1. Polígonos1.1 Definición
Es toda figura plana, cerrada, limitada por un número finito de lados rectos.
De acuerdo al número de lados, los más utilizados se clasifican en:
Triángulos 3 lados
Cuadriláteros 4 lados
Pentágonos 5 lados
Hexágonos 6 lados
Octágonos 8 lados…
1.2 Clasificación de Polígonos• Polígonos Regulares
Se denomina Polígono regular a aquel que tenga todos sus lados y ángulos interiores congruentes.
Ejemplos:
El triángulo Equilátero
El Cuadrado
• Polígonos IrregularesSon aquellos que NO son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares.
Ejemplos:
El rectángulo
El rombo
• Polígonos ConvexosSon aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180°.
Ejemplo:
• Polígonos CóncavosSon aquellos polígonos que poseen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180°.Ejemplo:
Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del polígono, no está enteramente incluido en dicha región.
Todo segmento que une a dos puntos de la región interior del polígono, está enteramente
incluido ella.
1.3 Generalidades en un Polígono Convexo de “n” lados
• Número de diagonales desde un vértice (d)
Por ejemplo, en un octágono:
Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices está dado por la fórmula:
d = n - 3
d = 5
• Número Total de diagonales (D)Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar está dado por la fórmula:
D = n (n – 3)
2
Por ejemplo, en un pentágono, el total de diagonales es:
D = 5 (5 – 3)
2
D = 5
• Suma de los ángulos interiores (Si)Si n es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos interiores está dado por la fórmula:
Si = 180° (n – 2)
Si = 180° ∙ (5 – 2)
Si = 180° ∙ (3)
Si = 540°
Por ejemplo, en un pentágono, la suma de sus ángulos interiores es:
• Suma de los ángulos exteriores (Se)La suma de los ángulos exteriores de un polígono es siempre 360°.
Se = 360°
2.1 Definición 2. Triángulos
Es un polígono de tres lados.
2.2 Elementos primariosCorresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.
En la figura, los vértices son A, B y C.
A B
C
• Vértices:
• Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.
A B
C
ab
cAB = c, BC = a, AC = b
Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.
a + b > c
b + c > a
a + c > b
Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.
a - b < c
b - c < a
a - c < b
• Ángulos interiores:
A B
C
α β
γα, β y γ
son los ángulos interiores del triángulo ABC.
Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.
Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º
α + β + γ = 180°
Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.
Ejemplo:
A B
C
ab
c
En el triángulo de la figura,
c > a > b
• Ángulos exteriores:
α´, β´ y γ´
son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.
Son los suplementos de los ángulos interiores.
Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.
α´ + β´ + γ´ = 360°
Teorema:Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.
α’ = β + γ β’ = α + γ
γ’ = α + β
Ejemplo:
2.3. Elementos Secundarios• Altura (h):Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.
Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas (hc , ha, hb).
A B
C
H
A B
C
hc
D
• Transversal de gravedad (t):
Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.
tc tc: transversal desde C
Centro de gravedad o baricentro(G):
Punto de intersección de las transversales.El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.
D: Punto medio del lado AB
D, E y F: Puntos medios.
AE = ta
BF = tb
CD = tc
G: Centro de gravedad
Ejemplo:
En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.
A B
C
S
• Simetral (S):Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB.
Circuncentro:
Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
D, F y G: Puntos medios.
E: Circuncentro
• Bisectriz (b):Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.
En la figura, el ACD = DCB = α
B
C
DA
bc
Incentro:
Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
Ejemplo:
E: Incentro
• Mediana:Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos.La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.
D, E y F: Puntos medios.
DF, DE y EF: Medianas
DE// BC y DE = BC 2
EF// AC y EF = AC 2
DF// AB y DF = AB 2
Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos congruentes entre sí. El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo original.
2.4. Generalidades en un triángulo cualquiera
• Área o Superficie (A):
Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo.
Área = Base ∙ Altura
2
A =
A B
C
ab
c
hc
ha hb
2
c∙ hca∙ha
2=
2
b∙hb =
Ejemplo:
Determinar el área del triángulo de la figura:
En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la altura que cae sobre su prolongación es CD = 3.
Luego su área es:
A =2
8∙3 = 12
• Perímetro o longitud (P):Corresponde a la suma de los lados del triángulo.
A B
C
ab
c
P = a + b + c
Ejemplo:
P = 15 + 18 + 22
P = 55
2.5. Clasificación de triángulos• Según sus ángulos:
-Acutángulo:
-Rectángulo:
-Obtusángulo:
Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos.
Es aquel que tiene un ángulo recto.
Es aquel que tiene un ángulo obtuso.
Ej.:
Ej.:
Ej.:
• Según sus lados:
-Escaleno:
Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos distintos.
Ejemplo:
-Isósceles:Es aquel que tiene sólo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base.
Ejemplo:
(Base)
Nota:
-Equilátero:
Es aquel que tiene todos sus lados congruentes.
(Base)
En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC. Sus ángulos interiores también son congruentes.
Se dice que el triángulo de la figura, es “isósceles de base AB”, o bien, “isósceles en C”.
