Autor: Mario A. Jordán
Fundamentos de Control Realimentado
NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2013. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la
Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5
Clase 10 - Versión 1 - 2014
Contenido
Propiedades Básicas de los Sistemas de Control
Rechazo a las perturbaciones
Propiedades comparativas de los SC a Lazo Abierto y Cerrado
Sensitividad a cambios de parámetros y de ganancia
Sensitividad de la respuesta temporal
Sistema de Control a Lazo Abierto
t
r(t)
r’(t)
-d
e-sd
Y2(s) = G´(s) W(s) para R(s)=0
Y (s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) + G´(s) W(s)
Y1(s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) para W(s)=0
Se aplica el Principio de Superposición para R y W:
2 Entradas2 Salidas
YHr Dol GR´
Controlador Planta
PerturbaciónConformador(prefiltro)
Sistema de Control a Lazo Cerrado
Y1(s)
R(s)Gcl(s) = = para W(s)=V(s)=0
1+Dc(s) G(s) Hy(s)
Hr(s) Dc(s) G(s)
Para la perturbación W y el ruido V se deben identificar las FT´s:G’(s) y Hy’(s), las cuales explican la causalidad de la perturbación.
Para ello se aplicará el Principio de Superposición
Hr Dc G
Hy
Controlador Planta
PerturbaciónConformador(prefiltro)
Sensor
Ruido
Y1(s)
R(s)Gcl(s) = = para W(s)=0
1+Dc(s) G(s)
Dc(s) G(s)
Y2(s)
W(s)Gw(s) = = para R(s)=0
1+Dc(s) G(s)
G(s)
Y(s) = Gcl(s) R(s) + Gw(s) W(s)
Sistema de control con realimentación unitaria
Controlador Planta
Rechazo a las Perturbaciones
Control a lazo abierto de velocidad de un motor DC
Torque de carga
rpm de referencia rpm del
motor
La performance depende de la calibración !
Pero la perturbación se traslada a la salida produciendo error !
W (s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s)A
ts+1
B
ts+1
Controlador Prefiltro
No existe una forma de atenuar TI con el controlador
Control a lazo cerrado de la velocidad de un motor DC
W (s) = Wref(s) +A/(ts+1)
1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)
Hr(s) Dcl(s)Tl(s)
B/(ts+1)
1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)
Rechazo a las perturbaciones
Torque de carga
rpm de referencia
rpm del motor
La influencia de la perturbación en la salida puede ser atenuada !
La performance AHORA depende de la realimentación !
Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC
COMPARACIÓN
W (s) = Wref(s) +A/(ts+1)
1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)
Hr(s) Dcl(s)Tl(s)
B/(ts+1)
1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)
Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC
W (s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s)A
ts+1
B
ts+1
La ganancia controlador Dcl, puede aumentarse para atenuar la
incidencia de la perturbación Tl en la salida W (s) !
No existen grados de libertad para atenuar la perturbación !
Rechazo a las perturbaciones en estado estacionario
Si Tl es un escalón Tl(s)=a/s , su influencia sobre la salida se vetransformada en ee de la siguiente forma para el lazo cerrado:
B/(ts+1)
1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)
a
slims0
s = a1+Hy(0) Dcl(0) A
BWw() =
en un factor: con respecto al sistema a lazo abierto1+Hy(0) Dcl(0) A
1
El factor: Hy(0) Dcl(0) A se denomina: GANANCIA DE LAZO ABIERTO
en estado estacionario
Eligiendo la GANANCIA DE LAZO ABIERTO tal que: Hy(0) Dcl(0) A>>B,
se logra disminuir el efecto de la perturbación. La ganancia del
controlador juega un papel muy importante en este rechazo
Definición 1: Se denomina SENSITIVIDAD de GANANCIA de un
Sistema de Control al TENOR de incidencia en su GANANCIA provocada
por una VARIACIÓN de los PARÁMETROS en la Planta.
Efecto de Variación de Parámetros en los SC
Definición 2: Se denomina SENSITIVIDAD de SALIDA de un Sistema
de Control al TENOR de incidencia en su SALIDA provocada por una
VARIACIÓN de los PARÁMETROS en la Planta.
Dicho TENOR de incidencia se describe a través de una Función
denominada Sensitividad. Es distinta para los casos de SC en LA y LC
La Sensitividad expresa dicha variación de Ganancia o Salida en
forma normalizada, es decir porcentual del parámetro.
Sistema de Control a lazo abierto – Ejemplo Motor DC
Sea la ganancia Kol de lazo abierto Tol y una variación causada porel cambio de un parámetro A de la planta:
La variación normalizada del parámetro A es:
Función de Sensitividad de Ganancia en el SC de Lazo Abierto
Función de Sensitividad de la Ganancia en LA se define a través de:
dA
A
A
ol
S = 1
Sensitividad de Ganancia
Sistema de Control a lazo cerrado – Ejemplo Motor DC
Sea la ganancia de lazo cerrado:
La variación de Tcl es:
cl
cl cl
cl
Normalización
Función de Sensitividad
A
clS
Función de Sensitividad de Ganancia de LC:
Tcl = Tcl
A A
A
cll
S =clS
Función de Sensitividad de Ganancia enEl SC de Lazo Cerrado
Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC
Resumen: Sensitividad de Ganancia
Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC
A
ol
S=
A
cl
S=
A
ol
S = 1
A
cl
S =
CONCLUSIÓN: Si >> 1 la Sensitividad de Ganancia del Sistema de LC disminuye significativamente y es mucho menorque la Sensitividad de Ganancia del Sistema de LA
Sensitividad de Salida
Definición: dada la salida y del sistema se define
Sensitividad de Salida respecto a un parámetro como:
o en forma normalizada respecto al parámetro:
Usualmente es un coeficiente de la planta como por Ejemplo, la ubicación de un polo o cero, o la ganancia
Sensitividad de Salida ante cambios paramétricos
Analicemos las FT’s de los sistema a LA y a LC
W (s) = Dol(s) Wref(s)A
ts+1A lazo abierto
A lazo cerrado
Si t es el parámetro de influencia, luego las Sensitividades son:
W (s) = Wref(s)Dcl(s)
Ats+1
Ats+1
1 + Dcl(s)
y
= y t -sts+1
y
= y t -sts+1+DclA
Para Lazo Abierto
Para Lazo Cerrado
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Tiempo (seg)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Sensitividad de Salida ante cambios
Paramétricos (ejemplo )
yol
Planta: A=2, =0.8
SC LA: Dol=0.5
SC LC: Dcl=10,
Variación param.: =-20%
yol
yol +yol
yol +yol
ycl +ycl
ycl
ZOOM
ycl +ycl
ycl
Sólo afecta el transitorio!
CONCLUSIÓNAumentando la ganancia del controlador Dcl es posible:
2) Aumentando la ganancia del controlador Dcl es posible reducir las constantes de tiempo del sistema lo cual implica AUMENTAR la RAPIDEZ de la planta controlada en lazo cerrado
Lazo cerrado
Lazo abierto
3) Aumentando la ganancia del controlador Dcl en forma desmesurada, el SC puede entrar en un estado de inestabilidad.
1) REDUCIR LA SENSITIVIDAD de variaciones de las constantes de tiempo respecto al caso de lazo abierto
y
= y t -sts+1
y
= y t -sts+1+DclA