1
OBJETIVOS:1. Definir unidad imaginaria.2. Conocer y simplificar potencias de
i.3. Definir el conjunto de los números
complejos.4. Operar con los números complejos.
2
DEFINICIÓN:Los Números Imaginarios surgende la necesidad de resolver ecuacionescuadráticas sin solución en el campo real.Este conjunto se representa por I
Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir deraíces cuadradas con cantidad subradical negativa.
3
7 3 2 3 10
4
Definición:Entenderemos como Unidad Imaginaria a:
La que se conoce como Raíz Imaginaria.i= -1
Nota: 2i =-1
NÚMEROS IMAGINARIOS
Luego:
16
16 1
16 1
4i
E inventaron un número cuyo cuadrado es -1 después del año 1777, Euler lo denominó con la
letra “i”.
2i = -1
Calcule las siguientes raíces: 4 1
11 i
25 1
7
1) 4
2) 25
3) 12
4) 11
i2
i5
2 3 i4 3 1
Raíces pares de Números Negativos
NÚMEROS COMPLEJOS
Hallar los números reales que verifican que lasuma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20, esigual a cero.
En símbolos:
25 20 0x
NÚMEROS COMPLEJOS
Al resolver la ecuación obtenida, nos damoscuenta que la raíz cuadrada de un númeronegativo no existe en los reales, por lo tantoesta ecuación no tiene solución en este conjunto,es decir que no existe ningún número real queresuelva este problema.
(Sin solución real)
25 20 0x
NÚMEROS COMPLEJOS
Para que la ecuación anterior tenga solución, losmatemáticos buscaron una ampliación delconjunto de los Números Reales (IR).
A este Conjunto se definió como losNúmeros Complejos:
/ , ;a bi a bi I
11
© copyw
riter
i) Los números reales y losimaginarios están incluidos enel conjunto ampliado.ii) Las propiedades delconjunto real se siguencumpliendo en el conjuntoampliado.
Sus características son:
NÚMEROS COMPLEJOS
Se llama número complejo a un número “z”que puede escribirse de la forma
a y b son números reales Al número a se le llama parte real (a=Re[z]) Al número b se le llama parte imaginaria
(b=Im[z])
z=a+bi
a + b i ( a , b )
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS: Dos Números complejos son iguales si y sólo si,
tienen igual parte real e igual parte imaginaria
si
Entonces: 1 2z =z
1 2 1 2Re z =Re z Im z =Im z
Ó sí a + bi = c + di entonces a = c y b = d.
Ejemplos de Números Complejos:
14
i35)1
i47)2
i61)3
i5)4
7)5
15
81)5 1 4 2 1
1 2 2 i
1 4 2 1
Ejemplo:Determine el valor de y de si
16
ibia 5626
66Si a 2 5y b
0a2
5b
a b
OPERACIONES CON NÚMEROSCOMPLEJOS
17
a bi c di 1.Suma:
idbca
Ej 5em 1: 6plo 2 i i
5 6 1 2 i
i11
18
a bi c di 2.Resta:
idbca
3Ejemplo 1: 2 6 3 i i
3 2 6 3i i
9 5i
a bi c di
Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.
19
Ejemplo 2 : 8 18 5 50
8 3 2 5 5 2i i
8 3 2 5 5 2i i
3 8 2 i
20
a bi c di 3.Multiplicación:
ac bd ad bc i
Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo comosi fuera una multiplicación de polinomios.
a bi c di ac ad i bc i 2bd i
1ac ad bc i bd
ac bd ad bc i
21
Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii
1 2 1 4 1 0i
i1422
12 20 6 10 1i i
22
2Ejemplo 2: 4 5 i
254016 i
i409
4 5 4 5i i 21 6 2 0 2 0 2 5i i i
1 6 4 0 2 5 1i
23
3Ejemplo 3: 2 3 i
46 9i
22 3 2 3i i
2 4 12 9 2 3i i i
4 12 9 1 2 3i i
4 12 9 2 3i i 5 12 2 3i i
210 15 24 36i i i 10 15 24 36i i
24
.El conjugado de
Conjugado de un C
z=a+bi sedefin
ompl
e po
ejo:Definició
r Z=a+bi=an
-bi:
E n c u e n t r a e l c o n j u g a d o d e c a d a
E j e m p lo
n ú m
s :
e r o :
1. 2 4
2. 2 4
3. 64
4. 12 24
5. 13
i
i
i
i
i42
2 4i
64i
12 24i
13
25
8 7:
1 3
i
i
Ejemplo 1
(8 7 ) •(1 3 )
(1 3 )
(1 3 )
ii
i i
2
2
91
217248
i
iii
La División se hace multiplicando por el conjugadodel denominador. (similar a la racionalización)
a bi
c di
4.División: .
a bi c di
c di c di
26
8 17 21 1
1 9 1
i
8 17 21
1 9
i
10
1729 i
i10
17
10
29
27
4 5:
3
i
i
Ejemplo 2 (4 5 ) •
3
3
3i i
i i
2
2
9
1512
i
ii
9
1512
i
28
9
1512
i9
15
9
12
i
3
5
3
4 i
i3
4
3
5
Ejercicios:Resuelve la operación indicada.
29
1) 5 7 2i i
2) 3 12 6 3i i
3) 12 23 16 13i i
4) 13 32 36 53i i
5) 3 2 6 3i i
30
6) 5 7 2i i
7) 3 12 6 3i i
1 28)
6 3
i
i
3 29)
6 3
i
i
31
1) 5 7 2i i 12 i
2) 3 12 6 3i i
3 12 6 3 i i 3 15 i
3) 12 23 16 13i i
12 23 16 13 i i 28 36 i
32
4) 13 32 36 53i i 49 21 i
5) 3 2 6 3i i 218 9 12 6 i i i
18 21 6 1 i12 21 i
6) 5 7 2i i 235 10 7 2 i i i35 3 2 i
37 3 i
33
7) 3 12 6 3i i 218 9 72 36 i i i
18 63 36 i54 63 i
1 28)
6 3
i
i
1 2 6 3
6 3 6 3
i i
i i
2
2
6 3 12 6
36 9
i i i
i6 9 6
36 9
i 12 9
45
i 4 3
15
i
34
3 29)
6 3
i
i3 2 6 3
=6 3 6 3
i i
i i
218 9 12 6 =
36 9
i i i
18 3 6 =
36 9
i
24 3 =
45
i 8 =
15
i
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Para representar un número complejo, de la
forma se utiliza un sistema de coordenadasrectangulares, en el cual la parte real serepresenta en el eje horizontal y la imaginaria enel eje vertical.
Obs:
a + b i
a + b i ( a , b )
Ejemplos:
Módulo de un Complejo: Es la distancia entre el origen y el punto que representa
al número complejo. El módulo de un número complejo
está definido como:
Ejemplo: 2 2a+ bi = a + b
2 2(-4) +2 = 20=2 5-4+2i
a + b i
POTENCIAS DE I:1. Divida el exponente por 4 y el resultado será elevado al resto de
la división.2. luego para simplificar use;3. Sí
39
2i =-1 3 2 i = i i = - 1 i = - i
4 2 2 i =i i = -1 -1 =1Este último resultado hace que las potencias de “i”solotengan como resultados a: i, -i, 1 y -1
0i = 11i = i
n 4m+p pi =i =ii= -1
EJEMPLOS:
40
4 1 2 2 1i i
6 : 4 1
2
4 2 3 3i i i 111)i
5402) i 4 135 0 0 1i i
11: 4 2
3
540 : 4 135
14
020
0
63)i
3i
41
134) i i
2275) i i
2856) i 1
i
11277) i i
285 4 71 1
i1127 4 281 3
3i