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MATEMÁTICA 1° MEDIO Guíade Repaso 1º Semestre 2016
Luego de las vacaciones, nos toca retomar las actividades, y para ese fn hemos diseñado esta guía detrabajo. En ella podremos, poco a poco, recuperar aquellos conocimientos y habilidades que viven ennosotros, pero que están normalmente dormidos durante el verano.
1º Parte: números Enteros y números Racionales
El siguiente esquema indica el cómo están construidos y compenetrados entre sí los distintos conjuntosnum ricos con los cuales !as tra"ajado !asta a!ora# Recuerda que cada conjunto nom"rado contienedentro a los conjuntos anteriores$
% Números Naturales: son todos aquellos n&meros que resultan de conta"ili'ar o"jetos#Responde preguntas como ¿cuánto es ! "# El cero () ES un n&mero (atural#
0% Números Car inales $ es el conjunto resultante de agregar el cero a los n&meros (aturales*unir los (aturales con el cero+# Responde preguntas como ¿$uánto es % menos %#
, Números Enteros: corresponde al conjunto de todos los in-ersos aditi-os de los n&merosnaturales. además del cero como elemento central# /a recta num rica se e tiende !acia la i'quierda apartir del cero. y se -a al in nito# parece el concepto de n&meros positi-os y negati-os# Respondepreguntas como ¿cuánto es & menos '"#
3 Números Racionales: son todos aquellos n&meros que nacen a partir de una di-isión# 4odas las
5racciones. que e-entualmente pueden escri"irse como un n&mero decimal. independiente de si sonpositi-os o negati-os *signo+. son n&meros racionales# Responde preguntas como ¿cuánto es ( divididoen "#
E!ERCICIO" RE"#E$TO":
Departamento de Matemáticas y Física 1
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MATEMÁTICA 1° MEDIO Guíade Repaso 1º Semestre 2016
( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )( )
30 : 12 9 3 3 12 : 3 2 / identifica los paréntesis más al interior
30 : 12 9 3 3 12 : 3 2 / multiplicación y división tienen la prioridad
30 : 3 9 4 2
30 : 3 9 4 2 / un signo "menos" fuera del parénte
− + − × − + −
− + − × − + −
− − − + −
− − + + −
( )( )
sis cam ia todo en su interior
30 : 3 9 4 2 / "más menos dos" corresponde a un producto de signos !ue resulta negativo
30 : 3 9 4 2 / sumas y restas tienen igual prioridad parte por la i#!uierda si
− − + + −
− − + −
( )empre
30: 10 / al dividir por un negativo el cuociente tam ién lo será
3
−
−
$ 1 1 1 1 / si no %ay nada entre un n&mero y un paréntesis o entre dos
' 3 4 4 $ paréntesis significa !ue esos elementos se están multiplicando
$ 1 1 1' 3 4 4
+ + ÷ ÷
+ ÷ 1
/ identificas los paréntesis más al interior $
$ 4 3 $ 4 / para sumar fracciones de es igualar los denominadores amplificando
' 12 12 20 20 es
+ ÷ + + ÷ ÷
decir multiplicando numerador y denominador por el mismo n&mero
$ ( 9 / la multiplicación es conmutativa no importa el orden !ue sigas
' 12 20
$ '3' 24031$
/ simplifica siempre las1440
÷ ÷ ÷
:$ :3 :3
fracciones finales dividiendo numerador y denominador
por el mismo n&mero %asta !ue no puedas %acerlo más
31$ '3 21 (1440 2)) 9' 32
= = =
E!ERCICIO" PROP#E"TO":
1+ ( ) ( ) ( ){ }4' 3) 2 9 42 1) 1$ (− − − + − + − + − − −
2+ ( ) ( ) ( )1' : 2 4 2 $ 1− − − + + × −
+
1 1 12 3 4
2 3 4 − − − ÷ ÷ ÷
7+( )14 3: 21
$ $
− + −
%° Parte: Potencias
8na potencia equi-ale a una 5orma resumida y e ciente de escri"ir una multiplicación larga y sucesi-ade 5actores iguales entre sí# Se representa de la siguiente manera$
" " veces
N
N
A A A A A A A= × × × × ×1 7 77 2 7 7 76
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MATEMÁTICA 1° MEDIO Guíade Repaso 1º Semestre 2016
Se lee 9 ) elevado a * :. donde es la &ase y ( el e'(onente de la potencia# lgunas propiedades"ásicas que te ayudarán en el tra"ajo con potencias. son las siguientes$
n m n ma a a +× =n
n m
m
aa
a−=
( ) nn na b a b× = ×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )" " veces
n
n
a a a a a
− = − × − × − ×××1 7 7 77 2 7 7 7 76
( )" " veces
n
n
a a a a a− = − × × ××1 77 2 7 76
1a a=0 1a =
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E!ERCICIO" RE"#E$TO":
33 3
2
33 3
2
331
3
2
2 3 / primero separamos la fracción interior
4 3
2 3 / aparece una división de potencias de igual ase4 3
23 / convertimos el cuatro en una potencia de ase dos
4
23
2
× ÷×
× ÷ × ÷
×3
1 / repetimos el segundo paso ÷
( ) ( ) ( )3 3 31 12 3 * 2 3 ' 21'× × = =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 0
2
3
3 3 3 3
) 2 2 2 / todo n&mero elevado a cero vale 1
) 2 2 / +untamos las potencias de igual ase
) 2 / el primer n&mero podemos reescri irlo como una potencia
2 2 * 2 2 / nuevamente +untamos
− − − −− − −− −− − − −
( )' potencias de igual ase
2−
E!ERCICIO" PROP#E"TO":
1+
2 )9 )4 2( × ÷ ÷
2+
41 1
4 '4 2 × × × ÷
+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0
2 2 2 2 2− + − × − + − × −
7+) '4 : 4
)° Parte: Esta *stica y Pro(orcionali a
;i-imos en un mundo con demasiados !a"itantes#
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+bservando el total de cuentas registradas, ¿) qu porcentaje corresponden los - venes /entre " y &0años1#
,e un total de 9-'92-')0 cuentas registradas las cuentas correspondientes a los .óvenes grupo entre 1$
y 29 a os son $-23(-'20- ara calcular !ué porcenta+e es del total construimos la siguiente proporción
donde " " representa el porcenta+e desconocido respecto del total "100":
$-23(-'20 / lo llamamos "regla de tres"- e resuelve mediante un "producto cru#ado"
100 9-'92-')0
= x
ya !ue en una proporción se cumple !ue los productos cru#ados son iguales-
9-'92-')0 100 $-23(-'20
9-'92-')0 $23-('2-000
$23-('2-000$4 04 / es decir el grupo .óvenes corr
9-'92-')0
× = ×× =
= =
x
x
x esponde al $4 045
del total de cuentas registradas en 6%ile-
¿$uál es el promedio de edad de las personas del estudio#a emos !ue en total %ay 9-'92-')0 personas participando en el estudio-
6ada persona fue clasificada en un grupo seg&n su edad y a%ora deseamos sa er el promedio de edad del total
de personas- como no sa emos !ué edad tiene cada persona %aremos una "estimación" definiendo !ue la edadde cada integrante de cada grupo será el valor central del intervalo !ue define a ese grupo- 7 ese valor se lellama "marca de clase"- ,iremos entonces !ue la marca de clase de cada grupo será:
7dolescentes: 13 $ a os
.óvenes: 22 a os7dulto .oven: 34 $ a os7dulto 1: 44 $ a os7dulto 2: $4 $ a os8ás de '0: '0 a os / al no %a er otro valor usaremos el indicado
stimativamente entonces diremos !ue cada integrante de su grupo tiene "marca de clase respectiva" a os-7%ora el tra a+o consiste en multiplicar el total de cada grupo por su marca de clase y luego sumar cada
producto- l resultado final luego se dividirá por el total de integrantes de la investigación-
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6alculemos entonces los productos respectivos:
7dolescentes: 13 $ '12-3)0 )-2'(-130.óvenes: 22 $-23(-'20 11$-22(-'40
7dulto .oven: 34 $ 1-)24-900 '2-9$9-0$07dulto 1: 44 $ 99$-020 44-2()-3907dulto 2: $4
× =× =
× =× =
$ 4(0-''0 2$-'$0-9(08ás de '0: '0 234-)20 14-0)9-200
7%ora los sumamos:)-2'(-130 11$-22(-'40 '2-9$9-0$0 44-2()-390 2$-'$0-9(0 14-0)9-200 2(0-4(2-3)0
finalmente dividimos ese n&mero por el total de par
× =× =
+ + + + + =
ticipantes:
2(0-4(2-3)0 2( 9 a os !ue corresponde al promedio de participantes en la investigación-9-'92-')0
=
2n abuelo reparte 34"%.%%% entre sus tres nietos de 5, & y ( años de edad, proporcionalmente a susedades. ¿$uánto corresponde a cada uno#
ara resolver este pro lema de es recordar !ue una proporción es una serie de comparacionese!uivalentes entre s; es decir es la igualdad de dos o más fracciones- i decimos !ue las edadesson ) 12 y 1' a os tres cantidades proporcionales a esos n&meros siempre serán ) 12 y 1'donde puede ser cual!uier n&mero- ,iremos gracias a esto:
) 12 1' 4$0-000 / las cantidades proporcionales a+ + = x x x las edades de en sumar los
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+° Parte: ,eometr*a
En cursos anteriores !a' estudiado las guras planas# 4riángulos. cuadriláteros y circun5erencias !ansido resueltas y completadas# Ma' encontrado ángulos. medido lados y calculado áreas# continuación.te presentamos una síntesis de las principales características que de"es conocer de los triángulos. dealgunos cuadriláteros y de una circun5erencia$
6. 7riángulos8
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Recuerda que estas clasi caciones NO "ON E-C$#.ENTE" ENTRE "/ . y que por ejemplo. un triánguloequilátero es tam"i n un acutángulo. y un isósceles puede ser un triángulo rectángulo al mismo tiempo#
7eorema de 9itágoras8 en un triángulo rectángulo, la suma delcuadrado de la medida de sus catetos, es igual al cuadrado de lamedida de su hipotenusa. En la fgura8
2 2 2+ =a c bpartir de esto. aparecen los llamados 9tríos pitagóricos:. que songrupos de -alores que pueden ser los lados de un triángulorectángulo# =or ejemplo$
0i(otenusa
Cateto 1 Cateto %
? 7
? 12 110 27 26
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66. $uadriláteros8
666. $ircun:erencia8
E!ERCICIO" RE"#E$TO":
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$alcula la medida de los ángulos desconocidos8
,e emos encontrar el valor de los ángulos " " "y" y "#"-
7provec%aremos la información de los cuadros en las páginasanteriores y lo !ue ya sa es- rimero diremos !ue seg&n lafigura:
4$ 1)0 13$°+ = ° ⇔ = ° z z
7%ora iremos tras el ángulo " "- ara ello identificamos su
posición en la figura y vemos !ue está dentro de un
cuadrilátero un "trapecio recto" - =a suma de los ángulos
interiores en todo cuadrilátero siempre será 3'0> y sa iendo
!ue los ángulos en ? y 6 son rectos diremos !ue:
90 90 4$ 3'0 13$°+ °+ + ° = ° ⇔ = ° x x
a iendo el valor de " " diremos !ue su complemento será 4$>-
@inalmente el valor de "y" será:
90 4$ 1)0 4$
completando entonces dos triángulos rectángulos isósceles-
°+ °+ = ° ⇔ = ° y y
En un triángulo is sceles, la base mide % cm y los otros dos lados miden & cm cada uno.;alla la altura correspondiente al lado desigual.
rimero constru;mos el triángulo- en nuestra figura seg&n la
información dada 12 y 10- ,e emos encontrar
a%ora el valor de "%"- or la propiedades del triángulo
isósceles sa emos !ue respecto
= = =a b c
a la ase todas las l;neas
nota les son iguales- =uego la altura corresponde tam ién
a la transversal de gravedad- Aracias a eso podemos decir:
a iendo eso de la ase y aprovec%ando el
teorema de itágoras en el triángulo rectángulo
!ue aparece podemos resolver y o tener el
valor de la altura "%":
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( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
10 2 12
$ 12
12 $ 144 2$
119 10 9
+ =+ =+ =
= − = −= ⇒ =
c h a
h
h
h
h h cm
E!ERCICIO" PROP#E"TO":
1+ Encuentra la medida del ángulo N en las siguientes 5iguras$
2+ El perímetro de un patio rectangular es de ?6 metros# El anc!o es igual a los 2O? del largo#
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?+ 8na tra"ajadora -a poniendo la u-a que cosec!a en un "arril# =rimero completa 1O7 del "arril ydespu s pone 1OK más del "arril# ABu 5racción del "arril le queda para llenarlo completamenteC
6+ 8na persona quiere !acer un mosaico en su terra'a rectangular. usando "aldosas con5orma de triángulo rectángulo# /as medidas de cada "aldosa y de la terra'a semuestran en el di"ujo$
A
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16+ En un mes de 1 días.