![Page 1: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/1.jpg)
AGUJEROS NEGROS ¿Cuál es el origen de su Temperatura?
![Page 2: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/2.jpg)
Hoy rendiremos homenaje a STEPHEN HAWKING
![Page 3: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/3.jpg)
OXFORD 8 de enero 1942 CAMBRIDGE 14 de marzo 2018
76 años
Campos de investigación RELATIVIDAD GENERAL GRAVEDAD CUÁNTICA Radiación de Hawking
Entropía de un AGUJERO NEGRO
Radiación de Hawking
Hoy rendiremos homenaje a STEPHEN HAWKING
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Objetivo
A partir del tiempo imaginario y del Principio de Equivalencia de Einstein obtener la TEMPERATURA DE UN AGUJERO NEGRO
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![Page 6: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/6.jpg)
El plan
Movimiento Circular Uniforme (Newton) Números complejos Repaso Relatividad Especial Principio de Equivalencia Relatividad General Mov. Circular en Tiempo Imaginario = aceleración Agujeros Negros Radio de Schwarzschild Deducción de la Temperatura de Hawking
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Movimiento Circular Uniforme (Newton)
![Page 8: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/8.jpg)
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
![Page 9: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/9.jpg)
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
![Page 10: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/10.jpg)
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
Aceleración
ax R2 cost
ay R2 sint
![Page 11: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/11.jpg)
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
Aceleración
ax R2 cost
ay R2 sint
Rapidez (módulo)
v vx2 vy
2 R
![Page 12: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/12.jpg)
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
Aceleración
ax R2 cost
ay R2 sint
Rapidez (módulo)
v vx2 vy
2 R
Aceleración (módulo)
a ax2 ay
2 R2
![Page 13: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/13.jpg)
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
EXPERIMENTO MENTAL
![Page 14: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/14.jpg)
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
v R c
EXPERIMENTO MENTAL
![Page 15: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/15.jpg)
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
v R c
Su aceleración sería:
a ax2 ay
2 R2 c 2 c
EXPERIMENTO MENTAL
![Page 16: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/16.jpg)
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
v R c
Su aceleración sería:
a ax2 ay
2 R2 c 2 c
Su ecuación del movimiento:
x c2
a cos atc y c2
a sin atc
EXPERIMENTO MENTAL
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Números Complejos
i2 1
ei cos i sin
- Identidad de Euler -
= número real
![Page 18: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/18.jpg)
Números Complejos
- Número imaginario -
ai
a = número real
Ejemplos:
3i 7i i
![Page 19: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/19.jpg)
Números Complejos
¿Qué se obtiene si sustituimos por un número imaginario?
ei cos isin ?
![Page 20: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/20.jpg)
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai isinai
![Page 21: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/21.jpg)
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai isinai ea cosai i sinai
![Page 22: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/22.jpg)
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai ea cosai i sinai
![Page 23: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/23.jpg)
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai
ea cosai i sinai
ea cosai i sinai
![Page 24: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/24.jpg)
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai
ea cosai i sinai
ea cosai i sinai
sumamos eaea
2 cosai
![Page 25: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/25.jpg)
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai
ea cosai i sinai
ea cosai i sinai
sumamos eaea
2 cosai
restamos eaea
2 i sinai
![Page 26: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/26.jpg)
Números Complejos
DEFINICIÓN
Coseno Hiperbólico
cosha eaea
2
Seno Hiperbólico
sinha eaea
2
![Page 27: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/27.jpg)
Números Complejos
DEFINICIÓN
Coseno Hiperbólico
cosha eaea
2
Seno Hiperbólico
sinha eaea
2
![Page 28: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/28.jpg)
Repaso Relatividad Especial
Elemento de línea Invariante
ds2 c2dt2 dx2
![Page 29: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/29.jpg)
Repaso Relatividad Especial
ds2 c2dt2 dx2
Elemento de línea Invariante
c2d2
![Page 30: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/30.jpg)
Repaso Relatividad Especial
ds2 c2dt2 dx2
Elemento de línea Invariante
c2d2
d
Intervalo de TIEMPO PROPIO
![Page 31: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/31.jpg)
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
![Page 32: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/32.jpg)
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
![Page 33: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/33.jpg)
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
![Page 34: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/34.jpg)
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
dctd
2 dx
d
2 c2
![Page 35: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/35.jpg)
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
dctd
2 dx
d
2 c2
u dctd
, dx
d
![Page 36: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/36.jpg)
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
dctd
2 dx
d
2 c2
u dctd
, dx
d!!
![Page 37: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/37.jpg)
Principio de Equivalencia
Nos servirá para colocarnos al lado de un Agujero Negro
![Page 38: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/38.jpg)
Principio de Equivalencia
![Page 39: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/39.jpg)
Principio de Equivalencia
Aceleración constante en RE
Campo gravitatorio uniforme
![Page 40: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/40.jpg)
Principio de Equivalencia
¿Cómo se mueve una partícula con aceleración constante en Relatividad Especial?
Aceleración constante en RE
Campo gravitatorio uniforme
![Page 41: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/41.jpg)
Principio de Equivalencia
Objetivo: encontrar en Relatividad Especial
una aceleración constante pero con el módulo de la
velocidad espaciotemporal constante
![Page 42: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/42.jpg)
Principio de Equivalencia
Con Newton:
Movimiento Circular uniforme
Con Einstein:
??
![Page 43: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/43.jpg)
Principio de Equivalencia
TRUCO
TIEMPO IMAGINARIO
![Page 44: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/44.jpg)
Principio de Equivalencia
TRUCO
TIEMPO IMAGINARIO
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
Tiempo imaginario periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
DUALIDAD
![Page 45: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/45.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
![Page 46: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/46.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
x c2
a cos ac
ct c2
a sin ac
![Page 47: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/47.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
x c2
a cos ac
ct c2
a sin ac
it it
TIEMPO IMAGINARIO
![Page 48: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/48.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
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a cos ac
ct c2
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x c2
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TIEMPO IMAGINARIO
![Page 49: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/49.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
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a sin ac
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x c2
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TIEMPO IMAGINARIO
![Page 50: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/50.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
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a sin ac
x c2
a cos ac
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x c2
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TIEMPO IMAGINARIO
![Page 51: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/51.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
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c
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Lo cumple!
![Page 52: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/52.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
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a cosh ac
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ccosh ac
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![Page 53: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/53.jpg)
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
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ccosh ac
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d2ct
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c
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Lo cumple!
![Page 54: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/54.jpg)
Movimiento acelerado en RE
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a cosh ac
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a sinh ac
x c2
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x c2
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v at
1 atc 2
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![Page 55: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/55.jpg)
Movimiento acelerado en RE
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
x c2
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x c2
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![Page 56: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/56.jpg)
Movimiento acelerado en RE
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![Page 57: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/57.jpg)
Movimiento acelerado en RE
x c2
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![Page 58: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/58.jpg)
Movimiento acelerado en RE
![Page 59: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/59.jpg)
Movimiento acelerado en RE
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
![Page 60: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/60.jpg)
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
![Page 61: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/61.jpg)
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
![Page 62: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/62.jpg)
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
![Page 63: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/63.jpg)
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
También ocurre en un AGUJERO NEGRO!
![Page 64: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/64.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
Tiempo euclideo (imaginario) periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
|
![Page 65: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/65.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
Tiempo euclideo (imaginario) periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
Si la teoría euclidea es periódica, implica que la versión cuántica de la teoría debe estar a una cierta temperatura
IDEA CLAVE
![Page 66: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/66.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
Tiempo euclideo (imaginario) periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
Si la teoría euclidea es periódica, implica que la versión cuántica de la teoría debe estar a una cierta temperatura
IDEA CLAVE
periodo kBT
![Page 67: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/67.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
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2ca (periodo)
2ca
kBT
T a2ckB
a GM
r2
![Page 68: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/68.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
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2ca (periodo)
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![Page 69: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/69.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
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Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
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Cálculo de la Temperatura de Hawking
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Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
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2ca (periodo)
2ca
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![Page 73: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/73.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
T a2ckB
![Page 74: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/74.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
T a2ckB
![Page 75: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/75.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
R 2GM
c2
T a2ckB
![Page 76: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/76.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
R 2GM
c2
a c4
4GM
T a2ckB
![Page 77: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/77.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
T c3
8kBGM
Temperatura de un Agujero Negro
![Page 78: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/78.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
T c3
8kBGM
Temperatura de un Agujero Negro
Primer resultado de la historia en GRAVEDAD CUÁNTICA (Hawking 1976)
![Page 79: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/79.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
![Page 80: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/80.jpg)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
• Hawking la calculó usando Teoría Cuántica de Campos
• Unruh (1976) demostró que el vacío cuántico depende de la aceleración del observador
![Page 81: AGUJEROS NEGROS - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2018/12/Charla-Agujeros-Negros.pdf · Movimiento Circular Uniforme (Newton) x R cosF t y R sinF t Ecuaciones del movimiento](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022041008/5eaf1566b1ba91483b3e4b61/html5/thumbnails/81.jpg)
¡Gracias por aguantar hasta aquí!