Download - 1994 Los Problemas de Sumar y Restar
Los Problemas de sumar y restar
Serv. De Publicaciones de la Universidad de Extremadura
Cáceres. ISBN: 84-7723-183-4
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Blanco Nieto, Lorenzo J.
Calderón Trujillo, Manuel A.
LOS PROBLEMAS
DE
SUMAR Y RESTAR
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Dpto. de Didáctica de las Ciencias Exp. y de las Matemáticas
Universidad de Extremadura
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INDICE
Introducción
Capítulo I. Aspectos previos sobre los problemas de sumar y restar.
1. Las operaciones aritméticas y la resolución de problemas.
2. Realidad y lenguaje de los problemas
2.1. Los problemas en relación con la realidad
2.2. El lenguaje en la resolución de problemas
3. Metodología para la resolución de problemas
4. Clasificación de los problemas a partir de los enunciados.
Capítulo II. Problemas de Cambio
1. Análisis, estructura y tipología.
2. Relación de problemas.
Capítulo III. Problemas de Combinación
1. Análisis, estructura y tipología.
2. Relación de problemas.
Capítulo IV. Problemas de Comparación.
1. Análisis, estructura y tipología.
2. Relación de problemas.
Capítulo V. Problemas de Igualación.
1. Análisis, estructura y tipología.
2. Relación de problemas.
Capítulo VI. Problemas en dos etapas
1. Análisis de los problemas
2. Relación de problemas.
Capítulo VII. Otras consideraciones.
Bibliografía
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INTRODUCCION
A nadie se le escapa la importancia que se les da a las actividades de
sumar y restar en los primeros niveles de la enseñanza primaria. Estas
constituyen, junto con las actividades de lectura y escritura, una de las
primeras referencias de enseñanza que los padres consideramos para
evaluar el aprendizaje escolar de nuestros pequeños.
Recientemente, diversas investigaciones en Didáctica de las Matemáticas
han profundizado en las situaciones de enseñanza-aprendizaje en relación
con las operaciones y resolución de problemas de sumar y restar, dando
lugar a conclusiones interesantes que apenas son tenidas en cuenta en la
realidad escolar diaria.
Uno de los resultados más interesantes está relacionado con la
clasificación de problemas de una sola etapa, aquellos que se resuelven
con una sóla operación aritmética, frecuentemente considerada en
artículos y libros de investigación o divulgación de la Didáctica de las
Matemáticas, pero que no encuentra referente en los libros de textos,
cuadernillos de problemas, ni en la actividad docente que se desarrolla en
los centros de enseñanza primaria, al menos en la amplitud deseada.
La falta de concexión entre los resultados de la investigación educativa y
la realidad que se desarrolla en las aulas de enseñanza obligatoria ha sido
constantemente denunciada por los docentes que encuentran muchas
dificultades para desarrollar en su actividad profesional diaria las ideas y
conclusiones que surgen de las investigaciones educativas acabadas.
El trabajo que presentamos quiere establecer un puente de conexión
entre estas dos vertientes de la realidad educativa, investigación y
práctica, en relación a un aspecto muy concreto cual es los diferentes tipos
de problemas de sumar y restar. Por este motivo, y para mejor divulgación
y aprovechamiento práctico de los resultados referidos, nos ha parecido
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interesante desarrollar los aspectos teóricos en relación a la clasificación
establecida, donde se aportan diversos ejemplos y esquemas que aclaran
las definiciones y clases establecidas, junto con una relación útil y
numerosa de problemas, que pretenden servir de pauta para que los
profesores de los primeros niveles de enseñanza primaria puedan realizar
su propia propuesta de problema, a partir de cualquier situación o centro
de interés, que consideren. Estos mismos ejemplos, pueden ser utilizados,
igualmente, como una relación de problemas para proponer a los alumnos
de los niveles correspondiente.
Es nuestra intención proporcionar al lector-maestro un documento
fácilmente comprensible y manejable que le permita poder elaborar su
propio listado para su actividad diaria.
En primer lugar, hemos escogido el ejemplo de una granja y
considerando esta situación hemos establecido una relación de veinte
enunciados diferentes, uno para cada tipo, de tal manera que se pueda,
con un simple ejercicio de traducción y ante cualquier situación o centro
de interés, elaborar una propuesta similar. Estos problemas los
identificaremos como "Centro de interés: La Granja".
En el segundo caso, a partir de ejemplos de pájaros hemos elaborado
igualmente un listado de problemas donde para cada tipo hemos
propuesto diferentes enunciados de acuerdo a las referencias que
establecíamos en el análisis teórico sobre la utilización del lenguaje y la
estructura del enunciado. Estos problemas serán identificados como
"Centro de interés: Los Pájaros".
Somos conscientes de los diferentes niveles de dificultad que tienen los
100 problemas propuestos. Igualmente, como ya señalamos anteriormente,
no todos los problemas aparecen en los libros de texto o cuadernillos de
problemas que usualmente se utilizan. En parte debido a esta situación
hemos querido proporcinar un documento que permita a nuestros
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maestros elaborar una propuesta de problemas completa, que podrán
adaptar a los diferentes niveles de maduración y conocimiento de los
alumnos de primaria.
En todo caso los problemas que describimos reflejan situaciones
fácilmente conocidas por nuestros alumnos de los primeros niveles.
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CAPITULO I.
ASPECTOS GENERALES SOBRE
LOS PROBLEMAS DE SUMAR Y RESTAR:
ESTRUCTURA Y CLASIFICACION.
1. Las operaciones aritméticas y la resolución de problemas.
La enseñanza/aprendizaje de los números y de las operaciones
aritméticas básicas constituye una referencia fundamental en los primeros
niveles de escolarización obligatoria. A este respecto, señalamos que la
enseñanza de la suma y de la resta aparecen expresamente en los dos
primeros ciclos de Primaria, como contenidos específicos.
En referencia a las operaciones aritméticas, en general, se establece una
diferenciación básica entre el concepto de operación, que en caso de la
suma y de la resta aparecen en primer ciclo de primaria, y el del algoritmo
cuya referencia aparece en el primer ciclo (suma y la resta sin llevar) y
segundo ciclo (suma y resta en general).
Por otra parte, en las nuevas propuestas curriculares se ha establecido
un bloque específico sobre la resolución de problemas (bloque 5), donde se
plantea, además, que esta actividad debe ser el contexto adecuado donde
tenga lugar el aprendizaje de las matemáticas. Son ya varias las
publicaciones que nos muestran las diferentes perspectivas que pueden
establecerse sobre la resolución de problemas y de las que podemos
encontrar una referencia en Blanco (1993).
Podemos afirmar que está universalmente aceptado que la resolución de
problemas puede tener una doble relación con la enseñanza/aprendizaje
de las operaciones aritmeticas.
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a) Así, partir de situaciones problemáticas sencillas puede ayudar a los
alumnos en la compresión de los conceptos de las respectivas operaciones.
Es decir, la resolución de problemas puede y debe ser considerada como
un motor del aprendizaje de las operaciones de sumar y restar.
Así, podemos señalar que situaciones como: "Tengo tres muñecos, y mi
hermano tiene cuatro. ¿Cuántos tenemos entre los dos?", se utilizan en la
adquisición del concepto de suma como reunión, favoreciendo su
aprendizaje, al mismo tiempo que "obliga" a los niños a desarrollar
estrategias de resolución de estos "sencillos" problemas.
Situaciones como la descrita, que constituye en sí mismo un problema
de sumar, serán simultáneas al aprendizaje de los números y por lo tanto
no tienen que ser consideradas necesariamente con posterioridad al
aprendizaje de la suma.
Esta primera perspectiva nos parece interesante, no sólo porque
determinados problemas puedan ser un elemento de motor, motivación
y/o apoyo, sino porque este planteamiento puede posibilitar la
comprensión de la realidad representada facilitando, la elaboración de una
estrategia propia para su solución. La experiencia concreta ayuda a un
mayor conocimiento del medio, desarrollando la reflexión lógica y
sentando las bases en las siguientes fases del aprendizaje matemático.
b) Desde otra perspectiva, los esfuerzos irían dirigidos a la manera en
que los conocimientos de Matemáticas, en nuestro caso los conceptos de
sumar y restar, que hayan sido previamente trabajados puedan tener una
aplicación útil a través de la solución de problemas. En esta línea estarían
aquellos profesores que consideran que aunque la adquisición de
conocimiento matemático es muy importante, el principal propósito de la
enseñanza de las Matemáticas debe ser saber su utilidad, para lo que se les
dará a los estudiantes oportunidades para aplicar sus recientes
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conocimientos en la resolución de problemas tomados de la vida diaria o
de la propia ciencia. En este caso tiene pleno sentido la colocación de los
problemas en el final de los capítulos o después de la introdución de algún
concepto o algoritmo.
La referencia a la realidad o la consideración de aspectos concretos en
Matemáticas ayuda a la consolidación de conceptos y habilidades que se
hayan adquirido con anterioridad. Es decir buscar una aplicación tangible
a los conocimientos matemáticos estudiados, y situaciones que lleven a
nuestros alumnos a dar sentido y a practicar las operaciones aprendidas.
2. Realidad y lenguaje de los problemas
En las actividades matemáticas, a desarrollar en el aula, podemos
destacar dos aspectos fundamentales que constituyen el nucleo de
referencia en la resolución de problemas, sobre todo en los primeros
niveles: por una parte, la situación representada de relación con la vida
cotidiana que creemos relacionada con algún aspecto de los contenidos del
currículum y, de otra, el lenguaje, comunicación y comprensión de la
situación representada.
2.1. Los problemas en relación con la realidad
a) Las operaciones matemáticas como reflejo de la realidad
Todos los problemas traducen situaciones concretas que se dan en un
espacio y en un tiempo determinado. Esta referencia a la situación
representada en el enunciado del problema debe ser un marco necesario
para el planteamiento de los mismos a los alumnos en los primeros
niveles. En esta línea, podemos observar como un problema conteniendo
las mismas cantidades, y que sugiere el mismo algoritmo para su solución,
puede representar situaciones distintas, lo que implica que necesariamente
esos problemas deban ser considerados de diferente manera cuando se
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trabaja en clase.
Así podremos considerar estos ejemplos sencillos que se resuelven con
el mismo procedimiento algorítmico: 3 + 4 = ?.
a) "Mi hermano tiene tres caramelos, compró cuatro. ¿Cuántos tiene
ahora?".
b) "Tengo tres caramelos y mi hermano tiene cuatro. ¿Cuántos tenemos
entre los dos juntos?".
c) "Tengo tres caramelos, mi hermana tiene cuatro más que yo. ¿Cuántos
tiene mi hermana?".
Estos ejemplos muestran tres problemas que se resuelven con la misma
operación pero traducen, como puede apreciarse, situaciones distintas. Es
decir, si quisiésemos dramatizar el problema en clase para favorecer la
comprensión del mismo por parte de los alumnos, es evidente que
representaríamos "obras de teatro" diferentes para cada ejemplo. La
representación que se realice del problema, bien por el resolutor o bien
por el profesor, como forma de motivación o para facilitar el aprendizaje,
condicionará el proceso de resolución del problema.
La representación de la realidad concreta que se expresa en el problema
juega en estos enunciados un papel más importante que la consideración
de la operación que lo resuelve. Sobre todo si la comprensión del
problema por parte de los niños es uno de los primeros aspectos que
consideramos. Esta idea nos debe llevar a asumir que los problemas que se
resuelven con la misma operación, e incluso teniendo los mismos datos, no
tienen por qué ser todos iguales.
Igualmente, y como complemento al contenido de este trabajo,
invitamos al lector a consultar diferentes libros publicados que muestran
las diversas estrategias de aprendizajes que desarrollan los alumnos de los
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primeros niveles, en referencia a las actividades de sumar y restar (Puig y
Cerdán, 1988 ); (Maza, 1989); (Bermejo, 1990); (Bermejo y Rodríguez, 1991).
Estos trabajos son interesantes porque nos ayudan a comprender la
actividad de los alumnos y consecuentemente tendríamos que
considerarlos para intentar facilitar su aprendizaje.
b) Relación entre los problemas de sumar y restar
Por otra parte, tenemos que hacer referencia a la relación que se
establece entre los problemas de sumar y restar y las estrategias que se
desarrollan para su resolución. Es frecuente que un problema propuesto
para practicar la operación de restar, los niños y los adultos lo
convirtamos en un problema de sumar.
Imaginemos el siguiente problema que viven los alumnos de primaria
en demasiadas ocasiones:
"Tengo 50 pts, me compro un paquete de pipas y regalí que me ha
costado 35 pts. ¿Cuánto me quedará?".
Nuestra intención será siempre plantear este problema para resolverlo
mediante una operación de restar: 50 - 35 = 15.
Sin embargo, tanto el señor del kiosko (realidad observada por el
pequeño), como en algunas de las estrategias de resolución que los niños
desarrollan (estrategias aditivas para la resta), aparecen operaciones de
sumas sucesivas: 35 y 5 son 40, y 5 son 45 y 5 son 50. Luego sumamos y
vemos que la vuelta ha sido 15.
De igual manera podemos considerar el siguiente problema:
"Raul tiene 3 caramelos y Marta tiene 7, ¿quién tiene más?, ¿cuántos
caramelos más tiene Marta que Raúl?".
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Este es otro ejemplo de problema propuesto para resolverlo mediante
una operación de restar. Sin embargo, es frecuente ver que los niños, en
sus primeros contactos con los números, utilizan una estrategia de contar
para resolver este problema. Así, partiendo de la cantidad "tres" cuentan
hasta la cantidad "siete", en algunos casos sirviéndose de los dedos o de
otros objetos físicos, para ver cuál es la diferencia que se establece entre
ellas.
Estos ejemplos ponen de manifiesto la dificultad real de establecer
diferencias entre los problemas de sumar y restar en los primeros niveles
de enseñanza, sobre todo a la luz de los análisis de estrategias
desarrolladas por los niños en el desarrollo de su aprendizaje.
2.2. El lenguaje en la resolución de problemas
Otro aspecto importante que aparece cuando reflexionamos sobre la
influencia de los enunciados en los éxitos o fracasos de la resolución de
problemas en los niños, es el referente al lenguaje empleado en la
presentación de estas actividades. En Matemáticas, lo mismo que en
nuestra vida, debe emplearse un lenguaje claro y preciso que facilite la
comunicación entre las personas. Consecuentemente, parece obvio que la
presentación de las actividades de sumar y restar deberá hacerse con un
lenguaje adecuado a los resolutores a los que van dirigidas.
Por otra parte, es fundamental que los alumnos sepan expresar con
claridad y en términos precisos sus experiencias. La forma de transmitir
estas vivencias es mediante el lenguaje ya sea oral o escrito, literal o
gráfico. Si el niño se muestra activo, trabaja y participa en la clase el
lenguaje debe de ser el vehículo de expresión de la actividad que realiza.
En consecuencia, es importante hacer una consideración al lenguaje
utilizado en nuestros problemas, tanto en la presentación, en el desarrollo,
como en la conclusión final. Además, en cuanto que vehículo de
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comunicación también, en demásiadas ocasiones, origen de confunsión o
de dificultad.
2.2.1. Traducción del enunciado a la operación matemática.
En los primeros niveles de enseñanza el lenguaje y la estructura
linguística del problema adquiere singular importancia por cuanto en un
principio los niños de 6 o 7 años, condicionados por una enseñanza
tradicional y mecanicista, suelen hacer una traducción directa del proceso
verbal a la expresión matemática, teniendo escasamente en cuenta el
significado del problema planteado de forma oral o por escrito.
La mayor importancia dada a los procesos algorítmos sobre los
conceptuales, en la enseñanza delas matemáticas, provoca en los niños
una obsesión de búsqueda del algoritmo correspondiente al problema sin
prantearse previamente el significado del mismo. Así, las preguntas "¿es
de sumar?", "¿es de restar", que los alumnos realizan cuando se les platea
un problema que implique a estas operaciones, evidencian una
preocupación por la mecánica operativa, y una falta de comprensión del
significado de la operación matemática.
a) La traducción de la situación que representa el problema y que viene
expresada en un lenguaje concreto se produce en muchos casos de una
manera lineal. LLevando, según cada caso, a una solución correcta o
incorrecta que no nos indicará el grado de conocimiento de los problemas.
Este proceso de elección de la operación que resolverá el problema ha
sido estudiado por diversos autores, fundamentalmente para los
problemas de sumar y restar, entre los que resaltamos esta referencia:
"Algunos investigadores parecen pensar que las correspondencias entre
ambos lenguajes se establece fundamentalmente por medio de palabras
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claves. Imaginan, por tanto, un proceso de traducción secuencial en el que
el sujeto decide la operación que tiene que realizar en función del
significado que atribuye a la palabra clave con que se encuentra al recorrer
el enunciado" (Puig, 1988, p. 116).
Para aclarar el significado e importancia de la palabra clave, vamos a
considerar tres ejemplos:
. Ejemplo 1:
"Tengo 20 caramelos y me los como todos menos 8. ¿Cuántos me
quedan?".
Hemos de convenir que muchas de las personas a los que se lo
proponemos, sobre todo si le exigimos una respuesta rápida, suelen
reacionar dando como correcta la solución 12 que surge de considerar la
operación 20 - 8 = 12. Esta operación se corresponde con una traducción
lineal del enunciado y por tanto implícita en el mismo. Si tenemos en
cuenta que en el problema aparecen claramente ordenados los términos:
"20"; "menos"; "8" y "¿Cuántos quedan?", unido a una falta de atención en
el momento de dar la respuesta o a la premura en la constestación que nos
exige la persona que plantea el problema, nos puede resultar comprensible
tal reacción.
Esta situación podríamos representarla esquemáticamente de la
siguiente manera:
"Tengo 20 caramelos y me los como todos menos 8. ¿Cuántos me quedan?"
"20 caramelos" "como" "menos" "8" "¿Cuántos me quedan?"
"20" "menos" "8" "¿Cuántos?"
20 - 8 = 12
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Evidentemente, el enunciado y, sobre todo, el afán de dar una respuesta
rápidamente nos lleva a un error. La solución, que viene claramente
especificada en el problema, no es considerada en un primer momento por
muchos alumnos o adultos a los que les proponemos el problema como tal
y si como un dato a considerar en la solución del mismo.
. Ejemplo 2.
Una situación similar, y que lleva igualmente a resultados erróneos,
aparece en algunos de los problemas que proponemos en los primeros
niveles. La traducción que se realiza del enunciado sirve como vehículo de
solución del problema obviando, en muchos casos, la representación y
comprensión del mismo.
Veamos otro ejemplo:
"Miguel tenía tres caramelos, compró algunos más y ahora tiene 7,
¿cuántos compró?".
No suele ser infrecuente que algunos alumnos resuelvan este problema
con la operación de sumar: 3 + 7 = 10.
Si nos fijamos en el enunciado, y eliminamos del mismo algunas
palabras nos podríamos quedar con los términos que parecen ser más
significativos del enunciado: "tres"; "más"; "siete"; "¿cuántos compró?", que
son considerados por los alumnos palabras claves que marcan la estrategia
de solución del problema.
Estos términos, así como el orden en el que aparecen las cantidades
pueden determinar la solución errónea del alumno. Es decir, la operación
mencionada surge como consecuencia de una mala traducción del
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enunciado del problema a la operación matemática.
"Miguel tenía tres caramelos, compró algunos más y ahora tiene 7, ¿cuántos compró?"
"tenía tres caramelos" "compró" "más" "7" "¿cuántos compró?"
"tres" "más" "7" "¿cuántos compró?"
3 + 7 = 10
. Ejemplo 3.
Evidentemente, esta traducción del enunciado puede servir en algunos
casos en sentido contrario. Así, podemos proponer otro ejemplo en el que
la traducción realizada justifica que los niños puedan resolver bien el
problema aún sin haberlo comprendido, simplemente haciendo una
traducción del enunciado a laoperación que consideran más oportuna.
Así, analizamos un problema similar al anterior:
"Miguel tenía 8 caramelos, se comió algunos y ahora tiene 3. ¿Cuántos
comió?".
Los niños resolverán, con mucha frecuencia 8 - 3 = 5, aún cuando les
cueste un considerable esfuerzo explicar su estrategia de pensamiento, u
justificar así el procedimiento seguido.
Pero esta resolución obedecerá, en algunos casos, a la comprensión del
problema y en otros a una traducción literal del mismo. Ya que la
estructura de esta actividad pudiera reducirse de forma semejante al
ejemplo anterior, pero en este caso hacia la resolución correcta del
problema:
"Miguel tenía 8 caramelos, comió algunos y ahora tiene 3. ¿Cuántos comió?"
"Tenía 8"; "Comió algunos"; "3"; "¿Cuántos?"
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"8"; "Comió"; "3"; "¿Cuántos?"
"8"; "3" "¿Cuántos?"
Teniendo en cuenta que la palabra comió se asocia a la operación de
restar, así como el orden en el que aparecen las cantidades, podemos
comprender que el alumno escoja la operación correcta para resolver
fácilmente el problema.
b) En este proceso de traducción que hemos definido parece importante
considerar, además de las palabras claves, el orden en que se presentan las
proposiciones que nos indican las cantidades. Así podremos plantear un
mismo problema a partir de dos enunciados diferentes:
"Tengo 67 pesetas, me gasto 33, ¿cuántas me quedan?".
"Me he gastado 33 pesetas de las 67 que tenía, ¿cuántas me quedan? ".
En el primer caso los números 67 y 33 aparacen en el orden en el que se
dispondrán para la operación de restar que resuelve el problema, lo que
facilita la traducción del mismo a la operación aritmética correspondiente,
mientras que en el segundo es necesario invertir el orden de las cantidades
para adecuar los números a la colocación que el algoritmo de la resta nos
señala.
2.2.2. Comprensión del lenguaje.
El planteamiento de problemas numéricos en el primer y segundo Ciclo
de Primaria presenta algunas dificultades adicionales derivadas de la
etapa de desarrollo en la que se encuentran los niños que pertenencen a
esta etapa. No obstante y por ser básico para la comprensión de la
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clasificación aportada, señalaremos algunos aspectos que consideramos
importantes además de los ya expuestos anteriormente.
La precisión en el lenguaje utilizado por el maestro bien oral o bien
escrito, dependiendo del nivel de lectura del alumno, debe ser tenida en
cuenta como un aspecto importante. El uso de términos desconocidos por
los estudiantes condiciona negativamente la resolución de los problemas.
La expresión "qué más da peras que manzanas si lo que importa son los
números" implica necesariamente una etapa de abstracción en el proceso
de maduración que no se le suponen a los alumnos de estos Ciclos que
están trabajando los problemas de sumar y restar.
Una mala comprensión de este lenguaje, y por consiguiente, una mala
representación de la realidad reflejada en el enunciado, puede ser origen
de inversión u olvido de ciertos elementos del problema, o de la confusión
entre datos e incógnitas, como en los ejemplos expuestos en el apartado
2.2.1.a).
La comprensión del problema implica una representación de la realidad
que viene referida en términos de espacio y del tiempo en el que el hecho
planteado tiene lugar. En este sentido, advertimos de la importancia que
tienen los tiempos de los verbos o los adverbios empleados en los
enunciados de los problemas. Podemos indicar, por ejemplo, la dificultad
que supone el uso del condicional en los enunciados de los problemas, en
los primeros niveles, aún cuando su utilización implicaría una capacidad
deductiva que los alumnos, por su edad, no tienen. Igualmente, la
utilización incorrecta de los tiempos de los verbos o el abuso de los
adverbios en los enunciados supone una dificultad añadida.
Algunos problemas vienen enunciados, específicamente, en relación a
unasecuencia temporal que permite el cambio de alguna cantidad. Esto
hace que tengamos que considerar lacapacidad temporal de los alumnos y
la estructura del problema en relación al pasado, presente y futuro, que
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vienen expresados claramente en los tiemposde los verbos que aparecen
en la presentación
Así nos imaginamos una situación en la que un niño se come cuatro
caramelos de los 10 que tenía. Para enunciar un problema que represente
esta situación podemos considerar el paso del pasado al presente:
"Jaime tenía 10 caramelos se ha comido cuatro. ¿Cuántos tiene ahora?".
O bien podemos considerar el paso del presente al futuro, quedando el
problem enunciado de la siguiente manera:
"Jaime tiene 10 caramelos, y se come cuatro. ¿Cuántos le quedarán?".
El lenguaje nos permite que un mismo problemas podamos enunciarlo
de diferentes maneras según los términos implicados en el mismo. Así,
podemos apreciar diferentes estructuras en el enunciado para una misma
situación problemática:
"Tenía siete caramelos, me comí cuatro, ¿cuántos me quedan?".
"Tenía siete caramelos, ¿cuántos me quedan si me he comido cuatro?".
"Si tengo siete caramelos y me como cuatro, ¿cuántos me quedan?".
"Si me como cuatro caramelos de los siete que tenía, ¿cuántos tendré?".
"Me como cuatro caramelos, tenía siete, ¿cuántos tendré?".
"Cuántos caramelos me quedarán, si de siete que tenía me como cuatro?".
"Me como cuatro caramelos, ¿cuántos caramelos me quedarán de los siete que tenía?".
Podríamos seguir dándole vuelta a la estructura del enunciado y
observar que aún siendo la misma situación el modo de expresión
condiciona su comprensión, facilitando o dificultado la estrategia de
resolución del problema a los alumnos.
3. Metodología para la resolución de problemas.
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Vamos a intentar establecer algunas breves pautas metodológicas que
deben ser consideradas para la resolución de problemas aritméticos,
teniendo en cuenta la etapa de maduración donde se encuentran los
alumnos de los primeros niveles, y algunas aportaciones que como la de
Mialaret (1986) resultan importantes para comprender el proceso de
enseñanza/aprendizaje de las Matemáticas para los niveles considerados.
Tres objetivos podíamos considerar para la enseñanza de las
Matemáticas en relación con el estudio de los problemas aritméticos:
suministrar al alumno una herramienta intelectual, desarrollar su
formación y ayudarle en la comprensión y resolución de ciertos problemas
cotidianos. La formación matemática "acostumbra a los alumnos a
sobrepasar la realidad concreta para traducirla a una nueva lengua
depurada, más abstracta, pero que hace aparecer las semejanzas entre
situaciones aparentemente muy alejadas unas de otras" (Mialaret, 1986, P.
13).
En consonancia con los objetivos anteriores, no se trata sólo de adquirir
hábitos de razonamiento correcto (lo cual ya es importante), sino de
habituar a los alumnos a tomar conciencia de los propios pasos de su
pensamiento, comprender en toda su amplitud el proceso de resolución
de las situaciones planteadas. Aceptando que todas estas reglas y procesos
que señala no son innatos, se exigirá por lo tanto un cierto aprendizaje a
fin de conseguir aquellos propósitos que nos marcamos.
Esta forma de concebir el aprendizaje de las Matemáticas requiere de un
lenguaje que le dé precisión, y sobriedad, entendiendo, además, que la
forma de expresión de un razonamiento es parte esencial del mismo.
Las relaciones del niño con su medio, son importantes, teniendo en
cuenta su propia experiencia para ir a una matematización progresiva de
la realidad vivida. En este caso "el niño no inventa el edificio matemático,
pero lo descubre progresivamente gracias a la ayuda del maestro, y las
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diferentes partes elaboradas se estructuran, se reestructuran, en función
de los conocimientos ya adquiridos" (Mialaret, 1986, p. 20).
Dado que los procesos de abstracción, formalización y axiomatización
no son adecuados en los primeros niveles, se debe optar por un método
intuitivo, e inductivo y que lleve a una matematización progresiva, que
haga que el alumno utilice constantemente sus conocimientos. Haciendo
que este tome conciencia del punto de partida y de llegada y del camino
recorrido, integrándolo todo como un proceso único. El problema
pedagógico consiste en establecer una conexión entre una actividad
determinada real o imaginada, y su traducción a un cierto lenguaje que
utiliza sus propios símbolos. Para que esta conexión tenga lugar podemos
diferenciar diversas etapas por las que el niño debe pasar para asegurar
una construcción sólida del conocimiento Matemático.
Así, recogiendo las aportaciones de la psicopedagogía consideramos que
la acción concreta debe preceder al concepto. Para que el niño pueda
representar las acciones que se indican en un determinado problema, es
conveniente que haya experimentado u observado la misma acción u otra
similar. En una primera parte del proceso de resolución la dramatización
de la situación representada en el problema será siempre una ayuda útil y
conveniente para su comprensión.
Es idea de partir de lo concreto parece establecerse, asi mismo, desde
posiciones pedagógicas y de motivación. Como dice Puig Adam: "El
interés del niño por el conocimiento está en razón directa de la parte
activa que toma el mismo en su adquisición. No se puede concebir acción
sin pensamiento ni éste sin acción que lo haya provocado".
El lenguaje es un aspecto de suma importancia en la resolución de
problemas. La acción, en sí misma, no es suficiente, y el lenguaje debe
acompañarla formando un todo que asegure: la acción concreta, la
expresión de esta acción concreta en un lenguaje que puede empezar a ser
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llamado lenguaje matemático y la adquisición de un lenguaje propio de la
matemática. Acción y lenguaje se apoyan mutuamente ya que por una
parte cada expresión toma sentido porque se asocia a una acción real, y
por otra diferentes acciones pueden agruparse puesto que se relatan de
una misma forma. Las situaciones quedan agrupadas en series análogas
captando lo que tienen en común e ayudando a interiorizar su significado.
Cuando expresamos oralmente una acción realizada, el esfuerzo de
síntesis necesario para que nuestros interlocutores nos comprendan sirve
para organizar nuestros esquemas mentales, ayudándonos a interiorizar
diferentes conceptos y procesos que subyacen en la actividad realizada.
De forma semejantes, los niños cuando nos cuentan sus pensamientos y
nos justifican su manera de resolver los problemas, empiezan a
interiorizar los conceptos y procesos implicados en la actividad
matemática realizada, y a relacionar aquellas actividades que presentan
estructuras semejantes.
Siguiendo este proceso de abstracción progresiva, será que el alumno
sea capaz de traducir las situaciones vividas a un lenguaje distinto del
oral, como puede ser un lenguaje gráfico. En este mismo lenguaje se puede
esquematizar las semejanzas que se hayan podido establecer en distintas
situaciones. Caminando a través de esta esquematización desde lo
concreto a la traducción del grafismo, y de este a la situación concreta, en
un ir y venir importante para la educación matemática, asegurando los
distintos planos que se establecen entre la realidad y el pensamiento, entre
la enseñanza formal y los hechos concretos.
Se requiere, además, un paso que fuerce la consolidación de las
situaciones precedentes para completar su traducción a un lenguaje
matemático, teniendo presente que el niño no plantea una operación o un
concepto más que en la medida en que comprende lo que él expresa o lo
que traduce.
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A partir de aquí vendrán las consideraciones sobre la aplicabilidad de
los conceptos a situaciones que puedan plantearse y ante problemas
nuevos. Se considera que "la evolución del pensamiento matemático del
alumno comienza por un estadio concreto que después atraviesa un
estadio formal para llegar a la capacidad de resolver nuevos problemas
concretos más difíciles" (Mialaret, 1986, p. 166)
Sin querer aportar un modelo acabado, si indicamos un esquema que
considera diferentes pasos que deben tenerse en cuenta en cualquier
trabajo de introducción de conceptos matemáticos.
MODELOS
* REALES
* SIMULADOS
TRADUCCION
* ORAL
* GRAFICA
CONCEPTOS
MATEMATICOSTRADUCCION
SIMBOLICA
Aplicaciones
actividad
manipulativa
Estudio
Formalización
4. Clasificación de los problemas a partir de los enunciados.
Para esta clasificación vamos a considerar los trabajos realizados por J.I.
Heller y J.G. Greno (1978); T.P. Carpenter y J.M. Moser (1983) y E. De
Corte y L. Verschaffel (1985), Puig (1988), Blanco (1989), etc. en el que
plantean cuatro tipos de problemas según la realidad concreta
representada: Problemas de Cambio, de Combinación, de Comparación y
de Igualación.
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CAMBIO COMBINACION
COMPARACION IGUALACION
Un suceso cambia el
valor de una cantidad
Situación estática donde
dos cantidades son consi-
deradas separadamente
o en combinación
Situaciones que implican
un equil ibrio de cantidades
con simultaneidad de cam-
bio y comparación
Situaciones en la que dos
cantidades son comparadas
para establecer diferenci as
entre ellas
En la clasificación establecida se considera la realidad representada en
cada caso, que vienen expresada en un lenguaje preciso y una estructura
determinada del problema, y al mismo tiempo consideraremos todas las
posibles relaciones que puedan establecerse entre las cantidades y el
origen de cada una de ellas.
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CAPITULO II
LOS PROBLEMAS DE CAMBIO
1. Análisis, estructura y tipología.
Los problemas de Cambio son aquellos en los que un suceso cambia el
valor de una cantidad. Veamos el siguiente ejemplo:
"Miguel tenía siete caramelos, se comió tres, ¿Cuántos le quedan?".
Si analizamos el enunciado presentado podemos considerar una
cantidad inicial que viene determinada por los caramelos que tenía
Miguel. Hay una segunda proposición que expresa una acción realizada
por el protagonista del problema, y que modifica la cantidad inicial. En
este caso, al comerse tres caramelos, la cantidad de partida se ve
disminuida como consecuencia del hecho mencionado. La pregunta del
problema se refiere a la cantidad final resultante.
En estos problemas podemos considerar tres estados que dan la
estructura al problema que viene representados en el siguiente esquema.
SITUACION
DE
PARTIDA
SITUACION
FINAL
A B C
HECHO QUE
ORIGINA
EL CAMBIO
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En el ejemplo propuesto, la secuencia de las proposiciones
correspondientes a cada estado pueden estar en un orden temporal
adecuado, como en el ejemplo anterior, Es decir, A -- B -- C.
Situación inicial Situación intermedia Situación final
Miguel tenía siete caramelos se comió tres caramelos ¿Cuántos le quedan?
Como ya hemos comentado el lenguaje nos permite establecer otro
orden diferente que daría lugar a una nueva estructuración del enunciado
del problema anterior.
Así, podríamos haberlo planteado de la siguiente manera: "Miguel se
comió tres caramelos de los siete que tenía, ¿cuántos le quedan?", donde el
orden de las proposiciones sería B -- A -- C. En este caso la estructura
presentada en el problema no es isomorfa a la secuenciación temporal que
resultaría de la dramatización real, lo que generaría dificultad para la
comprensión del problema.
Problemas de cambio-unión y cambio-separación
Los problemas de este grupo podemos diferenciarlos en dos apartados:
Problemas de cambio-unión y problemas de cambio-separación.
Los problemas de Cambio-unión son aquellos en los que la acción
realizada, y que viene representada en la situación intermedia, origina un
incremento de la cantidad. Así, en los dos ejemplos siguientes vemos que
la cantidad original aumenta, bien por la acción de colocar nuevos libros o
bien por el hecho de plantar nuevos árboles:
"En una estantería hay 12 libros, si ponemos 8 libros más, ¿cúantos libros
habrá en total?".
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"En un parque había 38 árboles, si ahora hay 58 ¿cuántos se han
plantado?".
En ambos problemas la cantidad inicial (12 libros y 38 arboles,
respectivamente) se ha visto incrementada. En el primer ejemplo, el
aumento es de ocho libros, y en el segundo sabemos que lo hace hasta 58,
aunque desconozcamos qué cantidad le hemos sumado.
Que la cantidad inicial aumente no significa que, necesariamente, el
problema se resuelva mediante la operación suma. Así, si nos fijamos en
los dos ejemplos propuestos el primero se correspondería con un
problema de sumar, mientras que el segundo sería un problema de restar.
En los problemas de cambio-separación, la cantidad inicial se ve
disminuida debido a la acción realizada. Así podemos considerar los
siguientes dos ejemplos:
"En una bandeja había 26 pasteles y se comieron l4. ¿Cuántos pasteles
quedaron?."
"De un aparcamiento han salido 30 coches y sólo quedan 20.¿ Cúantos
coches había?."
En el primer ejemplo observamos que quedan 14 pasteles menos.
Mientras que en el segundo, sin saber cuántos coches había al principio, si
sabemos que quedan menos coches en el aparcamiento. De forma
semejante al caso anterior, tenemos que señalar que los problemas de
cambio-separación no significan que sean problemas de restar. Así, en los
dos ejemplos señalados, aparece un problema de restar y otro de sumar.
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Seis tipos de problemas de cambio
Recordando los tres estados del esquema anterior (inicial, intermedio y
final) podemos plantear diferentes situaciones según el estado en el que
situemos las cantidades conocida y la cantida desconocida. Así, en
referencia a la situación que nos pueda representar el funcionamiento de
un aparcamiento, podemos desconocer la cantidad de coches que había al
principio, la cantidad de coches que hayan entrado o salido, o la cantidad
de coches que quedaran al final.
Por otra parte, considerando dos tipos de problemas de cambio en la
primera clasificación (cambio-unión y cambio-separación), y tres estados
para plantear la incógnita (situación inicial, intermedia o final), podremos
imaginar seis enunciados distintos para este grupo de problemas.
Situación inicial Situación Intermedia Situación final
Tipo 1 conocida Conocida Desconocida Cambio-Unión
Tipo 2 conocida Conocida Desconocida Cambio-Separación
Tipo 3 Conocida Desconocida Conocida Cambio-Unión
Tipo 4 Conocida Desconocida Conocida Cambio-Separación
Tipo 5 Desconocida Conocida Conocida Cambio-Unión
Tipo 6 Desconocida Conocida Conocida Cambio-Separación
a) En un primer caso, partimos de situar la incógnita en el estado final,
planteando dos tipos de problemas: problemas de cambio-unión (Tipo1) y
problemas de cambio-separación (Tipo 2).
Así consideraremos estos dos ejemplos:
Tipo 1. "Concha tenía tres cromos, encontró cuatro más, ¿cuántos tiene
ahora?".
Tipo 2. "Manolo tenía siete bolis, perdió tres jugando, ¿cuántos tiene
ahora?".
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Es estos problemas podemos observar claramente los tres estados
señalados anteriormente, con el planteamiento de la incógnita en el estado
final. En el primer caso la cantidad inicial se verá incrementada, mientras
que en el segundo se verá disminuida como consecuencia de la acción
realizada.
Estado A Estado B Estado C
Tipo 1 Tenía 3 Encontró 4 ? Cambio-Unión
Tipo 2 Tenía 7 Perdió 3 ? Cambio-separación
La estructura semántica de estos problemas posibilita una traducción
literal sencilla de los enunciados a la operación matemática
correspondiente. Esta estructura nos lleva a pensar que algunos niños aún
cuando no han entendido el problema puedan resolverlo con facilidad.
"Mi hermano tenía tres cromos, se encontró cuatro más, ¿cuántos tiene ahora?"
"tenía tres, "encontró cuatro más" "¿cuántos tiene ahora?"
"3" "encontró" "4" "más" "¿cuántos?"
3 + 4 = ?
"Mi hermano tenía siete bolis, perdió tres jugando, ¿cuántos tiene ahora?"
"tenía 7" "perdió" "3" "¿cuántos tiene ahora?"
"7" "perdió" "3" "¿cuántos?"
7 - 3 = ?
Tras analizar diversos libros de textos de los utilizados en Ciclo Inicial
hemos observado que son estos tipos los que aparecen abundantemente,
más el segundo que el primero.
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b) En un segundo caso podemos plantear la incógnita en el estado
intermedio, es decir, en el momento en el que se tiene lugar el cambio de
la cantidad original. Si incrementamos la cantidad obtenemos un
problema de cambio-unión (Tipo 3), y si la disminuimos tendríamos un
problema de cambio-separación (Tipo 4).
Nuevamente ponemos dos ejemplos:
Tipo 3. "Daniel tenía tres lápices, encontró algunos más y ahora tiene
siete. ¿Cuántos encontró?"
Tipo 4. "Raúl tenía siete lapices, perdió algunos y ahora tiene tres.
¿Cuántos perdió?"
Estos dos enunciados podríamos esquematizarlos de la siguiente
manera:
Estado A Estado B Estado C
Tipo 3 Tenía 3 Encontró ? Tiene 7 Cambio-Unión
Tipo 4 Tenía 7 Perdió ? Tiene 3 Cambio-separación
En estos ejemplos para poder hacerse una representación del problema
y encontrar la incógnita el alumnos tendrá que invertir el orden de la
secuenciación temporal de las proposiciones que aparecen en el
enunciado, lo que genera, en algunos casos, una dificultad para la
resolución.
Si hacemos referencia a la traducción literal del problema a una
operación aritmética nos encontramos con que esta es diferente en los dos
casos. En el problema considerado del tipo tres, esta traducción lleva a los
alumnos a resolver erróneamente el problema, mientras que en el
considerado de tipo 4 les lleva a una operación correcta, lo que quiere
decir que en algún caso los alumnos indicarán la operación adecuada sin
que esto quiera decir que han comprendido la situación representada.
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En el problema de tipo 4 se puede hacer una traducción lineal:
"tenía siete lapices, perdió algunos y ahora tiene tres. ¿Cuántos perdió?"
"tenía 7"; "perdió algunos"; "tiene 3"; "¿Cuántos perdió?"
"7"; "perdió"; "3"; "¿Cuántos?"
7 - 3 = ?
Esta circunstancia se considera importante para justificar que en las
encuestas que hemos realizado los alumnos de primero de EGB resuelvan
en mayor porcentaje el problema de tipo cuatro que el de tipo tres, del que
vemos a continuación que su traducción literal llevaría a un error.
El problema número tres tiene una situación de riesgo porque la palabra
clave "encontró" se suele asociar con la operación sumar por lo que no es
raro encontrarse con soluciones del tipo 3 + 7 =10.
Esta situación viene aumentada por la asociación de ideas del
significado del verbo "encontró" también con la operación de sumar, al
implicar un aumento de la cantidad.
" tenía tres lápices, encontró algunos más y ahora tiene siete. ¿Cuántos encontró?"
"tenía 3"; "encontró algunos más"; "tiene 7"; "¿Cuántos encontró?"
"3"; "encontró ... más"; "7"; "¿Cuántos?"
"3"; "más"; "7"; "¿Cuántos?"
3 + 7 = ?
En los libros de texto no suelen proponerse problemas de estos dos
tipos, pudiendo señalar que en los textos que hemos analizado y que son
usuales en los Colegios, nos hemos encontrado con muy pocos de ellos.
Sin embargo, para estos problemas podemos y debemos encontrar
enunciados más sencillos que nos permitan trabajar estas situaciones.
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Así, los enunciados anteriores podríamos transformarlos en:
Tipo 3. "Daniel tiene siete lápices y tenía tres, ¿cuantos encontró?"
Tipo 4 "Raúl tenía siete lapices, y ahora tiene tres, ¿cuántos perdió?"
c) Vamos a referirnos ahora a los dos últimos tipos de problemas de
cambio. Aquellos en los que la incógnita se plantea en el estado de partida,
es decir, cuando desconocemos la cantidad original. Nuevamente
distinguiremos entre los problemas de cambio-unión (Tipo 5) y los de
cambio-separación (Tipo 6).
Veamos estos dos ejemplos:
T.5 "Marta tenía algunos lápices. Encontró cinco y ahora tiene ocho.
¿Cuántas tenía al comienzo?".
T.6 "Javi tenía algunos lápices. Perdió cinco y ahora tiene tres. ¿Cuántas
tenía al principio?.
El esquema para cada uno de ellos sería:
Estado A Estado B Estado C
Tipo 5 Tenía ? Encontró 5 Ahora 8 Cambio-unión
Tipo 6 Tenía ? Perdió 5 Ahora 3 Cambio-Separación
La situación representada en este tipo de problemas presenta
dificultades por cuanto se parte de una situación desconocida (la incógnita
aparece en el estado inicial) lo que ya supone un cierto grado de
abstracción. Esto implica que la secuencia temporal que se refleja en la
estructura del problema no sea una secuencia encadenada según se
suceden las situaciones reflejadas en el mismo, como sucede en los
problemas del tipo uno y dos.
Por otra parte, vemos que en estos casos los problemas de cambio-unión
(Tipo 5) que suponen un incremento de la cantidad se resuelven con una
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resta, mientras que los problemas de cambio-separación que suponen una
disminución de la cantidad se resuelven con una suma. Esta situación
supone una nueva dificultad por cuanto las palabras claves del problema
parecen indicar la operación contraria a la que se necesita. Así, "encontró"
en el primer problema sugiere una suma, mientras que "perdió" en el
segundo indicaría una resta. La traducción literal del problema a la
operación correspondiente es, por tanto y en este caso, engañosa.
Por todo ello, somos consciente de las dificultades que estos problemas
plantean, pero que no impiden que se dejen de plantearse en el primer
ciclo de primaria, puesto que con una correcta representación de los
mismo, siguiendo los pasos indicados en el primer capítulo y teniendo
encuenta las estrategias de aprendizaje, estos puedan llegar a su
realización.
Nuevamente, la estructura semántica que utilizamos en el problema
ayudará en la comprensión y resolución de los problemas. Así podríamos
buscar estructuras más sencillas para los dos problemas anteriores:
Tipo 5. Marta encontró cinco lápices y ahora ya tiene ocho. ¿Cuántos
tenía al principio?.
Tipo 6. Javi perdió cinco lápices y sólo le quedan tres, ¿cuántos tenía?.
Comentario final.
Con cada uno de estos seis tipos podemos introducir situaciones, que si
bien son similares en el aspecto operativo, no lo son por la acción
desarrollada. Sin embargo destacamos que los problemas tipos 1, 2 y 4 son
los más usuales entre los que se proponen a los niños en las escuelas si
tomamos como referencia los libros de texto. La mayor dificultad que
encierran los otros tipos de problemas no debe ser obstáculo para
plantearlos a estas edades, ya que los niños en situaciones de enseñanza
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adecuadas pueden encontrar estrategias de aprendizaje para
comprenderlos y resolverlos, y en cualquier caso el hecho de que
encuentren dificultades no debe ser obstáculo para que lo intenten, y
proporcionarles así experiencias necesarias en la resolución de problemas.
Sin entrar en señalar el orden de dificultad de los problemas, volvemos
a indicar la mayor facilidad de resolución en aquellos en los que se
puedan establecer fácilmente una traducción lineal a una expresión
matemática, condicionada por la aparición de palabras claves o del orden
natural de las proposiciones y datos numéricos implicados como
consecuencia de su estructura semántica.
Queremos insistir, también, en la necesidad de combinar, en los
planteamientos de estos problemas, la terminología encontró-perdió,
recibió-dió, compró-vendió, etc. con los problemas de cambio-unión y
cambio-separación, y con los problemas de problemas de sumar o de
restar, en la idea de no identificar ninguna expresión linguística a ninguna
operación concreta matemática. El análisis de las palabras claves del
problema debe ser rigoroso para deshacer asociaciones de ideas que
pueden resultar engañosas en algunos casos.
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2. Relación de problemas.
Proponemos seis ejemplos de problemas de cambio, a partir de una
misma situación. Centro de interés: La Granja.
Tipo 1. Un granjero tenía 4 vacas, compró 2 más. ¿Cúantas vacas tiene
ahora en su granja?.
Tipo 2. Un granjero tenía 7 cerdos, vendió 3 . ¿Cúantos le quedan?.
Tipo 3. En una granja había 5 ovejas, nacieron algunas y ahora hay 8.
¿Cúantas ovejas han nacido?
Tipo 4. En una granja había 8 ovejas, se perdieron algunas y ahora sólo
quedan 5 . ¿Cúantas ovejas se perdieron?
Tipo 5. Un pastor tenía varias ovejas en su redil, le nacen 5 ovejas y
ahora tiene 9. ¿Cúantas ovejas tenía al comienzo?
Tipo 6. A una granjera camino de su casa se le rompieron 4 huevos y
desilusionada contó que sólo le quedaban 3. ¿Cúantos huevos tenía en la
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Situación "Centro de interés: Los Pájaros"
Tipo 1. Problemas de cambio-unión.
a) En una jaula tengo 5 periquitos, me regalan 2. ¿Cúantos tendré?
b) En una jaula tengo 5 periquitos y entro 2 más. ¿Cúantos pájaros
habrá?
c) Me regalan 7 canarios, si tenía 8 en la jaula. ¿Cúantos canarios tengo
ahora?
d) Compro 5 tórtolas, y tenía 4. ¿Cúantas tengo ahora?
Tipo 2. Problemas de cambio separación.
a) En una pajarera había 12 canarios, se han escapado 8. ¿Cúantos
canarios quedan?
b) Se han escapado 8 canarios de una pajarera donde había 12. ¿Cúantos
hay ahora?
c) Se han escapado 3 periquitos de los 8 que tenía en la pajarera.
¿Cúantos me quedan ahora?
d) Vendo 8 canarios, si tenía 12. ¿Cúantos me quedarán?
Tipo 3. Problemas de cambio-unión.
a) En una pajarera había 15 perdices, compraron algunas más y ahora
hay 25 perdices. ¿Cúantas compraron?
b) Pablo tenía 7 canarios y ahora tiene 12. ¿Cúantos canarios ha
comprado?
c) Agustín tenía 18 palomas y compró algunas más. Si ahora tiene 20
¿Cúantas compró?
d) Alberto tiene 25 tórtolas, si tenía 10. ¿Cúantas le han nacido?
Tipo 4. Problemas de cambio separación.
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a) En una pajarera había 25 perdices, volaron algunas y ahora sólo
quedan 10. ¿Cúantas perdices volaron?
b) Tenía 25 perdices y ahora sólo 10. ¿Cúantas perdices han volado?
c) Agustín tenía 18 palomas,vendió algunas y ahora tiene 15. ¿Cúantas
vendió?
d) Alberto tiene 25 tórtolas,si tenía 35. ¿Cúantas ha regalado?
Tipo 5. Problemas de cambio-unión.
a) En una pajarera había varios canarios. En primavera nacen 20 y ahora
tenemos 35. ¿Cúantos canarios había al comienzo?
b) Pedro tenía varios canarios en su jaula. Alberto le regala 4 y ahora
cuenta 19. ¿Cúantos canarios tenía al principio?
c) Alberto me regala 3 canarios y al finalizar el recuento tengo 9 .
¿Cúantos canarios tenía antes del regalo de Alberto?
d) Api tiene 9 periquitos después de que Concha le regalara 3. ¿Cúantos
tenía al principio?
Tipo 6. Problemas de cambio separación.
a) Alberto tenía algunos canarios, le regaló 5 a su hermana Lourdes y
ahora sólo le quedan 3. ¿Cúantos canarios tenía al principio Alberto?
b) Después de vender 3 jilgueros en la pajarería sólo le quedan 4.
¿Cuántos jilgueros había al princípio?
c) Me quedan 4 jilgueros después de regalar 3 . ¿Cúantos tenía antes del
regalo?
d) Me quedan 4 jilgueros. ¿Cúantos tenía si he regalado 3 a Elena?
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CAPITULO III
PROBLEMAS DE COMBINACION
1. Análisis, estructura y tipología.
Los problemas de Combinación representan una situación estática
donde dos cantidades son consideradas separadamente o en combinación.
Consideramos la siguiente situación:
"Miguel Angel tiene cinco globos y Maribel tiene tres, Cuántos tienen
entre los dos juntos?".
En el ejemplo planteado, el número de globos que tienen cada uno de
los niños permanece inalterable, y son, inicialmente, consideradas por
separado para cada uno de ellos. El problema nos pregunta sobre la
cantidad que resultaría en el supuesto de que juntásemos ambos conjuntos
de globos.
Se refieren, estos problemas, a la relación que existe entre un conjunto y
una partición del mismo en dos subconjuntos. Esta relación se puede
establecer desde dos situaciones diferenciadas. Podemos partir de conocer
el cardinal de cada uno de los dos subconjuntos y querer calcular el
cardinal del conjunto unión (como en el caso del ejemplo anterior), o
conocer el cardinal de un subconjunto y el del conjunto unión y
desconocer el cardinal del otro subconjunto.
Es decir, en estos problemas podemos plantear dos situaciones distintas
según queramos conocer la cantidad total, conociendo las dos cantidades
originales, lo que representaría una situación de suma frecuentemente
planteada a nuestros alumnos, a partir de la idea de reunión.
O bien, podemos desear conocer algunas de las cantidades originales
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conociendo el resultado final, lo que plantea una situación de resta no tan
frecuente como la anterior, en los textos escolares. En ambos casos se
describe una relación entre conjuntos que responde al esquema parte-
parte-todo, que podemos apreciar en la figura siguiente. La pregunta
puede referirse al todo o a algunas de las partes, dando los dos posibles
tipos de problema.
3 4?
? 7
3
En ambos casos es una situación estática que vienen representada en la
figura siguiente, y cuyos ejemplos serían:
Tipo 7 "Beatriz tiene tres fichas y Miguel tiene cuatro. ¿Cuántas tienen
entre los dos juntos?".
Tipo 8 "Entre María y Javi tienen siete fichas. Tres son de María.
¿Cuántas son de Javi?".
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2. Relación de problemas
Centro de interés: Una granja.
Tipo 7. En una cerca hay 15 caballos y en la otra cerca 12 mulas.
¿Cúantos animales hay entre las dos cercas?
Tipo 8. En una cerca hay 15 caballos, 7 caballos son negros y los demás
son blancos. ¿Cúantos caballos blancos hay?
AAqquuii uunnoo ddee llooss ddiibbuujjooss ddee zzaaccaarrííaass
oo uunnaa aaccttiivviiddaadd ddee rreessoolluucciióónn ddee pprroobblleemmaass
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"Centro de interés: Los Pájaros".
Tipo 7. La suma como reunión. Conocer el todo.
a) Elena tiene 8 tórtolas y Lourdes 4. ¿Cuántas tienen entre las dos?
b) Si Arturo me vendió 8 tórtolas y 6 palomas. ¿Cuántos pájaros me
vendió?
c) ¿Cúantos pájaros tengo en la jaula si hay 5 periquitos y 6 canarios?
d) Quiero saber los canarios que tengo en la jaula si mi tía me regaló 5 y
mi abuela 9.
Tipo 8. Conocer algunas de las partes.
a) Elena y Lourdes tienen 12 tórtolas. Si Elena tiene 8. ¿Cuántas tiene
Lourdes?
b) Si Elena tiene 8 tórtolas y entre Lourdes y Elena suman 12. ¿Cuántas
tiene Lourdes?
c) Mirian tiene 5 periquitos. ¿Cúantos periquitos tiene Valle si entre los
dos tienen 12?.
d) De los 18 pájaros de una jaula 8 son loros y el resto canarios. ¿Cúantos
son canarios?
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CAPITULO IV
PROBLEMAS DE COMPARACION
1. Análisis, estructura y tipología.
Los problemas de comparación presentan situaciones en las que dos
cantidades son comparadas para establecer las diferencias cuantitativas
entre ellas. Ejemplos de problemas de comparación serían:
"Rodrigo tiene 3 caramelos y Valle tiene 7 ¿Cuántos caramelos tiene
Valle más que Rodrigo?",
"Jaime tiene 17 caramelos, y Juanjo tiene 14 más que Jaime, ¿cuántos
caramelos tiene Juanjo?."
"Los problemas de este tipo comparten con los de combinación su
carácter estático, pero mientras que en los de combinar la relación se
establece entre conjuntos, en estos se establece entre cantidades, de
manera que lo que en aquellos eran relaciones de inclusión entre
conjuntos, pasan a ser aquí relaciones de comparación entre cantidades"
(Puig, 1988, p. 103).
La comparación que se establece entre las cantidades no es sólo para
saber cuál es mayor o menor, sino, fundamentalmente para determinar la
diferencia que aparece entre ellas. Las dificultades que presentan estos
problemas a los alumnos que están empezando a comprender la operación
suma, nos indica que la representación, tanto vivenciada, realmente o con
material concreto o símbolico, así como la representación gráfica, son
etapas importantes como pasos previos para la interiorización de la
operación matemática.
En las situaciones de comparación tenemos que considerar tres tipos
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-43
diferentes de cantidades. La cantidad de referencia, la cantidad
comparada con la anterior y la diferencia que se pueda establecer entre
ambas. Así, en los ejemplos anteriores, la cantidad de referencia la
constituían los tres caramelos de Rodrigo, en el primer caso, y los 17
caramelos de Jaime en el segundo. Mientras que los caramelos de Valle
(siete caramelos) y los de Juanjo (cantidad desconocida) serían la cantidad
comparada.
Cantidad Cantidad
de Diferencia
Referencia Comparada
Esquema de los problemas de comparación
En estos problemas aparece de forma más explícita los errores de
asociación de una operación matemática a una determinada palabra. Dado
que las expresiones utilizadas para la comparación son, normalmente,
"más que" y "menos que", la asociación más-sumar y menos-restar puede
provocar un cierto desconcierto, que debe llevar al alumno a la necesidad
de prestar mayor atención a la situación planteada en el enunciado.
La consideración de tres tipos diferentes de cantidades en este tipo de
problema (de referencia, comparada y diferencia entre ambas) y la
relación mayor o menor entre ambas nos lleva a considerar seis tipos
diferentes de problemas de comparación.
En el siguiente esquema podemos apreciar los seis tipos diferentes de
problemas de comparación. Para ello vamos a establecer que A sea
siempre la cantidad dereferencia, B la cantidad comparada, estableciendo
siempre la relación entre las dos cantidades a través de las conexiones "B
más que A" o "B menos que A", según sea B (cantidad comparada) mayor
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o menor que A (cantidad de referencia).
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Cantidad de Cantidad Relación referencia Diferencia comparada entre A yB T. 9. Conocida A ¿B - A? Conocida B A < B B más que A T. 10. Conocida A ¿A - B? Conocida B A > B B Menos que A T. 11. Conocida A Conocida B - A ¿B? A < B B más que A T. 12. Conocida A Conocida A - B ¿ B? A > B B menos que A T. 13. ¿A? Conocida B - A Conocida B A < B B más que A T. 14. ¿A? Conocida A - B Conocida B A > B B menos que A
Esquema para cada uno de los seis tipos de problemas de comparación
Seis tipos de problemas de compáración
Una vez que hemos diseñado un esquema para los problemas de
comparación vamos a ir estableciendo las diferenciasentre ellos, sirviéndos
de diferentes ejemplos:
Tipo 9. " David tiene 13 bolis. Jesús tiene 28 bolis. ¿Cuántos bolis tiene
más Jesús que David?".
Tipo 10 . "David tienen 17 bolis. Jesús tiene 12 ¿Cuántos bolis menos
tiene Jesús que David?."
En ambos ejemplos la conexión que se establece entre las cantidades
viene definida por una expresión similar. Así, "Jesús más que David" en el
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primer caso y "Jesus menos que David" para el segundo.
El esquema resultante sería:
Cantidad de referencia Diferencia Cantidad comparada
Tipo 9. 13 bolis (David) ? 28 bolis (Jesús)
Tipo 10. 17 bolis (David) ? 12 bolis (Jesús)
Vemos que en el primer caso (Tipo 9) la cantidad de referencia es mayor
que la cantidad comparada, mientras que en el segundo es menor (Tipo
10).
Consideremos ahora dos ejemplos donde conoceremos la cantidad de
referencia, así como la diferencia que se establece entre esta y la cantidad
comparada.
Tipo 11. "Emilio tiene 13 cromos. Lucía tienen 5 más que Emilio.
¿Cuántas cromos tiene Lucía?".
Tipo 12. "Emilio tiene 18 cromos. Lucía tiene 7 menos que Emilio.
¿Cuántas tiene Lucía?."
La relación entre las cantidades "Lucía más que Emilio" y "Lucía menos
que Emilio", asegura que la cantidad de referencia venga representada por
los cromos de Emilio, mientras que la cantidad comparada lo sea por los
cromos de Lucía.
El esquema resultante sería:
Cantidad de referencia Diferencia Cantidad comparada
Tipo 11. 13 cromos (Emilio) 5 ? (Lucía)
Tipo 12. 18 cromos (Emilio) 7 ? (Lucía)
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El el ejemplo primero (T.11.) la cantidad de referencia es menor,
mientras que en el caso segundo (T.12.) la cantidad de referencia es mayor.
En ambos casos las palabras claves "más" (T.11.) y "menos" (T.12.) pueden
sugerir la operación correcta. Sumar para el primer y restar para el
segundo, lo que puede llevar a una traducción literal del problema
facilitando su resolución.
Finalmente veamos otros dos ejemplos, partiendo de una situación
donde desconocemos la cantidad de referencia, y conociendo tanto la
cantidad comparada como la diferencia que se establece.
Tipo 13. "Jaime tiene 18 lápices. Tiene 5 más que Rocío ¿Cuántos tiene
Rocío? ".
Tipo 14. "Jaime tiene 9 lápices. Tiene 7 menos que Rocío ¿Cuántos tiene
Rocío?".
El esquema resultante sería:
Cantidad de referencia Diferencia Cantidad comparada
Tipo 13. ? (Rocío) 5 18 lápices (Jaime)
Tipo 14. ? (Rocío) 7 9 lápices (Jaime)
En estos dos últimos ejemplos vemos que el tipo 13 la cantidad de
referencia es menor, mientras que en el tipo 14, la cantidad de referencia
es mayor. En el primer caso es un problema de restar y en el segundo es
de sumar. Las palabras claves "más" y "menos" pueden llevar a una
traducción incorrecta.
Podemos ver que todos los enunciados admiten de forma explícita o
implícita las expresiones "más que" o "menos que" que nos facilitan la
comprensión sobre la cantidad de referencia.
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Es importante resaltar en la estructura de estos problemas el orden en el
que aparecen los números en algunos de ellos. Así, en el ejemplo 9, que se
resuelve mediante una resta, (8 - 3), aparece primero el tres en enunciado,
siendo así que los niños al interiorizar el concepto de restar consideran,
acertadamente, que el número primero es el mayor lo que debe traducirse
a que en los problemas aparezca también el primero.
Advertimos que en este problema los niños suelen utilizar la estrategia
de contar más que la de buscar una operación que efectuar. Así algunos
resolveran contando desde el 3 al 8, conviertiendo un problema de restar
en otro de suma. Algo similar a lo que hacen los dependientes en las
tiendas cuando nos dan la vuelta de una compra efectuada, y que ya
comentamos en el capítulo primero.
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2. Relación de problemas.
Centro de interés: Una granja.
Tipo 9. Juan tiene en su granja 15 cerdos y Antonio 8. ¿Cúantos cerdos
tiene Juan más que Antonio?
Tipo 10. Juan tiene en su granja 12 ovejas y Antonio tiene 20. ¿Cuántas
menos tiene Juan que Antonio?.
Tipo 11. Tino tiene 5 patos y Teodoro 3 más que Tino. ¿ Cúantos patos
tiene Teodoro?
Tipo 12. Tino tiene 5 patos y Teodoro 3 menos que Tino. ¿Cúantos patos
tiene Teodoro?
Tipo 13. "Concha tiene 23 gallinas, y tiene 5 gallinas más que Carmen.
¿Cuántas gallinas tiene Carmen?".
Tipo 14 . "Concha tiene 23 gallinas, y tiene 5 gallinas menos que Carmen.
¿Cuántas gallinas tiene Carmen?".
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Centro de Interés: Lós pájaros.
Tipo 9.
a) Paloma tiene 9 patos y Patricia 6. ¿Cuántos tiene más Paloma que
Patricia?.
b) Cesar tiene 13 jilgueros y Miguel tiene 25, ¿cuántos más tiene Miguel
que Cesar?.
c) ¿Cúantos canarios hay más en una pajarera que en la otra, si en la
verde hay 28 y en la azul 15?.
d) ¿Cúantos canarios hay más en la pajarera verde que en la azul, si en
la azul hay 12 y en la verde 20 ?.
Tipo 10.
a) Paloma tien 9 patos y Patricia 6. ¿Cuántos tiene menos Patricia que
Paloma?
b) En una pajarera azul hay 20 canarios. ¿Cúantos canarios hay menos
en la verde si en ésta hay 12 ?.
c) ¿Cúantos canarios hay menos en una pajarera que en la otra,si en la
verde hay 12 y en la azul 20?
d) Beatriz tiene 15 periquitos y Mª José tiene 7, ¿cuántos periquitos tiene
menos mª José que Beatriz?.
Tipo 11.
a) Pilar tiene 5 canarios y Rosa 7 más que Pilar. ¿Cuántos canarios tiene
Rosa?
b) Patricia tiene 25 pesetas para comprar un canario que le cuesta 75
pesetas más, ¿Cuánto le costará el canario?
c) ¿Cúantos canarios tiene Rosa, si Pilar tiene 7 y Rosa 3 más que Pilar?
d) Beatriz tiene 25 palomas, ¿Cuántas palomas tiene Mª José, si tiene 20
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más que Beatriz?.
Tipo 12.
a) Pilar tiene 7 canarios y Rosa 3 menos que Pilar. ¿Cuántos canarios
tiene Rosa?
b) En una pajarera azul hay 12 canarios y en la roja 7 menos que en la
azul. ¿Cuántos canarios hay en la pajarra roja?
c) En un palomar hay 50 palomas y en el otro 23 palomas menos.
¿Cuántas palomas hay en este segundo?.
d) Tenemos 1000 pts para comprar un jilguero, pero tenemos 200 pts.
menos, ¿cuánto dinero nos falta?.
Tipo 13.
a) Pablo tiene 8 jilgueros, 7 más que Miguel. ¿Cuántos jilgueros tiene
Miguel?.
b) Un canario vale 850 pts., cuesta 220 pts más que un jilguero ¿Cúanto
vale el jilguero?.
c) En una pajarera tenemos 45 canarios, 12 más que periquitos. ¿Cuántos
periquitos tenemos?.
d) Hay 23 canarios más que jilgueros. Si hay 45 canarios, ¿cúantos
jilgueros hay?.
Tipo 14.
a) Jesús tiene 8 jilgueros, 7 menos que Angel. ¿Cuántos jilgueros tiene
Angel?
b) Un canario cuesta 950 pts. ¿Cúanto cuesta el jilguero si el canario vale
120 pts menos que el jilguero?
c) En una pajarera tenemos 60 periquitos, 18 menos que loros. ¿Cuántos
loros tenemos?
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d) Hay 23 canarios menos que jilgueros. Si hay 45 canarios. ¿Cúantos
jilgueros hay?
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CAPITULO V
PROBLEMAS DE IGUALACION
1. Análisis, estructura y tipología.
Si bien los tres grupos considerados anteriormente son los básicos,
algunos autores establecen un cuarto grupo que llaman de igualación.
Estos se caracterizan por ser problemas híbridos de comparación y
cambio. Es la misma clase de acción que en los problemas de cambio pero
basados en la comparación de dos conjuntos disjuntos, (Carpenter y
Moser, 1983, p. 17).
Estos problemas pueden presentar una estructura muy similar a la de
los problemas del apartado anterior, sin embargo la comparación que se
establece entre las dos cantidades viene determinada por una acción de
cambio.
Así, si consideramos el siguiente problema de igualación:
“Juanjo tiene 12 discos y Rodrigo 8, ¿cuántos tiene que comprar Rodrigo
para tener tantos como Juanjo?."
El enunciado anterior, refleja una situación de cambio producida por la
acción de comprar que deberá realizar Rodrigo, y una situación de
comparación, ya que la cantidad de discos que deberá comprar surge de la
comparación entre las dos cantidades.
Podríamos, en cierto sentido, asimilarlo a un problema de cambio que
sería:
"Rodrigo tiene 8 discos, Cuántos tiene que comprar para tener 12?".
O también a un problema de comparación:
“Juanjo tiene 12 discos, y Rodrigo 8, ¿cuántos menos tiene Rodrigo que
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Juanjo?”.
En todos los casos, la operación de resolución es la misma, pero el
enunciado presenta elementos diferenciadores sobre los protagonistas de
la situación y el origen de las cantidades, y la estreuctura del problema
que constituyen los elementos diferenciadores para la situación de
igualación, cambio o de comparación que reflejan cada uno de los
enunciados.
Como vemos, en los problemas de igualación, hay una comparación
entre cantidades establecida por medio del comparativo "tantos como" o
alguna expresión similar, por lo que estas situaciones implican un
equilibrio de cantidades con simultaneidad de cambio y comparación.
Como se indica en Carpenter y Moser, (1983) y Puig y Cerdan (1988), la
acción se realiza con una de las cantidades con el fin de igualarla a otra
con la que ha sido comparada. Como la estructura básica de este tipo de
problemas es la de problemas de comparación, están presentes aquí
también tres tipos de cantidades: de referencia, comparada y diferencia,
pudiendo establecerse la incógnita en cualquiera de ellas. La expresión
"Rodrigo tantos como Juanjo", del ejemplo considerado nos indicará que la
cantidad de referencia será Juanjo, mientras que Rodrigo es la cantidad
comparada.
Por otra parte, el sentido del cambio puede ser en más o en menos
(cambio-unión o cambio-separación) dependiendo de la relación entre las
cantidades de referencia y comparada. En los problemas de cambio-unión
(T. 15; T. 17 y T. 19) la cantidad comparada será menor que la de
referencia, y en sentido contrario para los de cambio separación (T. 16; T.
18; T. 20).
Lo anterior implica que surgan de nuevo seis tipos de problemas de esta
clase que representamos en el siguiente esquema.
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Cantidad de Referencia
A
Cantidad Comparada
B
Cantidad
conocida
Cambio - Unión
Diferencia desconocida TIPO 15
Cantidad
conocida
Cantidad
conocida
Cambio - Separación
Diferencia desconocidaTIPO 16
Cantidad
conocida
Cantidad
desconocida
Cambio - Unión
Diferencia conocidaTIPO 17
Cantidad
conocida
Cantidad
desconocida
Cambio - Separación
Diferencia conocidaTIPO 18
Cantidad
conocida
Cantidad
conocida
Cambio - Unión
Diferencia conocidaTIPO 19
Cantidad
desconocida
Cantidad
conocida
Cambio - Separación
Diferencia conocidaTIPO 20
Cantidad
desconocida
B tantos como A
Esquema de representación para los problemas de Igualación
En el esquema que hemos presentado la cantidad comparada (B) es la
que se ve modificada, en más o menos, para igualarla a la cantidad de
referencia (A).
Tipo 15. "Beatriz tiene 9 y Miguel tiene 3 cromos. ¿Cuántos tiene que
ganar Miguel para tener tantos como Beatriz?."
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Tipo 16. "Miguel tiene 9 y Beatriz tiene 3 cromos. ¿Cuántos tiene que
perder Miguel para tener tantos como Beatriz?."
En estos dos primeros problemas sabemos cuanto valen las dos
cantidades que son comparadas pero no sabemos la diferencia que se
establece entre ellas. Es decir, cuánto hay que ganar o perder para igualar
las dos cantidades, dándonos en el primer caso una situación de cambio-
unión (T.15) y otra de cambio-separación (T.16). En el primer ejemplo la
cantidad de referencia es mayor que la cantidad comparada, siendo
estarelación la contraria en el ejemplo correspondiente al tipo 16.
Cantidad
de
Referencia
Cantidad
comparada
Beatriz tiene 9 cromos Miguel tiene 3 cromos
Cambio-Unión
¿Cuántos tiene que ganar?
Esquema del problema T.15
Cantidad
de
Referencia
Cantidad
comparada
Beatriz tiene 3 cromos Miguel tiene 9 cromos
Cambio-Separación
¿Cuántos tiene que perder?
Esquema del problema T.16
En los siguientes dos ejemplos conocemos la cantidad comparada,
expresada por los treinta y tres coches, y conocemos la cantidad que se
modifica expresada por los coches que entran (15 coches) o se retiran (15
coches) y que representa la situación intermedia de las situaciones de
cambio. En estos ejemplos se nos presenta una situación de comparación y
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cambio-unión (T.17) y otra de comparación y cambio-separación (T.18).
Desconocemos la cantidad de referencia indicada en ambos problemas por
la misma pregunta, ¿cuántas motos hay?.
Tipo 17. "En un aparcamiento hay 33 coches, si entran 15 coches habrá
tantos como motos, ¿cuántas motos hay?".
Tipo 18. "En un aparcamiento hay 33 coches, si se retiran 15 coches
habrá tantos como motos, ¿cuántas motos hay?".
Cantidad
de
Referencia
Cantidad
comparada
¿Cuántas motos hay? 33 coches
Cambio-Unión
entran 15 coches más
Esquema del problema T. 17
Cantidad
de
Referencia
Cantidad
comparada
¿Cuántas motos hay? 33 coches
Cambio-Separación
se retiran 15 coches
Esquema del problema T.18
Finalmente, analizamos los dos siguientes ejemplos:
Tipo 19. "Antonio tiene en su casa 9 canarios. Si a Juan le regalan 5 tiene
tantos como Antonio, ¿Cuántos tiene Juan?."
Tipo 20. "Antonio tiene en su casa 9 canarios. Si a Juan se le escapan 5
tiene tantos como Antonio, ¿Cuántos tiene Juan?."
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En ambos casos conocemos la cantidad de referencia, expresada por los
nueve canarios de Antonio, así como la cantidad que varia como
consecuencia de la acción que origina el cambio, que viene representada
por los 5 canarios que le regalan (Cambio-Unión) o se le escapan (Cambio-
Separación) a Juán que, a su vez, representaría la cantidad comparada. Es
decir, la cantidad desconocida, expresada en la pregunta sobre los
canarios que tiene Juan, constituye en estos dos problema la cantidad
comparada.
Cantidad
de
Referencia
Cantidad
comparada
Antonio tiene 9 canarios ¿Cuántos canarios tiene Juan?
Cambio-Unión
le regalan 5 canarios
Esquema del problema T. 19
Cantidad
de
Referencia
Cantidad
comparada
Cambio-Separación
se le escapan 5 canarios
¿Cuántos canarios tiene Juan? Antonio tiene 9 canarios
Esquema del problema T. 20
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2. Relación de problemas.
Centro de interés: Una granja.
Tipo 15. La gallina “Copina” pone 5 huevos y la gallina “Tureta” pone 3.
¿Cúantos huevos tiene que poner la gallina “Tureta” para poner tantos
como la gallina “Copina”?
Tipo 16. Un granjero tiene en un corral 3 ovejas y en otro 7. ¿Cúantas
ovejas tendrá que soltar de un corral para tener tantas como en el otro?
Tipo 17. Miguel tiene 8 cabras. Al comprar 7, tendrá tantas como
Manuel. ¿Cúantas cabras tiene Manuel ?.
Tipo 18. Miguel tiene 15 cabras, al vender 8, tendrá tantas como
Manuel. ¿Cúantas cabras tiene Manuel ?.
Tipo 19. Teo tiene 9 vacas, al comprar Vicente 4 tiene tantas como Teo.
¿Cúantas vacas tenía Vicente?.
Tipo 20. Teo tiene 4 vacas, al vender Vicente 5 tiene tantas como Teo.
¿Cúantas vacas tenía Vicente?.
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Centro de Interés: Lós pájaros.
Tipo 15.
a) En una jaula gris tenemos 5 canarios y en la jaula marrón 2 canarios.
¿Cuántos canarios tenemos que meter en la jaula marrón para tener tantos
como en la jaula gris?
b) Pedro tiene 6 perdices. ¿Cuántas tendría que comprar para tener
tantas como Pablo que tiene 8?
c) ¿Cúantas perdices tiene que comprar Pedro para tener tantas como
Pablo si Pedro tiene 6 y Pablo 8?
d) Si Javi tiene 10 gallinas y María 6. ¿ Cúantas tiene que comprar María
para tener igual cantidad que Javi?.
Tipo 16.
a) En la pajarera verde tenemos 7 jilgueros y en la pajarera azul tenemos
12 jilgueros. ¿Cuántos jilgueros tendríamos que soltar de la pajarera azul
para tener tantos como en la verde?
b) Nacho tiene 12 periquitos. ¿Cuántos periquitos tendría que regalar
para tener tantos como Manuel que tiene 8?
c) ¿Cúantas perdices tiene que vender Pedro para tener tantas como
Pablo, si Pedro tiene 8 y Pablo 6?
d) Maribel tiene 15 gallinas y Miguel Angel 9. ¿Cúantas tiene que vender
Maribel para tener tantas como Miguel Angel?
Tipo 17.
a) En una pajarera azul tenemos 8 tórtolas, si compramos 7 tenemos
tantas como en la pajarera verde. ¿Cuántas tórtolas tenemos en la pajarera
verde?
b) En la pajarera azul tenemos 8 tórtolas, para tener tantas como en la
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pajarera verde necesitamos comprar 7 tórtolas. ¿Cuántas tórtolas tenemos
en la pajarera verde?
c) En un estanque azul tenemos 48 patos. ¿Cúantos patos tenemos en el
estanque verde si necesitamos echar 25 patos para tener en el azul tantos
como en el verde?
d) En la charca roja hay 50 patos, para tener en la charca roja tantos
como en la marrón necesitamos echar 30 patos. ¿Cúantos patos hay en la
charca marrón?
Tipo 18.
a) En la pajarera roja tenemos 25 tórtolas, si soltamos 7 tenemos tantas
como en la pajarera amarilla. ¿Cuántas tórtolas tenemos en la pajarera
amarilla?
b) En la pajarera roja tenemos 25 tórtolas, para tener tantas como en la
pajarera amarilla necesitamos soltar 7 tórtolas. ¿Cuántas tórtolas hay en la
pajarera amarilla?
c) En un estanque azul tenemos 48 patos. ¿Cúantos patos tenemos en el
estanque verde si necesitamos soltar 25 patos del primero para tener en el
azul tantos como en el verde?
d) En la charca roja hay 50 patos, para tener en la charca roja tantos
patos como en la charca marrón necesitamos soltar 30 patos de la charca
roja. ¿Cúantos patos hay en la charca marrón?
Tipo 19.
a) Antonio tiene en su casa 9 canarios, si a Juan le regalan 5 tiene tantos
como Antonio. ¿Cuántos canarios tenía Juan?
b) Si Arturo compra 8 canarios tiene tantos como Alberto que tiene 12.
¿Cúantos tenía Arturo?
c) ¿Cúantos canarios tenía Juan si al regalarle 5 tiene tantos como
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Lorenzo que tiene 12?
d) Lorenzo tiene 12 canarios. ¿Cúantos canarios tenía Miguel Angel si al
regalarle 5 tiene tantos como Lorenzo?
Tipo 20.
a) Pedro tiene en su casa 3 canarios, si a Pablo se le escapan 5 tiene
tantos como Pedro. ¿Cuántos canarios tiene Pedro?
b) Si Alberto le regala a sus amigos 7 jilgueros le quedan tantos como a
Eduardo que tiene 5. ¿Cuántos canarios tenía Alberto?
c) ¿Cúantos canarios tenía Juan si al escapársele 5 tiene tantos como
Lorenzo que tiene 12?
d) Lorenzo tiene 12 canarios. ¿Cúantos canarios tenía Juan si al
escapársele 5 tiene tantos como Lorenzo?
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CAPITULO VI
PROBLEMAS EN DOS ETAPAS
1. Análisis de los problemas.
Hasta ahora nos hemos centrados en problemas de una etapa, aquellos
que se resuelven con una sola operación de sumar o de restar. En este
capítulo vamos a estudiar los problemas en dos etapas, que que son
aquellos cuyo planteamiento, más complejo que los anteriores, contenga
más de una situación de las señaladas anteriormente.
Así podemos considerar los siguientes problemas:
"En una fiesta había 25 pasteles, Miguel se comió 5 y Javi se comió 3.
¿Cuántos quedaron para los demás niños?".
"En un huerto había 14 árboles, se han plantado 13 naranjos y 17
higueras, ¿cuántos árboles habrá ahora?".
Estos problemas implican la realización de dos operaciones. En
consecuencia, y teniendo en cuenta que nos referimos a las operaciones de
sumar y restar, podremos establecer cuatro posibilidades:
(+, +); (+, -); (-, +); (-, -)
Sólamente en el caso de los problemas con estructura (+, +) podríamos
considerar una operación, tal y como podemos comprebar con el segundo
de lo sejemplos propuestos.
Los problemas en dos etapas encieran en sí mismo dos problemas de los
tipos vistos en capítulos precedentes, por lo que haciendo las
combinaciones oportunas de dos tipos cualesquiera, podremos enunciar
nuevos problemas más complejos. Ante esta situación, es evidente, que la
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relación entre los datos (más de dos) y las incógnitas presenta mayor
dificultad, ya que pueden establecerse diferentes conexiones. En algunos
casos esta relación vendrá expresada explícitamente, mientras que en la
mayoría de los enunciados, aparecere una relación implícita.
Así podemos encontrar ejemplos donde vienen enunciados
explícitamente dos incógnitas.
"David se ha gastado 234 pts. el sábado y 457pts. el domingo. ¿Cuánto se
han gastado el fin de semana?. Si tenía 1000 pts. ¿cuánto le quedará?".
O enunciados más simples, donde debe considerarse una incognita
intermedia que aparece implícitamente. Así, el ejemplo anterior podíamos
enunciarlo de la siguiente manera:
"David se ha gastado 234 pts. el sábado y 457pts. el domingo. Si tenía
1000 pts. ¿cuánto le quedará?".
Donde se hace necesario un paso intermedio que no viene expresado
con la misma claridad que en el primer caso. Sin embargo, en ambos
enunciados se hace necesario conocer esta incógnita intermedia como dato
imprescindible para poder dar solución al problema planteado.
La resolución de estos problemas puede implicar diferentes estrategias
de solución, lo que hace más complejo el proceso de toma de decisiones
del resolutor. Analizar y resolver el problema implica diferenciar las dos
etapas presentes en el problema e introducir la incognita auxiliar cuando
esta no esté explicitamente expresada en la presentación del problema.
Estudiemos el siguiente problema:
"Tenía 100 pts, compré un paquete de pipas de 25 pts, y depués compré
15 pts de regalíz, ¿Cuánto me sobró?".
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El análisis del problema nos revela dos procedimientos para su solución.
En ambos casos vamos a definir dos problemas diferenciados, de tal
manera que la solución del primero actuará como dato del segundo
problema.
a) Podemos escoger un primer camino donde enunciaremos dos
problemas de cambio-separación, de los considerados en el tipo 2:
"Tengo 100 pts, compré un paquete de pipas de 25 pts, ¿Cuánto me
sobró?".
Sol. 100 - 25 = 75
Tomando la solución de este primer problema (75 ptd.) como dato
podremos definir un segundo problema de cambio-seáración, también de
tipo 2:
"Me quedan 75 pts, compré 15 pts de regalíz, ¿Cuánto me sobró?".
La solución de este segundo problema será la solución al problema
planteado inicialmente.
b) Estudiemos ahora una segunda estrategia para resolverlo, definiendo
primero un problema de combinación y en segundo lugar otro de cambio-
separación.
"Me gasté 25 pts. en pipas y 15 en regalí, ¿cuánto me gaste?".
En este primer caso es un problema de combinación donde
consideramos dos cantidades (25 y 15) que reunimos para ver la cantidad
total que me gasté. Es un problema de los considerados del tipo 7.
El segundo problema será un problema de cambio-separación similar a
los enunciados en la primera estrategia. Nuevamente la solución del
problema de combinación considerado en primer lugar, será un dato para
el segundo enunciado.
"Tengo 100 pts, me gasté 40, ¿Cuánto me sobró?"
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La clasificación de los problemas en dos etapas es compleja, ya que se
basa en la combinación de los tipos estudiados para los problemas de una
etapa. Si hemos encontrado 4 grupos de problemas de sumar y restar, y
queremos formar un problema juntando dos de los anteriores, fácilmente
deduciremos que haciendo las combinaciones oportunas obtendremos
dieciseis nuevos tipos según sean problemas de:
(Ca,Ca) (Ca,Co) (Ca,Cp) (Ca,Ig)
(Co,Ca) (Co,Co) (Co,Cp) (Co.Ig)
(Cp,Ca) (Cp,Co) (Cp,Cp) (Cp,Ig)
(Ig,Co) (Ig,Cp) (Ig,Ig) (Ig,Ca)
CAMBIO
COMBINACION
COMPARACION
IGUALACION
CA
MB
IO
CO
MB
INA
CIO
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CO
MP
AR
AC
ION
IGU
AL
AC
ION
Si además recordamos que en cada uno de los grupos anteriores
aparecen nuevas clasificaciones que daban lugar a 20 tipos diferentes de
problemas, nos encontraremos que las posibilidades de formar problemas
en dos etapas se multiplican hasta hacer excesivamente complicada la
clasificación de los mismos.
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2. Relación de problemas en dos etapas.
1.- Cambio-Cambio
En una granja hay 135 gallinas, nacen 85. ¿Cúantas gallinas hay?
Si vendemos 43. ¿Cúantas gallinas quedan?
2.- Cambio-Combinación
María tiene 7 canarios, regala 2. ¿Cúantos canarios le quedan?
Si Juan tiene 8. ¿Cúantos canarios tienen entre los dos?
3.- Cambio-Comparación
Elena tiene 8 patos, compra 3 más. ¿Cúantos patos tiene ahora?
¿Cúantos patos tiene Lourdes si tiene 6 más que Elena?
4.- Cambio-Igualación
Elena tiene 3 gallinas, si compra 7. ¿Cúantas gallinas tendrá ahora?
¿Cúantas gallinas tendría que comprar de nuevo para tener tantas como
Api que tiene 15?
5.- Combinación-Cambio
¿Cúantas aves tengo en la granja si hay 5 gallinas y 3 pavos?
Si compro 7 pavos más. ¿Cúantas aves tengo ahora?
6.- Combinación-Combinación
Si tengo en mi pajarera 7 canarios, 5 jilgueros y 3 periquitos.
¿Cúantos pájaros tengo?
7.- Combinación-Comparación
De los 25 coches de un garaje 15 son rojos y el resto azules. ¿Cúantos son
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azules? ¿Cúantos rojos hay más que azules?
8.- Combinación-Igualación
De las 40 aves de una granja 25 son patos y el resto gansos. ¿Cúantos
gansos hay? ¿Cúantos gansos tendríamos que comprar para tener tantos
como patos?
9.- Comparación-Cambio
Teo tiene 8 vacas y Vicente 7 más. ¿Cúantas vacas tiene Vicente?
Si Vicente regala 3. ¿Cúantas tiene ahora Vicente?
10.- Comparación-Combinación
El aparcamiento de mi colego tiene 15 plazas, 8 más que el del colegio de
al lado. ¿Cúantas tienen entre los dos?
11.- Comparación-Comparación
Tengo 8 años, mi hermano tiene 5 más que yo y mi padre 25 más que mi
hermano. ¿Cúantos años tiene mi padre?
12.- Comparación-Igualación
En la biblioteca del colegio de Miguel hay 578 libros y en la del colegio
de Beatriz 324. ¿Cúantos libros hay menos en la biblioteca del colegio de
Beatriz que en la de Miguel? Si en la biblioteca del colegio de Alberto hay
245 libros. ¿Cúantos libros tenemos que comprar para tener tantos como
como en la bibiloteca del colegio de Miguel?
13.- Igualación-Cambio
Si Tino regala 7 libros le quedan tantos como a Miguel Angel que tiene
5. ¿Cúantos libros tenía Tino? Si Tino compra 3. ¿Cúantos tiene ahora?
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14.- Igualación-Combinación
Lorenzo tiene 8 caballos. Si compra 7 tendrá tantos como Concha.
¿Cúantos caballos tiene Concha? ¿Cúantos caballos tienen entre los dos?
15.- Igualación-Comparación
En una cerca tenemos 8 caballos blancos y 5 negros. ¿Cúantos caballos
negros hay que comprar para tener tantos como blancos? Si vendemos 2
caballos blancos. ¿Cúantos caballos negros hay menos que blancos?
16.- Igualación-Igualación
Carmen tiene 15 ovejas y Concha 7. ¿Cúantas ovejas tiene que comprar
Concha para tener tantas como Carmen? ¿Cúantas tiene que regalar
Carmen para tener tantas como Api que tiene 11?
Vamos a continuación a enunciar algunos ejemplos más de estos
problemas:
* Miguel tienen 15 caramelos, perdió 3 por la mañana y 5 por la tarde
¿Cuántos perdió?
* Mi mama me dio 100pts, compré un paquete de pipas de 25 pts, y
depués compré 15 pts de regalíz, ¿Cuánto me sobró?
* María tiene 10 años, su madre 25 más que ella, y su abuela el doble de
su mamá. ¿Cuántos tiene su madre y su abuela?
* En una tienda tenía 15 pájaros, 5 erán periquitos y 4 jilgueros, Si los
demás eran canarios ¿cuántos canarios había?
* Pedro tiene 11 años, y Pepe dos mas que Pedro. ¿Cuantos tiene Pepe?,
¿Cuántos entre los dos juntos?
* Tengo 23 pts y mi hermano tiene 45, Si necesitamos 90 pts, ¿Cuántas
nos faltan?.
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* Tenía 300 pts, mi padre me dio 50 pts mas. Si me gaste 150 pts
¿Cuántas me quedan?
* Las ciclistas de la carrera sumaban 64. Por diferentes causas se
retiraron primero 14, luego 7. ¿Cuántas terminaron la carrera?.
* El verano pasado había en la piscina 118 chopos y se han secado 7 y
otros 12 fueron cortados ¿Cuántos quedaron?.
Hemos de resaltar el hecho de que en estos problemas dobles suelen
aparecer, en los libros de texto, parcialmente algunos de los tipos que por
separado no son usuales. Esto es una contradicción evidente en el proceso
de aprendizaje y añade dificultades en la realización de los problemas.
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CAPITULO VII
OTRAS CONSIDERACIONES
1. Análisis de algunos problemas.
La clasificación de los problemas anteriores no resulta tan sencillo desde
la actividad práctica diaria que se desarrolla dentro del aula o desde la
presentación de los libros de textos, donde se utiliza de forma combinada
el lenguaje escrito y el gráfico. El trabajo específico de comprensión,
desarrollo y explicación de los problemas no resulta tan preciso como
pudiera deducirse de la clasificación teórica anteriormente señalada.
Los factores de lenguaje, presentes en todo enunciado, tanto en
expresión oral como escrita, conjugados con los factores de representación
de la realidad que resulta imprescindible en un correcto proceso de
enseñanza-aprendizaje, así como las diferentes estrategias de resolución
que pueden utilizar los alumnos, y el nivel de maduración que estos
puedan alcanzar, hacen que el trabajo con estos problemas puedan
presentar más dificultad de la que podamos deducir de su sencilla
estructura.
A este respecto veamos algunos ejemplos que muestran que problemas
tipos que pudiéramos situar en una determinada clase, la estrategia de
solución se adecúa más a otra.
Así, el problema: "Le doy dos caramelos a mi amigo, y todavía me
qudan tres, ¿cuántos tenía?", es un típico problema de cambio (T.6) que
podríamos escenificarlo en una situación simulada siguiendo
estrictamente las secuencias que nos marca el problema.
Sin embargo, este problema puede presentarse gráficamente mostrando
las dos cantidades por lo que se establece una representación que se
asemeja a la de los problemas de combinación.
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DDiibbuujjoo ddee ddooss nniiññooss uunnoo ccoonn 33 ccaarraammeellooss ddáánnddoollee aall oottrroo 22 ccaarraammeellooss
El mismo dibujo puede servir para el siguiente problema: "Tengo 3
caramelos y mi amigo 2, ¿cuántos tenemos entre los dos juntos?"; con lo
que resulta que la situación original de cambio la hemos transformado, al
utilizar el dibujo, en una situación de combinación.
Veamos este otro ejemplo donde aparecen confundirse los problemas de
comparación y combinación. "Rodrigo quiere gastarse en un pastel 50 pts.
pero sólo tiene 31 pts. ¿Cuánto dinero le falta?."
El desarrollo de este problema también puede situarse en dos
situaciones diferentes.
Por una parte, podemos considerar dos conjuntos de pesetas, uno con 50
pts. y otro con 31 pts. y plantear el esquema de los problemas de
combinación donde aparece la relación parte todo, preguntándonos en
este caso por alguna de las partes.
Igualmente, podríamos haber establecido, como parece más usual, una
comparación entre las dos cantidades puesto que la diferencia indicada
nos permite conocer el resultado del problema.
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FFiigguurraa uunn nniiññoo ccoonn 3311 ppeesseettaass aannttee uunn eessccaappaarraattee qquuee sseeññaallaa uunn dduullccee ddee 5500 ppeesseettaass..
Cualquiera de las dos siguientes preguntas: ¿cuántas pesetas vale más el
pastel?, o ¿cuántas pesetas tiene menos Rodrigo?, establecen una
comparación entre las dos cantidades del problema, y nos podrían indicar
que estaríamos ante ante un problema de comparación.
2. Conclusión
Hemos visto hasta ahora diferentes situaciones que se pueden plantear
ante problemas de suma y resta. De la observación de los libros de texto y
de las clases a maestros vemos como suelen aparecer sólo problemas de
los tipo 1, 2, 7, 8, y 9. Sin embargo de los otros tipos si aparecen en los
niveles superiores con situaciones mas complejas. Creemos que una buena
enseñanza debe abarcar las distintas situaciones que se le puedan plantear
a los alumnos y no rehuir ninguna. Por este motivo aconsejamos plantear
problemas de todos los tipos, teniendo en cuenta, por supuesto que el
grado de dificultad de generan es diferentes para cada problema.
Esta reflexión, que se hace en base a estudios realizados y a la
bibliogradía consultada, debe llevarnos a considerar con mayor
profundidad los problemas que se propogan en la edades en las que los
niños empiezan a tener contacto con los números, y sobre todo cuando
empiezan a realizar pequeñas operaciones de suma y resta. La necesidad
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de considerar "todas" las variables que intervienen en los problemas debe
llevar a los maestros a ser mas cautelosos con las actividades propuestas, y
paciente en los procesos de aprendizaje de las primeras operaciones
aritméticas. Un buen principio en el aprendizaje de las Matemáticas
ayudará a que esta asignatura no resulte posteriormente tan árida y con
tal alto índice de fracaso escolar.
Después de haber establecido la clasificación entre los problemas de
sumar y restar podemos señalar con total rotundidad que estos no son
todos iguales.
Finalmente, y a modo de resumen podemos señalar algunos de las
variables que tenemos que considerar en esta clase de problemas y que
hacen que estos puedan resultar fáciles o difíciles. (Puig, 1988
1) La proposición numérica que subyace en el enunciado:
a + b = ? a + ? = c ? + b = c
a + b = ? a - ? = c ? - b = c
? = a + b c = a + ? c = ? + b
? = a - b c = ? - b c = a - ?
2) La presentación de los problemas. Estos resultan más fáciles cuando
se presentan por medio de grabados, dibujos o con materiales concretos.
La formulación verbal del problema, esto es el orden y la forma en que la
información es presentada resulta muy importante para determinar la
actitud del resolutor ente el problema.
3) La estructuración sintáctica del enunciado. Así, la longitud del
mismo, el número de oraciones que lo forman, la posición de la pregunta,
las palabras claves, el uso del condicional, etc. juegan un papel importante
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para poder diseñar un procedimiento de resolución de los problemas.
4) El tamaño de los números así como el orden de aparición en el
enunciado. Más fácil si este orden se corresponde con el de colocación
para la realización del algoritmo de resolución.
5) La situación representada en el problema. Hacer referencia a
situaciones familiares a los alumnos facilitará que estos puedan establecer
estrategias conocidas.
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