Analisis Matematico
Maestrıa en Ing. Electronica
Capitulo I
Introduccion
D.U. Campos-Delgado
Facultad de Ciencias
UASLP
Agosto/2019
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CONTENIDO
Operadores
Estructura del plano
Metodo axiomatico
Demostraciones
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Operadores
•Muchos aplicaciones en ingenierıa y ciencias
pueden ser analizadas o visualizadas como ca-
jas negras.
CAJA NEGRA
Entrada Salida
• Se ingresa un elemento de entrada y la caja
negra proporciona una salida.
• La pregunta natural es como procesa / trans-
forma/ mapea la entrada la caja negra y con
que caracterısticas, ası como que tipos de va-
riables de entrada y salida se contemplan.
• Ejemplos:
⋄ Caıda libre de una partıcula,
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⋄ Motor electrico,
⋄ Transductor de temperatura,
⋄ Amplificador de audio,
⋄ Motor de combustion en un automovil. �
• Una caja negra operador que transforma
una entrada en una salida.
• Para entender su respuesta, es importante
estudiar la estructura matematica de los ope-
radores.
• Pueden ser vistos como transformaciones,
funciones, mapeos o aplicaciones entre es-
pacios lineales con norma.
⇒ Se engloban a:
Ecuaciones matriciales,
Ecuaciones integrales y diferenciales,
Ecuaciones en diferencias y
Procesos aleatorios.
Estructura del Plano
Tomar el ejemplo del plano Euclideano en 2
dimensiones
x=x1x
2
0 x1
x2
Estructura Teorica de Conjuntos
• El plano es un conjunto de pares ordenados
de numeros reales x =
[
x1x2
]
• Denotar el conjunto como R2 (El orden es
importante !!!)
Estructura Topologica
• Se relaciona al concepto de distancia
• Definir la distancia d entre 2 puntos x y y:
d(x,y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)
2 ∀x,y ∈ R2
• R2 + concepto de distancia ⇒ espacio metri-
co
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Estructura Algebraica
• Esta relacionada con las operaciones de su-
ma y multiplicacion escalar
x+ y =
[
x1 + y1x2 + y2
]
∀x,y ∈ R2
αx =
[
αx1αx2
]
∀α ∈ R
• R2 + suma y escalamiento ⇒ espacio lineal
Estructura Combinada Topologica y Alge-
braica
• La asociacion se logra a traves del concepto
de norma o longitud de vectores
‖x‖ =√
x21 + x22
⇒ d(x,y) = ‖x− y‖ & ‖αx‖ = |α|‖x‖• R2 + suma y escalamiento + magntitud ⇒espacio normado
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Estructura Geometrica
• Combinacion de las propiedades topologicas,
algebraicas o ambas.
• La norma de manera adicional puede ser ge-
nerada a traves del producto interno.
< x,y >= y⊤x =
[
y1 y2]
[
x1x2
]
= x1y1+x2y2
⇒ ‖x‖ =√< x,x >
• Existen otras normas las cuales no son gene-
radas por un producto interno.
• R2 + suma y escalamiento + producto in-
terno ⇒ espacio de producto interno
y
x
||x|
|
||y||
0
d(x,y)
<x,y>
||y||
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Metodo Axiomatico y Abstraccion
Axioma o postulados : proposiciones que se
asumen como verdaderas pero no pueden
ser probadas dentro de la teorıa.
Ejemplo: algunos axiomas de la geometrıa
Euclideana ⇒ (a) cualquier par de puntos
pueden ser unidos por una lınea recta, (b)
cualquier cırculo puede ser dibujado a partir
de un centro y radio dado, (c) cualquier
segmento de recta puede ser extendido a
una lınea recta. �
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Definicion : es el nombre que se le asigna a
una proposicion, de modo que cuando sea
necesaria dicha proposicion, se pueda sus-
tituir por el nombre dado.
Ejemplo: “un numero natural es primo si y
solo si sus unicos divisores son 1 y el mis-
mo”. �
Teorema : son los resultados de la teorıa y,
por tanto, el objetivo de las matematicas.
Es un razonamiento logico en el cual las
premisas son axiomas de la teorıa o bien
otros teoremas ya probados, y la conse-
cuencia es otra proposicion relativa a la
teorıa.
Ejemplo 1: “si m y n son primos, entonces
su mınimo comun multiplo es m× n.” �
Ejemplo 2: “una matriz A ∈ Rn×n es in-
vertible, si y solo si, su determinante es
diferente de cero det(A) 6= 0.” �
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Corolario : consecuencia inmediata de un re-
sultado ya probado.
Ejemplo: “el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b tiene solucion si det(A) 6= 0”. �
Lema : un teorema corto usado como un re-
sultado preliminar utilizado en la construc-
cion de un teorema formal.
Ejemplo:“cuando ac es divisible por un nume-
ro b, que es primo relativo a c, entonces a
debe ser divisible por b.” �
Conjetura : una proposicion que es consisten-
te con datos conocidos, pero que no ha si-
do verificada o mostrado que sea falsa.
Ejemplo: “un numero n es primo ⇔ se sa-
tisface que 2n − 2 es divisible por n.” �
9
Demostraciones
⇛ Se basan en leyes de la logica.
⇛ Existen 2 tipos de implicaciones:
i. “Si A entonces B”: si A es valido o ver-
dadero, entonces B es valido o verdadero
(“A ⇒ B”). Se le conoce como condicion
suficiente.
Ejemplo: Si a es un entero par, entonces
a2 es un entero par. �
ii. “A, si y solo si, B”: equivalente a “Si A
entonces B” y “Si B entonces A” ( “A ⇔B”). Su demostracion involucra la prueba
de ambas hipotesis (A ⇒ B y B ⇒ A).
Se le conoce como condicion necesaria y
suficiente.
Ejemplo 1: x2+2bx+c ≥ 0 ∀x ∈ R y b, c ∈ R,
si y solo si, b2 − c ≤ 0. �
Ejemplo 2: un numero entero es divisible
entre 9, si y solo si, la suma de sus dıgitos
tambien es divisible entre 9. �
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Demostraciones de Teoremas
⇛ Los resultados que contemplan implicacio-
nes “si y solo si” son muy valorados en ma-
tematicas.
⇛ Si se logra demostrar que A ⇒ B, entonces
se busca como encontrar las condiciones para
B ⇒ A, y se logra entonces A ⇔ B,
⇛ Otros ejemplos de implicaciones si y solo si:
Ejemplo 3: un numero entero es divisible entre
4, si y solo si, sus dos ultimos digitos forman
un numero divisible entre 4. �
Ejemplo 4: dados dos numero enteros m y n,mostrar que m3 − n3 es par, si y solo si, m− nes par. �
Ejemplo 5: mostrar que un triangulo tiene la-
dos de igual magnitud, si y solo si, sus anglos
internos son iguales. �
⇛ En la practica (leyes, medicina, fısica expe-
rimental, etc.), ¿como se realizan las demos-
traciones?
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Primeramente dado un argumento A, ya sea A
o No A deben ser ciertos de inicio.
La implicacion A ⇒ B es equivalente a No B ⇒No A.
⇛ Existen 3 tecnicas basica:
1. Demostracion directa: para demostrar A ⇒B, se asume A y entonces se deriva la condicion
B.
Una manera de contradecir o verificar que no
es cierta A ⇒ B, es considerar un caso en que
dado A no se cumple B → contra-ejemplo.
Ejemplo 1: probar x ≥ 0 ⇒ x < ex.
Demostracion: asumir de inicio que x ≥ 0.
Definir f(x) , x y g(x) , ex ⇒ se cumple
f(0) < g(0) y ademas
f ′(x) < g′(x) ∀x > 0.
Entonces al integrar la expresion anterior de 0
a x, se obtiene
f(x)− f(0) < g(x)− g(0)
y se concluye que f(x) < g(x). �
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Ejemplo 2: Si a es un entero par, entonces a2
es un entero par.
Demostracion: asumir que a es un entero par
⇒ ∃n ∈ Z tal que a = 2n. Por lo tanto, se
cumple que a2 = 2(2n2), y en consecuencia a2
tambien es par. �
Ejemplo 3: Si a, b, c ∈ Z, a divide a b, y a divide
a c, entonces a divide a b+ c.Demostracion: Considerando que a, b, c ∈ Z y
asumiendo que ∃j ∈ Z tal que b/a = j y ∃k ∈ Z
tal que c/a = k
⇒ b/a+ c/a = (b+ c)/a = j + k ∈ Z.
�
Ejemplo 4: Demostrar que la suma de 2 nume-
ros racionales es otro numero racional.
Demostracion: ∀a, b ∈ Q se cumple que ∃p, q, r, s ∈Z tal que a = p/q y b = r/s.
⇒ a+ b =p
q+
r
s=
ps+ rq
qs
donde ps+rq ∈ Z y qs ∈ Z, por lo que a+b ∈ Q.
�
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Ejemplo 5: Para dos enteros a y b, a + b es
impar, si y solo si, uno de los 2 enteros, a o b
es impar.
Demostracion: ⇒ Asumir que a+ b es impar,
entonces ∃k ∈ Z tal que a+ b = 2k+1, es decir
a = 2k + 1− b. Asumir que b es par, entonces
∃j ∈ Z tal que b = 2j, y al sustituir
a = 2k +1− 2j = 2(k − j) + 1
como k − j ∈ Z, se concluye que a es impar.
⇐ Asumir que a es impar y b es par, es decir
∃k ∈ Z tal que a = 2k + 1, y ∃j ∈ Z tal que
b = 2j.
⇒ a+ b = 2(k + j) + 1
Por lo tanto, a+ b es impar. �
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2. Demostracion por contradiccion: se basa
en la equivalencia logica entre “si A, entonces
B” y ”si no B, entonces no A”. Para probar
A ⇒ B, primero se asume A y no B, y entonces
se concluye una contradiccion.
Ejemplo 1: probar que√2 es un numero irra-
cional.
Demostracion: asumir que√2 ∈ Q ⇒ ∃p, q ∈ Z
sin divisores comunes tal que p/q =√2. Por
lo tanto, p =√2q y en consecuencia p2 es un
numero par. Sin embargo, como 2 es un nume-
ro primo, p tambien debe ser par. Por lo que p2
es divisible entre 4 y por este motivo q tambien
es un numero par. De esta manera, se llega a
un contradiccion, pues se tiene que p y q son
pares, i.e. tienen como factor comun el 2; y se
concluye que la suposicion inicial es incorrecta.
�
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Ejemplo 2: Demostrar que no existen solucio-
nes enteras positivas a la ecuacion x2−y2 = 1.
Demostracion: Utilizando el principio de con-
tradiccion, asumir que existe una solucion (x, y)
donde x y y son enteros positivos. En este ca-
so, se puede factorizar la ecuacion
x2 − y2 = (x+ y)(x− y) = 1.
Como x y y son enteros, entonces se debe cum-
plir
x+ y = 1 & x− y = 1
o
x+ y = −1 & x− y = −1.
Sin embargo, al sumar ambas ecuaciones en el
primer caso, se tiene que x = 1 y y = 0, y
para el segundo caso, x = −1 y y = 0; lo que
contradice la suposicion inicial de que ambos
valores (x, y) son enteros positivos.�
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3. Demostracion por induccion: se basa en
el Principio de Induccion tomar a no como
un numero entero no-negativo, y suponer que
la propiedad P cumple
P(no) es cierta, es decir no cumple la pro-
piedad P .
Para cada entero k ≥ no, la siguiente con-
dicion se satisface: Si P(n) es verdad para
todo n que cumpla no ≤ n ≤ k, entonces
P(k +1) es tambien verdad.
⇒ P(n) se cumple para todo entero n ≥ no.
De esta forma para demostrar que todo n ≥ no
tiene la propiedad, es suficiente demostrar (a)
(paso de induccion) que para no se cumple, y
enseguida mostrar que (b) (hipotesis de induc-
cion) si para cada entero desde no hasta k ≥ no
se tiene la propiedad, entonces k + 1 tambien
la debe cumplir.
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Ejemplo: probar que
Sn = a+ ar + . . .+ arn−1 =n−1∑
j=0
arj = a1− rn
1− r
donde n = 1,2, . . ..
Demostracion: (a) Considerar n = 1,
S1 = a & a1− r1
1− r= a.
Por lo que se cumple la formula.
(b) Asumir que se cumple el resultado para
n = m, es decir
Sm =m−1∑
j=0
arj = a1− rm
1− r.
(c) Considerar ahora n = m+1,
Sm+1 =m∑
j=0
arj =m−1∑
j=0
arj + arm = Sm + arm
= a1− rm
1− r+ arm = a
1− rm+1
1− r,
con lo que se demuestra la formula. �
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Tarea # 1
Ejercicios 2,4,5, y 6 (Paginas 9 y 10 del Libro
de Texto)
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