5 CASOS PARA CALCULAR LIMITES

EN FUNCIONES Y LIMITES EN

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

CALCULO DIFERENCIAL

CUANDO EVALUAMOS UNA FUNCION MEDIANTE LIMITES LOS RESULTADOS SON

SENCILLOS PERO DA LA CASUALIDAD EN QUE ALGUNAS FUNCIONES TIENEN RAIZ

CUADRADA, OTRAS TIENEN QUE SER FACTORIZADAS U OTRAS TIENEN QUE ESTAR

DERIVADAS (POR METODO DE L’HOSPITAL O REGLA DE LOS 4 PASOS).

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS PARA ENTENDER ESTE TEMA…

lim𝑥→2

3𝑥

lim𝑥→2

3𝑥 = 3 2 = 6

lim𝑥→−2

𝑥2 + 8𝑥 − 1

lim𝑥→−2

𝑥2 + 8𝑥 − 1 = −2 2 + 8 −2 − 1 = 4 − 16 − 1 = −13

lim𝑎→2

8𝑎

lim𝑎→2

8𝑎 = 8 2 = 16 = 4

lim𝑥→

23

7𝑥 − 10

lim𝑥→

23

7𝑥 − 10 = 72

3− 10 =

14

3− 10 = −

16

3

lim𝑥→0

3𝑥2 + 7𝑥 − 3

2𝑥 − 1

lim𝑥→0

3𝑥2 + 7𝑥 − 3

2𝑥 − 1=3 0 2 + 7 0 − 3

2 0 − 1=0 + 0 − 3

0 − 1=−3

−1= 3

lim𝑥→0

4𝑥

lim𝑥→0

4𝑥 = 4 0 = 0

lim𝑥→2

𝑥

3𝑥 − 2

lim𝑥→2

𝑥

3𝑥 − 2=

0

3 0 − 2=

0

0 − 2=

0

−2= 0

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

𝑥 + 2 𝑥 − 2

𝑥 − 2= lim

𝑥→2𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4

lim𝑥→3

𝑥2 + 4𝑥 − 21

𝑥 − 3

lim𝑥→3

𝑥2 + 4𝑥 − 21

𝑥 − 3=

3 2 + 4 3 − 21

3 − 3=9 + 12 − 21

0=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→3

𝑥2 + 4𝑥 − 21

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

𝑥 − 3 𝑥 + 7

𝑥 − 3= lim

𝑥→3𝑥 + 7 = 3 + 7 = 10

lim𝑥→1

𝑥3 − 1

𝑥 − 1

lim𝑥→1

𝑥3 − 1

𝑥 − 1=1 − 1

1 − 1=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→1

𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1𝑥2 + 𝑥 + 1 = 1 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

lim𝑥→0

𝑥2 + 9𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝑥2 + 9𝑥

𝑥=02 + 9 0

0=0 + 0

0=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→0

𝑥2 + 9𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑥 𝑥 + 9

𝑥= lim

𝑥→0𝑥 + 9 = 0 + 9 = 9

FORMULA DE L’HOPITAL

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→𝑎

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥= lim

𝑥→𝑎

𝑑𝑑𝑥

𝑓 𝑥

𝑑𝑑𝑥

𝑔 𝑥

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

𝑑𝑑𝑥

𝑥2 − 4

𝑑𝑑𝑥

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

2𝑥

1= 2 2 = 4

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2

lim𝑥→3

𝑥2 + 4𝑥 − 21

𝑥 − 3=

3 2 + 4 3 − 21

3 − 3=9 + 12 − 21

0=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→3

𝑥2 + 4𝑥 − 21

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

𝑑𝑑𝑥

𝑥2 + 4𝑥 − 21

𝑑𝑑𝑥

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

2𝑥 + 4

1= 2 3 + 4 = 6 + 4 = 10

lim𝑥→1

𝑥3 − 1

𝑥 − 1

lim𝑥→1

𝑥3 − 1

𝑥 − 1=1 − 1

1 − 1=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→1

𝑥3 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

𝑑𝑑𝑥

𝑥3 − 1

𝑑𝑑𝑥

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

3𝑥2

1= 3 1 2 = 3 1 = 3

lim𝑥→0

𝑥2 + 9𝑥

𝑥

lim𝑥→0

𝑥2 + 9𝑥

𝑥=02 + 9 0

0=0 + 0

0=0

0= 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim𝑥→0

𝑥2 + 9𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑑𝑑𝑥

𝑥2 + 9𝑥

𝑑𝑑𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

2𝑥 + 9

1= 2 0 + 9 = 0 + 9 = 9

lim𝑥→2

4 − 𝑥2

3 − 𝑥2 + 5

= lim𝑥→2

4 − 𝑥2

3 − 𝑥2 + 5

3 + 𝑥2 + 5

3 + 𝑥2 + 5= lim

𝑥→2

4 − 𝑥2 3 + 𝑥2 + 5

9 − 𝑥2 + 5

= lim𝑥→2

4 − 𝑥2 3 + 𝑥2 + 5

9 − 𝑥2 − 5= lim

𝑥→2

4 − 𝑥2 3 + 𝑥2 + 5

4 − 𝑥2

= lim𝑥→2

3 + 𝑥2 + 5 = 3 + 2 2 + 5 = 3 + 4 + 5 = 3 + 9 = 3 + 3

= 6

lim𝑥→2

2𝑥 − 3

2𝑥 − 3

= lim𝑥→2

2𝑥 − 3

2𝑥 − 3

2𝑥 + 3

2𝑥 + 3= lim

𝑥→2

2𝑥 − 3

2𝑥 − 3 2𝑥 + 3= lim

𝑥→2

1

2𝑥 + 3

=1

2(2) + 3=

1

4 + 3

=1

2 + 3

REGLA DE LOS 4 PASOS

USANDO LA FORMULA SIGUIENTE:

limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥

ℎ

HALLAR EL LIMITE DE LA FUNCION

𝑦 = 3𝑥2

𝑓 𝑥 + ℎ = 3 𝑥 + ℎ 2 = 3 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 = 3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2

𝑓 𝑥 = 3𝑥2

limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥

ℎ= lim

ℎ→0

3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 3𝑥2

ℎ= lim

ℎ→0

6𝑥ℎ + 3ℎ2

ℎ

= limℎ→0

ℎ(6𝑥 + 3ℎ)

ℎ= lim

ℎ→06𝑥 + 3ℎ = 6𝑥 + 3 0

= 6𝑥

HALLAR EL LIMITE DE LA FUNCION

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5

𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑥 + ℎ + 5

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5

limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥

ℎ= lim

ℎ→0

𝑥 + ℎ + 5 − 𝑥 + 5

ℎ

= limℎ→0

𝑥 + ℎ + 5 − 𝑥 + 5

ℎ

𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5

𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5

= limℎ→0

𝑥 + ℎ + 5 − (𝑥 + 5)

ℎ 𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5= lim

ℎ→0

ℎ

ℎ 𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5

= limℎ→0

1

𝑥 + ℎ + 5 + 𝑥 + 5=

1

𝑥 + 0 + 5 + 𝑥 + 5=

1

𝑥 + 5 + 𝑥 + 5

=1

2 𝑥 + 5

lim𝛼→0

𝑠𝑒𝑛 𝛼

tan𝛼

lim𝛼→0

𝑠𝑒𝑛 𝛼

tan𝛼=𝑠𝑒𝑛 0

tan 0=0

0= 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂

lim𝛼→0

𝑠𝑒𝑛 𝛼

tan𝛼= lim

𝛼→0

𝑑𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑑𝑑𝑥

tan 𝛼= lim

𝛼→0

cos 𝛼

(sec 𝛼)2=

cos 0

(sec 0)2=

1

1 2=1

1

= 1

lim𝛼→0

𝑐𝑠𝑐 𝛼

1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛼

lim𝛼→0

𝑐𝑠𝑐 𝛼

1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛼=

0

1 − 1=0

0= 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂

lim𝛼→0

𝑐𝑠𝑐 𝛼

1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛼= lim

𝛼→0

𝑐𝑠𝑐 𝛼

𝑠𝑒𝑛2 𝛼= lim

𝛼→0(csc 𝛼) csc 𝛼 2 = lim

𝛼→0csc 𝛼 3 = csc 0 3

= 0

BIBLIOGRAFIAS

W. SWOKOWSKI, Earl, Cálculo con Geometría Analítica, 2da. Edición,

Panamericana, Colombia, 1989, 1097 págs.

AGUILAR Sánchez, Gerardo y CASTRO Pérez, Jaime, “Problemas de

Cálculo integral” 1ra Edición, Tec de Monterrey, México, DF., Julio

2003, 127 págs.