PROBABILIDADPropiedades de los eventos Si E y F son cualesquiera eventos para un experimento con espacio muestral S, entonces:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. E U E = E. E n E = E. (E) = E E U E = S E U E = 0 E U S = S. E n S = E. E U 0 = E. En0=0 EUF=FUE EnF=FnE (E U F) = E n F (E n F) =E U F E U ( F U G) = (E U F) U G E n (F n G) = (E n F) n G E n (F U G) = (E n F) U (E n G) E U (F n G) = (E U F) n (E U G)

(El complemento del complemento de un evento es el evento)

(Propiedad Conmutativa de la Unin) (Propiedad Conmutativa de la interseccin) (El complemento de una unin es la interseccin de los complementos) (El complemento de una interseccin es la unin de los complementos) (Propiedad Asociativa de la unin) (Propiedad Asociativa de la interseccin) (Propiedad distributiva de la interseccin sobre la unin) (Propiedad distributiva de la unin sobre la interseccin)

Tabla 1. Propiedades de los eventos

ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS I. Espacios Muestrales1. ESPACIO MUESTRALUn espacio muestral S para un experimento, es el conjunto de todos los resultados posibles tales que cada resultado corresponda a exactamente un elemento de S. Los elementos de S son llamados puntos muestrales. Si hay un nmero finito de puntos muestrales, es denotado con n(S) y se dice que S es un espacio muestral finito. Cuando se determinen los resultados posibles de un experimento debemos asegurarnos que reflejen la situacin acerca de la cual estamos interesados. Por ejemplo, considere el experimento de tirar un dado y observar la cara superior. Podramos decir que un espacio muestral es S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Donde los resultados posibles son el nmero de puntos en la cara superior. Sin embargo, otros resultados posibles son: Aparece un nmero impar de puntos (impar) Y aparece un nmero par de puntos (par).

As el conjunto S2= {impar, par} Tambin es un espacio muestral para el experimento, de modo que un experimento puede tener ms de un espacio muestral. Si un resultado ocurri en S1, entonces sabemos cul resultado ocurri en S2, pero el inverso no es cierto. Para describir esto decimos que S1 es un espacio muestral ms primitivo que S2. Normalmente, entre ms primitivo es un espacio muestral ms preguntas pertinentes al experimento permite responder. Por ejemplo, con S1 podemos responder preguntas tales como: apareci un 3? apareci un nmero mayor que 2? apareci un nmero menor que 4? Pero con S2 no podemos responder a estas preguntas. Como una regla emprica, digamos que entre ms primitivo es un espacio muestral, ms elementos tiene y ms detalles lo indican. A menos que se establezca otra cosa, cuando un experimento tenga ms de un espacio muestral, nuestra prctica ser considerar slo un espacio muestral que d suficientes detalles como para responder todas las preguntas relativas al experimento. As, para el experimento de tirar un dado y observar la cara superior, ser entendido tcitamente que estamos observando el nmero de puntos. Entonces consideraremos que el espacio muestral ser: S1= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y nos referimos a l como el espacio muestral usual para el experimento. EJEMPLO 1 Espacio muestral: Lanzamiento de dos monedas Dos monedas diferentes son lanzadas y el resultado es observado (H o T) para cada moneda. Determine un espacio muestral. Solucin: Un resultado posible es una cara (H) en la primera moneda y una cara en la segunda, lo que podemos indicar por la pareja ordenada (H, H) o, ms sencillamente, HH. Del mismo modo, indicamos una cara en la primera moneda y cruz en la segunda por HT, y as sucesivamente. Un espacio muestral S es: S= {HH, HT, TH, TT} Un diagrama de rbol est dado en la figura 9.6 y, en cierto sentido, indica el espacio muestral. Hacemos notar que S es un espacio muestral para el experimento de lanzar una sola moneda dos veces sucesivas. En realidad, estos dos experimentos pueden ser considerados como el mismo. Aunque otros espacios muestrales pueden ser considerados, tomamos a S como el espacio muestral usual para estos experimentos.

Primera Moneda

Segunda Moneda H

Punto Muestral HH

H T Inicio H T T TT TH HT

Figura 1. Diagrama de rbol para el lanzamiento de dos monedas

MODELOS: 1. Espacio muestral: Tres lanzamientos de una moneda Una moneda es lanzada tres veces y el resultado de casa lanzamiento es observado. Describa un espacio muestral y determine el nmero de puntos muestrales. Solucin: Puesto que son tres lanzamientos, seleccionamos un punto muestral como una terna, tal como HHT, en donde cada componente es H o T. Por el principio bsico de conteo, el nmero total de puntos muestrales es 2*2*2, esto es 8. Un espacio muestral (el usual) es: S= {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} y su diagrama de rbol aparece en la figura 2. Observe que no es necesario listar todo el espacio muestral para determinar su nmero de puntos muestrales.

1er Lanzamiento

2do Lanzamiento

3cer Lanzamiento H

Punto Muestral HHH

H T H H T T Inicio H H T T H T T TTT TTH THT THH HTT HTH HHT

Figura 2. Diagrama de rbol para tres lanzamientos de una moneda

2. Espacio Muestral: Canicas en una urna Una urna contiene cuatro canicas: una roja, una rosa, una negra y una blanca. Vase la figura 3.

Figura 3. Cuatro canicas de colores en una urna

1. Una canica es sacada al azar de la urna, su color es anotado y se regresa a la urna. Despus, se saca otra vez una canica de manera aleatoria y su color es anotado. Describa un espacio muestral y determine el nmero de puntos muestrales. Solucin: En este experimento decimos que las dos canicas son sacadas con reemplazo. Suponga que R, P, B y W denotan sacar una canica roja, rosa, negra o blanca, respectivamente. Entonces nuestro espacio muestral consiste en los puntos muestrales RW, PB, RB, WW, y as sucesivamente, donde (por ejemplo) RW representa el resultado de que la primera canica es roja y la segunda es blanca.

Hay cuatro posibilidades para la primera extraccin y, ya que la canica se regresa, cuatro posibilidades para la segunda extraccin. Por el principio bsico de conteo, el nmero de puntos muestrales es 4 *4, esto es 16. 2. Determine el nmero de puntos muestrales en el espacio muestral si dos canicas son seleccionadas sucesivamente sin reemplazo y los colores son anotados. Solucin: La primera canica sacada tiene cualquiera de los cuatro colores. Ya que no regresa a la urna, la segunda canica sacada puede tener slo cualquiera de los tres colores restantes. As, el nmero de puntos muestrales es 4*3, o 12. De manera alterna, hay 4 P2 = 12 puntos muestrales. 3. Espacio muestral: Mano de pker De una baraja comn de 52 cartas se saca una mano de pker. Describa un espacio muestral y determine el nmero de puntos muestrales. Solucin: Un espacio muestral consiste en todas las combinaciones de 52 cartas tomadas de cinco en cinco. Del ejemplo 3 de la seccin 9.2, el nmero de puntos muestrales es 52 C 5 =2, 598,960. 4. Espacio muestral: Tiro de dos dados Un par de dados es tirado una vez y para cada dado el nmero que parece arriba es observado. Describa un espacio muestral. Solucin: Piense en los dados como distinguibles, como si uno fuera rojo y el otro verde. Cada dado puede caer de seis maneras, de modo que podamos tomar un punto muestral como un par ordenado en el que cada componente es un entero entre 1 y 6, inclusive. Por ejemplo, (4, 6), (3, 2) y (2, 3) son tres puntos muestrales diferentes. Por el principio bsico de conteo, el nmero de puntos muestrales es 6*6, o 36.

2. EVENTOSCualquier subconjunto E de un espacio muestral para un experimento es llamado evento para el experimento. Si el resultado es un punto muestral en E, entonces se dice que ocurre el evento E. En el experimento previo de tirar un dado, decimos que {2, 4, 6} es un evento. Por tanto, si el resultado es un 2, ocurre ese evento. Algunos otros eventos son: E = {1, 3, 5} = {un nmero impar}, F = {3, 4, 5, 6} = {un nmero >=3}, G = {1}. Un espacio muestral es un subconjunto de s mismo, de modo que tambin es un evento, llamado evento seguro; debe ocurrir sin importar cul es su resultado. Un evento, tal como {1}, que consiste en un solo punto muestral es llamado evento

simple. Tambin podemos considerar un evento tal como ocurre el 7. Este evento no tiene puntos muestrales, de modo que es el conjunto vaco (el conjunto sin elementos). En realidad, es llamado evento imposible ya que nunca puede ocurrir. MODELOS: 1. Eventos Una moneda es lanzada tres veces y el resultado de cada lanzamiento es anotado. El espacio muestral usual (del ejemplo 2) es: {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} Determine los eventos siguientes: a. E = {una cara y dos cruces}. Solucin: E= {HTT, THT, TTH} b. F = {al menos dos caras} Solucin: F = {HHH, HHT, HTH, THH} c. G = {todas caras} Solucin: G = {HHH}. d. I = {cara en el primer lanzamiento} Solucin: I = {HHH, HHT, HTH, HTT} Algunas veces es conveniente representar un espacio muestral S y un evento E por medio de un diagrama de Venn, como en la figura 4. S

E

Figura 4. Diagrama de Venn para el espacio muestral S y el evento E.

La regin dentro del rectngulo representa los puntos muestrales en S. (Los puntos muestrales no estn indicados especficamente). Los puntos muestrales en E estn representados por los puntos dentro del crculo. Ya que E es un subconjunto de S, la regin circular no puede extenderse fuera del rectngulo. Con diagramas de Venn es fcil ver cmo los eventos de un experimento pueden ser utilizados para formar otros eventos. La figura 5 muestra el espacio muestral y el evento E. S

E

E

E es la parte sombreadaFigura 5. Diagrama de Venn para el complemento de E.

La regin sombreada dentro del rectngulo, pero fuera del crculo, representa el conjunto de todos los puntos en S que no estn en E. Este conjunto es un evento llamado el complemento de E y de denota por E. La figura 9.11(a) muestra dos eventos, E y F. La regin sombreada representa el conjunto de todos los puntos muestrales que estn en E o en F, o bien en ambos, E y F. Este conjunto es un evento llamado unin de E y F y se denota por E U F. La regin sombreada de la figura 6 (b) representa el evento que consiste en todos los puntos muestrales que son comunes a ambos, E y F. Este evento es llamado interseccin de E y F y es denotado por E F. En resumen, tenemos las definiciones siguientes: E F E F

E

F

E u F, unin de E y F (a)

E n F, interseccin de E y F (b) Figura 6. Representacin de E U F y E F.

Definicin Sea S un espacio muestral para un experimento con eventos E y F. El complemento de E, denotado por E, es el evento que consiste en todos los puntos muestrales en S que no estn en E. La unin de E y F, denotada por E U F, es el evento que consiste en todos los puntos muestrales que estn en E o en F o en ambos, La interseccin de E y F, denotada por E F, es el evento que consiste en todos los puntos muestrales que son comunes a ambos, E y F.

Observe que si un punto muestral est en el evento E U F, entonces el punto est en al menos uno de los conjuntos E y F. As, para que el evento E U F ocurra, al menos unos de los eventos E y F debe ocurrir, y recprocamente. Por otra parte, si ocurre el evento E F, entonces ambos E y F deben ocurrir, y viceversa. Si ocurre el evento E, entonces E no ocurre, y viceversa. Complemento, unin, interseccin Dado el espacio muestral usual S = {1, 2,3, 4, 5, 6} Para el tiro de un dado, sean E, F y G los eventos E = {1, 3, 5}, a. E. Solucin: El evento E consiste en aquellos puntos en S que no estn en E, de modo que E = ,2, 4, 6-. Notamos que E es el evento en que aparezca un nmero par. b. E U F. Solucin: Queremos que los puntos muestrales en E, o F, o en ambos. E U F = {1, 3, 4, 5, 6} c. E F. Solucin: Los puntos muestrales comunes a E y F son 3 y 5, as que E F = {3, 5} d. F G. Solucin: Ya que F y G no tienen puntos en comn, F G= e. E U E. Solucin: Utilizando el resultado de la parte (a), tenemos E U E = {1, 3, 5} U {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S. f. E E. Solucin: E E = ,1, 3, 5- {2, 4, 6} = F = {3, 4, 5, 6}, G = {1}.

Los resultados de los ejemplos 7 (E) y (F) pueden ser generalizados como sigue:Si E es cualquier evento con espacio muestral S, entonces: E U E = S y E E=0

Por lo tanto, la unin de un evento y su complemento es el espacio muestral; la interseccin de un evento y su complemento es el conjunto vaco. Cuando dos eventos no tienen puntos muestrales en comn, son llamados mutuamente excluyentes. Por ejemplo, en el tiro de un dado, los eventos E = {2, 4,6} y F = {1}

son mutuamente excluyentes (vase la figura 7); aqu, E n F = , lo cual, por supuesto, siempre es cierto para dos eventos mutuamente excluyentes

E 2 6 4 4 1

F

5

3

Figura 7. Eventos mutuamente excluyentes.

Definicin Se dice que E y F son eventos mutuamente excluyentes si y slo si, E F = . Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de uno significa que el otro no puede ocurrir; esto es, los dos eventos no pueden ocurrir de manera simultnea. Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes ya que E E = . EJEMPLO 2 Eventos mutuamente excluyentes Si E, F y G son eventos para un experimento y F y G son mutuamente excluyentes, demostrar que los eventos E F y E G tambin son mutuamente excluyentes. Solucin: Dado que F G = , debemos mostrar que la interseccin de E F y E G es el conjunto vaco. Utilizando las propiedades de la tabla 9.1, tenemos: (E n F) n (E n G) = (E n F n E) n G = (E n E n F) n G = (E n F) n G (propiedad 15) (propiedad 11) (propiedad 2)

= (E n (F n G) =En0 =0

(propiedad 15) (por hiptesis) (propiedad 9)

3. TALLER APLICATIVOHabilidad Destreza en el Conocimiento y Aprendizaje 1. Seleccin de cartas Una carta es extrada de un mazo de cuatro cartas que consiste en: 9 de diamantes, 9 de trboles, 9 de corazones y 9 de espadas. Solucin: {9D, 9H, 9T, 9P} 2. Tiro de un dado y lanzamiento de una moneda Se tira un dado y despus se lanza una moneda. Solucin: {1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} 3. Seleccin de letras Se seleccionan en sucesin dos letras diferentes de la palabra love Solucin: {lo, lv, le, ov, oe, ve, ol, vl, el, vo, eo, ev} 4. Seleccin de canicas Una urna contiene tres canicas de colores: una roja, una blanca y una azul. Determine un espacio muestral si (a) dos canicas son seleccionadas con reemplazo, y (b) dos canicas son seleccionadas sin reemplazo. a. {RR, RW, RB, WR, WW, WB, BR, BW, BB}; b. {EW, RB, WR, WB, BR, BW} 5. Lanzamiento de una moneda Una moneda es lanzada seis veces consecutivas observando el resultado en cada tiro. Solucin: El espacio muestral consiste en los conjuntos ordenados de seis elementos y cada elemento es H (cara) o T (cruz); 64 6. Carta y dado Se saca una carta de una baraja ordinaria de 52 cartas y despus se tira un dado. Solucin: El espacio muestral consiste en pares ordenados donde el primer elemento indica la cara sacada y el segundo el nmero en el dado; 312

7. Reparto de cartas Una mano de 13 cartas se reparte de una baraja de 52 cartas. No simplifique su respuesta. Solucin: El espacio muestral consiste en combinaciones de 52 cartas tomadas 13 a la vez; 52C13. En los problemas 8-11 determine los eventos indicados. 8. E U F. Solucin: {1, 3, 5, 7, 9} 9. E n F. Solucin: {3, 5} 10. F Solucin: {1, 2, 4, 6, 8, 10} 11. (F n G). Solucin: S 12. De los eventos siguientes, qu pares son mutuamente excluyentes? E1 = {1, 2, 3}, E3 = {1, 2} E2 = {3, 4, 5}, E4 = {5, 6, 7}.

Solucin: E1 y E4, E2 y E3, E3 y E4. 13. Seleccin de cartas De una baraja normal de 52 cartas, se selecciona una carta. Cules pares de los eventos siguientes son mutuamente excluyentes? E = {diamante}, F = {as}, G = {rojo}, H = {trbol}, I = {as de diamantes}. Solucin: E y H, G y H, H e I. 14. Lanzamiento de moneda Se lanza una moneda tres veces sucesivas y se observan los resultados. Determine lo siguiente: a. El espacio muestral usual S. b. El evento E1 de que aparezca al menos una cara.

c. El evento E2 de que aparezca al menos una cruz. d. E1 U E2. e. E1 n E2. f. (E1 U E2). g. (E1 n E2). Solucin: a. {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} b. {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH} c. HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} d. S e. {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH} f. g. {HHH, TTT} 15. Llegadas Las personas A, B y C entran a un edificio en diferentes momentos. El resultado de que A llegue primero, B segundo y C tercero puede ser indicado por ABC. Determine: a. El especio muestral de las posibles llegadas. b. El evento de que A llegue primero. c. El evento de que A no llegue primero. Solucin: d. {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} e. {ABC, ACB} f. {BAC, BCA, CAB, CBA}

4. ESPACIOS EQUIPROBABLESUn espacio muestral S es llamado espacio equiprobable si y slo si, todos los eventos simples es igualmente probable de que ocurran. MODELOS: 1. Lanzamiento de una moneda

Dos monedas legales son lanzadas. Determine la probabilidad de que a. Aparezcan al menos dos caras, b. Aparezca al menos una cara. Solucin: El espacio muestral usual es S = {HH, HT, TH, TT} Como los cuatro resultados son igualmente probables, S es equiprobable y n(S) =4. a. Si E = {HH}, entonces E es un evento simple, de modo que( ) ( ) ( )

b. Sea F = {al menos una cara}. Entonces F = {HH, HT, TH} Que tiene tres resultados. Por lo tanto P (E) De otro modo, P (F) = P (HH) + P (HT) +P (TH)( ) ( )

Por tanto, en 1000 ensayos de este experimento, esperaramos que F ocurriera aproximadamente 1000* , o 750 veces. 2. Cartas De una baraja normal de 52 cartas, se sacan 2 cartas al azar sin reemplazo. Si E es el evento de que una carta sea un 2 y la otra un 3, encuentre P (E). Solucin: Podemos hacer caso omiso del orden en el que se sacan las cartas. Como nuestro espacio muestral es S, seleccionamos al conjunto de todas las combinaciones de las 52 cartas tomadas de dos en dos. Por tanto S es equiprobable y n(S) = 52C2. Para encontrar n (E) notamos que como hay 4 palos, un 2 y un 3 pueden ser sacados de 4 maneras cada uno. Por tanto, un 2 y un 3 pueden ser sacados de 4 * 4 maneras, de modo que( ) ( ) ( )

3. Pker Encontrar la probabilidad de sacar cuatro cartas de una clase en una mano de pker (por ejemplo, cuatro 10 y un 4).

Solucin: El conjunto de todas las combinaciones de 52 cartas tomadas de 5 en 5 es un espacio equiprobable. (El orden en que las cartas son repartidas ni importa). Por tanto, n(S) = 52C5. Ahora debemos encontrar n, donde E es el evento de sacar cuatro cartas de una clase. Cada uno de los cuatro palos tiene 13 denominaciones, de modo que cuatro cartas de una denominacin pueden ser sacadas de 13 maneras. Hay 52 4 = 48 posibles selecciones para la quinta carta. As que cuatro de una clase pueden sacarse de 13 * 48 maneras.( ) ( ) ( )

PROPIEDADES DE LA PROBABLIDAD Ahora desarrollaremos algunas propiedades de la probabilidad. Sea S un espacio muestral equiprobable con N resultados; esto es, n(S) = N. (A lo largo de esta seccin suponemos un espacio muestral finito). Si E es un evento, entonces 0