Download - 14 Dinámica JUSTO
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Leyes de la
Dinmica y
aplicaciones
JUSTO ALBERTO MNDEZ
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Concepto de fuerza
Son la accin que:
Producen deformacin
en el objeto que recibe
una fuerza
Producen cambio
de movimiento en
el objeto que
recibe una fuerza
Pueden producir
deformacin y
cambio de
velocidad al
mismo tiempo
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Algunas caractersticas
Son magnitudes vectoriales
No se poseen, se aplican
Se aplican de un cuerpo a otro
Nunca se encontrar una fuerza aislada
De aqu que se dice: el nmero de fuerzas en un sistema siempre es par
Su unidad de medida es el Newton, que se abrevia [N]
1 [N] = 1 [kg m/s2]
Tambin puede ser en dinas que se abrevia [d]
1 [d] = 1 [g cm/s2]
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Primera ley de Newton
y marcos inerciales
En ausencia de fuerzas externas, y cuando se ve
desde un marco de referencia inercial, un objeto en
reposo se mantiene en reposo y un objeto en
movimiento continua en movimiento con una
velocidad constante (esto es, con una rapidez
constante en una lnea recta).
Si un objeto no interacta con otros objetos, es
posible identificar un marco de referencia en el que
el objeto tiene aceleracin cero.
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Cantidad de movimiento (p)
Momentum Lineal
Es el producto de la masa de una partcula por su velocidad.
p = m v
Es un vector que tiene la misma direccin y sentido que v y es por tanto tambin tangente a la trayectoria.
Como: v = vx i + vy j + vz k
p = m v = m (vx i + vy j + vz k) = m vx i + m vy j + m vz k
p = px i + py j + pz k
Podemos expresar la ley de Inercia:
Una partcula libre siempre se mueve con
momentum constante
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Segunda ley de Newton
La fuerza resultante aplicada a un objeto es igual ala variacin de la cantidad de movimiento conrespecto al tiempo, o lo que es lo mismo, al productode la masa por la aceleracin.
d p d (m v) d vF = = = m = m a
d t d t d t
ya que la masa, al ser constante, sale fuera de laderivada.
En general, suele existir ms de una fuerza por lo que se usa:
F = m a
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Deduccin del principio de inercia
En realidad el primer principio, se deduce fcilmente a
partir del anterior: F = m a.
Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula ( F = 0) a= 0 v = constante.
Tambin puede deducirse:
Si F = 0 dp = 0 p = constante
v = constante.
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Impulso mecnico (I).
En el caso de que la fuerza que acta sobre un cuerpo sea
constante, se llama impulso al producto de dicha fuerza por el
tiempo que est actuando.
I = F t = p = m v2 m v1 = m v
El impulso mecnico aplicado a un objeto es igual a la
variacin en la cantidad de
movimiento de ste.
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Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa con
una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en sentido
contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula el
impulso que recibe la pelota y la fuerza media que
aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la
raqueta dura una centsima de segundo.
I = F t , o sea que p = m v2 m v1= 0,055 kg (10 m/s) i 0,055 kg 20 m/s i
I = 1,65 i kg m/s
I 1,65 i kg m/s F = = = 165 i N
t 0,01 s
El impulso como la de la fuerza tienen signo negativo pues tienensentido contrario al inicial de la pelota.
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Teorema de conservacin de lacantidad de movimiento.
De la propia definicin de fuerza: dpF =
dt
se deduce que si F = 0, ( o F, resultante de todas aplicadas sobre una partcula, es 0, entonces p debe ser constante.
Lo que significa que deben ser constantes cada una de sus componentes cartesianas: px, py y pz, y por tanto tambin las de la velocidad MRU
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Un coche de 900 kg de masa parte del reposo y
consigue una velocidad de 72 km/h en 6 s. Calculala fuerza que aplica el motor, supuesta constante.
p = m v2 m v1 = m (v2 v1)
= 900 kg (20 m/s i 0 i) = 18000 i kg m/s
p 18000 i kg m/s F = = = 3000 i N
t 6 s
carro
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Principio de accin y reaccin (tercera ley de Newton) Si tenemos un sistema formado por dos cuerpos
que interaccionan entre s, pero aislados de toda fuerza exterior, la cantidad de movimiento total de dicho sistema permanecer constante.
ptotal = p1 + p2 = 0
Si dividimos ambos miembros por t ptotall p1 p2 F = = + = 0 F1 = F2t t t
Es decir, la fuerza que ejercida sobre 1(debido a la interaccin de 2) es igual que la ejercida sobre 2 (producida por 1).
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Principio de accin y reaccin (tercera ley de Newton) (cont). Al actuar las dos fuerzas sobre cuerpos distintos
ejercer, en general efectos tambin distintos (aceleraciones distintas).
Por ejemplo, la fuerza con la que nos atrae la Tierra (Peso) tiene el mismo mdulo y sentido contrario que la Fuerza con nosotros atraemos a la Tierra.
Es evidente, en este caso que mientras la Tierra ejerce sobre nosotros un efecto apreciable (aceleracin de la gravedad), el efecto de 60 o 70 kp que ejercemos sobre la Tierra es absolutamente despreciable.
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Conservacin de la cantidad de movimiento en dos cuerpos.
Ya hemos visto que si F= 0, p debe ser constante.
En el caso de que la interaccin sea un choque: pantes = pdespus
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2
En el choque elstico v1 y v2
(velocidad con que salen rebotados los objetos) son distintos.
En el choque inelstico v1 = v2
. (los dos objetos salen juntos incrustado el uno en el otro)
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Un revlver cuya masa es de 0,80 kg dispara una bala cuya masa esde 0,016 kg con una velocidad de 700 m/s. Calcular la velocidad deretroceso del revlver.
Inicialmente tanto la bala como elrevlver se encuentran en reposo ysu momentum total es cero. Despusde la explosin la bala se desplazahacia adelante con un momentum
p1 = m1v1 = (0,016 kg) x (700 m s-1) = 11,20 m kg s-1
El revlver debe entonces retroceder con momentum igual pero opuesto.
Por consiguiente debemos tener tambin :
p2 = 11,20 m kg s-1 = m2v2 ya que m2 = 0,80 kg,
11
2 0,1480,0
20,11
skg
mkgsv
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Un boliche de 8 g lleva una velocidad constante de 4 m/s, y
golpea una bola de madera de 200 g que est en reposo.
Si como resultado del choque el boliche sale rebotado con
una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad con que
comienza a moverse la otra bola.
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2
(8 g.4 m/s) i + (200g.0) i = 8 g (2 m/s) i + 200 g
v2
Despejando v2 obtenemos:
32 gm/s i + 16 gm/s iv2 = = 0,24 i m/s
200 g
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Un automvil cuya masa es de 1000 kg sube por un camino cuya inclinacin
es de 20. Determinar la fuerza que ha de ejercer el motor si el auto debe
moverse (a) con movimiento uniforme, (b) con aceleracin de 0,2 m s-2.
Encontrar tambin en cada caso la fuerza ejercida sobre el automvil por el
caminoCarro
W sen
W Cos
W=m.g
Designamos la masa del automvil porm ;Fuerzas: peso w = mg, dirigidohacia abajo; la fuerza F debido almotor hacia arriba, y la fuerza Ndebido al camino en direccin perpen-dicular a F. El movimiento a lo largode la direccin X satisface la ecuacin
F mg sen =ma F =m(a + g sen )
El auto no tiene movimiento lo largo del eje Y,
N -mg cos = 0 N=mg cos
Notamos que la fuerza N debido al camino es independiente de la aceleracin del auto e,
introduciendo valores numricos, es igual a 9210 N.
Pero la fuerza F debido al motor depende de la aceleracin del auto. Cuando el auto se
mueve con velocidad constante, a = 0, y F mg sen ;en nuestro ejemplo es 3350 N.
Cuando se mueve con la aceleracin de 0,2 m s-, entonces F =3550 N.
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T
P
1. Una bola de masa 10 Kg se encuentra suspendida y en reposo como lo
muestra la figura. Calcule la tensin a la que est sometida la cuerda.solucin
1. Determinemos las fuerzas que
actan sobre el cuerpo
2.Ahora hagamos un
diagrama del cuerpo libre
T
P
3. Observamos que las fuerzas actan solamente
sobre el eje de las y, y que el sistema se
encuentra en reposo, por lo tanto:
0Fy 0PT
PT
gm.T
98N)s
m8(10kg).(9.T
2
O sea
Por lo tantoDe donde
Despejando
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MOVER
2. Dos masas se encuentran unidas como lo muestra la figura. La m1=7Kg y la m2=2Kg.Calcule la aceleracin con que se mueve el sistema y la tensin de la cuerda suponiendoque no hay rozamiento entre las superficies.
solucin 1. Fuerzas que actan sobre cada cuerpo
1m
2m
1m 2m
N
1P
T
T
2P
MOVIMIENTOM
OV
IMIEN
TO
xF yF yFxF
.amT 1
0PN 1
.amPT 22
Para m1 Para m2
NO HAY(1) (2) (3)
Sustituyendo (1) en (3) .amP.am 221 221 P.am.am 221 P)ma.(m
)m(m
Pa
21
2
)m(m
g.ma
21
2
2
22
s
m17,2
9Kg
s
m19,6Kg.
2Kg)(7Kg
)s
m(2Kg).(9,8
a
Despejando Factorizando
Despejando a:
Sustituyendo a=2,17 en (1)2s
m
15,19N)(7Kg)(2,17T 2sm
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3. En la figura se muestran dos masas m1 = 3 Kg y m2 = 5 Kg colgando de los extremos deun hilo que pasa por la garganta de una polea sin rozamiento. Calcular la tensin del hiloy la aceleracin con que se mueve el sistema.
MOVER
solucin 1. Fuerzas que actan sobre cada cuerpo1m 2m
1P
2P
MO
VIM
IENTO
xF yF yFxF
.amPT 11
.amPT 22
Para m1 Para m2
NO HAY(1) (2)
T
1m
2m
T
NO HAY
11 P.amT
.amPP.am 2211 1221 PP.am.am .gm.gm.am.am 1221
)mg.(m)ma.(m 1221 )m(m
)mg.(ma
21
12
2
22
s
m45,2
)(8Kg
.(2Kg)s
m9,8
)3kg(5Kg
3Kg).(5Kgs
m9,8
a
Despejando T en (1) Sustituyendo en (2) Trminos semejantes
FactorizandoDespejando a
Como P=m.g
Ahora hallemos la tensin (T) en (1)11 P.amT
Despejando T en (1)
.gm.amT 11
g).(amT 1
)s
m9,8
s
m3Kg.(2,45T
22
36,75NT
Como P=m.g
Factorizando
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Una bola de billar choca a una velocidad de
4 m/s con otra bola igual que est parada. Despus del choque, la
primera bola se mueve en una direccin que forma 30 con la inicial, y
la segunda con 60 con la direccin inicial de la primera. Calcula elmdulo de la velocidad final de cada bola.
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2Descomponiendo la ecuacin vectorial en dos escalares:En X m (4 + 0) m/s = m [v1 cos 30 + v2 cos (-60)]
4 m/s = 0,866 v1 + 0,5 v2
En Y m (0 + 0) m/s = m [v1 sen 30 + v2 sen (-60)] 0 m/s = 0,5 v1 0,866 v2
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas obtenemos: v1
= 1,732 m/s ; v2 = 2 m/s
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Fuerza de rozamiento (Fr)
Es la fuerza que aparece en a superficie de
contacto de los cuerpos, Depende de:
Los tipos de superficie en contacto.
La fuerza normal N de reaccin de la superficie
sobre el objeto (normalmente igual en mdulo a
PN excepto que se aplique una fuerza no
horizontal sobre el mismo).
No depende de:
La superficie (cantidad).
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Tipos de fuerza de rozamiento
Esttico: Es igual a la fuerza necesaria para iniciar un movimiento
Cuando un cuerpo est en reposo y se ejerce una fuerza lateral,
ste no empieza a moverse hasta que la fuerza no sobrepasa un
determinado valor (Fre).
La fuerza de rozamiento se opone y anula a la fuerza lateral mientras
el cuerpo est en reposo.
Cintico o dinmico: Es la fuerza que se opone a un cuerpo en movimiento (Frc).
Es algo menor que Fre (en el mismo caso).
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Clculo de Fr
Fre(mxima) = e N Frc = c N
En donde e y c son los coeficientes de rozamiento esttico y dinmico respectivamente, que dependen ambos de la naturaleza de las superficies en contacto y N es la normal (perpendicular a).
La normal N es la fuerza de reaccin de la superficie de deslizamiento sobre el objeto debido a la PN y al resto de componentes perpendiculares al movimiento.
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Calcular las fuerzas de rozamiento esttico ycintico al arrastrar una caja de 5 kg con
una fuerza de 20 N aplicada a una cuerda
que forma un ngulo con el suelo de 30,
sabiendo que e = 0,15 y c = 0,12. Se
mover la caja?P
N F
Fx
Fy 30
Fr
F = 20 N se descompone en:
Fx = 20N cos 30 = 17,3 N; Fy = 20N sen 30 = 10,0 N
N = P Fy = 5 kg 9,8 m/s2 10 N = 39 N
Fre= e N = 0,15 39 N = 5,85 N
Frc = c N= 0,12 39 N = 4,68 N
S se mover hacia la derecha, pues Fx > Fre
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Calcular la aceleracin de la
caja del ejemplo anterior:
m = 5 kg F = 20 N, = 30,
d = 0,12.
Calculamos todas las componentes de las fuerzas existentes:
Fx = 20N cos 30 = 17,3 N; Fy = 20N sen 30 = 10,0 N
Fy = 0 N = P Fy = 5 kg 9,8 m/s2 10 N = 39 N
Frd = d N = 0,12 39 N = 4,68 N
Una vez que sabemos que Fx> Fre, aplicamos: Fx = m a; 17,3 N 4,68 N = 5 kg a
17,3 N 4,68 N a = = 2,528 m s2.
5 kg
P
N F
Fx
Fy 30
Fr
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Planos inclinados.
Puede descender sin necesidad de empujarlo si PT > Fre.
Si arrastramos o empujamos con una fuerza F haca abajo, descender si F + PT > Fre.
Si arrastramos o empujamos con una fuerza F haca arriba: Ascender si: F > Fre + PT No se mover si: PT Fre F Fre + PT Descender si F < PT Fre
Recordad que Fr tiene siempresentido contrario al posible movimiento.
P
PN
PT
F
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Se mover un bal de 100 Kg situado en una superficie
inclinada 15 con la horizontal, sabiendo que e y d valen 0,30 y 0,28 respectivamente.
PT = P sen = 980 N sen 15 = 253,6 N
PN = P cos = 980 N cos 15 = 946,6 N
Al no existir otras fuerzas oblicuas: N = PN (sentido contrario)
Fre= e N = 0,30 946,6 N = 284 N
Como PT < Fre el bal no se mover.
No se mueve hacia arriba porque Fre no toma su valor mximo P
PN
PT
Fr
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Qu fuerzas habr que realizar a) hacia abajo, b)
hacia arriba, para que el bal comience a
moverse? c) Con qu aceleracin se mover si se
empuja hacia abajo con una fuerza de 100 N. Datos: m = 100 kg, = 15, e = 0,30 y d = 0,28
PT = 253,6 N ; PN = N = 946,6 N; Fre= 284 N
a) Fmnima (abajo) >
284 N 253,6 N = 30,4 N
b) Fmnima (arriba) >
284 N + 253,6 N = 537,6 Nc) Frd = d N = 0,28 946,6 N =
265,0 N
F = 100 N + 253,6 N 265,0 N
= 88,6 N = 100 kg a
a = 0,886 m s2
P
PN
PT
FreFmn
P
PN
PT
Fre
Fmn
P
PN
PT
Fre
F
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Dinmica de cuerpos
enlazados. Clculo de
aceleracin y tensin. La accin que ejerce un
cuerpo sobre otro se traduce en la tensin de la cuerda que los enlaza, que es lgicamente igual y de sentido contrario a la reaccin del segundo sobre el primero.
Se aplica la 2 ley de Newton a cada cuerpo por separado, obtenindose una ecuacin para cada uno con igual a.
P1
P2
T
T
N
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Cul ser la aceleracin del
sistema y la tensin de la
cuerda suponiendo que hay
movimiento y que m1 = 5 kg
y m2 = 2 kg y d vale 0,08?
Cuerpo 1: T Frd = m1 a T d m1 g = m1 a
Cuerpo 2: P2 T = m2 a m2 g T = m2 a
2 kg 9,8 m/s2 0,08 5 kg 9,8 m/s2 = (5 kg + 2 kg) a
2 kg 9,8 m/s2 0,08 5 kg 9,8 m/s2a = = 2,24 m/s2
5 kg + 2 kg
T = 5 kg 2,24 m/s2 + 0,08 5 kg 9,8 m/s2 = 15,12 N
Fr
1
m2
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Se mover el sistema de la
figura y en caso de que lo
haga hacia qu lado?
Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ;
e = 0,12; d = 0,10; = 30.
Calculamos el valor numrico de todas las fuerzas implicadas:
P1T = P1 sen 30 = 6 kg 9,8 m/s2 0,5 = 29,4 N
P1N = P1 cos 30 = 6 kg 9,8 m/s2 0,866 = 50,9 N
P2 = 2 kg 9,8 m/s2 = 19,6 N
Fre = e N = e PN = 0,12 50,9 N = 6,1 N
Como P1T > P2 + Fre (29,4 N > 19,6 N + 6,1 N)
Se mover hacia la izquierda.
1
P1P2
T
TN
P1N
P1T
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Calcular la aceleracin del
sistema y la tensin de la
cuerda del ejemplo anterior.
Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ;
e = 0,12; d = 0,10; = 30.
P1T = 29,4 N; P1N = 50,9 N; P2 = 19,6 N
Frd = d N = d PN = 0,10 50,9 N = 5,1 N
1: P1T T Frd = m1 a 29,4 N T 5,1 N = 6 kg a
2: T P2 = m2 a T 19,6 N = 2 kg a
29,4 N 5,1 N 19,6 N = (6 kg + 2 kg) a29,4 N 5,1 N 19,6 N
a = = 0,59 m/s26 kg + 2 kg
T = 2 kg 0,59 m/s2 + 19,6 N = 20,8 N
1
P1P2
T
TN
P1N
P1T