Download - 5 Formulacion Mef Para Estados Planos
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Z
Y
X
SuSf
t
v
𝜎 =
𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑥𝑦
=
𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜏𝑥𝑦
𝜀 =
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝜀𝑥𝑦
=
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝛾𝑥𝑦
x
yz
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Z
Y
X
SuSf
t
v
𝑢 = 𝑢 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑥, 𝑦
𝜎𝑧𝑧 = 𝜈 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
x
yz
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜎 = 𝐶 𝜀
𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
De manera general, en elasticidad tridimensional:
𝜕𝜀 =
𝜕
𝜕𝑥0
0𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
Deformaciones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝜀𝑥𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥0
0𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝑢 𝑥,𝑦
𝑣 𝑥,𝑦
𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
Deformaciones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜎 = 𝐶 𝜀
𝐶 =𝐸 1 − 𝜐
1 + 𝜐 1 − 2𝜐
1
𝜐
1 − 𝜐0
𝜐
1 − 𝜐1 0
0 01 − 2𝜐
2 1 − 𝜐
Tensiones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜎 = 𝐶 𝜀
𝜎 =𝐸 1 − 𝜐
1 + 𝜐 1 − 2𝜐
1
𝜐
1 − 𝜐0
𝜐
1 − 𝜐1 0
0 01 − 2𝜐
2 1 − 𝜐
𝜀
Tensiones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜎 = 𝐶 𝜀
𝜎 =𝐸 1 − 𝜐
1 + 𝜐 1 − 2𝜐
1
𝜐
1 − 𝜐0
𝜐
1 − 𝜐1 0
0 01 − 2𝜐
2 1 − 𝜐
𝜕
𝜕𝑥0
0𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝑢 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑥,𝑦
Tensiones para EPD:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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Lu
Lf
X
yz
𝑡 𝜀𝑇𝜎𝑑𝐴
𝐴
= 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿
𝐿𝑓
∀ 𝑢 , 𝑢 = 0 en 𝐿𝑢
P.T.V.:
𝜀𝑇𝜎𝑑𝑧𝑑𝐴
𝑡2
−𝑡 2 𝐴
= 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝑧𝑑𝐴
𝑡2
−𝑡 2 𝐴
+ 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝑧𝑑𝐿
𝑡2
−𝑡 2 𝐿𝑓
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜎 = 𝐶 𝜀
𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
𝑡 𝜀𝑇𝜎𝑑𝐴
𝐴
= 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿
𝐿𝑓
∀ 𝑢 , 𝑢 = 0 en 𝐿𝑢
𝑡 𝜕𝜀 𝑢 𝑇𝐶 𝜕𝜀 𝑢𝑑𝐴
𝐴
= 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿
𝐿𝑓
∀ 𝑢 ,𝑢 = 0 en 𝐿𝑢
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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A
m
DISCRETIZACION:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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PUNTOS
m
NODALES
y,v
x,u
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𝑢 𝑚 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑚 𝑥, 𝑦 Interpolación 𝑢 =
𝑢1
𝑣1𝑢2
𝑣2𝑢3
𝑣3𝑢4
𝑣4
v2
u2
v3
u3
v4
u4
v1
u1
y
x
Referencial Local:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝑢ℎ 𝑥,𝑦 ,𝑣ℎ 𝑥,𝑦
𝑢ℎ 𝑥,𝑦 , 𝑣ℎ 𝑥,𝑦
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m
1 2 3 4
5 6 7 8 9
Up
Uk
y,v
x,u
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
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v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Referencial Local:
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1
Y
X
h1(x,y)
ℎ1 𝑥1,𝑦1 = 1
ℎ1 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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1
Y
X
h2(x,y)
ℎ2 𝑥2,𝑦2 = 1
ℎ2 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 2
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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1
Y
X
h3(x,y)
ℎ3 𝑥3,𝑦3 = 1
ℎ3 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 3
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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1
Y
X
h4(x,y)
ℎ4 𝑥4,𝑦4 = 1
ℎ4 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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ℎ1 𝑥, 𝑦 =1
4𝑎𝑏 2𝑥 + 𝑎 2𝑦 + 𝑏
ℎ2 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 + 2𝑦
ℎ3 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 − 2𝑦
ℎ4 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 + 2𝑥 𝑏 − 2𝑦
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ1 𝑥,𝑦 𝑢1 + ℎ2 𝑥, 𝑦 𝑢2 + ℎ3 𝑥,𝑦 𝑢3 + ℎ4 𝑥, 𝑦 𝑢4
𝑢 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 𝑢𝑖
𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ𝑖 𝑥, 𝑦 𝑢𝑖
4
𝑖=1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝑣 𝑥, 𝑦 = ℎ𝑖 𝑥, 𝑦 𝑣𝑖
4
𝑖=1
𝑣 𝑥,𝑦 = ℎ1 𝑥, 𝑦 𝑣1 + ℎ2 𝑥, 𝑦 𝑣2 + ℎ3 𝑥,𝑦 𝑣3 + ℎ4 𝑥,𝑦 𝑣4
𝑣 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 𝑣𝑖
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝑢 𝑚 = 𝑢 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑥, 𝑦
𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑢
𝐻 = ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4 00 ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4
𝑢 𝑇 = 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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Referencial Local:
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝑈𝑇 = 𝑈1 𝑈2 ⋯ 𝑈𝑁
𝑢2x1 𝑚
= 𝐻2xN 𝑚
𝑈Nx1
𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ1𝑈𝑖 + ℎ2𝑈𝑟 + ℎ3𝑈𝑒 + ℎ4𝑈𝑡
𝑣 𝑥,𝑦 = ℎ1𝑈𝑗 + ℎ2𝑈𝑠 + ℎ3𝑈𝑓 + ℎ4𝑈𝑜
Para toda la estructura:
𝐻 𝑚 = 0 ⋯ 0 ℎ3 0 0 0 ℎ1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ℎ2 0 ℎ4 0 ⋯ 00 … 0 0 ℎ3 0 0 0 ℎ1 0 ⋯ 0 ℎ4 0 0 0 ℎ2 0 0 ⋯ 0
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 𝑜 𝑟 𝑠 𝑡
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜀 𝑚 =
𝜀𝑥𝑥
𝑚
𝜀𝑦𝑦 𝑚
𝛾𝑥𝑦 𝑚
= 𝐵 𝑚 𝑈
𝜀𝑥𝑥 𝑚
=𝜕𝑢 𝑚
𝜕𝑥=
𝜕ℎ𝑖𝜕𝑥
4
𝑖=1
𝑢𝑖
𝜀𝑦𝑦 𝑚
=𝜕𝑣 𝑚
𝜕𝑦=
𝜕ℎ𝑖𝜕𝑦
4
𝑖=1
𝑣𝑖
𝛾𝑥𝑦 𝑚
=𝜕𝑢 𝑚
𝜕𝑦+𝜕𝑣 𝑚
𝜕𝑥=
𝜕ℎ𝑖𝜕𝑦
4
𝑖=1
𝑢𝑖 + 𝜕ℎ𝑖𝜕𝑥
4
𝑖=1
𝑣𝑖
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑚 𝑈
𝜀 𝑚 = 𝜕𝜀 𝐻 𝑚 𝑈
𝐵 𝑚 = 𝜕𝜀 𝐻 𝑚
𝜀 𝑚 = 𝐵 𝑚 𝑈
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝐾 𝑚 = 𝐵 𝑚 𝑇𝐶 𝑚 𝐵 𝑚 𝑑𝐴 𝑚
𝐴 𝑚
𝐾𝑖𝑗 𝑚
= 𝐵𝑖 1x3 𝑚 𝑇
𝐶3x3 𝑚
𝐵𝑗 3x1 𝑚
𝑑𝐴 𝑚
𝐴 𝑚
𝐵𝑖 𝑚
∶ Columna i de la matriz 𝐵 𝑚
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝑈𝑖 𝑦 𝑈𝑗 pertenecen al elemento 𝑚 ⇒ 𝐾𝑖𝑗 ≠ 0
𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑢 = ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4 00 ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4
𝑢
𝜀 𝑚 = 𝐵 𝑢 =
𝜕ℎ1
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ1
𝜕𝑦𝜕ℎ1
𝜕𝑦
𝜕ℎ1
𝜕𝑥
𝜕ℎ2
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ2
𝜕𝑦𝜕ℎ2
𝜕𝑦
𝜕ℎ2
𝜕𝑥
𝜕ℎ3
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ3
𝜕𝑦𝜕ℎ3
𝜕𝑦
𝜕ℎ3
𝜕𝑥
𝜕ℎ4
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ4
𝜕𝑦𝜕ℎ4
𝜕𝑦
𝜕ℎ4
𝜕𝑥
𝑢
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝐾8x8 𝑚
= 𝐵8x3𝑇 𝐶3x3𝐵3x8
𝐴
𝑑𝐴
𝐾𝑝𝑞 𝑚
= 𝐵𝑝𝑇 𝐶 𝐵𝑞 𝑑𝐴
𝐴
sistema local ⟶ 𝐾𝑝𝑞 𝑚
sistema global ⟶ 𝐾𝑖𝑗 𝑚
𝐾𝑝𝑞 𝑚
= 𝐾𝑖𝑗 𝑚
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE DEFORMACION
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𝐿𝑀 𝑚 = 𝑖𝑢1
1
𝑗𝑣1
2
𝑟𝑢2
3
𝑠𝑣2
4
𝑒𝑢3
5
𝑓𝑣3
6
𝑡𝑢4
7
𝑜𝑣4
8
Referencial Local Referencial Global
posición 𝑖𝑖 ⨁𝐾11 𝑚
posición 𝑖𝑗 ⨁𝐾12 𝑚
posición 𝑖𝑟 ⨁𝐾13 𝑚
⋮
posición 𝑖𝑜 ⨁𝐾18 𝑚
posición 𝑗𝑗 ⨁𝐾22 𝑚
posición 𝑗𝑟 ⨁𝐾23 𝑚
posición 𝑗𝑠 ⨁𝐾24 𝑚
⋮
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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𝑢 = 𝑢 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑥, 𝑦
𝜀 =
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝜀𝑥𝑦
=
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝛾𝑥𝑦
𝜎 =
𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑥𝑦
=
𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜏𝑥𝑦
𝜀𝑧𝑧 = −𝜈
𝐸 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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𝜎 = 𝐶 𝜀
𝐶 =𝐸
1 − 𝜐2
1 𝜐 0𝜐 1 0
0 01 − 𝜐
2
𝜎 =𝐸
1 − 𝜐2
1 𝜐 0𝜐 1 0
0 01 − 𝜐
2
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝜀𝑥𝑦
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦𝜀𝑥𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥0
0𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝑢 𝑥,𝑦
𝑣 𝑥,𝑦
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
𝜎 =𝐸
1 − 𝜐2
1 𝜐 0𝜐 1 0
0 01 − 𝜐
2
𝜕
𝜕𝑥0
0𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝑢 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑥,𝑦
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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Lu
Lf
X
yz
𝑡 𝜀𝑇𝜎𝑑𝐴
𝐴
= 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿
𝐿𝑓
∀ 𝑢 , 𝑢 = 0 en 𝐿𝑢
P.T.V.:
𝜀𝑇𝜎𝑑𝑧𝑑𝐴
𝑡2
−𝑡 2 𝐴
= 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝑧𝑑𝐴
𝑡2
−𝑡 2 𝐴
+ 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝑧𝑑𝐿
𝑡2
−𝑡 2 𝐿𝑓
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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𝜎 = 𝐶 𝜀
𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
𝑡 𝜀𝑇𝜎𝑑𝐴
𝐴
= 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿
𝐿𝑓
∀ 𝑢 , 𝑢 = 0 en 𝐿𝑢
𝑡 𝜕𝜀 𝑢 𝑇𝐶 𝜕𝜀 𝑢𝑑𝐴
𝐴
= 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝐵𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑡 𝑢𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿
𝐿𝑓
∀ 𝑢 ,𝑢 = 0 en 𝐿𝑢
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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A
m
DISCRETIZACION:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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PUNTOS
m
NODALES
y,v
x,u
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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𝑢 𝑚 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑚 𝑥, 𝑦 Interpolación 𝑢 =
𝑢1
𝑣1𝑢2
𝑣2𝑢3
𝑣3𝑢4
𝑣4
v2
u2
v3
u3
v4
u4
v1
u1
y
x
Referencial Local:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝑢ℎ 𝑥,𝑦 ,𝑣ℎ 𝑥,𝑦
𝑢ℎ 𝑥,𝑦 , 𝑣ℎ 𝑥,𝑦
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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m
1 2 3 4
5 6 7 8 9
Up
Uk
y,v
x,u
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Referencial Local:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
1
Y
X
h1(x,y)
ℎ1 𝑥1,𝑦1 = 1
ℎ1 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
1
Y
X
h2(x,y)
ℎ2 𝑥2,𝑦2 = 1
ℎ2 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 2
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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1
Y
X
h3(x,y)
ℎ3 𝑥3,𝑦3 = 1
ℎ3 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 3
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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1
Y
X
h4(x,y)
ℎ4 𝑥4,𝑦4 = 1
ℎ4 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 0 𝑖 ≠ 4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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ℎ1 𝑥, 𝑦 =1
4𝑎𝑏 2𝑥 + 𝑎 2𝑦 + 𝑏
ℎ2 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 + 2𝑦
ℎ3 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 − 2𝑦
ℎ4 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 + 2𝑥 𝑏 − 2𝑦
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ1 𝑥,𝑦 𝑢1 + ℎ2 𝑥, 𝑦 𝑢2 + ℎ3 𝑥,𝑦 𝑢3 + ℎ4 𝑥, 𝑦 𝑢4
𝑢 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 𝑢𝑖
𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ𝑖 𝑥, 𝑦 𝑢𝑖
4
𝑖=1
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝑣 𝑥, 𝑦 = ℎ𝑖 𝑥, 𝑦 𝑣𝑖
4
𝑖=1
𝑣 𝑥,𝑦 = ℎ1 𝑥, 𝑦 𝑣1 + ℎ2 𝑥, 𝑦 𝑣2 + ℎ3 𝑥,𝑦 𝑣3 + ℎ4 𝑥,𝑦 𝑣4
𝑣 𝑥𝑖 ,𝑦𝑖 = 𝑣𝑖
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝑢 𝑚 = 𝑢 𝑥, 𝑦
𝑣 𝑥, 𝑦
𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑢
𝐻 = ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4 00 ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4
𝑢 𝑇 = 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Referencial Local:
v2
u2
v3
u3
v4
u4
y
x
v1
u1
b
a
3 4
12
Us
Ur
Uf
Ue
Uo
Ut
y
x
Uj
Ui
Referencial Global:
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝑈𝑇 = 𝑈1 𝑈2 ⋯ 𝑈𝑁
𝑢2x1 𝑚
= 𝐻2xN 𝑚
𝑈Nx1
𝑢 𝑥, 𝑦 = ℎ1𝑈𝑖 + ℎ2𝑈𝑟 + ℎ3𝑈𝑒 + ℎ4𝑈𝑡
𝑣 𝑥,𝑦 = ℎ1𝑈𝑗 + ℎ2𝑈𝑠 + ℎ3𝑈𝑓 + ℎ4𝑈𝑜
Para toda la estructura:
𝐻 𝑚 = 0 ⋯ 0 ℎ3 0 0 0 ℎ1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ℎ2 0 ℎ4 0 ⋯ 00 … 0 0 ℎ3 0 0 0 ℎ1 0 ⋯ 0 ℎ4 0 0 0 ℎ2 0 0 ⋯ 0
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 𝑜 𝑟 𝑠 𝑡
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
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𝜀 𝑚 =
𝜀𝑥𝑥
𝑚
𝜀𝑦𝑦 𝑚
𝛾𝑥𝑦 𝑚
= 𝐵 𝑚 𝑈
𝜀𝑥𝑥 𝑚
=𝜕𝑢 𝑚
𝜕𝑥=
𝜕ℎ𝑖𝜕𝑥
4
𝑖=1
𝑢𝑖
𝜀𝑦𝑦 𝑚
=𝜕𝑣 𝑚
𝜕𝑦=
𝜕ℎ𝑖𝜕𝑦
4
𝑖=1
𝑣𝑖
𝛾𝑥𝑦 𝑚
=𝜕𝑢 𝑚
𝜕𝑦+𝜕𝑣 𝑚
𝜕𝑥=
𝜕ℎ𝑖𝜕𝑦
4
𝑖=1
𝑢𝑖 + 𝜕ℎ𝑖𝜕𝑥
4
𝑖=1
𝑣𝑖
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝜀 = 𝜕𝜀 𝑢
𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑚 𝑈
𝜀 𝑚 = 𝜕𝜀 𝐻 𝑚 𝑈
𝐵 𝑚 = 𝜕𝜀 𝐻 𝑚
𝜀 𝑚 = 𝐵 𝑚 𝑈
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝐾 𝑚 = 𝐵 𝑚 𝑇𝐶 𝑚 𝐵 𝑚 𝑑𝐴 𝑚
𝐴 𝑚
𝐾𝑖𝑗 𝑚
= 𝐵𝑖 1x3 𝑚 𝑇
𝐶3x3 𝑚
𝐵𝑗 3x1 𝑚
𝑑𝐴 𝑚
𝐴 𝑚
𝐵𝑖 𝑚
∶ Columna i de la matriz 𝐵 𝑚
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝑈𝑖 𝑦 𝑈𝑗 pertenecen al elemento 𝑚 ⇒ 𝐾𝑖𝑗 ≠ 0
𝑢 𝑚 = 𝐻 𝑢 = ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4 00 ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4
𝑢
𝜀 𝑚 = 𝐵 𝑢 =
𝜕ℎ1
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ1
𝜕𝑦𝜕ℎ1
𝜕𝑦
𝜕ℎ1
𝜕𝑥
𝜕ℎ2
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ2
𝜕𝑦𝜕ℎ2
𝜕𝑦
𝜕ℎ2
𝜕𝑥
𝜕ℎ3
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ3
𝜕𝑦𝜕ℎ3
𝜕𝑦
𝜕ℎ3
𝜕𝑥
𝜕ℎ4
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ4
𝜕𝑦𝜕ℎ4
𝜕𝑦
𝜕ℎ4
𝜕𝑥
𝑢
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝐾8x8 𝑚
= 𝐵8x3𝑇 𝐶3x3𝐵3x8
𝐴
𝑑𝐴
𝐾𝑝𝑞 𝑚
= 𝐵𝑝𝑇 𝐶 𝐵𝑞 𝑑𝐴
𝐴
sistema local ⟶ 𝐾𝑝𝑞 𝑚
sistema global ⟶ 𝐾𝑖𝑗 𝑚
𝐾𝑝𝑞 𝑚
= 𝐾𝑖𝑗 𝑚
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTADO PLANO DE TENSION
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝐿𝑀 𝑚 = 𝑖𝑢1
1
𝑗𝑣1
2
𝑟𝑢2
3
𝑠𝑣2
4
𝑒𝑢3
5
𝑓𝑣3
6
𝑡𝑢4
7
𝑜𝑣4
8
Referencial Local Referencial Global
posición 𝑖𝑖 ⨁𝐾11 𝑚
posición 𝑖𝑗 ⨁𝐾12 𝑚
posición 𝑖𝑟 ⨁𝐾13 𝑚
⋮
posición 𝑖𝑜 ⨁𝐾18 𝑚
posición 𝑗𝑗 ⨁𝐾22 𝑚
posición 𝑗𝑟 ⨁𝐾23 𝑚
posición 𝑗𝑠 ⨁𝐾24 𝑚
⋮
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Calcular el desplazamiento vertical en los dos puntos marcados
Y
X
P
l
h
v1
v2
l
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Discretización
U4
U3
U1
U6
U5
U8
U7
U10
U9
U12
U11
U2
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Simetría
U8
U6
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
U4
U3
U1
U6
U5
U8
U7
U2
Discretización
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Funciones de forma
ℎ1 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 2𝑥 + 𝑎 2𝑦 + 𝑏
ℎ2 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 + 2𝑦
ℎ3 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 − 2𝑦
ℎ4 𝑥,𝑦 =1
4𝑎𝑏 𝑎 + 2𝑥 𝑏 − 2𝑦
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Matriz de funciones de forma
𝐻 = ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4 00 ℎ1 0 ℎ2 0 ℎ3 0 ℎ4
𝐻 =
1
4𝑎𝑏 2𝑥 + 𝑎 2𝑦 + 𝑏 0
1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 + 2𝑦 0
1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 − 2𝑦 0
1
4𝑎𝑏 𝑎 + 2𝑥 𝑏 − 2𝑦 0
01
4𝑎𝑏 2𝑥 + 𝑎 2𝑦 + 𝑏 0
1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 + 2𝑦 0
1
4𝑎𝑏 𝑎 − 2𝑥 𝑏 − 2𝑦 0
1
4𝑎𝑏 𝑎 + 2𝑥 𝑏 − 2𝑦
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Matriz de deformaciones aproximadas
𝐵 =
𝜕ℎ1
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ1
𝜕𝑦𝜕ℎ1
𝜕𝑦
𝜕ℎ1
𝜕𝑥
𝜕ℎ2
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ2
𝜕𝑦𝜕ℎ2
𝜕𝑦
𝜕ℎ2
𝜕𝑥
𝜕ℎ3
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ3
𝜕𝑦𝜕ℎ3
𝜕𝑦
𝜕ℎ3
𝜕𝑥
𝜕ℎ4
𝜕𝑥0
0𝜕ℎ4
𝜕𝑦𝜕ℎ4
𝜕𝑦
𝜕ℎ4
𝜕𝑥
𝐵 =
ℎ + 2𝑦
2ℎ𝑙0
0𝑙 + 2𝑥
2ℎ𝑙𝑙 + 2𝑥
2ℎ𝑙
ℎ + 2𝑦
2ℎ𝑙
−ℎ + 2𝑦
2ℎ𝑙0
0𝑙 − 2𝑥
2ℎ𝑙𝑙 − 2𝑥
2ℎ𝑙−ℎ + 2𝑦
2ℎ𝑙
−ℎ − 2𝑦
2ℎ𝑙0
0 −𝑙 − 2𝑥
2ℎ𝑙
−𝑙 − 2𝑥
2ℎ𝑙−ℎ − 2𝑦
2ℎ𝑙
ℎ − 2𝑦
2ℎ𝑙0
0 −𝑙 + 2𝑥
2ℎ𝑙
−𝑙 + 2𝑥
2ℎ𝑙
ℎ − 2𝑦
2ℎ𝑙
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Matriz de rigidez
𝐵𝑇𝐶𝐵 𝑖𝑗
= 𝐵𝑇 𝑖𝐶 𝐵
𝑗
𝐾 𝑖𝑗
= 𝐵𝑇𝐶𝐵 𝑖𝑗𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑙
0
ℎ
0
= 𝐵𝑇 𝑖𝐶 𝐵
𝑗𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑙
0
ℎ
0
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Matriz de fuerzas nodales equivalentes
𝑅𝐵 = 𝑡 𝐻𝑇 𝑦=ℎ
𝑃𝑑𝑑𝑥
𝑙
0
𝑅𝐵 = 𝑡 𝐻𝑇𝑓𝑆𝑑𝐿
𝐿𝑓
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
𝑅 = 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶
Matriz de fuerzas nodales equivalentes
𝑅𝐶 = 0
𝑅 = 𝑅𝐵
EJERCICIO EPT
Método de los Elementos Finitos Docente: M.Sc. Ing. Jorge Saúl Suaznábar Velarde
Sistema de ecuaciones
𝐾𝑈 = 𝑅
𝐾𝑎𝑎 𝐾𝑎𝑏
𝐾𝑏𝑎 𝐾𝑏𝑏 𝑈𝑎
𝑈𝑏 =
𝑅𝑎
𝑅𝑏
𝑈𝑎 : GL Libres
𝑈𝑏 : GL Vinculados