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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinanteMenores y cofactores
Instrucciones:
Retoma el problema trabajado durante las unidades 1 y 2: Sustancias que funcionan como
superproteínas. Lee el siguiente caso y resuelve lo que se solicita con base en la matriz de datos
del problema.
Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que
funcionara como una superproteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de
una zona petrolera.
El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún
derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la
investigación, se presentaron muchas dificultades, ya que se tenían previstos tres proyectos
diferentes, los cuales resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarrolló
una sustancia diferente, al realizar las pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los
microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que contenían las sustancias
respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros,
el cual se encontraba completamente limpio.
Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que
se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta
muestra era producto de un accidente científico.
Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia,
esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que
se obtuvo.
De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una
nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el
contenedor.
Todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su
respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida.
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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinantePara saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y con este
procedimiento encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de
esta manera, realizaron las siguientes pruebas.
1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la
tercera, obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.
2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la
tercera, obteniendo 12 litros.
Nota: Para encontrar lo que se pide, supongan que en las primeras dos pruebas (la del accidente y
la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7
vasos de la tercera.
Instrucciones para la elaboración del trabajo:
Contacta a los integrantes de tu equipo y realicen la siguiente actividad.
1. Obtengan cada uno de los menores del determinante asociado a la matriz de datos del
problema.
2. Obtengan cada uno de los cofactores de dicho determinante.
Trabajo individual:
Cada integrante deberá elegir una fila diferente y obtener el determinante a partir de
dicha fila.
Cada integrante deberá elegir una columna diferente y obtener el determinante a partir de
dicha columna.
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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinante
2x+2y+z=4.5 4x+6y+3z=1 6x+9y+7z=mSeria de esta manera LOS MENORES DE LAS FILAS
2 2 1
A = 4 6 3
6 9 7
a11 =2 a12=2 a13=1
a21=4 a22=6 a23=3
a31=6 a32=9 a33=7
6 3
m11 = 9 7
4 3
m12 = 6 7
4 6
m13 = 6 9
2 2 1
A 4 6 3 6 3 4 3 4 6 = 2 - 2 + 1 6 9 7 9 7 6 7 6 9
A = 2 (6) (7) - (9) (3) - 2 (4) (7 ) - (6) (3) + 1 (4) (9) - (6) (6) =
2 42 - 27 -2 28 - 18 +1 36 - 36
2 15 - 2 10
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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinante
2 2 1
A = 4 6 3
6 9 7
a21=4 a22=6 a23=3
2 1
m11 = 9 3
2 1
m12 = 6 7
2 2
m13 = 6 9
2 2 1
A 4 6 3 2 1 2 1 2 2 = 4 - 6 + 3 6 9 7 9 3 6 7 6 9
A = 4 (2) (3) – (9) (1) - 6 (2) (7) - (6) (1) + 3 (2) (9) - (6) (2) =
4 14 – 9 -6 14 - 6 +3 18 - 12
4 5 - 6 8 + 3 6+
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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinante
MENORES DE LAS COLUMNAS
a11=2 a21=4 a31 =6
2 2 1
4 6 3
6 9 7
6 3 2 1 2 1
m11 9 7 m 21 9 7 m31 6 3
2 2 1
4 6 3 6 3 2 1 2 1
6 9 7 = 2 9 7 - 4 9 7 + 6 6 3
A = 2 (6) (7) - (9) (3) - 6 (2) (7) - (9) (1) + 6 (2) (3) - (6) (1) =
2 42 - 27 - 6 14 – 9 + 6 2 - 18 =
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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinante
a12=2 a22= 6 a32=9
2 2 1
4 6 3
6 9 7
4 3 2 1 2 1
m12 6 7 m 22 6 7 m32 4 3
2 2 1
4 6 3 4 3 2 1 2 1
6 9 7 = 2 6 7 - 6 6 7 + 9 4 3
A = 2 (4) (7) - (6) (3) - 6 (2) (7) - (6) (1) + 9 (2) (3) - (4) (1) =
2 28 - 18 - 6 14 – 6 + 9 6 - 4 =
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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinante
DETERMINATES fila 1
a1 1 c11
a12 c12
a13 c13
2(-1)1+1(15) + 2(-1)1+2(10) + 1(-1)1+3(0)
30 – 20 + 0= 10
determinantes fila 2
a21c21 a22c22 a23c23
4(-1)2+1(5) + 6(-1)2+2(8) + 3(-1)2+3(6)
-20 + 48 – 18= 10
determinantes fila 3
a11c11 a21c21 a31c31
2(-1)1+1(15) + 4(-1)2+1(5) + 6(-1)3+1(0)
30 – 20 + 0= 10
Los cofactores de la columna 2
a12c12 a22c22 a32c32
2(-1)1+2(10) + 6(-1)2+2(8) + 9(-1)3+2(2)
-20 + 48 – 18= 10
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Álgebra linealUnidad 3. DeterminantesActividad 1. Menores y cofactores de un
determinante
Trabajo en equipo:
3. Compartan y analicen con sus compañeros de equipo los procedimientos y resultados que
obtuvieron al trabajar individualmente con el determinante asociado a la matriz del problema:
Sustancias que funcionan como superproteínas.
3. Respondan la siguiente pregunta:
¿Los resultados que obtuvo cada uno fueron iguales o diferentes? Expliquen por qué.
.
Los resultados de las 2 filas y de las 2 columnas todos fueron iguales (10), porque es una
propiedad de los determinantes, al aplicar los menores y cofactores, los resultados del determinante
son los mismos
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