Ejercicio nº 4 + 5 : El pórtico simple desplazable
8 m
4 m
A D
BC
I
2 I
I
3 t/m2 t
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
El problema se puede afrontar en primera aproximación, utilizando una de las dos ayudas que se tienen en todos los casos:
A/ Método de las secciones.
B/ Método de superposición.
En este caso aplicaremos el método de superposición, descomponiendo el estado real en la suma de dos estados parciales que pueden tener realidad física o no (en este caso sí):
1/ acción gravitatoria que resulta ser un estado simétrico de forma y carga.
+
2/ Acción de viento que resulta ser un estado simétrico de forma y antimétrico de carga.
3 ecuaciones generales de equilibrio y 6 incógnitas → Grado Hiperestático = 3 (método de las fuerzas)
8 mA D
BC
I
2 I
I
3 t/m2 t
8 mA D
BC
I
2 I
I
3 t/m
8 mA D
BC
II
2 t
= +Estado 1 Estado 2Estado Real
2 I
Ejercicio nº 4: El pórtico simple (estado I)
Barra L A I K M.E.P.Izda Dchanº m. bxh EI
21
3
864
1EI
mt
1EI
1EI
I
I
2II
30x30
30x30
60x30 -16,00 +16,00
8 mA D
I
2 I
I
-16,00 +16,001/2
1/2
1/2
1/2
+8,00 +4,00-10,00
+8,00
+4,00
-10,00
-5,00
-5,00
+1,25
+2,50
+2,50
+1,25-0,62-0,31
-0,63
-0,31
+0,15
+0,16
+0,08
-10,66+10,63
+10,66
+5,33
-10,63
-5,31
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
De la estructura croquizada de peso propio despreciable se pide: diagramas de solicitaciones a escala y acotados.
ETAPA I : M.E.P. y factores de reparto.
K2 = EI → r2 = .5
Nudo C: K3 = EI → r3 = .5___________ _________
Σ Kj = 2EI Σ rj = 1
K1 = EI → r1 = .5
Nudo B: K2 = EI → r2 = .5__________ _________
Σ Kj = 2EI Σ rj = 1
ETAPA II : Equilibrio de nudos. Se liberan los nudos uno a uno, se equilibra y transmite en su caso.
Se comienza por el nudo más desequilibrado.
8 mA D
BC
I
2 I
I
3 t/m
Estado 1
Ejemplo nº 4: estructura de dos nudos.(método matricial).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Paso 1º/ Todos los nudos giran en sentido positivo:
Método Matricial.
Dos nudos sin desplazamientos. Grado hiperestático por el método de los desplazamientos = 2. Las incógnitas son: “αB” y “αC”.
Paso 2º/ Momentos en extremo de barra:
B C2
3 t/m
+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_
B C2
B+
B
M = K *2c C2M = * K *2b C21/2
M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2
C2
C+
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
Barra L A I K M.E.P.Izda Dchanº m. bxh EI
21
3
864
1EI
mt
1EI
1EI
I
I
2II
30x30
30x30
60x30 -16,00 +16,00
8 mA D
BC
I
2 I
I
3 t/m
A D
2 I
I
B C
1
2
I 3
B C
Estado 1
Ejemplo nº 4: estructura de dos nudos.(método matricial).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Paso 2º/ Momentos en extremo de barra:
K1 + K2
*αB =
+16
Vector ?Matriz rigidez Vector cargas nudos
Paso 4º/ Cálculo del vector de incógnitas (giro de nudos)
αB αC
αB
αCK2 + K3
1/2 K2
1/2 K2 αC–16
1 + 1
*αB =
+16
αB αC
αB
αC1 + 1
½ * 1
½ * 1 αC–16
B C2
3 t/m
+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_
B C2
B+
B
M = K *2c C2M = * K *2b C21/2
M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2
C2
C+
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
Paso 3º/ Equilibrio de momentos en los nudos: ΣMB= 0 y ΣMC = 0
Ejemplo nº 4: estructura de dos nudos.(método matricial).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Paso 2º/ Momentos en extremo de barra:
Vector ?Matriz rigidez Vector cargas nudos
1 + 1
*αB =
+16
αB αC
αB
αC1 + 1
½ * 1
½ * 1 αC–16
B C2
3 t/m
+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_
B C2
B+
B
M = K *2c C2M = * K *2b C21/2
M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2
C2
C+
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
Paso 4º/ Cálculo vector incógnitas (giro de nudos): αB = +10,6666/EI αC = –10,6666/EI
Paso 5º/ Momentos definitivos en extremo de barra: Condiciones de contorno:
1
1
2
2
3
0,00 1* 0 * 10,6666 5,33
0,00 1* 10,6666 * 10,66
16,00 1* 10,6666 * 10,6666 10,66
16,00 1* 10,6666 * 10,6666 10,66
0,00 1* 10,6666 * 10
12
0
121
0 ,2
A
B A
B
C
C D
M mt
M mt
M mt
M mt
M
3
66
0,00 1* 0 * 10,666612
5,33D
mt
M mt
Paso 3º/ Equilibrio de momentos en los nudos: ΣMB= 0 y ΣMC = 0
αA= αD = 0 δ = 0
ΣMB = 0
ΣMC = 0
Ejercicio nº 4: El pórtico simple Diagramas (estado 1)
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
De la estructura croquizada de peso propio despreciable se pide: diagramas de solicitaciones a escala y acotados.
4,00
12,00
-4,00
-12,00 12,00
4,00
-4,00
-12,00
Equilibrio
nudo Bfuerzas
Equilibrio
nudo Cfuerzas
-12,00
-12,00 -12,00
-12,00
nudo B nudo C
-10,66 -10,66
+10,66
+5,33
-10,66
-5,33
2
M. F.
A D
8 m.
B C
1 3
12,00
12,004,00 2
4,00 4,00
4,00
V.
A D
8 m.
B C
1 3
-12,00
2
-4,00
-12,00
C
C
C
N.
4,00
12,00
-4,004,00
4,00
4,00
1 3
12,00
12,00 12,00
4,00
4,00
-4,002
A D
8 m.
B C
1 3
+13,33
Ejemplo nº 5: el pórtico simple desplazable.(estado 2).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
8 mA D
BC
II
2 t
Estado 2
2 I
De la estructura croquizada de peso propio despreciable se pide: diagramas de solicitaciones a escala y acotados.
ETAPA IV :.
8 mA D
I
2 I
I
-100,00 1/2
1/2
1/2
1/2
-100,00
-100,00
-100,00
+50,00 +25,00+37,50+18,80
+50,00
+25,00
+37,50
+18,75
-9,40 -4,70
-4,7
-9,40
+2,35+59,40
+2,35
+1,17
-60,15
-80,00 -79,70
-59,40
+60,15
A
I
B 2
3
D
C2 t.
1M 3M
1M 3M
d1 d3
IVa
= 0 t.
= 4 t.
= 35,038
(-59,40 - 79,70) / 4 = 34,775 (-60,15 - 80,0) / 4 = 35,038
2t -34,775 - 35,038 = 0 ? = +0,0286479595491... S de fuerzas cortantes + F ext. = 0
2
2 t.
Visos.
VIIVIVa
Barra 1Corte
Barra 3Corte
Numéricamente
= 0 t.
= 4 t.
= 34,775
isos.
VIIV
ETAPA III :.
ETAPA V :.
d 1= d 3 = α
Ejercicio 5, diagramas de viento (v1= viento hacia la derecha)
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
2 t.C
A D
I
2 I
I
1/2
1/2
1/2
1/2
+1,70-1,72
-2,29 -2,28
-1,70 +1,72
Valores en mt.
A D8 m.
B C
1 3
2
M. F.
A D8 m.
B C
1 3
0,432
1 1
V.
A
D8 m.
B C
1 3
+0,43
2
-1,00
-0,43
T
N.
+1,70
+1,70
-1,72
+1,70
-2,28 -2,29
1 1
C
C
A
I
B 2
3
D
Estado 2
Diagramas de viento
Ejemplo nº 5: pórtico simple desplazable.(método matricial).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Paso 1º/ Todos los nudos giran = se desplazan en sentido positivo, es decir, dan lugar a M +:
Método Matricial.
Dos nudos sin desplazamientos. Grado hiperestático por el método de los desplazamientos = 3. Las incógnitas son: “αB” “αC” y “Δ”.
Paso 2º/ Momentos en extremo de barra:8 m
A D
BC
II
2 t
Estado 2
2 I
d1 d3
1M 3MCB
I 3
1M 3M
A D
2
2 t.
ETAPA III :.
d 1= d 3 = Δ
C2
C+
B C2
B C2
B+
B
M = K *2c C2M = * K *2b C21/2
M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
d =1
B
M = * K * / L1a 11,5 1
M = * K * / L1a 11,5 1
1
d =3
C
M = * K * / L3d 31,5 3
M = * K * / L3c 31,5 3
3
DA
Ejemplo nº 5: pórtico simple desplazable.(método matricial).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
8 mA D
BC
II
2 t
Estado 2
2 IPaso 3º/ Equilibrio de momentos en los nudos:
ΣMB= 0 ΣMC = 0 y ΣFh = 0
Vector ?Matriz rigidez Vector cargas nudos
1 + 1
*αB
=0,00
αB αC
αB
αC ½ * 1 αC0,00
Hay que introducir en el método matricial la ecuación de equilibro del dintel
1 + 1
½ * 1
Δ1,5*K1/L1
Δ1,5*K3/L3
1,5*K1/L1 1,5*K3/L3 3(K1+K3)/L2 Δ –2,00
ΣMB = 0
ΣMC = 0
ΣFh = 0
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
d =1
B
M = * K * / L1a 11,5 1
M = * K * / L1a 11,5 1
1
d =3
C
M = * K * / L3d 31,5 3
M = * K * / L3c 31,5 3
3
DA
1,5*K1/L1 1,5*K3/L3 3 K3/L323 K1/L1
2
2
+2 t.
1,5 K * / L1 1 1,5 K * / L3 3
+ 0,425 t
3 ( K +K ) / h3
+ 0,425 t
1 12
cortante de giro B cortante de giro C
2,85 t
CORTANTE PISOB
B C
C
isos.= 0 t.V isos.= 0 t.V
Ejemplo nº 5: pórtico simple desplazable.(método matricial).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Vector ?Matriz rigidez Vector cargas nudos
2
*αB
=0,00
αB αC
αB
αC 0,5 αC0,002
0,5
Δ0,375
Δ0,375
0,375 0,375 0,375 Δ –2,00
ΣMB = 0
ΣMC = 0
ΣFh = 0
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
d =1
B
M = * K * / L1a 11,5 1
M = * K * / L1a 11,5 1
1
d =3
C
M = * K * / L3d 31,5 3
M = * K * / L3c 31,5 3
3
DA
1,5*K1/L1 1,5*K3/L3 3 K3/L323 K1/L1
2
Paso 4º/ Cálculo vector de incógnitas: αB = αC= +1,1439/EI Δ = –7,6190/EI
Paso 5º/ Momentos definitivos en extremo de barra: Condiciones de contorno:
αA= αD = 0
1
1
2
2
3
0,00 1* 0 * 1,1439 * 7,6190 / 4 2,29
0,00 1* 1,1439 * * 7,6190 / 4 1,71
0,00 1* 1,1439 * 1,1439 *0 /8 1,71
0,00 1* 1,1439 * 1,1439 *0 /8 1,7
1 1,52
0 1,5
1 1,521 1,52
1
A
B A
B
C
M mt
M mt
M mt
M mt
M
3
0,00 1* 1,1439 * * 7,6190 / 4 1,71
0,00 1* 0 * 1,1439
0 1,5
1 1 *,52
7,6190 / 4 2, 29
C D
D
mt
M mt
+2t
Ejemplo nº 6 = 4 + 5: pórtico simple completo.(método matricial).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Paso 1º/ Todos los nudos giran o se desplazan en sentido positivo, es decir, dan lugar a M +:
Método Matricial.. Las incógnitas son: “αB” “αC” y “Δ”.
Paso 2º/ Momentos en extremo de barra:
d1 d3
1M 3MCB
I 3
1M 3M
A D
2
2 t.
d 1= d 3 = Δ
Estado 2
A D
2 I
I
B C
1
2
I 3
B C
Estado 1
C2
C+
B C2
B C2
B+
B
M = K *2c C2M = * K *2b C21/2
M = K *2b B2 M = * K *2c B21/2
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
d =1
B
M = * K * / L1a 11,5 1
M = * K * / L1a 11,5 1
1
d =3
C
M = * K * / L3d 31,5 3
M = * K * / L3c 31,5 3
3
DA
3 t/m
+M = + 16 mt2c_+M = - 16 mt2b_8 m
A D
BC
I
2 I
I
3 t/m2 t
Estado Real
Ejemplo nº 6: pórtico simple completo.(superposición).
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Vector ?Matriz rigidez Vector cargas nudos
2
*αB
=+16,00
αB αC
αB
αC 0,5 αC–16,002
0,5
Δ0,375
Δ0,375
0,375 0,375 0,375 Δ –2,00
ΣMB = 0
ΣMC = 0
ΣFh = 0
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
d =1
B
M = * K * / L1a 11,5 1
M = * K * / L1a 11,5 1
1
d =3
C
M = * K * / L3d 31,5 3
M = * K * / L3c 31,5 3
3
DA
1,5*K1/L1 = 0,375
1,5*K3/L3 = 0,375
3 K3/L32 =
0,18753 K1/L1
2 = 0,1875
Paso 4º/ Cálculo de incógnitas: αB = +11,8095/EI αC= -9,5238/EI Δ = -7,6190/EI
Paso 5º/ Momentos definitivos en extremo de barra: Condiciones de contorno:
αA= αD = 0
+2t
1
1
2
2
0,00 1* 0 * 11,8095 * 7,6190 / 4 3,05
0,00 1* 11,8095 * * 7,6190 / 4 8,95
16,00 1* 11,8095 * 9,5238 *0 /8 8,95
16,00 1* 9,5238 * 11,8
1 1,52
0 1,5
1
095 *0
1,52
1 1 852
/,
A
B A
B
C
M mt
M mt
M mt
M
3
3
12,38
0,00 1* 9,5238 * * 7,6190 / 4 12,38
0,00 1* 0 * 9,5238 * 7,6
0 1,
190 / 4 7
5
1 1,52
,62
C D
D
mt
M mt
M mt
Ejercicios 5 + 6 , diagramas definitivos o de Cross
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Ejercicios nº 4 + 5:
Acción gravitatoria + acción viento
-------------------------------------------------
Acciones permanentes: carga gravitatoria.
G Carga permanentes.
+
Q Carga variable.
Acción variable:
V 1 sobrecarga viento V1.
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
A D
8 m.
B C
1 3
-8,96 -12,38
+12,38
+3,05
-8,96
-7,62
2
M. F.
A D
8 m.
B C
1 3
11,57
12,433,00 2
3,00 5,00
5,00
V.
A D
8 m.
B C
1 3
-11,57
2
-5,00
-12,43
C
C
C
N.
5,00
11,57
-5,00
3,00
3,00
3,00
1 3
12,43
12,00 12,43
5,00
5,00
-5,002
3,00
11,57
-3,00
-11,57 12,43
5,00
-5,00
-12,43
Equilibrio
nudo Bfuerzas
Equilibrio
nudo Cfuerzas
-11,57
-11,57 -12,43
-12,43
nudo B nudo C
+13,33
2,00
Ejercicios 6 = 4 + 5 , diagramas definitivos o de Cross
Pórtico simple: Combinación de Acciones
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Diagramas para dimensionado y/o armado
Pórtico simple
Acción gravitatoria + acción viento
------------------------------------------------
Acciones permanentes: carga gravitatoria.
G Carga permanentes.
Q Carga variable.
Acción variable:
V 1 sobrecarga viento V1.
V 2 sobrecarga viento V2 .
Envolvente de solicitaciones
A D
8 m.
B C
1 3
-12,38 -12,38
+12,38
+7,62
-12,38
-7,62
2
M. F.
A D
8 m.
B C
1 3
12,43
12,435,00 2
5,00 5,00
5,00
V.
A D
8 m.
B C
1 3
-12,43
2
-5,00
-12,43
C
C
C
N.
+13,33
Pórtico simple: Combinación de Acciones
Características de la matriz de rigidez y sobre el método matricial.
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Vector ?Matriz rigidez Vector cargas nudos
2
*αB
=+16,00
αB αC
αB
αC 0,5 αC–16,002
0,5
Δ0,375
Δ0,375
0,375 0,375 0,375 Δ –2,00
ΣMB = 0
ΣMC = 0
ΣFh = 0
B
A
1
M = K *1b B1
1
B
A
M = * K *1a B11/2
C
D
3
M = K *3c C3
3
C
D
M = * K *3d C31/2
d =1
B
M = * K * / L1a 11,5 1
M = * K * / L1a 11,5 1
1
d =3
C
M = * K * / L3d 31,5 3
M = * K * / L3c 31,5 3
3
DA
1,5*K1/L1 = 0,375
1,5*K3/L3 = 0,375
3 K3/L32 =
0,18753 K1/L1
2 = 0,1875
1º/ Es un invariante estructural, una vez formulado representa a la estructura y a cualquier otra que sea geométricamente semejante (igual relación de rigideces en los nudos).
2º/ Si se quiere analizar otra hipótesis de carga es suficiente con cambiar el vector de cargas.
+2t
a/ Submatriz de giros y trasmisiones en la diagonal principal están las sumas de rigideces de las barras concurrentes en los nudos.
b/ Submatriz de MEP en los nudos debidos a desplazamientos de planta (etapa III de Cross).
c/ Submatriz de fuerzas que equilibran la suma de momentos en los extremos de los pilares debidas a los giros.
d/ Submatriz de fuerzas (rigidez de planta) que equilibran la suma de momentos en los extremos de los pilares debidas al desplazamiento de la planta correspondiente..
4º/ La matriz de rigidez es simétrica, y suponiendo giros y desplazamientos + todos los números que la componen son positivos.
Las demás casillas contienen las trasmisiones correspondientes.
3º/ La matriz de rigidez tiente cuatro submatrices:
Resumen Simplificaciones de Simetría de forma y carga
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
El eje de simetría corta a la estructura por:
1/ Un nudo con 2 barras.2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.3/ Un nudo con viga continua sobre pilar
Esquema de simetría
El eje de simetría corta a la estructura por:
1/ Un nudo con 2 barras.El giro del nudo es nulo<> equivale a un empotramiento para la etapa II de Cross..2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.Se utiliza una rigidez virtual equivalente al 50% de la rigidez real. (sólo cambia los factores de reparto).
3/ Un nudo con viga continua sobre un pilar.El giro del nudo es nulo. Una viga empotra a la otra <> equivale a un empotramiento y el pilar sólo toma la solicitación axil.
Resumen Simplificaciones de Antisimetría de carga
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
El eje de simetría corta a la estructura por:
1/ Un nudo con 2 barras.2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.3/ Un nudo con viga continua sobre pilar
Esquema de Antisisimetría
El eje de antisimetría corta a la estructura por:
1/ Un nudo con 2 barras.No hay oposición al giro, una barra no empotra a la otra. Se coloca una articulación en el nudo A, y la rigidez de la barra 1 es 3EI/L.
2/ El centro de una barra perpendicular a la directriz.Se utiliza una rigidez virtual equivalente al 150% de la rigidez real. (sólo cambian los factores de reparto).
3/ Un nudo con viga continua sobre un pilar.Como el eje de antisimetría corta longitudinalmente al pilar, queda medio pilar. Se utiliza la rigidez correspondiente ½ pilar.
Ejercicio nº 7: El pórtico simple con simplificaciones
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
1+0,5
αB
αBΣMB = 0
Paso 4.1º/ Cálculo de incógnitas: αB = +10,6666 αC= -10,6666 Δ = 0,00
Paso 5º/ Momentos definitivos en extremo de barra: Condiciones de contorno:
αA= αD = 0
8 mA D
BC
I
2 I
I
3 t/m2 t
8 mA D
BC
I
2 I
I
3 t/m
8 mA D
BC
II
2 t
= +Estado 1 Estado 2Estado Real
2 I
* αB = +16,00
Paso 3.1º/ (Estado 1).
Momentos en extremo de barra del estado 1 con simplificaciones de simetría:
Paso 3.2º/ (Estado 2).
Momentos en extremo de barra del estado 1 con simplificaciones de antisimetría:
1+1,5*
αB =0,00
αB
αB
Δ0,375
Δ 0,375 0,1875 Δ -1,00
ΣMB = 0
ΣFh = 0
Paso 4.2º/ Cálculo de incógnitas: αB = +1,1429 αC= +1,1429 Δ = -7,6190
Paso 4º/ Superponiendo resultados: αB = +11,8095/EI αC= – 9,5238/EI Δ = -7,6190/EI
1
1
2
2
0,00 1* 0 * 11,8095 * 7,6190 / 4 3,05
0,00 1* 11,8095 * * 7,6190 / 4 8,95
16,00 1* 11,8095 * 9,5238 *0 /8 8,95
16,00 1* 9,5238 * 11,8
1 1,52
0 1,5
1
095 *0
1,52
1 1 852
/,
A
B A
B
C
M mt
M mt
M mt
M
3
3
12,38
0,00 1* 9,5238 * * 7,6190 / 4 12,38
0,00 1* 0 * 9,5238 * 7,6
0 1,
190 / 4 7
5
1 1,52
,62
C D
D
mt
M mt
M mt