2. Productos notables y factorización

En álgebra existen productos cuyo resultado puede hallarse por simple inspección, llamadosproductos notables; por otro lado, con la factorización se puede invertir este proceso para escribiruna expresión algebraica como producto de sus factores.

2.1 Productos notables

Existen multiplicaciones de polinomios que dan resultados interesantes y aparecen en laresolución de problemas de manera frecuente. Por ejemplo, al aplicar la regla.

para multiplicar los binomios y se obtiene:

Recuerda que

Esta es una regla general que dice:

"Si se multiplica la suma de dos números cualesquiera por la diferencia de los mismos, se obtienecomo resultado la diferencia de sus cuadrados".

Veamos una aplicación.

Tu profesor te pide que realices la multiplicación sin utilizar la calculadora.

¿Cómo lo harías?

Quizás en primera instancia consideraste realizar la multiplicación de manera usual, sin embargo,el proceso te resultará algo tedioso. Otra forma de realizarla es la siguiente: al observar concuidado los números que se están multiplicando podemos identificarlos como y

, entonces la regla anterior se puede aplicar a esta multiplicación, y obtenemos losiguiente:

(a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by

a + b a − b

(a + b)(a − b) = a ⋅ a − a ⋅ b + b ⋅ a − b ⋅ b

= − ab + ab − = −a2 b2 a2 b2

(a + b)(a − b) = −a2 b2

38 × 42

38 = 40 − 242 = 40 + 2

38 × 42 = (40 − 2)(40 + 2) =

Realizando algunas otras multiplicaciones obtendremos:

Además, hay otros grupos de productos que se obtienen al multiplicar un binomio por sí mismo(potencias de binomios).

Es importante conocer y reconocer este tipo de productos, pues se pueden utilizar para realizarotros procesos más elaborados.

A este tipo de productos se les llama productos notables, sirven como modelos para realizarotras multiplicaciones, por ejemplo, si quieres realizar la multiplicación seobserva que esta multiplicación es similar al producto pues es el producto de lasuma de dos números por la diferencia de los mismos, así que lo tomamos como modelo pararesolver la multiplicación.

− = 1600 − 4 = 1596402 22

(a − b)(a + b) = −a2 b2

(a − b)( + ab + ) = −a2 b2 a3 b3

(a − b)( + b + a + ) = −a3 a2 b2 b3 a4 b4

(a − b)( + b + + a + ) = −a4 a3 a2b2 b3 b4 a5 b5

(a + b)( − ab + ) = +a2 b2 a3 b3

(a + b)( − b + − a + ) = +a4 a3 a2b2 b3 b4 a5 b5

(a + b)( − b + − + − a + ) = +a6 a5 a4b2 a3b3 a2b4 b5 b6 a7 b7

(a + b = + 2ab +)2 a2 b2

(a + b = + 3 b + 3a +)3 a3 a2 b2 b3

(a + b = + 4 b + 6 + 4a +)4 a4 a3 a2b2 b3 b4

(a + b = + 5 b + 10 + 10 + 5a +)5 a5 a4 a3b2 a2b3 b4 b5

(a − b = − 2ab +)2 a2 b2

(a − b = − 3 b + 3a −)3 a3 a2 b2 b3

(a − b = − 4 b + 6 − 4a +)4 a4 a3 a2b2 b3 b4

(a − b = − 5 b + 10 − 10 + 5a −)5 a5 a4 a3b2 a2b3 b4 b5

(2x + 3y)(2x − 3y),(a + b)(a − b)

(a + b)(a − b) = −a2 b2

(2x + 3y)(2x − 3y) = (2x − (3y)2 )2

Como ya hemos visto, los productos notables pueden servir también para realizar algunos cálculoscon números; por ejemplo, para obtener el valor de sin utilizar la calculadora puedes hacerlode la siguiente manera:

En el siguiente enlace, encontrarás un listado de los productos notables más utilizados;descarga el archivo e imprímelo. Tenlo presente para que las reconozcas, porque puedenpresentarse en una gran variedad de formas.

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Ahora que has identificado los productos notables vamos a resolver un problema.

Al Politécnico le han cedido un terreno en forma de cuadrado en el municipio de Nezahualcóyotl,Estado de México. Se quiere dividir el terreno de tal manera que haya un laboratorio destinado aproyectos de investigación, un jardín botánico, un auditorio y un área verde. Para su distribución,se ha decidido que el área verde y el jardín botánico tengan las mismas dimensiones, como semuestra en la figura.

(2x + 3y)(2x − 3y) = 4 − 9x2

y2

(52)2

(52 = (50 + 2 = (50 + 2 ⋅ 2 ⋅ 50 +)2 )2 )2 22

= 2500 + 200 + 4 = 2704

Responde las siguientes preguntas y cuando estés seguro de tu respuesta, verifícala.

¿cuál es el área total del terreno?

Así mismo, si se conoce el largo del terreno y la medida del auditorio como se muestra en la siguiente figura, ¿cuál es el área de la superficie destinada para el laboratorio?

Los productos notables permiten resolver de manera más rápida algunas multiplicaciones, perotambién permiten invertir el proceso; es decir, tomando como base estos productos se puedeidentificar qué polinomios debes multiplicar para obtener un polinomio dado.

En un ejemplo anterior, al multiplicar se obtuvo el siguiente resultado:

Al querer invertir el proceso, piensa en la siguiente situación: queremos obtener el polinomio como resultado de una multiplicación entre 2 polinomios, ¿qué polinomios se deben

Observa que lo que caracteriza a este tipo de factorización es que ambos términos y comparten el factor , por lo cual lo llamaremos factor común.

Por ejemplo:

(2x + 3y)(2x − 3y)

4 − 9x2 y2

4 − 9x2 y2

multiplicar para obtener este resultado?

(?)(?) = 4x2 − 9y2

A este proceso lo llamamos factorización. Al factorizar un polinomio, lo escribimos como producto de polinomios más simples (de grado menor).

El caso más simple de factorización se presenta cuando invertimos la propiedad distributiva.

Recuerda que en el producto de un número por una suma, el producto se distribuye sobre la suma.

a(b + c) = ab + ac

Invirtiendo los miembros de la igualdad tenemos nuestra regla de factorización.

ab + ac = a(b + c)

ab aca

2xy + 6xz = 2x(y + 3z)

2.2 Factorización

inicialmente.

Los productos notables nos permitirán obtener más reglas de factorización simplemente invirtiendolos miembros de las igualdades, como en nuestro primer ejemplo.

Si queremos factorizar el polinomio lo podemos ver como , entonces tiene laforma y podemos usar el primero de los modelos anteriores para factorizar.

En el siguiente enlace, encontrarás un listado de las factorizaciones que serán utilizadas másadelante.

+ = (a + b)( − ab + )a3

b3

a2

b2

− = (a − b)( + ab + )a3

b3

a2

b2

(a + b = + 2ab +)2a

2b

2

(a − b = − 2ab +)2a

2b

2

+ 8x3 (x + (2)3 )3

+a3

b3

+ = (a + b)( − ab + )a3

b3

a2

b2

+ 8 = (x + (2 = (x + 2)( − 2x + 4)x3 )3 )3

x2

Puedes verificar que lafactorización fue hecha

de manera correcta realizando la multiplicación indicada

en el miembro derecho de estaúltima igualdad y

comparando para verificarque el resultado de la

multiplicación es igual alpolinomio que teníamos

Ahora que reconoces los productos notables y has aprendido a factorizar, podrás efectuar operaciones de expresiones que incluyan fracciones algebraicas y obtener el resultado de manera simplificada. Estas expresiones son llamadas algebraicas racionales, las cuales abordarás en el siguiente tema.

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y para concluir este tema, regresando al problema anterior:

En el último momento el dueño del terreno decidió no donar la parte correspondiente al área delauditorio. ¿Cuál es el área de la que ahora dispone el IPN para la construcción?