
,1
12
x
-
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22
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
d)LaNormalizacindelasformasde
modoserhechabasadaenlaSecc8.4.1
.4:
d.1)Sedejacomoejercicioparaellector.
d.2)Haciendolascomponentes
deloscorrespondientesmodos
,
siendodichacomponenterarbitr
aria.Luegoloscomponentesrestantesde
cadamodoiserncalculadosenfuncindedichacomponenter.
Enlaparte(c)sehavistocuando
.Acontinuacinveremosel
caso
cuando
,paralocualesnecesariodividirsuvaloractual(positivoo
negativo)almodocorrespondiente,obteniendomodosequivalentese.Es
tose
veracontinuacin:
5848
,01
)
7104
,1(1
1
2
]2
[
7097,11
5848
,01
1
1
]1
[
)
(
22
)
(
12
)
(2
12
22
12
12
122
)
(
2
)
(
21
)
(
11
)
(1
11
21
11
11
111
)
(
1
ee
e
ee
equivalentee
e
ee
equivalent
xx
X
x
x
x
x
xX
X
Modo
i
xx
X
x
x
x
x
xX
X
Modo
i
d.3)Normalizandoconrespectoa
lamatrizdemasasM:
1i
Ti
M
dedonde:
-
n j
ji
ji
i
i
T i
i
i
x
mX
XM
XX
1
2)
(
iX
1rix
1
2
i
x
1
1
ix
SECC.8.4.1.6:APLICACIN
YVERIFICACIN
DELASPROPIEDADESDELASFORMASDEMODO 23
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
Observarque
sonlosmodosnormalizados
conrespectoalamatrizde
masas.Trabajandoconlosvectoresnormalizadosde
laparte(c
)delproblema
tenemospara:
i
-
8/10/2019 Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO UJCM
14/22
24
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
INGENIERASISMORRESISTENTE
)
1493
,0(
437,
11)
2553
,0(
437,11
)
(
11493
,0255
3
,0
17104
,1
8956
,44
1
8956
,44
)1(
437,11
)
7104
,1(
437,11
17104
,1
437,11
0
0
437,11
1
7104
,1
17104
,1
:2
]2
[
)!
(1
)
2553
,0(
437
,11
)
1493
,0(
437,11
)
(
12553,0
1493,0
15848
,0
3484
,15
1
3484
,15
)1(
437,11
)
5848
,0(
437,11
15848
,0
437,11
0
0
437,11
1
5848
,0
15848
,0
:1
]1
[
2
2
2 1
2
2
2
2
2
2
2212
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
12
2
1
1
2
2
21
2
1
1
1
1
1
2111
1
1
1
1
11
1
2
2
1
1
1
1
2111
1
x
x
m
M
como
M
o
verificand
MX
XX
luego
MX
X
x
x
MX
X
MX
X
xx
X
con
Modo
i
Ok
M
x
x
m
M
como
M
o
verificand
MX
XX
luego
MX
X
x
x
MX
X
MX
X
xx
X
con
Modo
i
j
j
jj
T
TT
TTT
T
j
j
jj
T
TT
TTT
SECC.8.4.1.6:APLICACIN
YVERIFICACIN
DELASPROPIEDADESDELASFORMASDEMODO 25
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
e)LaVerificacindelaspropiedadesdelasformasdemodoserhechabasadaen
laSecc8.4.1.5.Luego,siendolasmatricesdema
sas(M
)yrigidez(K)
simtricasyK
correspondeaunaestructuraestable,podemosgarantizarque:
e.1)Exis
tentantasfrecuenciasangularescomo
gradosdelibertadsehan
considerado.Esdecir,siexistenn=2GDL,entonces,existirn2
frecuenciasna
turalesyporende2periodossiendo
elmayorelfundamental.
e.2)Para
cadafrecuenciaexisteunanicaforma
demodo.Estosehapodido
observardurantelasolucindelproblema.
e.3)CondicindeOrtogonalidad;lasformasdem
odoquecorrespondenados
frecuenciasna
turalessonortogonales(perpendicularesparaunsistemauno,dos
etresgradosd
elibertad).
Cumplind
ose:
SiendoC
la
matrizdeconstantes
deamortiguam
iento.Laconstruccindedichamatrize
sanlogaaladeKcomose
verenlasiguienteseccin.Verificandolacondicindeortogonalidadporejemplo
para:
0
)11(
437,11
)
71
04
,1()
5848
,0(
437,11
17104
,1
437
,11
0
0
437,11
1
5848
,0
2
1
2
1
2
1
MX
X
x
x
x
x
MX
X
MX
X T
TT
Losdems
productosconM,C,Kycombinacionesdeformasmodales,de2en2,
sonanlogos.
e.4)Paranuestrocaso,nosetienenmultiplicidadenlaracesportratarsedeun
sistemasencillode2GDL.
i
j
para
XK
X
i
j
para
XC
X
i
j
para
XM
X
j
T i
j
T i
j
T i
000
-
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16/22
-
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17/22
SECC.8.5:SISTEMASCONTINUOSOD
EMAS
A
DISTRIBUIDA:VIGA
DECORTE,VIGADEFLEXIN
29
Dr.JAVIER
PIQUDELPOZO
conunafrecuencia.Resolviendo
elproblemaresultanteparaesasincgnitas
obtendremosquelasolucincorresponderalascaractersticasdelavibracinlibre.
Fig.8.14VigadeCorteenVoladizo
Supngasequelavigavibrarsig
uiendounafuncin
t)
v(x,dependientedela
alturadelavigaydeltiempo,que
esasuvezfuncindeuna"forma"
(x)
v0
independiente
deltiempo
y
deu
na
funcin
armnica
de
frecuencia
,
)
+t
sen(
.
)
+t
sen(
).x(
v)t,x(v
o
(
8.35)
Sustituyendoestafuncinysusderivadasenlaecuacindiferencialanteriorse
tiene:
0=vp+
xdvd
0
2
2
2
(
8.36)
donde:
G=
p
2
2
(
8.37)
Obsrvesequelasolucindeesta
ecuacindiferencialproveerlaforma
dela
funcin
(x)
v0
queserlaqueadoptarlavigaalvibrarlibrementeconlafrecu
encia
incluidaenelparmetrop.Enbu
enacuentarepresentalaformamodalyla
frecuenciamodalasociada.
Lasolucingeneraldelaecuacind
iferencialEc.(8.36)es:
Bsenpx
+px
A=v0c
os
(8.38)
Paraelcasodelavigaenvoladizolascondicionesdebordeson(Fig.8.14):
SECC.8.5.1.1:VIGA
LIBRE:VIGAEN
VOLADIZO
29
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
-desplazamientoenlabasecerov(0)=0
-giroenla
partesuperiorcero,porqueelcortante
enelextremoesceroypor
consiguienteenestecasoesorequierequelaprimeraderivadadeldesplazamiento
enesepuntoseacero,osea
0=
(H)
v
.Seobtienecomosolucinnotrivial:
/(2H)
1)-
(2n=p
(8.39)
oexpresadoentrminosdelafrecuencia:
G/
/(2H)]
1)-
[(2n
=n
(8.40)
Lasfrecuenciasnaturalescorrespondernavaloressu
cesivosde
3;2;1:n
Eltrmino
G/correspondealavelocidaddepropagacindelasondasde
corte,Vs,enunestratodesueloquesemodelaelstica
mentecomosifueraunaviga
deestetipoparalasondastransversalesquecausanesadeformacin.
Losperodosseexpresancomo:
/2=Tn
(8.41)
V1)-
4H/(2n
=T
s
n
(8.42)
Elperodo
fundamental,cuando
1=n
vienedadoporlaexpresin:
V
4H/
=T
s
1
(8.43)
Lasformasmodalesvienenexpresadaspor(Fig.8.15)
x/2L
Bsenn
=(x)
von
(8.44)
-
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-
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32
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
Cuadro8.2Comparacindepe
rodospromedioentreunavigadecorteyuna
deflexinconlosd
eunprticode12pisosconplacasomuros
de
corte[Ref.9]
REFERENCIAS
33
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
REFERENCIAS
1.
Biggs,J.M.,"DynamicAnalysisofOne-De
greeSystems",enNotasdel
curso
FundamentalsofEarthquakeEngineering
forBuildings.Massachusetts
InstituteofTechnology.Cambridge,Massachus
etts.1972
2.
Resset,J.M."StructuralDynamics".Notasde
clase.MassachusettsInstitute
ofTechnology.Cambridge,Mass.1974.
3.
Biggs,J.M.,IntroductiontoStructuralDynamics.McGraw-Hill.NewYork.
1964
4.
Craig
Jr.,R.R.,StructuralDynamics.JohnWiley&Sons.NewYork.1981
5.
Clough,R.W.&Penzien,J.DynamicsofStructures.McGraw-Hill.New
York.1975
6.
Okam
oto,S.IntroductiontoEarthquakeEngineering.HalstedPress.John
Wiley
&Sons.NewYork.1973
7.
Hurty
,W.C.&Rubinstein,M.F.DynamicsofStructures.PrenticeHall.New
Jersey1964.
8.
Bathe
,K.J.,Wilson,E.L.NumericalMethodsinFiniteElementAnalysis,
Prentice-Hall.EnglewoodCliffs,NewJersey.1976
9.
Wilkinson,J.H.,
TheAlgebraicEigenvalueProblem,ClarendonPress.
Oxford..1965
10.
Piqu
,J.,Echarry,A."AModalCombinationforDynamicAnalysisof
ReinforcedConcreteFrames".9a.ConferenciaMundialdeIngeniera
Antissmica.Tokyo-Kyoto.Japn.1988
11.
Bazn,E.,Meli,R.
DiseoSsmicodeEdificios,EditorialLimusa.
Balderas,Mxico.2002
12.
Piqu
,J.,Scaletti,H.,AnlisisSsmicodeEd
ificios,EdicionesCaptulode
Ingen
ieraCivil.Lima,Per.1991
-
8/10/2019 Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO UJCM
20/22
34
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
ANEXO-
CAP.8:
COCIENTEDERAYLEIGH
35
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
ANEXO
COCIENTED
ERAYLEIGH
Factorizando
elvectorde
mximos
desplaz
amientos
en
la
ecuacin
caracterstica,Ec.(8.11),elproblemaaconsiderarresultadelaforma:
0
)
(
2
X
M
K
(8.49)
reordenand
oestaltimaecuacinsetiene:
XM
XK
2
(8.50)
SuponiendoqueseconocelasolucinXidelaEc.(8
.50),entoncessecumpleque:
i
i
i
XM
XK
2
(8.51)
yhaciendo
i
i
2
laEc.(8.51)queda:
i
i
i
XM
XK
(8.52)
multiplican
dolaEc.(8.52)por
TiX
:
i
Ti
i
i
Ti
XM
X
XK
X
(8.53)
despejando
laEc.(8.53):
i
Ti
i
Ti
i
i
XM
X
XK
X
2
(8.54)
ElcocientedeRayleighnospermitecalcularelvalorde
i
conocidosu
correspondientevectorcaracterstico
i
X.Estosepuede
apreciarenlaEc.(8.54).
DebidoaquelaEc.(8.54)puedeserusadaconaproximacionesalosvectores
propios[Ref.
12],entonces,suponiendoquesecon
oceunaformademodode
maneraaproximada:
V
Xi
(8.55)
Reemplaza
ndolaEc.(8.55)enlaEc.(8.54)setiene
:
-
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21/22
36
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
VM
V
VK
VTT
i
i
2
(8.56)
Lasfuerzasaplicadasseran:
F
VK
(8.57)
AlreemplazadasdeichasfuerzasenlaEc.(8.56)tenemos:
VM
V
F
VTT
i
(8.58)
LaEc.(8.58)escritasenformadesumatoriases:
2
1
1
j
n j
j
j
n j
j
i
v
M
vF
(8.59)
donde
j
j
vy
F
sonelementosdelosvectorescolumnas
VyF
,y
j
Mesun
elementoquepertenecealadiagonalprincipaldelamatrizdemasasM.
Como
2i
i
,entonceslaEc.(8
.59)quedara:
2
11
2
11
2
j
n j
j
j
n j
j
i
j
n j
j
j
n j
j
i
i
v
M
vF
v
M
vF
(8.60)
SienlaEc.(8.60)setrabajaconpes
osenvezdemasas,entonces:
2
1
1
.
j
n j
j
j
n j
j
i
VP
VF
g
(8.61)
Ycomoseconoceque
i
iT
2
,en
tonceselperiodocorrespondientealaf
orma
demodoXisegnlaEc.(8.61)sera:
ANEXO-
CAP.8:
COCIENTEDERAYLEIGH
37
Dr.JAVIER
PIQU
DELPOZO
j
n j
jj
n j
j
j
n j
j
j
n j
j
i
vF
g
vP
vF
v
M
T
1
2
1
1
2
1
..2
.2
(8.62)
EJEMPLO:
Paraelsigu
ientesistemaquesemuestracalculedemaneraaproximadaelperiodo:
Solucin:
Suponiendodemaneraaproximadalasfuerzasaplica
das,setiene:
1m
2m
3m
mt
k
000
10
1
mt
k
000
8
2
mt
k
000
8
3
mst
m
2
1
10
mst
m
2
2
9
mst
m
2
3
8
1m
2m
3m
t
F
000
10
1
t
F
000
20
2
t
F
000
30
3
-
8/10/2019 Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO UJCM
22/22
CAP.8:VIBRAC
IN
DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE
RTAD
Resumiendotodoslosclculosenta
blassetiene:
Nivel j
kj(t/m)
Fjsupuestas
(t)
Vj=Fjacumuladas
(t)
jj
j
kV'
vj=j
acumuladas
3
8000
30000
30000
3,75
16,00
2
8000
20000
50000
6,25
12,25
1
10000
10000
60000
6,00
6,00
Nivel
Mj
(t-s2/m)
Mj.vj2
Fj.vj
3
8
2048,00
480000
2
9
1350,56
245000
1
10
360,00
60000
3758,56
785000
UsandolaEc.(8.60):
s
T
T
435,0
000
785
56,
758
3
2
1v
2v
3v
3
2
1