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HISTORIA DE LOS NÚMEROS NATURALES.
ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES.
VALOR POSICIONAL Y SUMA DE NÚMEROS NATURALES.
PROPIEDADES DE LA SUMA.
RESTA DE NÚMEROS NATURALES.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
HISTORIA DE LOS NÚMEROS
Un número es una expresión de cantidad con respecto a la unidad.
Antes de que existieran los números, el ser humano utilizaba otros
métodos para contar, utilizaban piedras, palitos de madera, nudos
en una cuerda, los dedos, por la necesidad un poco más tarde
empezaron aparecer lo símbolos gráficos para contar en las
diferentes culturas, es por eso que existen varios tipos de
numeraciones como la maya, la egipcia, la romana, la arábiga entre
otras, pero la que más utilizamos hoy en día es la numeración
arábiga, está hecha en base 10, y tienen la siguiente forma por la
cantidad de ángulos que tienen los símbolos.
[11]
ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto, se llaman de esa manera porque fueron los primeros números utilizados por las primeras civilizaciones. Estos números se pueden definir de dos maneras:
Definición con cero:
Definición sin cero:
Los números naturales es un conjunto ordenado esto quiere decir que tiene números menores y mayores.
Un número es menor que otro si está a la izquierda (ANTECESOR) de éste, y es mayor si se encuentra a la derecha (SUCESOR).
“5” es mayor que dos porque está a la derecha. ”2” es menor que “5” porque está a la izquierda.
Para denotar que un número es mayor que otro utilizamos los siguientes símbolos, donde la abertura apunta siempre al mayor.
VALOR POSICIONAL
El valor posicional es el valor que tiene el dígito según en la posición
en el número.
Centena de
millón
Decena de
millón
Unidad de
millón
Centena de mil
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
Para escribir un número lo hacemos de derecha a izquierda.
Ejemplo: representar según su valor posicional 3.567.432
Centena de
millón
Decena de
millón
Unidad de
millón
Centena de mil
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
3 5 6 7 4 3 2
SUMA DE NÚMEROS NATURALES
Consiste en combinar o añadir dos o más cantidades para obtener una
cantidad final, se representa con el signo "+" (más) sus componentes
son:
Sumandos
Resultado 2 + 4 = 6
Se suman según el valor posicional, unidades con unidades, decenas
con decenas y así sucesivamente con los dígitos de los diferentes
números, si se pasa de 9 lleva la cantidad del dígito izquierdo
obtenido a el siguiente valor posicional de izquierda a derecha.
EJEMPLO: 7654 + 8536
Se suman las unidades.
Centena de mil
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
7 6 5 4
+ 8 5 3 6
0
Se suman las decenas uno que se lleva.
Centena de mil
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
7 6 5 4
+ 8 5 3 6
9 0
6+4 = 10
Se coloca el 0
y se lleva 1
1
1
Y se suma así sucesivamente.
Centena de mil
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
7 6 5 4
+ 8 5 3 6
1 6 2 9 0
[12]
1 1 1
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS
NATURALES
Clausurativa: La suma de dos números naturales es otro número
natural.
Si 𝒂 ∈ 𝑵 y 𝒃 ∈ 𝑵, entonces (𝒂 + 𝒃) ∈ 𝑵
Ejemplo: 5 y 4 son números naturales y el resultado de 5 + 4 = 9,
donde 9 pertenece al conjunto de los números naturales.
Asociativa: Cuando se suman tres o más números Naturales, la suma
siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.
𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑁 → a + b = b + a
Ejemplo:
(𝟓 + 𝟒) + 𝟑 = 𝟗 𝟓 + (𝟒 + 𝟑) = 𝟗
(𝟗) + 𝟑 = 𝟏𝟐 𝟓 + (𝟕) = 𝟏𝟐
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado.
Sean a y b, ∈ 𝑁 → a + b = b + a
Ejemplo:
𝟓 + 𝟒 = 𝟗 𝟒 + 𝟓 = 𝟗
Modulativa o elemento neutro: Existe un número natural tal que al
sumarlo con otro no cambia el resultado.
𝒂 + 𝒃 = 𝒂
Este número en el conjunto de los números naturales es el “0” (cero)
Ejemplo:
𝟔 + 𝟎 = 𝟔
[13]
RESTA DE NÚMEROS NATURALES
Es una operación inversa a la suma consiste en hallar uno de los
sumandos. Los componentes de la resta son:
2 - 4 = 6 Sustraendo
Diferencia Minuendo
En los números naturales el minuendo siempre es mayor que el
sustraendo y la diferencia.
Para restar se organizan según su valor posicional, y se resta de abajo
hacia arriba. Si el dígito de arriba es menor debe pedir prestado a su
dígito ubicado a mano izquierda y así sucesivamente:
EJEMPLO: 5234 – 3536
Se restan las unidades de arriba hacia abajo, como la unidad de
arriba es menor que la de abajo, la decena de arriba le presta 1, es
decir la operación queda 14 – 6 y la decena queda en 2.
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
5 2 3 4
- 3 5 3 6
1 6 9 8
Se hace lo mismo sucesivamente.
14 2
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
5 2 3 4
- 3 5 3 6
1 6 9 8
[14]
2 1 4 14
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
La multiplicación es una operación que se origina de sumar un mismo
número una misma cantidad de veces.
En forma de multiplicación se escribe:
Los componentes de una multiplicación son:
Para multiplicar números con dos o más cifras hay que tener en
cuenta como se organizan y valor posicional.
Ejemplo: 328 x 536
Se organiza un número arriba y otro abajo, para que sea menos
compleja el de abajo puede ser el que menos cifras tenga.
2 x 4 = 6 2 x 4 = 6
2 + 2 + 2+ 2 + 2 = 10 5 veces
2 x 4 = 6
2 x 5 = 10
Factores
Producto
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
3 2 8
x 3 6
Se multiplican las unidades del número de abajo con los dígitos del
número de arriba de izquierda a derecha, teniendo en cuenta que las
decenas se las sumamos al siguiente producto y así sucesivamente.
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena unidad
3 2 8
x 3 6
1 9 3 8
Se hace lo mismo con las decenas pero empezamos a colocar el
resultado de los productos en las decenas y cuando se terminen los
dígitos del número de abajo se suma de forma vertical.
1 4
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE
NÚMEROS NATURALES
Las propiedades de la multiplicación son las mismas de la suma de
números naturales:
Clausurativa: Sea "a" y "b" números naturales, entonces:
a x b= c
Donde “c” también pertenece a los naturales.
Ejemplo: 5 y 3 son números naturales, entonces:
5 x 3 = 15
15 también es un número natural.
Conmutativa: El orden de los factores no cambia el producto:
a.b=b.a
Ejemplo:
5 x 4 = 20
4 x 5 = 20
Asociativa: se pueden asociar las multiplicaciones para facilitar el
proceso mental.
(a.b).c=a.(b.c)
Ejemplo:
(5 x 4) x 2 = 20 x 2 = 40
5 x (4 x 2) = 5 x 8 = 40
Distributiva: se obtiene la misma respuesta cuando multiplicas un
conjunto de números por otro número que cuando se hace cada
multiplicación por separado.
a(b+c)=a.b+a.c
Ejemplo:
5 x ( 3 + 4)= 5 x 7 =35
5 x 3 + 5 x 4=15 + 20= 35
Modulativa: todo número multiplicado por “1” da el mismo número.
a.1=a
Ejemplo:
500x1=500
[16]
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
La división es una operación inversa a la multiplicación y su objetivo
es encontrar uno de los factores.
Cuantas veces está el “5” en el “100”.
Qué número multiplicado por “5” da “100”.
Los componentes de la división exacta son:
Las divisiones pueden ser exactas e inexactas, las exactas es donde
el residuo es cero y las inexactas el residuo es diferente de cero. Los
componentes de la división inexacta son:
20 x 5 = 100
100 ÷ 5 = 20 Cociente Dividendo
Divisor
100 ÷ 5 = 20
Para dividir hay que tener en cuenta el siguiente procedimiento:
Ejemplo:
Se organiza de la siguiente manera los números.
Se escoge en el dividendo (de izquierda a derecha) un número que
contenga al divisor, en este caso es el 2457.
Cociente
Divisor Dividendo
Residuo
Ahora se organiza el número seleccionado en el punto anterior y el
divisor según su valor posicional.
Se multiplica el divisor por el número hallado en este caso el 3.
Se ubica debajo del dividendo provisional y se resta.
Se debe bajar el siguiente dígito del dividendo, luego se hace el
mismo procedimiento hasta llegar a un número menor que el divisor
(si es inexacta) o llegar a cero (si es exacta).
8 6 2 2
8 6 2 2 -
9 8 1 0
2 4 5 7
3
Un número multiplicado por 7 de cercano al 24. En este caso es el 3.
[17]
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
La potenciación es una operación que sale de multiplicar un mismo
número una cantidad de veces.
2x2x2x2x2x2 = 26
8 6 2 2 -
9 8 1 0
2 4 5 7
3 2 5
1 5 1 2
3 7 8 0
3 7 8 0 -
0
0
Sus componentes son:
a b= c
“a” es la base, “b” el exponente y “c” la potencia.
Para realizar una potencia, se multiplica el número la cantidad de
veces que indica el exponente.
2x2x2x2x2x2 = 26=64
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE
NÚMEROS NATURALES
Exponente cero: cuando el exponente es cero el resultado de la
potencia es “1”.
a0=1
Exponente uno: cuando el exponente es uno el resultado de la
potencia es la misma base.
a1=a
Multiplicación de bases iguales: se suman los exponentes y se deja
la misma base.
am .an =am+n
División de bases iguales: se restan los exponentes y se deja la misma
base.
𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes y se deja la
misma base
(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛
Potencia de una multiplicación: se eleva cada factor a la potencia.
(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛
Potencia de una división: se eleva el numerador y denominador a la
misma potencia.
(𝑎
𝑏)
𝑛
=𝑎𝑛
𝑏𝑛
[18]
RADICACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Los componentes de la radicación son:
La radicación es una operación inversa a la potenciación por eso la
podemos expresar así:
√𝑎𝑛
= 𝑏 𝑏𝑛 = 𝑎
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE
NÚMEROS NATURALES
Raíz de una potencia o potencia de una raíz: se coloca en forma de
exponente fraccionario donde la potencia es el numerador y el índice
el denominador.
√𝑎𝑏𝑛= ( √𝑎
𝑛)
𝑏= 𝑎
𝑏𝑛⁄
Raíz de una multiplicación: Se le asigna la raíz a cada uno de los
factores.
√𝑎𝑛
= 𝑏
Radicando
v
Raíz Índice
Como raíz
Como potencia
√𝑎. 𝑏𝑛
= √𝑎 𝑛
. √𝑏𝑛
Raíz de una división: Se le asigna la raíz al dividendo y al divisor
(numerador y denominador)
√𝑎
𝑏
𝑛=
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛
Raíz de una raíz: se multiplican los índices de las raíces.
√ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎 𝑛.𝑚
Raíz de cero y uno:
√1𝑛
= 1 √0𝑛
= 0
RAÍZ EXACTA
Las propiedades nos sirven para encontrar la raíz exacta de un
número.
Ejemplo: hallar la raíz cuadrada exacta de “625”.
Se descompone el número en factores primos.
625 5 125 5 25 5
5 5 1
Se organiza en múltiplos de la raíz.
√625 = √54
Se aplican las propiedades de la radicación.
√54 = 52 = 25
La raíz cuadrada de “625” es “25”, es decir “25” multiplicado por sí
mismo 2 veces es “625”.
[19]
BIBLIOGRAFÍA
[1] Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible
en: www.wikipedia.com
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España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com
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[5] Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López.
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Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 6. Ed Educar. 2012.
[7] William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix
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VIDEOS
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2008Disponible en:
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[13]
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[14]
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[15]
Aprendopolis. Multiplicación de números naturales. 2013.
Disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=4qdOjfmJVR8
[16] Tareasplus.Propiedades de la multiplicación de números
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[17] El numérico. División de números naturales.2012.
Disponible en:
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[18] El numérico. Propiedades de la potenciación de números
naturales. 2012. Disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=Z4SvSY91o_A
[19] Gustavo Ohm. Raíz exacta.2013. Disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=OiBnnJJjIqM