28
Página 109
A) 8 IV 8 De proporcionalidad inversa.
B) 8 V 8 Cuadrática.
C) 8 III 8 Cuadrática.
D) 8 I 8 Lineal.
E) 8 II 8 Raíz.
Página 111
1 a) Falso. Por ejemplo, el dominio de la función cuadrática f (x) = 2x 2 + 5x – 3 es .
b) Verdadero. Siempre que x ≥ 0 la función está definida.
c) Verdadero. Cuando x ≤ 0, se tiene que –x ≥ 0 y la fun-ción está definida correctamente.
2 a) (–∞, –1] « [1, +∞) b) [1, +∞)
c) (–∞, 1] d) [–2, 2]
e) f ) (– ∞, –1) « (1, +∞)
g) (1, +∞) h) (– ∞, 1)
i) – {–2, 2} j) (– ∞, –2) « (2, +∞)
k) l) – {0}
m) – {0} n) – {–2, 2}
ñ) o) – {–1}
p) (0, +∞)
Página 113
1
1
1
Y
X
2 y = – x49
447+ , x é [0, 10]
3 a) f (2003) = 10 960 alumnos
b) f (2005) = 12 080 alumnos
c) f (2000) = 9 280 alumnos
d) f (2010) = 14 880 alumnos
e) f (2040) = 31 680 alumnos, aunque la extrapolación es demasiado grande.
4 a) 6,2 l
b) 7,7 l
c) 12,7 l, aunque la extrapolación es demasiado grande.
Página 114
1 a)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
c)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
b)
–2 2
2
–2
4
4
–4
–6
Y
X
Y
X
Y
X
d)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
f )
2–4
4
–6–10
–8
8
12e)
–2 2
2
–2
4
4
6
8
Y
X
Y
X
Y
X
a)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
c)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
b)
–2 2
2
–2
4
4
–4
–6
Y
X
Y
X
Y
X
d)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
f )
2–4
4
–6–10
–8
8
12e)
–2 2
2
–2
4
4
6
8
Y
X
Y
X
Y
X
a)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
c)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
b)
–2 2
2
–2
4
4
–4
–6
Y
X
Y
X
Y
X
d)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
f )
2–4
4
–6–10
–8
8
12e)
–2 2
2
–2
4
4
6
8
Y
X
Y
X
Y
X
a)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
c)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
b)
–2 2
2
–2
4
4
–4
–6
Y
X
Y
X
Y
X
d)
–2 2
2
–2
4
6
4
–4
f )
2–4
4
–6–10
–8
8
12e)
–2 2
2
–2
4
4
6
8
Y
X
Y
X
Y
X
2 2 4
a) c)6
–2
–4
–6
–8
XY
1
b)1 X
Y
2–2
2468
X
Y
2 4a) c)
6–2
–4
–6
–8
XY
1
b)1 X
Y
2–2
2468
X
Y
2 4a) c)
6–2
–4
–6
–8
XY
1
b)1 X
Y
2–2
2468
X
Y
4 Funciones elementales
29
Página 115
1 Hazlo tú.
y = x 2 – 5x + 3
2 Hazlo tú.
y = p + m (x – 0) + n (x – 0)(x – 2)
(0, 3) 8 p = 3
(2, –3) 8 3 + 2m = –3 8 m = –3
(6, 9) 8 3 – 18 + 24n = 9 8 n = 1
La parábola buscada es y = x 2 – 5x + 3.
3 a) y = ax 2 + bx + c
(–1, 0) → a – b + c = 0
(2, 12) → 4a + 2b + c = 12
(8, –72) → 64a + 8b + c = –72
Resolvemos el sistema: a = –2, b = 6, c = 8
La parábola buscada es y = –2x 2 + 6x + 8.
b) y = p + m (x + 1) + n (x + 1)(x – 2)
(–1, 0) 8 p = 0; (2, 12) 8 m = 4; (8, –72) 8 n = –2
La parábola buscada es y = –2x 2 + 6x + 8.
4 Los puntos son (0, 5), (3, 32) y (5, 60).
y = p + m (x – 0) + n (x – 0)(x – 3)
(0, 5) 8 p = 5; (3, 32) 8 m = 9; (5, 60) 8 n = 1
La parábola buscada es y = x 2 + 6x + 5.
Página 116
1 Hazlo tú.
Tomamos como año cero el año 1994. Hemos de obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0; 24,1), (3; 20,6) y (6; 13,9).
La parábola es: P (x) = y = –0,178x 2 – 0,633x + 24,1
El porcentaje de paro estimado es:
1998 8 18,72 (está muy próximo al valor real, 18,6).
2001 8 10,947 (está muy próximo al valor real, 10,63).
2003 8 3,985 (muy alejado del valor real, 11,37).
5 y = 10 400 + 450x + 36,67x(x – 2) = P (x)
a) 2010 8 x = 1 8 P (1) = 10 813,33
b) 2012 8 x = 3 8 P (3) = 11 960
c) 2007 8 x = –2 8 P (–2) = 9 793,36
d) 2017 8 x = 8 8 P (8) = 15 760,16
6 a) y (80) = 6,5b) y (100) = 8,1c) y (200) = 28,1
Página 117
1 a) b)
22
Y
X
Y
X2
2
c) d)
Y
X22
Y
X2
2
e)
Y
X2
2
Página 118
1 a) b)
2
2
Y
X
2
2
Y
X
c) d)
2
2
Y
X
2
2
Y
X
e)
2
2
Y
X
30
Página 119
2 A 8 L4 B 8 R3 C 8 L2 D 8 C4
E 8 PI2 F 8 R4 G 8 C1 H 8 L3
I 8 L1 J 8 PI4 K 8 PI3 L 8 R2
3 1 8 D 2 8 E 3 8 F 4 8 H 5 8 A 6 8 J
Página 120
1
4
2
2 6–2–4
–4
–2
Y
X
2
4
2
2–2–4–6
–4
–2
Y
X
3 f (x) =
≤≤
≤
x
x
xxx
x
21
12
3
44 22 1
1
–– ––
si –si – –si –si
<<<
+Z
[
\
]]]
]]
Página 121
Practica
Ent (6,48) = 6Ent (7) = 7Ent (–3,9) = – 4Ent (–11,3) = –12Ent (– 8) = – 8
Practica
Mant (3,791) = 0,791Mant (– 6,94) = 0,06Mant (2) = 0Mant (– 4,804) = 0,196
4 a) Verdadero
b) Falso. La gráfica verdes es y = 5 – Ent x4b l
5 a) y = Ent (x) + 2
4
2
2–2–4
4
–4
–2
Y
X
b) y = Ent (x + 0,5)
4
2
2–2–4
4
–4
–2
Y
X
6 a) Verdaderob) Falsoc) Verdadero
7 a) y = Mant (x) – 0,5
X
Y
1–1–2–3
1
–1
2 3
b) y = |Mant (x) – 0,5|
X
Y
1–1–2–3
1
2 3
Página 122
1 a) b)
Y
X–2
2
2
–2
Y
X–2 2
2
–2
c) d)
Y
X–2 2
2
–2
Y
X–2 2
2
31
Página 123
2 y = f (x) – 6 8 (3, 2)y = f (x + 4) 8 (–1, 8)
y = 21 f (x) 8 (3, 4)
y = 2f (x) 8 (3, 16)y = –f (x) 8 (3, –8)y = f (–x) 8 (–3, 8)y = –2f (–x) + 3 8 (–3, –13)
3 a) Representamos:
y = x4 8 y =
x 84+
8 y = – x 8
4+
8 y = – x 8
4+
– 3
–4y = — – 3 x + 8
Y
–2–1
–5
–7
–4
1
X–6 –4–10 –7–12
–9
b) Representamos y = 3 x 8 y = 3 x– 8 y = 3 ( )x 10– –
y = 3√—–x + 10
X
Y
1 9 106
3
6
9
Página 124
4 a) b)
Y
X2
2
Y
X2
2
c)
Y
X2
2
d)
Y
X2
2
Página 125
1 Hazlo tú. (– ∞, –1] « [5, +∞)
2 Hazlo tú. La población estimada en el año 2005 es, apro-ximadamente, 24 542 personas.La población estimada en el año 2013 es, aproximadamen-te, 26 305 personas.
3 Hazlo tú.
f (t)
t2 4 6 8
2
4
6
Página 126
5 Hazlo tú.
Y
X1–2–3–4 2 4
1234
–1
–3–4
Página 127
6 Hazlo tú.
a) b)
Y
X2 4 6 8
2
4
Y
X4 6 8
2
–2
c)
Y
X2 4 6 8
2
4
32
7 Hazlo tú.
a)
Y
X2
2
b)
Y
X2
2
Página 128
1 a) f (x) =
x
x
xx
x
2 1020100 4
0 55 2020–
si ≤si ≤si ≤
<<
+*
b) El dominio de definición es el intervalo [0, 25]. El recorrido es el intervalo [0, 20].
2 a) B (q) = –q 2 + 500q – 40 000
Y
X100–100 200 300 400 500
5000
5000
10000
15000
10000
15000
20000
25000
b) El beneficio máximo de 22 500 euros se obtiene produ-ciendo 250 unidades.
3 a) V (x) = ( )x x3
225π – 3 b) (0, 15)
4 Si la distancia es inferior a 200 km, es más ventajosa la op-ción B. Ocurre lo contrario si recorremos una distancia su-perior a 200 km, es decir, es más ventajosa la opción A.
Página 129
1 a) – {–5} b) – {0} c) d) – {–2, 0}
2 a) , ∞25– + m< b) (–∞, 7] c) d) [2, +∞)
3 a) (– ∞, 4) b) Ác) (– ∞, 0) « (3, +∞) d) (–3, 3)
4 a) Dominio: [– 4, 4] Recorrido: [–2, 2]b) Dominio: (– ∞, 3] Recorrido: [0, +∞)c) Dominio: – {–2, 2} Recorrido: d) Dominio: [–3, 5] Recorrido: [–3, 4]
5 [0, 5]
6 La función área es A (x) = x (8 – x) = 8x – x 2. Dom = (0, 8).El recorrido de la función es el intervalo (0, 16].
7 El dominio es el intervalo [0, 12].El recorrido es el intervalo [37; 40,6].
8 a) y x9
16 61–= b) y = –0,75x – 3,25
2
2
Y
X
2
2
Y
X
c) y = 710 x – 5 d) y = 3x + 3
2
2
Y
X
2
2
Y
X
9 • Recta r → m = 43 8 y =
43 (x + 2)
• Recta s → m = 3 8 y = 3x – 3• Recta t → m = –3 8 y = –3x + 3
33
10 a) y = 1,42 b) 39,32
11 f (1 200) = 7,08 f (2 000) = 1,8
12 a) b)
2
2 4–4 –2
4
Y
X
2
2–4 –2
–4
–6–2
Y
X
c) d)
2 4–4 –2
–4
–6
–2
YX
2
4
6
–4–6–8 –2
Y
X
e) f )
–4–8 4 8
4
8 Y
X
–4–8 4 8
4
8
–8
Y
X
–4
13 a) y = x x4
8–2
+ b) y = x42
+ x – 8
14 a) y = –x 2 + 6x – 6 Los puntos (4, 2) y (–3, –33) pertenecen a la parábola.b) y = x 2 – 3x – 4 Los puntos (4, 0) y (–3, 14) pertenecen a la parábola.
Página 130
15 a) IV b) III c) Id) VI e) V f ) II
16 a) b)
2
4
2 4
6
6 8
–2
–6
–4
2 4–2
6
X
XY Y
a) b)
2
4
2 4
6
6 8
–2
–6
–4
2 4–2
6
X
XY Y
c) d)
2
4
2 4
6
6 8
–2
–6
–4
2 4–2
6
X
XY Y
c) d)
2
4
2 4
6
6 8
–2
–6
–4
2 4–2
6
X
XY Y
17 a)
2
4
2 4
–4
–2–2–4
b)
2
4
2 4
–4
–2–2–4
c)
2
2 4
d)
–4
–2–2–4
4
2
4
2
–4
–2–2–4
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
a)
2
4
2 4
–4
–2–2–4
b)
2
4
2 4
–4
–2–2–4
c)
2
2 4
d)
–4
–2–2–4
4
2
4
2
–4
–2–2–4
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
18 a) b)
X
Y
2
2
4
–2
–4
X
Y
2–1
c) d)
X
Y
2
2 4–4 –2
4
–4
–2
Y
X2
2
e) f )
2
2
Y
X
X
Y
2
–2
–4
2–2–4
4
4
19 a) III
b) IV
c) I
d) II
20 a)
2
2 4
–4
–2–4 –2
Y
X
34
b)
2
2 4–2
–4
–4 –2
Y
X
c)
2
2 4–2
–4
–4 –2
Y
X
d)
4
4
–4–4
Y
X
21 a) b)
–4–8 4 8
4
8
–8
Y
X
2
2 4
4
–2–4 –2
Y
X
c) d)
–4–8–4
–8
Y
X4 8
4
8
4
Y
X4 8–4–8
8
–8
–4
22 a) y = x x
x x7
3 9 4
7 4
si
– si ≤
<+*
b) y = x x
x x3 6 1
2 1si –si – ≤
<2
++
*
Página 131
23
2
4
2 4 6
6 Y
X8 10 12
24 a)
2
4
2 4 6
6 Y
X8 10 12
b)
2
4
2
6
–2–4–6
c)
2
4
2 4
6
Y
X6–2–4
d)
2
4
2
6
–2–4–6
Y
X
25 a)
X1
Y
2 3–1–2–3
1
2
3
4b)
X1 2 3 4
Y
5–1
21
3
4
c)
X1
Y
2–1–2–3–4
1
2
3
4d)
X1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
a)
X1
Y
2 3–1–2–3
1
2
3
4b)
X1 2 3 4
Y
5–1
21
3
4
c)
X1
Y
2–1–2–3–4
1
2
3
4d)
X1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
a)
X1
Y
2 3–1–2–3
1
2
3
4b)
X1 2 3 4
Y
5–1
21
3
4
c)
X1
Y
2–1–2–3–4
1
2
3
4d)
X1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
35
a)
X1
Y
2 3–1–2–3
1
2
3
4b)
X1 2 3 4
Y
5–1
21
3
4
c)
X1
Y
2–1–2–3–4
1
2
3
4d)
X1 2 3 4
Y
5–1
2
1
3
4
26 a) b)
2 4
–4
–2–4 –2
Y
X
2 4–4 –2
2
4
–2
Y
X
c) d)
2 4
–4
–2
2
–4 –2
Y
X
Y
X2 4
–4
–2
2
–4 –2
27 a)
2
2
4
–4
–2
–6
–4 –2
b)
2
2
4
–4
–2–4 –2
Y Y
XX
a)
2
2
4
–4
–2
–6
–4 –2
b)
2
2
4
–4
–2–4 –2
Y Y
XX
28 b)
2
2
4
–4 –2
Y
X
a)
4
2
2
4
–4 –2
Y
X
b)
2
2
4
–4 –2
Y
X
a)
4
2
2
4
–4 –2
Y
X
29 a)
Y
–1
–2
g (x) = f (x) – 2
X2–1
b)
Y
h (x) = f (x – 3)
X2 4
2
–1
c)
Y
1
2
–1
i (x) = – f (x)
X1–1
d)
j (x) = |f (x)|
X2 3 41–1–2–3
30 Y
f (x) = √—x
X1 2 3 4
1
2
a)
g (x) = √—x + 1
X–1 1 2 3
1
2
36
b)
h (x) = √—x – 3
YX
1 2 3 4
–2
–3
–1
31 a) y = x2 b) y =
x 32–
2
2
Y
X
2
Y
X2
c) y = x2 1+ d) y = –
x 32–
2
2
Y
X
2
Y
X2
32 a) b)
2 4
4Y
X–4 –2
–4
–2
2
2 4
4Y
X–4 –2
–4
–2
2
c) d)
2 4
4Y
X–4 –2
–4
–2
2
2 4
4Y
X–4 –2
–4
–2
2
33 En 2008, el 85,6 % de los hogares españoles tenían telé-fono móvil.
34 6,94 euros.
35 a) Si se invirtieran 4 000 € en publicidad, se estimarían unas ventas de 33 500 €.
b) Si se invirtieran 4 000 € en publicidad, se estimarían unas ventas de 35 000 €.
36 La temperatura en la cima es de 5,56 ºC.
Representamos la función y = x1801 10– + :
10
2
4
6
8
200100 300 400 500 600 700 800
TEMPERATURA ºC
ALTURA (m)
37 Cinco cocineros podrían atender a 55 comensales.
38 Para dar una vuelta a las 3 100 páginas, con jornadas de 10 horas, necesita, aproximadamente, 382 días.
39 a) Representamos la función:
15
6 8
20
5
10
42 10 12 14 16 18 20 22 24
Y
X
f (x) = ≤ ≤
≤x
x
xxx
10 220
96 4
0 55 1919–
sisisi
<<
+Z
[
\
]]
]]
b) El dominio es el intervalo [0, 24]. El recorrido es el intervalo [0, 20].
Página 132
40 a) 100 € es el precio de equilibrio. La cantidad de equili-brio es 150 miles de unidades.
b) Si x = 80, hay escasez, porque la demanda supera a la oferta. Si x = 120, hay exceso, porque la oferta supera a la demanda.
c) El precio de equilibrio es x = 30 €, y la cantidad de equilibrio, 125 miles de unidades.
41 a) B (x) = x x2
15 25– –2
+
b) Deben venderse 15 unidades.
42 El área del triángulo es la función A (x) = x x2
100 – 2 y
su dominio es el intervalo (0, 10).
37
43 a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno, y los ingresos serían de 40 500 euros.
b) I (x) = –20x 2 + 200x + 40 000 c) 5 euros
44 a)
2TONELADASDE PRODUCTOS
BENEFICIOS MENSUALES
2
6 8 10 12 14 16 18 22 24
468
–8–10
–6–4–2 4 20
b) Debe vender, como mínimo, 5 toneladas de producto para no tener pérdidas.
c) El beneficio máximo lo obtiene vendiendo 12,5 tonela-das de producto y es de 5 625 €.
45 a)
20
2 3 4 6 7 8
406080
N
t
100120140160180
1 5
b) El número de clientes es máximo, 160, cuando lleva 4 horas abierta, a las 2 de la mañana.
c) La discoteca cerrará 8 horas después de abrir, es decir, a las 6 de la mañana.
46 a = 8, b = – 48, c = 100
2 3 4 6 7 8 9 10
20
40
P
t
60
80
100
1 5
47 a)
2 3 4 6 7 8 9 10
10
20
P
t
30
40
50
60
1 5
b) Las ganancias serán máximas dentro de 5 años y ten-drán un valor de 55 millones de euros.
48 a) f (x) = ≤≤
x
x
xxx
2 4840 4
0 22 88 10–
sisisi
≤
≤
<<
+Z
[
\
]]
]]
b) f (x) = x 0si <
≤x x
4
32 4 0– si+*
c) f (x) = x x
x1
233
– – si ≤si >
*
d) f (x) = x x
x42
2sisi ≤
<2*
49 a) b)
Y
X2
2
Y
X2
2
c) d)
Y
X2
2
Y
X2
2
50 a) y = |2x + 5| = x x
x x
2 525
2 525
– – si –
si ≥ –
<
+
Z
[
\
]]
]]
Y
X2
2
b) y = |4 – x 2| = x
xx
xx
x
44
4
22 2
2
––
–
sisisi
–– ≤
≤
<<
2
2
2
+
+*
Y
X2
2
38
c) y = xx
x
x
x23 3 2
3 3
23 3
2
2–
–
–
si
si ≤
<=
+Z
[
\
]]
]]
Y
X2
2
d) y = |–x 2 + 2x + 3| = x xx x
x x
xx
x
2 32 3
2 3
11 3
3
– ––
– –
sisisi
–– ≤
≤
<<
2
2
2+ +*
Y
X2
2
Página 133
51 a) Falso
b) Verdadero
c) Falso
d) Falso
e) Verdadero
52 a) Puede tener como máximo dos soluciones, dependiendo de la posición relativa de la parábola y la recta. Es decir, el sistema puede tener 0, 1 o 2 soluciones.
Y
X2
2
b) En función de la posición re-lativa de la semiparábola y la recta, el sistema puede tener 0, 1 o 2 soluciones.
Y
X2
2
c) Puede tener, como máximo, dos soluciones.
Y
X2
2
53 Como el vértice de la función es el punto (2, –3), la grá-fica es el resultado de desplazar la gráfica de la función y = x 2 tres unidades hacia abajo y dos unidades hacia la derecha. Por tanto, m = 2 y n = –3.
54 a) Dominio: Á
Recorrido: (0, +∞)
b) Dominio: (0, +∞)
Recorrido: Á
55 a) y = |x – 4| – |x | = xx
xx
2 44
00 44
4––
sisisi
≤≤ ≤≤
+*
6
4
2
–2
–4
4
6 8–4 –2 2–6–8
Y
X
b) y = |x + 1| + |x – 3| = ≤
≤x
x
xx
x
2 242 2
11 3
3
–
–
sisisi
–– ≤
≤
+*
6
4
8
10
2
4
6–4 –2 2
Y
X
c) y = |2x – 4| – |x – 1| = ≤
≤xx
x
xxx
33 5
3
11 22
––
–
sisisi
≤≤
++*
2
4–2
–4
–4 –2
Y
X
56 a) (– ∞, –3] « (2, +∞)
b) (– ∞, 0) « [9, +∞)
39
57 a) a = 50b)
10
4 6 8 12
203040
Y
X
5060
2 103 5 7 111 9
El número de socios fue máximo en el mes número 3, con 59 socios, y mínimo en el mes número 10, con 46 socios.
c) Obtuvo pérdidas en el mes número 10.
58 a)
10
200
400
600
800
1000
INGRESOS
CARGA (t)20 30
b) f (x) = xx x
xx
4060
0 2020 30–
sisi
≤ ≤≤<2)
Autoevaluación1 a) Á b) Á – {3} c) (– ∞, 2] d) [0, 5]
2 a) b) c)
XY
X
Y
X
Y
XY
X
Y
X
Y
XY
X
Y
X
Y
3 a) b)
Y
X
2
2
Y
X
2
2
c) d)
Y
X2 2
Y
X2
2
4 Habrá que pagar 462 €.
5
f (x) = ≤≤ ≤
x xx
18 10100
0 55 35
sisi
<+*
25
40302010
50
75
100TEMPERATURA (°C)
TIEMPO(min)
6 a) Ingresos = 350 000 €
b)
1 000
2 000
3 000
4 000
100 600N.º DE ARTÍCULOS
INGRESOS
1200
I(x) = p · x = 12x – 0,01x2
c) Deben fabricar 600 artículos para obtener unos ingresos máximos (360 000 euros).