Todo Matemáticas
Volumen 2
Todo Álgebra Básica
A l e j o G o n z á l e z C r i a d o Profesor Numerario de Matemáticas
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
2
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
3
Destinado a
El Fígaro autodidacta:
Todo aquel que albergue algún
interés por las Matemáticas y disfrute con su
estudio.
Obra completa:
Formación básica,
Formación nivel medio
Formación nivel alto
© 𝐸𝑙 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑟: 𝐴𝑙𝑒𝑗𝑜 𝐺𝑜𝑛𝑧á𝑙𝑒𝑧 𝐶𝑟𝑖𝑎𝑑𝑜
Figuras y gráficos del autor
Edita: El Autor
Primera edición Mayo 2017
Editado en España
ISBN:
Depósito Legal:
Derechos reservados:
Prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin
autorización del autor.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
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VOLUMEN 2
ÁLGEBRA BÁSICA
ECUACIONES Y Sistemas
Descomposición en fracciones simples
Sumas simples y su relación con los
coeficientes
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
5
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
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ÍNDICE
pág.
Tema 1 Polinomios en x
21 1.1.- Polinomios en x con coeficientes
racionales. Polinomios semejantes entre sí.
23 1.2.- Operaciones básicas con polinomios
23 1.2.1.- Suma y Resta de polinomios
26 1.2.2.- Producto de polinomios
27 1.2.3.- División de polinomios
32 1.3.- Valor numérico de un polinomio
32 1.4.- Teorema del Resto
33 1.5.- División p(x):(x-a) según Regla de Ruffini
34 1.6.- Descomposición factorial de un polinomio
36 1.7.- Máximo Común Divisor de dos polinomios
37 1.8.- Mínimo común múltiplo de dos polinomios.
Relación entre el MCD y el mcm
39 1.9.- Potencias (a+b)m de un Binomio
41 1.10.- Potencias (a+b+c)m de un Trinomio
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
7
41 ACTIVIDADES
Tema 2 Fracciones en x
Expresiones Radicales en x
55 2.1.- Fracciones en x
55 2.2.- Operaciones básicas con fracciones
55 2.2.1.- Suma y Resta de fracciones
57 2.2.2.- Producto de fracciones
59 2.2.3.- División de fracciones
60 2.3.- Simplificación de fracciones
60 2.4.- Valor numérico de una fracción
61 2.5.- Común denominador de dos fracciones.
Mínimo común denominador
Ejemplos
62 2.6.- Descomposición de una fracción en
suma de fracciones simples
67 2.7.- Expresiones con Radicales en x
69 ACTIVIDADES
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
8
Tema 3 Ecuaciones algebraicas en x
75 3.1.- Ecuaciones algebraicas en x.
Solución de una ecuación
76 3.2.- Ecuaciones Equivalentes
Transformación de una ecuación ...
78 3.3.- Clasificación el número de soluciones
78 3.4.- Generación de Ecuaciones con solución
predeterminada
79 3.4.1.- Naturaleza de sus soluciones. Número de
soluciones. Resolución
80 3.4.2.- Soluciones racionales (Enteras o frac)
82 3.5.- Soluciones No racionales.
Soluciones de q(x) = 0
86 Ecuaciones Diofánticas (Lema de Bezout)
83 3.5.1.- Ecuación de segundo grado
85 3.5.2.- Ecuación de tercer grado
92 3.5.3.- Ecuación de cuarto grado
91 3.6.- Ecuaciones de grado > 4. Acotación y
aproximación de las soluciones reales.
92 3.6.1.- Acotación
96 3.6.2.- Separación y Aproximación
98 ACTIVIDADES
105 Problemas
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
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Tema 4 Ecuaciones No algebraicas.
Inecuaciones
109 4.1.- Ecuaciones con Radicales. Resolución
Ejemplos/Problemas
111 4.2.- Inecuaciones (o desigualdades) en x.
Resolución
112 4.3.- Inecuaciones en x, y
Ejemplos
Tema 5 Sistemas de Ecuaciones lineales
119 5.1.- Conceptos básicos
121 5.2.- Sistemas de ecuaciones lineales
124 5.3.- Sistemas lineales con dos incógnitas
Métodos de Resolución
127 5.4.- Sistemas lineales de tres ecuaciones con
tres incógnitas: x, y, z. Métodos de Resolución.
Sistemas con cuatro incógnitas.
132 Ejemplos/Problemas
135 5.5.- Sistemas de 4 ecuaciones con 4 incógnitas
138 Problemas
141 Más Problemas resueltos ó seri-resueltos
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Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
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Tema 6 Sistemas No lineales, Sistema de
Inecuaciones
151 6.1.- Sistemas No lineales
153 6.2.- Sistemas de Inecuaciones
157 PROBLEMAS resueltos y semi-resueltos
Tema 7 Descomposición de una fracción
q(x)/p(x) en suma de fracciones simples
167 7.0.- Introducción
168 7.1.- Descomposición por el Método débil.
168 7.1.1.- Soluciones reales simples
170 7.1.2.- Soluciones reales múltiples
171 7.1.3.- Soluciones complejas simples
174 7.1.4.- Soluciones complejas simples y múltiples
179 7.1.5.- Caso de No descomposición total en Q
180 7.1.6.- Casos resueltos de los tipos estudiados
184 7.2.- Descomposición por el Método fuerte.
184 7.2.1.- Soluciones reales simples
190 7.2.2.- Soluciones reales simples y múltiples
198 7.2.3.- Soluciones complejas simples
204 7.2.4.- Soluciones complejas múltiples
210 7.2.5.- Actividades semi-resueltas, con el resultado
227 7.3.- Método: Aplicando la derivación, con
ejemplos resueltos.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
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233 Apéndice 1:
Sobre cambio de variable y ‘Paso a la Ecuación reducida’
de la Ecuación de tercer y cuarto grados.
NOTAS: Sobre la Ecuación de grado > 4
239 Apéndice 2:
Sobre las ‘Sumas simples’ de las raíces de P(x), y su
relación con los coeficientes de P(x).
247 ANEXO: Ecuaciones Diofánticas. Lema de Bezout
253 BIBLIOGRAFÍA
257 NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
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Tema 1
Polinomios en x
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Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
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1.1.- Polinomios en x con coeficientes racionales
Monomios
Definición:
Es toda expresión de la forma a.xn, donde a es un valor racional, n
es entero.
Habitualmente el valor ‘a’ es entero, y el exponente n entero
positivo.
Habitualmente escribiremos axn en lugar de a.x
n.
En un monomio axn:
‘a’ es el coeficiente, n es el exponente, x representa un valor
cualquiera que llamamos indeterminada, y diremos que el
monomio es de grado n.
Monomios Semejantes
Diremos que dos monomios son semejantes si tienen el mismo
grado.
Monomio Opuesto
El opuesto de axn es (-a)x
n
Polinomios
Definición:
Llamamos polinomio a toda expresión de la forma
an.xn + ... + a2.x
2 + a1.x + a0
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
15
donde el signo + representa + ó -, es decir, SUMAS ó RESTAS
de monomios.
Grado del polinomio:
El valor n es el ‘grado del polinomio’. Es el grado de monomio de
mayor grado.
Ejemplo: p(x) = 5x3 -4x
2 +2x +3
A cada monomio lo llamamos ‘término’ del polinomio: Términos
en x los que llevan x, término ‘independiente’ el que no lleva x
(de grado cero).
Grado del polinomio es el grado del monomio de mayor grado.
La expresión (1) es un polinomio de grado n, ordenado
‘decreciente’. También podemos expresarlo ordenado ‘creciente’:
a0 + a1.x + a2.x2 + ... + an.x
n
Ejemplo:
5x4 – 3x
2 + 2x + 8, está ordenado (decreciente) y es de grado 4.
5x4 es término de grado 4, 2x lo es de grado 1, 8 es término de
grado cero (término independiente).
8 + 2x – 3x2 + 5x
4, está ordenado ‘creciente’.
Representaremos con frecuencia por P(x), Q(x), o simplemente
p(x), q(x) (u otras letras) la expresión de un polinomios.
Polinomios semejantes entre sí: Decimos que dos polinomios P(x), Q(x) son ‘Semejantes’ si
existe un valor k tal que Q(x) = k.P(x).
También podemos decir que son proporcionales entre sí.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
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La primer condición: es que han de tener el mismo grado.
Sean p(x) = an.xn + ... + a2.x
2 + a1.x + a0,
q(x) = bn.xn + ... + b2.x
2 + b1.x + b0,
Observa que tanto an com bn serán no nulos, mientras algunos de
los restantes términos sí pueden serlo.
Supongamos que q(x) = k.p(x), y por tanto bh = k.ah para todo
h. Se deduce que k es divisor común de los coeficiente bh. Por
tanto
Segunda condición: Los coeficientes bh han de admitir divisor
común kb. Si kb = 1 significa que q(x) es idéntico a p(x).
Hasta aquí tenemos dos condiciones necesarias para que p(x) y
q(x) sean proporcionales.
Tercer condición: Después de obtener el divisor kb, además
debe cumplirse bh = kb.ah, para todo los coeficientes.
Cumplido lo anterior, supongamos que los coeficientes ah también
admiten divisor común ka. Entonces kb.bh’ = ka.ah’ , con lo cual
bh’ = 𝑘𝑎
𝑘𝑏 .ah’ , de modo que
q’(x) = 𝑘𝑎
𝑘𝑏 .p’(x) , donde p’(x), q’(x) son
los resultados de dividir por su común divisor.
NOTA: Si para el cálculo del máximo común divisor k
utilizamos un algoritmo podemos proceder como sigue.
De la lista bn , bn-1 , ..., b2 , b1 , b0, tomo el menor de los valores,
sea m ese valor. El posible divisor común (propio) ha de ser uno
de los valores: 2, 3, 4, …, m-1, m.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
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Probando encontraremos aquel que lo cumpla, en otro caso será
kb = 1.
1.2.- Operaciones básicas con polinomios
1.2.1.- Suma y Resta
Suma y Resta de monomios
Sólo puedo sumar, o restar, dos monomios semejantes, es decir,
con el mismo grado:
ak.xk + bk.x
k = (ak + bk).x
k
ak.xk - bk.x
k = (ak - bk).x
k
Ejemplo: 5x3 + 3x
3 = 8x
3
5x2 -2x
2 = 3x
2
Observa que restar un monomio equivale a sumar el opuesto: 5x2
– 2x2 = 5x
2 + (-2x
2) = ...
SUMA de polinomios:
Sumamos sus términos semejantes, como sigue
Ejemplo:
(5x^4 + 3x^2 – 6x -2) + (2x^2 + 4x -7) = (5x^4) +(3x^2 + 2x^2)
+ (-6x + 4x) + (-2 + -7) = 5x4 +5x
2 -2x -9
Podemos ordenar los cálculos del siguiente modo:
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
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5x^4 + 3x^2 – 6x -2
+ 2x^2 + 4x -7
--------------------
5x^4 +5x^2 -2x -9
Un polinomio puede tener coeficientes cero:
5x3 + 0x
2 – 4x + 2.
En estos casos, los términos con coeficientes 0 no se escriben (no
es necesario), así:
5x3 – 4x + 2.
Un término con coeficiente 0 decimos que es cero.
Polinomio cero es aquel cuyos coeficientes son todos cero. Lo
representamos por 0.
Opuesto de p(x):
Es el polinomio que resulta al cambiar el signo de cada uno de sus
términos:
p(x)= 5x3 -3x
2 +4x -8, su opesto es
-5x3 +3x
2 -4x +8
y lo representamos por –p(x)
RESTA de polinomios:
Ejemplo: (5x4 + 3x
2 – 6x -2) - (2x
2 + 4x -7) =
restando términos semejantes
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
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= 5x4 + x
2 -10x +5x
Podemos ordenar los cálculos del siguiente modo:
5x^4 + 3x^2 – 6x -2
- 2x^2 + 4x -7
--------------------
5x4 + x
2 -10x +5
Aclaración: En la resta p(x) – q(x), p(x) es el minuendo, q(x) es el
sustraendo.
Observa que la resta equivale a sumar al minuendo el opuesto del
polinomio sustraendo. Tendríamos
5x^4 + 3x^2 – 6x -2
+ -2x^2 - 4x +7
--------------------
5x4 + x
2 -10x +5
Elemento Neutro
El elemento neutro para la suma es el polinomio cero (Todos sus
coeficientes son 0, esto es: p(x) = 0, idénticamente)
Elemento Simétrico (OPUESTO):
Dado p(x) existe q(x) tal que p(x) + q(x) = 0
Decimos que q(x) es el opuesto de p(x), y lo indicamos mediante
q(x)= -p(x).
Ejemplo:
Si p(x) = 5x2-3x+6, su opuesto es:
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
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-p(x) = -5x2+3x-6, es decir, cambiamos el signo a todos sus
términos.
1.2.2.- Producto de polinomios
Producto de monomios
axk * bx
h = (a*b)x
k+h
Multiplico sus coeficientes y sumo los exponentes: (Aplico
conmutativa y asociatia de Q)
axk.bx
h = (a.b).x
k.x
h = (a.b)x
k+h
Ejemplo: 3x5 *(-5x
2)= -15x
7
Propiedad distributiva del producto de monomios respecto de la
suma de monomios:
axk * (bx
n + cx
m)=ax
k * bx
n + ax
k * cx
m
Ejemplo:
3x2 *(-4x
3 + 5x) = -12x
5 +15x
3
Monomio por polinomio:
Aplicamos la propiedad distributiva, de modo que el monomio
multiplica a cada término del polinomio.
Ejemplo:
3x2 * (-5x
3 + 2x
2 -4x + 2)= -15x
5 + 6x
4 -12x
3 +6x
2
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
21
Polinomio por polinomio:
Aplicamos dos veces la propiedad distributiva, de modo que cada
término de p(x) multiplica a todos los términos de q(x).
Ejemplo:
(3x^2 +4x -2)*(-2x^3 +5x -6) =
3x^2*(-2x^3+5x-6)+ 4x*(-2x^3+5x-6)-2*(-2x^3 +5x-6) =
=(-6x^5 +15x^3 -18x^2) + (-8x^4 +20x^2 -24x) –(-4x^3 +10x -
12) =
agrupamos términos semejantes, teniendo en cuenta que al
suprimir el paréntesis precedido de – cambia el signo de sus
términos
= -6x5 -18x
4 +19x
3 +2x
2 -34x +12
En la práctica podemos ordenar los cálculos del siguiente modo:
-2x^3 +5x -6
* 3x^2 +4x -2
---------------------
4x^3 -10x +12
-8x^4 +20x^2 -24x
-6x^5 +15x^3 -18x^2
-------------------------------
-6x5 -8x
4 +19x
3 +2x
2 -34x +12
Elemento Neutro para el producto:
La UNIDAD o elemento neutro para el producto es el polinomio
1, que es aquel que tiene todos los coeficientes cero salvo el
término independiente que es el 1 (p(x) = 1, idénticamente).
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
22
Así: 1 * p(x)= p(x)
Propiedades de la Suma y del Producto. Estructura de Anillo
Asociativa: (para la suma y el producto)
(p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x))
(p(x).q(x)).r(x) = p(x).(q(x).r(x))
Conmutativa: (para la suma y el producto)
p(x) + q(x) = q(x) + p(x)
p(x).q(x) = q(x).p(x)
Elemento neutro: (para la suma y el producto)
Para la suma: Polinomio cero.
Para el producto: Polinomio 1
Propiedad del simétrico:
Para la suma: Polinomio opuesto.
Para el producto: No lo cumple
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: Sí
la cumple
p(x).(q(x) + r(x)) = p(x).q(x) + p(x).r(x)
NOTA:
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
23
Que Q(p(x),+) sea ‘Estructura cerrada’ significa que el resultado
de cualquier operación p(x)+q(x) queda dentro de Q(p(x)). Lo
mismo para el producto, de forma que Q(p(x),+,.) es ‘Estructura
cerrada’.
Siendo estructuras cerradas, y cumpliendo las propiedades
anteriores, en Matemáticas decimos que Q(p(x),+) tiene
‘Estructura de Grupo’, y que Q(p(x),+,.) tiene ‘Estructura de
Anillo’.
1.2.3.- División de polinomios
División entre monomios: axk : bx
h
axk : bx
h sólo es posible si k >= h, es decir, si grado del dividendo
es mayor o igual que grado del divisor. El resultado ha de tener
exponente entero positivo.
En ese caso: axk : bx
h =
𝑎
𝑏. xk-h
, donde k-h >= 0
Ejemplo: 5x
4 : 3x
2 = (5/3).x
2 (coeficiente fraccionario)
División de polinomio entre un monomio: p(x):axk
Dividimos cada término del polinomio por el monomio divisor.
Ejemplo:
(5x^4 – 3x^3 +2x +6): 2x^2 =
= 5
2 x2
– 3
2 x +
2
2 x
-1 +
6
2 x
-2
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
24
Observa los exponentes negativos. No es habitual realizarla de
este modo, sino hacer la llamada división con resto, que veremos
más adelante.
División con resto p(x):axk:
En el ejemplo anterior sería:
Cociente= (5/2)x2 –(3/2)x,
Resto : 2x +6
Sólo puedo hacer axk : bx
h mientras k >= h
Habitualmente hacemos la que llamamos ‘División con resto’,
que significa hacer la división entre monomios mientras el
exponente en el cociente sea mayor o igual que cero, y dejar
como ‘resto’ la parte del dividendo con la cual no es posible
continuar.
Es habitual ordenar las operaciones como sigue:
5x^4 -3x^3 +2x +6 ¡ 2x^2
----------
5/2.x2 -3/2.x Cociente
-5x^4
----------
0 -3x^3
+3x^3
------------
0 +2x
Hago 5x2 : 2x
2, da 5/2.x
2; multiplico 5/2.x
2 * 2x
2 y da 5x
4; resto
este resultado a 5x4 del dividendo, queda 0; bajo el término -3x
3 y
repito el proceso; cuando llego a bajar el témino 2x observo que
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
25
no puedo hacer 2x:2x2, por lo que doy por terminada la división.
El resto es 2x+6
División con resto entre dos polinomios: p(x):q(x)
Ejemplo:
División entre dos polinomios. El dividendo ha de ser de grado
mayor o igual que el del divisor:
5x5 -4x
4 +3x
2 +4x -8 | x
2 + 2x -3
|--------------------
5x^3 -14x^2 +43x -125
-5x^5 -10x^4 +15x^3
-------------------------
0 -14x4 +15x
3 +3x
2 bajamos 3x
2
+4x^4 +28x^3 -42x^2
--------------------------
0 +43x^3 -39x^2 +4x bajamos 4x
-43x^3 -86x^2 +129x
-----------------------
0 -125x^2 +133x -8 bajamos -8
+125x^2 +250x -375
--------------------
0 +383x -383 Resto
Observa que cada término que introducimos en el cociente
multiplica a todo el divisor y el resultado se lo restamos al
dividendo actual. El dividendo se va modificando en cada paso.
El cociente agrega un nuevo término en cada paso.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
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1.3.- Valor numérico de un polinomio
Sean un polinomio p(x) y un valor racional a.
Valor numérico de p(x) cuando x=a, es el valor que resulta de
sustituir x por a en la expresión p(x) y realizar las operaciones
indicadas en p(x).
Ejemplo:
Sea p(x) = 3x2-5x+6, y hago x=2. Sustituyo x por 2 y obtengo:
p(2) = 3*22-5*2+6 = 12-10+6 = 8. p(2)=8
CEROS de un polinomio (Soluciones de la igualdad p(x)=0):
Diremos que el valor racional a, es un cero del polinomio p(x)
si p(a)=0.
Es equivalente a que x=a es una solución de la igualdad p(x)=0.
1.4.- Teorema del Resto
En la división p(x):q(x), supongamos que q(x) = (x-a). Entonces
p(x)=(x-a)*C(x) + R (constante). El valor p(a) es entonces: p(a) =
(a-a)*C(a) + R = R.
Consecuencias:
Teorema del resto:
a) La división p(x):(x-a) es exacta precisamente si R = 0.
Equivale a que p(a)=0.
b) p(a) = 0 precisamente si R = 0.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
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1.5.- División p(x):(x-a) según la Regla de Ruffini
La mostramos mediante un ejemplo:
(5x4 +4x
3 -2x +3):(x-3)
Ordenamos los datos y operamos así:
| 5 4 0 -2 3
3| 15 57 171 507
---------------------
5 19 57 169 510
El polinomio cociente es C(x)=5x3 +19x
2 +57x +169. Resto= 510
¿Qué hemos hecho? : Anotamos los coeficientes de p(x) en orden
decreciente. Coloco el valor 3 vemos.
Observación importante: Si el divisor fuese (x+3) sería como
(x-(-3)), y allí colocaría el valor -3. Debemos tener el divisor
siempre de la forma x – a, y allí colocamos el valor a, sea positivo
o sea negativo.
Bajo el primer coeficiente, aquí el 5. Multiplico este por 3 (el
valor fijo colocado allí). Coloco el resultado debajo del siguiente
coeficiente y hago la suma. Multiplico el resultado por 3 y coloco
el resultado bajo el siguiente coeficiente y hago la suma. Repito
este proceso hasta que no queden más coeficientes.
Observa: Si algún coeficiente es cero debemos anotar ese valor
0.
La división por el método habitual sería:
5x4 +4x
3 -2x +3 | x -3
|------------------
5x3+19x
2 +57x +169
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
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-5x^4 +15x^3
-----------
0 +19x^3
-19x^3 +57x^2
---------------
0 57x^2 -2x
-57x^2 +171x
-----------------
0 +169x +3
-169x +507
-----------
0 +510 Resto
1.6.- Descomposición factorial de un polinomio
En lo que sigue suponemos que p(x) tiene primer coeficiente 1
(an = 1).
Sea p(x) un polinomio del cual hemos podido saber que los
valores racionales a1, a2, a3 son algunos de sus ceros. Entonces,
haciendo divisiones por (x-a1), (x-a2), (x-a3), tengo:
p(x)=(x-a1).C1(x) , y a2, a3 son ceros de C1(x)
C1(x)=(x-a2).C2(x) , y a3 es cero de C2(x)
C2(x)=(x-a3).C3(x) , y por tanto:
p(x)=(x-a1).(x-a2).(x-a3).C3(x)
(1)
Decimos que (1) es una descomposición factorial de p(x).
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
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Si a1, a2, a3, ..., ak son todos sus ceros racionales (soluciones de
p(x)=0 en Q, enteros ó fracciones), entonces (1) es su
descomposición factorial sobre Q:
p(x)=(x-a1).(x-a2)...(x-ak).C(x)
(2)
Donde C(x) = 0 no admite soluciones racionales.
Puede aparecer algún factor repetido, y en ese caso, si (x-ai) se
repite h veces escribimos:
p(x)=(x-a1)...(x-ai)h...(x-ak).C(x)
(3)
NOTA: El factor C(x) corresponde a las posibles soluciones no racionales
de p(x)=0 (Soluciones reales y/o complejas).
En el caso de que todas la soluciones sean racionales será
C(x)=m, factor constante, y entonces
p(x) = m.(x-a1)...(x-ai)h...(x-ak)
(3)’
La descomposición (3) ó (3)’ es única
En general la expresión (3) sería así
p(x)= an.(x-a1)...(x-ai)h...(x-ak).C(x)
(4)
donde an es el primer coeficiente de p(x).
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
30
1.7.- Máximo Común Divisor de dos polinomios
Como en el caso de los números, ‘Máximo común divisor’ es el
divisor común de mayor grado.
REGLA práctica para obtener el MCD:
Sean dos polinomios y sus descomposiciones factoriales (sobre
Q):
p(x)=(x-a1)...(x-ai)ui...(x-ak).C(x)
q(x)=(x-b1)...(x-bj)vj...(x-bh).D(x)
(4)
Suponemos que los factores C(x) y D(x) no admiten factor del
tipo (x-a), y diremos que son irreducibles sobre Q (en el sentido
de ‘indescomponible’ sobre Q).
Si los factores (x-ai), (x-bj) coinciden, entonces éste es un divisor
común de p(x) y q(x). Además, si ui, vj son sus multiplicidades, y
ui<vj, entonces el divisor común (x-ai) lo es con multiplicidad ui
(el menor de los exponentes): (x – ai)ui es divisor común
Conclusión:
He obtenido un factor común de la forma (x-ci)hi, que lo es
también de su MCD.
Si repetimos lo anterior con cada factor del tipo (x-a) que sea
común, y hk es el menor de sus exponentes, concluimos que el
polinomio obtenido de la forma:
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
31
(x-c1)h1
...(x-cs)hi...(x-cr)
hr
(5)
es un divisor común de p(x) y q(x), y por tanto forma parte, como
factor, del MCD de estos polinomios.
El MCD, operando solamente dentro de Q(x;+,.), es
MCD = (x-c1)h1
...(x-cs)hi...(x-cr)
hr
Los polinomios C(x) y D(x), aún siendo irreducibles sobre Q,
pueden tener algún factor común r(x), y por tanto este r(x)
también forma parte del MCD, en otro caso, tomaremos el
polinomio 1 como divisor común.
De modo que, operando en R(x;+,.) ó C(x;+,.) sería
MCD = (x-c1)h1
...(x-cs)hi...(x-cr)
hr * r(x)
(6)
1.8.- Mínimo Común Múltiplo de dos polinomios.
Relación entre MCD y mcm
Sean de nuevo los polinomios y sus descomposiciones factoriales
dadas en (4):
p(x)=(x-a1)...(x-ai)ui...(x-ak).C(x)
q(x)=(x-b1)...(x-bj)vj...(x-bh).D(x)
Si m(x) es un múltiplo común de p(x) y q(x), evidentemente m(x)
ha de admitir todos los factores (x-ai) de p(x), con su
multiplicidad, incluido el factor C(x), y por la misma razón ha de
admitir los de q(x). Por tanto, un múltiplo común lo obtenemos
tomando
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
32
m(x) = (todos los de p(x))*(todos los de q(x)).
Deseamos obtener el de menor grado.
Si (x-ai) y (x-bj) son factores de la anterior expresión de m(x),
con bj = ai, y por tanto coincidentes, y sus multiplicidades son ui,
vj, supongamos ui < vj, podemos simplificar el polinomio m(x),
dividiéndolo por (x-ai)ui; entonces el factor (x-ai) lo es con
ultiplicidad vj, y m(x) sigue siendo múltiplo común.
Si hacemos la simplificación anterior con cada factor (x-ai) que
figure en p(x) y en q(x), llegamos a un m(x) cuyo factor (x-ai)
tiene exponente igual al mayor de los que se presentan en sus
descomposiciones factoriales.
Obtenemos así el menor m(x) que es múltiplo común de p(x) y
q(x). Además ha de contener los factores residuales C(x) y D(x).
REGLA práctica para obtener el mcm:
Dadas las descomposiciones factoriales
p(x)=(x-a1)...(x-ai)ui...(x-ak).C(x)
q(x)=(x-b1)...(x-bj)vj...(x-bl).D(x)
(7)
donde C(x) y D(x) son irreducibles, su mcm es el polinomio
mcm(x) obtenido como sigue:
Tomo todos los factores (x-ai) de p(x) y (x-bj) de q(x) con su
exponente, pero si estos factores coinciden tomo sólo uno, sea (x-
ci)hi, donde hi es el mayor de sus exponentes. Tomo además los
factores C(x) y D(x):
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
33
mcm = (x-c1)h1
...(x-cs)hi...(x-cr)
hr*C(x)*D(x)
(8)
Si fuese posible detectar factores comunes de C(x) y D(x)
actuaríamos de forma análoga.
Relación entre el MCD(p,q) y el mcm(p,q):
Del mismo modo que en los números enteros, se puede demostrar
que:
mcm(p,q) = 𝑝(𝑥)∗𝑄(𝑥)
𝑀𝐶𝐷(𝑝,𝑞) (9)
1.9.- Potencia de un Binomio
En lo que sigue a, b representan polinomios
a) (a+b)2 = a
2 + b
2 +2.ab.
En efecto, aplicando la distributiva al producto (a+b).(a+b) la
obtenemos.
Del mismo modo podemos obtener las siguientes
(a-b)2 = a
2 + b
2 -2.ab.
(a+b).(a-b) = a2 – b
2
b) (a+b)3 = a
3 +b
3 + 3.a.b
2 + 3.a
2.b
En efecto, (a+b).(a2 + b
2 + 2.ab) = ...
c) En general, tenemos una potencia cualquiera
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
34
Se cumple
(a+b)n =
(n;0).an +(n;1).a
n-1.b +(n;2).a
n-2.b
2 + ... +(n;(n-2)).a
2.b
n-2 +(n;(n-
1)).a.bn-1
+(n;n).bn,
donde (n;k) representa el número combinatorio (léase: n sobre k),
cuyo valor es:
(n;k) = 𝑛!
𝑘!.(𝑛−𝑘)!
NOTA: En el Volumen 3 estudiamos los ‘números
combinatorios’.
1.10.- Potencia de un trinomio
a)
(a+b+c)2 =
a2 + b
2 + c
2 + 2.ab + 2.ac + 2.bc
La obtenemos aplicando la distributive reiteradamente.
b)
(a+b+c)3 = (a+b+c).(a+b+c)
2 = ... =
= a3 +3.a
2b +3.a
2c +3.b
2c +3.ac
2 +3.bc
2 + abc
------------
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
35
ACTIVIDADES
Resolver las siguientes ecuaciones cuyo resultado se indica.
1.- x2 -5x +6 = 0, Sol: 2 ; 3
2.- x2 +8x -20 = 0, Sol: -10 ; 2
3.- 3x2 -15x +18 = 0, Sol: 2 ; 3
4.- x3 -9x
2 +26x -24 = 0, Sol: 2 ; 3 ; 4
5.- 2x3 -15x
2 +37x -30 = 0, Sol: 2 ; 3 ; 5/2
6.- 4x3 -44x
2 +155x -175 = 0, Sol: 5 ; 5/2 ; 7/2
7.- 50x3 475x
2 +1468x -1472 = 0, Sol:4; 2,3; 3,2
8.- x2 -540x -3375 = 0, Sol: 546,17 ; -6,18
Generando ecuaciones con el resultado deseado:
9.- Sol: 1; 4; 5 -> x3 -10x
2 +29x -20 = 0
10.- Sol: 2; 3 -> x2 -5x +6 = 0
11.- Sol: -3; -2; 1 -> x3 +4x
2 +x -6 = 0
12.- Sol: 1; 2; 3; 4; 5 ->
x5 -15x
4 +85x
3 -225x
2 +274x -120 = 0
13.- Sol: -3; -2; 1; 1; 4; 5 ->
x6 -6x
5 -10x
4 +80x
3 +9x
2 -194x + 120 = 0
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
36
14.- Dados los siguientes polinomios
p(x) = 3x –5x5 +6x
2 +7x –4x
3 +2x
5
q(x) = 6 +5x3 –2x
4 +3x
5 +2x
3 –5x
Realiza las siguientes
a) Agrupa términos semejantes y después haz la suma
p(x) + q(x):
b) Lo mismo y Realiza la resta p(x) – q(x)
Sol.: a) Suma: -2x4 +3x
3 +6x
2 +5x +6
b) Resta: -6x5 +2x
4 –11x
3 +6x
2 +15x –6
15.- Dados los polinomios
p(x) = 3x3 –5x
2 +4x –6
q(x) = x2 –3x +2
realiza las siguientes:
a) 5.p(x)
b) p(x).q(x)
Sol.: a) 5.p(x) = 15x3 –25x
2 +20x –30
b) 3x5 –14x
4 +25x
3 –28x
2 +26x -12
16.- Dados los polinomios
p(x) = 3x3 –5x
2 +4x –6
q(x) = x2 –3x +2
realiza las siguientes:
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
37
a) p(x):2
b) p(x):q(x)
c) p(x):(x-3)
Sol.: a) p(x):2 = 3/2.x3 –5/2.x
2 +2x –3
b) 3x +4, Resto: 10x -14
c) 3x2 +4x +16, Resto: 42
17.- Dado el polinomio
p(x) = 3x3 –5x
2 +4x –6
a) Calcula el valor numérico p(-3)
b) Realiza, por la forma de Rufini, la
división p(x):(x+3), y compara el resto de esta división con el
valor obtenido en a).
Sol.: a) -144
b) 3x2 –14x +46, Resto: -144
18.- a) Obtener la descomposición factorial del polinomio (en el
Q(x), es decir, con coeficientes racionales):
p(x) = x5 +6x
4 –2x
3 –36x
2 +x +30
b) Lo mismo que en a), del polinomio:
q(x) = 6x4 +x
3 –47x
2 +24x +36
Sol.: a) Las soluciones (enteras) de p(x)= 0 son:
x= 2, -3, -1, 1, -5, por tanto
p(x) = (x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
38
b) Las soluciones racionales de q(x) = 0 son: x= 2, -3, 3/2,
-2/3, por tanto
q(x) = 6.(x-2).(x+3).(x-3/2).(x+2/3)
19.- Dados los polinomios
p(x) = x5 +6x
4 –2x
3 –36x
2 +x +30
q(x) = 6x4 +x
3 –47x
2 +24x +36
determina:
a) Su MCD.
b) Su mcm.
c) Comprueba que mcm = (p(x).q(x))/MCD
Sol.: a) Sus descomposiciones factoriales son
p(x) = (x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5)
q(x) = 6.(x-2).(x+3).(x-3/2).(x+2/3)
por tanto MCD = (x-2).(x+3)
b) mcm =
6.(x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5).(x-3/2).(x+2/3)
c) Evidentemente tenemos: p(x).q(x) =
6.(x-2)2.(x+3)
2.(x+1).(x-1).(x+5).(x-3/2).(x+2/3)
y por tanto (p(x).q(x)): MCD =
= 6.(x-2).(x+3).(x+1).(x-1).(x+5).(x-3/2).
.(x+2/3) = mcm
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
39
20.- Realiza las potencias
a) (a+b)3
b) (a+b)5
c) (a+b+c)2
d) (a+b+c)3
Sol.: a) a3 +3a
2b +3ab
2 +b
3
b) a5 +5a
4b +10a
3b
2 +10a
2b
3 +5ab
4 +b
5
c) a2 +b
2 +c
2 +2ab +2ac +2bc
d) a3 +b
3 +c
3 +3a
2b +3a
2c +3b
2c +3abc
21.- Realiza y comprueba el resultado
División
(61x3 +568x
2 –2455x +10556):(x
2 –4x +13)
Sol.: Cociente: 61x + 812
Resto: -812x2 +3248x –10556
22.- Realiza y comprueba el resultado de la
división
(127369525x3 +1185998200x
2 –5126101375x –
-22041191900):(x2 –4x +13)
Sol.: Coci.: 127369525x +1695476300
Rest.: 0
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
40
23.- Genera un polinomio que admita como ceros los siguientes
valores:
a) 2/3, 1/2, 3/4
b) 2, -1/2, 2/3
c) 2, 1, 3
d) 4, -1, 2, 3
Sol.:
a) 24x3 –46x
2 +29x –6
b) 6x3 –13x
2 + 4
c) x3 –6x
2 +11x –6
d) x4 –4x
3 –x
2 +16x –12
24.- Descomposición factorial de los polinomios obtenidos en
3.-:
a) 24x3 –46x
2 +29x –6
b) 6x3 –13x
2 + 4
c) x3 –6x
2 +11x –6
d) x4 –4x
3 –x
2 +16x –12
Sol.:
a) 2/3, 1/2, 3/4
b) 2, -1/2, 2/3
c) 2, 1, 3
d) 4, -1, 2, 3
25.- Realiza
a) Multiplica: (3ax3y).(2ax).(-3x
2y)
b)Operaciones: 3xy2.(-2x
3) - 2y
2x
2.(-4x
2)
c)Operaciones: (3x2y)
5 , [(3xy
3)
2]
3
26.- Realiza
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
41
a) División: (2
3𝑎𝑥2):(3x) , (
−1
9𝑥5𝑦𝑧3): (
3
2𝑥𝑦𝑧)
b) Operaciones y simplifica el resultado:
[(3
2𝑥𝑦2)2 ∶ (−
3
4𝑥2)]3
– [(1
4𝑥3𝑦2)2 ∶ (
1
2𝑥3)2]
3
c) m.c.d. de los monomios:
26xy5z, 52(xyz)
3 , 39x
2yz
3
(Res.: a) 2
9 . 𝑎𝑥 ,
−2
27. 𝑥4𝑧2 , b)
−1729
64 𝑦12
c) mcd = 13xyz
27.- Realiza
a) [1-xy-y2-z
2] + [3xy+2y
2] +[-3z
2 -5+xy] +
+ [3xy –x2 –z
2]
b) Halla A –B +C, siendo: A = 1
3𝑥2𝑦 −
3
2𝑥𝑦2 + 3𝑥𝑦
B = 5
6𝑥2𝑦 −
1
3𝑥𝑦 +
7
5𝑥𝑦2, C =
3
4𝑥𝑦2 +
3
4𝑥2𝑦 −
5
6𝑥𝑦
c) Halla A.B y B.(-C), siendo
A = x2+2x-2, B = x
2-3x+1, C = 2x-x
2+3
(Res.: a) 6xy + y2 -5z
2 –x
2 -4
𝑏)1
4𝑥2𝑦 −
43
20𝑥𝑦2 +
5
2𝑥𝑦
c) AB = x4 –x
3 -7x
2 +8x -2,
B.(-C) = x4 -5x
3 +4x
2 +7x -3 )
28.- Realiza
a)Calcual: (-6x+2y)2, (-3xy+2x
2)
2,
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
42
(−4
3𝑥4 −
3
2𝑦4)
2
b)Simplifica: (2-3x)2+(3+5x)
2 –(4-2x)
2
c)Simplifica:
3x(2-x)2 +(3-5x).(x-1)
2 +(x-4).(x+2)
2
(Res.: a) 36x2 -24xy +4y
2 , 9x
2y
2 -12x
3y +4x
4 ,
16
9. 𝑥8 + 4𝑥4𝑦4 +
9
4𝑦8
b)30x2 +34x -3, c) –x
3 +x
2 -11x -13 )
29.- Realiza
a) (x2+y
2+z
2)
2 , (a
2 –(2a-3b) +b
2)
2
b) (5x2-3y)
3 , [(x-1).(x+1)]
3
c) (2-x2)
6 , (x-2y)
9
Res.: a) x4+y
4+z
4 +2x
2y
2 +2x
2z
2 +2y
2z
2 ,
a4+4a
2-12ab+9b
2+b
4-4b
3+6a
2b+2a
2b
2 -4ab
2+6b
3
b)125x6 225x
4y +135x
2y
2 -27y
3 , x
6-3x
4 +3x
2-1
c) x12
-12x10
+60x8 -160x
6 +240x
4 -192x
2 +64,
[(x-2y)3]
3 ó bien (x-2y).{[(x-2y)
2]
2}
2
30.- Realiza
a)Halla el cuarto término de (1-x)10
b)Halla el octavo término de (3a2b-2a)
11
c)Escribe el término que contiene x8 en el
desarrollo de (3x3-2xy)
6
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
43
Res.: a) El término de lugar k+1 se corresponde con (𝑛𝑘
),
en este caso
(-1)3.(
103
) . 17. 𝑥3 = -120.x3
b)(117
) . (3𝑎2𝑏)4. (−2𝑎)7 = …. = -3421440.a15
b4
c) (6𝑘
) . (3𝑥3)6−𝑘. (−2𝑥𝑦)𝑘 , 3.(6-k)+k = 8 ->
10 = 2k, k = 5 -> -576x8y
5
31.- Realiza
a)Halla el término que contiene a73
en el desarrollo de
(3a5b
3 +
3𝑎2
4𝑏)
17
b)Escribe el desarrollo completo de
(2xy -3z)8
c)Aplica el binomio de Newton
(3+i)5, (1-√2. 𝑖)7
Res.: a) (17𝑘
) . (3𝑎5𝑏3)17−𝑘. (3𝑎2
4𝑏)𝑘 ,
73 = 5.(17-k)+2k -> 73 = 85 -5k +2k, 3k = 12,
k = 4 -> 2380.317
44 . 𝑎73𝑏35
b) (2xy -3z)8 = ∑ (
8𝑘
) . (2𝑥𝑦)8−𝑘. (−3𝑧)𝑘 𝑘=0,1,..,8 =
…
= ….
c) -12 +316.i , 43 - 13√2. 𝑖
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
44
32.- Realiza
a)Divisiones: (15a3-27a
2+12a-3a
5):3a
(5x5-3x
7+4x
4-5x
3):2x
2
b)Divisiones: (3ax4-2a
5x
7 --
5
6𝑎𝑥3):7ax
2
(8x5-14x
4 -5x
3+16x
2 -8x +3):(2x
2 -5x +3)
(3
2𝑥4 −
2
5𝑥3 +
9
4𝑥2 +
3
5𝑥 − 1) : (
3
2𝑥2 −
2
5𝑥 + 3)
c)Aplicando Ruffini:
(6x4 +20x
3 -41x
2 -50x +20): (x+5)
(7x2 +
2
3𝑥5 +
11
12𝑥 −
15
4𝑥3 +
2
3𝑥 + 4) : (x+3)
Res.: a) ,
b) 4x3 +3x
2 –x +1, x
2 +
1
2
c) C(x) = 6x3 -10x
2 +9x +5, R = -5
C(x) = 2
3𝑥4 − 2𝑥3 +
9
4𝑥2 +
1
4𝑥 +
1
6 , R = 0
33.- Realiza
a) Sin hacer la división comprueba si será divisible por:
P(x) = 3x3 -21x +18, D(x) = (x+3)
P(x) = 3
4𝑥5 −
2
3𝑥4 −
5
2𝑥3 − 𝑥2 +
2
3𝑥 +
3
4 , D(x) = (x+1)
b) Halla el resto
(my4 +m
2a
2y
3-2m
3a
4y
2+ay-ma
3) : (y-ma
2)
c) Halla ‘p’ para que sea exacta
(x2 -2x +p): (x+3)
(x3-
2
3𝑥2 + 𝑝𝑥 +
7
9) ∶ (𝑥 +
1
3)
d) Valor de p para que el resto sea 16
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
45
(x4-3x
3+2x-p): (x+2)
Valor de p para que -2 sea un cero de
P(x) = x2-3x
3+2px-4
Res.: a) P(-3) = 0, P(-1) = 1/6 ,
b) R =0, c) p = -15, p = 2,
d) p = 10, p = 6
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
34.- Realiza
a)Descomponer en factores
3.(x-2)+(x-2)2-2x(x-2)+ab.(x-2)
3
3x2 -6x +3
b)Descomponer en factores
x2 -9, a
2 –(x-y)
2
c)Descomponer en factores
(2x-1)2 – (3x+2)
2 , 8-2a
2 +4ab -2b
2
Res.: a) (x-2).[1-x+ab.(x-2)2], 3.(x-1)
2
b) (x-3).(x+3), (a+x-y).(a-x+y)
c) -(5x+1).(x+3), 2.(2+a-b).(2-a+b)
35.- Realiza
a)Decomponer en factores
2x3 +3x
2 -
𝑥
2−
3
4 , ( 1/2 es un cero)
x4 +x
3 -16x
2 -4x +48, (2 y -2 son ceros)
b)Decomponer en factores
x5 -16x
c)Halla el MCD y el mcm de
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
46
x4-y
4, x
2-y
2, x
3-x
2y +xy
2 –y
3
Res.: a) 2.(x+1
2 ). (𝑥 −
1
2 ) . (𝑥 +
3
2) ,
(x-3).(x+2).(x-2).(x+4)
b) x.(x2+4).(x+2).(x-2)
c) MCD = (x-y), mcm = (x2 +y
2).(x+y).(x-y)
$$$$oOo$$$$
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
47
Tema 2
Fracciones algebraicas en x
Expresiones Radicales en x
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
48
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
49
2.1.- Fracciones en x
Definición
“Una fracción en x es una expresión de la forma p(x)/q(x), donde
p(x) y q(x) son polinomios, y q(x) no es el polinomio 0”
Ejemplo: 3x2−5x+4
2x+6
Representamos por Q[x] el conjunto de todas las fracciones.
2.2.- Operaciones básicas con fracciones
Son las mismas operaciones que con las fracciones numéricas.
Son trasladables a Q[x] las mismas operaciones y sus
propiedades.
2.2.1.- Suma y Resta
Si r(x) = a(x)
b(x) y s(x) =
c(x)
d(x)
su suma está definida así:
r(x)+s(x) = [a(x).d(x)+ b(x).c(x)]
[b(x).d(x)]
Ejemplo:
Sean r(x) = x2−5𝑥+4
2x+3 , s(x) =
3x+5
x2−4
Su suma:
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
50
r(x) + s(x) = x2−5𝑥+4
2x+3 +
3x+5
x2−4 =
= 2𝑥2−5𝑥+4).(𝑥2−4) +(2𝑥+3).(3𝑥+5)
(2𝑥+3).(𝑥2−4)
Haciendo los productos y sumas indicados el alumno comprobará
que el resultado es:
= 2𝑥4−5𝑥3+2𝑥2+39𝑥−1
2𝑥3+3𝑥2−8𝑥−12
Elemento NEUTRO:
Comprueba que si r(x) es cualquiera y s(x) = 0
1 , se cumple: r(x) +
s)x) = r(x). Por tanto, la fracción 0
1 cumple la condición de
elemento neutro. Comprueba que también lo cumple cualquier
otra fracción s(x) = 0
𝑏(𝑥)
(tomaremos 0
1 ó simplemente 0).
Existencia y Propiedad del SIMÉTRICO:
Para cada fracción r(x) = 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) existe otra fracción s(x) tal que:
r(x) + s(x) = 0.
Veamos que lo cumple la fracción: -p(x)/q(x).
Diremos que −𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) es ‘la opuesta’ de
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) .
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
51
Ejemplo:
Dada r(x) = 3x3+2x2−5
2x+5 , su opuesta es
-r(x)= −3x3−2+5
2x+5
Haciendo la suma: r(x)+(-r(x))= 0
2x+5 = 0
RESTA de dos fracciones:
Para RESTAR dos fracciones podemos sumar la opuesta de la
fracción sustraendo. Así
a(x)
b(x) −
𝑐(x)
d(x) =
a(x)
b(x) +
−𝑐(x)
d(x)
Ejemplo:
2x2−5x+1
3x+4 −
5x+2
x2+6 =
2x2−5x+1
3x+4+
−5x−2
x2+6 =
Comprueba que resulta:
= 2x4−5x3−2x2−56x−2
3x3 + 4x2+18x+24
2.2.2.- Producto de dos fracciones
a(x)
b(x) ∗
c(x)
d(x) =
a(x)∗𝑐(𝑥)
b(x)∗𝑑(𝑥)
Ejem.:
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
52
3x2+3x−5
2x+1 ∗
4x+3
x3−3x+8 =
comprueba que el resultado es:
= 4x3+15x2−11x−15
2x4+x3−6x2+13x+8
Elemento UNIDAD (neutro para el producto):
Es evidente que la fracción 1
1 lo cumple:
1
1∗
p(x)
q(x) =
p(x)
q(x)
La fracción 1
1 , o
a(x)
a(x) con a(x) cualquiera, es la unidad.
Elemento SIMÉTRICO para el producto (o INVERSO):
Dada una fracción a(x)/b(x), no nula (esto es, a(x) no es 0), existe
otra fracción c(x)/d(x) tal que:
a(x)
b(x)∗
c(x)
d(x)=
1
1 = 1 , o equivalente a ésta.
Comprueba que este hecho lo cumple la fracción
b(x)
a(x) (obtenida invirtiendo sus términos)
Diremos que la fracción b(x)
a(x) es la ‘inversa’ de
a(x)
b(x)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
53
2.2.3.- División de dos fracciones
Definición:
Se define así: a(x)
b(x) ∶
c(x)
d(x) =
a(x)
b(x)∗
d(x)
c(x)
es decir, multiplicamos la fracción dividendo por la inversa de la
fracción divisor.
PROPIEDADES y ESTRUCTURA:
De la SUMA:
Asociativa, conmutativa, elemento neutro.
Decimos que
(Q[x],+ ) tiene ‘Estructura de grupo’.
Del PRODUCTO:
Asociativa, conmutativa, elemento unidad.
Decimos que
(Q[x]*,* ) tiene ‘Estructura de grupo’.
(Q[x]* representa Q[x]-{0}, es decir, excluimos la fracción 0)
Además,
Distributiva del producto respecto de la suma:
a.(b+c) = (a.b) + (a.c),
para cualesquiera fracciones a,b,c
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
54
Por cumplirse estas propiedades decimos que (Q[x]*,+,*) tiene
‘Estructura de cuerpo’.
2.3.- Simplificación de una fracción
Dada 𝑝(x)
q(x) , descomponemos p(x) y q(x) en factores. Si m(x) es
un divisor común de p(x) y q(x) podemos dividir éstos por m(x) y
obtenemos una nueva fracción p′(x)
q′(x) equivalente a la primera.
Si dividimos p(x) y q(x) por su MCD(p,q), la fracción p′(x)
q′(x)
obtenida es ‘irreducible’ (no podemos simplificarla más).
2.4.- Valor numérico de una fracción
Dada una fracción p(x)
q(x) , y un valor racional x = a, el valor
numérico de r(x) cuando x = a, es el resultado de
r(a) = p(a)
q(a)
Casuística:
a) Si q(a)<>0, r(a) está bien definido
b) Si q(a) = 0 y p(a) = 0, r(a) = p(a)
q(a) queda indeterminado:
0
0
. Tanto q(x) como p(x) admiten el factor (x-a);
simplificamos todo lo posible mientras tengan factor
común. Hecho ésto estaremos en uno de los casos a) ó c).
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
55
c) Si q(a)=0 y p(a) <> 0, r(a) no está definido: p(a)
0 no es un
valor real. En este caso decimos que x = a es un polo de
la fracción.
2.5.- Común denominador de dos fracciones
MÍNIMO Común denominador:
Sean dos fracciones a(x)
b(x) y
c(x)
𝑑(x) .
Las fracciones a(x).𝑑(𝑥)
b(x).𝑑(𝑥) ,
𝑐(x).𝑏(𝑥)
d(x).𝑏(𝑥)
son equivalentes a las dadas y además tienen el mismo
denominador.
Pero deseamos que, teniendo el mismo denominador, éste sea el
menor posible.
Para conseguirlo hacemos lo siguiente:
Tomamos el mcm(x) de los denominadores b(x) y d(x). Tanto
b(x) como d(x) son divisores de mcm(x).
Si a’(x) = mcm(x):b(x), hago a(x).𝑎′(𝑥)
b(x).𝑎′(𝑥) y obtengo:
A(x)
mcm(x)
Si c’(x)= mcm(x):d(x), hago 𝑐(x).𝑐′(𝑥)
d(x).𝑐′(𝑥) y obtengo:
C(x)
mcm(x)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
56
Estas dos fracciones son equivalentes a las de partida y tienen el
mismo denominador, siendo este denominador el menor posible.
Ejemplo:
1.- Realiza
a)Simplifica: 27𝑥2−2
54𝑥3−4𝑥 ,
4𝑥𝑦+4𝑥
2𝑥𝑦+2𝑥−4𝑧𝑦−4𝑧
b)Simplifica y haz común denominador
𝑥2+𝑦
15𝑥𝑦−35𝑦2 , 3𝑦
12𝑥2−28𝑥𝑦 ,
4(𝑥−2𝑦)
18𝑥3−98𝑥𝑦2
c)Efectúa las operaciones
𝑥−2
6𝑥+6−
𝑥+2
2𝑥+2+
3−𝑥
4𝑥+4 ,
3(𝑥−1)
𝑥2−𝑦2 −𝑥+𝑦
𝑦−𝑥+
𝑥2+𝑦2
𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2
Res.: a) 1
2𝑥 ,
2𝑥
𝑥−2𝑧
b) 4𝑥(3𝑥+7𝑦)(𝑥2+𝑦)
20𝑥𝑦(3𝑥−7𝑦)(3𝑥+7𝑦) ,
15𝑦2(3𝑥+7𝑦)
20𝑥𝑦(3𝑥−7𝑦)(3𝑥+7𝑦),
40𝑦(𝑥−2𝑦)
20𝑥𝑦(3𝑥−7𝑦)(3𝑥+7𝑦)
c) -−7
12 ,
2𝑥3+3𝑥2−3𝑥𝑦−3𝑥+3𝑦+2𝑥2𝑦
(𝑥−𝑦)2.(𝑥+𝑦)
------------
2.6.- Descomposición de una fracción en Suma de fracciones
simples
Llamamos ‘fracción simple’ a las fracciones de la forma A
x−a ,
donde A es un valor real.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
57
NOTA:
Con el fin de hacerlo más inteligible explico los siguientes casos,
refiriéndome a las soluciones de q(x) = 0. V
Volvemos a tratarlo en el Vol.7 de forma más completa.
Sea p(x)
q(x) . Si gr(p) >= gr(q) hacemos la división y tenemos
p(x)
q(x) = c(x) +
r(x)
q(x)
Por tanto, podemos suponer que gr(p) < gr(q).
A)Caso de Soluciones racionales distintas
a) Supongamos que q(x) es de grado 3, con primer coeficiente 1,
y que a,b,c son las soluciones de q(x)=0, distintas entre sí. Su
descomposición factorial es
q(x)= (x-a).(x-b).(x-c)
Afirmamos que existen constantes A,B,C tales que
p(x)
q(x) =
A
x−a +
B
x−b +
C
x−c
Para obtener A,B,C operamos como sigue.
Multiplico los dos miembros por q(x) y obtengo
p(x)= A.(x-b).(x-c)+B.(x-a).(x-c)+C.(x-a).(x-b)
Hago x = a, y obtengo p(a)= A.(a-b).(a-c), de donde obtengo
A = 𝑝(𝑎)
(𝑎−𝑏).(𝑎−𝑐)
Hago x = b, y obtengo p(b)= B.(b-a).(b-c), de donde obtengo
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
58
B = 𝑝(𝑏)
(𝑏−𝑎).(𝑏−𝑐)
Hago x = c, y obtengo p(c)= C.(c-a).(c-b), de donde obtengo
C = 𝑝(𝑐)
(𝑐−𝑎).(𝑐−𝑏)
Si el primer coeficiente es m, su descomposición factorial es
q(x) = m.(x-a).(x-b).(x-c) = m.q’(x)
Tengo p(x)
q(x) =
1
𝑚 .
p(x)
q′(x) , donde q’(x) tiene primer
coeficiente 1 y q’(x)=0 tiene las soluciones a,b,c.
Descompongo en sumas simples la fracción p(x)
q′(x)
y entonces: p(x)
q(x) =
1
𝑚 . [
A
x−a +
B
x−b +
C
x−c ] , los
numeradores quedarían de la forma
A’ = 𝐴
𝑚 , B’ =
𝐵
𝑚 , C’ =
𝐶
𝑚
Procederíamos del mismo modo siempre si q(x) es de grado n y
tiene n soluciones racionales distintas.
B) Caso de Soluciones racionales múltiples
Supongamos que descompone por completo pero tiene dos
soluciones iguales: b=a, y primer coeficiente 1
q(x)= (x-a)2.(x-c)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
59
Ahora planteamos
p(x)
q(x) =
Ax+B
(x−a)2 + C
x−c , donde
p(x)= (Ax+B).(x-c) + C.(x-a)2
Haciendo x = c, obtengo p(c) = C.(c-a)2, de donde obtengo C =
p(c)
(c−a)2
Haciendo x = a, obtengo
p(a) = (A.a +B).(a-c)
Para obtener A y B necesito obtener otra igualdad. Doy otro valor
a x, distinto de a y de c, sea x = b; tengo
p(b) = (A.b + B).(b-c) + C.(b-a)2
Del sistema
p(a) = (A.a +B).(a-c)
p(b) = (A.b + B).(b-c) + C.(b-a)2
obtengo A y B.
Si el primer coeficiente de q(x) es m, tendremos
1
𝑚 .
p(x)
q′(x) , y obteniendo la descomposición en
sumas simples de p(x)
q′(x) el resultado irá multiplicado por
1
𝑚 .
Procederíamos de la misma forma si tuviese más soluciones
múltiples, o si la multiplicidad fuese mayor que 2.
C) Caso de que q(x) no descomponga totalmente en los
racionales.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
60
Supongamos que q(x) no descompone totalmente en Q, y que
toma la forma
q(x)= (x-a)2.(x-c).n(x)
Planteo p(x)
q(x) =
Ax+B
(x−a)2 + C
x−c +
n′(x)
n(x)
donde n’(x) tiene coeficientes indeterminados y es de grado =
gr(n(x))-1.
Multiplicando por q(x) tenemos
p(x) = (Ax+B).(x-c).n(x) +C.(x-a)2.n(x) +
+ n’(x).(x-a)2.(x-c)
Dando valores
x = c --> p(c) = C.(c-a)2.n(c),
de donde obtengo C
x = a --> p(a) = (A.a+B).(a-c).n(a)
Otro valor
x= b -->
p(b) = (A.b+B).(b-c).n(b) +C.(b-a)2.n(b) +
+ n’(b).(b-a)2.(b-c)
Del sistema
p(a) = (A.a+B).(a-c).n(a)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
61
p(b) = (A.b+B).(b-c).n(b) +C.(b-a)2.n(b) +
+ n’(b).(b-a)2.(b-c)
De este sistema obtengo A y B.
Si el primer coeficiente de q(x) es m, entonces
1
𝑚.p(c) = C.(c-a)
2.n(c),
1
𝑚.p(a) = (A.a+B).(a-c).n(a)
1
𝑚.p(b) = (A.b+B).(b-c).n(b) +C.(b-a)
2.n(b) +
+ n’(b).(b-a)2.(b-c)
Para obtener los coeficientes de n’(x) damos a x tantos valores
como el número de sus coeficientes indeterminados, que sean
distintos de a y c. Obtengo un sistema cuyo resultado son dichos
coeficientes.
2.7.- Expresiones con radicales en x
Son expresiones en las cuales la indeterminada x va dentro de
algún radical.
También podemos encontrar
)(xg , n xg )(
Ejemplo:
Raíces cuadradas
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
62
f(x) = √3𝑥2 − 5𝑥 + 6 , f(x) = 3𝑥 + √𝑥2 + 1
f(x)= 1
22
x
x
Raíces cúbicas, Radicales de índice 4, 5, etc.
f(x)= 3 2 653 xx , f(x)= 4 1x , f(x)= 5 32 x
Las llamaremos ‘expresiones irracionales en x’, o ‘radicales en x’.
No tratamos aquí las operaciones con este tipo de radicales, pero
sí podemos decir que son las mismas que vimos para los radicales
numéricos.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
63
ACTIVIDADES
1.- Dadas las fracciones
r(x)= (2x+3)/(x-5), s(x)= (x2 –4)/(x
2 –x +1)
realiza:
a) r(x) + s(x)
b) r(x) – s(x)
Sol.: a) 566
235x -4x- 3x23
23
xxx, b
566
17-3x 6x x23
23
xxx
2.- Dadas las fracciones
r(x)= (2x +3)/(x –5), s(x)= (x2 +1)
realiza:
a) r(x).s(x)
b) r(x):s(x)
Sol.: a) 54
1510322
23
xx
xxx, b)
2555
35223
2
xxx
xx
3.- a) Calcula el valor numérico de la fracción
r(x) = 3x2 –5x +4
3x +5 , cuando x= -2
c) Simplifica la fracción
r(x)= x2 +3x –10
x2 +8x +15
Sol.: a) -26,
b) Descomponiendo en factores
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
64
r(x)= )5).(3(
)5).(2(
xx
xx =
3
2
x
x
4.- a) Dadas las fracciones
r(x) = 2x+3
x−5 , s(x) =
x2 +5
x+1
pásalas a común denominador.
b) Dadas las fracciones
r(x)= 3x +4
x2 –x –2 , s(x)=
5x –3
x2 +x –6
pásalas a mínimo común denominador.
Sol.: a) r’(x)= 54
3522
2
xx
xx
s’(x)= 54
25552
23
xx
xxx
b) Descomposición de los denominadores:
x2 –x –2 = (x-2).(x+1)
x2 +x –6 = (x-2).(x+3)
Su mcm es
mcm = (x-2).(x+1).(x+3)= x3+2x
2-5x-6
y por tanto:
r’(x)= 652
1213323
2
xxx
xx
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
65
s’(x)= 652
32523
2
xxx
xx
5.- Obtener la descomposición en suma de fracciones simples de
la fracción
r(x)= 652
4323
xxx
x
Sol.: La descomposición factorial del denominador es:
(x-2).(x+1).(x+3)
6.- a) Realiza: 5. 623 xx
b) Realiza: 25.32 xx
c) Realiza: 53.2
52.3
x
x
Sol.: a) )623.(25 xx
b) )25).(32( xx
c) 2012
4518
2012
4518
x
x
x
x
$$$$oOo$$$$
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
66
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
67
Tema 3
Ecuaciones algebraicas en x
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
68
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
69
3.1.- Ecuaciones algebraicas en x. Soluciones
Ecuación algebraica:
Es la igualdad entre dos expresiones racionales:
r(x) = s(x)
(1)
r(x) es el miembro izquierda, s(x) es el miembro derecha, de la
ecuación; estos miembros son polinomios o fracciones en x. (Esta
es la razón por la que se llama ‘Ecuación algebraica’)
Solución de una ecuación:
Una solución de (1) es un valor ‘a’ tal que
r(a) = s(a), es decir, que sus valores numéricos son iguales.
Puede ocurrir que (1) sea una ‘identidad’, lo cual significa que
r8x) – s(x) = 0 idénticamente (todos sus coeficientes son 0). En
este caso cualquier valor ‘a’ dado a x es solución. Realmente no
tenemos ecuación.
En la práctica la expresión (1) es convertida en r(x) – s(x) = 0, de
modo que, en lo sucesivo, una ecuación algebraica será expresada
de una de estas forma
p(x) = 0, p(x)
q(x) = 0
(2)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
70
3.2.- Ecuaciones equivalentes
Transformación de una ecuación ...
‘Dos ecuaciones son equivalentes si admiten el mismo
conjunto de soluciones’.
Al hacer las siguientes transformaciones la ecuación resultante es
equivalente a la ecuación dada.
Transformaciones:
a) Sumamos la misma expresión t(x) a los dos miembros:
r(x)+t(x) = s(x)+t(x)
Si x=a es solución de una de ellas lo es también de la otra, pues
de r(a)+t(a)=s(a)+t(a) se deduce que r(a)=s(a), y recíprocamente.
b) Multiplicamos los dos miembros por un mismo valor ‘v’ no
nulo:
v.r(x) = v.s(x).
La comprobación es evidente.
c) Trasposición de términos:
Significa que ‘pasamos’ términos de un miembro a otro. Por
ejemplo, si a la igualdad r(x)=s(x) le sumamos a los dos
miembros la expresión –s(x), obtenemos:
r(x)-s(x) = s(x)-s(x), es decir, r(x)- s(x) = 0
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
71
Decimos que hemos ‘traspuesto términos’ (de la derecha a la
izquierda).
Podemos traspasar sólo los términos que interesen y no el
miembro completo.
d) Supresión del denominador:
Si tengo la igualdad r(x) = p(x)
q(x) , podemos hacer desaparecer el
denominador, pero teniendo en cuenta algunos detalles.
Lo haríamos como sigue. Tengamos en cuenta que en principio
pueden existir valores ‘a’ tales que p(a)=0 y q(a)=0, con lo cual
quedaría 0/0. Esto ocurre cuando p(x) y q(x) admiten el factor (x-
a). Esta es la razón por la que se recomienda la simplificación de p(x)
q(x) hasta llegar a
p′(x)
q′(x) irreducible (Sin factores comunes).
Supongamos que p(x)
q(x) es irreducible. Entonces multiplicamos
por q(x) los dos miembros de
p(x)
q(x) = 0, de modo que la ecuación se reduce a polinómica:
p(x) = 0
Las soluciones ‘a’ de esta última son los valores ‘a’ tales que p(a)
q(a) = 0, y q(a) <> 0
Resumen:
Las soluciones de una ecuación p(x)
q(x) = 0 son los valores ‘a’ tales
que p(a)=0, (soluciones de su numerador), rechazando aquellas
que también hagan q(a) = 0.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
72
3.3.- Clasificación según el número de
soluciones
a) Puede tener un número finito de soluciones:
Ejemplo: 3x + 2 = 2x+5.
x2 -4x + 3 = 0
Este es el caso que realmente interesa.
b) Puede ser una identidad, y por tanto admite infinitas
soluciones:
Ejemplo: 3x+2 = (x-3) + (2x+5)
c)Puede ser incompatible, o contradictoria, en cuyo caso no
admite solución:
Ejemplo: 3x+2 = (x-3) + (2x+4) , de donde se deduce que 2
= 1, contradictorio.
3.4.- Generador de ecuaciones con soluciones
predeterminadas
Se trata de obtener una ecuación cuyas soluciones sean prefijadas.
Tiene interés porque de esta forma el propio alumno puede
construirse sus ‘ecuaciones resolubles’ que le motiven a practicar.
De entrada puedo suponer que toda ecuación algebraica queda en
la forma:
p(x) = 0,
ya que puedo suprimir el denominador. El polinomio que vamos a
construir tendrá descomposición factorial:
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
73
p(x) = m.(x-a1).(x-a2)...(x-an).q(x),
donde q(x) es un polinomio que no admite soluciones racionales.
Cuando interese podremos hacerlo igual a 1.
Si tomamos los valores: a1,a2,...,an y hacemos los productos (x-
a1).(x-a2)...(x-an), obtenemos un polinomio que admite como
soluciones los valores a1,a2,...,an. Podemos además multiplicar
por un polinomio q(x), y sigue admitiendo aquellas soluciones y
además las posibles soluciones de q(x) = 0.
A estas expresiones las llamaremos ‘Poliedros en x’.
3.4.1.- Naturaleza de las soluciones de p(x)=0.
Número de soluciones
Por lo que hemos visto antes toda ecuación algebraica puede
pasar a la forma:
p(x) = 0
En lo que sigue nos referiremos siempre a ecuaciones
polinómicas p(x)=0, con coeficientes racionales.
Grado de la ecuación p(x)=0 es el grado del polinomio.
Naturaleza de las soluciones de p(x)=0
Sus soluciones pueden ser valor:
-Enteros
-Racional fraccionario
-Real no racional
-Complejo no real (Imaginario: a+bi)
Número de soluciones
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
74
Evidentemente, p(x) = 0, con gr(p(x)) = n, no puede tener más de
n soluciones.
‘Se puede demostrar que toda ecuación p(x) = 0, de grado n, con
coeficientes complejos (Q está incluido en C), tiene n soluciones
en C’.
Su justificación (no demostración) es consecuencia de que si x = a
es solución, (x-a) es factor, y simplificando obtengo polinomio
p’(x) de grado n-1. Las soluciones de p’(x)=0 son las restantes
soluciones de p(x)=0, y será suficiente reiterar este proceso.
Concluimos que: p(x)=0 tiene a lo más n soluciones reales.
3.4.2.- SOLUCIONES racionales (enteras o frac.)
Sea p(x) =
an.xn +a(n-1).x
n-1 +...+a3.x
3 +a2.x
2 +a1.x +a0
Supongamos que x= a es una solución entera.
Entonces
0 = a0 +a1.a +a2.a2 +...+a(n-1).a
n-1 + an.a
n,
a0 = a.(-a1 –a2.a –a3.a2 - ... –an.a
n-1),
de donde se deduce que el valor ‘a’ es un divisor del coeficiente
a0.
Conclusión:
Las posibles soluciones enteras de p(x)=0 están entre los divisores
del coeficiente a0 (término independiente).
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
75
Por tanto:
Obtenemos la lista de los divisores de a0. Dado un divisor ‘a’,
para comprobar si es solución basta comprobar si p(a) = 0.
Resulta muy cómodo aplicando la Regla de Ruffini y tener en
cuenta que p(a) = Resto.
Supongamos ahora que una solución es la fracción
𝑎
𝑏 (irreducible).
Entonces
0 = a0 +a1.a/b +a2.(a/b)2 + ... + an.(a/b)
2
Para suprimir los denominadores multiplico por bn, y obtenemos
0 = a0.bn+a1.a.b
n-1 +...+ a(n-1).a
n-1.b +an.a
n,
(*)
de donde, trasponiendo el último término y sacando factor el
valor ‘b’ tenemos
-an.an = b.[a(n-1).a
n-1 +a(n-2).a
n-2.b +
+...+a1.a.bn-2
+ a0.bn-1
],
de donde se deduce que el valor ‘b’ es divisor de an (Recuerda
que si b no es divisor de ‘a’ tampoco puede serlo de an ).
Por otra parte, tomando otra vez la igualdad (*), tengo
-a0.bn = a.[a1.b
n-1 +a2.b
n-2.a +...+a(n-1).b.a
n-2 +
+ an.an-1
],
de donde se deduce que el valor ‘a’ es divisor de a0.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
76
Conclusión:
Una solución fraccionaria a/b es tal que a es divisor de a0, y b es
divisor de an.
En la práctica:
Tanto para obtener las soluciones enteras como para las
fraccionarias, aplicamos Ruffini:
Hago
p(x):(x-a), ó p(x):(x- 𝑎
𝑏 ), y si el resto de esta división es cero
concluimos que x = a, ó x = a/b sí es solución.
En cada paso que aplicamos Ruffini, el cociente resultante tiene
grado una unidad inferior que el dividendo. Si todas las
soluciones son racionales, en el último paso queda cociente
constante: El coeficiente an, que suele ser 1.
Si sólo admite m soluciones racionales y es m<n, entonces el
último cociente es un polinomio q(x) de grado n-m. Las
soluciones de q(x) = 0 hemos de obtenerlas por otro método como
veremos a continuación.
3.4.3.- Soluciones No racionales.
Si después de extraer las soluciones racionales (enteras y
fraccionarias), el grado del polinomio residual, q(x), no es cero,
esto significa que la ecuación dada tiene soluciones ‘irracionales’
o ‘imaginarias’.
Pasamos a designar mediante p(x) al citado polinomio residual.
Será gr(p) > 1, ya que si fuese gr(P) = 1 tendríamos
ax + b = 0, -> x = -b/a
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
77
3.4.4.- Ecuaciones Diofánticas
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Def.: Llamamos ecuación diofántica a una ecuación de la forma
a.x + b.y = c, donde los coeficientes son enteros, y para la cual
deseamos encontrar las soluciones enteras.
Afirmamos: Admite soluciones enteras precisamente si el
máximo común divisor d = mcd(a,b) divide a c.
Dem.: Directo
Sea d = mcd(a,b) y supongamos que
a = d.a’, b = d.b’ , c
= d.c’
Entonces a’.x + b’.y = c’ . donde a’, b’, c’ son irreducibles.
Volvemos a escribirla de la forma a.x + b.y = c, donde a, b, c
son irreducibles. Ahora mcd(a, b) = 1
Por el Lema de Bezout existen valores ∝, 𝛽 tales que
a. ∝ + b. 𝛽 = d, donde d = mcd(a,b)
y entonces a’. ∝ + b’. 𝛽 = 1
Multiplicando por c tengo c = a’.c. ∝ + b’. 𝑐. 𝛽 =
a’.(d.c’). ∝ + b’. (𝑑. 𝑐′). 𝛽 =
= a.(c’.∝) + b.(𝑐′. 𝛽) , y por tanto una solución de a.x + b.y =
c es
x = c’.∝, y = c’.𝛽, o bien {𝑥 =
c
d. ∝
𝑦 =𝑐
𝑑. 𝛽
(Solución
particular)
Será suficiente obtener los valores ∝, 𝛽 dados por el Lema de
Bezout.
Recíproco: Supongamos que xo, yo es una solución, valores
enteros. Entonces
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
78
a.xo + b.yo = c . Si d = mcd(a,b), tenemos (a.xo + b.yo)
𝑑=
𝑐
𝑑 , y por tanto a’.xo + b’.yo =
𝑐
𝑑 . Puesto que el miembro
izquierda es un valor entero también ha de serlo 𝑐
𝑑 , es decir d
divide también al término independiente c.
Solución general: Supongamos que (xo , yo ) es una solución
concreta. Veremos que los siguientes valores también son
solución
{𝑥 = 𝑥𝑜 +
𝑏
d. t
𝑦 = 𝑦𝑜 − 𝑎
𝑑. 𝑡
, donde t recorre los entero
En efecto: Tomando a’ = a/d, b’ = b/d, realizo
a.( 𝑥𝑜 + b′. t) + b.( 𝑦𝑜 − 𝑎′. 𝑡) = (a.𝑥𝑜 + 𝑏. 𝑦𝑜) + t.(- a’.b + b’.a) =
(por ser (x0, y0) una solución )
= c + t.(- a’.b + b’.a) = c + t. (−𝑎
𝑑. 𝑏 +
𝑏
𝑑. 𝑎) = c + 0 = c
---------------
Lema de Bezout: Sean a, b enteros con a > b, y sea d = mcd(a, b).
Afirmamos que existen valores enteros ∝, 𝛽 que satisfacen la
igualdad
𝑎. ∝ + b. 𝛽 = d
Hacemos divisiones sucesivas y tenemos lo siguiente (Es el
llamado algoritmo de Euclides)
a = b.q1 + r1 , r1 < b , entero no negativo
b = r1.q2 + r2 , r2 < r1, entero no negativo
r1 = r2.q3 + r3 , r3 < r2, entero no negativo
Llegará un momento en el que rk = 0. Supongamos es el
siguiente
r2 = r3.q4 + r4 , r4 = 0 (r3 es último resto no
nulo)
Despejo r3 y avanzo de abajo hacia arriba.
r3 = r1 – r2.q3 = r1 – q3.(b – r1.q2) =
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
79
= (a – b.q1) – q3.(b – q2.(a – b.q1) ) =
= (a + q3.q2.a) + (- b.q1 – q3.b – q3.q2.q1.b) =
= a.(1 + q2.q3) + b.(- q1 – q3 - q3.q2.q1)
Haciendo ∝ = 1 + q2.q3, 𝛽 = - q1 - q3 - q3.q2.q1 , tengo
r3 = a. ∝ + b. 𝛽
Afirmamos: El valor r3, último resto no nulo, es divisor de a y
de b.
a = b.q1 + r1 , r1 < b , entero no negativo
b = r1.q2 + r2 , r2 < r1, entero no negativo
r1 = r2.q3 + r3 , r3 < r2, entero no negativo
r2 = r3.q4
Subiendo al tiempo que sustituimos ….
r1 = r3.(q4.q3) + r3 = r3.(1 + q3.q4)
b = r3.(1 + q3.q4) .q2 + r3.q4 = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4] ,
y por tanto r3 es divisor de b.
a = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =
= r3.[ (1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =
= r3. [ …………………………….] , y por tanto r3 es
divisor de a.
Por lo tanto r3 divide a d = mcd(a, b)
r3 = d.(a’’.x + b’’.y) -- > d divide a r3, por tanto d =
r3.
------------
Cuestiones de interés:
1.- Si m divide al producto a.b y es primo con a, entonces
divide a b.
En efecto: Si m divide al producto a.b, entonces, tomando la
descomposición factorial de m, todos los divisores de m lo son
de a.b, pero como es primo con a, esos divisores lo son de b,
porque m es primo con a.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
80
2.- Si d2 divide a (a + b)
2 , entonces d divide a (a + b)
En efecto, Es evidente
3.- Si d divide a a y a b, entonces d divide a (a + b)
En efecto, a = a’.d, b = b’.d -- > a + b = d. (a’ + b’) -- > d
divide a (a + b)
4.- Si a = b.q + r, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r)
En efecto, a = a’.d, b = b’.d -- > d.(a’ – b’.q) = r -- > d
divide a r
Recíproco, sea c = mcd(b, r) -- > b = b’.c, r = r’.c -- > a =
c.(b’ + r’) -- > c divide a a, y por tanto c divide a b y a, y
por tanto c divide al d = mcd(a, b) . Puesto que d y c son el
mayor que divide a b, deben coincidir.
5.- mcd(a2, b
2, a.b) = (mcd(a, b))
2
Sea d = mcd(a, b) -- > d2 divide a a
2, b
2 , a.b -- > d
2 divide a
D = mcd(a2, b
2, a.b)
Por otro lado, D = mcd(a2, b
2, a.b) -- > D divide a (a + b)
2 -- >
D divide a (a + b)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
81
3.5.1.- Ecuación de Segundo grado:
ax2 + bx + c = 0 (1)
Vamos a deducir la fórmula que nos da sus
soluciones, incluidas las no racionales.
Deducción de la fórmula:
Ajustamos para que los términos en x resulten del cuadrado de un
binomio, y que fuera de éste no lleven x.
Multiplico por ‘a’ y obtengo:
a2.x
2 + abx +ac = 0
Multiplico por 4, y obtengo:
4.(ax)2 +4.abx +4.ac = 0
Ahora sumo b2 a los dos miembros, y obtengo:
(2.ax)2 + 4.abx+ b
2 + 4.ac = b
2
Teniendo en cuenta el cuadrado del binomio podemos escribir:
(2.ax + b)2 + 4.ac = b
2 ,
de donde
(2.ax + b)2 = b
2 – 4.ac,
de donde, haciendo raíz cuadrada:
2.ax + b = cab ..42
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
82
x = a
cabb
.2
..42
(2)
Tengamos en cuenta que la raíz cuadrada proporciona dos
valores, uno positivo y otro negativo, que dan lugar a las dos
soluciones.
Cuando el radicando tenga valor negativo el radicando no puede
ser resuelto en R.
Casuística en la ecuación de segundo grado:
Hacemos D = b2 - 4.ac , que llamamos discriminante.
a)Si D > 0, tenemos dos soluciones reales distintas, una al tomar
el + y otra al tomar - .
b)Si D = 0, tenemos dos soluciones reales iguales.
c)Si D < 0, no tenemos solución real.
Soluciones imaginarias (Complejas no reales):
¿Qué hacer cuando D < 0?
Hacemos lo siguiente:
D = -(-D), –D>0, y por tanto el valor √−𝐷 es real.
Por otro lado, teniendo en cuenta que i2 = -1 (Véase números
complejos en el Volumen 1), puedo escribir D = i2.(-D), de modo
que ahora tenemos
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
83
√𝐷 = √𝑖2. (−𝐷) = 𝑖. √−𝐷
y por lo tanto tenemos las siguientes soluciones en C (los
complejos):
x = −𝑏+ √𝐷 . 𝑖
2𝑎 , x =
−𝑏− √𝐷 . 𝑖
2𝑎
que son números complejos conjugados.
3.5.2.- Ecuación de grado 3:
ax3 + bx
2 + cx + d = 0 (cúbica)
Esta ecuación, por ser de grado 3, admite siempre al menos una
solución real.
Con más precisión:
Toda ecuación de grado n impar, admite un número impar de
soluciones reales, ya que las soluciones complejas no reales van
siempre emparejadas: Si c+di es solución, también lo es su
conjugado c-di.
Por tanto, las posibilidades para la cúbica son:
a) Una solución real y un par de soluciones
imaginarias conjugadas entre sí.
b) Tres soluciones reales.
NOTA:
Recordad que el primer paso en la resolución de una ecuación
consiste en extraer sus soluciones racionales (enteras ó
fracciones). Si después de ésto la ecuación residual es de tercer
grado, aplicamos el siguiente Método.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
84
Teniendo en cuenta que un número irracional es “intratable” en la
práctica, si deseamos construir una ecuación cúbica (con
coeficientes racionales, lógicamente) que tenga soluciones
predeterminadas, nuestras únicas opciones son:
a) Que tenga las tres soluciones racionales (enteros ó fracciones).
b) Una racional y dos imaginarias conjugadas
Método:
Resolución de la Ecuación de tercer grado:
ax3 + bx
2 +cx +d = 0
(1)
a)Obtengo la reducida asociada:
Mediante el cambio de variable x = x’ – 𝑏
3𝑎 , obtenemos
x’3 + px’ + q = 0, (2)
que llamamos ‘reducida’ de (1), y donde
p = 3ac – b2
3a2
q = 2b3−9abc +27a2𝑑
27a3
NOTA: Para llegar a lo anterior consúltese el Apéndice 1.
b)Obtengo la ‘resolvente cuadrática’ asociada:
Formamos la siguiente ecuación (llamada resolvente)
y2 + 27q.y – 27p
3 = 0 (4)
donde p y q toman los valores (3)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
85
Sean y1, y2 las soluciones de esta última:
y1 = −27q + √272.𝑞2+4.27.𝑝3
2 =
−27q + √272.4.𝑞2
4+4.272.
𝑝3
27
2 =
= −27.𝑞+27.2.√
𝑞2
4+
𝑝3
27
2 =
27.2.[−𝑞
2+ √
𝑞2
4+
𝑝3
27
2 = 27. [−
𝑞
2 +
√𝑞2
4+
𝑝3
27 ]
y2 = 27. [−𝑞
2− √
𝑞2
4+
𝑝3
27 ]
(5)
Observación: Los valores p, q son racionales, puesto que lo son
a, b, c, d., pero el radicando
𝑞2
4+
𝑝3
27 podría ser negativo, porque puede serlo p y contener la
potencia p3. En este caso los valores y1, y2 son imaginarios. O
bien, si el radicando es positivo, los valores y1, y2 son reales.
Conclusión: Los valores y1, y2 de (5) pueden ser
-Reales
-Complejos imaginarios
c)Tomamos las raíces cúbicas de los valores y1, y2, sean:
Las de y1: z11, z12, z13
Las de y2: z21, z22, z23
Seleccionamos pares z1i, z2j, con la condición de que
z1i*z2j = -3p
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
86
Observa que son posibles precisamente tres pares distintos (C3,2 =
3 )
NOTA: La siguiente afirmación no puede ser justificada en este
momento, ya que requiere Teorías de alto vuelo. Véase Lecciones
de Álgebra de J. Rey Pastor.
Hecho esto, las sumas
x’(i,j) = z1i + z2j
son las soluciones de la reducida (2).
Teniendo en cuenta el cambio de variable realizado para pasar de
(1) a (2), obtenemos las soluciones de (1):
xi = x’(i,j) - 𝑏
3𝑎
3.5.3.- Ecuaciones de grado 4:
ax4 + bx
3 + cx
2 + dx + e = 0 (Cuártica)
Para este tipo de ecuación tenemos estas posibilidades:
a)Puede tener 4 soluciones reales.
b)Puede tener 2 reales y un par de
imaginarias conjugadas.
c)Puede tener 4 soluciones imaginarias (dos
pares de conjugadas).
NOTA:
Recordad que el primer paso en la resolución de una ecuación
consiste en extraer sus soluciones racionales (enteras ó
fracciones). Si después de ésto la ecuación residual es de tercer
grado, aplicamos el siguiente Método.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
87
Método:
Resolución de la Ecuación de cuarto grado
ax4 +bx
3 +cx
2 +dx +e = 0
(1)
a) Forma reducida asociada:
Mediante el cambio de variable x = x’ – 𝑏
4𝑎 , hechos los cálculos
obtenemos la ecuación
x’4 + px’
2 + qx’ + r = 0
(2)
llamada ‘reducida de la cuártica’ (1), donde,
p = −3𝑏2+8𝑐𝑎
8𝑎2
q = 𝑏3−4𝑎𝑏𝑐+8𝑎2𝑑
8𝑎3
r = −3𝑏4+16𝑎𝑏2𝑐−64𝑎2𝑏𝑑+256𝑎3𝑒
256𝑎4
NOTA: Para ver los cálculos que nos lleva a lo anterior
consúltese el Apéndice 1.
b) Obtengo la resolvente cúbica asociada:
Construimos la llamada ‘resolvente cúbica’
y3 + 8p.y
2 + 16(p
2-4r).y – 64q
2 = 0
(3)
Sean y1, y2, y3 las soluciones de (3)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
88
c) Tomo sus raíces cuadradas, que llamamos
y1 -> z11, z12
y2 -> z21, z22
y3 -> z31, z32
Seleccionamos una terna, tomando una de cada grupo
z1i, z2j, z3k,
con la condición
z1i.z2j.z3k = -8q
Llamamos z1, z2, z3 a la terna seleccionada.
NOTA: La siguiente afirmación no puede ser justificada en este
momento, ya que requiere Teorías de alto vuelo. Véase Lecciones
de Álgebra de J. Rey Pastor.
Hecho esto, los siguientes valores:
x1’ = 𝑧1+𝑧2+𝑧3
4 , x2’ =
𝑧1−𝑧2−𝑧3
4
x3’ = −𝑧1+𝑧2−𝑧3
4 , x4’ =
−𝑧1−𝑧2+𝑧3
4
son las soluciones de la resolvente (2).
Teniendo en cuenta el cambio de variable hecho para pasar de (1)
a (2), las soluciones xi de (1) son:
xi = xi’ - 𝑏
4𝑎
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
89
NOTA:
Teniendo en cuenta que un número irracional es “intratable” en la
práctica, si deseamos construir una ecuación de cuarto grado
(coeficientes racionales, lógicamente) cuyas soluciones estén
predeterminadas, nuestras únicas opciones son:
a) Que tenga las cuatro soluciones racionales (enteros ó
fracciones).
b) Dos racionales y dos imaginarias conjugadas.
c) Dos pares de soluciones imaginarias conjugadas entre sí.
3.6.- Ecuaciones de grado > 4
En el Apéndices 4 explicamos el proceso a seguir
para la ecuación general de grado > 4. Se sabe que en general no
es posible obtener un procedimiento para su resolución mediante
radicales siguiendo un proceso análogo a lo que sí podemos hacer
en el caso de la cúbica y la cuártica. En Teoría Matemática
superior se ha demostrado que aquello es imposible en el caso de
una ecuación cualquiera con grado > 4.
Lo que sí podemos hacer ahora es obtener sus raíces reales
mediante separación en intervalos y posteriormente su
aproximación mediante intervalos encajados. Sin embargo, no
será posible obtener su multiplicidad en caso de ser solución
múltiple. El análisis de la multiplicidad nos lleva al estudio de las
derivadas sucesivas de p(x), como función de x. No es posible
obtener las posibles soluciones imaginarias (complejas no reales).
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
90
3.6.1.- Acotación de la raíces reales en un intervalo
Sea p(x) = anxn + … +a1x + a0, p(x) = 0
REGRA de Laguerre:
A) Acotación de las raíces positivas
Supongamos realizada la división p(x):(x-L), con lo cual
tenemos
p(x) = (x-L).C(x) + p(L), donde C(x) es el polinomio cociente y
p(L) es el valor del resto.
Si x = a > L, tenemos p(a) = (a-L).C(a) +p(L).
Podemos concluir:
‘Si p(L) y los coeficientes de C(x) son positivos, entonces
p(a) > 0, y por tanto, imposible que a > L sea solución de p(x) =
0. El valor L es cota superior de las raíces positivas’.
Para obtener la cota inferior: Hacemos x = 1/x’ con lo cual
obtenemos q(x’) con los coeficiente de p(x) pero en orden
inverso. Aplicamos a q(x) el proceso anterior, sea L el valor
obtenido.
Entonces l = 1/L es la cota inferior de las raíces positivas.
Resumen: Las soluciones positivas quedan recluidas en el
intervalo (l, L)
Si en el proceso anterior resultase p(L) = 0, significa que x = L es
solución.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
91
B) Acotación de las raíces negativas
Hacemos en p(x) el cambio x = -x’, con lo cual obtenemos el
polinomio q(x’) cuyos coeficientes son los de p(x) alternando su
signo.
Observa que las ríces de q(x’) = 0 son las ‘opuestas’ de p(x) = 0.
Aplicamos el proceso descrito, supongamos que l y L son las
cotas obtenidas. Entonces, cualquier raíz positiva xk’ de q(x’) = 0
satisface
l < xk’ < L, de donde
-L < -xk’ < -l , siendo xk = -xk’ la
solución de p(x) = 0. Concluimos, por tanto, que
las raíces negativas quedan en (l’, L’), donde hacemos: l’ = -L,
L’ = -l .
Si en el proceso anterior resultase p(L) = 0, significa que x = L es
solución.
Ejemplo: p(x) = 2x4 +4x
3 -59x
2 -61x + 30
Ensayo con valores de L, incrementando … :
Aplicando Ruffini
2 4 -59 -61 30
4 | 8 48
---------------------------
2 12 -
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
92
5 | 10 70 55
---------------------------
2 14 11 -
6 | 12 96 222
----------------------------
2 16 37 161 +
Concluyo que L = 6
Hago x = 1/x’: -> 2 +4x’ -59x’2 -61x’
3 +30x’
4
30 -61 -59 4 2
2 | 60
-----------------------
30 -
3 | 90 87
------------------------
30 29 28 + +
Por tanto l = 3, y tengo (3, 6)
Para las raíces negativas:
p(x) = 2x4 +4x
3 -59x
2 -61x + 30
Hago x = -x’: ->
q(x’) = 2x’4 -4x’
3 -59x’
2 +61x’ +30,
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
93
2 -4 -59 61 30
3 | 6 6
-------------------------
2 2 -
5 | 10 30
--------------------------
2 6 -
6 | 12 48
--------------------------
2 8 -
7 | 14 70
----------------------------
2 10 + + +
Concluyo que L = 7,
En q(x’) = 2x’4 -4x’
3 -59x’
2 +61x’ +30
hago el cambio x’ = 1/z, ->
r(z) = 2 -4z -59z2 +61z
3 +30z
4
30 61 -59 -4 2
4 | 120
---------------------------
30 + + + +
3 | 90
---------------------------
30 151 + + +
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
94
2 | 60
---------------------------
30 + ……………..
1 | 30 91
---------------------------
30 91 32 + +
y por tanto l = 1. Concluyo que las raíces negativas quedan
recluidas en
(-7, -1)
----------------
3.6.2.- Separación de una raíz y su cálculo
aproximado.
En adelante nos referiremos a este Método simplemente como de
‘Aproximación’.
Separación de una solución real, o de un número impar de
soluciones reales, en un intervalo
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
95
Criterio:
Si p(a) y p(b) tienen signo contrario, es decir p(a).p(b)<0, en el
intervalo (a,b) existe un número impar de soluciones reales.
Tomando (a,b) suficientemente ‘pequeño’ que contenga una
solución. Observa que la gráfica , si la tenemos disponible, nos da
mucha información. El algoritmo de aproximación consiste en
continuar reduciendo la amplitud del intervalo (ai,bi) de forma
que la solución que ‘perseguimos’ se mantenga dentro de él. La
amplitud di de estos intervalos puede llegar a ser menos que 1
n ,
donde n lo elegimos ‘grande’ para que di < 1
n sea pequeño.
Cuando se cumpla esta condición finalizaremos el proceso de
reiteración y tomaremos xi = ai+bi
2 como resultado para la
solución perseguida.
El paso de (ai,bi) al siguiente intervalo (a(i+1), b(i+1)) lo
hacemos como sigue.
Tomo mi = ai+bi
2 y considero los dos intervalos (ai,mi), (mi,bi).
Puede ocurrir
p(mi) = 0, en cuyo caso xi = mi es la solución, y terminado. Puede
ocurrir p(ai).p(mi)<0 lo que significa que la solución está en
(ai,mi), y tomo éste como intervalo siguiente; su amplitud es
d(i+1) = di
2 ; habríamos terminado. Si no ha ocurrido ninguno de
los anteriores, seguro que será p(mi).p(bi)<0, y nos quedamos con
el intervalo (mi,bi) como siguiente, con amplitud d(i+1) = di
2 .
NOTA:
Observa cómo obtenemos el punto medio de un intervalo (a,b)
cualquiera: m = a + b−a
2 =
b + a
2 ,
-------------------
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
96
ACTIVIDADES
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x + 5 = 7x – 4
b) 2x2 +3x –9 = 0
c) x2 +6x +13 = 0
d) x2 –4x +13 = 0
Sol.: a) x= 9/4, b) x1= -3, x2= 3/2,
c) x1= -3+2i, x2= -3-2i, d) 2-3i, 2+3i
2.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5.(3𝑥+4)
7+ 1 =
3.(−2𝑥+4)
2
b) 3𝑥−2
5+ 1 =
3
2𝑥+3− 3
c) 𝑥.(𝑥−2)
3= 𝑥. (𝑥 + 1) − 5
Sol.: a) Haz común denominador y quita
denominadores. Resulta x = -5/9
b) Haz común denominador y suprime denominadores.
Queda ecuación de segundo grado. Resulta: x1 = (-15+11)/4 =
-1,
x2 = (-15-11)/4 = -13/2
c) x1 = 2, x2 = -3
3.- a) Genera una ecuación cuyas soluciones sean: x1 = -2,
x2 = 3/2
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
97
b) Genera ecuación cuyas soluciones sean: x1 = -2, x2 =
3/2, x3 = 1
c) Genera ecuación de grado 3 que admita las soluciones
x1 = 1, x2 = 3/2.
En todos los casos los resultados deben ser comprobados
resolviendo la ecuación obtenida.
Sol.: a) 2x2 +x –6 = 0, b) 2x
3 –x
2 –7x + 6 = 0
c) 2x3 –9x
2 +13x –6 = 0
4.- Extrae las soluciones enteras o fraccionarias de las
siguientes ecuaciones:
a) x4 –2x
3 –7x
2 +8x +12 = 0
b) 6x4 –35x
3 +55x
2 –36 = 0
c) x5 –3x
4 –5x
3 +15x
2 +4x –12 = 0
Sol.: a) 3, -1, 2, -2. b) 2, 3, 3/2, -2/3.
c) 3, -1, 2, -2, 1
5.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x3 +x
2 –13x +6 = 0
b) 8x3 +4x
2 –26x +3 = 0
c) 2x3 –19x
2 +106x –123 = 0
d) 2x3 +x
2 –13x + 6 = 0
Sol.: a) 2, -3, 1/2
b) 3/2, 2
52,
2
52
c) 3/2, 4+5i, 4-5i
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
98
d) 2, -3, 1/2
NOTA: Sabemos que toda ecuación de grado 3 con coeficientes
racionales contiene una solución real (que además es racional), y
hemos podido comprobar que las otras dos serán, necesariamente:
a) Las dos racionales
b) Las dos irracionales
c) Las dos complejas (conjugadas)
6.- Resuelve las siguientes ecuaciones de cuarto
grado
a) x4 – 13x
2 + 36 = 0
b) 6x4 +7x
3 –37x
2 –8x +12 = 0
c) 24x4 +52x
3 -6x
2 -17x +2 = 0
d) 6x4 –47x
3 +238x
2 +57x –82 = 0
Sol.: a) –2, 3, 2, -3
b) 2, -3, 1/2, -2/3
c) 1/2, -2/3, (-2+ 5 )/2, (-2- 5 )/2
d) 1/2, -2/3, 4+5i, 4-5i
7.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) Con dos sol. racionales y dos irracionales
b) Con dos sol. racionales y dos complejas
c) Dos sol. irracionales y dos complejas
d) Las cuatro sol. irracionales
4x^2 –6x +7 = 0, x= (3+-sqr(2))/2
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
99
e) Las cuatro sol. complejas
x^2 –2x +5 = 0, 1+2i, 1-2i
Sol.:
8.- Determina un intervalo que contenga las soluciones reales de
la ecuación:
24x5 +76x
4 +46x
3 –23x
2 –15x +2 = 0
Sol.: Sabemos que sus soluciones son: -1, 1/2,
-2/3, −2+√5
2 ,
−2−√5
2
Intervalo obtenido: [−2−√5
2 ;
1
2]
9.- Determina un intervalo que contenga las soluciones reales
positivas, y otro intervalo que contenga las soluciones reales
negativas, de la ecuación:
24x5 +100x
4 +98x
3 –29x
2 –32x +4 = 0
Sol.: Sabemos que sus soluciones son: -2, 1/2,
-2/3, −2+√5
2 ,
−2−√5
2
Intervalos obtenidos: [−2−√5
2 ; −
2
3 ] , [
−2+√5
2 ;
1
2 ]
10.- Genera ecuaciones que admitan las siguientes soluciones:
a) 2’3, 3
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
100
b) 21/10, 3, 2
c) 2, 1, 3/2, 3
d) 3/2, 2 +i, 2 –i
e) 2 +i, 2 –i, dobles
Sol.:
a) 10x2 –53x +69 = 0
b) 10x3 –71x
2 +165x –126 = 0
c) 2x4 –15x
3 +40x
2 –45x +18 = 0
d) 2x3 –11x
2 +22x –15 = 0
e) x4 –8x
3 +26x
2 –40x +25 = 0
11.- Intenta resolver las siguientes de grado 3
a) x3 +16x
2 –25 = 0
b) x3 +16x
2 +1 = 0
Sol.: Al pasar al formato x3 +px + q = 0 resultan coeficientes no
entros.
12.- Resuelve
a) x3 –5x
2 +6x –4 = 0
b) x3 +16x
2 = 0
c) x5 –2x
4 +3x
3 –5x
2 +7x –4 = 0
d) x5 –2x
4 +3x
3 –5x
2 +7x –5 = 0
Sol.:
a) Real: x1 = 3’65
Imag.: z1 = 0’67 + 0’8.i, z2 = 0’67 – 8.i
b) -16, 0, 0
c) 1, -0’509 +1’445.i, -0’509 –1’445.i,
1’008 +0’829.i, 1’008 –0’829.i
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
101
d) Por acotación: Interv. (-1, 6)
Por aproximación: sol. real (1’25, 1’26)
(4 no detectadas)
13.- Resuelve
a) 065
61162
23
xx
xxx
b) 06116
6523
2
xxx
xx
Sol.:
a) Del Nume.: 1, 2, 3. Del deno.: 2, 3
De la ecuación: x = 1
b) De la ecuación: No tiene soluciones.
14.- Resuelve las siguientes y comprueba los resultados:
a) x2 –6x +13 = 0
b) x2 –2x +10 = 0
c) 3x3 –17x
2 +28x –12 = 0
d) 3x4 –12x
3 –3x
2 +48x –36 = 0
Sol.:
a) 3+2i, 3-2i, b) 1+3i, 1-3i,
c) 2, 3, 2/3, d) 2, 3, 1, -2
15.- Resuelve las siguientes y comprueba los resultados:
a) 9x4 –57x
3 +118x
2 –92x +24 = 0
b) x4 –11x
3 +49x
2 –101x +78 = 0
c) x4 –8x
3 +35x
2 –86x +130 = 0
d) x4 –5x
2 +7x –1 = 0
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
102
Sol.:
a) 2, 3, 2/3, 2/3, b) 2,3, 3+2i, 3-2i
c) 3+2i,3-2i, 1+3i, 1-3i, d)
16.- Resuelve
a) 1
3. (6 − 3𝑥) +
1
4. (𝑥 − 1). (𝑥 − 2) =
𝑥2
4
𝑥−3
2−
𝑥−8
12=
5−𝑥
4−
𝑥
3
b) 𝑥−
1
2
3−
𝑥−2
3
4=
2−𝑥
6−
𝑥
2−3
12
𝑥−1
23
4−1
− (𝑥−1).(𝑥+2)
32
3−1
− (𝑥 − 2). (𝑥 − 3) = 1
c)
𝑥− 𝑥−3
1−23
1+ 1+
34
4−53
.7
4=
2
3.𝑥
1− 3+
13
10
,
1−𝑥
1−3
4
. (𝑥 −𝑥+
1
2
1−3
4
) = (4𝑥 − 3). (3𝑥 − 4)
Res.: a) x = 2, x = 25/12
b) x = 2, x = 7/4
c) x= 3 , x = 20/21
-------------
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
103
Problemas:
1.- Me falta 1 euro para poder comprar mi revista preferida, pero
si tuviese el doble del que tengo me sobrarían 2 euros. ¿Cuánto
dinero tengo, y cuál es el precio de la revista?
2.- Determina el número x sabiendo que la suma del cuadrado del
inmediato anterior con el cuadrado del inmediato posterior es 20.
3.- Determina el número x, positivo y par, sabiendo que la suma
de su cuadrado con el cuadrado del inmediato número par que le
sigue nos da 52.
4.- Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a su
equipo. Si el autobús se hubiese llenado habría pagado cada uno
5,11 euros. por el billete, pero al quedar 3 plazas vacías tuvieron
que abonar 5,41 euros. cada uno. ¿Cuántos asientos tiene el
autobús?.
5.- Varios amigos se reparten un premio y les corresponde 9 euros
a cada uno. Si hubieran sido 4 amigos más les habría
correspondido 1,80 euros menos a cada uno. ¿Cuántos amigos
eran?
6.- El producto de un número natural por el que le sigue es 31
unidades mayor que el quíntuplo de la suma de los dos.
Determina el primero de los números.
7.- Tengo un número capicúa de tres cifras(es de la forma aba), en
el que la cifra de las centenas es tres unidades menor que la de las
decenas, y la suma de las tres cifras vale 12. Determina dicho
número.
8.- Al incrementar en 5 m. el lado de un cuadrado su área se
incrementa en 75 m2. Calcula el lado del cuadrado.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
104
9.- Debemos sumar 1 a un número x, restar 4 al mismo x, y
después multiplicar estos dos resultados. Por error, sumamos 4 a
x, restamos 1 a x, y después multiplicamos los dos resultados. Los
dos productos coinciden. ¿Cuál es el número x?
$$$$oOo$$$$
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
105
Tema 4
Ecuaciones con radicales
Inecuaciones
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
106
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
107
4.1.- Ecuaciones con radicales en x
Resolución. Problemas
Son aquellas ecuaciones donde la incógnita x está bajo algún
radical. Lo explicamos con ejemplos.
Ejem.:
x –3 - 72 2 x = -5
Para resolverla hacemos
x +2 = √2x2 + 7
Elevo al cuadrado
x2 +4x +4 = 2x
2+7
Trasponiendo términos
x2-4x+3=0,
cuyas soluciones son x=1, x=3
Este es el camino a seguir en general cuando lleva sólo un radical:
Aislar el radical en un miembro y elevar al cuadrado los dos
miembros.
En general elevamos los dos miembros con un exponente igual al
índice del radical.
Si lleva dos radicales va a exigir repetir lo anterior dos veces,
hasta conseguir que no tenga radical.
Al elevar al cuadrado puede ocurrir que la nueva ecuación admita
alguna solución que no lo es de la primera (Decimos que ‘han
entrado solución extraña’). Por eso, una vez resuelta hemos de
comprobar cuáles de las soluciones obtenidas lo son realmente de
la ecuación dada.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
108
Ejemplo:
1.- x+4 + √2x2 + 17 = 7
Resolviendo obtenemos x=-4, x=-2.
Compruebo: Si x=-4, sustituyo en miembro izquierda
-4+4 + √49 = 7, igual a miembro derecha.
Si x=-2: -2+4 + √25 = 2 +5 = 7, igual miembro derecha.
Las dos son válidas.
2.- 3x+2 + √2x2 + 8x + 1 = 4x+5 (sol.: 2, -4)
Comprobación: x=2, 6+2 + √8 + 16 + 1 = 8 +5=13
En miembro derecha: 4.2 + 5 = 13, sí es válida.
x=-4: -12+2 + √32 − 32 + 1 = −10 + 1 = −9
En miembro derecha: -16+5 = -11, no es válida
3.- √2x + 6 -2x+5 = -x+8 (sol.: -1, -3)
Compruebo: Si x = -1 -> √−2 + 6 + 2 +5 = 9
En miembro derecha: 1+8 = 9, sí es válida.
x = -3 -> √−6 + 6 + 6 +5 = 11
En miembro derecha: 3 +8 = 11, sí es válida.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
109
Ejemplos/Problemas:
1.- Deseo construir un parterre de forma rectangular cuya
superficie sea S = 300 m2. Tengo material para vallar 70 m
(lineales). ¿Qué dimensiones debo dar al parterre?.
Sol.: 2x + 2y = 70
x.y = 300
Resuelve el sistema y comprueba que x = 20 m, y = 15 m es una
solución.
2.- Deseo construir un parterre de forma triángulo equilátero.
Deseo que su superficie sea S = 15,60 m2. ¿Qué medida debemos
dar a los lados del triángulo?.
Sol.: Si x es el lado, la altura del triángulo es √3
2 .x
El área del triángulo es S = 1
2 .x.
√3
2 .x =
√3
4 .x2
Resuelve y comprueba que x = 6 m, salvo algún decimal.
4.2.- Inecuaciones (o desigualdades) en x
Resolución
Lo explicamos con ejemplos.
Son expresiones de la forma
3x+5 < 2x+8
Trasponiendo
x-3 < 0, x < 3
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
110
Son solución todos los reales menores que 3. Es el intervalo
abierto (-oo, +3) de los números reales.
Ejemplo:
1.- 5x-7 <= 12x+20
Operando queda 0 <= 7x + 27, de donde
7x >= -27, x> -27/7
2.- x2 -5x +6 < 0
Resolvemos la igualdad x2-5x+6=0, y obtenemos x=2, x=3
Entonces podemos expresarla en la forma
(x-2).(x-3) < 0
Esta se cumple cuando los factores toman diferente signo: Casos
posibles:
a) {𝑥 − 2 < 0 → 𝑥 < 2 𝑦 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3
𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
b) {𝑥 − 2 > 0 → 𝑥 > 2 𝑦 𝑥 − 3 < 0 → 𝑥 < 3
𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎
Las soluciones son los valores de x que cumplen 2<x<3, o en
forma de intervalo abierto (2,3).
4.3.- Desigualdades en x, y
Lo explicamos con ejemplos.
1.- 2x + 3y – 4 > 0
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
111
Sol.: Despejo la variable y
y > -2/3.x +4/3,
Si en el plano trazamos la recta
y = -2/3.x +4/3,
el conjunto de soluciones se corresponde con el semiplano de los
puntos ‘por encima’ de la recta. Esto es así porque aquella exige
y > -2/3.x + 4/3 , observa la figura
Son los puntos (x1,y1) cuya ordenada y1 es > que la ordenada del
punto de la recta que tiene la misma abscisa x1.
2.- 2x – 3y + 4 > 0
Sol.: 2x + 4 > 3y, y < 2/3.x + 4/3
Dibujamos la recta y = ...
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
112
La solución es el semiplano de los puntos que quedan ‘por
debajo’ de la recta.
3.- Resuelve las siguientes desigualdades
a) 3x +2 > 5x –7
b) 3x –6 < 2. 5x
Sol.: a) 2x < 9 --> x < 9/2
b) Elevo al cuadrado (Si 3x-6>0, y por tanto para
x > 6/3)
9x2 +36 –36x < 4.(x+5), 9x
2 –40x +16 <0
Resuelvo la igualdad: 9x2 –40x +16 = 0
Resulta: x1 = 4, x2 = 4/9
El valor 4/9 no cumple aquella condición.
Nos quedamos con x1 = 4.
Comprobación: 3.4 –6 = 6, 2. 54 = 6
4.- Resuelve la ecuación
223.2)43.(4 xx
Sol.:
16.(9x2 +24x +16) = 4.(3x +22)
12x2 +31x +14 = 0
x1 = -7/12, x2 = -2
Al elevar al cuadrado es posible que se hayan introducido
soluciones extrañas, es decir, soluciones de la de segundo grado
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
113
que no lo son de la dada. Por eso necesitamos hacer
comprobación y quedarnos con la correcta.
Comprobación: x2= -2 -- > 4.(3.(-2)+4) = -8,
-2. 22)2.(3 = -2.4 = -8, Sí es válida x = -2
x1= -7/12 -- > 4.(-7/4 +4)= 9, -2. 224/7 =
-2.9/2 = -9, No es válida x = -7/12
$$$oOo$$$
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
114
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
115
Tema 5
Sistemas de Ecuaciones lineales
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
116
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
117
5.1.- Conceptos básicos
Ecuación en general:
Ecuación en varias variables es aquella en la que intervienen más
de una variables, por ejemplo: x, y, z.
En general
La igualdad R1(x,y,z,...)= R2(x,y,z,...), donde R1, R2 representan
expresiones racionales (fracciones), es una ecuación.
La Ecuación es polinómica si R1 y R2 son polinomios en x, y, z,
...:
p(x,y,z,...) = q(x,y,z,...)
El ‘grado’ de un término es la suma de los grados (los
exponentes) de cada una de las variables que intervienen.
El ‘grado’ de la expresión es el mayor de los grados de sus
términos.
Ecuación lineal:
Una ecuación es lineal si el grado de cada uno de sus dos
miembros es a lo más uno. El grado de cada uno de sus términos
será cero o uno.
Por ejemplo:
a.xyz es de grado 3, a.xy es de grado dos, a.x es de grado uno, y
lo mismo ay, az
Ejemplo:
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
118
Ecuación lineal en varias variables
ax + by + cz + ... = a’x + b’y + c’z + ....
Trasponiendo términos siempre podemos suponer que toma la
forma
ax + by + cz + ... = b1
o bien
ax + by + cz + ... = 0
Cuando buscamos una solución de la ecuación, a las variables
x,y,z las llamamos ‘incógnitas’.
Ecuación lineal:
Son aquellas p(x,y,z) = q(x,y,z), donde los dos miembros son de
grado a lo más uno.
Ecuación lineal, en la variable x, es aquella ecuación polinómica
p(x)=0, donde p(x) es de grado uno.
Ejemplo:
2.(x+2/3)+5x = 3/4 .x -5/2.(2x+8)
El alumno comprobará que llegamos a la igualdad
135.x = -256, x = -256/135
Ecuación No lineal:
En cualquier otro caso, cuando contenga algún término de grado
> uno.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
119
5.2.- Sistema de ecuaciones lineales
Definiciones
Es un conjunto de ecuaciones lineales en una o varias variables:
x, y, z, ...,
Ejemplo:
{
5𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 11−3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −5
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 5
Una solución del sistema es una terna (v1,v2,v3) de valores, uno
para cada variable, tales que al sustituir en el sistema: x por v1, y
por v2, z por v3, se verifican simultáneamente todas las
igualdades que conforman el sistema.
Compruebe el alumno que la terna (1,-2,0) es solución.
En el caso más general representamos las variables mediante x1,
x2, x3, ..., xn, mientras que en los casos habituales y en la
práctica las representamos por x, y, z, t
Ejemplo:
{
𝒂𝟏𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒎. 𝒙𝟏𝒎 = 𝒃𝟏𝒂𝟐𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒎. 𝒙𝟏𝒎 = 𝒃𝟐
… … … … … … … … … … … … … … … … … … .𝒂𝒏𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝒏𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒎. 𝒙𝟏𝒎 = 𝒃𝒏
es un sistema con n ecuaciones y m incógnitas.
Clasificación En el Vol.10, Álgebra Lineal, se demostrará que un sistema lineal
puede ser:
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
120
A)Compatible si admite alguna solución:
a)Con solución única (Determinado)
b)Con infinitas soluciones (indeterminado)
B)Incompatible si no admite solución
Se puede demostrar que cada una de las siguientes
transformaciones del sistema dado nos lleva a nuevo sistema es
equivalente, en el sentido de que tienen el mismo conjunto de
soluciones.
Transformaciones que conducen a un Sistema equivalente:
-Multiplico o divido todos los términos de una ecuación
por un valor a no nulo.
-Sumo una misma expresión a los dos miembros de la
igualdad.
-Sumo o resto miembro a miembro a una de las
ecuaciones, otra de las ecuaciones del sistema.
Observa: Cuando en una ecuación trasponemos un término de un miembro
al otro, en realidad estamos sumando a los dos miembros el
opuesto del citado término.
Ejemplos:
Sea el sistema
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 17−4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = −8
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 9
(1)
Compruebe el alumno que la terna (2,-3,1) es solución.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
121
A)Divido por -2 los dos miembros de la segunda, y
multiplico por 3 los de la tercera. Resulta el sistema
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 172𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 4
3𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 27
(2)
B)Traspongo términos en el sistema (1): A la tercera le sumo la
expresión (2x+4y-3z)
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 17−4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = −8
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + (2x + 4y − 3z) = 9 + (2x + 4y − 3z)
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 17−4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = −8
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = (2x + 4y − 3z) + 9
(3)
El alumno comprobará que aquella terna es solución del nuevo
sistema.
C)Tomo el sistema (2), resultado de la primer transformación. A
la segunda ecuación le sumo miembro a miembro los miembros
de la primera:
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 172𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 + (2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧) = 4
3𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 27+ (17)
{
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 174𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 21
3𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 27
(4)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
122
Compruebe el alumno que aquella terna es solución del nuevo
sistema.
5.3.- Sistemas lineales con dos incógnitas.
Métodos de resolución
Sistema lineal en x, y:
Está formado por dos ecuaciones de primer grado en x,y, tales
como:
{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
(1)
Una solución de (1) es un par de valores (v1,v2) tales que al
sustituir x por v1, e y por v2, se cumplen las dos igualdades.
Resolución
Son tres los métodos que podemos aplicar a este tipo de sistema.
Dado el su interés de lo que sigue para la resolución de sistemas
aconsejamos la máxima atención.
Método de Igualación:
Consiste en despejar una de las dos incógnita de cada una de las
ecuaciones e igualar después las expresiones obtenidas. Tenemos
así una igualdad con una sola incógnita.
Por ejemplo, suponiendo que los dos coeficientes de y, a12 y a22,
son no nulos, despejo ‘y’ de las dos ecuaciones:
y = b1−a11.x
a12
y = b2 – a21.x
a22
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
123
Igualando los dos miembros de la derecha podemos obtener el
valor de x, y después el valor de y.
Observa que si la variable x, ó la variable y, tiene coeficiente
cero, entonces podré despejar el valor de la otra incógnita, y
después el valor de la otra.
Método de Sustitución:
{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
(2)
Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las
ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
Por ejemplo, si a12 no es nulo despejo la variable y:
y = b1−a11.x
a12 ,
y sustituyo esta expresión en la otra ecuación:
a21.x + a22. b1−a11.x
a12 = b2,
de donde obtenemos el valor de x. Después vuelvo a la expresión
de ‘y’ y obtengo su valor.
Método de Reducción (o de Eliminación):
{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
(3)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
124
Consiste en conseguir, mediante trasformaciones,
que una de las ecuaciones tenga sólo una incógnita. Obtenemos el
valor de esta incógnita y después lo sustituimos en la otra
ecuación para obtener el valor de la otra.
Por ejemplo, suponiendo que los coeficientes de x, a11 y a21, son
no nulos, multiplico la primera por a21 y la segunda por a11,
resultando
(a21.a11).x + (a21.a12).y = a21.b1
(a11.a21).x + (a11.a22).y = a11.b2
Restándolas obtengo
(a21.a12 – a11.a22).y = (a21.b1 – a11.b2)
Hemos transformado el sistema (1) para llegar al sistema
siguiente equivalente
{𝑎11. 𝑥 + 𝑎12. 𝑦 = 𝑏1
(a21. a12 – a11. a22). y = (a21. b1 – a11. b2)
El término en x ha sido eliminado. Obtengo el valor de y, y
después obtengo el valor de x.
Otra forma:
En lugar de lo anterior, y con el fin de que sirva de precedente
para cuando tengamos un sistema con tres incógnitas, puede
resultar más cómodo el siguiente proceso (sobre todo si sus
coeficientes son valores elevados).
Partiendo del sistema (3)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
125
{𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2
(3)’
Obtenemos el mcm de a11 y a21, sea m su valor, y hago que el
coeficiente de x, en las dos ecuaciones, sea este valor m, para lo
cual multiplico la primera por el valor k = m:a11, y la segunda
por el valor h = m:a21, que son enteros.
Tenemos así el sistema equivalente
{m. x + b’. y = f1’ m. x + d’. y = f2’
(2)’
Ahora dejamos fija la primera ecuación y sustituimos la segunda
por lo que resulta de hacer la resta: ‘Segunda menos la primera’.
Queda un sistema equivalente al anterior, y por tanto equivalente
al sistema (1)’ dado y que no lleva x en la segunda ecuación:
{m. x + b’. y = f1’ d’’. y = f2’’
Resolvemos y listo.
5.4.- Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
x, y, z
Es un sistema de la forma:
{
𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2
𝑎31 𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
(1)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
126
Una solución es una terna de valores: (v1, v2, v3) tales que al
sustituir: x=v1, y=v2, z=v3, se verifican simultáneamente las tres
igualdades.
Resolución
No es aplicable el método de igualación.
METODO de Sustitución: (Despeje y sustitución)
Como en el caso de dos variables, consiste en despejar una
incógnita de una de las ecuaciones y llevar esa expresión a las
otras dos.
Después de hacer arreglos llegamos a un sistema de dos
ecuaciones y con dos incógnitas al que aplicamos alguno de los
métodos estudiados, entre ellos repetir otra vez el método de
sustitución.
Ejemplo:
{
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 − 𝑧 = 4
𝑥 + 𝑦 = 6 − 𝑧
Sol.: Despejo x de la primera: x = y + z
y sustituyo en las otras dos:
2(y+z) –z =4
(y+z)+y = 6-z
2y +z =4
2y +2z=6
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
127
Despejo z de la primera: z = 4-2y, y lo llevo a la segunda: 2y
+2(4-2y) = 6, -2y +8 = 6,
-2y = -2, y = 1
A partir de aquí: z = 4 -2, z = 2,
x = 1 +2, x = 3
METODO de Reducción o Eliminación (llamado también de
Gauss):
Sea el sistema
{
𝑎11 𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2
𝑎31 𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
(1)
Cada una de las ecuaciones contendrá al menos dos términos
(miembro izquierda) no nulos. De lo contrario se reduciría
fácilmente a un sistema con dos ecuaciones con dos incógnitas.
Suponemos que los coeficientes de la tercera: a31, a32 y a33 son
no nulos, y que a21 de la segunda también es no nulo. Así
eliminaremos la x de la segunda y la tercera.
Si interesase podríamos cambiar de orden en su colocación dentro
del sistema y eliminar otra incógnita.
Multiplico la segunda por el valor a31 y la tercera por el valor
a21, resultando:
a11x +
a12y + a13z = b1
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
128
(a21.a31)x + (a22.a31)y + (a23.a31)z = b2.a31
(a31.a21)x + (a32.a21)y + (a33.a21)z = b3.a21
Restamos de la tercera la segunda y el resultado reemplaza a la
tercera, resultando el sistema equivalente (la primera y segunda
siguen sin modificar):
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a32’y + a33’z = b3’
Hemos sustituido la tercera por ella misma menos la segunda,
miembro a miembro.
Después aplicamos el mismo proceso anterior con la primera y
segunda para eliminar la x de la segunda ecuación.
Multiplico la primera por a21 y la segunda por a11
Después de esto tengo el sistema equivalente (la primera sigue
igual):
{
a11x + a12y + a13z = b1 a22’y + a23’z = b2’ a32’y + a33’z = b3’
(2)
Resolvemos el sistema formado por la segunda y tercera. Los
valores obtenidos los llevamos a la primera y obtengo el valor de
x.
Aquí podríamos dar por terminada la explicación, sin embargo
continuamos para obtener el Sistema escalonado de Gauss.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
129
Continuamos:
Aplicamos el proceso anterior a las ecuaciones
segunda y tercera para eliminar la incógnita ‘y’
de la tercera.
Multiplico la segunda por a32’ y la tercera por a22’, tengo
a11x + a12y + a13z = b1
(a32’.a22’)y + (a32’.a23’)z = a32’.b2’
(a22’.a32’)y + (a22’.a33’)z = a22’.b3’
De la tercera resto la segunda y el resultado reemplaza a la
tercera, resultando el sistema equivalente (la primera continúa
igual):
{a11x + a12y + a13z = b1 a22’y + a23’z = b2’
a33’′z = b3’′
(3)
Lo llamamos ‘Sistema escalonado o de Gauss’ (Método de
Gauss).
De aquí obtengo el valor de z. Este valor lo llevo a la segunda y
de ésta despejo el valor de y. Llevo estos dos valores a la primera
y de ésta despejo el valor de x. El sistema está resuelto.
NOTA: Si lo deseamos podemos operar teniendo en cuenta el mcm de a31
y a21, y seguir como vimos en el caso de dos ecuaciones.
Después hacer lo mismos tomando el mcm de a21 y a11, y
después lo mismo tomando el mcm de a32 y a22.
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Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
130
Ejemplos/Problemas
0.-
El alumno debe resolver el siguiente sistema por los dos métodos
explicados, y comprobar la solución dada:
{
3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 13−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 52𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −6
(Sol.: 2, -1, 3)
1.- Compramos naranjas y kiwis en día consecutivos de modo que
los precios no han variado. El primer día compro 2 kg de naranjas
y 5 kg de kiwis, y he abonado 12’10 euros; el segundo día he
comprado 3 kg de naranjas y 4 kg de kiwis, y he abonado 10’80
euros. Determina el precio de cada uno.
Sol.: 2x + 5y = 12’10
3x + 4y = 10,80
Resuelve y comprueba que
x = 0,80 e/kg, y = 2,10 e/kg
2.- Compramos naranjas, aguacates y uvas, en días consecutivos y
que no han cambiado los precios.
Primero: 3 de naranjas, 1 kg aguacate, 2 de uvas
He abonado 14 e.
Segundo: 1 de naranjas, 2 kg de aguacates, 3 de uvas
He abonado 20 e.
Tercero: 2 de naranjas, 4 de aguacates, 5 de uvas
He abonado 37 e.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
131
Sol.: 3x + y + 2z = 14
x +2y +3z = 20
2x +4y +5z = 37
Resuelve y comprueba que x = 1 e/kg, y = 5 e/kg, z = 3 e/kg
3.- Prepara y resuelve los siguientes sistemas:
a)
435
23
53
43
yx
yx
b)
63
53
5
12
83
2
4
53
yx
yx
4.- Resuelve por despeje y sustitución:
a)
162
242
yx
yx b)
92
022 yx
yx
5.- Resuelve: (Inténtalo por tanteo, y después aplica despeje y
sustitución)
a)
0
2
yx
yx b)
5
2522
yx
yx
6.- Resuelve:
a)
62
42
53
z
zy
zyx
b)
zyx
zx
zyx
6
42
0
7.- Resuelva el sistema
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
132
yx
yx
7134
1935
Sol.: x = 2, y = -3
8.- Resuelve el sistema
1453
1954
1432
zyx
zyx
zyx
Sol.: x=2, y=-3, z=1
9.- Resuelve el sistema
54
1453
1954
1432
zyx
zyx
zyx
zyx
Sol.: x=2, y=-3, z=1
10.- Resolver el sistema
64
1453
1954
1432
zyx
zyx
zyx
zyx
Sol.: Es incompatible
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
133
5.5.- Sistemas de 4 ecuaciones con 4 incógnitas
En lo que sigue pretendemos una introducción inteligible a los
sistemas de 4 ecuaciones con 4 incógnitas.
En el Vol.10, Álgebra Lineal, se estudiarán los sistemas en
general, aplicando además el estudio de Matrices y los
Determinantes.
SISTEMA en x,y,z,t: Cuatro Ecuaciones y cuatro incógnitas
Es un sistema de la forma:
{
a11x + a12y + a13z + a14t = b1a21x + a22y + a23z + a24t = b2a31x + a32y + a33z + a34t = b3a41x + a42y + a43z + a44t = b4
(1)
Una solución es una cuaterna de valores: (v1, v2, v3, v4) tales que
al sustituir: x=v1, y=v2, z=v3, t=v4 se verifican simultáneamente
las cuatro igualdades.
Métodos de resolución:
Son los mismos explicados para los sistemas de tres ecuaciones
con tres incógnitas.
Por el método de Gauss llegamos siempre a un sistema
escalonado (o triangular), cuya resolución, a partir de ahí, se
consigue operando ‘en cascada’.
Llegaremos a un Sistema Triangular, del tipo
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
134
a11x + a12y + a13z + a14t = b1
a22'y + a23'z + a24't = b2'
a33’z + a34't = b3’
a44't = b4’
(2)
donde mantenemos la primer ecuación del sistema dado.
De aquí despejo el valor de t. Este valor lo llevo a la tercera y de
ésta despejo el valor de z. Llevo estos dos valores a la segunda y
de ésta despejo el valor de y. Llevo estos tres valores a la primera
y de ella obtengo el valor x.
Ejemplo:
{
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 3𝑡 = 3−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 2𝑡 = 53𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 = −10
4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 3𝑡 = −14
Sol.: Método de Eliminación (o reducción, o triangulación, o en
cascada, son idénticos)
Si tengo una ecuación con primer coeficiente 1, ésta la sitúo en
cabecera. Observa detenidamente lo que hacemos.
{
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 3𝑡 = 3
3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 𝑡 = −104𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 3𝑡 = −14
-> {
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13
5𝑦 + 7𝑧 + 7𝑡 = 510𝑦 + 9𝑧 + 11𝑡 = 6
He hecho: 2ª -> 2ª -2.1ª, 3ª -> 3ª -3.1ª,
4ª -> 4ª -4.1ª
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
135
Si de entre 2ª , 3ª y 4ª tengo una con primer coeficiente 1, ésta la
sitúo como segunda, y con ella repetiré lo anterior con tercera y
cuarta.
{
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13
5𝑦 + 7𝑧 + 7𝑡 = 510𝑦 + 9𝑧 + 11𝑡 = 6
-> {
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13
−28𝑧 + 2𝑡 = −60−61𝑧 + 𝑡 = −124
->
Entre tercera y cuarta intercambio la posición entre z y t, y repito
lo anterior (¡prestar mucha atención!):
{
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 132𝑡 − 28𝑧 = −60𝑡 − 61𝑧 = −124
-> {
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13𝑡 − 61𝑧 = −1242𝑡 − 28𝑧 = −60
->
{
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 2𝑡 = −5 𝑦 + 7𝑧 + 𝑡 = 13
𝑡 − 61𝑧 = −124 94𝑧 = 188
-> z = 2,
t= -124+122 = -2, y = 13-14-(-2) = 1,
x = -5+2+6-4 = -1
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Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
136
Problemas:
1.- Dos números suman 51. Si el primero lo divido entre 3 y el
segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1. Determina los
dos números.
2.- El cociente de una división (entre dos números) es 3 y el resto
es 5. Si el divisor disminuye en dos unidades el cociente aumenta
en uno y el nuevo resto es uno. Determina dividendo y divisor.
3.- Divide 473 en dos partes de modo que al dividir la mayor por
la menor resulte cociente 7 y resto 9.
4.- Halla las edades de dos personas sabiendo que: “hace 10 años
la edad de la primera era 4 veces la de la segunda, y dentro de 20
será sólo el doble”.
5.- Hemos mezclado dos líquidos cuyas densidades son 0’7 y 1’3,
obteniendo 30 litros de densidad 0’9. ¿Cuántos litros hemos
tomado de cada uno?
6.- Un barco que transporta pasajeros por un río, se traslada desde
A hasta B en 3 h., mientras que desde B hasta A tarda 5 h. La
distancia entre A y B es de 75 kms.
Determina la velocidad media de la corriente.
7.- Las dos cifras de un número suman 8. Si al número le
sumamos 18, el resultado coincide con el que resulta de invertir
las cifras del primero.
Determina el citado número.
8.- Un orfebre dispone de dos lingotes. El lingote A contiene 550
grs de oro y 60 grs de cobre, el lingote B contiene 400 grs de oro
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
137
y 100 grs de cobre. Desea preparar un lingotes de 640 grs y cuya
ley sea 0’825. ¿Qué cantidad debe tomar de cada uno?
9.- Un padre le dice a su hijo: “hoy tu edad es 1/5 de la mía, y
hace 7 años no era más que 1/9. Determina sus edades.
10.- Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus
lomos pesados sacos. Se lamentaba el caballo, y el mulo le dijo:
“si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya, pero
si yo te cediera un saco nuestras cargas serían iguales”. ¿Cuántos
sacos lleba cada uno?
11.- En una librería se han vendido 84 libros de dos tipos
diferentes: unos a 70 e. y otros a 60 e., obteniendo por ello un
total de 5340 euros. Como no recuerda cuántos vendió de cada
tipo y necesita saberlo, ¿Cómo lo resolverá?.
12.- Tengo dos número x, y. El primero dividido entre 3, y el
segundo dividido entre 6, sus cocientes se diferencian en uno.
Además sabemos que su suma es 51. Determina estos dos
números.
13.- Luis compra en la librería 2 bolígrafos y 3 lápices por 1,30
euros. Su compañero Pedro compra en la misma librería 4 lápices
y 3 bolígrafos por 1,80 euros.
a)Plantea el sistema que lo interpreta
b)Determina el precio de cada uno
14.- Las edades de cuatro hermanos forman progresión aritmética
y su suma es 50 años. la edad del mayor es 4 veces la del menor.
Determina sus edades.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
138
15.- Los cuatro ángulos de un cuadrilátero forman progresión
aritmética y el menor mide 30º. Determina los cuatro ángulos.
16.- En una fiesta juvenil hay chicos y chicas. Al cabo de un rato
15 chicas abandonan la fiesta, razón por la que quedan 2 chicos
por cada chica. Después 45 chicos se van, razón por la que
quedan 5 chicas por cada chico.
¿Cuántos chicos y chicas había inicialmente en la fiesta?
17.- en una fiesta el número de mujeres es doble que el de
hombres, y el número de niños es triple de la suma de mujeres y
hombres juntos. Sabemos que el número total de asistentes es 156
personas. ¿Cuántos niños, mujeres y hombres asistieron?
18.- Una clienta ha comprado un lámpara y una figura de
cerámica por 60 euros. Sabemos que si en la figura le hubieran
hecho el 20 % de descuento y en la lámpara el 30 %, habría
abonado sólo 45,50 euros.
¿Cuál es el precio de cada objeto?
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Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
139
Más PROBLEMAS Resueltos o semi-resueltos:
1.- Resuelve
a)Descomponer el número 133 en dos partes tales que al
divider la mayor por la menos nos de cociente 4 y resto 8
b)Determina dos números enteros consecutivos tales que
la diferencia entre la tercera parte del mayor y la séptima parte del
menor sea un quinto del menor.
c)En un corral hay gallinas y conejos. A uno de los
conejos le falta una pata. ¿Cuántas gallinas y conejos hay si el
número de cabezas es 53 y el número de patas 175?
Res.: a) Partes 108, 25. b) 35, 36.
c) 35 conejos, 18 gallinas
2.- Resuelve
a)Halla un número de dos cifras sabiendo que sus cifras
suman 10 y que el doble de dicho número supera en uno al
número que se obtiene invirtiendo sus cifras.
b)La edad del padre es ‘a’ y la del hijo ‘b’. ¿Dentro de
cuántos años la edad del padre será m veces la del hijo?
c)Si a los dos miembros de 79
121 le sumamos el mismo
número, obtenemos un fracción equivalente a la obtenida si
hacemos lo mismo en la fracción 7
13 . Determina el valor que
sumamos.
Res.: a) 37, b) x = 𝑚.𝑏−𝑎
1−𝑚 , c) x = 5
3.- Resuelve
a)Determina los ángulos de un triángulo sabiendo que
uno es la mitad de otro, y que el tercero es un cuarto de la suma
de los dos primeros.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
140
b)En un triángulo rectángulo un cateto es 5
13 de la
hipotenusa, y el otro cateto mide 48 cm. Calcula su perímetro y su
área.
c)Los radios de dos circunferencias concéntricas se
diferencian en 24 cm, y uno es 5
7 del otro. Calcula el área de la
corona circular.
Res.: a) 48, 96, 36, b) Lados: 20, 48, 52,
c) Radios: R = 84, r = 60, Área = 3456.π cm2
4.- Resuelve
a)El perímetro de un trapecio isósceles mide 196 m, y
cada lado oblicuo mide 34 m. Sabemos que una de las bases es 3
5
de la otra. Calcula el área del trapecio.
b)Un trapecio isósceles está inscrito en una
circunferencia. Sabemos que la base menor es un cuarto de la
mayor, y que su perímetro es 96 m. Determina sus lados y su
área.
c) En un triángulo rectángulo la proyección de uno de los
catetos sobre la hipotenusa mide 54 cm, y la suma de la altura
más la proyección sobre la hipotenusa del otro cateto es 60 cm.
Determina esta segunda proyección.
Res.: a) Bases: 48, 80, Área = 1920 m2
b) Lados: 38,4 ; 24 ; 24; 9,6 m., Área = ….(Su altura es el
diámetro de la circunferencia)
c)Llama x a la altura, (60-x).54 = x2 --> x = 36,
proy. = 24
5.- Resuelve
a)Calcula el valor de k para que el número complejo z =
(3-k) -2.(k+3).i tenga su afijo en
-Bisectriz del primer cuadrante
-Bisectriz del segundo cuadrante
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
141
-Bisectriz del tercer cuadrante
-Bisectriz del cuarto cuadrante
b)Dado el cociente 3−2𝑘.𝑖
4−3.𝑖 , determina el valor de k para
que el cociente sea
-Un número real
-Imaginario puro
c)
Res.: a) k = -9, k = -1, k = -9, k = -1
b) k = 9/8, k = -2
6.- Resuelve
a) (𝑥−1).(𝑥+1)
2−
𝑥−5
6=
2.(𝑥+1)
3
1
2𝑥−5𝑎 +
5
2𝑥−𝑎 =
2
𝑎
b) Determina el valor de k que hace que
3x2 – 8x – 3k = 0 tenga las dos
soluciones iguales.
c)Determina el valor de k en la ecuación
x2 -30x + k = 0, para que una solución
sea cuádruple de la otra.
Res.: a) x1 = 2, x2 = -1/3 ;
x1 = 3a , x2 = 3𝑎
2
b) k = -16/9 ; c) k = 144
7.- Resuelve
a)Determina la expresión de una ecuación de segundo
grado sabiendo que la media aritmética de sus soluciones es -5, y
que su media proporcional es 4.
b) x4 -
5
4. 𝑥2 +
1
4= 0, x
4 –(a
2+b
2)x
2 +a
2.b
2 = 0
c) √𝑥 + 4 = 3 -√𝑥 − 1 ;
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
142
2.√2𝑥 − 1 = √6𝑥 − 5 + √2𝑥 − 9
Res.: a) -5 = 𝑥1+𝑥2
2, 4 = √𝑥1. 𝑥2 , --> x
2+10x+16=0;
b) 1, -1, ½, -1/2 ; x1 = a, x2 = -a, x3 = b, x4 = -b
c) x = 13
9 , x1 = 4, x2 = 1 (sol. extraña)
8.- Resuelve
a)Dos grifos tardan los dos juntos dos horas en llenar un
depósito. Por separado sabemos que uno tarda 3 h. más que el
otro en llenarlo. ¿Cuánto tarda cada uno por separado en llenar el
grifo?
b)El padre tenía 25 años cuando nació su hijo. La media
geométrica de sus edades supera en 10 la edad del hijo. Determina
sus edades actuales.
c)Un ciclista hace un recorrido de 150 km. Llegaría a su
destino 2 horas y media antes si su velocidad media fuese de 5 km
más por hora. Calcula el tiempo que tarda en hacer su recorrido.
Res.: a) 3 h., 6 h. b) 20 años, 45 años
c) 7 horas y media.
9.- Resuelve
a)Un barquero sube por un río 1800 m. En la bajada la
corriente le permite incrementar su velocidad 100 m por minuto
respecto de la de subida, de modo que emplea 9 minutos menos
que en la subida. ¿Qué tiempo emplea en la subida y en la bajada?
b)Halla tres números impares consecutivos tales que la
suma de sus cuadrados sea 5051.
c)Tengo tres segmentos que miden: 8, 22, 24 cms. Si les
sumo una misma longitud resulta un triángulo rectángulo. ¿Qué
medida he añadido?
Res.: a) Subida: 18 min, bajada: 9 min.
b) 39, 41, 43; c) 2 cm.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
143
10.- La densidad de la leche pura (de un determinado animal-
vaca) es de 1,03 kgs/l. El contenido neto de un depósito de 8 litros
pesa 8,150 kgs. ¿Qué cantidad de agua contiene?
Sol.: 3 litros de agua
11.- Mezclamos dos líquidos hasta obtener 6 litros, y cuya
densidad sea 1,10 kgs/l. Sabemos que la densidad de cada uno de
los líquidos es 0,7 kgs/l., 1,30 kgs/l. ¿Qué volumen hemos de
tomar de cada uno?
Sol.: 2 litros del primero, 4 litros del segundo
12.- Determina los términos de la proporción 𝑥
𝑦 =
𝑧
𝑡 sabiendo
que la diferencia entre los extremos x-t = 7, la diferencia entre los
medios z-y = 3, y la suma de los cuadrados de los cuatro términos
es 130.
Sol.: Resuelve el sistema {
𝑥 − 𝑡 = 7𝑧 − 𝑦 = 3
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑡2 = 130
Obtendrás cuatro posibles: x =-2, y=-6, z=-3, t=-9;
x =-2, y=3, z=6, t=-9; x =9, y=-6, z=-3, t=2;
x=9, y=-6, z=-3, t=2; x =9, y=-3, z=-6, t=2
que se corresponden con el hecho que de −2
−6=
−3
−9 se obtienen
otras tres intercambiando extremos entre sí, ó medios entre sí, ó
las dos cosas:
−9
−6=
−3
−2 ,
−2
−3=
−6
−9 ,
−9
−3=
−6
−2
donde además podemos cambiar sus signos de forma adecuada.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
144
13.- En un rectángulo si se aumenta la base en 5 y se
disminuye la altura en 5 el área no varía. Si se aumenta la base en
5 y la altura se disminuye en 4 el área aumenta en 4. Determina
sus dimensiones.
Sol.: {(𝑥 + 5). (𝑦 − 5) = 𝑥. 𝑦
(𝑥 + 5). (𝑦 − 4) = 𝑥. 𝑦 + 4 -> x = 4, y = 4;
x = -1, y = 4 no válidas
14.- Los lados paralelos de un trapecio miden 15 y 36 cms., y
los lados no paralelos miden 13 y 20 cms. Calcula la altura del
trapecio.
Sol.: Observa la figura: x2 + y
2 = 20
2
x2 + (36-15-y)
2 = 13
2
Resuelve: {𝑥2 + 𝑦2 = 400
𝑥2 + (21 − 𝑦)2 = 169 -> y = 16, x = 12
15.- La suma de los radios de dos círculos es r1+r2=70 cms., y
la suma de sus áreas coincide con el área de un tercer círculo de
radio R=50 cms. Determina el radio de los dos primeros.
Sol.: Observa la figura:
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
145
Resuelve: {𝑥 + 𝑦 = 70
𝑝𝑖. 𝑥2 + 𝑝𝑖. 𝑦2 = 𝑝𝑖. 502 -> x =40, y =30
16.- Determina el valor de los catetos de un triángulo
rectángulo cuya altura sobre la hipotenusa mide 12 cms y su área
es de 150 cms2
Sol.: Observa la figura: Expreso el área de dos formas: 150 =
1/2.(x.y) -> x.y = 300
150 = 1/2.(a.h) -> a = 300/12 = 25
Resuelve: {𝑥. 𝑦 = 300
𝑥2 + 𝑦2 = 252 -> x = 20, y = 15
17.- La altura de un triángulo rectángulo mide 6 cms., y las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa difiere entre sí 9
cms. Resuelve el triángulo (Calcular sus dimensiones)
Sol.: Observa la figura
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
146
{𝑥 = 𝑦 + 9
(𝑦 + 9). 𝑦 = 36 -> y = 3, x = 12, a = 15
b2 = 15.12 -> b = 6.√5 ,
c2 = 15.3 -> c = 3.√5
$$$oOo$$$
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
147
Tema 6
Sistemas No lineales
Sistemas de inecuaciones
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
148
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
149
6.1.- Sistemas No lineales
Son aquellos sistemas, con dos o más ecuaciones, donde alguna
de ellas no es lineal.
Veremos algunos ejemplos
Ejemplos:
1.- Resuelve
953
72
xyx
yx
Sol.: y= 7 –2x, sqr(x+ 3.(7-2x)) +5x = 9
sqr(21-5x) = 9-5x Elevo al cuadrado
21-5x = 81 + 25.x2 –90x
0= 25x2 –85x +60, 5x
2 –17x +12 = 0
x = 5.2
12.5.41717 2 =
10
4917,
x = 12/5, x = 1
Análisis/Comprobación:
x = 1, y = 5, Sustituyo en la segunda: √16 +5 = 4 +5 = 9, Sí es
válida.
x = 12/5, y = 7 -24/5 = 11/5
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
150
Sustituyo en la segunda: √12
5+
33
5 + 12 = √
45
5 + 12 = = √9 +12 =
3 +9 = 15, y vemos que este par de valores No es solución del
sistema.
2.- Resuelve
{𝑥2 + 2𝑦 = 10
2𝑥 − 3𝑦 = −13
Sol.: y =(10-x2)/2,
2x-3.(10-x2)/2 =-13, 4x -30 +3x
2 =-26,
3x2 +4x -4 =0,
Resolverá el alumno para obtener:
x =4/6, x = -12/6 =-2
Tomo x =-2, obtengo: y =(10-4)/2, y =3
Pruebo con el valor x =2/3, obtengo: y =(10-4/9)/2 =(90-4)/18
=86/18, y =43/9
Sustituimos en el sistema para comprobar si son o no válidas:
4/9 +2.43/9 = (4+86)/9 = 90/9 = 10,
2.2/3-3.43/9 = (12-129)/9 = -117/9 = -13
Concluyo que x = 6/9, y = 43/9 es sol. válida.
x = -2, y = 3; Compruebo: 4 +6 = 10, -4 -9 = -13, y vemos que
también es válida.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
151
NOTA: Es posible la ‘entrada’ de soluciones extrañas cuando
teniendo algún radical, en el proceso de resolución ‘elevo al
cuadrado’ para que aquel desaparezca.
6.2.- Sistema de Inecuaciones
Nos limitamos al caso de dos inecuaciones con dos incógnitas.
Ejemplos:
1.- Resuelve
623
532
yx
yx
yx
y
2
36
3
5 -2x
Sol.:
Represento las rectas
2/3.x -5/3 < y
-3/2.x +3 > y
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
152
r: y= 2/3.x –5/3
s: y= -3/2.x + 3
2.- Resuelve
{3𝑥 + 2𝑦 > 8
−2𝑥 + 3𝑦 < 6
y > -3/2.x + 4,
y < 2/3.x + 2,
y =-3/2.x +4
y = 2/3.x + 2
3.- Resuelve el sistema
32
8322 yx
yx
Sol.: Despejo y = (2x-8)/3, sustituyendo y operando resulta: x =
1, y = -2
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
153
4.- Resuelve el sistema de desigualdades
832
223
yx
yx
Sol.:
{2𝑦 < −3𝑥 − 2
2𝑥 + 8 > 3𝑦 , {
𝑦 < −3𝑥−2
2
2𝑥+8
3> 𝑦
Paso a representar los semiplanos determinados por cada una de
las desigualdades, para lo cual represento las rectas
3/8.3/2
1.2/3
xy
xy
La solución viene representada por la región del plano común a
los dos semiplanos.
-------------
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
154
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
155
PROBLEMAS Resueltos o semi-resueltos:
SISTEMAS:
1.- Resuelve algebraicamente y gráficamente
a) {𝑦 − 2𝑥 = 82𝑥 + 𝑦 = 0
b) {3𝑥 − 4𝑦 = −9
2𝑥 + 𝑦 = 5
Sol.: a) y = 8+2x, 2x +(8+2x) = 0, 4x = -8,
x = -2, y = 4
b) y = 5-2x, 3x -4.(5-2x) = -9, 11x = 11,
x = 1, y = 3
Gráficamente:
2.- Resuelve
a) {
3
𝑥−1− 𝑦 =
𝑥.(3−𝑦)
𝑥−1
2
𝑦−1+ 𝑥 =
𝑥.𝑦
𝑦−1
, b) {3𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦−
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦=
𝑥−4𝑥𝑦+1−𝑦
𝑥2−𝑦2
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
156
Sol.: a) x = 2, y = 3; b) x = 1, y = 2
3.- Resuelve
a) {𝑥2 + 𝑦2 = 290
𝑥 + 𝑦 = 24 , b) {
𝑥2 + 3𝑥𝑦 = 22𝑥 + 𝑦 = 5
c){−2𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 16 = 0 ,
d) {2(𝑥 + 2𝑦)2 − (2𝑥 + 𝑦)2 = −14
𝑥 − 𝑦 = 5
Sol.: a) (x=13; y=11), (x=11; y=13)
b) (x=2; y=3), (x=11/2; y=-1/2)
c)(x=-3; y=-5), (x=1; y=3)
d) (x=7; y=2), (x=3; y=-2)
INECUACIONES:
4.- Resuelve y representa
a) 2.(x+3) > 3.(x+2)
b) 𝑥−1
4−
𝑥+2
3>
3𝑥−1
6− 𝑥
c) (x-3)2 –(x+2)
2 < 5
Res.: a) x < 0 ; b) x > 9/5 ; c) x > 0
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
157
5.- Resuelve y representa
a) x2 –x -6 > 0
b) x2 -6x +9 >= 0
Res.: a) x2 –x -6 = 0 --> x1 = -2, x2 = 3
Sol.: (x < -2)∪(x > 3)
b) x2 -6x +9 = 0 --> x1 = 3 doble
Sol.: (-∞; +∞)
6.- Resuelve y representa
a) (x-1).(x2 -4x +3) > 0
b) (x2 -1).(x
2 +1) <= 0
Res.: a) (x-1).(x2 -4x +3) = 0 -->
x = 1 doble, x = 3
Factores: (x-1)2.(x-3) > 0
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
158
Sol: x > 3
b) (x2 -1).(x
2 +1) = 0 --> x = +-1,
x2+1=0 sin solución real.
Sol: -1 <= x <= 1
7.- Resuelve
a) 𝑥2−1
𝑥+3≥ 0,
b) 1
𝑥−3>
2
𝑥+3
Res.: a) 𝑥2−1
𝑥+3≥ 0 puede darse de dos formas:
{𝑥2 − 1 ≥ 0𝑥 + 3 > 0
ó {𝑥2 − 1 ≤ 0𝑥 + 3 < 0
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
159
{(𝑥 + 1). (𝑥 − 1) ≥ 0
𝑥 + 3 > 0 , exige
{[(𝑥 + 1) ≥ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≥ 0] ó [(𝑥 + 1) ≤ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≤ 0]
𝑥 + 3 > 0
de donde
{[𝑥 ≥ −1 𝑦 𝑥 ≥ 1] ó [𝑥 ≤ −1 𝑦 𝑥 ≤ 1]
𝑥 + 3 > 0 -> {
𝑥 ≥ 1𝑥 > −3
ó
{𝑥 < −1𝑥 > −3
-> (x >= 1) ó (-3 < x <= -1)
Por otro lado
{(𝑥 + 1). (𝑥 − 1) ≤ 0
𝑥 + 3 < 0 , exige
{[(𝑥 + 1) ≤ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≥ 0] ó [(𝑥 + 1) ≥ 0 𝑦 (𝑥 − 1) ≤ 0]
𝑥 + 3 < 0
de donde
{[𝑥 ≤ −1 𝑦 𝑥 ≥ 1] ó [𝑥 ≥ −1 𝑦 𝑥 ≤ 1]
𝑥 < −3 ->
{−1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥 < −3 imposible
sol: (−3 < 𝑥 ≤ −1) ∪ (𝑥 ≥ 1)
b) 1
𝑥−3>
2
𝑥+3 ->
1
𝑥−3−
2
𝑥+3> 0 ->
−𝑥+9
(𝑥−3).(𝑥+3)> 0, que
se puede dar de dos formas
{−𝑥 + 9 > 0
(𝑥 − 3). (𝑥 + 3) > 0 ó {
−𝑥 + 9 < 0(𝑥 − 3). (𝑥 + 3) < 0
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
160
{−𝑥 + 9 > 0
[(𝑥 − 3) > 0 𝑦 (𝑥 + 3) > 0] ó [(𝑥 − 3) < 0 𝑦 (𝑥 + 3) < 0] ,
{9 > 𝑥
[𝑥 > 3 𝑦 𝑥 > −3] ó [𝑥 < 3 𝑦 𝑥 < −3] , de donde
{𝑥 < 9𝑥 > 3
-> 3 < x < 9, ó {𝑥 < 9
𝑥 < −3 -> x < -3
Sol: (x < -3) ó (3 < x < 9)
8.- Resuelve
{2𝑥2 − 5𝑥 + 1 > 0𝑥2 − 6𝑥 + 9 > 0
Sol.: Resuelvo 2x2 -5x +1 = 0; x =
5+√17
4 ,
x = 5−√17
4
Resuelvo x2 -6x + 9 = 0; x = 3 doble
Hecho esto {2𝑥2 − 5𝑥 + 1 > 0𝑥2 − 6𝑥 + 9 > 0
equivale a
{2. (𝑥 −
5+√17
4) . (𝑥 −
5−√17
4) > 0
(𝑥 − 3)2 > 0 ->
{[𝑥 >
5 + √17
4 𝑦 𝑥 >
5 − √17
4] ó [𝑥 <
5 + √17
4 𝑦 𝑥 <
5 − √17
4 ]
(𝑥 − 3)2 > 0
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
161
sol: {𝑥 >5+√17
4 ó 𝑥 <
5−√17
4 , ya que
(𝑥 − 3)2 > 0 se cumple siempre.
$$$oOo$$$
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
162
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
163
Tema 7
Descomposición de una Fracción en Suma de Fracciones
simples
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
164
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
165
7.0.- Introducción
El Tema que vamos a tratar tiene su importancia en los Métodos
de integración. Cuando se plantea Integrar una función racional P(x)
Q(x) , si esta puede ser descompuesta como suma de fracciones del
tipo
A
x−a ,
A
(x−a)2 , Mx+N
x2+mx+n ,
Mx+N
(x2+mx+n)k ,
bastará integrar cada una de estas fracciones ‘simples’. Estas se
integran fácilmente y la Integración quedaría resuelta.
Son tres los métodos o técnicas conocidas para obtener la
descomposición de una fracción 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) como suma de fracciones de
los tipos
𝑨
(𝒙−𝒂),
𝑨
(𝒙−𝒂)𝒌 , 𝑴𝒙+𝑵
(𝒙𝟐+𝟐𝒂.𝒙+(𝒂𝟐+𝒃𝟐)) , ….
Llamamos ‘fracción simple’ a las fracciones de la forma A
(x−a)𝑘 ,
donde A es un valor real y k depende de la multiplicidad de la
solución x = a
Para distinguir estos dos métodos los llamaremos:
-Método débil: El más simple para el alumno
-Método fuerte
-Método aplicando la derivación
Sea p(x)
q(x) ; si gr(p) >= gr(q) hacemos la división y tenemos
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
166
p(x)
q(x) = c(x) +
r(x)
q(x)
Por tanto, podemos suponer que gr(p) < gr(q).
Podemos suponer que q(x) tiene coeficientes enteros y primer
coeficiente uno, ya que en caso contrario haríamos lo siguiente:
-Si algún coeficiente es fracción, multiplicando por el
mcm de los denominadores de estos coeficientes conseguimos
que todos sean enteros.
-Si el primer coeficiente es m <> 1, tendríamos
q(x) = m.(x-a1).(x-a2)…(x-ak) = m.q’(x)
donde q’(x)=(x-a1).(x-a2)…, y entonces
p(x)
q(x) =
1
𝑚.
𝑝(𝑥)
𝑞′(𝑥) ,
y obtendríamos la descomposición de p(x)
q′(x)
Por todo lo dicho, podemos suponer que q(x) tiene primer
coeficiente uno.
7.1.- Descomposición por el Método débil
7.1.1.- Soluciones reales simples
Supongamos que q(x) es de grado 3, con primer coeficiente 1, y
que los valores a, b, c son las soluciones de q(x) = 0, distintas
entre sí. Su descomposición factorial es
q(x)= (x-a).(x-b).(x-c)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
167
Afirmamos que existen constantes A, B, C tales que
p(x)
q(x) =
A
x−a +
B
x−b +
C
x−c
Para obtener A, B, C operamos como sigue.
Multiplico los dos miembros por q(x) y obtengo
p(x) =
= A.(x-b).(x-c)+ B.(x-a).(x-c)+ C.(x-a).(x-b)
Hago x = a, -> p(a)= A.(a-b).(a-c), de donde obtengo
A = p(a)
(a−b).(a−c)
Hago x = b, -> p(b)= B.(b-a).(b-c), de donde obtengo
B = p(b)
(b−a).(b−c)
Hago x = c, -> p(c)= C.(c-a).(c-b), de donde obtengo
C = p(c)
(c−a).(c−b)
Procederíamos del mismo modo en el caso de que
q(x) sea de grado n y tenga n soluciones racionales distintas.
Ejemplo: p(x)
q(x) donde p(x) = 4x
2 + 5x – 1,
q(x) = x3 – 7x + 6
Sol.: Comprueba que los valores 1, 2, -3 son soluciones de
x3 – 7x + 6 = 0
y que p(x)
q(x) = −
2
x−1 + +
5
x−2 + +
1
x+3
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
168
7.1.2.- Soluciones reales simples y múltiples
Sea q(x) de grado 4, y q(x) = 0 tiene las soluciones x = a triple, x
= b simple:
q(x) = (x-a)3.(x-b)
Planteamos
p(x)
q(x) =
A3
(x−a)3 + A2
(x−a)2 + A1
x−a +
B
𝑥−𝑏
Multiplico por q(x)
p(x) =
= A3.(x-b) +A2.(x-a).(x-b) +A1.(x-a)2.(x-b)+
+B.(x-a)3
x = a -- p(a) =A3.(a-b) -- A3 = p(a)
a−b
x = b -- p(b) = B.(b-a)3 -- B =
p(b)
(b−a)3
Para obtener A2 y A1 tengo que dar a x otros dos valores
diferentes a las soluciones de q(x) = 0.
x = k1 - Llamando M = A3.(k1-b), N =B.(k1-a)3
p(k1) = M + A2.(k1-a)(k1-b)+A1.(k1-a)2.(k1-b) + N
x = k2 - Llamando M’ = A3.(k2-b),
N’ = B.(k2-a)3
p(k2) = M’+ A2.(k2-a).(k2-b)+A1.(k2-a)2.(k2-b) + N’
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
169
Sistema
{(𝑘1 − 𝑎). (𝑘1 − 𝑏). 𝐴2 + (𝑘1 − 𝑎)2. (𝑘1 − 𝑏). 𝐴1 = −(𝑀 + 𝑁)
(𝑘2 − 𝑎). (𝑘2 − 𝑏). 𝐴2 + (𝑘2 − 𝑎)2. (𝑘2 − 𝑏). 𝐴1 = −(𝑀′ + 𝑁′)
Resolviendo obtengo los valores A1, A2
De forma análoga en otras situaciones.
7.1.3.- Soluciones complejas simples
Sabemos que si q(x) = 0 tiene la solución z = a+ib también lo es
z’ = a-ib.
Al plantear la suma de términos de la forma
A/(x-z) + B/(x-z’)
sumando estas tengo
𝐴.(𝑥−𝑧′) +𝐵.(𝑥−𝑧)
(𝑥−𝑧).(𝑥−𝑧′) =
(𝐴+𝐵).𝑥+(−𝐴.𝑧′−𝐵.𝑧)
𝑥2−(𝑧+𝑧′).𝑥+(𝑎2+𝑏2) =
𝑀.𝑥+𝑁
𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2)
Supongamos que q(x) = 0, tiene dos pares de soluciones simples
(gr(q) = 4):
a+bi, a-bi, c+di, c-di
p(x)
q(x) =
M1.x+N1
x2−2a.x +(a2+b2) +
M2.x+N1
x2−2c.x +(c2+d2)
Multiplicando por
q(x) =(x^2 -2a.x +(a2 +b
2)).(x
2- 2c.x +(c
2+d
2))
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
170
tengo
p(x) = (M1.x +N1).(x2- 2c.x +(c
2+d
2) +
+ (M2.x +N2).(x2 -2a.x +(a
2+b
2))
o bien
p(x) = (M1.x+N1).[x-(c+di)].[x-(c-di)] + …..
x = a+bi -- P(a+bi) =
=[M1.(a+bi) +N1].[(a+bi)-(c+di)].[(a+bi)-(c-di)]
p(a+bi) = ((M1.a +N1)+(M1.b)i).(a’+b’i).(c’+d’i)
Al igualar partes reales por un lado y partes imaginarias por otro
obtenemos un Sistema con dos igualdades, de donde obtengo M1,
N1.
Del mismo modo haciendo x = c+di nos permitirá obtener M2 y
N2.
Ejemplo:
Supongamos q(x) de grado 4, y sus soluciones simples:
2+i, 2-i, 3+2i, 3-2i,
p(x) = 2x2 -3x +5
p(x)
Q(x) =
M1.x+N1
x2−4x+5 +
M2.x+N2
x2−6x+13 ,
Hago x = 2+i, y tengo:
p(2+i) = 2.(2+i)2 -3.(2+i) +5 =
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
171
= 2.(3+4i) –(6+3i) +5 = 5 +5i
(M1.(2+i)+N1).[(2+i)2 -6.(2+i) +13)] =
[(2.M1+N1)+M1.i].[(3+4i) –(12+6i) +13)] =
[(2.M1+N1)+M1.i].(4 -2i) = [4.(2.M1+N1)+2.M1]+
+ i.[-2.(2.M1+N1)+4.M1],
Tenemos las igualdades
5 = 10.M1 +4.N1
5 = -2.N1
de donde: N1 = -5/2, 5 = 10.M1 -10,
M1 = 15/10 = 3/2
Hago x = 3+2i, y tengo
p(3+2i) = 2.(3+2i)2 -3.(3+2i) + 5 =
= 2.(5+12i) –(9+6i) +5 = 6 + 18i
(M2.(3+2i) +N2).[(3+2i)2 -4.(3+2i)+ 5] =
= [(3.M2+N2) +2.M2i].[(5+12i)-(12+8i)+5] =
= [(3.M2+N2) +2.M2i].(-2 +4i) =
= [-2.(3.M2+N2) -8.M2] + i.[4.(3.M2+N2)-4.M2],
Igualando tengo
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
172
6 = -14.M2 -2.N2
18 = 8.M2 +4.N2
12 = -28.M2 -4.N2
18 = 8.M2 +4.N2
Las sumo 30 = -20.M2, M2 = -3/2
18 = 8.(-3/2) +4.N2, 30 = 4.N2, N2 = 15/2
Resumen:
p(x)
Q(x) =
3
2 .𝑥+
−5
2
(𝑥2−4𝑥+5)+
−3
2.𝑥+
15
2
(𝑥2−6𝑥+13)
7.1.4.- Soluciones complejas simples y múltiples
Sólo una solución compleja múltiple
Supongamos que z = a+bi y z’ = a-bi son las únicas soluciones
pero dobles
q(x) = (x2 -2a.x +(a
2+b
2))
2
p(x) = x2 -3x +4
p(x)
Q(x) = (M1.x+N1)/(x
2 -2a.x +(a
2+b
2))
2 +
+ (M2.x+N2)/( x2 -2a.x +(a
2+b
2))
Multiplico por q(x)
p(x) =
= (M1.x +N1) + (M2.x +N2).( x2 -2a.x +(a
2+b
2))
Hago x = z:
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
173
p(z) =
=(M1.z+N1) +(M2.z+N2).(z^2-2a.z +(a^2+b^2)) =
= M1.z +N1, ya que el factor
(z2-2a.z +(a
2+b
2)) se anula.
p(a+bi) = M1.(a+bi) +N1
Igualando parte real y parte imaginaria obtengo M1, N1.
Tomo otro valor diferente de z y de z’.
Hago x = z1 = c +di ; el valor M1.z1 +N1 puede ser calculado,
sea m +ni el resultado.
Tengo p(z1) = (m+ni) +(M2.(c+di) +N2).
.((c+di)2 –2a.(c+di) +(a
2+b
2))
p(c+di) =
= (m +ni) +[(c.M2+N2)+d.M2.i].[c2-d
2 +2cd.i
–(2ac + 2ad.i) +(a2+b
2)],
Continuando e igualando parte real y parte imaginaria llegaríamos
a un sistema con las dos incógnitas M2, N2 que resolveremos.
Ejemplos:
a) Soluciones z y su conjugado z’, dobles
q(x) = (x-z)2.(x-z’)
2 donde z = 2-3i, z’= 2+3i
p(x) = 2x +5
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
174
Sol.:
(x-z).(x-z’) = x2 –(z+z’).x +z.z’ = x
2 -4.x + 13
p(x)/q(x) = (M1.x +N1)/(x2 -4x +13)
2 +
+ (M2.x +N2)/(x2-4x +13)
p(x) = (M1.x +N1) + (M2.x +N2).(x2 -4x +13)
Hago x = z = 2-3i:
p(z) = M1.z + N1 , (ya que z2 -4z +13 = 0 )
p(2-3i) = 2.(2-3i) +5 = 9-6i
M1.(2-3i) +N1 = (2.M1+N1) -3.M1.i ; igualando
9 = 2.M1 + N1
-6= -3.M1 , M1 = 2, N1 = 5
Otro valor, Hago x = 1+i:
p(1+i) = 2.(1+i) +5 = 7 +2i ,
( sabemos que M1 = 2,N1 = 5)
(2.(1+i) +5) +(M2.(1+i) +N2).((1+i)2 - 4.(1+i) +13),
(7 +2i) + [(M2+N2) +M2.i].[2i -4 -4i +13],
(7 +2i) + [(M2+N2) +M2.i].[9 -2i] =
=(7 +2i) +[9.(M2+N2) +2.M2] +i.[9.M2 -2.(M2+N2)]
Igualando parte real y parte imaginaria
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
175
7 = 7 +11.M2 +9.N2
2 = 2 +7.M2 -2.N2
11.M2 +9.N2 = 0
7.M2 -2.N2 = 0 ;
Multiplico la primer por 2, la segunda por 9
22.M2 + 18.N2 = 0
63.M2 -18.N2 = 0 , 85.M2 = 0, M2 = 0, N2 = 0
Queda p(x)
q(x) =
2𝑥+5
(𝑥2−4𝑥+13)2 , (como la de partida)
b) Otro caso igual: Soluciones z y su conjugada z’ dobles
p(x) = 2x2 -5x +4
q(x) = x4 -8x
3 +42x
2 -104x +169
q(x) = 0 -- z1 = 2+3i, z1’ = 2-3i, dobles
(x-z).(x-z’) = x2 -4x +13,
q(x) = (x2 -4x +13)
2
p(x)
q(x) =
M1.x +N1
( x2 −4x +13)2 +
M2.x +N2
x2 −4x +13
p(x) = (M1.x +N1) +(M2.x +N2).( x2 -4x +13)
Hago x = 2+3i:
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
176
p(2+3i) = 2.(-5+12i) –(10+15i) +4 = -16 +9i
(M1.(2+3i)+N1) = (2M1 +N1) +3.M1.i
-16 = 2.M1 +N1
9 = 3.M1 , M1 = 3, N1 = -22
Otro valor, hago x = 1+i:
p(1+i) = 2.(2i) -5.(1+i) +4 = -1 –i
[3.(1+i)-22] +[M2.(1+i)+N2].[2i -4.(1+i) +13] =
= [-19+3i] + [(M2+N2)+M2.i].[9 -2i] =
= [-19+3i] + [9.(M2+N2)+2.M2] +
+ i.[9.M2 -2.(M2+N2)],
Igualando
-1 = -19 +11.M2 +9.N2
-1 = 3 +7.M2 -2.N2 ,
18 = 11.M2 +9.N2
-4 = 7.M2 -2.N2
Multiplico por 2 y por 9
36 = 22.M2 +18.N2
-36= 63.M2 -18.N2, 0 = 85.M2, M2 = 0,
18 = 9.N2 - N2 = 2
Resultado: p(x)
q(x) =
3𝑥−22
(𝑥2−4𝑥+13)2 + 2
(𝑥2−4𝑥+13)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
177
NOTA: Este mismo resultado se obtuvo mediante la Aplicación
asociada al Vol.2)
7.1.5.- Caso de no descomponer totalmente en el
cuerpo Q de los racionales
Esta situación viene provocada por lo siguiente.
La descomposición factorial de q(x) se realiza habitualmente
obteniendo las soluciones racionales de q(x) = 0. No interesa
obtener las soluciones No racionales (Veremos más adelante el
caso de soluciones complejas no reales).
Dicho esto, al descomponer Q(x) en el cuerpo de los racionales
(Q,+,.), puede ocurrir que la posible descomposición quede así:
q(x) = (x-a1)k …(x-b)...(x-c).n(x), donde
n(x) es un factor ‘residual’ que no admite raíces racionales.
Pudiera tenerlas complejas pero ahora no lo tendremos en cuenta.
Planteamos como antes (caso de soluciones simples)
p(x)
q(x) =
A
x−a +
B
x−b +
C
x−c
Multiplico por q(x)
p(x) = A.(x-b).(x.c).n(x) + B.(x-a).
.(x-c).n(x) + C.(x-a).(x-b).n(x) ;
x = a -- p(a) = A.(a-b).(a-c).n(a), de donde
A = 𝑝(𝑎)
(𝑎−𝑏).(𝑎−𝑐).𝑛(𝑎)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
178
y del mismo modo B y C
Conclusión:
En el caso de soluciones reales simples y múltiples no ofrece
ninguna dificultad añadida a lo que acabamos de ver.
Veremos casos concretos en Actividades resueltas que siguen.
7.1.6.- Casos resueltos de los tipos anteriores:
NOTA sobre la notación: El lector observará algunas deficiencias
en la notación. Pido disculpas.
1.- Sólo soluciones reales simples y polinomio
residual n(x) = x2 -3
p(x) = 4x2 +5x -1
q(x) = (x-1).(x-2).(x+3).(x2-3)
Sol.: Observa que x2 -3 = 0 no tiene solución en los racionales (
Cuerpo Q(+,.))
Planteamos
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = A/(x-1) +B/(x-2)+C/(x+3)+(mx+n)/(x
2-3)
p(x) = A.(x-2).(x+3).(x2-3) + B.(x-1).(x+3).
.(x2-3) + C.(x-1).(x-2).(x
2-3) +(mx+n).
.(x-1).(x-2).(x+3)
Doy valores a x
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
179
x = 1: p(1) = A.(-1).4.(-2),
8 = 8.A, A = 1
x = 2: p(2) = 25
25 = B.1.5.1, B = 5
x = -3: p(-3) = 20
20 = C.(-4).(-5).6, 20 = 120.C, C=6
Doy otros dos valores para obtener m, n
x = 0: p(0) = -1
-1 = 1.(-2).3.(-3) +5.(-1).3.(-3) +6.(-1).(-2).(-3) + n.(-1).(-2).3
-1 = 18 +45 -36 + 6.n, n = -28/6 = -14/3
x = -1: p(-1) = -2
-2 = 1.(-3).2.(-2) + 5.(-2).2.(-2) +6.(-2).(-3).(-2) +
+ (-m + n).(-2).(-3).2
-2 = 12 +40 -72 + 12.(-m -14/3)
2.- Sea el caso de soluciones reales, y no descompone
totalmente
p(x) = 5x2 -4x + 2
q(x) = (x-2)2.(x+3).(2x
2+1)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
180
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = A2/(x-2)
2 +A1/(x-2) +B/(x+3) +(mx+n)/(2x
2+1)
p(x) = A2.(x+3).(2x2+1) +A1.(x-2).(x+3).(2x
2+1) +
+ B.(x-2)2.(2x
2+1) +(mx+n).(x-2)
2.(x+3)
Hago x = 2: p(2) = 20-8+2 = 14
p(2) = A2.5.9 - A2 = 14/45
Hago x = -3: p(-3) = 45+12+2 = 59
p(-3) = B.25.19 -- B = 59/475
Otros valores: Hago x = 0: p(0) = 2
p(2) = 14/45.3.1 + A1.(-2).3.1 +59/475.4.1 + n.4.3,
p(2) = 42/45 -6.A1 + 236/475 + 12.n
2 = (42/45 + 236/475) -6.A1 +12.n (1)
Hago x = 1: p(1) = 3
p(1) = 14/45.4.3 + A1.(-1).4.3 +59/475.1.3 + (m+n).1.4,
p(1) = 168/45 -12.A1 + 177/475 + 4.(m+n)
3 = (168/45 +177/475) -12.A1 +4m + 4n (2)
A2.(x+3).(2x2+1) +A1.(x-2).(x+3).(2x
2+1) +
+ B.(x-2)2.(2x
2+1) +(mx+n).(x-2)
2.(x+3)
Hago x = -1: p(-1) = 5 +4 +2 = 11
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
181
p(-1) = 14/45.2.3 + A1.(-3).2.3 + 59/475.9.3 +
+ (-m+n).9.2,
p(-1) = 84/45 -18.A1 +1593/475 +18.(-m+n)
11 = (84/45 +1593/475) -18.A1 -18m +18n (3)
Reuniendo (1), (2), (3) tengo sistema de donde obtengo A1, m, n
3.- Soluciones reales múltiples
p(x) = 2x2 -5x +4
q(x) =x5 -4x
4 +x
3 +10x
2 -4x -8
Sol.: q(x) = 0 -- -1 doble, 2 triple
F(x) = −11
27.
1
(𝑥+1)2 −2
27.
1
(𝑥+1)+
2
9.
1
(𝑥−2)3 +5
27.
1
(𝑥−2)2 +2
27.
1
(𝑥−2)
4.- Soluciones simples y múltiples
F(x) = 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
p(x) = x2 -3x +4
q(x) = x4 –x
3 -7x
2 +13x -6
Sol.: q(x) = 0 --- -3 simple, 1 doble, 2 simple
F(x) = −11
40.
1
(𝑥+3)+
2
5 .
1
(𝑥−1)2 −1
8.
1
(𝑥−1)
-----------
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
182
7.2.- Descomposición por el Método fuerte
7.2.1.- Soluciones reales simples
Sea 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) , q(x) con coeficientes enteros y primer coeficiente
uno.
Supongamos que las soluciones de q(x) = 0 son
a1, a2, a3
(Para comenzar es suficiente tener una solución, sea a1)
Tomo una raíz de q(x) = 0, sea x = a1.
Hago q1(x) = q(x):(x-a1), q(x) = (x-a1).q1(x)
Al iniciar este proceso hago fact = 1, S1(x) = p(x)
Planteo 𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A1’/(x-a1) + p1(x)/q1(x)
Multiplico por q(x)
S1(x) = A1’.q1(x) + p1(x).(x-a1)
x = a1: S1(a1) = A1’.q1(a1),
A1’ = S1(a1)/q1(a1)
Obtengo p1(x)
p1(x) = [S1(x) – S1(a1)/q1(a1).q1(x)]:(x-a1)
p1(x) = 1/q1(a1).[q1(a1).S1(x) – S1(a1).q1(x)]:(x-a1) =
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
183
= 1/q1(a).S1(x), donde hemos redefinido S1(x)
haciendo
S1(x) = [q1(a1).S1(x) – S1(a1).q1(x)]:(x-a1),
Este polinomio S1(x) tiene sus coeficientes enteros.
Ahora A1 = 1/fact.A1’
Hago fact = fact.q1(a1)
Tengo
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = A1/(x-a1) + 1/fact.S1(x)/q1(x)
Continuamos descomponiendo S1(x)/q1(x)
Tomo otra raíz de q(x) = 0, que lo será de
q1(x) = 0, sea x = a2
Hago q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-a2)
Planteo
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A2’/(x-a2) + p1(x)/q1(x)
S1(x) = A2’.q1(x) + p1(x).(x-a2)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
184
A2’ = S1(a2)/q1(a2)
Obtengo p1(x)
p1(x) = 1/q1(a2).[q1(a2).S1(x) –S1(a2).q1(x)]:(x-b)
p1(x) = 1/q1(a2).S1(x), donde he redefinido
S1(x) haciendo
S1(x) = [q1(a2).S1(x)–S1(a2).q1(x)]:(x-b)
Valor de A2 = 1/fact.A2’
Hago fact = fact.q1(a2)
Tengo como resultado intermedio
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = A1/(x-a1) + A2/(x-a2) + 1/fact.S1(x)/q1(x)
Si gr(q1(x)) = 1, esto significa que hemos terminado y sólo queda
ver cómo queda el término
1/fact.S1(x)/q1(x), que debe quedar, según nuestro
supuesto, de la forma
A3/(x-a3)
En otro caso continuamos
Tomo otra solución de q(x) = 0, que lo será de
q1(x) = 0. Sea ak
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
185
Hago
q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-ak)
Planteo 𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = Ak’/(x-ak) + p1(x)/q1(x)
y seguimos como antes.
Ejemplo:
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) donde p(x) = 4x
2 + 5x – 1,
q(x) = x3 – 7x + 6
Sol.: Comprueba que los valores 1, 2, -3 son soluciones de
x3 – 7x + 6 = 0
q(x) = (x-1).(x-2).(x+3)
fact = 1, S1(x) = p(x) = 4x2 + 5x – 1
q1(x) = q(x):(x-1)
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A1’/(x-1) + p1(x)/q1(x)
S1(x) = A1’.q1(x) + p1(x).(x-1)
x = 1: A1’ = S1(1)/q1(1)
S1(1) = 8, q1(1) = - 4, A1’ = -2
Obtengo p1(x):
p1(x) =
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
186
=1/q1(1).[q1(1).(4x2+5x–1)-S1(1).(x
2+x-6)]:(x-1)
p1(x) = 1/q1(1).[(-16x2-20x+4)-(8x
2+8x-48)]:(x-1)
p1(x) = 1/q1(1).[-24x2-28x+52]:(x-1) =
= 1/q1(1).(-24x2-28x+52):(x-1) =
= 1/q1(1).[-24x -52] = 1/q1(1).S1(x),
donde S1(x) = -24x-52
A1 = 1/fact.A1’ = -2,
Hago fact = fact.q1(1),
Tengo 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = -2/(x-1) + 1/fact.S1(x)/q1(x)
Resultado: -2/(x-1) + 5/(x-2) + 1/(x+3)
Continúo:
Hago q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-2)
Planteo
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A2’/(x-2) + p1(x)/q1(x)
S1(x) = A2’.q1(x) + p1(x).(x-2)
x = 2: A2’ = S1(2)/q1(2)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
187
S1(2) = -100, q1(2) = 5, A2’ = -20
Obtengo p1(x)
p1(x) = 1/q1(2).[q1(2).S1(x)-S1(2).q1(x)]:(x-2)
p1(x) = 1/q1(2).[5.(-24x-52) + 100.(x+3)]:(x-2)
p1(x) = 1/q1(2).[-20x + 40]:(x-2) =
= 1/q1(2).(-20) = 1/q1(2).S1(x),
donde S1(x) = -20
A2 = 1/fact.A2’ = -1/4.(-20) = 5
Hago fact = fact.q1(2) = (-4).5 = -20
Tengo 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = -2/(x-1) + 5/(x-2) + 1/fact.
𝑆1(𝑥)
𝑞1(𝑥)
Teniendo en cuenta que gr(q1(x)) = 1, esto significa que hemos
terminado, siendo
1/fact.S1(x) = -1/20.(-20) = 1, q1(x) = x+3
y por tanto
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = -2/(x-1) + 5/(x-2) + 1/(x+3)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
188
7.2.2.- Caso de raíces reales simples y
múltiples
Sea 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) , para las raíces simples de q(x) = 0 procedemos del
mismo modo que en el apartado anterior.
A) Supongamos que la solución x = ai tiene multiplicidad 2
El valor de fact depende de resultados al tratar las raíces a1, a2,
….
Del mismo modo S1(x) es la expresión resultante al final de tratar
las citadas raíces, lo mismo podemos decir de q1(x).
Hacemos q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x-ai)2
Planteo
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = Ai2’/(x-ai)
2 + p1(x)/[(x-ai).q1(x)]
Multiplico por q(x)
S1(x) = Ai2’.q1(x) + p1(x).(x-ai)
Ai2’ = S1(ai)/q1(ai)
Obtengo p1(x)
p1(x) =
= 1/q1(ai).[q1(ai).S1(x) – S1(ai).q1(x)]:(x-ai)
p1(x) = 1/q1(ai).S1(x), donde hemos redefinido
S1(x) = [q1(ai).S1(x) – S1(ai).q1(x)]:(x-ai)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
189
Ahora Ai2 = 1/fact.Ai2’, Hago fact = act.q1(ai)
Resultado intermedio
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = ….. + Ai2/(x-ai)
2 +
+ 1/fact.S1(x)/[(x-ai).q1(x)]
Continúo descomponiendo S1(x)/[(x-ai).q1(x)]
Hago q(x) = (x-ai).q1(x), q1(x) = q(x):(x-ai) = q1(x) anterior.
(Observa: q1(x) continúan sin modificación mientras tratamos la
raíz ai).
Planteo
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = Ai1’/(x-ai) + p1(x)/q1(x),
multiplico por q(x)
S1(x) = Ai1’.q1(x) + p1(x).(x-ai)
S1(ai) = Ai1’.q1(ai) , Ai1’ = S1(ai)/q1(ai)
Obtengo p1(x)
p1(x) = 1/q1(ai).[q1(ai).S1(x) –S1(ai).q1(x)]:(x-ai)
p1(x) = 1/q1(ai).S1(x), donde hemos redefinido
S1(x) = [q1(ai).S1(x) – S1(ai).q1(x)]:(x-ai)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
190
Ahora Ai1 = 1/fact.Ai1’,
Hago fact = fact.q1(ai)
Resultado intermedio
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = … + Ai2/(x-ai)
2 + Ai1/(x-ai) +
+ 1/fact.S1(x)/q1(x)
B) Supongamos una raíz aj de q(x) = 0, que será raíz de
q1(x) = 0, y que tenga multiplicidad k
(k representa al valor mj = multiplicidad de aj)
Hago q(x) = q1(x), donde q1(x) es el actual, es decir, el que
resultó al finalizar con la raíz tratada anteriormente.
Hago después q1(x) = q(x):(x-aj)k ,
(q(x)=q1(x).(x-aj)k )
Esta expresión de q1(x) continúa sin cambio mientras tratamos
esta raíz aj.
Planteo
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = Ajk’/(x-aj)
k + p1(x)/[(x-aj)
k-1.q1(x)
Al multiplicar por q(x)
S1(x) = Ajk’.q1(x) + p1(x).(x-aj)
En algún paso posterior llegaremos a
q(x) = (x-aj)h.q1(x), q1(x) no cambia
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
191
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = Ajh’/(x-aj)
h + p1(x)/(x-aj)
h-1.q1(x)
y al multiplicar por q(x)
S1(x) = Ajh’.q1(x) + p1(x).(x-aj)
S1(aj) = Ajh’.q1(aj), Ajh’ = S1(aj)/q1(aj)
Obtener p1(x) y continuar …..
Ejemplo:
Un caso de soluciones reales múltiples
Sean p(x) = 2x2 -5x +4
q(x) = x5 -4x
4 +x
3 +10x
2 -4x -8
Sabemos que q(x) = (x+1)2.(x-2)
3
Sol.:
Tomo q1(x) = q(x):(x+1)2 = (x-2)
3 ,
(fact =1) S1(x) = p(x)
Planteo
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A12’/(x+1)
2 + p1(x)/[(x+1).q1(x)]
Multiplico por q(x) y tengo
S1(x) = A12’.q1(x) + p1(x).(x+1)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
192
S1(-1) = A12’.q1(-1),
A12’ = S1(-1)/q1(-1) = -11/27
Obtengo p1(x):
p1(x) = 1/q1(-1).[q1(-1).S1(x) –S1(-1).q1(x)]:(x+1)
p1(x) = 1/q1(-1).[-27.(2x2 -5x +4) -
–11.(x3-6x
2+12x-8)]:(x+1)
p1(x) = 1/q1(-1).[-11x3 +12x
2 +3x -20]:(x+1) =
= 1/q1(-1).(-11x2 +23x-20)= 1/q1(-1).S1(x),
donde he redefinido: S1(x) = -11x2 +23x -20
Ahora A12 = 1/fact.A12’ = -11/27
Hago fact = fact.q1(-1)
Tengo el resultado intermedio:
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) =
−11/27
(𝑥+1)2 + 1/fact.S1(x)/[(x+1).q1(x)]
Continúo
q(x) = (x+1).q1(x), q1(x) = q(x):(x+1),
con lo que q1(x) queda invariante.
Planteo 𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A11’/(x+1) + p1(x)/q1(x)
S1(x) = A11’.q1(x) +p1(x).(x+1)
S1(-1) = A11’.q1(-1),
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
193
A11’ = S1(-1)/q1(-1)= (-54)/(-27) = 54/27
p1(x) = 1/q1(-1).[q1(-1).S1(x) -S1(-1).q1(x)]:(x+1)
p1(x) = 1/q1(-1).[(-27).(-11x2+23x-20)-
-(-54).(x3-6x
2+12x-8)]:(x+1)
p1(x) = 1/q1(-1).[(297x2-621x+540)-
-(-54x3+324x
2-648x+432)]:(x+1)
p1(x) = 1/q1(-1).[54x3 -27x
2 +27x +108]:(x+1)=
= 1/q1(-1).(54x2 -81x +108) = 1/q1(-1).S1(x)
donde he redefinido: S1(x) = 54x2 -81x +108
Ahora A11 = 1/fact.A11’ = 1/(-27).54/27
= -54/729
Hago fact = fact.q1(-1) =(-27).(-27)=729
Tengo
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) =
−11/27
(𝑥+1)2 + −54/729
(𝑥+1) + 1/fact.S1(x)/q1(x)
Continúo
q(x) = q1(x) = (x-2)3, q1(x) = q(x):(x-2)
3 = 1
Planteo
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A23’/(x-2)
3 + p1(x)/[(x-2)
2.q1(x)]
S1(x) = A23’.q1(x) + p1(x).(x-2)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
194
S1(2) = A23’.q1(2),
S1(2) =54.4-81.2+108 = 162, q1(2) = 1
A23’ = S1(2)/q1(2) = 162
Obtengo p1(x):
p1(x) = 1/q1(2).[q1(2).(54x2-81x+108) –
-S1(2).q1(x)]:(x-2)
p1(x) = 1/q1(2).[1.(54x2-81x+108)-162.1]:(x-2)=
= 1/q1(2).[54x2 -81x -54]:(x-2) =
= 1/q1(2).(54x+27) = 1/q1(2).S1(x),
donde he redefinido: S1(x) = 54x +27
Ahora A23 = 1/fact.162 = 162/729
Hago fact = fact.q1(2) = 729.1 = 729
Tengo 𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) =
−11/27
(𝑥+1)2 + −54/729
(𝑥+1) +
162/729
(𝑥−2)3 +
+ 1/fact.S1(x)/[(x-2)2.q1(x)]
Continúo
q(x) = (x-2)2.q1(x), q1(x)= q(x):(x-2)
2
queda sin cambios
Planteo
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
195
𝑆1(𝑥)
𝑞(𝑥) = A22’/(x-2)
2 + p1(x)/[(x-2).q1(x)]
S1(x) = A22’.q1(x) + p1(x).(x-2)
S1(2) = A22’.q1(2), S1(2) = 54.2 +27 = 135
A22’ = S1(2)/q1(2) = 135/1 = 135
p1(x) = 1/q1(2).[q1(2).S1(x)–S1(2).q1(x)]:(x-2)=
= 1/q1(2).[(54x +27) -135.1]:(x-2) =
= 1/q1(2).[54x -108]:(x-2) = 1/q1(2).54
Ahora A22 = 1/fact.A22’ = 1/729.135 = 135/729
Hago fact = fact.q1(2)
Tengo
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) =
−11/27
(𝑥+1)2 + −54/729
(𝑥+1) +
162/729
(𝑥−2)3 + 135/729
(𝑥−2)^2 +
+ 1/fact.S1(x)/[(x-2).q1(x)]
Continúo
q(x) = (x-2).q1(x), q1(x) = q(x):(x-2) no cambia.
Si gr(q(x)) = 1, (como ocurre en este caso)
hemos terminado y basta hacer arreglo en
1/fact.S1(x)/[(x-2).q1(x)] = 1/729.(54)/[(x-2).1] = 54/729
(𝑥−2) ,
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
196
y por tanto el resultado final es
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) =
−11/27
(𝑥+1)2 + −54/729
(𝑥+1) +
162/729
(𝑥−2)3 + 135/729
(𝑥−2)2 + 54/729
(𝑥−2)
(Contrastado y confirmado el resultado. Mi cuaderno manuscrito)
7.2.3.- Caso de soluciones complejas simples
Sean z y z’ dos raíces conjugadas de q(x) = 0,
z = a+bi, z’ = a-bi
(x-(a+bi)).(x-(a-bi)) = ((x-a)-bi).((x-a)+bi) = (x-a)2 + b
2 =
= x2 -2ax +(a
2+b
2)
Cuando planteamos
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) = …. +
A
x−z +
B
x−z′ + … =
= … + [A.(x−z’)+ B.(x−z)]
x2−2ax+(a2+b2) +… =
= …. + M.x+N
x2−2ax+(a2+b2) + …. =
Supongo que z y z’ son soluciones simples.
Tendremos, procedentes del proceso anterior, el factor fact y el
término
1/fact.S1(x)/q1(x)
Hago q(x) = q1(x), y redefino
q1(x) = q(x):(x2 -2ax +(a
2+b
2))
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
197
Observa que q(x) = (x2 -2ax +(a
2+b
2)).q1(x)
Planteo
S1(x)
q(x) = (M’x+N’)/(x
2 -2ax +(a
2+b
2)) + p1(x)/q1(x)
Multiplico por q(x)
S1(x) = (M’x+N’).q1(x) + p1(x).(x2 –2ax+(a
2+b
2))
S1(z) = (M’.z + N’).q1(z),
S1(z’)= (M’.z’ + N’).q1(z’)
Identificando parte real y parte imaginaria obtenemos un Sistema
de donde obtengo los valores M’, N’.
Obtengo p1(x), (después de calcular M’ y N’)
p1(x) = S1(x)-(M’.x + N’).q1(x)
Interesa operar con coeficientes enteros, por lo que si M’ y/o N’
son fraccionarios hago común denominador. Sea m(z) este
denominador y sea
1/zm.(M’’.x +N’’), entonces
p1(x) = 1/zm.[m(z).S1(x) –(M’’.x + N’’).q1(x)] =
= 1/zm.S1(x), donde he redefinido
S1(x) = [zm.S1(x) – (M’’.x +N’’).q1(x)]
Ahora M = 1/fact.M’, N = 1/fact.N’
(fact con su valor heredado)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
198
Hago de nuevo fact = fact.zm
En el resultado intermedio tengo
p(x)
q(x) = …. +
Mx + N
x2−2ax+(a2+b2) + 1/fact.S1(x)/q1(x)
Continúo descomponiendo S1(x)/q1(x)
q(x) = q1(x), y, tomando otra raíz de q(x) = 0,
(que lo será de q1(x) = 0) sea x = a,
Hago q1(x) = q(x):(x-a)
Planteo
S1(x)
q(x) = (por ejemplo) = A/(x-a) + p1(x)/q1(x)
y continúo como es sabido.
Ejemplo: Soluciones complejas simples
Sean p(x) = 5x -6
q(x) = x4 -10x
3 +47x
2 -118x +130,
obtenido de hacer (x2-6x+10).(x
2-4x+13)
Sol.: Resuelvo q(x) = 0,
x2 -6x+10 = 0, x =
6±√36−40
2 = {
𝑧1 =6+2𝑖
2= 3 + 𝑖
𝑧1′ =6−2𝑖
2= 3 − 𝑖
,
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
199
x2 -4x+13 = 0, x = {
𝑧2 = 2 + 3𝑖𝑧2′ = 2 − 3𝑖
, Trato en primer
lugar la solución z1 y z1’
(x-z1).(x-z1’) = x2 -6x +10,
(x-z2).(x-z2’) = x2 -4x +13
Hago q1(x) = q(x):( x2-6x+10) = x
2-4x+13
Hago S1(x) = p(x), fact = 1 (valor por defecto)
Puedo suponer que previamente hayamos resuelto los términos
correspondientes a raíces reales, y esto nos lleva a suponer que
ahora nos toca resolver un término del tipo
1/fact.S1(x)/q1(x)
En este caso el factor fact tendrá su valor y S1(x) la expresión
resultante de aquel proceso. Puesto que no tenemos estos datos
concretos, podemos continuar como si los tuviésemos, haciendo,
como hemos hecho, S1(x) = p(x), fact = 1, y q(x) sería la
expresión q1(x) de ‘arrastre’ del proceso anterior.
Notación: Tomaremos M1’, N1’ en lugar de M1, N1 porque
después hemos de modificarlo tomando
M1 = 1/fact.M1’, N1 = 1/fact.N1’
Planteo
S1(x)
q(x) =
𝑀1′.𝑥+𝑁1′
(x2−6x+10)+
𝑝1(𝑥)
𝑞1(𝑥) ,
S1(x) = (M1’.x +N1’).q1(x) + p1(x).q1(x)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
200
Damos valor x = z1:
S1(z1) = (M1’.z1+N1’).q1(z1)
Miembro izquierda:
S1(3+i)=5.(3+i)-6 = 9+5i,
Miembro derecha:
q1(3+i)= (3+i)2 -4.(3+i)+13 = …. = 9+2i,
M1’.(3+i) +N1’ = (3.M1’+N1’) + M1’.i ,
(9+2i).[(3.M1’+N1’)+M1’.i] = …. =
= (25.M1’+9N1’) +(15M1’+2N1’).i ,
Llego a que
9+5i = (25.M1’+9N1’) +(15M1’+2N1’).i
Igualando parte real y parte imaginaria
{9 = 25𝑀1′ + 9𝑁1′
5 = 15𝑀1′ + 2𝑁1′
Multiplico la primera por -2 y la segunda por 9
27 = 85.M1’ , M1’ = 27/85,
Multiplico la primera por -3 y la segunda por 5
-2 = -17N1’ , N1’ = 2/17
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
201
Hago común denominador: mz = 85,
M1’ = 27/85, N1’ = 10/85,
Hago zm = 85, M1’’ = 27, N1’’ = 10
Obtengo p1(x)
p1(x) =
= 1/zm.[zm.S1(x) –(M1’’.x +N1’’).q1(x)]:(x2-6x+10)
p1(x) =
= 1/zm.[85.(5x-6)-(27x+10).(x2-4x+13]:(x
2-6x+10)
p1(x) =
= 1/zm.[(425x-510)-(27x3-98x
2+311x+130)]:(x
2-6x+10) =
= 1/zm.[-27x3 +98x
2 +114x -640]:(x
2-6x+10) =
= 1/zm.(-27x-64) = 1/zm.S1(x),
donde he redefinido: S1(x) = -27x -64
Ahora M1 = 1/fact.M1’ , N1 = 1/fact.N1’
(aquí y ahora fact = 1)
Hago fact = fact.zm
En el resultado intermedio figurará el término final del tipo
1/fact.S1(x)/q1(x), (ahora fact = 85 )
Continúo:
q(x) = q1(x), q1(x) = q(x):(x2-4x+13)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
202
Si lo que estamos tratando es una raíz compleja y gr(q(x)) = 2, (y
q1(x) = const) esto significa que hemos terminado, siendo
suficiente hacer arreglos en el término 1/fact.S1(x)/q1(x).
En este caso
1/85.(-27x-64)/(x2 -4x +13) =
−27
85.𝑥−64/85
(𝑥2−4𝑥+13)
Resultado final (de este ejemplo):
p(x)
q(x) =
27
85.𝑥+10/85
(𝑥2−6𝑥+10) +
−27
85.𝑥−64/85
(𝑥2−4𝑥+13)
7.2.4.- Caso de soluciones complejas múltiples
Supongo que estamos en el proceso de descomposición en sumas
simples y que hemos llegado al punto de tratar una raíz compleja
múltiple. En esta situación tenemos un factor fact con un valor
heredado, y dos expresiones S1(x), q1(x), como corresponde al
término del tipo
1/fact. S1(x)
q1(x)
Hago p(x) = S1(x), q(x) = q1(x)
Supongamos que la multiplicidad de las raíces z1, z1’ es dos.
Tratamos las raíces z1 = a+bi, z1’ = a-bi
Sabemos que
(x-z1).(x-z1’) = x2 -2ax +(a
2+b
2)
Hago
q1(x) = q(x):(x2 -2ax +(a
2+b
2))
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
203
Planteo
S1(x)
q(x) =
M2’x + N2’
(x2−2ax +(a2+b2))2 +
p1(x)
[(x2−2ax +(a2+b2)).q1(x)]
Multiplico por q(x)
S1(x) =
= (M2’x + N2’).q1(x) + p1(x).(x2-2ax+(a
2+b
2))
Hago x = z1:
S1(z1) = (M2’.z1 + N2’).q1(z1),
S1(z1’) = (M2’.z1’ + N2’).q1(z1’)
Después de operar, identificando parte real y parte imaginaria
obtenemos un Sistema de donde obtengo los valores M2’, N2’.
Obtengo p1(x), (después de calcular M2’ y N2’)
p1(x) = S1(x)-(M2’.x + N2’).q1(x)
Interesa operar con coeficientes enteros, por lo que, si M2’ y/o
N2’ son fraccionarios hago común denominador.
Sea zm este denominador ( que puede tomar el valor 1) y sea
M2’’, N2’’ los numeradores de los nuevos valores fraccionarios:
M2’ = M2’’/zm, N2’ = N2’’/zm
Tengo
1/zm.(M2’’.x + N2’’), entonces
p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x) –(M2’’.x + N2’’).q1(x)]=
= 1/zm.S1(x), donde he redefinido S1(x) =
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
204
= [zm.S1(x) – (M2’’.x +N2’’).q1(x)]
Ahora M2 = 1/fact.M2’, N2 = 1/fact.N2’
(fact con su valor heredado)
Hago fact = fact.zm
En este momento tendremos el resultado intermedio
p(x)
q(x) = …. +
(𝑀2.𝑥+𝑁2)
(𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2)) + 1/fact.
S1(x)
x2−2a+(a2+b2). q1(x)
Continúo
Hago q(x) = (x2-2a+(a
2+b
2)).q1(x),
q1(x) = q(x): (x2-2a+(a
2+b
2)),
(q1(x) queda invariante mientras tratamos z1 y z1’)
Planteo
S1(x)
q(x) =
M1’.x+N1’
x2−2a+(a2+b2) + p1(x)/q1(x)
S1(x) = (M1’.x+N1’).q1(x) + p1(x).(x2-2a+(a
2+b
2))
x = z1:
S1(z1) = (M1’.z1+N1’).q1(z1)
x = z1’:
S1(z1’) = (M1’.z1’+N1’).q1(z1’)
Operando llegamos a un sistema con incógnitas M1’, N1’ que
resolveremos.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
205
Obtengo p1(x)
p1(x) = S1(x)-(M1’.x + N1’).q1(x)
Interesa operar con coeficientes enteros, por lo que, si M1’ y/o
N1’ son fraccionarios hago común denominador.
Sea zm este denominador ( que puede tomar el valor 1) y sea
M1’’, N1’’ los numeradores de los nuevos valores fraccionarios:
M1’ = M1’’/zm, N1’ = N1’’/zm.
Tengo
1/zm.(M1’’.x + N1’’), entonces
p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x) – (M1’’.x + N1’’).q1(x)] =
= 1/zm.S1(x), donde he redefinido
S1(x) = [zm.S1(x) – (M1’’.x +N1’’).q1(x)]
Ahora M1 = 1/fact.M1’, N1 = 1/fact.N1’
(fact con su valor heredado)
Hago fact = fact.zm
En este momento tendremos el resultado intermedio
p(x)
q(x) = ….+
(𝑀2.𝑥+𝑁2)
(𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2))2 +
(𝑀1.𝑥+𝑁1)
(𝑥2−2𝑎+(𝑎2+𝑏2))+
+ 1/fact. S1(x)
q1(x)
Ejemplos: Raíces complejas múltiples
p(x) = 2x2 -5x +4
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
206
q(x) = x4 -8x
3 +42x
2 -104x +169
Soluciones de q(x) = 0: z1 = 2+3i, z1’ = 2-3i dobles.
Supongamos que estamos resolviendo la descomposición en
sumas simples y que estamos en el ‘paso’ de raíces complejas
múltiples. En este momento nos vendrían dadas las expresiones
S1(x), q1(x) y el valor fact heredado que figura en el término
1/fact. S1(x)
q1(x)
Tomaríamos q(x) = q1(x), S1(x) y fact dados.
En nuestro caso hacemos
S1(x) = p(x), fact = 1 (por defecto)
(x-z1).(x-z1’) = ((x-2)+3i).((x-2)-3i) =
=(x-2)2 + 9 = x
2 -4x +13
Hago q1(x) = q(x):(x2 -4x +13)
2 , (observa: q1(x)=1)
Planteo
S1(x)
q(x) =
M′.x+N
(x2 −4x +13)2 + p1(x)
x2 −4x +13. q1(x)
S1(x) = (M’.x+N).q1(x) + p1(x).(x2 -4x +13)
x = z1:
S1(z1) = (M’.(2+3i) +N’).q1(z1)
S1(2+3i) = 2.(2+3i)2-5.(2+3i) +4 = …. = -16+9i
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
207
q1(z1) = 1
(M’.(2+3i) +N’).q1(z1) = ((2.M’+N’)+3.M’.i
Igualando parte real y parte imaginaria
{−16 = 2. 𝑀′ + 𝑁′
9 = 3. 𝑀′ , M’ = 3, N’ = -22
Valor de zm = 1, M’’ =3, N’’ =-22
Obtengo p1(x):
p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x)–(M’’.x +N’’).q1(x)]:(x2-4x+13)
p1(x) = 1/zm.[1.(2x2 -5x +4)–(3x-22).1]:(x
2 -4x +13) =
= 1/zm.[2x2 -8x +26]:(x
2 -4x +13)= 1/zm.S1(x)
donde he redefinido S1(x) = 2
Ahora M = 1/fact.M’, N = 1/fact.N’
Hago fact = fact.zm
El resultado intermedio es
p(x)
q(x) = … +
3.𝑥−22
(𝑥2−4𝑥+13)2 + 1/fact.S1(x)
x2 −4x +13. q1(x)
Continúo
Hago q(x) = (x2 -4x +13).q1(x) = x
2 -4x +13
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
208
Si gr(q(x)) = 2 (estamos con raíz compleja), significa que he
terminado, y tengo término final
1/fact.S1(x)
x2 −4x +13. q1(x) = 1/1.2/(x
2 -4x +13).1 =
= 2
𝑥2−4𝑥+13
Resultado: p(x)
q(x) = … +
3.𝑥−22
(𝑥2−4𝑥+13)2 + 2
𝑥2−4𝑥+13
7.2.5.- Actividades semi-resueltas, con el
resultado
Nota para el autor:
Indico la página de mi “Cuaderno del Profesor” donde se
encuentran totalmente resueltos.
1.- Raíces complejas simples y múltiples
p(x) = 5x – 6
q(x) =x6-14x
5+100x
4-436x
3+1213x
2-2054x+1690
Soluciones de q(x) = 0:
z1=3+i, z1’= 3-i simples, z2 = 2+3i, z2’ = 2-3i dobles
(x-z1).(x-z1’) = x2-6x+10,
[(x-z2).(x-z2’)]2 = (x
2-4x+13)
2
q(x) = (x2-6x+10).(x
2-4x+13)
2
Inicio planteando:
Hago q1(x) = q(x):(x2-6x+10) = (x
2-4x+13)
2
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
209
p(x)
q(x) = (M.x+N)/ (x
2-6x+10) + p1(x)/q1(x)
Resultado:
p(x)/q(x) =
61
7225.𝑥+
690
7225
(𝑥2−6𝑥+10)+
−27
85.𝑥−
64
85
(𝑥2−4𝑥+13)2 +−61
7225.𝑥−
812
7225
(𝑥2−4𝑥+13)
2.- Raíces reales simples y complejas simples
p(x) = 3x + 5
q(x) = (x-2).(x2-4x+13).(x
2-4x+5) =
= (x5 -10x
4 +50x
3 -140x
2 +209x -130
Soluciones de q(x) = 0:
2 simple, 2+3i, 2-3i simples, 2+3i, 2-3i simples
Inicio el proceso
Hago q1(x) = q(x):(x-2) = x4-8x
2+34x
2-72x+65
Planteo
p(x)
q(x) = A/(x-2) + p1(x)/q1(x),
p(x) = A.(x2-4x+13).(x
2-4x+5) + p1(x).(x-2)
Obtengo A = 11/9
Obtengo p1(x) resultando
p1(x) = -11x3 +66x
2 -242x +335
Hago p(x) = p1(x), q(x) = q1(x)
q1(x) = q(x):(x2-4x+13) = (x
2-4x+5)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
210
Planteo
p(x)
q(x) = (M.x+N)/(x
2-4x+13) + p1(x)/q1(x)
El alumno continuará y comprobará con el siguiente resultado.
Resultado:
p(x)
q(x) =
11
9
(𝑥−2)+
11
72.𝑥−
49
72
(𝑥2−4𝑥+13)+
−11
8.𝑥+
25
8
(𝑥2−4𝑥+5)
3.- Raíces reales simples y complejas múltiples
p(x) = 5x +8
q(x) = (x-2).(x2-4x+13)
2 =
= (x-2).(x2-8x
3+42x
2-104x +169) =
= x5 -10x
4 +58x
3 -188x
2 +377x -338
Soluciones de q(x) = 0: 2, 2+3i, 2-3i dobles
Hago q1(x) = q(x):(x-2), y comenzamos como hemos visto en
casos anteriores.
Obtengo A = 2/9
p1(x) = -18x3 +108x
2 -540x +1197
El alumno continuará y comprobará el resultado.
Resultado:
p(x)
q(x) =
2
9
(𝑥−2)+
−2𝑥+9
(𝑥2−4𝑥+13)2 + −2
9.𝑥+
4
9
(𝑥2−4𝑥+13)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
211
4.- Raíces reales múltiples y complejas simples
p(x) = 5x + 8
q(x) = (x-2)2.(x
2-4x+13).(x
2-4x+5) =
= (x2 -4x +4).(x
4 -8x
3 +34x
2 -72x +65) =
= x6 -12x
5 +70x
4 -240x
3 +489x
2 -548x +260
Soluciones de q(x) = 0:
2 doble, 2+3i, 2-3i, 2+i, 2-i
Resultado:
p(x)
q(x) =
2
(𝑥−2)2 + 5
9
(𝑥−2)+
5
72.𝑥+
8
72
(𝑥2−4𝑥+13)+
−5
8.𝑥−
8
8
(𝑥2−4𝑥+5)
5.- Raíces reales múltiples y complejas múltiples
p(x) = 5x + 8
q(x) = (x-2)2.(x
2-4x+13)
2 =
= (x2-4x+4).(x
4-8x
3+42x
2-104x+169) =
= x6-12x
5+78x
4-304x
3+753x
2-1092x+676
Soluciones de q(x) = 0:
2 doble, 2+3i, 2-3i dobles
Resultado:
p(x)
q(x) =
2
9
(𝑥−2)2 + 5
81
(𝑥−2)+
−5
9.𝑥−
8
9
(𝑥2−4𝑥+13)2 +−5
81.𝑥−
8
81
(𝑥2−4𝑥+13)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
212
6.- Raíces reales múltiples y complejas múltiples
p(x) = 5x +8
q(x) = (x-2)2.(x
2-4x +13)
2 =
= (x2 -4x +4).(x
4-8x
3+42x
2-104x+169) =
= x6 -12x
5 +78x
4 -304x
3 +753x
2 -1092x +676,
Soluciones de q(x) = 0:
2 doble, 2+3i, 2-3i dobles
El alumno comprobará el siguiente resultado
Resultado:
p(x)
q(x) =
2
9
(𝑥−2)2 + 5
81
(𝑥−2)+
−5
9.𝑥−
8
9
(𝑥2−4𝑥+13)2 + −
5
81.𝑥−
8
81
(𝑥2−4𝑥+13)
7.- Raíces reales simples y múltiples y complejas simples
p(x) = 5x + 8
q(x) = (x+1).(x-2)2.(x
2-4x+13) =
= x5 -7x
4 +25x
3 -35x
2 -16x +52
Soluciones de q(x) = 0:
-1, 2 doble, 2+3i, 2-3i
Hago q1(x) = q(x):(x+1) = (x-2)2.(x
2-4x+13) =
= x4-8x
3+33x
2-68x+52
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
213
Planteo p(x)
q(x) = A/(x+1) + p1(x)/q1(x)
p(x) = A.q1(x) + p1(x).(x+1)
Hago x =-1: p(-1) = 3, q1(-1) = 9.18 =162
3 = A.162, A = 3/162 = 1/54
Obtengo p1(x):
[p(x) -1/54.(x4-8x
3+33x
2-68x+52)] =
= 1/54.[54.(5x+8) – (x4-8x
3+33x
2-68x+52)] =
= 1/54.[-x4+8x
3-33x
2+338x+380]
Divido por (x+1):
-1 8 -33 338 380
-1 1 -9 42 -380
-1 9 -42 380 0
Llamo S1(x) = (x3 -9x
2 +42x
2 -380) y tengo
p1(x) = -1/54.S1(x)
Tengo p(x)
q(x) = 1/54.1/(x+1) -1/54.S1(x)/q1(x)
Continúo:
Hago p(x) = S1(x), Q(x) = q1(x),
Hago q1(x) = q(x):(x-2)2
Planteo p(x)
q(x) = B2/(x-2)
2 + p1(x)/q1(x)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
214
p(x) = B2.q1(x) + p1(x).(x-2)2
Hago x=2: p(2) = ….., q1(2) = ….
p(2) = B2.q1(2), B2 = 972/9
Resultado:
p(x)
q(x) =
1
54
(𝑥+1)+
2
3
(𝑥−2)2 +−1
27
(𝑥−2)+
1
54.𝑥−
35
54
(𝑥2−4𝑥+13)
8.- Reales simples y múltiples, complejas múltiples
p(x) = 5x+8
q(x) = (x+1).(x-2)2.(x
2-4x+13)
2 =
= (x3-3x
2+4).(x
4 -8x
3 +42x
2 -104x +169) =
= x7-11x
6+66x
5-226x
4+449x
3-339x
2-416x+676
Soluciones de q(x) = 0:
-1, 2 doble, 2+3i, 2-3i dobles
Resultado:
p(x)
q(x) =
1
972
(𝑥+1)+
2
27
(𝑥−2)2 + −1
243
(𝑥−2)+
1
54.𝑥−
35
54
(𝑥2−4𝑥+13)2 +
1
324.𝑥−
25
324
(𝑥2−4𝑥+13)
9.- Reales simples y complejas simples y múltiples
p(x) = 5x+8
q(x) = (x-2).(x2-4x+5).( x
4-8x
3+42x
2-104x+169) =
= x7-14x
6+103x
5-470x
4 +1419x
3 -2786x
2 +3237x -1690
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
215
Soluciones de q(x)=0:
2, 2+i, 2-i, 2+3i, 2-3i dobles
Resultado:
p(x)
q(x) =
2
9
(𝑥−2)+
−18
64.𝑥+
41
64
(𝑥2−4𝑥+5)+
2
8.𝑥−
9
8
(𝑥2−4𝑥+13)2 + 34
576.𝑥−
113
576
(𝑥2−4𝑥+13)
10.- Reales múltiples y complejas simples y múltiples
p(x) = 5x+8
q(x) = (x-2)2.(x
2-4x+5).(x
2-4x+13)
2 =
= (x2-4x+4).(x
2-4x+5).(x
4-8x
3+42x
2-104x+169) =
= (x2-4x+4).(x
6 -12
5 +79x
4 -312x
3 +795x
2-1196x +845) =
= x8 -16x
7 +131x
6 -676x
5 +2359x
4-5624x
3 +8809x
2 -8164x +3380
,
Soluciones de q(x)=0:
2 doble, 2+i, 2-i, 2+3i, 2-3i dobles
Resultado: p(x)
q(x) =
=
2
9
(𝑥−2)2 + 5
81
(𝑥−2)+
−5
64.𝑥−
8
64
(𝑥2−4𝑥+5)+
5
72.𝑥+
8
72
(𝑥2−4𝑥+13)2 + 85
373248.𝑥+
136
373248
(𝑥2−4𝑥+13)
11.- Reales simples y múltiples, Complejas simples y múltiples
p(x) = 5x+8
q(x) = (x+1).(x-2)2.(x
2-4x+5).(x
2-4x+13)
2 =
= (x+1).(x2-2x+4).(x
2-4x+5).(x
4-8x
3+42x
2-104x+169) =
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
216
= (x3-3x
2+4).(x
6 -12x
5 +79x
4 -312x
3 + 795x
2 -1196x +845) =
= x9 -15x
8 +115x
7 -545x
6 +1683x
5 -3265x
4 +
+ 3185x3 +645x
2 -4784x +3380
Soluciones de q(x) = 0:
-1, 2 doble, 2+i, 2-i, 2+3i, 2-3i dobles
Resultado: p(x)
q(x) =
=
1
9720
(𝑥+1)+
2
27
(𝑥−2)2 + −1
243
(𝑥−2)+
3
640.𝑥−
65
640
(𝑥2−4𝑥+5)+
−1
432.𝑥+
35
432
(𝑥2−4𝑥+13)2 +
+ −7
10368.𝑥+
205
10368
(𝑥2−4𝑥+13)
12.- Raíces reales simples y múltiples y complejas múltiples
NOTA: Este caso resulta realmente laborioso. Lo resuelvo como
muestra de que se puede llegar lejos siempre que se lleve a cabo
con mucho orden.
Conviene resaltar aquí la gran ayuda que ha prestado el uso de la
Aplicación Informática asociada al Vol.2, en especial la parte
dedicada al valor numérico de polinomios para valores complejos
de x: x = a+bi. Este hecho ha permitido corroborar los resultados.
p(x) = 3x4 -5x
2 +6x -8
q(x) = (x+2).(x-1)2.(x
4-12x
3+56x
2-120x+100)
Soluciones de q(x) = 0:
-2 simple, 1 doble, 3+i, 3-i dobles,
Inicio: S1(x) = p(x) = 3x4 -5x
2 +6x -8,
fact = 1
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
217
q1(x) = q(x):(x+2) = (x-1)2.(x
2-6x+10)
2 =
= x6-14x
5 +81x
4 -244x
3 +396x
2 -320x +100
Planteo
S1(x)
q(x) = A11/(x+2) + p1(x)/q1(x)
S1(x) = A11.q1(x) + p1(x).(x+2)
Hago x = -2:
A11 = S1(-2)/q1(-2)
S1(-2) = 3.16 -20-12-8 = 48-40 = 8,
q1(-2) = 9.(26)2 = 6084
A11 = 8/6084
Obtengo p1(x):
p1(x) = 1/q1(-2).[q1(-2).S1(x) – S1(-2).q1(x)]:(x+2)
p1(x) =
= 1/q1(-2).[6084.(3x4-5x
2+6x-8) –
-8.(x6-14x
5+81x
4-244x
3+396x
2-320x+100)]:(x+2)
p1(x) =
= 1/q1(-2).[(18252x4 -30420x
2 +36504x-48672) –
-(8x6-112x
5+648
4-1952x
3+3168x
2-2560x+800) ]:(x+2)
p1(x) =
= 1/q1(-2).[-8x6 +112x
5 17604x
4 +1952x
3-33588x
2 +
+ 39064x -49472]:(x+2) = ( aplicando Ruffini)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
218
= 1/q1(-2).[-8x5 +128x
4 +17348x
3-32744x
2+31900x - 24736] =
= 1/q1(-2).S1(x)
donde he redefinido S1(x) representando el corchete [….].
Ahora A11 = 1/fact.A11 = 8/6084 = 2/1521, ya que fact = 1
Hago fact = fact.q1(-2) = 6084
Resultado intermedio
p(x)
q(x) =
2
1521
(𝑥+2)
Continúo:
Hago q(x) = q1(x) = (x-1)2.(x
2-6x+10)
2
Hago q1(x) = q(x):(x-1)2
Planteo
S1(x)
q(x) = A22/(x-1)
2 + p1(x)/[(x-1).q1(x)]
S1(x) = A22.q1(x) + p1(x).(x-1)
x = 1:
A22 = S1(1)/q1(1)
S1(1) = ….. = -8112, q1(1) = …. = 25,
A22 = -8112/25
Obtengo p1(x):
p1(x) = 1/q1(1).[q1(1).S1(x) –S1(1).q1(x)]:(x-1)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
219
p1(x) = 1/q1(1).[25.(-8x5 +128x
4 +17348x
3 –
-32744x2 +31900x -24736) +8112.(x
4 -12x
3 +56x
2 –
-120x +100)]:(x-1)
p1(x) =
= 1/q1(1).[(-200x5 +3200x
4 +433700x
3 –
-818600x2 +797500x -618400) + (8112x
4 -97344x
3
+ 454272x2 -973440x +811200)]:(x-1) =
= 1/q1(1).[-200x5 +11312x
4 +336356x
3 –
-364328x2 -175940x +192800]:(x-1) =
( Aplico Ruffini )
= 1/q1(1).[-200x4 +11112x
3 +347468x
2 -16860x -192800] =
= 1/q1(1).S1(x)
donde he redefinido S1(x) representando el corchete [….]
Ahora A22 = 1/fact.A22 = -1/6084.8112/25 =
dividiendo entre 12
= -676/(25.507) = -676/12675
Resultado intermedio
p(x)
q(x) = ….. +
−676
12675
(𝑥−1)2
Hago fact = fact.q1(1) = 152100
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
220
Continúo:
Hago q(x) = (x-1).q1(x), q1(x) = q(x):(x-1) queda igual
Planteo S1(x)
q(x) = A21/(x-1) +p1(x)/q1(x)
S1(x) = A21.q1(x) + p1(x).(x-1)
x = 1: A21 = S1(1)/q1(1)
S1(1) = 148720, q1(1) = 25
A21 = 148720/25
Obtengo p1(x):
p1(x) = 1/q1(1).[q1(1).S1(x) –S1(1).q1(x)]:(x-1)
p1(x) = 1/q1(1).[25.(-200x4 +11112x
3 +347468x
2 –
-16860x -192800) -148720.( x4 -12x
3 +56x
2-120x +
+ 100)]:(x-1) =
= 1/q1(1).[(-5000x4 +277800x
3 +8686700x
2 -421500x -4820000)-
-(148720x^4 -1784640x^3 +8328320x^2 -17846400x +
+ 14872000)]:(x-1) =
= 1/q1(1).[-153720x4 +2062440x
3 +358380x
2 +
+17424900x - 19692000]:(x-1) = (Aplico Ruffini)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
221
División
|-153720 2062440 358380 17424900 -19692000
1 | -153720 1908720 2267100 19672000
-153720 1908720 2267100 19672000 0
p1(x) =
= 1/q1(x).[-153720x^3 +1908720x^2 +2267100x +
+19672000] = 1/q1(1).S1(x),
donde he redefinido S1(x) representando el corchete […]
Ahora A21 = 1/fact.A21 =
= 1/152100.148720/25 = 148720/(25.152100) =
= 14872/(25.15210) = 7436/(25.7605) = 7436/190125
Resultado intermedio
p(x)
q(x) = …. +
7436
190125
(𝑥−1)
Hago fact = fact.q1(1) = 3802500
Continúo:
Hago q(x) = q1(x) = (x2-6x+10)
2 ,
q1(x) = q(x):( x2-6x+10)
2 = 1
Observa: q(x) = ( x2-6x+10)
2.q1(x)
Planteo S1(x)
q(x) =
M2.x+N2
( x2−6x+10)2 + p1(x)
x2−6x+10. q1(x)
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
222
S1(x) = (M2x+N2).q1(x) + p1(x).(x2-6x+10)
x = z1 = 3+i :
S1(3+i) = (M2.(3+i)+N2).q1(z1)
(M2.(3+i)+N2) = S1(3+i)/q1(z1)
S1(3+i) = ……. = 38976100 + 9722700.i,
q1(z1) = 1,
(3.M2+N2) + M2.i = S1(3+i)
Igualando parte real y parte imaginaria obtenemos el siguiente
Sistema de donde obtenemos M2, N2
{3𝑀2 + 𝑁2 = 38976100
𝑀2 = 9722700
de donde N2 = 9808000
zm = 1 (comú denominador de M2, N2)
Obtenemos p1(x): (observa que q1(x) = 1)
S1(x) = (M2x+N2).q1(x) + p1(x).(x2-6x+10)
p1(x) = [S1(x) - (M2x+N2).q1(x)]:(x2-6x+10)
p1(x) = 1/zm.[zm.S1(x) –(M2.x + N2).q1(x)]:(x2-6x+10)
p1(x) =
= 1/zm.[(-153720x^3 +1908720x^2 +2267100x +
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
223
+19672000) – (9722700.x +9808000)]: (x2-6x+10) =
= 1/zm.[-153720x^3 +1908720x^2 -7455600x +
+ 9864000]:(x2-6x+10) =
(Observa la división al final)
= 1/zm.(-153720x + 986400)
Ahora M2 = 1/fact.M2 = 9722700/3802500 =
= 97227/38025 = (divido entre 3) = 32409
12675
N2 = 1/fact.N2 = 9808000/3802500 =
= 98080/38025 = 19616/12675 = 19616
12675
Resultado intermedio
p(x)
q(x) = …. +
32409
12675.𝑥+
19616
12675
(𝑥2−6𝑥+10)2
Hago fact = fact.zm = fact , ya que zm = 1
El grado de p1(x) es uno, y teniendo en cuenta que q1(x) = 1,
hemos finalizado, obteniendo
M1 = 1/fact.(-153720) = -153720/3802500 =
= -15372/380250 = (divido entre 3) =
= 5124/126750 = (divido entre 3) = 1708/42250 =
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
224
= 1708
42250
N1 = 1/fact.986400 = 986400/3802500 =
= 9864/38025 = (divido entre 3) = 3288/12675 =
= (divido entre 3 ) = 1096/4225
Tomo N1 = 10960
42250
Resultado intermedio p(x)
q(x) = …. +
(1708
42250.x +
10960
42250)
𝑥2−6𝑥+10
Resultado final:
p(x)
q(x) =
−676
12675
(𝑥−1)2 +
7436
190125
(𝑥−1) +
(32409
12675.x +
19616
12675)
(𝑥2−6𝑥+10)2 + (
1708
42250.x +
10960
42250)
𝑥2−6𝑥+10
¡POR FIN, final del túnel!
NOTA: División (pendiente de realizar)
-153720x3 +1908720x
2 -7455600x +9864000 | x
2-6x+10
---------------
-153720x +986400
“ -922320x2 +1537200x
----------------------------
0 +986400x2 -5918400x
“ +5918400x -9864000
---------------------------------
0 0 0
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
225
7.3.- Método: Aplicando la derivación
Sea p(x)
q(x)
Caso de raíces reales simples
q(x) = (x-a).(x-b). …
Planteo como siempre
p(x)
q(x) = A/(x-a) +B/(x-b) + ….
p(x) = A.(x-b)…. + B.(x-a).(x-c)….. + …
y procedemos como es sabido.
Caso de raíces reales simples y múltiples
q(x) = (x-a).(x-b)2.(x-c)….
p(x)
q(x) = A/(x-a) +B2/(x-b)
2 +B1/(x-b) +C/(x-c) +…
p(x) = A.(x-b)2.(x-c)… + B2.(x-a).(x-c)… +
+ B1.(x-a).(x-b).(x-c)…. + …
Para obtener A: p(a) = A.(a-b)2.(a-c)…
A = p(a)/[(a-b)2.(a-c)… ]
Por derivación
q’(x) = (x-b)2.(x-c)… + (x-a).2(x-b).(x-c)… + …
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
226
q’(a) = (a-b)2.(a-c)…
y podemos hacer A = p(a)/q’(a)
Para obtener B2: p(b) = B2.(b-a).(b-c)….
B2 = p(b)/[(b-a).(b-c)… ]
Por derivación
q’(x) = (x-b)2.(x-c)… + (x-a).2(x-b).(x-c)… + …
q’(b) = 0, y no me vale
Derivada segunda
q’’(x) = 2.(x-b).(x-c)… + 2(x-b)(x-c)… + ….
+ (x-b)2.(x-d)… + (x-a).2.(x-c)…. + ….
q’’(b) = 0 + 0 + …. + (b-a).2.(b-c)… + 0 + ….
= 2.(b-a).(b-c)…. ,
Entonces B2 = 2.p(b)/q’’(b)
Para obtener el valor B1 tendremos que proceder como siempre.
Caso de soluciones reales y complejas, todas simples:
Sea p(x)
q(x) , donde
q(x) = (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x-(a+bi)).(x-(a-bi)) =
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
227
= (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x2 -2ax +(a
2+b
2))
p(x)
q(x) = A1/(x-c1) +A2/(x-c2) +… + Ak/(x-ck) +
+ (M.x +N)/(x2 -2ax +(a
2+b
2))
Multiplicando por q(x)
p(x) = A1(x-c2)….(x-ck).(x2 -2ax +(a
2+b
2)) +
+ A2(x-c1).(x-c3)….(x-ck).(x2 -2ax +(a
2+b
2)) + … +
+ Ai.(x-c1)… excluido (x-ci)….(x2 -2ax +(a
2+b
2)) + …
+ Ak(x-c1)(x-c2)+ excluido (x-ck).(x2 -2ax +
+ (a2+b
2)) + (M.x +N).(x-c1)…(x-ck)
excluido (x2 -2ax +(a
2+b
2))
p(ci) = Ai.(ci-c1).(ci-c2)…
excluido (ci-ci)…(ci-ck)
.(ci2 -2aci +(a
2+b
2))
de donde
Ai = p(ci)/[(ci-c1).(ci-c2)… .
excluido (ci- ci)…
.(ci-ck).(ci2 -2aci +(a
2+b
2))]
Por otro lado, si derivamos q(x)
q(x) = (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x-(a+bi)).(x-(a-bi)) =
= (x-c1).(x-c2)… (x-ck).(x2 -2ax +(a
2+b
2))
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
228
q’(x) = (x-c2).(x-c3)…(x2 -2ax +(a
2+b
2)) +
+(x-c1).(x-c3)….(x2 -2ax +(a
2+b
2)) + …. (x-c1).
.(x-c2)…(x-ck-1).(x2 -2ax +(a
2+b
2)) + (x-c1).
.(x-c2)…(x-ck).(2x-2a)
Cuando x = ci tengo:
q’(ci) = (ci-c1).(ci-c2)…
excluido (ci-ci)
….(ci-ck).(ci2 -2ª.ci +(a
2+b
2))
y observamos que Ai = p(ci)/q’(ci)
Cuando x = z: (z = a+bi)
q’(z) = (z-c1).(z-c2)…..(z-ck).(2z -2a)
de donde (z-c1).(z-c2)…..(z-ck) = q’(z)/(2z-2a)
y análogamente
(z’-c1).(z’-c2)…..(z’-ck) = q’(z’)/(2z’-2a)
p(z) = (M.z +N).(z-c1).(z-c2)…..(z-ck) =
= (M.z +N).q’(z)/(2z-2a)
p(z’) = (M.z’ +N).(z’-c1).(z’-c2)…..(z’-ck) =
= (M.z’ +N).q’(z’)/(2z’-2a)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
229
Tengo el sistema
{𝑝(𝑧). (2𝑧 − 2𝑎) = 𝑞′(𝑧). 𝑧. 𝑀 + 𝑞′(𝑧). 𝑁
𝑝(𝑧′). (2𝑧′ − 2𝑎) = 𝑞′(𝑧′). 𝑧′. 𝑀 + 𝑞′(𝑧′). 𝑁
cuyas incógnitas son M, N
$$$$oOo$$$$
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
230
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
231
APÉNDICE 1:
Cambio de variable y cálculo de los coeficientes de la ecuación
reducida en las ecuaciones de tercer y cuarto grado
ECUACIÓN DE GRADO 3
p(x) = ax3+bx
2+cx+d, Cambio: x = x’+ u
Cálculos:
x2 = x’
2+2ux’+u
2,
x3 = (x’+u).( x’
2+2ux’+u
2) =
= x’3 + (2u+u)x’
2 +(u
2+2u
2)x’ + u
3 ,
p(x) = ax’3 +[3ua+b]x’
2 +[3u
2a+2ub+c]x’ +
+ [au3 +bu
2 +cu +d],
Hacemos que el coeficiente de x’2 sea cero:
3ua +b = 0 -> u = -b/3a
y llevando a (1) esta expresión de u, los coeficientes quedan así:
p = 3𝑎𝑏2
9𝑎2 −2𝑏2
3𝑎+ 𝑐 =
𝑏2−2𝑏2+3𝑎𝑐
3𝑎
q = −𝑎𝑏3
27𝑎3 +𝑏3
9𝑎2 −𝑏𝑐
3𝑎+ 𝑑 =
−𝑏3+3𝑏3−9𝑎𝑏𝑐+27𝑎2𝑑
27𝑎2
Divido por ‘a’ para que el primer coeficiente sea uno, y la
expresamos de la forma
x’3 +p.x’ + q = 0, donde
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
232
p = 3𝑎𝑐−𝑏2
3𝑎2 , q = 2𝑏3−9𝑎𝑏𝑐 + 27𝑎2𝑑
27𝑎3
(2)
ECUACIÓN DE GRADO 4
p(x) = ax4+bx
3+cx
2+dx+e, Cambio: x = x’+ u
x2 = x’
2+2ux’+u
2,
x3 = (x’+u).( x’
2+2ux’+u
2) =
= x’3 + (2u+u)x’
2 +(u
2+2u
2)x’ + u
3 ,
x4 = (x’+u).[ x’
3 + (2u+u)x’
2 +(u
2+2u
2)x’ + u
3]=
= x’4 +[3u+u]x’
3 +[3u
2+3u
2]x’
2 +[u
3+3u
3]x’+u
4]=
= x’4 +4u.x’
3 +6u
2.x’
2 +4u
3.x’ +u
4 ,
p(x) = ax’4 +[4ua+b]x’
3 +[6u
2a+3ub+c]x’
2 +
+ [4u3a+3u
2b+2uc+d]x’ +[u
4a+u
3b+u
2c+ud+e],
(1)
Hacemos que el coeficiente de x’3 sea cero:
4ua +b = 0 -> u = -b/4a
Los coeficientes de (1) quedan ahora así:
p = 6𝑎𝑏2
16𝑎2 −3𝑏2
4𝑎+ 𝑐 =
6𝑎𝑏2−12𝑎𝑏2+16𝑎2𝑐
16𝑎2
q = −4𝑎𝑏3
64𝑎3 +3𝑏3
16𝑎2 −2𝑏𝑐
4𝑎+ 𝑑 =
−4𝑎𝑏3+3𝑎𝑏3−8𝑎2𝑏𝑐+16𝑎3𝑑
16𝑎3
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
233
r = 𝑎𝑏4
256𝑎4 − 𝑏4
64𝑎3 + 𝑏2𝑐
16𝑎2 − 𝑏𝑑
4𝑎+ 𝑒 =
= −3𝑎𝑏4+16𝑎2𝑏2𝑐−64𝑎3𝑏𝑑+256𝑎4𝑒
256𝑎4
Dividimos por ‘a’ para que el primer coeficiente sea uno, y la
expresamos de la forma
x’4 +p.x’
2 + qx’ + r = 0, donde
p = 1
16.𝑎2 . [ 16𝑎𝑐 − 6𝑏2] ,
q = 1
64.𝑎3 . [−32𝑎𝑏𝑐 + 64𝑎2𝑑 + 8𝑏3],
r = 1
256.𝑎4 . [256𝑎3𝑒 − 64𝑎2𝑏𝑑 + 16𝑎𝑏2𝑐 − 3𝑏4]
Ejemplos:
De Reducidas y Resolventes:
1.- x3 -5x
2 +8x -10 = 0 ->
Resolvente de 2º grado: x2 -160x + 1 = 0
2.- x4 -2x
2 +5x -20 = 0 ->
Reducida: x4 -2x
2 +5x -20 = 0
Resolvente cúbica:
x3 -16x
2 +1344x -1600 = 0
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
234
Resolvente de 2º grado de esta cúbica:
x2 +142144x -53838872576 = 0
-----------
NOTA:
Notas Sobre la Ecuación general de grado > 4 sin soluciones
racionales.
Los estudiosos sobre este tema, en principio pretendieron
conseguir de forma análoga a lo conseguido para grado 3 y grado
4, para resolver la de grado 5 mediante radicales.
Pero después de infructuosos intentos en los siglos XVIII y XIX
se llegó a la conclusión de que en el caso general de una ecuación
de grado > 4 no es posible su resolución mediante radicales.
Según nuestro prestigioso Matemático Julio Rey Pastor
(Lecciones de Álgebra, Madrid 1960) llegaron a esta conclusión,
por un lado el matemático Ruffini a finales del siglo XVIII, y por
otro el matemático Abel en el inicio del XIX.
No obstante lo anterior, sí que algunos tipos de las referidas
ecuaciones son resolubles mediante radicales.
Fue el joven (y malogrado) Evaristo Galois, después de reconocer
y aceptar el resultado al que habían llegado Ruffini y Abel, y
acuciado por esta contrariedad, quien realizó un estudio formal y
completo en este tema estableciendo las condiciones que ha de
cumplir un tipo concreto de ecuación para que sea posible su
resolución mediante radicales. Aquí entra de lleno la llamada, en
su honor, Teoría de grupos de Galois.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
235
Según los resultados de esta Teoría, cada ecuación queda
caracterizada por su ‘grupo de Galois’. Véase en la bibliografía el
texto recomendado.
Según expone Rey Pastor, también Hilbert estudió este aspecto
de las ecuaciones (finales del siglo XIX), aceptando la conclusión
a la que llegaron Ruffini y Abel.
$$$$oOo$$$$
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
236
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
237
APÉNDICE 2:
Sobre las llamadas ‘sumas simples’, y la relación entre los
coeficientes de P(x) y sus raíces
Definición:
Función simétrica respecto de los valores x1, x2, x3, … , xn, son
aquellas funciones f(x1,x2,…,xn) para las que no cambia su valor
cuando realizamos una permutación entre los valores xi.
Sumas simétricas de las raíces de P(x)
Si x1 ,x2, … , xn son las raíces (soluciones) de P(x) = 0, las
siguientes expresiones son simétircas respecto de ellas:
s0 = x10 +x2
0 + … +xn
0
s1 = x1 + x2 + … + xn
s2 = x12 +x2
2 + … +xn
2
……………………………
sk = x1k +x2
k + … +xn
k
…………………………
Son las más simples en las que intervienen exclusivamente las
raíces de P(x), y esta es la razón por las que también se las llama
‘Sumas simples’ de x1, x2, … , xn. Si hacemos intervenir el
producto entre las xi, tal como xi.xj, obtenemos otras expresiones
también simétricas más complicadas, y que no trataremos aquí.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
238
Obtención de las Sumas simples sk
Lo que sigue lo llamamos ‘Regla de Girard’ (estudiada en el siglo
XVII).
Sea P(x) = anxn + … +a1x +a0, y su derivada P’(x). Expresamos
en factores
P(x) = an.(x-x1).(x-x2). … .(x-xn),
P’(x) = an.∑ ∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)𝑖≠𝑘𝑘=1,…,𝑛
𝑃′(𝑥)
𝑃(𝑥) =
1
𝑥−𝑥1+
1
𝑥−𝑥2+ ⋯ +
1
𝑥−𝑥𝑛 ,
Hacemos la división de cada una de estas fracciones obteniendo
una serie, como sigue
1 | x –x1
-----------------------
1/x +x1/x2 +x1
2/x
3 + … +
𝑥1𝑘−1
𝑥𝑘 + …
-1 +x1/x
-x1/x +x12/x
2
-x12/x
2 +x1
3/x
3
…………
Del mismo modo con el resto de las fracciones 1
𝑥−𝑥𝑗 .
Supongamos que ya tenemos las series
1
𝑥−𝑥1=
1
x+
x1
x2 +x12
x3 + … +𝑥1𝑘−1
𝑥𝑘 + …
1
𝑥−𝑥2=
1
x+
x2
x2 +x22
x3 + … +𝑥2𝑘−1
𝑥𝑘 + …
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
239
………………………
1
𝑥−𝑥𝑛=
1
x+
xn
x2 +x𝑛2
x3 + … +𝑥𝑛𝑘−1
𝑥𝑘 + …
Sumando por columnas obtenemos
𝑃′(𝑥)
𝑃(𝑥)=
𝑠0
𝑥 +
𝑠1
𝑥2 +𝑠2
𝑥3 + ⋯ +𝑠𝑘
𝑥𝑘 + ⋯
de donde deducimos que las sumas simples sk son los coeficientes
de 1/x, 1/x2, …, 1/x
k, … , en la división P’(x):P(x).
Ejemplo: P(x) = x3 -5x
2 +4x -3,
P’(x) = 3x2 -10x +4
3x2 -10x +4 | x
3 -5x
2 +4x -3
------------------
3/x +5/x2 +17/x
3 +74/x
4 …
-3x2 +15x -12 +9/x
-----------------
5x -8 + 9/x
-5x +25 -20/x +15/x2
-------------------
+17 -11/x +15/x2
-17 +85/x -68/x2 +51/x
3
-----------------------
+74/x -53/x2 +51/x
3
………………………
Obtenemos: s0 = 3, s1 = 5, s2 = 17, s3 = 74, …
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
240
Ejemplo: P(x) = x3 +5x -4, P’(x) = 3x
2 +5
3x2 +5 | x
3 +5x -4
----------------
3/x -10/x3 +12/x
4 +50/x
5 …
-3x2 -15 +12/x
--------------
-10 +12/x
+10 +50/x2 -40/x
3
------------------
+12/x +50/x2 -40/x
3
-12/x -60/x3 +48/x
4
---------------------------
+50/x2 -100/x
3 +48/x
4
-50/x2 -250/x
4 +200/x
5
---------------------------
-100/x3 -202/x
4+200/x
5
……………
Obtengo: s0 = 3, s1 = 0, s2 = -10, s3 = 12,
s4 = 50, ….
Relación entre las sumas simples sk y los coeficientes de P(x)
Por comodidad cambio la notación al expresar P(x), quedando
como sigue.
Sea P(x) = a0xn +a1x
n-1 + … + an-2x
2 +an-1x + an
P’(x) = n.a0.xn-1
+(n-1).a1.xn-2
+ … +2.an-2.x +an-1
(1)
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
241
Recordemos que 𝑃′(𝑥)
𝑃(𝑥) =
1
𝑥−𝑥1+
1
𝑥−𝑥2+ ⋯ +
1
𝑥−𝑥𝑛 , y de
aquí
P’(x) = 𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥1+
𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥2+ ⋯ +
𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥𝑛
Si ‘a’ es una de las raíces xi y hago la división
P(x) : (x-a) tengo, aplicando Ruffini:
a0 a1 a2 …… an-1 an
a | a.a0 a.(a1+a.a0)
-------------------------------------------
a0 a1+a.a0 a2+a.(a1+a.a0) …
Haciendo ‘a’ igual a cada una de las raíces xi, tengo
𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥1 = a0x
n-1 +(a1+x1.a0)x
n-2 +(a2+x1.a1+x1
2.a0)x
n-3
+ … 𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥2 = a0x
n-1 +(a1+x2.a0)x
n-2 +(a2+x2.a1+x2
2.a0)x
n-3
+ … 𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥3 = a0x
n-1 +(a1+x3.a0)x
n-2 +(a2+x3.a1+x3
2.a0)x
n-3
+ …
……………………………………………………………
𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥𝑛 = a0x
n-1 +(a1+xn.a0)x
n-2 +(a2+xn.a1+xn
2.a0)x
n-3
+ …
Sumando por columnas obtengo
P’(x) = 𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥1+
𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥2+ ⋯ +
𝑃(𝑥)
𝑥−𝑥𝑛 = n.a0x
n-1 +
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
242
+ (n.a1+a0.s1)xn-2
+ (n.a2+a1.s1+a0.s2)xn-3
+ …
Igualando coeficientes con la expresión (1) tenemos
n.a0 = n.a0
(n-1).a1 = n.a1+a0.s1
(n-2).a2 = n.a2 +a1.s1 +a0.s2)
……………………………………
Reescribiendo las igualdades anteriores
-a1 = a0.s1
-2.a2 = a0.s2 + a1.s1
-3.a3 = a0.s3 + a1.s2 + a2.s1
-4.a4 = a0.s4 + a1.s3 + a2.s2 + a3.s1
…………………………………
-k.ak = a0.sk + a1.sk-1 + … + ak-2.s2 +ak-1s1
donde hemos de entender que ak = 0 para k > n.
Podemos despejar los valores sj (siempre s0 = n)
s1 = −𝑎1
𝑎0
s2 = −(2.𝑎2+𝑎1.𝑠1)
𝑎0
s3 = −(3.𝑎3+𝑎1.𝑠2+𝑎2.𝑠1)
𝑎0
s4 = −(4.𝑎4+𝑎1.𝑠3+𝑎2.𝑠2+𝑎3.𝑠1)
𝑎0
………………………
sk = −( 𝑘.𝑎𝑘+a1.Sk−1 + … + ak−2.S2 + ak−1.S1)
𝑎0
…………………………
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
243
ANEXO: ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Def.: Llamamos ecuación diofántica a una ecuación de la forma
a.x + b.y = c, donde los coeficientes son enteros, y para la cual
deseamos encontrar las soluciones enteras.
Afirmamos:
La ecuación a.x + b.y = c, con coeficientes enteros, admite
soluciones enteras precisamente si el máximo común divisor d =
mcd(a,b) divide también a c.
Dem.: Sea d = mcd(a,b) y supongamos que d es divisor de c.
Entonces
a = d.a’, b = d.b’ , c = d.c’
y la ecuación queda así:
a’.x + b’.y = c’ , donde a’, b’, c’ son irreducibles.
Volvemos a escribirla de la forma a.x + b.y = c, donde a, b, c
son irreducibles, por lo cual mcd(a, b) = 1
Por el Lema de Bezout (Véase más abajo) existen valores ∝, 𝛽
tales que
a. ∝ + b. 𝛽 = d, donde d = mcd(a,b)
y entonces, con la notación anterior: a’. ∝ + b’. 𝛽 = 1
Multiplicando por c tengo c = (a’.c). ∝ + (b’. 𝑐). 𝛽 =
= a.(c’.∝) + b.(𝑐′. 𝛽) , y por tanto una solución de a.x + b.y =
c es
x = c’.∝, y = c’.𝛽, o bien {𝑥 =
c
d. ∝
𝑦 =𝑐
𝑑. 𝛽
Será suficiente obtener los valores ∝, 𝛽 dados por el Lema de
Bezout.
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
244
Recíproco: Supongamos que xo, yo es una solución, valores
enteros. Entonces
a.xo + b.yo = c . Si d = mcd(a,b), tenemos (a.xo + b.yo)
𝑑=
𝑐
𝑑 , y por tanto a’.xo + b’.yo =
𝑐
𝑑 . Puesto que el miembro
izquierda es un valor entero también ha de serlo 𝑐
𝑑 , es decir d
divide al término independiente c.
Solución general de la Ecuación Diofántica:
Supongamos que (xo , yo ) es una solución particular de a.x + b.y
= c, valores enteros. Veremos que los siguientes valores también
son solución
{𝑥 = 𝑥𝑜 +
𝑏
d. t
𝑦 = 𝑦𝑜 − 𝑎
𝑑. 𝑡
, donde t recorre los entero (*)
En efecto: Tomando a’ = a/d, b’ = b/d, realizo
a.( 𝑥𝑜 + b′. t) + b.( 𝑦𝑜 − 𝑎′. 𝑡) = (a.𝑥𝑜 + 𝑏. 𝑦𝑜) + t.(- a’.b + b’.a) =
(por ser (x0, y0) una solución )
= c + t.(- a’.b + b’.a) = c + t. (−𝑎
𝑑. 𝑏 +
𝑏
𝑑. 𝑎) = c +
𝑡
𝑑 . (−𝑎. 𝑏 +
𝑏. 𝑎) =
= c + 0 = c
Conclusión: Conocida una solución particular (por ejemplo la
obtenida aplicando Bezout) , otra solución cualquiera es de la
forma (*)
---------------
Lema de Bezout:
Sean a, b enteros con a > b, y sea d = mcd(a, b).
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
245
Afirmamos que existen valores enteros ∝, 𝛽 que satisfacen la
igualdad
𝑎. ∝ + b. 𝛽 = d (1)
Haciendo divisiones sucesivas tenemos lo siguiente (Es el
llamado algoritmo de Euclides)
a = b.q1 + r1 , r1 < b , entero no negativo
b = r1.q2 + r2 , r2 < r1, entero no negativo
r1 = r2.q3 + r3 , r3 < r2, entero no negativo
Llegará un momento en el que rk = 0. Supongamos es el
siguiente
r2 = r3.q4 + r4 , r4 = 0 (r3 es último resto no
nulo)
Llegado a este punto consideramos el último resto no nulo, rk-1,
por ejemplo r3.
Despejo r3 y avanzo de abajo hacia arriba.
r3 = r1 – r2.q3 = r1 – q3.(b – r1.q2) =
= (a – b.q1) – q3.(b – q2.(a – b.q1) ) =
= (a + q3.q2.a) + (- b.q1 – q3.b – q3.q2.q1.b) =
= a.(1 + q2.q3) + b.(- q1 – q3 - q3.q2.q1)
Haciendo ∝ = 1 + q2.q3, 𝛽 = - q1 - q3 - q3.q2.q1 , tengo
r3 = a. ∝ + b. 𝛽 (2)
Afirmamos: El valor r3, último resto no nulo, es divisor de a y
de b.
a = b.q1 + r1 , r1 < b , entero no negativo
b = r1.q2 + r2 , r2 < r1, entero no negativo
r1 = r2.q3 + r3 , r3 < r2, entero no negativo
r2 = r3.q4
Subiendo al tiempo que sustituimos ….
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
246
r1 = r3.(q4.q3) + r3 = r3.(1 + q3.q4)
b = r3.(1 + q3.q4) .q2 + r3.q4 = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4] ,
y por tanto r3 es divisor de b.
a = r3.[(1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =
= r3.[ (1 + q3.q4).q2 + q4].q1 + r3.(1 + q3.q4) =
= r3. [ …………………………….] , y por tanto r3 es
divisor de a.
Por lo tanto r3 divide a d = mcd(a, b)
Por otro lado, la igualdad (2) podemos expresarla así
r3 = a. ∝ + b. 𝛽 = d. (a’. ∝ + b’. 𝛽), donde a’ = a/d,
b’ = b/d
donde vemos que d divide a r3. Por tanto d = r3.
Conclusión: Al aplicar el algoritmo de Euclides el último resto
no nulo nos da el MCD(a, b).
------------
Cuestiones de interés:
1.- Si d divide a a y a b, entonces d divide a (a + b)
En efecto, a = a’.d, b = b’.d -- > a + b = d. (a’ + b’) -- > d
divide a (a + b).
2.- Si tengo a = b.q + r, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r)
En efecto, sea d = mcd(a, b), entonces a = a’.d, b = b’.d -- >
d.a’ = (d.b’).q + r , d.(a’ – b’.q) = r, y como el valor
(a’ – b’.q) es entero, necesariamente de es divisor de r, y por
tanto d divide a mcd(b, r). Sea c = mcd(b, r) -- > b = b’.c, r =
r’.c -- > a = c.(b’.q + r’) -- > c divide a a, y por tanto c
divide a d = mcd(a, b) . Por tanto c = d.
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
247
3.- Si m divide al producto a.b y es primo con a, entonces divide
a b.
En efecto: Si m divide al producto a.b, entonces, tomando la
descomposición factorial de m, todos los factores de m lo son de
a.b. Pero m es primo con a, ningún factor de m está en a, por lo
cual todos los factores de m están en b.
4.- Si d2 divide a (a + b)
2 , entonces d divide a (a + b)
En efecto, 𝑚 =(𝑎+𝑏)2
𝑑2 = (𝑎+𝑏)
𝑑 .
(𝑎+𝑏)
𝑑= 𝑘. 𝑘 = 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 , por lo
tanto k = (𝑎+𝑏)
𝑑 es entero, y d es divisor de (a + b).
5.- Se cumple mcd(a2, b
2, a.b) = (mcd(a, b))
2
Si d = mcd(a, b) entonces d2 divide a a
2, b
2 , a.b, y por tanto
d2 divide a su D = mcd(a
2, b
2, a.b)
Razonamiento: Sea d = mcd(a,b). Sabemos que d = “producto
de los factores primos comunes de a y b”. Entonces d2 =
“producto del cuadrado de los factores primos comunes de a y b”,
mientras que, por otro lado, mcd(a2, b
2) = “producto de los
factores primos comunes de a2 y b
2” = “producto del cuadrado
de los factores primos comunes de a y b” = d2.
Por tanto: mcd(a2, b
2) = [mcd(a, b)]
2
Además, si c es un factor común de a y b, entonces c2 es factor
de a.b, y por tanto c2 figura en mcd(a
2, b
2, a.b), y podemos
concluir que
mcd(a2, b
2, a.b) = mcd(a
2, b
2). Final: mcd(a
2, b
2, a.b) = [mcd(a,
b)]2
--------------
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
248
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
249
BIBLIOGRAFÍA
Elementos de Matemáticas
S.A.E.T.A. (Sociedad Anónima Española de Traductores y
Autores)
Julio Rey Pastor y A. de Castro
Madrid 1967
Lecciones de Álgebra,
5ª Edición, Madrid 1960
Julio Rey Pastor
Análisis Matemático, Volúmenes I
Octava Edición 1969
Autores: Julio Rey Pastor
Pedro Pi Calleja
César A. Castro
Editorial KAPELUSZ, Buenos Aires (Argentina)
Cálculo Numérico Fundamental
Autor: B.P. Demidovich
I.A. Maron
Paraninfo S.A., Segunda Edición, año: 1985, Madrid
-Introducción a la Teoría Analítica de Números
(Introduction to Analytic Number Theory)
Autor: Tom M. Apostol
Traducción: José Plá Carrera
Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1980
Álgebra
Autor: Serge Lang (Universidad de Colombia)
Traducción: Milagros Ancochea
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1971
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
250
Álgebra Moderna
Autor: A. Lentin y J. Rivaud
Traducción: Emilio Motilva Ylarri
Aguilar, S.A. de Ediciones, Madrid, año: 1965
Lecciones de Álgebra Moderna
Autor: P. Dubreil, M.L. Dubreil-Jacotin
Traducción: R. Rodríguez Vidal
Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1971
Álgebra Superior (Higher Algebra)
Autor: H.S. Hall, M. A., y S.R. Knight, B.A.
Traducción: Rafael García Díaz
Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México,
Reimpresión de 1969
Teoría Algebraica de Números
Autor: Pierre Samuel
Traducción: Manuel Udina Abelló y Mª José Castello
Esnal
Ediciones Omega, S.A., Barcelona, Colección Métodos, año:
1972
Elementos de álgebra abstracta
Autor: A. Clark
Traducción: A. López-Lago y J. Margaref Roig
Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1974
Álgebra Moderna
Autor: I.N. Herstein
Traducción: Federico Velasco Coba
Editorial F. Trillas, S.A., México 1970
Curso de Álgebra Moderna
Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
251
Autor: Peter Hilton y Yel-Chiang Wu
Editorial Reveté, S.A., Barcelona, año: 1977
Álgebra Binaria de Boole, y sus Aplicaciones a la Informática
Autor: Raoul de Palma
Traducción: Rafael Romero Mercadal
Editorial: Marcombo, S.A. de Boixareu Editores, Barcelona,
año: 1973
Introducción al Álgebra Conmutativa
(Introduction to Conmutative Algebra)
Autor: M.F. Atiyah y I.G. Macdonald
Traducción: Griselda Pascual Xufré
Editorial Reverté, S.A., Barcelona, año: 1973
Teoría de Galois
Autor: Emil Artin
Traducción: R. Rodríguez Vidal
Editorail Vicens-vives, año: 1970
(Colección de Matemáticas “Nuevo Límite)
Álgebra Lineal
Autor: Daniel Hernández Ruipérez
Ediciones Universidad de Salamanca, año: 1990
Geometría Vectorial
Autor: Norberto Cuesta Dutari
Editorial Alhambra, S.A., Madrid 1968
Programación Lineal
Autor: Laureano F. Escudro
Ediciones Deusto, S.A. Año: 1976
Polinomios y fracciones. Ecuaciones, Sistemas.
Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
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Todo Matemáticas, Vol.2, Álgebra básica
253
NOTACIÓN y Nomenclatura. Valores:
Símbolo Significado
* Producto
. Producto
^ Potencia
sqr(a) Raíz cuadrada
rad(a) Raíz cuadrada
rad(a;n) Radical con índice n
rad(a;n/m) Radical con índice n/m
∈ significa ‘pertenece a’
∞ infinito
exp(x) Exponencial: exp(x) = ex
exp(x;a) Exponencial de base a>0:
exp(x;a) = ax
ln(x) Logaritmo neperiano:
y = ln(x) <--> x = ey
log(x;a) Logaritmo base a>0:
y = log(x;a) <--> x = ay
≅ aproximado
∆ incremento
< menor que …, > mayor que …, Ej: x < y, x > y
≤ menor que …, ≥ mayor que …, Ej: x ≤ y, x ≥ y
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Descomposición en fracciones simples. Sumas simples, …
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Valores:
𝜋 = 3,1415927... (número pi, en radianes)
pi = 3,1415927... (número pi, en radianes)
e = 2,7182818... (número e, base de ln(x))
sen(0) = 0 cos(0) = 1
sen(pi/6) = 1
2 cos(pi/6) =
√3
2
sen(pi/3) = √3
2 cos(pi/3) =
1
2
sen(pi/2) = 1, cos(pi/2) = 0