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ALGEBRA DE BOOLE
EDG
CATEM
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INTRODUCCI)N
En *+*, Geor$e Boo#e- propuo un"(err"!ient" !"te!.tic" ##"!"d" ALGEBRABOOLE/
Lue$o en *01+ C#"ude S("nnon propuo 2con et" A#$e3r" e poi3#e !ode#"r #o##"!"do Site!" Di$it"#e/
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LGEBRA DE BOOLE
E# "#$e3r" de Boo#e e un ite!" !"te!.tico 2ue uti#i%" 4"ri"3#eoper"dore #$ico/
L" 4"ri"3#e pueden 4"#er 678 5 6*8
Su oper"cione 3.ic" on OR 9:;- AND 9/; 5 #" ne$"cin o NOT/
Lue$o e de
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CONMUTATIVIDAD
> : ? @ ? : >> / ? @ ? / >
LE?ES DEL ALGEBRA DEBOOLE
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ASOCIATIVIDAD
> : 9? : %; @ 9? : >; : %> / 9? / ; @ 9? / >; /
LE?ES DEL ALGEBRA DEBOOLE
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LE?ES DEL ALGEBRA DEBOOLE
DISTRIBUTIVIDAD
> : 9? / ; @ 9>: ?; / 9> : ;> / 9? : ; @ 9> / ?; : 9> / ;
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ELEMENTOS NEUTROS > : 7 @ >
> / * @ >
IDENTIDADES
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COMLEMENTO > : > @ *
> / > @ 7
IDENTIDADES
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DOMINACION > : * @ *
> / 7 @ 7
DEMOSTRACION> : * @ 9> : *; / * @ 9> : *; / 9> :>;
> : 9*>; @ > : * @ *
IDENTIDADES
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IDEMOTENCIA > : > @ >
> / > @ >
IDENTIDADES
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IDENTIDADES
DOBLE COMLEMENTO > @ >
> / > @ >
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IDENTIDADES
ABSORCION > : 9> / ?; @ >
> / 9> : ? ; @ > DEMOSTRACION
> : 9> / ?; @ 9> / *; : 9> / ?; @ > /9* : >
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TEOREMA DE DMORGAN
9A / B; @ A: B
9A : B;@ A / B
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OTROS TEOREMAS
TEOREMA DE LA SIMLIICACION
A : A/B @ A : B
A / 9A: B; @ A/B
De!otr"cin
A / A @ 7
A / A : B @ B
9A : B; / 9A: B; @ B
A / 9A:B; @ A / B
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ALGUNASDEINICIONES
LITERAL E tod" ocurrenci" de un" 4"ri"3#e- 5" e" co!p#e!en
in co!p#e!ent"r en un" exprein de con!ut"cin
EFe!p#o
A/B : A/C : D : B/* A- B- C- D on V"ri"3#e
A- B - C- A - D ? B on #iter"#e
* e un" cont"nte
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ALGUNASDEINICIONES
E>RESION DUAL
Et" exprein e o3tiene- interc"!3i"ndo #" oper"cAND por OR 5 4ice4er"- e interc"!3i"ndo #" cont"7 por * 5 * por 7 en #" exprein de con!ut"cin
EFe!p#o
9A / B; : 9C / D; : 7
LA E>RESION DUAL ES
9A : B; / 9C : D; / *
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UNCIONES DECONMUTACION
L" &uncione de con!ut"cin e pueden expre"r de FoAlgebraica- !edi"nte un" Tabla de verdad o en u FoCannica
La manera mas didctica de representar una funcde conmutacin es mediante una TABLA DE VERDA
!a "ue en ella se muestran los valores de salida pcada combinacin de valor de entrada#
Las tablas de verdad permiten modelar los sistemcombinacionales#
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TABLAS DE VERDAD
$ % & F'$%&(
7 7 7 7
7 7 * 7
7 * 7 *
7 * * 7
* 7 7 ** 7 * *
* * 7 *
* * * *
9>-?-; @ > : 9?
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ORMASNORMALES
Dada una tabla de verdad tambi)n esposible obtener la forma algebraica
E*isten dos m)todos para identi+car la
forma algebraica, La forma normal dis!untiva
La forma normal con-untiva
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ORMASNORMALES
Forma normal dis!untiva
Es necesario identi+car los ./s "ue resultan detabla de verdad ! formar los t)rminos'con-unciones fundamentales( "ue los represe
0ara formar las con-unciones fundamentales susa la variable complementada si para esacombinacin tiene un cero ose de-a sincomplementar si en la combinacin 1a! un uno
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ORMASNORMALES
Forma normal dis!untiva$ % & F'$%&(
7 7 7 7
7 7 * 7
7 * 7 *
7 * * 7* 7 7 *
* 7 * *
* * 7 *
* * * *
> / ? /
> / ?/
> / ?/
> / ? /
> / ? /
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ORMASNORMALES
Del e-emplo anterior se suman las con-uncionesfundamentales resultando la forma normal dis!u
F'$%&( 2 $/%&/ 3 $%/&/ 3 $%/& 3 $%&/3 $%&
Estos t)rminos formados por todas la variables conectadmediante operadores A4D se denominan mint)rminos
'con-unciones fundamentales( Como la funcin de conmutacin corresponde a un 5R de
todos los mint)rminos se puede e*presar tambi)n de la cannica '5R cannico del A4D(
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ORMASNORMALES
0ara la representacin de la forma cannse utili6an las posiciones de los mint)rmde la tabla de verdad de donde del e-em
anterior tenemos "ue su forma cannicala siguiente,
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ORMASCAN)NICAS
$ % & 784TER7845 ET89
7 7 7 >H?HH
7 7 * >H?H
7 * 7 >H?>H
7 * * >K
* 7 7 >?HH
* 7 * >?H
* * 7 >?H
* * * >?
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ORMASNORMALES
En el caso de la forma normal con-untiva se opemanera contraria a la vista anteriormente
En este caso es necesario identi+car los ;/s "ueresultan de la tabla de verdad ! formar los t)rmifundamentales o 7A$TER7845< "ue los represen
0ara ello se utili6a la variable complementada si esa combinacin tiene un uno o se de-a sincomplementar si en la combinacin 1a! un cero#
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ORMASNORMALES
Forma normal con-untiva$ % & F'$%&(
7 7 7 7
7 7 7 7
7 * * *
7 * 7 7* 7 * *
* 7 * *
* * * *
* * * *
> : ? :
> : ? : H
> : ?H : H
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ORMASNORMALES
Del e-emplo anterior se operan con un Asobre las dis!unciones fundamentalesresultando la forma normal con-untiva
De igual la manera es posible e*presar esta funciconmutacin compuesta por 7A$TER7845
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ORMASCAN)NICAS
0ara la representacin de la formacannica se utili6a las posiciones de lmint)rminos en la tabla de verdad#
0ara el e-emplo anterior resulta,
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ORMASCAN)NICAS
Como pasar de una forma algebraica auna forma cannica de una maneradirecta,
O S
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ORMASCAN)NICAS
=Como convertir de una forma 5Rcannica de A4D a una forma cannic5R>
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UNCIONESEUIVALENTES
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UNCIONESEUIVALENTES
=Cuntas funciones distintas ' no e"uivalente*isten para un n?mero n de variables>
@ @n
Esto se puede demostrar fcilmente
constru!endo tablas de verdad basndose"ue las funciones no e"uivalentes tienentablas de verdad distintas
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ALGUNOSOERADORES
5perador Formas normales
NOT 9>; @ >H
AND 9>-?; @ >?
OR 9>-?; @ >:?
NAND 9>-?; @ 9>?;H @ >H : ?H
NOR 9>-?; @ 9>:?;H @ >H?H>AND 9>NOR; 9>-?; @ >? : >H?H
>OR 9>-?; @ >?H:>H?
TAREA, ANALIAR LAS TABLAS DE VERDAD DE CADA UNO DE ESTOS
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OERADORES UNCIONALMENTECOMLETOS
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E*isten dispositivos electrnicos "ue son capaces de represfunciones de conmutacin# Estos dispositivos se denominanC570:ERTA< L58CA< ! estn construidas a base de
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COMUERTAS L)GICAS
COMUERTAS
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COMUERTASL)GICAS
#" co!puert" pueden tener !" de un" o doentr"d"
EFe!p#o
ue e puede repreent"r por
O 3ien por
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EFe!p#o de co!puert" Repreent"r #" i$uiente ecu"cin !edi"nt
co!puert" #$ic"
COMUERTAS L)GICAS
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L" co!puert" #$ic" e pueden encontr"r en dipoiti4o
pe2uePo de uo $ener"#- ##"!"do p"ti##" #$ic" TTL/ Sunu!er"cin correponde " LS>>>
T"!3i=n exiten dipoiti4o con "#t" denid"d de inte$r"cinco!o LA- CLD- GA
COMUERTAS L)GICAS
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L" p"ti##" #$ic" intern"!ente et.ndieP"d" con 4"ri" co!puert"-dependiendo de #" p"ti##"/ or eFe!p#o unSL1 intern"!ente e de #" i$uiente &o
COMUERTAS L)GICAS