Download - 2012 2-calculo n
CÁLCULO NUMÉRICO TEMAS
Teoría de errores.
Solución numérica de ecuaciones no lineales.
Solución de ecuaciones lineales.
Interpolación.
Derivación e Integración numérica.
Solución numérica de ecuaciones diferenciales.
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Límite de una función.
Función continua.
Límite de una sucesión.
Continuidad de una función y convergencia de una sucesión.
Continuidad de una función y convergencia de una sucesión.
Derivada de una función.
Diferenciabilidad y continuidad.
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema de Rolle.
Teorema del valor medio.
Teorema del valor extremo.
Integral del Rieman.
Teorema del valor medio ponderado.
Teorema del valor intermedio.
Teorema de Taylor
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Límite de una función f en x0.
x0
L
ε
δ δ
ε
L+ε
L-ε
L es límite de f en x0 porque por muy pequeño que sea ε, siempre hay δ>0 tal que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε).
f
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Límite de una función f en x0.
x0
Lε
δ δ
ε
L+ε
L-ε
L es límite de f en x0 porque por muy pequeño que sea ε, siempre hay δ tal que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε).
f
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Límite de una función.
x0
L ε
δ δ
ε
L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ).
δ
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Límite de una función.
x0
L ε
δ
ε
L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ).
δ
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Límite de una función.
x0
Lε
δ
ε
L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ).
CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Función continua en z.
CÁLCULO NUMÉRICO
z
Lε
δ δ
ε
L+ε
L-ε
f
.
).()(lim
:
XxtodoencontinuaessiXencontinuaesffunciónLa
zfxfsiXzencontinuaesffunciónLa
RXfSea
zx
∈
=∈→
→
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Límite de una sucesión.
La sucesión infinita de números reales { an } converge a un número L, llamado el límite de la sucesión, si para todo ε>0 existe un entero N0 tal que para todo n > N0 se cumple |an-L|< ε. El límite se denota por { an } → L.
.1001
10,10
0}1{lim
,....1
....,,4
1,3
1,2
1,1}
1{
:
550
5 −−
∞→
=<−=>=
=
=
εεn
quetieneseNntodoparaDado
n
nn
Ejemplo
n
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Continuidad de una función y convergencia de sucesiones.
La función f : X → R es continua en z ∈ X si y sólo si para toda sucesión infinita { xn } que converge a z se cumple que
{ f(xn ) } → f(z0).
x1 x2x3
xny1 y2 y3 yn
z
…
…
f(z)
f(x1)f(x2)
…
…
f(x3)f(xn)
f(y1) f(y2)f(y3) f(yn)
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Derivada de una función.
x x+h
f(x)
f(x+h) h
xfhxflimxf
0h
)()()('
−+=→
La derivada de f en x es el límite de la razón de variación de la función con respecto a la variación de la variable alrededor de x; el límite estomado cuando la variación tiendea 0.Geométricamente, la derivada es lapendiente de la tangente a la curva en x.
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Diferenciabilidad y continuidad.
Si la función f es diferenciable en x, entonces f es continua en x.
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema de Rolle.
Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable sobre el intervalo abierto (a,b); Si f(a)=f(b), entonces existe en (a, b) el valor c tal que f '(c)=0.
a bc2c1
f(a)=f(b)
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor medio.
Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferen-ciable en el intervalo abierto (a, b); entonces existe en (a, b) el valor c tal que
a bc
.)()(
)('ab
afbfcf
−−=
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor extremo.
Si f es una función continua definida en [a, b], existen dos valores de xmin, xmax de [a,b] tales que f(xmin)≤ f(x) ≤ f(xmax) para todo x de [a,b]. Si f es además diferenciable en [a, b], xmin y xmax coinciden con a, o b, o los puntos donde f ' es 0.
a bxmin xmax a bxmax
xmin
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Integral de Rieman.
x0 x1 x2 x3 xna b
)(lim)(1
∑∫=∞→
−=n
ii
b
a nxf
n
abdxxf
n
abiaxi
−+=
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Integral de Rieman.
x0 x1 x2 x3 xna b
)(lim)(1
∑∫=∞→
−=n
ii
b
a nxf
n
abdxxf
n
abiaxi
−+=
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor medio ponderado.
Sea f una función continua definida en [a, b]. Existe un valor xp en [a, b] tal que
)()()( p
b
axfabdxxf −=∫
a bxp
f(xp)
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema del valor intermedio.
Si f es una función continua definida en [a, b] y si h es un valor tal que f(a)<h< f(b), entonces existe en (a, b) un valor xh tal que f(xh)= h.
a b
f(a)
f(b)h
xh
CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS
Teorema de Taylor
Sea f una función continúa derivable n veces en [x, x+h]
y f (n+1) existe en (x, x+h), entonces
.,)!1(
)()(
),(!
)(......
!3
)(
!2
)(
!1
)()()(
1)(
)(3)3(2)2()1(
hxyxentrevaloralgúnparan
hfRsiendo
Rn
hxfhxfhxfhxfxfhxf
nn
nn
++
=
++++++=+
+
εεε
ε
CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES
ErrorEl error al usar un valor aproximado x en vez un de valor ideal ó exacto X es la diferencia entre X y x.
Se dice que el error de x es ∆x=X-x.
Error por defecto y error por exceso.Si x<X se dice que x es una aproximación por defecto;
si x>X se dice que x es una aproximación por exceso.Error absoluto
El error absoluto de la aproximación x con respecto al valor exacto X es ∆= |X-x|.
TEORÍA DE ERRORES
Cota del error absolutoEn la práctica no se conoce el valor exacto X; por lo tanto, tampoco se conoce el error absoluto del valor aproximado x. Sólo es posible estimar un límite superior para el error absoluto de x; este límite recibe el nombre de cota del error absoluto de x y es representado por ∆ x :
∆= |X-x| ≤ ∆ x .Si X>x , resulta X-x ≤ ∆ x y X ≤ x+∆x ;si X<x , resulta x-X ≤ ∆ x y x- ∆x ≤ X ,de donde x- ∆x ≤ X ≤ x+∆x , que es denotado por
X= x ± ∆ x
.
CÁLCULO NUMÉRICO
CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES
Error relativoEl error relativo de un valor aproximado x con respecto a un valor exacto X es
de donde se deduce
|| X
∆=δ
|| Xδ=∆
|| X
∆=δ
CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES
Cota del error relativo
Una cota del error relativo de un valor aproximado x, con respecto a un valor exacto X es un valor δ x tal que
Normalmente X es desconocido, y x es muy cercano a X ; entonces se puede escribir ∆ x = |x| δ x.
La última igualdad implica x(1 - δ x )≤ X ≤ x(1 + δ x ),
relación que se representa por X = x(1± δ x ).
xXδδ ≤∆=
|| xx
XXδ=∆≤∆
||||de donde resulta que
CÁLCULO NUMÉRICOTEORÍA DE ERRORES
Fuentes de errores Error de método Los modelos son aproximaciones, y por tanto introducen errores.
Error residualCuando el valor es calculado con una parte de un proceso infinito.
Error de redondeoCuando el valor requiere más dígitos de los que se puede usar.
Error de operaciónCuando los operandos de una operación son valores aproximados.