4.MedidasdeDispersiónESTADÍST ICA DESCR IPT IVA
DR. FRANCISCORABADÁNPÉREZ
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Índice1.MedidasdeDispersión
2.MedidasdeDispersiónAbsolutas
3.MedidasdeDispersiónRelativas
3.1Tipificación
3.2Problemasalcomparardispersionesconladesviaciónestándar
3.3CoeficientedeVariacióndeKarlPearson
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1.MedidasdeDispersiónObjetivo:buscamosmedirelgradoenquesealejanentresílosvaloresdelavariable.
Elconceptodedispersión estárelacionadoconseparación dedatosovariabilidad enladistribución.
Fuente:https://sites.google.com/site/estadisticaguileca/medidas-de-dispersion3
1.MedidasdeDispersión
Larepresentatividad deunamedidade
posiciónsemidecomolaseparación(o
dispersión)entreelconjuntodevaloresxi y
esamedidadeposición.
Diagramadedispersión:http://matematicas1bc.blogspot.com.es/2012/05/estadistica.html
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1.MedidasdeDispersiónMedidasdeDispersión
Absolutas(enunidadesdex)
Recorrido(Re)
RecorridoIntercuartílico (RI)
Desviaciónmedia
Respectoala
media
Respectoala
mediana
Varianza Desviacióntípica
Relativas(adimensionales)
Coeficientede
apertura
Recorridosemi-
intercuartíclico
Coeficientede
variaciónde
Pearson
Índicededispersió
nrespecto
alaMediana
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2.MedidasdeDispersiónAbsolutasMedida Cálculo Interpretación
Recorrido 𝑅𝑒 = 𝑥% − 𝑥' • Máximadiferenciaqueencontraremos entredosvalorescualesquieradeladistribución.
RecorridoIntercuartílico 𝐼𝑄𝑅 = 𝐶+ − 𝐶' • Amplituddelintervalo enqueestáel50%delosvalorescentrales
Desviaciónmediarespectoalamedia
𝐷 = ∑ 𝑥. − �̅�%01
%.2'
• Mediaaritméticadelasdistanciasabsolutasdelosvaloresala�̅�
• Recordemosm1=0
Desviaciónmediarespectoalamediana
𝐷34 = ∑ 𝑥. − 𝑀𝑒%01
%.2'
• Mediaaritméticadelasdistanciasabsolutasdelosvaloresala Me
�̅� hacemínimaslasdesviacionescuadráticasperolaMehacemínimalasdesviacionesabsolutas,portanto… 𝐷34 < 𝐷
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2.MedidasdeDispersiónAbsolutasMedida Cálculo Interpretaciónyconsideraciones
Varianza 𝑆8 = ∑ 𝑥. − �̅� 8 %01
%.2' • Mediadelasdesviacionescuadráticas
• Difícilinterpretación:Unidadesalcuadrado• Nopermiteestablecercomparacionesentredistintasmagnitudes.
Cuasivarianza 𝑆'8 = ∑ 𝑥. − �̅� 8 %019'
%.2' • Laveremosenmasprofundidad enlaEstadísticaII(Esmejor
estimadorquelavarianza)
Desviacióntípicaoestándar 𝑆 = : 𝑥. − �̅� 8 𝑛.
𝑁
%
.2'
�• Raízcuadrada positivadelavarianza.• Seinterpreta comoloquesealejantípicamentelosvaloresxi de�̅�• Fácilinterpretación:enlasmismasunidadesque lavariable
K.Pearsonladesarrolloen1894parasolucionarelproblemadequelamediadelasdesviacionesrespectoa�̅� escero(m1=0).Ver:http://www.expansion.com/diccionario-economico/desviacion-tipica.html
𝐷34 < 𝐷 < 𝑆(MartínPliego,2011;pág.86)
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2.Cálculodelavarianza(ejemplo)
(MartínPliego,2011;pág.85)
Ejemplo:Calculese lavarianzadeunadistribucióndefrecuenciasreferentealosresultadosobtenidoscon50lanzamientosdeundado
𝒙𝒊 𝒏𝒊 𝒙𝒊𝒏𝒊 𝒙𝒊𝟐𝒏𝒊1 6 6 62 11 22 443 6 18 544 7 28 1125 9 45 2256 11 66 396
SUMAS 50 185 837
𝒔𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 =
=∑ 𝑥.8𝑛.%.2'𝑁 −
∑ 𝑥.𝑛.%.2'𝑁
8
=
=83750 −
18550
8
= 3,05
8
2.MedidasdeDispersiónAbsolutasPropiedadesdelavarianza:
◦ P-1:𝑆8 ≥ 0
◦ P-2:𝑆8 eslamedidacuadráticadedispersiónóptima
◦ P-3:𝑆8 = 𝑚8 = 𝑎8 − 𝑎'8 = 𝑎8 − �̅� 8 (“fórmulafácildelavarianza”…)
◦ P-4:𝑆8noseveafectadaporloscambiosdeorigen
◦ P-5:𝑆8 quedaafectadaporcambiosdeescaladelasiguienteforma
𝑥.; 𝑛.; 𝑆8 → 𝑥.R = 𝑥. S 𝑘, ; 𝑛.; 𝑆R8 = 𝑘8𝑆8
𝑆8varianzamuestral
𝜎8varianzapoblacional
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2.MedidasdeDispersiónAbsolutasPropiedadesdeladesviacióntípica:
◦ P-1:𝑆 ≥ 0
◦ P-2:𝑆 esunamedidadedispersiónóptima
◦ P-3:S= 𝑎8 − 𝑎'8� = 𝑎8 − �̅� 8�
◦ P-4:Snoseveafectadaporloscambiosdeorigen
◦ P-5:quedaafectadaporcambiosdeescala:𝑆R = 𝑘 S 𝑆
𝑆Desviaciónestándar
muestral
𝜎8Desviaciónestándar
poblacional
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3.MedidasdeDispersiónRelativasMedida Cálculo Interpretación
CoeficientedeApertura
𝐴 =𝑥%𝑥'
• Presentamuchosinconvenientes (Vid.Martín-Pliego,211,pág.87)
RecorridoSemi-Intercuartílico 𝑅W =
𝐶+ − 𝐶'𝐶+ + 𝐶'
• Pretendecompararlavariaciónenel50% centraldeladistribuciónconunteórico100%deladistribuciónnoafectadoporvaloresextremos
Coeficiente devariacióndePearson 𝐶𝑉 =
𝑆�̅�
• Expresala desviacióntípicaenmediasaritméticas.• Presentaproblemascuando�̅� ≃ 0• Funcionamuybiencuandolosrangosdelasvariablesson
similares.
ÍndicededispersiónrespectoalaMe 𝑉34 =
𝐷34𝑀𝑒 =
∑ 𝑥. − 𝑀𝑒 𝑛.%.2'𝑁 S 𝑀𝑒
• Mideladesviaciónmediarespecto alamedianaenmedianas.• EsunconceptosimilaraldePearson,peropresentaunamayor
dificultadrespectoalageneralizaciónalapoblación.
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3.EjemploParacompararlosrendimientosentreempresasespañolasynorteamericanas,pertenecientesaunsectormuyespecializado,seseleccionan20empresasconcaracterísticassemejantesdecadalugar,obteniéndoselossiguientesresultados,
(MartínPliego,2011;pág.89,90)
EmpresasEspañolas Empresas Norteamericanas
Beneficios(€)𝑥[
Frecuencias𝑛[
Beneficios($)𝑦]
Frecuencias𝑛]
1.000.000 4 10.000 2
1.100.000 6 11.000 2
1.200.000 6 12.000 4
1.300.000 2 13.000 4
1.400.000 2 14.000 4
15.000 2
16.000 2
Sepide:obtenerelrendimientomedioencadapaís,precisandoencuáldelosdoshaymenosdispersiónrelativa.
b)enlasempresasnorteamericanas
�̅� = :𝑥.𝑛.𝑁
�
�
= 1.160.000
𝑠a8 =∑ 𝑥. − �̅� 8𝑛.��
𝑁 = 14.400.000.000
𝑠a = 𝑠a8�
= 120.000
𝑉a =120.0001.1.60.000 =
1216 = 0,1034
𝑦d =:𝑦e𝑛.𝑁
�
�
= 13.000
𝑠a8 =∑ 𝑦e −𝑦d
8𝑛.��
𝑁 = 3.000.000
𝑠f = 𝑆f8� = 1.732,0508
𝑉f =1.732,050813.000 = 0,1332
a)enlasempresasespañolas
Delacomparaciónentreloscoeficientesdevariaciónresultaquelasempresasespañolas(0,1034 < 0,13) tienenmenordispersiónrelativaquelasnorteamericanas
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3.1.Tipificación
𝑧 =𝑥 − �̅�𝑆
Variabletipificada• Latipificacióntransformalavariabletantoenescalacomoenorigen.
• Elvalorzi esequivalenteaxi peroenunadistribucióndemediaceroydesviacióntípicauno.
• Esespecialmenteútilparacompararlaposiciónqueocuparíaunindividuoendiferentescolectivos;
teóricamente,quenotahubierasacadounalumnosihubieraestadoenungrupodistinto….
CUIDADO:habitualmenteseconfundelavariableZconlaN(0,1),perolatipificaciónsóloafectaalorigenyalaescala,noalaformadeladistribución.
𝑧 =𝑥 − �̅�𝑆
𝑥 𝑧
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3.1.Tipificación
𝑧 =𝑥 − �̅�𝑆
Variabletipificada
Ejemplo:Queremoscomparardeformarelativalanotaquedosalumnoshansacadoendiferentesgruposparadeterminarcualocupaunaposiciónrelativamejor.
Gasparocupaunaposiciónquesuperalevementealamedia,mientrasqueTomásocupaunaposicióninferioralamediaalejándosenegativamenteen1,5desviacionestípicasenunadistribucióndemediaceroydesviacióntípica1.Conclusión:GasparesmejoralumnoqueTomás.Sihubieranestadoenungruposimilar,lesuperaríaen1,625desviacionestípicas.
𝑧jklán =𝑥 − �̅�𝑠a
=4 − 5,51 = −1,5
𝑧opnqpr =𝑦 − 𝑦d𝑠f
=4,5 − 44 = 0,125
GrupoTomás GrupoGaspar
�̅� = 5,5 𝑦d = 4Sx =1 Sy =4
Nota:4 Nota:4,5
Comparando valores de distintas variables de forma adimensional con la tipificación
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3.1.Tipificación
𝑥 = 𝑧𝑆 + �̅�Calcularxenbasealavariabletipificada
Traslación equivalente a otras distribuciones basándonos en la tipificación
GrupoTomás GrupoGaspar
�̅� = 5,5 𝑦d = 4Sx =1 Sy =4
Nota:4 Nota:4,5
𝑧jklán =𝑥 − �̅�𝑠a
=4 − 5,51 = −1,5
𝑧opnqpr =𝑦 − 𝑦d𝑠f
=4,5 − 44 = 0,125
SiquisiéramosencontrarlanotadeTomásenelgrupodeGaspar
𝑦sklán = −1,5 ∗ 4 + 4 = −2SiquisiéramosencontrarlanotadeGasparenelgrupodeTomás
𝑥opnqpr = 0,125 ∗ 1 + 5,5 = 5,625
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3.2.Problemasalcomparardispersionesconladesviaciónestándar
Snonossirve
Sidosvariablesvienenexpresadasendistintasunidadesdemedida
(nosepuedencompararañosycm).
silospromediossondistintos.
Necesitamosunamedidadedispersión
adimensional,esdecir,quenoseveaafectadaporlasunidadesde
medida.
𝐶𝑉 =𝑆�̅�
CoeficientedevariacióndePearson
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3.2.AplicacióndelCoeficientedeVariacióndeKarlPearson.
Características
Númerodevecesquescontienea�̅�
SiaumentaelCV:
• aumentaladispersión• �̅� esmenosrepresentativa• CV>0(cuidadosi�̅� ≃ 0)
Ventajas
Adimensional
Intervienentodoslosvaloresysusfrecuencias
Inconvenientes
Si�̅�=0(habitualenlavariabletipificada)
Noesinvariantefrenteacambios
deorigen
¿Frenteacambiosdeescala?
𝐶𝑉 =𝑆�̅�
CoeficientedevariacióndePearson
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3.2.InterpretacióndelCV
0<CV<' +⁄�̅� muy
representativa Poca dispersión
'+⁄ <CV<+ w⁄
�̅�medianamenterepresentativa
DispersiónMedia
CV>+ w⁄�̅� poco
representativaMucha
dispersión
�̅� 𝑆8
𝐶𝑉 =𝑆�̅�
CoeficientedevariacióndePearson
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EjerciciosyprácticasEjerciciosdel1al5(Martín-Pliego,2011;pág.90-97)
Ejerciciosenclase
Recursoswebyaulavirtual.
Textosrecomendados
• Martín-Pliego,IntroducciónalaEstadísticaEconómicayEmpresarial,EditorialAC,2011,3ªEdición
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