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ING JOSE GONZALEZ RAMIREZ
LOGICA CUANTIFICACIONAL
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Como ya desarrollamos la
eliminacin decuantificadores enlgica proporsional; slose aadirn algunasreglas adicionales queutilizaremos para lalgica cuantificacional.
-REGLA DE ELI INACION
DEL UNIVERSAL EU)
-REGLA DE
INTRODUCCION DEL
UNIVERSAL IU)
-REGLA DE
ELIMINACION DEL
EXISTENCIAL EE)
-REGLA DE
INTRODUCCION DEL
EXISTENCIAL IE)
REGLAS LGICAS DE INTRODUCCIN Y ELIMINACIN DE CUANTIFICADORES
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Consiste en eliminar el
cuantificador universal y
reemplazar la variable
cuantificada por una
variable libre.
Ejemplo: x) DxSx),
entonces al aplicar la
regla de la eliminacin
del universal; queda:
DxSx
o
DySy
Generalizando:
x) x
Por lo tanto:
---Cualquier enunciado posible
- --
Cualquier individuo cte)
X
Variable cuantificada
REGLA DE ELIMINACION DEL UNIVERSAL (EU)
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Es inversa a la anterior, es
de cir en esta el
esquema no es
cuantificado,
Ejemplo: DySy,
entonces al aplicar la regla
de la introduccin del
universal; nos queda:
x) DxSx)
Generalizando: x
Por lo tanto: x) x
---Cualquier enunciado posible
- --
Cualquier individuo cte)
X
Variable cuantificada
REGLA DE INTRODUCCION DEL UNIVERSAL(IU)
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Consiste en eliminar el
cuantificador existencial
y reemplazar la variable
del cuantificador por
una libre.
Ejemplo:
x)
DxSx
), entonces al
aplicar la regla de la
eliminacion del
existencial; nos queda:
DySy
Generalizando:
x)
x
Por lo tanto:
---
Cualquier enunciado posible
- --Cualquier individuo cte)
X
Variable cuantificada
REGLA DE ELIMINACION DEL EXISTENCIAL(EE)
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Es inversa a la anterior se
inicia con un esquema
cuantificado.
Ejemplo: DySy,
entonces al aplicar la regla
de la introduccin del
existencial; nos queda:
x) DxSx)
Generalizando:
x)
x
Por lo tanto: x
---Cualquier enunciado posible
- --Cualquier individuo cte)
XVariable cuantificada
REGLA DE INTRODUCCION DEL EXISTENCIAL(IE)
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Es el mismo que
utilizamos para la
lgica proposicional;
slo que ahora
tenemos cuatro reglas
adicionales.
Procedemos a travs de:
-Prueba Directa
-Prueba condicional
-Prueba de Reduccin al
Absurdo
Ejemplo:
1) x)
PxTx
)
2) Px// Tx
3)
PxTx
EU) 1
4) Tx MP) 3,2
METODO DECISORIO (DERIVACIONES)P R INFERENCI S CON PROPOSICIONES C TEGORIC S TIPIC S
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Primer anlisis
jem
Todos los ingenieros sonmatemticos. Juan es Ingeniero.Por tanto. Juan es matemticoFormalizando:
1. x) IxMx)
2. Ij/Mj
Se lee:
Para todo x ,si x es Ingeniero
entonces x es mortal.
Juan es Ingeniero .
Por tanto : Juan es matemtico
Aplicando reglas de Inferencia
1. x) IxMx)
2. Ij/Mj
3. Ij Mj .EU 1
4. Mj MP 3,2
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Segundo anlisis
jem
Todos los ingenieros civiles son
profesionales tcnicos.
Todas las damas son Ingenieros civiles
Luego ,todas las damas ,sonprofesionales tcnicos
1. x) Ix
Px
)
2. x)
DxIx
) / x)
DxIx
)
Se lee:
Para todo x, si x son ingenieros civiles
entonces son profesionales tcnicos.
Para todo x, x es una dama entonces
es Ingeniero civil .
Por tanto Para todo x, si x es una dama
entonces x es un profesional tcnico
Aplicando reglas de Inferencia
1. x) IxPx)
2. x) DxIx) / x) DxPx)
3. IxPx) ..EU 1
4. DxIx .EU 2
5.
Dx
Px
..S H 4,3
6. x) DxPx) .IU 5
..
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Es un razonamiento
en cuya estructura
hay proposiciones
cuyo esquema no
se corresponde
con el de las
proposiciones
categricas
tpicas.
.se resuelve
esquemas bsicos
con un sola
variable
-Se aplica a
proposiciones
categricas como
no categricas
PARA INFERENCIAS ASILOGSTICAS
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Ejem
Las combis son baratas pero
peligrosas.
Adems algunas combis son muy
pequeas
Por tanto ,algunos mviles baratos
son muy peligrosas
Formalizando:
1. x) [Cx BxPx)]
2. x) Cx Pq) /
x) BxPx)
3. Ba ..Int antec
4. Ca Pq) EE 2
5. Ca BaPa) ..EE1
6.
Ca .
Simplif 4
7. Ba
Pa
5,6, MP
8. Pa Simplif 7
9. BxPx . P.C 3,8
10. x) BxPx) . IE 8
PARA INFERENCIAS ASILOGSTICAS
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Su desarrollo es igual
que en la LP.
Solamente los mdicos
no tienen buena
caligrafa. Todos los
ginecologos o
psiquiatras son
mdicos. Pero todos
los arquitectos
tienen buena
caligrafia. En
cnosecuencia,
ningun arquitecto es
psiquiatra o mdico.
PRUEBA DIRECTA
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1. -(x) (Ax |x)
2. (
x) [( Ax
-(Fx v Bx)] // (
x) ( - Bx
Ix)
3.- (x) (-Bx Ix) Premisa adicional
4. (x) -(Ax Ix) Intercambio de cuantificador (1)
5. (x) -( - Bx Ix) Intercambio de cuantificador (3)
6. Ax _ ( Fx Bx) Eliminacin del universal (2)
7. -(Ax Ix) Eliminacin del existencial (4)
8. - ( - Bx Ix ) Eliminacin del universal (5)
9. - ( - Ax Ix ) Definic. Del condicional (7)
10. Ax - Ix Morgan (9) y dob. Negacin
11. Ax Simplificacin (10)
12. ( Fx Bx ) M. Ponens (6 y 11)
13. Fx Bx Morgan (12)
14. - - Bx - - Ix Morgan (8)
15. Bx Ix Doble negacin (14)
16. Bx Simplificacin (13)
17. Ix Silog. Disyuntivo (15 y 16)
18. Ix Simplificacin (10)
19. Ix Ix Conjuncin (17 y 18)
20. [ - (x) ( - Bx Ix)] ( Ix Ix ) Prueba Condicional (3 y 19)
21 . (x) (-Bx - Ix) P.R.A (20)
PRUEBA POR REDUCCION A LO ABSURDO
No todos los snowboarder son intrpidos. Ningun snowboarder es fanatico del rugby o del basketball.
Luego, algunos no-fanaticos del basketball no son intrepidos.
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LA PRUEBA DE INVALIDEZ
LA PRUEBA DE INVALIDEZProbar la conclusion sin derivar
Refutacin por analoga:consiste enbuscar un razonamiento
estructuralmente idntico al que sedesea refutar pero que ponga enevidencia que la estructura logica
subyaciente a dicho argumento no esvalida.
Refutacin a travs del cuadro de
oposicin:aqu la refutacion estabasada en relacion logica. Si podemos
demostrar a la conclusion de unaiferencia o incluso a un enunciado oinferencia logicamente contradictoria
con el primero es valida.
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Refutacin por analoga:
Todos los democratas son opositores de los republicanos algunos delegados son
opositores de los republicanos po lo tanto; algunos delegados son democratas.
Refutacion a traves del cuadro de oposicion:
Todos las aves son oviparos.
Algunas aves no son oviparas.
:
.
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Ahora se intenta derivar la negacin del enunciado original. Veamos:2. (x) ( Hx Ix) De 1 por IE
3. (x) (Hx vIx) De 2 por Teorema Demorgan
4. (x) (Hx Ix) De 3 por Def. Condicional.
5. (x) (Hx Ix) De 4 por. Intercambio. Cuantificador.
SE PARTE DE LA HIPOTESIS LOGICAMENTE CONTRADICTORIA PEROYA FORMALIZADA:
1. (Ha Ia)
De este modo hemos probado que de la hipotesis logicamente contradictoria sese deriva la negacion de la conclusion o enunciado original. Con ello quedemostrada la invalidez del enunciado original.