Download - 1 Introducción a las - Inicio | Dirección General de …dgep.uas.edu.mx/archivos/libros_2018_U1/matematicas_IV_U...11 x og 2 x En esta unidad, estudiarás el concepto de función

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Introducción a las funciones y sus gráficas

Propósito de unidadAplica los conocimientos básicos sobre funciones para representar situaciones de la vida diaria y de la ciencia, desarrollando su capacidad para construir e interpretar modelos matemáticos y para avanzar en la visualización de las representaciones funcionales.

Indicadores de desempeño

• Aplicalatécnicadeladiscusióndecurvas,paratrazarlagráficadeecuacionessencillas.• Evalúafuncionesapartirdesusdistintasrepresentaciones.• Distinguesiunarelaciónentremagnitudesesonounafunción.• Determinaeldominiodefuncionesapartirdesurepresentaciónalgebraica.• Determinaeldominioyrangodefuncionesapartirdesugráfica• Determinavaloresdefuncionesapartirderepresentacionesalgebraicas,gráficasytabulares.• Cambiadeunarepresentaciónfuncionalaotra.• Caracterizalarazóndecambiodefuncioneslineales,cuadráticasyexponenciales,ylasaplicaparadeterminarsusexpre-

sionesalgebraicasapartirdeunatabladevalores.• Determinalaexpresiónalgebraicadeunafunciónlineal,apartirdeunatabladevalores.• Determinalaexpresiónalgebraicadeunafuncióncuadrática,apartirdeunatabladevalores.• Determinalaexpresiónalgebraicadeunafunciónexponencial,apartirdeunatabladevalores.• Utilizalaspropiedadesdeloslogaritmosparadespejarvariablesquesonexponentes.• Utilizalanociónderazóndecambioparainterpretarelcomportamientodevariablesapartirdeunagráficafuncional.• Realizaoperacionesbásicasconfunciones.

y

y=log2x

y=2x

unidad1

Competencias disciplinares a evaluar2. Formula y resuelve problemasmatemáticos, aplicando

diferentesenfoques.4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con

métodosnuméricos,gráficos,analíticosovariacionales,medianteel lenguajeverbal,matemáticoyelusodelastecnologíasdelainformaciónylacomunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos omás variables de unproceso social o natural para determinar o estimar sucomportamiento.

6. Cuantifica,representaycontrastaexperimentalomate-máticamentelasmagnitudesdelespacioylaspropieda-desfísicasdelosobjetosquelorodean.

8. Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

Atributos de competencias genéricas a evaluar

5.3 Identificalasregularidadesquesubyacenalosprocesosnaturalesysociales, indagandoademáslosestadosdeincertidumbrequegenerandichosprocesos.

5.6. Utiliza las tecnologíasde la informaciónycomunica-ciónparaprocesareinterpretarinformación.

8.3. Asumeunaactitudconstructivaal intervenirenequi-pos de trabajo, congruente con los conocimientos yhabilidadesqueposee.

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x

y=log2x

Enestaunidad,estudiaráselconceptodefunción.Unasituaciónproblemáticaqueilustralaimportan-ciadeestudiarestaunidadeslasiguiente:Enlosnoticierosaparecenadiarioenelsegmentoclima,lastemperaturastantoengradosFahrenheitcomoengradosCelsius(centígrados).Conestainformaciónpodríaconstruirselasiguientetabla:

Centigrados –50 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40Fahrenheit –58 –40 –22 –4 14 32 50 68 86 104

¿Qué relación existe entre los grados Fahrenheit y los Celsius?

Actividad preliminar ¿Porquéesimportanteestudiarestaunidad?

Actividad 1

Segúnlainformacióndelatabla,estamosenpresenciadeunafunciónquepresentaunaumentoaditi-voconstanteenlosvaloresdesalida.Sicalculamoslasrazonesdecambio,obtenemos:

Si seguimoscalculandomás razonesde cambio,obtenderemos siempreelmismo resultado.Por lotanto,estamosenpresenciadeunafunciónlineal,cuyaecuaciónes:

y = f(x) = mx + b.

Enestaecuación,meselvalordelarazóndecambio,esdecir,m=.

Asimismo, brepresentaelvalordelafuncióncuandolavariableindependienteescero,esdecir, b =32.

Porlotanto,laecuaciónquerelacionaalosgradosCelsiusylosFahrenheites:

y = f(x) = x + 32.

Resuelve:utilizandoestafórmula,verificaqueparax=50,elvalordeyes122.

• Aspecto a evaluar: subproducto• Evidencia: Autoevaluación

95

95

−40−(−58) 9−40−(−50) 5

=−22−(−40) 9−30−(−40) 5

=−4−(−22) 9−20−(−30) 5

=

Enlaprimeraunidaddeestecurso,recordarásyconsolidarástusconocimientosacercadelasfunciones.Esteconocimientopromoverá(entreotras)lacompetenciaquetienequeverconlainterpretacióndetablasygráficas.Enlasituacióndescritaarriba,seilustralarepresentacióntabulardeunafunción.Encursosanterioresyahasestudiadoestetipoderepresentaciones.Reflexionaloplanteadoacontinuaciónyunavezestudiadalaunidad,vuelvearevisarlo.

introducción a las funciones y sus gráficas • unidad i12

Desde laescuelaprimariaestás familiarizadocon lossistemasdecoordenadasrectangulares;esmuyprobablequehayasusadoesterecursoparadecirleaunapersonaquevayadeunpuntoaotro.Paratalfin,sesueledeciralapersonaquerecorraciertadistanciaenunadirecciónyluegootradistanciaenotradirección.

Por ejemplo, para dar orientaciones demaneraquesepuedairdelpuntoAalpuntoBdelacuadrí-culadeladerecha,podríadecirse:caminadoscua-drasaladerechaytreshaciaarriba.

Deestamanera,seestáusandounsistema(paraidentificarelpuntodeencuentro),queesequivalen-tealsistemadecoordenadasrectangulares.Enestecaso, el puntode encuentro tendríapor coordena-das: dos cuadras a la derecha y tres cuadras haciaarriba.

Recuerdaque,enmatemáticasseempleandosrectasperpendicularesnumeradasparaelaborarunmétododelocalizacióndepuntos.LarectahorizontalsellamaejeXoejedelasabscisas;larectaverticalsellamaejeYoejedelasordenadas.Elpuntodeinterseccióndelasdosrectassellamaorigen.Unpardenúmerosllamadoscoordenadasindicanlaubicacióndecadapunto.

ElpuntoAlocalizadoenlafiguradeladerecha,está«2unidadesaladerecha»y«1arriba»delorigen.SedicequeAtienecoordenadas(2,1).Elprimernúmeroeslacoordenadax,yelsegundolacoordenada y.Enge-neralunpuntoserepresentaconlascoordenadas(x,y).SeemplearálanotaciónP(x,y)pararepresentaralpun-to Pconlascoordenadas(x,y).Laprimeracoordenada«x»tambiénrecibeelnombredeabscisaylasegundacoordenada«y»sedenominaordenada.

Talcomohasidoconstruido,elplanocartesianosedivideencuatrocuadrantesnumeradosensentidoanti-horario.Lossignosdecadacoordenadaparacualquierpuntodependerádelcuadranteendondeseencuentre.

1.1 Sistema de coordenadas rectangulares

Plaza

Puntodeencuentro

A

B

Calle5

Calle4

Calle3

Calle2

Calle1

Avenida3 Avenida4 Avenida5 Avenida6

0

5

1 2 3 4 5

4321

−1−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4−5

Y

X0

A

CoordenadasdelpuntoA:2aladerechay1arriba:A(2,1)

SignoCuadrante x(abscisa) y(ordenada)

I + +II – +III – –IV + –

Y

XO

CuadranteICuadranteII

CuadranteIII CuadranteIV

matemáticas iv • funciones y geometría analítica 13

1. Representaenunsistemadecoordenadasrectangulareslospuntoscuyascoordenadassedanacon-tinuación:

A(3,5)B(4,3)C(−3,1)D(−4,−4)E(3,−2)F(0,−3)

G(−3,6)H(4,−3)I(4,0)J(4,0)K(−4,−2)L(3,−3)

M(1/2,4/3).

2. LosvérticesAyCdeunrectánguloABCDtienenporcoordenadasA(−2,1)yC(3,−2),sisecono-cequesusladossonparalelosalosejescoordenados:a)Represéntalográficamente;b)DeterminalascoordenadasdeByD;c)Calculasuárea.

3. Enunplanocoordenado,trazalasrectasquepasanporlospuntosAyBsi:a)A(–5,4)yB(2,–3)b)A(0,0)yB(2,–2)c)A(0,3)yB(3,0).

4. Representa gráficamente 5 puntos del conjunto depuntosquetienenporcoordenadasP(x,3x+2).

5. Determinalascoordenadasdelospuntosqueseindi-canenelplanocoordenadodeladerecha.

6. DescribeelconjuntodetodoslospuntosP(x,y)deunplanoquesatisfagalacondicióndada:

a)x=−2b)y=3c)x≥0 d)y<0e)x=0f)xy >0 g)xy=0h)y=−2i)x=−3

1.1 EJERCICIOS

• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8

0

4

1

32

−1

−4

−4

−3

−3

5

−2

−2

Y

−1 1 2 3 4 X50

−5

−5

F

D

C

G

I

A E

BH

Enlasecciónanteriorlocalizastepuntosconcoordenadasyaconocidasdeantemano;enestasección,recordaráscómogenerarestosvaloresparatrazargráficas,apartirdeunaecuacióndada.Lasgráficasseusanconfrecuenciaparailustrarcambiosencantidades.Porejemplo,unagráficaenunperiódicopuedemostrarlaformaenquevaríalatemperaturaduranteundía;uningenieropodríausarunagráficaparailustrarelaumentodelaresistenciadeuncilindrodeconcretoentodounmes.

Doscantidadesserelacionanavecespormediodeunaecuaciónofórmulaquecontienedosvaria-bles.Porlasrazonesanteriores,lahabilidadparatrazargráficasapartirdesufórmulaorepresentaciónalgebraica,esfundamentalenmatemáticasyesunadelasprincipalescapacidadesquedeberásdesarro-llarenestecurso.Paratalfin,esmuyútilelusodeherramientastecnológicas.Sinembargo,previoalusodeéstas,debessercapazdehacertalesgráficasutilizandoherramientasbásicascomolápizypapel,ycalculadorascientíficasnoprogramables.Laclaveparaempezaragraficarecuaciones,esentenderlarelaciónentresolucionesdeunaecuacióncondosvariablesylosparesordenados.

1.2 Graficación de ecuaciones sencillas


Soluciones de ecuaciones.Siunaecuacióntienedosvariables,sussolucionessonparesordena-dosdenúmeros.Unasoluciónesunparordenadoconlapropiedaddequealsustituirlasvariablesporlosnúmerosseproduceunaproposiciónverdadera.

y=2x−3

−52(−1)−3−5−2−3−5−5cierto.

y=2x−3

82(6)−3812−389Falso.

x=−1y=−5

x=6y=8

Sustituyendo−1envezdexy−5envezdey,obtenemosunaproposiciónverdadera.Porlotanto,(−1,−5)esunasolucióndelaecuacióndada.

Sustituyendo6envezdexy8envezdey,obtenemosunaproposiciónfalsa.Porlotanto,(6,8)noesunasolucióndelaecuacióndada.

EjemploDeterminasilosparesordenados(−1,−5)y(6,8)sonsolucionesdelaecuacióny=2x−3.

(−1,−5)

(6,8)

Actividad 2

1. Intenta lo siguiente.Determinasilosparesordenadosqueseindicansonsolucionesdelasecua-cionescorrespondientes.

a.(1,7),(2,9);y=2x+5b.(−1,4),(0,6);y=−2x+5c.(−2,5),(3,9);y=x2

2. Sielparordenado(2,a)essolucióndey2=5x−1,determinaelvalordea.

• Aspectoaevaluar:Participación en clase• Evidencia:Trabajo colaborativo• Competenciaoatributoaevaluar: 8.3

Solución

Atravésdeestecursoaprenderásvariastécnicasdegraficación.Laprimera(yaestudiadaenotrosaños)consistesimplementeendeterminaralgunassolucionesdelaecuaciónylocalizarenunplanocoorde-nadolospuntoscorrespondientes.Esteprocesodegraficación,lodenominaremostécnicadetabula-ciónyloilustraremosconunejemplo.

Gráficadeecuaciones:técnicadetabulación


EjemploRepresentagráficamentelaecuacióny=2x−1

Solución • Primeroencontramosalgunosparesordenadosqueseansolución.Podemosescogercualquiernúmeroparaelquetengasentidoreemplazarxydespuésdeterminary.Paraecuacionessencillasconvieneelegirvaloresdexalrededordelcero(positivosynegati-vos),comoporejemplo−3,−2,−1,0,1,2,3,ylospresentamosenunatabla:

Seax=−3.Entonces,y=2(−3)–1=−7.Así(−3,−7)esunasolución.Seax=−2.Entonces,y=2(−2)–1=−5.Así(−2,−5)esunasolución.Seax=−1.Entonces,y=2(−1)–1=−3.Así(−1,−3)esunasolución.Seax=0.Entonces,y=2(0)–1=−1.Así(0,−1)esunasolución.Seax=1.Entonces,y =2(1)–1=1.Así(1,1)esunasolución.Seax=2.Entonces,y=2(2)–1=3.Así(2,3)esunasolución.Seax=3.Entonces,y=2(3)–1=5.Así(3,5)esunasolución.

• Acontinuaciónlocalizamoslospares(x, y)enunplanocoordenado

x y−3−2−10123

−7−5−3−1135

X

Y

012345−5−4−3−2−1

5

−1−2−3−4−5

4321

012345−5−4−3−2−1 X

Y5

−1−2−3−4−5

4321

• Finalmenteunimoslospuntosrepre-sentados,tratandodedescifrarelpatrónseguidoporesospocospuntos.Enesteejemplo,lospuntosparecenestarenunarecta.

Resumen 1.Paragraficarecuacionesenunnivelinicial,aplicamoselsiguienteprocedimiento:TabulamosalgunascoordenasP(x,y),laslocalizamosenunplanocoordenadoytrazamoslagráfi-cauniendolospuntossiguiendounposiblepatróndelineadopordichospuntos.

Enlasiguienteactividad,podrásaplicaresteprocedimiento.


Estasecciónlainiciaremosconlasiguienteactividad:

Gráficadeecuaciones:discusióndecurvas

Interceptos

Actividad 4Intenta lo siguiente.Representagráficamentecadaunadelassiguientesecuaciones:

a. y=3−x2b.x=y2−5(Sugerencia:seleccionaalgunosvaloresdey.)


Actividad 3Utilizacadaunadelassiguientesecuacionesparaconstruirunatabladevalores;enseguida,con-vierteestatablaenunconjuntodeparesordenados(x,y),yfinalmente,trazalasgráficascorrespon-dientes.


a)y=3xb)y=2x–4c)y=1/xd)y=2x2 e)y=2f)y=0

g)y=x2h)y=x3i)y=√xj),y=√(x−2)k)y=2^x,

l),y =√(x+2)m)y =√x+2n)y=−3x+1o)y=(1/2)x+2

Lagraficaciónmediantelatabulacióndealgunospuntos,suelesermuylimitado,paraecuacionesconciertogradodecomplejidad.Paraavanzarenestesentido,resultamuyútilrealizarlealgunosanálisisalaecuación,loscualesnosfacilitaránlabúsquedadepatronesseguidosporlagráfica.Losprocesosimplicadossedenominadiscutirlaecuación.Dichoanálisis,seexplicaacontinuación:

Interceptos con el eje X.Sonlospuntosdeinter-seccióndelagráficaconelejeX.

Interceptos con el eje Y.Sonlospuntosdeinter-seccióndelagráficaconelejeY.

X

Y

a b c

d

X

Y

a b c

d

Cómohallar:Hacery=0ydespejarx.Aquía,bycsonintercep-tosconelejeX.

Cómohallar:Hacerx=0ydespejary.AquídesuninterceptoconelejeY.


EjemploEncuentralosinterceptosconlosejesXyYdelagráficadey=x2−4.Tabulaalgunospuntosadicionalesytrazalagráfica.

Solución

Así,lasinterseccionesconelejeXson+2y−2.Lospuntosenlosquelagrá-ficacruzaelejeXson(2,0)y(−2,0).

1)InterceptosconelejeX:Hacemosy=0ydespejamosx:

2)InterceptosconelejeY:Hacemosx=0 y=x2–4.

y=02–4y=–4

Así,laintersecciónconelejeYes–4yelpuntoenelquelagráficacruzaelejeYes(0, –4).

3) Tabulamos algunos puntos adicionales,cercanosalosinterceptosconx.

Tabular puntos alre-dedorde–2y+2.

–2+2

Interceptosconx.

x y–3–2–10123

50–3–4–305

x=±√4=±2

y=x2–4.0=x2–4x2=4

4)Setrazalagráficauniendolospuntosen-contrados:

X

Y

012345−5−4−3−2−1

5

−1−2−3−4

4321

Resumen 2.Paragraficarecuacionesenunsegundonivel,aplicamoselsiguienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Tabulación y gráfica.Tabularalgunospuntos.Serecomiendaelegirvaloresdex,alrededorde

losinteceptos.3. Trazarlagráfica.

Actividad 51) EncuentralosinterceptosconlosejesXyYdelagráficay =2x−1,trazadaenlapágina15.

2) Aplicandoloestudiadohastaestemomentoacercadegraficación,graficalassiguientesecuacio-nes:a.x2+y2=9. b.x2−y2=9. c.x = y2−5



Lasfigurasquesemuestransonejemplosdesimetríaaxial.

Laideasepuededescribirdelasiguientemanera:encadafigu-raesposibletrazarunarectadetalmaneraquesisedoblaalolargodeella,lagráficaqueseencuentraenlamitadizquierdadelplanocoincideconladelamitadderecha.

Sedicequelasformastienensimetríareflexivayquelarectasobrelaquesehaceeldobladoeselejedesimetría.

Simetríarespectoauneje

Estasideasseilustranenelsiguientedibujoydefinición:

Enlenguajematemático,estaideasedescribedelasiguientemanera:

Definición Interpretación gráfica Prueba de simetría EjemploUna gráfica es simé-trica con respectoal ejeY, si para cadapunto(x,y)delagrá-fica existe el punto(−x,y)

Para cada punto (x, y)de la gráfica existe elpunto(−x,y)

(1) La sustituciónde−xporx llevaalamismaecuación.Ejemplo:Seay=x2−3;sicam-biamosxpor−x:y=(−x)2–3y=x2−3(Haysime-tríaconY)

Una gráfica es simé-trica con respectoal ejeY, si para cadapunto(x,y)delagrá-fica existe el punto(x,−y)

Para cada punto (x, y)de la gráfica existe elpunto(x,−y)

(2) La sustitución de−yporyllevaalamis-maecuación.Ejemplo:Seax=y2−3;sicam-biamosypor−y:x=(−y)2−3x=y2−3(Haysime-tríaconX)

X

Y (x, y)

(x,-y)

Y

X

(-x, y) (x, y)

Y

X

Y

X

EjemploDeterminarsiy=x2+1essimétricaconrespectoalosejescoordenados.Solución ParaversilarelaciónessimétricaconrespectoalejeY,sustituimosxpor−xparaobtenery=(−x)2+1.Estoesequivalenteay=x2+1.Porlotanto,lagráficaessimétricaconrespectoalejeY.Paraversilarelaciónessimétricaconrespectoaleje X,sustituimosypor−yparaobtener−y=x2+1,oy =−x2−1.Estonoesequivalenteay=x2+1.Porlotanto,lagráficanoessimétricaconrespectoalejeX.

l

Definición.UnafiguratienesimetríareflexivasihayunarectaltalqueparatodopuntoPdelafiguraexisteunpuntoP´enlafiguraqueeslaimagendereflexiónsobrel.

PP´


Enlasiguientetabla,secaracterizalasimetríaconrespectoalorigen.

Definición Interpretación gráfica Prueba de simetría EjemploUna gráfica es simé-trica con respecto alorigen, si para cadapunto(x,y)delagrá-fica, existe el punto(−x,−y).

Para cada punto (x, y)de la gráfica, existe elpunto(−x,−y)

(3) La sustitución si-multánea de −x por xyde−yporyllevaalamismaecuación.Ejemplo:Sea4y=x3;sicambia-mos simultáneamenteypor−y,yxpor−x:4(−y)=(−x)3−4y=−x3

4y=x3.(Haysimetría)

Simetríarespectoaorigen

X

(x, y)

Y

(-x,-y)

Y

X

¿Dequémaneranosayudaelanálisisdelassimetrías?Silagráficaessimétricaconrespectoauneje,essuficientedeterminarlagráficaenlamitaddelplanodecoordenadas,puestoquepodemostrazarelrestodelagráficaaltomarunaimagenespejooreflexión,porelejeapropiado.Asimismo,losresultadosacercadelassimetrías,nospuedenservircomorevisióndelagráficatrazada.

Resumen 3. Paragraficarecuacionesenuntercernivel,aplicamoselsiguienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Tabulación y gráfica.LocalizarprimerolosInterceptos.Tabularalgunospuntos.Serecomien-

daelegirvaloresdex,alrededordelasinterseccionesconx.Trazarlagráfica.3. Simetrías.Revisamossilagráficaquetrazamoscumpleconelanálisisdesimetrías.

Actividad 6a) Enlaactividad5setepidiógraficarlasecuaciones:x2+y2=9;x2−y2=9;x=y2−5.Analizalas

simetríasdecadaecuaciónycompruebaquetusgráficascumplenconlosresultadosdedichoanálisis.

b) Trazalagráficadey=x2+8.

Estoesloqueharásenlasiguienteactividad.

Notacióndeintervalos

1. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesqueaymenoresoigualesqueb. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

a≤x≤b[][a,b]a b

Antesdecontinuarconnuestroestudio,recordaremosalgunosaspectosbásicosdelosintervalos.Sitenemoslosnúmerosrealesaybdondea<b,sepuedenpresentarlassiguientesnotacionesytermi-nologíadeintervalos:


3. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresqueaymenoresoigualesqueb. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

ATENCIÓN.Estesímbolo(a,b)apareceexactamenteigualquelanotaciónparalascoordenadas(a,b),peronotienennadaquever.Tendránustedesqueaveriguar,encadacaso,elsentidoenelqueseusaelsímbolo.Porelcontextoseráusualmentemuyfácil.

a<x≤b(](a,b]a b

4. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesqueaymenoresqueb.

5. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesquea.

Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

a≤x<b[) [a, b)a b

x ≥ a[[a,+∞) a

6. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresquea. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

x > a ( (a, +∞) a

7. Elconjuntodelosnúmerosrealesmenoresquea. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

x < a)(−∞,a) a

8. Elconjuntodelosnúmerosrealesmenoresoigualesquea. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

x≤ a)(−∞,a] a

Debestenerpresentequeelsignoinfinito∞norepresentaningúnnúmero,essimplementeuncon-venioqueseusaensituacionesparecidasaéstas.

2. Elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresqueaymenoresqueb. Estadeclaraciónsepuederepresentardetresmanerasdiferentes:

a<x<b()(a,b)a b

Extensióndelacurvaenx

Elpasoinicialdelmétododetabulaciónaplicadoaecuacionessencillas,consisteenelegiralgunosva-loresdex,depreferenciaaquellosubicadosenlacercaníadel0asuizquierdayderecha.Sinembargo,paraciertasecuacioneshayrestriccionesalmomentodeelegirtalesnúmeros.Enestaideaentendemosporextensión de la curvaenx(osimplementeextensióndex),comoelconjuntodetodoslosnúmerosrealesque,sí,puedetomarx,paraqueyseaunnúmeroreal.

Desdeelpuntodevistamatemático,haydosrazonesprincipalesporlosquelaextensióndelacurvaenxestárestringida:


• Noexistelaraízcuadradadeunnúmeronegativo,yaqueelresultadonoesunnúmeroreal.• Nosepuededividirpor0.¿Enquétipodeecuacionespodríanaparecerestosproblemas?Estoapareceráenecuacionesconraíz

cuadradayenecuacionesracionales

Caso 1. Ecuaciones con raíz cuadrada (una vez despejada la y)

Lasraícescuadradasdenúmerosnegativospuedenocurrirsiemprequelaecuacióntengaunaxbajounradicalconunaraízpar.Acontinuaciónrevisaremoslasraícescuadradas.

Ecuación Observaciones

y=√x Six<0,estaríamostomandolaraízcuadradadeunnúmeronegativo,porloquelaexten-sióndexestodax≥0.

Cuandoloconsideresnecesario,puedesaplicarelsiguienteprocedimiento:Paraencontrarrestriccionesenfuncionesraízcuadrada,elpasobásicoconsisteenestablecerlacan-

tidadbajoelradicalcomomayoroiguala0,yresolverladesigualdadresultante.


SoluciónPuestoquelacantidadradicandodebeserpositivaocero,planteamosladesigualdad:x − 4≥0

Resolviendoestadesigualdadpordespeje:x−4≥0 x ≥4Porlotanto,laextensióndelacurvaenxestodax≥4;obien:[4,+∞).Estosignifica,quealmomentodetabularalgunosvaloresparax,podríanser:4,5,6,7etc.Aplicarásesto,enlasiguineteactividad.

EjemploDeterminalaextensióndex,siy = ±√x − 4

Actividad 7a) Trazalagráficadey = ±√x − 4.Consideraquelaextensiónde xes:[4,+∞)ycompletaelanálisis

paratutrazo.

b) Trazalagráficadey = ±√x + 9.Aspectoclaveaquí,esquedetermineslaextensióndex.

SoluciónPrimerodespejamosay:y2−x2+4=0y2=x2−4=0y = ±√x2 − 4

Apareceunaecuaciónconradicales.Planteamosladesigualdad:x2−4>0.Nota:Elsignoigualsetomaencuentaalmomentodeescribirlosintervalos.

Resolveremosestadesigualdadutilizandointervalos de prueba;estatécnicaseapoyaenlosvaloresdex,quehacenalradicando0.Estosvaloressedenominanvalores críticos.Elprocedimientoseilustraacontinuación:

EjemploDeterminalaextensióndelacurvaenx:y2−x2+4=0


Actividad 8a. Trazalagráficadey2−x2+4=0.Consideraquelaextensióndexes:(−∞,−2]U[2,+∞),yaplica

todoloquehasestudiadohastaesteapartado.b. Trazalagráficade2x2+y2=9.Aplicatodoloquehasestudiadohastaesteapartado.c. Trazalagráficade2x2−y2=9.Aplicatodoloquehasestudiadohastaesteapartado.


Primer paso.Factorizandox2−4>0(x+2)(x−2)>0

Segundo paso.Determinacióndevalores críticos

Tercer paso. Colocar los valorescríticos en una recta numérica,tomaunvalordepruebaencadaintervaloy verifica los signosdecadafactorydecadaproducto:

Cuarto paso.Escribir la extensión de x: La extensión de x queda restringido a los intervalos: (−∞,−2]U[2,+∞)

−22

(−3+2)(−3−2)(−1)(−5)

(−)(−)=+

Aquí(x+2)(x−2)esmayorque0

(0+2)(0−2)(2)(−2)

(+)(−)=−

Aquí(x+2)(x−2)esmenorque0

(3+2)(3−2)(5)(1)(+)(+)=+

Aquí(x+2)(x−2)esmayorque0

(x+2)(x−2)(x+2)(x−2)(x+2)(x−2)

2−2Tomar−3 Tomar0 Tomar3

¿Quévaloresdexconviertena(x+2)(x−2)en0?Sixes−2,elfactor(x+2)es0;→(−2+2)(−2−2)→(0)(−4)=0.Entoncesx=−2esunvalorcrítico.Sixes2,elfactor(x−2)es0;entoncesx=2esotrovalorcrítico.

Resumen 4.Paragraficarecuacionesenuncuartonivel(ecuacionesconraízcuadrada),aplicamoselsiguienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Extensión de la curva en x.Determinamoslaextensióndelacurvaenx,comoseindica: -Silaecuación(con ydespejada),presentaraízcuadradaconxenelradicando,debenexcluirse

delaextensiónlosnúmerosqueconviertenalradicandoenunnúmeronegativo.3. Tabulación y gráfica.Localizarprimero los Interceptos.Tabulamosalgunospuntos.Sereco-

miendaelegirvaloresdex,alrededordelasinterseccionesconx.Trazarlagráfica.4. Simetrías.Realizamosunanálisisdesimetríasyrevisamossi lagráficaquetrazamoscumple

condichoanálisis.

1. Revisasitusrespuestasdelaactividadanterior,cumplenconesteplandeanálisisyhazlosajus-tespertinentes.

Actividad 9


Caso 2. Ecuaciones racionales (una vez despejada la y)

Ladivisiónpor0podríaocurrircuandolaecuaciónescritaconydespejada,tengaaxeneldenomina-dor.Estudialossiguientesejemplos:

Ecuación Observaciones

Six=0,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠ 0.

Six=5,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠5.

Six=2,yx=−2,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠2,x≠−2

Cuandoloconsideresnecesario,puedesaplicarelsiguienteprocedimiento:Primero.Igualaeldenominadorcon0.Segundo.Resuelvelaecuaciónresultante.

y= 1x

y= 1x −5

y= x +2x2−4

y= x +6x2−9

Ejemplo

Siencuentralaextensióndex:

x2−9=0x2=9

Laextensióndexestodax≠3,x≠−3

Solución

x=±√9=±3

a. Trazalagráficadelaecuación:

Actividad 11

• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3

y= 3x −1

y= xx2+2x −3

y= −x −33

13x

Actividad 10a. Si,¿cuáleslaextensióndex?

b. Siy=3x+9,¿cuáleslaextensióndex?

c. Si,¿cuáleslaextensióndex?


Antesdeformalizarelconceptodeasíntota,realizalasiguienteactividad

Asíntotas

Alrealizarlaactividadprevia,esprobablequehayasconcluidoqueparagraficarecuacionesraciona-les,resultainsuficienteloestudiadohastaahora.Elconceptoquenoshacefaltaeseldeasíntota.Explo-raremoselconceptodeasíntotautilizandolaecuacióndelaactividadprevia.


y= 3x−1

y= 3x−1

y= 3x−1

y= =−33−1

0= 3x−1

y= 30−1

EjemploTrazalagráficadelaecuación:

Solución 1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.

InterceptosconelejeX:Hacemosy=0ydespejamosx→

InterceptosconelejeY:Hacemosx=0→

0(x−1)=30=3Esteresultadofalso,sedebeinterpretarcomoquenohayintersecciónconX.

Porlotanto,lagráficacruzaalejeYenlacoor-denada−3.Elpuntodeintersecciónes:(0,−3).

2. Extensión de x.Determinamoslaextensiónde x,comoseindica:

Puestoquelaexpresión(conydespejada),presentaalaxenundenominador,debemosexcluirdelaextensiónatodonúmeroqueconviertaaaquel,en0.Six=1,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠1.

3. Tabulación.TabulamosalgunascoordenadasP(x,y),laslocalizamosenplanocoordenadoytraza-moslagráfica.Puestoqueestamosexplorandounconcepto,observaqueenestecaso,hubonecesi-daddemáspuntosdeloshabituales.

Y

X

x 3/(x–1) y–6–5–4–3–2–10123456

3/(–6–1)=3/–73/(–5–1)=3/–63/(–4–1)=3/–53/(–3–1)=3/–43/(–2–1)=3/–33/(–1–1)=3/–23/(0–1)=3/–13/(1–1)=3/03/(2–1)=3/13/(3–1)=3/23/(4–1)=3/33/(5–1)=3/43/(6–1)=3/5

–0.4–0.5–0.6–0.8–1–1.5–3No31.510.80.6


x y=3/(x–1)0.5 –60.9 –300.99 –300

0.9999 –300001.5 61.01 300

1.0001 300001.00001 300000

¿Cómounirestospuntos?Puedesobservardoscosas:

1. Lacurva,presentadosramasqueparecenestarseparadas;cadarama,pareceacercarsemásymástantoalejeXnegativo,comoalejeXpositivo;esdecir,conformexaumentasuvalorabsoluto,laydisminuyecadavezmás.Asignavaloresaxcadavezmásgrandesycalculalosvaloresdey.Com-pruebaéstoconx=10,15,20,−10,−15,−20..

2. Noexisteningúnpuntoparax=1.

Vamosarevisarquésucedeconvaloresdexcercanosa1.

Y

X

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Hemostrazadolacurva,asumiendolapresenciadedosrectasdenominadasasíntotas,unaverticalylaotrahorizontal.Éstaúltima,lahemosinferidodelcomportamientográfico.Acontinuación,seforma-lizademaneraintuitivaesteconcepto.

Resuelve:Paraqueesteejemploquedecompleto,hazunanálisisdesimetríasyrevisasilagráficaquetrazamoscumplecondichoanálisis.

Determinación de asíntotas

Lasasíntotasverticalesestaránubicadasenaquellosvaloresdex,queconviertanaldenominadordelaecuación(conydespejada)en0.Esdecir,enaquellosvaloresdeldenominadorquerestrinjanlaexten-sióndex,habráasíntotasverticales.

Lasasíntotashorizontalesestaránubicadasenaquellosvaloresdey,queconviertanaldenominadordelaecuación(conxdespejada)en0.

Asíntotas.Siladistanciaaunarectadesdeunpun-tomóvildeunacurvatiendeacero,cuandodichopuntosemueveendeterminadadirección,sediceque la recta es asíntota de la curva. En la figura,ladistanciaABdelpuntoAalarectaBCtiendeacero,amedidaqueAsemueveenladirecciónBC.LarectaBCesasíntotadelacurva.

A

B C


Resumen 5.Paragraficarecuacionesenunquintonivel(ecuacionesracionales),aplicamoselsi-guienteprocedimiento:1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.2. Extensión de la curva en x.Determinamoslaextensióndex.3. Asíntotas.Determinamoslaposicióndeasíntotashorizontalesyverticales.4. Tabulación y gráfica.LocalizarprimeroInterceptosyasíntotas.Tabulamosalgunospuntos.Se

recomiendaelegirvaloresdex,alrededordelasasíntotasverticales.5. Simetrías.Realizamosunanálisisdesimetríasyrevisamossi lagráficaquetrazamoscumple

condichoanálisis.

Acontinuaciónresolveremosunejemplointegrador.Loplanteadoacontinuación,ilustraelprocedi-mientocompletoparatrazarlagráficadeecuacionesengeneral,atravésdelastécnicasaquídiscutidas.

EjemploAplicando las ideasy lametodologíaanteriordeanálisisydiscusión de curvas,discutirygráficar laecuaciónx2y−x2−y=0.

Solución 1. Interceptos.Determinamoslasinterseccionesconlosejescoordenados.

InterceptosconelejeX:Hacemosy=0ydespejamosx→ x2(0)−x2−0=0. 0−x2−0=0. x2=0.→ x=±√0=0Porlotanto,lagráficacruzaalejeXenlacoordenada0.Elinterceptoes:(0,0).InterceptosconelejeY:Hacemosx=0ydespejamosy→ (0)y−(0)2−y=0. 0−0−y =0. −y =0.→ −y=0Porlotanto,lagráficacruzaalejeYenlacoordenada0.Elinterceptoes:(0,0)

y= x2x2−1

x2y−x2−y=0.x2y−y=x2.y (x2−1)=x2.

Puestoque laexpresión(conydespejada),presentaa laxenundenominador,debemosexcluirdelaextensiónatodonúmeroqueconviertaaaquelen0.Six=±1,estaríamosdividiendopor0,entonceslaextensióndexestodax≠ 1,x≠−1.

3. Asíntotas. a) Verticales. Habráasíntotasverticalescuandoaparezcalaxenundenominadoryexistanvalores

dexqueconviertanadichodenominadoren0.Portanto,hayasíntotasverticalesenx=1yx=−1.

b) Horizontales.Habráasíntotashorizontalescuandoaparezcalayenundenominadoryexistanvaloresdeyqueconviertanadichodenominadoren0.Asíque,elprimerpasoserádespejaraxdelaecuacióndada,x2y−x2−y=0,yacontinuaciónobservamosaldenominador.

2. Extensión de x.Tenerencuentaqueesteanálisissehaceenlaecuaciónquepresentaaydespejada.Asíque,enesteejemplodebemosdespejaray.


Observamosque síy = 1, estaríamosdividiendopor 0,entoncesy≠1.Portanto,hayunaasíntotahorizontaleny=1.x2= y

y−1

x2y−x2−y=0.x2y−x2=y.x2(y−1)=y.

x=±y

y−1

4. Tabulación y gráfica.LocalizarprimeroInterceptosconlosejesyasíntotas.Serecomiendaelegirvaloresdex,alrededordelasasíntotasverticales.

x x−3−2−1−1.5−1.25−0.500.51.51.2523

1.11.3Nodefinido1.82.8−0.30(intercepto)−0.31.82.81.31.1

Y

X

Asíntota verticalAsíntota vertical

Asíntota horizontal

5. Simetrías.Hazunanálisisdesimetríasyrevisasilagráficaquetrazamoscumplecondichoanálisis.

1. Enesteapartadohasestudiadodistintastécnicasdegraficación,utilizalasqueconsideresnecesariasparatrazarlasgráficasdecadaunadelassiguientesecuaciones:

a)2x−3y+5=0b)x2+6y−3=0 c)x2+y2−100=0 d)4x2+9y2−36=0 e)xy−2y−3=0 f)2xy+x+2y=0 g)y2−5x−2=0 h)x2+8y−8x−24=0 i)4x2−y2−4=0 j)xy−x+2y−10=0 k)y=3 l)x=−3

1.2 EJERCICIOS

• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8


EntucursoanteriordematemáticasIII,tuvistelaoportunidaddeconoceryaplicarelsoftwaredeno-minadoGeogebra.Estesoftwaretambiénresultademuchaayudaparaeltrazadodegráficas,talycomoloutilizasteenaquelcurso,algraficarlasfuncionestrigonométricas.Sinembargo,existeotrosoftwarelibredenominadoDesmos,querecomendamosutiliceseneltrabajodegraficación.Paraello,hazlosiguiente:1. TecleaenGoogle,lapalabradesmos,obienIntroducedirectamenteladirección:

https://www.desmos.com/calculator. Aparecerádeinmediatounapantallacomolaquesemuestra:

Graficacióndeecuacionesconayudadetecnología

2. Utilizaelsoftwareparatrazarla gráfica de algunas de las ecuaciones vistas ahora.Comparaestasgráficasconlasqueyahabíasobtenido.Sihubodiferencias,reflexionasobreposibleserroresuomi-siones.

3. Enelejercicio1.2trazastelasgráficasdevariasecuaciones.AhorautilizaelDesmosparaquegra-fiquesestasmismasecuaciones.Comparaestasgraficascon lasqueyahabiasobtenido, sihubodiferencias,reflexionasobreposibleserroresuomiciones.

4. UtilizaDesmosparatrazarlagráficade: a.x3+xy2−y2=0 b.2x2+5y2−4x+32=0 c.x2+y2−6x−4y+9=0

5. UtilizaDesmosparatrazarlagráficade: a.x=2 b.y=2 c.x=−3 d.y=−3 e.y+5=06. Laecuaciónx=2,esequivalenteax=2+0y.Hazunatabladevalores,trazasugráficaycompárala

conlaobtenidaconelsoftware.Debesconvencertequelagráficaesunarectavertical.7. Laecuacióny=2,esequivalenteay=2+0x.Hazunatabladevalores,trazasugráficaycompárala

conlaobtenidaconelsoftware.Debesconvencertequelagráficaesunarectahorizontal.

Introduceaquílaecuación

Observacomoalescribirlaecuaciónaparecelagráfica y=x2

desmos

• Aspecto a evaluar: Actividaddeevaluaciónintermedia• Evidencia: Reporteescritodeexploracióncontecnología• Competencia o atributo a evaluar: 5.6


Lasiguienteactividadpermitirácontextualizarelsignificadodeesteconcepto.

1.3 El concepto de función

Tusrespuestasdebenpermitirteentenderlasiguienteconclusión:Hayunarelaciónentreeltiempotranscurridoyladistanciarecorrida,detalmaneraqueentremás

tiempopasa,máskilómetrosrecorreelavión;asípues,elnúmerodekmrecorridosestádeterminadoporlacantidaddetiempotranscurrido.

Estarelaciónnoesmásqueuna¡FUNCIÓN!Unafunciónesunarelación,nounnúmero.Pongamosalgunosdetusresultadosenunatabla:

t(tiempotranscurridoenhoras) 1 2 3 4 5d(distanciarecorridaenkm) 900 1800 2700 3600 4500

Enciertotrayectodevarioskilómetros,unaviónvuelaaunavelocidaduniformede900km/h.Estainformaciónsedebeinterpretarenelsentidodequeenundeterminadotiempoelaviónrecorreelmismonúmerodekilómetros.Entonces:Elaviónrecorre:900kmenunahora 1800kmendoshoras

Contestalassiguientespreguntas: Escribeaquítusrespuestas

¿Cuántoskmrecorreríaelaviónentreshoras?

¿Cuántoskmrecorreríaelaviónencuatrohoras?

¿Cuántoskmrecorreríaelaviónencincohoras?

¿Cuántoskmrecorreríaelaviónenseishoras?

¿Cuántoskmrecorreríaelaviónen15minutos?

Actividad 12


0 1 2 3 4

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

d =

dist

anci

a re

corr

ida

(km

)

t = tiempo transcurrido

Estos mismos resultados pueden presentarsecomounconjuntodeparesordenados:

{(1, 900), (2, 1800), (3, 2700), (4, 3600), (5,4500)}

Obienatravésdelagráficamostradaaladerecha.


Sobrelasbasedeestagráficasepodríanhacerobservacionescomolassiguientes:Primero,elpunto(0,0)estásobrelagráfica,esdecirnoseharecorridoningunadistanciaenuntiempo0.Segundo,nin-gúnpuntoestátrazadoparavaloresnegativosdex;enelcontextodelavión,notienesentidohablardedistanciasnegativasnidetiemposnegativos,perosísehaconsideradoqueexistenvaloresdecimalestantoparadcomoparat.Tercero,paracadatiempotranscurridode1hora,ladistanciatotalrecorridaseincrementaporunacantidadconstante,quees900.

Ahoraexpresemosestoenunafórmula;paraellodebescontestarlasiguientepregunta:

¿Cuántoskmrecorreríaelaviónenthoras?

Turespuestadebeserparecidaalosiguiente:distancia recorridad=900×tiempotYlafórmulabuscadaes:d = 900t.Éstafórmulaesconsideradala regla de la función,puestoque,a

travésdeella,seestablecelarelaciónentrelasmagnitudesimplicadasenlasituaciónestudiada.Eselmomentoderecordarelsignificadodevariable.Alrespecto,cabedestacardoscuestiones:• Enestasituacióndelavión,aparecendosvariables:distancia recorrida,ytiempo transcurrido.• Acadaunadeestasvariables, lehemosasignadounsímbolo(letra),asaber:d representa la

distanciarecorridayteltiempotranscurrido.

Unavariableesunacantidadomagnitudqueenlascondicionesdeunprocesodadopuedetomardiferentesvalores.Lasvariablesserepresentanporunaletrauotrosímbolo.

Esmuycomún,queelsímboloquerepresentaalavariable,setratecomolavariablemisma.Así,envezdereferirnosalavariable“distancia”,hablamosdelavariabled(susímbolo).Porotrolado,lacanti-dad900esunaconstante.Unaconstanteesunacantidadquenosealteraenunasituacióndeterminada.

Unaexpresiónalgebraica, como900t, esuna frasematemática formadaporunoomásnúmerosovariablesuoperacionesentreellos.Unaexpresiónrepresentaunacantidad,queseconocecomoelvalordelaexpresión.Enelcasoquenosocupa,laexpresión900trepresentalacantidaddenominadadistancia.Alescribird=900tutilizamoselsignoigual(=)paraasignarelsímbolodalaexpresión900t,convirtiendodeestamaneraadichaexpresiónenunafórmulaoecuación.

Altrabajarconvariables,podemosactuarendosdirecciones:• Determinarunnúmeroparticularperodesconocido,y• Determinarmuchosvaloresposibles(variandoenunciertorango).Paraexplicarestosrolesdelavariable,retomemoslaexpresiónyaconocidad=900t,quenospermi-

tedeterminarladistanciarecorridaenthoras.Planteemosdospreguntas:Pregunta1.¿Cuál es la distancia recorrida al transcurrir 15 horas? Pregunta2.Cuando t aumenta de 0 a 5, ¿cómo cambia la distancia recorrida? Enlapregunta1,tratamoslavariabletcomounvalordesconocido(variablecomoincógnita).

Expresiónqueproporcionaladistanciarecorridaent horas:900tCuandotes15,ladistanciaes:900t→900(15)=13500.Enestecaso,enlaexpresión900t,lavariabletesunacantidaddesconocidaperoparticular(tomaelvalor15).Estainformación,proporcionauna“instantánea”delasituación.


Encontraste,podemosverunavariablenosólocomorepresentantedeunacantidaddesconocidasinotambiéncomouna cantidad variando o cambiando.Sieltiempototaldevuelodelaviónesde15horas,podemospensarquelavariabletdelaexpresión900testáfluctuandosobrelosnúmerosenelintervalode0a15.(Nopodemosconsiderarunnúmeronegativodehoras,perosíunnúmerofraccio-nariodehoras).Aquí,estamosenpresenciadedoscantidadesquecambianalmismotiempo:conformecambiaelnúmerodehorastranscurridas,cambialadistanciarecorrida.

Desdeestaperspectiva,podemosverlaexpresión900t,notantocomounaexpresiónparadeterminarunsolovalordesconocidodetsinocomounaregla.tylaexpresión900tcomocantidadescambiando Sites1ladistanciaes:→ 900(1)ó900

Sites2ladistanciaes:→ 900(2)ó1800Sites3ladistanciaes:→ 900(3)ó2700Sites4ladistanciaes:→ 900(4)ó3600Sites5ladistanciaes:→ 900(5)ó4500

Esimportanteobservarquenosotrosasignamosvaloresat,ymediantelafórmula(oregla)calcula-moslosvalorescorrespondientesded.Porestarazón,enelejemploqueestamosrevisando,teslavaria-bleindependiente,ylavariabledependienteesd.Asimismo,debestenerclaroelpasodelasmagnitudesconcretas(tiempoydistancia)alasvariablesgenerales.Ennuestroejemplo,esosetraduceenpasardelaexpresiónd=900t,alaecuacióny=900x,enlaqueelsímboloyrepresentaladistanciayxrepresentaaltiempo.

Constante

d=900t

Nombres de variables según contexto

Variabledependiente

Variableindependiente

Constante

y=900x

Nombres de variables generales

Variabledependiente


Ladiscusiónprevia,nospermitehacer las siguientesobservaciones:(1) funcionesproporcionanunmedioparadescribirycomprenderrelacionesentrevariables;ennuestroejemplo,lasvariablesenjuegofuerondistanciarecorridaytiempotranscurrido.(2)Larelaciónentrevariablesseestableceatravésdeunaregla,queennuestrocasovinodadaporlaexpresiónalgebraica,d=900t.(3)Lasvariablestomanvaloresquepuedenversecomoelementosdeciertoconjuntonumérico;ennuestroejemplo,tantolavariabled,comolavariablet,tomannúmerosmayoresoigualesa0.(4)Lasfuncionestienenmúltiplesrepresentaciones,asaber,medianteunadescripciónverbal,unaexpresiónalgebraica,unatabla,ounagráfica.Yaestamosencondicionesdeplantearladefinicióndefunción.

Existenmuchasdefinicionesdeesteimportanteconcepto;enestelibro,plantearemos:unaqueayu-daatrabajarlaparteoperativadefunción.

Unafunciónesunarelación,queseestableatravésdeunareglaentreunvalor de entrada(ovariable independiente)yunvalor de salida(ovariable dependiente),detalmaneraque,siemprequeseasigneunvalordeentrada,lareglaasignaráexactamenteunvalordesalida.

Definicióndefunción


Hemosexpuestoquelaecuaciónd=900t,relacionadosvariablesquevaríanalmismotiempo:con-formevaríaelnúmerodehoras(t),varíaladistancia(d).Portanto,sepuedeafirmarqueladistanciad,dependedelnúmerodehorastranscurridas.Tambiénsedicequeladistanciaestáenfunción,oesfuncióndelnúmerodehorastranscurridas.Estoúltimo,esloquenosllevaausarlallamadanotaciónfuncional,asaber:

Lanotaciónfuncionalo

d(t)=900t(selee:"ddet",esiguala900port)

El signo igual define la relación.Esto significa que la distancia d es una función del tiempo t.

La función se denomina d.

Enestecaso,lafunciónsedenominaf,lavariableindependienteest,yladependiente(anteriormen-tedenominadadyd(t)),ahorarecibeelnombredef(t).Siesnecesariomanejarmásdeunafunción,éstassedenominanconlasletrasg,h,etc.

Porlotanto,alaexpresión900t,lehemosasignadodos“etiquetas”:primeroleasignamoslaletra“d”,ydespuéslanombramoscomod(t).Entonces,secumpleque:d=d(t)=900t

Sinembargo,normalmenteparaexpresarqueestoesunafunción,seescribeasí:f(t)=900t

La"f "essólolaprimeraletradelapalabra"función".

Inclusive,sihablamosentérminosgeneralestambiénpodemosescribiry(x)=900x,of(x)=900x.Enelsiguienteesquemadesciframosloselementosdeestasfórmulas:

La notación d(t) = 900t, nosindicaque:• Lafunciónsellamad.• La variable independiente

est.• La variable dependiente es

d(t).

La notación y(x) = 900x, nosindicaque:• Lafunciónsellamay.• La variable independiente

esx.• La variable dependiente es

y(x).

La notación f(x) = 900x, nosindicaque:• Lafunciónsellamaf.• La variable independiente

esx.• La variable dependiente es

f(x).

Constante

d(t)=900t

Nombre de la función

Variabledependiente


Constante

y(x)=900x


Variabledependiente


Constante

f(x)=900x


Variabledependiente


Recuerdaqueentodasestaspresentaciones,elsignoigualseestáutilizandoparadarleunnombrealaexpresiónoreglaquepermitecalcularladistanciarecorrida.

¿Porquénotacionesdeltipo“d(t)”,“f(t)”,“f(x)”?

Porquedescribemuybieneltrabajoquehacelaregladeunafunción.


Trabajo de la regla,d(t)=900tSetomaelvalordet,sesustituyeenlaexpresión900t,yloqueresultaseleasignaad.

Valoresde t Valoresde d1 →dparat=1=f(1)=900•1=900→ 9002 →dparat=2=f(2)=900•2=1800→ 18003 →dparat=3=f(3)=900•3=2700→ 27004 →dparat=4=f(4)=900•4=3600→ 36005 →dparat=5=f(5)=900•5=4500→ 4500

Entrada Salida

Entrada: valores de t

Salida: valores ded=f(t)

Lafórmulad=f(t)=900tprocesaelvalorqueentra

Recordemos cómo traba-jaestareglaoecuación:noso-trosleasignamosvaloresat,ylareglaleasignavaloresad.

Conforme a este proceso,podemos ver la ecuación o re-gla, como una máquina queprocesaunosvaloresdet,con-siderados como valores de en-trada,yproporcionalosvaloresdedquesonvaloresdesalida.

Entra un número de la variable independiente

Sale otro número para la variable dependiente

f( ) = =Se hacen operaciones

La letra “f” de la notaciónf(t) significaquehande reali-zarseciertasoperacionesconelvalordetparaobtenerdof(t).

Notaciónfuncionalyelplanocoordenado

Debestenermuypresentelaconexiónqueexisteentreparesordenadosylanotaciónfuncional.Elsi-guienteesquemailustraestaconexión:

Variable independiente Variable dependiente

x f(x) = y(x,f(x))=(x,y)

f(x)=y

X

y = f(x)

x

Obsérvesequeparapasardelarepresentaciónconflechas,alagráficaenunplanocartesiano,bási-camenteloquesehaceesgirarlosdosejes,detalmaneraqueformenunplanocoordenadocartesiano.


Imágenesypreimágenes

Alosvaloresquetomalavariableindependienteselesllamaargumentos o preimágenes,ylosvaloresquelafunciónleasignaalavariabledependiente,sellamanimágenes.

Enlasituacióndelavión:Laimagende1es:y para x=1=f(1)=900f(1)=900Laimagende2es:yparax=2=f(2)=1800Laimagende3es:yparax=3=f(3)=2700Etcétera

Preimagen o argumento

Imagen

Parafuncionesdescritasporunaexpresiónalgebraica,porejemplolafunciónf(x)=3x−2(laqueconfrecuenciaescribimosy=3x−2),podemosevaluarlafunciónsustituyendoelvalordelavariableindependiente(preimagen)endichaexpesión.Porejemplo, f(5)=3(5)−2,asíqueelvalorde f(x)cuandox=3es13.

Ahora,consideralapregunta:enlasituacióndescritadelavión,cond=f(t)=900t.¿enquétiempoelaviónrecorreráunadistanciade1000km?

Enestecaso,conocemosunvalorimagen(1000)ynospidenelvalordesupreimagen:esdecir,dadof(t),determinart.

Entonces:f(t)=900t

1000=900t.

Despejandoat:=t.

=t.

1000900109

1. Calculaelvalordeláreasombreada:

Actividad 13

f(x))=x+3

X

y=f(x)

2 5

0 1 2 3 4

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

X

f(1) = 900

f(2) = 1800

f(3) = 2700

f(4)=3600y = f(x

) = 900x

Volvamosalagráficadelasituacióndelavión,yusemosestanotación:

Paresordenados:{(1,f(1)),

(2,f(2)),(3,f(3)),(4,f(4))

Enlasiguienteactividadpodrástrabajarconlanotaciónf( ).

t =1.1horas;portanto,elaviónrecorrerá1000kmen1hora6minutos.


f(x) = y

0 1 2 3 4

6

543

2

1

X-4 -3 -2 -1

3. Dadalasfuncionesh,gyptalesqueh(x)=4x;g(x)=10x−3yp(x)=5.Determinalaimagende−2,3y4paracadaunadelasfuncionesdadas.

4. Daday=f(x),representagráficamenteloquesigni-ficalaexpresión:y=f(7)=1.

2. Lacurvaadjunta,representaaunafuncióny=f(x) Determinaf (0),f(1),f(−2)yf(2).

Paracomprendertotalmenteelconceptodefunción,debemosprecisarunacondicióndeterminantedetodafunción,asaber,“el valor único”,ydosconceptosmás:dominioyrango(oconjuntoimagen).Acontinuacióntrabajaremosestasideas.

Elvalorúnico:unacaracterísticaespecialdelasfunciones

Pordefinición, funciones son“de un solo valor”.Esto significa,queacadavalorde lavariable inde-pendiente, lecorrespondeexactamenteunúnicovalorde lavariabledependiente.Elvalorúnicoesprincipalmenteun requerimiento establecidoparahacer el trabajo con funcionesmásmanejable ymenosambiguo.Paraentenderesto,consideremoslaecuacióny=√x .Atendiendoladefiniciónderaízcuadrada,cadaxpodríacorresponderadosvaloresy.Porejemplo:

Six=4,entonces,y=√4=±2,porque(2)2=4, ytambién(−2)2=4,

Así,parax=4,existendosvaloresasignados,yenunmomentodado,nosotrospodríamosnecesitarespecificardecuálvalorestamoshablando.Consideracionescomoestasllevóamatemáticosarestringirfuncionescomoaquellasrelacionesquesondevalorúnico.

Paraprofundizarmásenesto,presentaremosenundiagramadeflechas,algunosvaloresasociadosmediantey=±√x :

Valoresdex Valoresdey

–3

–2

11

4

9

12

3

y=± √x

Atendiendoelrequerimientodevalorúnico,estaasocia-ción,noesunafunción;paraqueseafunción,acadava-lorx,seledebeasociarexactamenteunvalordey.

Siestaasociaciónsepresentacomounconjuntodeparesordenadosobtendríamos:

{(1,1),(1,−1),(4,2),(4,−2),(9,3),(9,−3)}

Observamosqueenestaasociación(quenoesunafunción),aparecenmásdeunparordenado,conelmismoprimerelemento(mismaabscisa).

Ahora,sirepresentamosestosparesordenadosmedianteunagráfica,obtendríamos:


Observamosqueestagráfica,lacualnoesunafunción,presentaalmenosdospuntos“alineados”enunarectaver-tical.

Y

3

2

1

-1

-2

-3

X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Atendiendo el requerimiento de valor único, unagráfica,noesunafunciónsialtrazaralmenosunarectavertical,éstapasapordospuntosdelagráfica.Estatécnicasedenominacriterio de la recta verti-cal.

Realizalasiguienteactividadparaqueconsolidesestaimportantepropiedaddelasfunciones.

Encadaunodelossiguientesejemplos¿esyunafuncióndex?Argumentesurespuesta.Sinosepresentaunagráfica,trazarlaquecorresponde.

Actividad 14


c. El conjunto detodos los pun-tossobrelagrá-fica mostradaabajo

X

Y

(4, 0)

(-4, 0)

(0, 4)

(0, -4)

f. x y−2 4−1 10 01 12 4

d. {(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}

e. {(1,2),(1,3),(1,4),(2,5)}

g.

h.

X

Y

X

Y

Dominioyrango(oconjuntoimagen)

Enelapartado1.2deestelibro,seplanteóqueparaciertasexpresionesalgebraicas,hayrestriccionesalmomentodeasignarvaloresalasvariables.Estodióorigenaloqueseentiendeporextensióndelacurvaenx(osimplementeextensióndex),comoelconjuntodetodoslosnúmerosrealesque,sí,puedetomarx,paraqueyseaunnúmeroreal.Enotraspalabras,bajociertascircunstancias,lasvariablestienenuncampo o intervalo de variaciónrestringido.Cuandoseestudianrelacionesentrevariables,atravésdelasfunciones,confrecuenciaesútildeterminaresosintervalosdevariación.Éstonosllevaaladefinicióndedominioyrangodeunafunción.

a. y=√x (Atención:cuandonoseescribeunsignoantesdelsignoradical,escostumbrecon-siderarquesetratadelaraízposítivaoraízprin-cipal)

b.y=−√x


Lasfuncionescuyosdominiosyrangossonsubconjuntosdelosnúmerosreales,sedenominanfun-ciones numéricas o de variable real.Enestecurso,sóloseestudiaránestetipodefunciones.

ApartirdeestemomentoconsideraremosquelosconjuntosXyYconstandenúmerosreales;así,lafunciónfsedenominafunciónconvalorrealdeunasolavariablereal.

¿Cómo determinar el dominio y el rango? Hayquetenerpresente,queanteriormenteestedominiofuedenominadoextensióndex.Lasiguienteactividadtepermitiráempezaratrabajarestasideas.Trataderesolverlaydespuésestudiaeldesarrolloquesepresentainmediatamentedespués.

Paramostrarcómolaslongitudesdelosladosdelasparedes y sus áreas están relacionadas, pudiste haberescritounaecuaciónparecidaa,A=l2,queennotaciónfuncionalseríaA(l)=l2,obieny=f(x)=x2.Asimis-mo,debistetrazarunagráficaparecidaalamostradaaladerecha.

a. Sequiereelaboraruntabuladordecostosdepinturapormetrocuadrado,deparedesenformadecuadrado.Piensaacercadetodaslasposiblesparedesdeestaforma.Paracadalongituddela-dos,hayunáreacorrespondienteapintar.Describelarelaciónentreeláreadeunaparedcuadra-daylalongituddesulado.Calculaalgunosvaloresparalasmagnitudesimplicadasyregístralosenlasiguientetabla:

Longitud(m) 1 1.5 2 2.5 3Área(m2)

a. Presentatusresultadosenparesordenados.

b. Trazalagráfica.Siloconsiderasnecesario,calculaotrospuntos.

c. Supongamosquelalongituddecadaladodelaparedapintar,mide4m.Conestainformación,contestalassiguientespreguntas:• ¿EnquéintervalosvaríanlosvaloresdeAyl?• ¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepodemosasignarleal?• ¿CuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepuedetomarA?

Actividad 15


Eldominiodeunafuncióneselconjuntodetodoslosvaloresquepuedetomarlavariableinde-pendiente.El rangooconjunto imagen deunafunción,eselconjuntodetodoslosvaloresquesonimágenesdealgúnvalordeldominio.

0 1 2 3 4

16

14

12

10

8

6

4

2

Longitud (m)

Áre

a (m

2 )


Valoresextremosdel

ValoresextremosdeA

0 A(0)=02=04 A(4)=42=16

lsólotomavaloresde[0,4]

l A sólotomavaloresde[0,16]

1. Laexpresión d=30tdescribelarelaciónqueexisteentreladistanciarecorridayeltiempotrans-currido,deunmóvilquepartedelreposoconmovimientorectilíneoaunavelocidadconstantede30m/s.SielmóvilsemuevedesdeunpuntoAhaciaunpuntoBqueseencuentraa180mdedistanciadeA,contestalassiguientespreguntas:

Atendiendolasrestriccionescontextualesdeestasituación: a.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepodemosasignarlea d? b.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepuedetomart?

2. Unobjetosesueltaencaídalibredesdeunaalturade30m.Ladistanciarecorridadenmetrospordichoobjetodependedeltiempotensegundostranscurridosegúnlafórmulad=4.9t2.

Atendiendolasrestriccionescontextualesdeestasituación: a.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepodemosasignarlead? b.¿Cuáleselvalormáximoycuáleselmínimoquepuedetomard?

Actividad 16

Restriccionescontextuales

Paraestablecerlosintervalosdevaloresquepuedentomarlasvariablesdeunaexpresión,sedebetenerencuentaqueexistendostiposderestricciones:contextualesymatemáticas.

Ennuestroejemplo,paralaexpresiónA(l)=l2querelacionaeláreaconlalongituddelladodeunaparedcuadrada,haydosrestriccionescontextuales:laprimeraconsisteenatenderelhechodequeenelcontextodelatareaplanteada,nohayunidadesdelongitudnegativas,porloquelosvaloresquepuedetomar l sólopuedenser losnúmerosrealesnonegativos;y la segundaconsisteenconsiderarque laparedmide4m,yportanto,elvalormáximoquepuedetomarles4.Ahorabien,aunquenoexisteuncuadradodeladoigualacero,elpuntodepartidaparaempezaragenerarcuadrados,estájustamenteenl=0.Portanto,losvaloresdelvariaránenelintervalo[0,4].EsteeseldominiodeA(l)=l2

Paradeterminarel intervaloenelquevarían losvaloresdel área, consideramos losvaloresdeA,obtenidosalsustituirenlafórmuladelárea,losvaloresextremosdeldominiotalycomosemuestraacontinuación:

Sievaluamoseláreaparacadaextremodelintervalodel,obtenemos:paral=0,A=0;sil =4,A=22=4.Ademássedebeconsiderarquetampocohayunidadesdeáreanegativa.Portanto,losvaloresdeA,estaránenelintervalo[0,16].

Alafirmarque l sólotomavaloresdel intervalo[0,4],yqueAsólolohacede[0,16],estamosestableciendorestric-cionescontextuales.EsteeselrangodeA(l)=l2

Realizalasiguienteactividadparaquepuedasconsolidarestasideas.

Restriccionesmatemáticas

En lasección1.2alabordar laextensiónde lacurvaenx,estudiamoseste tipoderestricciones.Re-cordemosquelasrestriccionesmatemáticassurgenapartirdecómosedefinenlasoperacionesdelosnúmerosrealesysuspropiedades.Porejemplo,elceronotieneinversomultiplicativo,portanto,unaexpresiónqueseencuentreeneldenominadordeunafraccióndebeserdistintadecero;noesposible


1x

Elprocedimientoparadeterminareldominiodeunafunciónapartirdesuexpresiónalgebraica,eselmismoqueseaplicóenladeterminacióndelaextensióndex.Dichosprocedimientospuedenclasifi-carseentrescasos:

Caso 1. Funciones racionalesParaencontrarrestriccionesenfuncionesracionales,elpasobásicoconsisteenigualaraldenomina-

dorcon0yresolverlaecuaciónresultante.Caso 2. Funciones raíz cuadradaParaencontrarrestriccionesenfuncionesraízcuadrada,elpasobásicoconsisteenestablecerlacan-

tidadbajoelradicalcomomayora0,yresolverladesigualdadresultante.Caso 3. Funciones polinomiales.Silafunciónesunpolinomio,esdecirunafuncióndelaformaf(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

(dondea0,a1,…ansonconstantesynunenterononegativo),eldominioestáconformadoporelcon-juntodetodoslosnúmerosrealesℜ.

RangoUnavezdeterminadoeldominiodelafuncióndeinterés,yconsiderandoqueelrangosevaconfi-

gurandoconformeusamosvaloresdeldominio,aquíorientaremosaqueelrangosedetermineapartirdelgráficodelafunción.Silagráficadelafunciónsetrazausandoalgúnsoftwareocalculadoragráfica,tambiéneldominiopodríaobtenersede lagráficayentodocaso ladeterminaciónanalíticadeéste,serviríacomocomprobaciónyexplicación.

Determinacióndeldominiodeunafunciónapartirdesuexpresión

La ilustraciónde laderecha,muestra laposicióndeldominioy el rangoen la gráficadeuna fun-ción.

Observación:Para ladeterminacióndel rango,serecomiendatrazar lagráficade la funciónconlaayudadeunsoftware(preferentementeelDes-mos),ymedianteunaproyecciónsobreelejeY,identificar el intervalo que corresponde a dichorango.

Determinacióndeldominioyrangoapartirdeunagráfica

calcularlaraízcuadradadeunnúmerorealnegativo.Asimismonoesposiblecalcularlaraízcuadradadeunnúmerorealnegativo.Así,enlaexpresióny=,lavariablexnopuedevalercero,puestoqueladivisiónporceronoestápermitida;también,enlaexpresióny = √x ,debidoaqueningúnnúmerorealnegativotieneraízcuadrada,lavariablex,sólopuedetomarvaloresdelintervalo[0,+∞).

Dominio

Rango

x

f(x)


f(x)

3

2

1

-1

-2

X-4 -3 -2 -1 0 1 2

3

2

1

-1

-2

X -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=x +3?

Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=−x2 +2x+2?

SoluciónÉstaesunafunciónpolinomialdelaforma: f(x)=a0+a1x.Asíque,nohayrestricciónmatemáticaparaeldominio;porlotanto,cualquiernú-merorealsepuedesustituirporxyobtenerunrealnúmerorealparay.Asimismo,delagráficaseobservaqueelrangoabarcatodoslosvaloresdeydelarectanumérica.Respuesta:eldominioyrangosontodoslosnúmerosrealesℜ.

SoluciónÉstaesunafunciónpolinomialdelaforma:f(x)=a0+a1x+a2x2,porloque,nohayrestricciónmatemáticaparaeldominio;porlotanto,cual-quiernúmerorealsepuedesustituirporxyobtenerunrealnúmerorealparay.Paradeterminarelrango,trazamoslagráficadelafunciónyobservamosquef(x)≤3.Respuesta:Eldominioestodoslosnúmerosrealesℜyelrangoestodoslosnúmerosrealesf(x)talesquef(x)≤3.

Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=−1 +√x + 3?Solución

Estaesunafunciónradical.Eldominiodeunafunciónradicalescualquiervalorxparaelqueelradicando(laexpresiónbajoelsignoradical)noesnegativo.Estosignificax+3≥0,entoncesx≥−3.(Elsigno≥nosindicaquextambiénpuedeser0).

Respuesta: Eldominioestodoslosnúmerosrealesxdondex≥−3,yelrangoestodoslosnúmerosrealesf(x)talesquef(x)≥−1.

3

2

1

-1

-2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

X

Ejemplo¿Cuáleseldominioyrangodelafuncióndevalorrealf(x)=?x+2

y+3Solución

Estaesunafunciónracional.Eldominiodeunafunciónra-cionalestárestringidodondeeldenominadores0.Enestecaso,x+3eseldenominadoryestees0sólocuandox= −3.Éstevalor(quecorrespondeaunaasíntotavertical)debeexcluirsedeldominio.Paradeterminarelrango,observa-mosquehayunaasíntotahorizontaleny=1,porloque,éstevalordebeexlcuirsedelrango.Respuesta: Eldominioestodonúmerorealexcepto−3yelrangoestodonúmerorealexcepto1.

X

f(x)


Siconsideramoselnúmerodeposiciónenlaseriecomovariableindependiente(valordeentrada),yelnúmerodeángulosformadocomovariabledependiente(valordesalida),podemoscrearunafuncióndenominadaángulos.Unaentradade1tieneunasalidade0,yaquelaposición1notieneángulo(des-cartandoelángulollano);unaentradade2tieneunasalidade1,yaquelaposición2contiene1ángulo;unaentradade3,produceunasalidade3etcétera.Eldominiodeéstafunciónseobtienecontandoelnúmerodeentradas1,2,3,4,5queidentificancadaunadelasposicionesenlaserie.Lasentradasdeéstafunciónsonvalores discretos,esdecir,nosoncontinuossinoaislados(nohayposiciónquesea1.3o4.1).Elrangoeselnúmerodeángulosencadaposición.Éstosnúmerostambiénsondiscretosyaquenohayningunaposiciónquetenga2,4,5,7,8,9ocualesquiernúmerodecimaldeángulos.Podemosagruparéstalistadevaloresdentrodellaves(enlugardecorchetesoparéntesis,queindicancontinui-dad):Dominio:{1,2,3,4,5}

Rango:{0,1,3,6,10}

Posición5Posición1 Posición2 Posición3 Posición4

10ángulos0ángulos 1ángulos 3ángulos 6ángulos

Variables discretas

Ahoraveamosotrotipodedominioyrango.Acontinuaciónsemuestraunaseriedeángulosformadospor1,2,3,4y5rayosconunextremocomún.

1. Determinaeldominiodecadaunadelassiguientesfunciones:

Actividad 17

3xx+5

3xe.h(x)=√x−10f.g(x)= 3

x +3g.f(x)=−

a.f(r)=πr2b.f(x)=5x2+2x−1c.h(t)=4/t d.f(x)=√1−x2

2. Atendiendorestriccionescontextuales,determinaeldominioyrangodecadaunadelassiguien-tesfunciones:

a)Lafuncióng(r)=πr2,quedescribeeláreadeunamonedaenfuncióndelradio. b)Lafuncións(t)=4.9t2quedescribelacaídadeunapiedraquesesueltadesdeunatorrede30

mdealtura;sesladistanciaenmetrosyteltiempoensegundostranscurridoalcaer.

Nocionesparacaracterizarfunciones

Ademásdeldominioyrango,interseccionesconlosejes,simetríasyasíntotas,existenotrosconceptosquenospermitencaracterizaraunafunción.

a. Funciones crecientes y decrecientes Unafunciónfescrecientesilosvaloresde

f(x)aumentanamedidaquexaumenta. Unafunción fesdecrecientesilosvalores

def(x)decrecenamedidaquexaumenta. Lagráficadeunafuncióncrecientesubea

medidaquenosmovemosdeizquierdaaderecha. Lagráficadeunafuncióndecrecientebajaamedidaquenosmovemosdeizquierdaaderecha.

CrecienteDecreciente


Solución

Enel ladoderecho,sehatrazado lagráficautilizandoDesmos.-Eldominioestodoℜdiferentede2-Elrangoestodoℜdiferentede1.-Lafuncióntieneunaasíntotaverticalenx=2,yunahorizontaleny=1.-Lafunciónesdecrecienteenelintervalo(−∞,2)y(2,+∞).-Lafunciónescóncavahaciaabajoenelintervalo(−∞,2)ycóncavahaciaarribaenelintervalo(2,+∞).

b. Concavidad Lagráficadeunafunciónes

cóncavahaciaarribasiestácurvada hacia arriba ame-dida que nosmovemos deizquierdaaderecha; lagrá-fica es cóncava hacia abajosiestácurvadahaciaabajo.Unarectanoescóncavahaciaarribanihaciaabajo.

c. Máximos y minímos Supongamosquepesunpuntoeneldominio

def:• f tiene un mínimo local en p si f(p) es

menoroigualquelosvaloresdefparalospuntoscercadep.

• f tiene unmáximo local en p si f(p) esmayoroigualquelosvaloresdefparalospuntoscercadep.

Cóncavahaciaarriba Cóncavahaciaabajo

Máximo

p

f(x)

x

f(p)

Mínimo

p

f(x)

xf(p)

f(x)

X

EjemploCaracterizaalafunciónconecuaciónf(x)= x−1

x−2

1. UtilizaDesmos,paragraficarlassiguientesfunciones(denominadasbásicasoelementales): f(x)=c(cescualquiernúmeroreal);f(x)=x;f(x)=1/x;f(x)=|x|;f(x)=x2;f(x)=x3;f(x)=

√x ;f(x)=2x;f(x)=logx;f(x)=senx;f(x)=cosx.2. Caracterizacadaunadeestasfuncionesutilizandolasnocionesestudiadas.

Actividad 18



Consumo(kilowats/h)

Costo(enpesos)porkWh

1-300 0.583301-1200 0.7261201-2500 1.768Excedente 2.802

Consumo (kWh)

3.00

2..50

2.00

1.50

1.00

0.500

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

Cost

o ($

)

Funcionesdefinidasatrozos

Funcionesnotienenqueserdefinidasporunafórmula.Porejemplo,consideremoslassiguientestem-peraturasmáximasdiariasenCuliacán:

Fecha(octubre2017) 11 12 13 14 15 16 17Temperaturamáxima(°C) 37 35 36 35 36 39 39

Latemperaturaesunafuncióndelafecha,porquecadadíadalugaraunaysóloaunatemperaturamáxima.Nohayfórmulaparalatemperatura(aunquedentrodeunrango,lafunciónpuedeaproximarseporunafórmula);sinembargo,latemperaturasatisfaceladefinicióndeunafunción:cadafecha,tieneunatemperaturadesalidaúnica,relacionadaconella.

Además, algunas funciones sondefinidas a trozos, condiferentes fórmulas aplicadas adiferentespartesdeldominio.Aunquefuncionesquesondefinidasatrozospuedenparecerextrañas,nosotroslasencontramosenlavidadiaria.Ennuestrorecibodelaluz,podemosverelconsumocomounafuncióndefinidaatrozossegúnlacantidaddekilowats-hora.

Solución

Podemosgraficarcadaecuaciónentodosudominio,yposteriormentesóloconservareltramoenelintervaloindicado.Así,enlafiguradeladerecha,lagráficadelafunciónpedida,estáformadaporlosdostramoscontinuos;lostrazosdiscontínuos,sólonosindicanqueinicialmentesetrazólagráficatotalsinconsiderarlascondicionesdadas.

EjemploRepresentalafunción:

Y 3

2

1

-1

-2

-3

X0 1 2 3 4 5

gt22

Variableindependiente:__Variabledependiente:__Notaciónfuncional:_____

a)d=Variableindependiente:__Variabledependiente:__Notaciónfuncional:_____

b) C=2πrVariableindependiente:__Variabledependiente:__Notaciónfuncional:_____

c) y=5x2+2x

1.3 EJERCICIOS• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8

1. Dadaslasreglasfuncionalesqueaparecenacontinuación,escribecadafórmulaennotaciónfun-cional,identificalavariablesdependienteylavariableindependiente.

y=2,six<2;y=2x−2,six≥2;


2. Sifesunafuncióndevariablerealtalquef(x)=5x+2,pruebaquef(a+1)+4f(a)=25a+15.

3. Acontinuaciónsetepresentanvariasexpresionesalgebraicas.Debesdecir,paracadaunadeellas,sisetrataono,deunafunción.Explicadetalladamentetusrespuestas.

4. Seafunafuncióndevariablerealtalquef(x)= a)Calculaf(0),f(1),f(−1)yf(0.2) b)Pruebaquef(a)+f(−a)=a2+1.

5. Lafunciónfestádadaporelgráficodeladerecha: a)Determinaf(0),f(1),f(2),f(4)yf(6) b)Determinaelvalordexsif(x)=0;f(x)=1;f(x)=2;

x2+12

Y

3

2

1

-1

-2

X-1 0 1 2 3 4 5 6

b) x2+y2=9 c) y2=2x−4

d) y=5e) x=5

a)3x−2x,six≤40,si4<x<62,six≥6

f(x)=

Enesteapartadoseestudiarácuáleselefectoenlagráficadeunafunciónalsumar,restaromultiplicarunaconstantepordichafunción.Esteefecto,seconvertiráenotrométodoparabosquejarlagráficadeunafunción,quesedenominamétododelastransformaciones.

Sellamatransformaciónatodaalteracióndeunafunción.Existentrestiposdetransformaciones,asaber:traslaciones,dilatacionesyreflexiones.Paraexplorarcómoeslanuevagráficadeunafunciónunavezaplicadaunatransformación,deberásrealizarlasiguienteactividad:

1.4 Graficación de funciones: método de las transformaciones

h

40 cm

20 cm

40 cm

6. Unrecipientecuyaformaesladeunparalelepípedorectan-gularsellenaconunlíquido.Considerandolasdimensionesdelrecipientedelasiguientefigura:

a. Estableceunaexpresiónalgebraicaquenospermitasa-bercuáleselvolumendellíquidoentantovaríalaaltu-ra.

b. ¿Cuáleseldominiodelafunción? c. ¿Cuáleselrangodelafunción? d.Realizaunagráficavolumencontraaltura.

7. Dadaslassiguientesfunciones,determinademaneraanalíticasudominio,trazasusgráficaconayu-dadealgúnsoftwareydeterminaelrangodelafunción.

8. Complementa la caracterización de las funciones del ejercicio anterior indicando: intervalos decrecimientoydecrecimiento,concavidad,máximosymínimos.

3+xx−3

3x+3a.f(x)=5x2+2x−1 b.g(x)=1/x c.g(x)= d.f(x)=

e.f(x)=√4 − x2 f.h(x)=√x2 − 25


Actividad 19

a. Traslaciones verticales 1. Lagráficadef(x)=xes:

f(x)

x

UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=x+1,h(x)=x+2,i(x)=x +1,j(x)=x −2.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado_______________

X

f(x)

0 1 2 3 -3 -2 -1

3

2

1

-1 -2

-3

UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=x2+1,h(x)=x2+2,i(x)=x2 −1,j(x)=x2 −2.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado_______

2. Lagráficadef(x)=x2es:

f(x)

x X

f(x)

0 1 2 3 -3 -2 -1

3

2

1

-1 -2

-3

Sicesunaconstantepositiva,yy =f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,en-tonceslagráficadelafunción:1. y=f(x)+csedesplazacunidadeshacia__________________2. y=f(x)−csedesplazacunidadeshacia__________________Aestetipodetransformación,lollamaremostraslaciones verticales.

Conclusion 1

UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=(x+1)2,h(x)=(x+2)2,i(x)=(x −1)2,j(x)=(x −2)2.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado________

b. Traslaciones horizontales3. Lagráficadef(x)=x2es:

f(x)

xX

f(x)

0 1 2 3 -3 -2 -1

3

2

1

-1 -2

-3

Sicesunaconstantepositiva,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,en-tonceslagráficadelafunción:1. y=f(x+c)sedesplazacunidadeshacia__________________2. y=f(x−c)sedesplazacunidadeshacia__________________Aestetipodetransformación,lollamaremostraslaciones horizontales.

Conclusion 2

desmos

• Aspecto a evaluar: Actividaddeevaluaciónintermedia• Evidencia: Reporteescritodeexploracióncontecnología• Competencia o atributo a evaluar: 5.6


UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=2senxyh(x)=(1/2)senx.-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado____________________________

UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadeg(x)=sen(2x),yh(x)=senx .-Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbásicaconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado____________________________

c. Dilataciones o distorsiones verticales

d. Dilataciones o distorsiones horizontales

4. Lagráficadeunciclodef(x)=Senxes:

5. Lagráficadeunciclof(x)=Senxes:

1. Sic>1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafunción:y=cf(x)seestiraverticalemente.

2. Si0<c<1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafunción:y=cf(x)secomprimeverticalemente.

Aestetipodetransformación,lollamaremosdilataciones o distorsiones ver-ticales.

1. Sic>1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafunción:

y=f(cx)secomprimehorizontalmente.

2. Si0<c<1,yy=f(x)esunafuncióncuyagráfi-caseconoce,entonceslagráficadelafunción:

y=f(cx)seestirahorizontalmente.

f(x)

xX

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

3

2

1

-1

-2

-3

f(x)

= x

2

h(x)

= 0

.25x

2

g(x)

= 6

x2

y

x

Elcoef.mayorque1,estiraverticalmente

Elcoef.menorque1,comprimeverticalmente

f(x)

x

X

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

3

2

1

-1

-2

-3

Conclusion 4

Conclusion 3

X

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

3

2

1

-1

-2

-3

f(x) = senx

Almultiplicarelargumentoporunnúmeromayorque1,comprimehorizontalmente.Haydistorsión.

g(x) = sen(2x)

12


UtilizaDesmosparacontestarlosiguiente:-Obténlagráficadef(x)=−f(x).Trazaestasgráficasenelmismoplanocoordenadodeladerecha.-Comparalagráficadelafunciónbási-caconladelasnuevasfunciones.Describeyexplicaloobservado____________________________

e. Reflexiones con respecto al eje X

6. Lagráficadef(x)=x2es:

1. Siy=f(x)esunafuncióncuyagráficaseconoce,entonceslagráficadelafun-ción:

y=−f(x)seinvierteverticalmente(arribaabajo),esdecir,ocurreunre-flejoconrespectoalejeX.

Conclusion 5

f(x)

xX

f(x)

0 1 2 3 -3 -2 -1

3

2

1

-1 -2

-3

Enlasreglasanterioreslaconstantec,puedeactuarobiensobrelosvaloresdelafunción(valoresdey),obiensobrelosvaloresdelargumento(valoresdex).

Cuandoestésumando,restandoomultiplicandoa lasy,elefectoessobreelejeY,esdecir,haciaarriba,haciaabajo,oefectovertical.

f(x)

x

f(x)

x

f(x) = x3 f(x) + 1 = x3 + 1 f(x) + 3 = x3 + 3

f(x)

x

f(x)

x

b) f(x)

x

f(x)

x

a)

EjemplosObserva:

Solución

f(x) = x3 f(x) - 1 = x3 - 1 f(x) - 3 = x3 - 3

Cuandoestésumando,restandoomultiplicandoalasx,elefectoessobreelejeX,esdecir,hacialade-recha,hacialaizquierda,oefectohorizontal.


f(x)

x

c) f(x)

xf(x) = x3 f(x + 2) = (x + 2)3 f(x + 4) = (x + 4)3

x

f(x)

f(x)

x

d) f(x)

x

f(x) = x3 f(x - 2) = (x - 2)3 f(x - 3) = (x - 3)3

f(x)

x

Observaciones

1. Unodeloserroresmásfrecuentesespensarquesiqueremosdesplazar lagráficadeunafunciónhacialaderechaledebemossumarunnúmeropositivo(véanselasgráficasc).Alsumarunnúmeropositivoalavariableindependiente,obtenemosunefectovisualdedesplazamientodelagráficaha-cialaizquierda.Y,porelcontrario,alrestarunnúmeropositivoax,lagráficasedesplazaaladerecha(véanselasgráficasd).Reflexionayexploraconunatabulación,sobreelporquédeestefenómeno.

Efectuandoprimeroloqueestádentrodelparén-tesisconx,desplazamos3unidadeshacialadere-chalagráficadef(x)=x2.

Acontinuación,consideramosel−2queafectalosvaloresy,desplazandolagráficaúltima,dosunida-deshaciaabajo:

f(x)

3

2

1

-1

-2

X-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x) = x 2

f(x - 3) = (x - 3) 2

f(x)

3

2

1

-1

-2

X-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x) = x 2

f(x - 3) = (x - 3) 2

f(x - 3) - 2 = (x - 3) 2 - 2

Porejemplo:funciónbásicaf(x)=x2.Latransformación,f(x+c)=(x+c)2,afectaalosvaloresx.Latransformación, f(x)+c=x2+c,afectaa losvaloresy.

EjemploDibujalagráficadeg(x)=(x−3)2−2,apartirdelagráficadelafunciónbásicaf(x)=x2.SoluciónLatransformación,f(x+c)=(x+c)2,afectaalosvaloresx.Latransformación,f(x)+c=x2+c,afectaalosvaloresy.

2. El orden adecuado en que deben efectuarselasoperacionesesdedentrohaciaafuera;pri-meroloqueestéadentrodelparéntesisconxydespuésloqueestécony.


1.4 EJERCICIOS• Aspectoaevaluar:actividad de evaluación intermedia• Evidencia: Reporte escrito de resolución de ejercicios y problemas• Competenciaoatributoaevaluar:5.3, 6 y 8

1. Consideralagráficadef(x)=|x|.Trazamediantetransformacioneslasgráficasdelassiguientesfun-ciones:

a.g(x)=−2+|x+2|b.h(x)=3+|x−2|c.i(x)=−|x+1|d.j(x)=−2|x−1|+4

2. Considera la gráficade f(x)=x3.Trazamediante transfromaciones las gráficasde las siguientesfunciones:

a.g(x)=−3+(x+3)3b.h(x)=(x−3)3+1c.i(x)=−(x+3)3+5

3. Consideralagráficadef(x)= √x .Trazamediantetransfromacioneslasgráficasdelassiguientesfunciones:

a.g(x)=√x−5−2b.h(x)=√x+1+3c.i(x)=−√x−5−2

4. Consideralagráficadef(x)=.Trazamediantetransformacioneslasgráficasdelassiguientesfun-ciones:

a.f(x)=

5. Consideralagráficadef(x)=senx.Trazamediantetransfromacioneslasgráficasdelassiguientesfunciones:

a.g(x)=−2+senxb.h(x)=3senxc.i(x)=sen(x+1)d.j(x)=sen(x+1)−3

6. Consideralagráficadef(x)=cosx.Trazamediantetransfromacioneslasgráficasdelassiguientesfunciones:

a.g(x)=−2+cosxb.h(x)=3cosxc.i(x)=cos(x +1)d.j(x)=cos(x+1)−3

7. UtilizaelDesmosparagraficarcadaunadelasecuacionesanteriores.Comparaestasgráficasconlasqueyahabíasobtenido.Sihubodiferencias,reflexionasobreposibleserroresuomisiones.

8. Determinalafórmuladecadaunadelassiguientesfuncionesquetienenlasgráficasmostradas.

f(x)=______________

Justificacióndelarespuesta_______________________

f(x)=______________

Justificacióndelarespuesta_______________________

-3 -2 - 1 1 2 3

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

f(x)

a)

-3 -2 - 1 1 2 3

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

f(x)

b)

1x

1x+3 b.f(x)= 1

x−3 c.f(x)=+21x+3 d.f(x)=−11

x−3


x y0 01 22 43 64 8x ¿?

x y0 01 22 43 64 8x ¿?

b. ¿Qué implicaría examinar la relación representada en la tabla desde una pers-pectiva de covariación?Ésto,loanalizaremosacontinuación:Unaperspectivadecovariaciónenfocasobrepatronesbasadosencómodosvariablescambiansimultáneamente.Estosignifica,quedebemosobservarloscambioscuantitati-vosencadaunadelascolumnasdelatabla.Asípues,desdelaperspectivadecovariaciónnosmovemosyobservamoscambiosenlosvalores,primerodeunvalordex,haciaotrovalordex,yposteriormentehacemos,lomismoparalosvaloresdey.

yx↓↓0=2×02=2×14=2×26=2×38=2×4y=2x

Laperspectivadecorrespondenciatrabajadelasiguientemanera:¿Cómoencuentroyapartirdex?¿Quéhacer?Descompongamoslosvaloresdeyenfactores,tratandodequeestosvaloresyaparezcanenfuncióndex.

Concluimosque:y=2x

Así,estaperspectivanoshapermitidoencontrarlarepresentaciónsimbólicadelafuncióndada,asaber,y=f(x)=2x.

Familia de funciones: un antecedente para la modelización de fenómenos del mundo real1.5

Esútilagrupar funcionesen familiasconpatronesdecambiosimilaresporqueestas funciones,y lassituacionesqueellasmodelan,compartenciertascaracterísticasgenerales.Entreestasfamiliastenemos,lasfuncioneslineales,funcionescuadráticas,funcionesexponenciales,funcioneslogarítmicas,funcio-nestrigonométricas,entreotras.Enestasecciónexploraráslorelativoaestascuestiones.

Elobjetivodetrabajarestasperspectivas,esdesarrollarunaestrategiaquenospermitadeterminarlaexpresiónalgebraicadeunafunciónapartirdesurepresentacióntabular.Éstoseexplicaráatravésdelossiguientesejemplos:

Laperspectivadecovariaciónylaperspectivadecorrespondencia

Ejemplo 1Determinalaexpresiónalgebraicadelafunciónrepresentadaenlasiguientetabla:

Solución a. ¿Qué implicaría examinar la relación representada en la tabla des-de una perspectiva de correspondencia?Unaperspectivadecorrespondenciadelafunción,centralaatención,so-breuna asignacióndeun conjunto aotro.Desde estaperspectiva,nosmovemosdesde los argumentos (valoresde la variable independiente)hacialasimágenes(valoresdelavariabledependiente).Ensímbolos,te-nemoslaasignación:x→yquesetraduceen:

0→0,1→2,2→4,etc.


x y0 31 62 123 244 48x ¿?


Solución

Solución

a. Perspectiva de correspondencia

b. Perspectiva de covariación

Unopodríaobservarqueconformeaumentanlosvaloresdex,tambiénaumentanlosdey.Específicamente,sixaumentaen1,losvaloresdeyseincrementademaneraconstanteen2.

Atención:Estepatrónespecíficoexhibidoporlafuncióndela tabladeunaumento aditivo constanteenvaloresdesali-da,escaracterísticodelasfuncioneslineales.Másadelanteseabundaráalrespecto.Parafuturosanálisis,esconvenienteestablecerqueestacan-tidadenquecambian las salidas, sondiferencias entrecadavalordesalidaysupredecesor,asaber:2−0=2;4−2=2;6−4=2;8−6=2.

Comparandoestosresultadosconlaexpresióny=f(x)=2x,encontradaconelenfoquedecorrespondencia,puedeobser-varsequeelaumento aditivoconstantede+2,enlosvaloresdesalida,eselcoeficentedexenlaecuacióndelafunción(aun-quedebeaclararse,queestacoincidenciasóloesposiblesilosvaloresdexaumentanenunaunidad).

x y0 01 22 43 64 8x ¿?

+1 ↓

+1 ↓

+1 ↓

+1 ↓

+2

+2

+2

+2

y = f(x) = 2 x

y x↓3=¿?6=3×2=3×2112=3×2×2=3×2224=3×2×2×2=3×23

48=3×2×2×2×2=3×24Elvalorinicialdeypuedeescribirse:3=3×20

Concluimosque:y=3×2x

Puedeobservarseque,sixaumentaen1,cadavalordeyes2veceselanterior.

Atención:Estepatrónespecíficoexhibidoporlafuncióndelatabladeunaumento multiplicativo constanteenva-loresdesalida,escaracterísticodelasfuncionesexponen-ciales.Másadelanteseabundaráalrespecto.

Comparando estos resultados con la expresión y = f(x)=3×2x, encontrada con el enfoquede correspondencia,puedeobservarsequeelfactorporelquesemultiplicaunvalordeyparaobtenerelsiguiente,eslabasedelexponen-texdelaecuacióndelafunción,y,elvalordeycuandoxes0,escoeficientededichaecuación.

x y0 31 62 123 244 48x ¿?

+1 ↓

+1 ↓

+1 ↓

+1 ↓

×2

×2

×2

×2

y = f(x) = 3×2x

x y0 31 62 123 244 48x ¿?

¿Cómoencuentroy apartirdex?¿Qué hacer? Descompongamoslos valores de y en factores, tra-tando de que aparezcan en fun-cióndex.


yx↓0=¿?1=1×1=124=2×2=229=3×3=3216=4×4=42

xy ↓1×3=32×3/2=33×1=34×3/4=3

x y0 01 12 43 94 16x ¿?

x y1 32 3/23 14 3/45 3/5x ¿?

x y1 32 3/23 14 3/45 3/5x ¿?

+1 ↓

+1 ↓

+1 ↓

+1 ↓

+1

+3

+5

+7

+2

+2

+2

x y0 01 12 43 94 16x ¿?

x y0 01 12 43 94 16x ¿?



Solución

Solución



b. Perspectiva de covariación

Concluimosque:y=x2

Enestafunción,unprimeranálisisdecovariación(pri-merasdiferencias),noproporcionamuchainformación;una estrategia es hacer un segundo análisis (segundasdiferencias), y en este caso, encontramos un aumentoaditivoconstanteenlosvaloresdesalida.

Atención: Este patrón específico exhibido por la fun-ciónde la tabladesegundas diferencias constantes,envaloresdesalida,escaracterísticodelasfunciones de se-gundo grado.Másadelanteseabundaráalrespecto.

Paraestafunción,laperspectivadecovariaciónsólonoshapermitidoconcluirqueestafunciónesdesegundogrado.Unavezestablecidoelmodelogeneraldeestasfunciones,éstoserádegranayuda.

¿Cómoencuentroyapartirdex?¿Quéhacer?Descompongamoslosvaloresdeyenfactores,tratandodequeaparezcanenfuncióndex.

¿Cómoencuentroyapartirdex?¿Quéhacer?Enestecaso,noparecequeproceda ladescomposiciónde los valo-res de y en factores. Debes considerarestecasoespecialdecomportamientodelasvariables,quevienedadopor:xy=3;obieny=3/x


Puedeobservarseque,sixaumenta,ydisminuye.

Atención:Estepatrónespecíficoexhibidoporlafuncióndelatabladequemientrasxaumenta,ydisminuye,escaracterís-ticodelasfuncionesinversas.Lasfuncionesinversassondeltipo:

xy=k;obieny=k/x

Solución b. Perspectiva de covariación x y1 32 3/23 14 3/45 3/5x ¿?

Aum

enta

Dism

inuye

x y0 02 44 86 12¿? x

+2 ↓

+2 ↓

+2 ↓

+4

+4

+4

y = f(x) = 2x

Debes convencerte que esta tabla representa a lamismafuncióndelejemplo1cuyaexpresiónalgebrai-cases: =f(x)=2x.

Contrarioalosucedidoenlatablaanterior,elaumentoenlosvalo-resdey,nocoincideconelcoeficentedexenlaexpresiónalgebraica.Éstosucedeporquelosaumentosenlosvaloresx,nosonunitarios.

Sinembargo,podemosrazonardelasiguientemanera:sixaumenta+2,yaumenta+4sixaumenta+3,yaumenta+6sixaumenta+4,yaumenta+8si x aumenta +1, y aumenta +2.

Nosinteresaloquepasaconelaumentounitariodex,porqueestonosproporcionaelcoeficientequellevaxenlaexpresiónalgebraica.Sinembargo,observamoslosiguiente:

Éstasrazonesformadasentrelacantidadenlaquecambianlosvaloresy,ylacantidadenlaquecam-bianlosvaloresx,esprecisamenteelvalordelcoeficientedexenlaexpresiónalgebraicadeéstafunción.Estasrazonessondegranimportanciaalclasificarlasfunciones,porloquerecibenelnombreespecialderazones de cambio.

La ideaderazónescentralparael trabajoquehacemosenelanálisisdesituacionesfuncionales.Ladescripciónderazonesdecambioenunarelaciónfuncionalpuedeproporcionarnosinformaciónimportanteacercadeunasituación.Antesdeestudiarrazonesdecambio,estableceremoslasiguientedefinición:

Lavariaciónocambiodeunafunciónenunintervalo,representaelaumentoodisminucióndelafunciónenlosextremosdelintervalo.Estudialossiguientesejemplos.

Razonesdecambio

Latabladeladerecha,eslamismadelejemplo1.Endichatabla,sedebetenerencuentaquelosvaloresdex,aumentanenunaunidad.Bajoestacircunstancia,elaumentode2unidadesenlosvaloresdey,provocaquelaexpresióndelafunciónseay=f(x)=2x.

Ahora,paraestamismafunción,supongamosquesóloconocemoslosvaloresdadosenlasiguientetabla:

x y0 01 22 43 64 8x ¿?

42 = = = =26

384

21


Acontinuacióndeterminaremosloscambiosenvariablesapartirdelagráficayregladeunafunción.

Tiempo Estatura2007 1.452017 1.80

+0.35+10

Valor final menos valor inicial:2017-2010=+10 Valor final menos

valor inicial: 1.80-1.45=+0.35

0 1 2 3

25

20

15

10

5

t (segundos)

s (m

etro

s)

s(t) = 4.9t2

Entonceslarespuestaalapreguntaes:LaestaturadeCarlostuvounaumentode0.35men10años.

Ejemplo 1Actualmente,Carlosmide1.80mdeestatura,yhace10añosteníaunaestaturade1.45m.a.¿Cuántohacambiadolaestaturade10añosalafecha?

Ejemplo 2Sidesdeunatorrede30mdealturasedejacaerunapiedra,dichacaídalibresedescribeporlafórmulas(t)=4.9t2,endondesesladis-tanciaquecaeelcuerpoenmetros,yteltiempoensegundostrans-curridoalcaer.¿Cuántocambialadistanciaquecaelapiedraentre1y2segundos?

SoluciónEnestaactividadseobservandosvariables:estaturaytiempo.Sepidemediruncambioenlavariableestaturaalcambiareltiempo.Asumiendoqueestamosenel2017,lavariabletiempotomavaloresenelintervalo[2007,2017],ylaestaturavaríaenelintervalo[1.45,1.80].

Sialavariableestaturaladenotamoscomoe,suvalorinicialpuedesimboluizarsecomoeiysuvalorfinalcomoef;entoncesel cambio de esta variable puede medirse por la diferencia:

ef − ei = ∆e

Endonde∆erepresenta el cambio de la estatura,y,segúnlainformaciónproporcionada,estecambioes:∆e = ef − ei=1.80−1.45=+0.35metros.

Delamismamanera,sialavariabletiempo,ladenotamoscomot,yasuvalorinicialyfinalcomotiytfrespectivamente,entonceselcambio de esta variable t, se mide por la diferencia:

tf − ti = ∆t

Endonde∆t representa el cambio en el tiempo,y,segúnlainformaciónproporcionada,estecambioes:∆t = tf − ti =2017−2010=+10años.

Solución

Apartirdelagráfica,sepuedeobservarqueelcambioenladistanciadecaídadelapiedraentre1y2segundos,esaproximadamente:

∆s=sf − si =19.6−5=14.6mEsteresultadoesaproximadoypuedevariardeunapersonaaotra.Sinembargo,siutilizamoslafórmulaquemodelaaestefenómeno,asaber,s(t)=4.9t2,seobtendríaunresultadomáspreciso.Paradichocálculo,necesitamosrecordarcómodebeevaluarseunafunciónatravésdesureglayaplicarlasiguienteexpresiónparamedirelcambio:∆s = s(2) − s(1)


Ejemplo 3Determinaelcambiodelafuncióny=x2+xenlosintervalos:a.[0,1],b.[2,4].

Solución a.[0,1]∆y=yf−yi=y(1)−y(0)=(02+0)−(12+1)=0−2=−2

b.[2,4]∆y=yf−yi=y(4)−y(2)=(42+4)−(22+2)=(16+4)−(4+2)=14

0 1 2 3

25

20

15

10

5

t (segundos)

s (m

etro

s)

∆s = s(2) - s(1)

s(1)

s(2)

Sis(t)=4.9t2,entonces:s(1)=4.9(1)2=4.9s(2)=4.9(2)2=4.9(4)=19.6∆s=s(2)−s(1)=19.6−4.9=14.7

Estosignificaqueunobjetoencaídalibre,recorre14.7metrosentrelossegundos1y2.

1. Considerandolainformacióndelejemplo2,contestalassiguientespreguntas: a.¿Cuántocambialadistanciaquecaelapiedraentre0y2segundos? b.¿Cuántocambialadistanciaquecaelapiedraentre0y3segundos?2. Determinaelcambiodelafuncióny=x2+3x−2enlosintervalosindicados: a.[2,4];b.[−2,0]

Actividad 20

Recordemosquelacovariacióntratasobreloscambiossimultáneosentrevariables.Alanalizarre-presentacionestabulares,estosemanifestóobservandocambiostantoenlosvaloresdex,comoenlosdey.Enelcasodecaídalibre,evaluamosladistanciarecorridaporunobjetorespectoaciertointervalodetiempo.Laideaqueahoranecesitamosfijar,esqueestavariaciónsimultáneaentredosvariables,esconvenientequeseestablezcaparavaloresunitariosdelosvaloresdeentrada.Porejemplo,siunauto-móvilrecorre200kmen2horas,lomáscomún,esquereportemosloquerecorreen1hora.Paraello,

establecemoslarazón:yobtenemos:distanciatiempo

Estarazónseescribesimplementecomo100km/hora.Así,cuandohablamosdevelocidad,noses-tamosrefiriendoaunarazón:larazóndistanciaconeltiempo.

Volviendoalejemplo1,sisabemosqueCarloscreció0.35men10años,¿cuántocrecióCarlosporaño?Larespuestalaobtenemosplanteandolarazón:

distanciatiempo

200km2horas

100km1horas= =

Cambio en estaturaCambio en tiempo

0.35m10años= =0.035m/año


Hemosplanteadounarazóndecambio.Unarazóndecambionospermitevercómounavariablecambiaconrespectoaotravariable,esdecir,esuncambiorelativo.Enlasituaciónplanteada,laestaturadeCarloscambióconrespectoaltiempo,arazónde3.5cmporaño.EstonosignificaqueCarloscre-ció3.5cmcadaaño.Pudocrecermásalprincipioyluegodichocrecimientopudohaberdisminuidoydespuésaumentar;peroenpromediosediouncrecimientoenlaestaturade3.5cmporaño.Debidoaesto,realmenteestamoscalculandounarazóndecambiopromedio.Sinembargo,confrecuenciasólousaremos"razóndecambio"envezde"razóndecambiopromedio".

Podemosentonces,definirrazóndecambiodelasiguientemanera:

Razón de cambio,eselcocienteentreelcambioenlavariabledependiente(valordesalida)divi-didoporelcambioenlavariableindependiente(valordeentrada).

Día Profundidaddellagoenmetros

7 15.2914 15.4328 15.5735 15.7142 15.85

Ennotaciónfuncional,decimosque,dadacualquierfunción f(devalorreal)definidaenuninterva-lo[a, b],larazóndecambiopromediodeestafunciónsobreelintervalo,eselcambioenelvalordelafuncióndeaabdivididoporlalongituddelintervalodea ab.

Debidoaqueelcambioenelvalordelafunciónentreaybesf(b)−f(a)ylalongituddelintervalodeaabesb − a,larazónpromediodecambiosobreelintervalo[a,b]es:

Enunescenariográfico,confrecuenciadescribimosestecam-bioenlavariabledependientedivididoporelcambioenlainde-pendientecomo“elevación sobre avance”,queeslapendientedelarectaatravésde(a,f(a))y(b,f(b))talycomosemuestraenlafiguradeladerecha.

"Elevación"correspondealcambioverticalenlagráfica(cam-bioeny),encontrasteaun"avance",quecorrespondeauncam-biohorizontalenlagráfica(cambioenx).

f(a)

a b

f(b)

(a, f(a))

(b, f(b))

b - a avance

elev

ació

n

f(b) - f(a)y = f(x)

x

f(x)

Cambio en valor de salidaCambio en valor de entrada

yfinal−yinicialxfinal−xinicial

∆y∆x =Razóndecambio==

f(b)−f(a)b−a

∆y∆xRazóndecambio==

1. Unvigilantedeunparquemidelaprofundidaddelaguaenunlagoenelmismositioduranteunperiododevariassemanasyregistrólosresultadosenunatabla:

a. ¿Cuálfueelcambioenprofunidaddesdeeldía7hastaeldía14?b. ¿Cuálfueelcambioenprofundiaddesdeeldía14hastaeldía28?c. ¿Cuálfuelarazóndecambiopromedioenprofunidaddesdeeldía7

hastaeldía14?¿Desdeeldía14hastaeldía28?¿Desdeeldía7hastaeldía42?

Actividad 21



El área A de cualquier cuadrado es función de suladolyestádadaporlafórmulaA(l)=l2.Silcrece,entonceseláreatambiéncrece.a. ¿En cuál de los siguientes intervalos crece con

mayorrapidezeláreadelcuadrado?a.1Cuandolcambiade0a1metro.a.2Cuandol cambiade1a2metro.a.1Cuandol cambiade2a3metro.

b. ¿Larapidezconlaquecreceeláreaesconstanteotambiéncambia?

Actividad 22


0 1 2 3 4

16

14

12

10

8

6

4

2

Longitud (m)

Áre

a (m

2 )Larazóndecambiodeunafunciónesunmedioimportanteparadescribirla.Lafunciónquepresen-

talarazóndecambiodemaneramásexplícita,eslafunciónlineal.

Losvaloresenlatablaindicanqueporcadaincrementoeneltiempode1hora,ladistanciaquereco-rreelavióndesdeelpuntodepartidaaumenta900km.Larazóndecambioes:

1800−9002−1

900−01−0

9001

2700−18003−2===...==900

Observación.Paraéstarepresentacióntabulardelafunción,elaumentoaditivoconstantede900,enlosvaloresdesalida,esigualalarazóndecambio;sucedeasí,porquelosvaloresdeentrada,aumen-tanenunaunidad.

Estarazóndecambiotambiénpuedecalcularseconparesdevaloresnoconsecutivos;porejemplo:

Funcioneslineales

Sidefinimosgeométricamentealasfunciones,esdecir,siatendemoslaclasedegráficaquetienen,en-tonces,una función es lineal si su gráfica está sobre una línea recta.Comoconsecuenciadeestehecho,lasfuncioneslinealestienenotracaracterísticarelacionadaconlasrazonesdecambio.

Recordemoslasituacióndelaviónquevuelaa900kmporhora.Lasiguientetablailustraelcompor-tamientodeestafunciónbajounenfoquedecovariación.

+900 +900+900 +900+900 +900+900 +900+900

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

t (tiempotranscurridoenhoras) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10d(distanciarecorridaenkm) 0 900 1800 2700 3600 4500 5400 6300 7200 8100 9000


4500−18005−2

27003==900

9000−180010−6

36004==900

t (tiempotranscurridoenhoras) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10d(distanciarecorridaenkm) 0 900 1800 2700 3600 4500 5400 6300 7200 8100 9000

5−2=+3 10−6=+4

4500−1800=+2700 9000−5400=+3600

Enestapresentación,noseaprecianaumentosconstantes,perotenemosentodosloscasos,razonesdecambioes900.Apartirdeestosresultadospodemosestablecerelsiguientepatrón:

Funcioneslinealesestáncaracterizadasporunarazóndecambioconstante

Ciertamente,lasfuncioneslineales,secaracterizanportenerunaumento aditivo constante;pero,éstopuedeapreciarsesólocuandolosvaloresdeentradacambiandemanerauniforme.Porejemplo,latablaanterior,bienpodríaconsistirdelossiguientesvalores:

t (tiempotranscurridoenhoras) 0 1 2 5 6 10d(distanciarecorridaenkm) 0 900 1800 4500 5400 9000

5−2=+3 10−6=+4

4500−1800=+2700 9000−5400=+3600

Paravisualizarlarazóndecambioenunagrá-fica, recordemos la gráfica de esta situación delavión.Entalgráfica,formamostriángulosconunsegmentohorizontalquellamaremos“avance”(ladiferenciaentredosvaloresx),unsegmentover-ticalquedenominaremos“elevación”(ladiferen-ciaentredosvaloresy),yunsegmentodelarectamisma. Triángulos como éstos, se denominantriángulos de pendiente, y a la razón elevación/avance,seledenominapendiente de la recta,yserepresentaconlaletram.

Elevación (+1800)

0 1 2 3 4

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

X

y = f(x) = 900x

Avance (+2)

Elevación (+900)

Avance (+1)

tiempo transcurrido (horas)

dist

anci

a re

corr

ida

(km

)

pendiente=m====900ElevaciónAvance

18002

9001

pendiente=m=Razóndecambio==∆y∆x

f(b)−f(a)b−a

Además,puedeobservarseque,loquehemosdenominado"elevación",correspondeauncambiover-ticalenlagráfica(cambioendistancia),encontrasteaavance,quecorrespondeauncambiohorizontalenlagráfica(cambioeneltiempo).Entonces:

Observación.Aunqueutilizamoseltérmino“elevación”,esta“elevación”esnegativacuandolaincli-nacióndelarectaeshaciaabajo;encontraste,asumimosque“avance”siempreespositivo.

Elevación (+)

Avance (+)

Recta con pendientepositiva

Elevación (- )

Avance (+)

Recta con pendientenegativa


Funciones de variación directa

Elejemploanteriordelasituacióndelavión,esunafunciónlinealpuestoquesugráficaestásobreunarecta.Peroéstafunciónenparticular,tieneotracaracterísticaespecial:pasaporelorigen.Funcionescomoéstasedenominanfuncionesdevariacióndirecta,y,sedicequelasvariablesinvolucradas,varíandirectamenteproporcional.Lavariacióndirectapuededefinirseentérminosdevariabledelasiguientemanera

Sedicequelavariableyesdirectamenteproporcionalalavariablexsi:y=kx

Enelejemplomencionado, “ladistancia recorridaporel aviónvaríadirectamenteconel tiempotranscurridosegúnlafórmulad=900tóy=900x.

En términos de funciones, una variación directa, esunafunción,dondelarazónentreunnúmeroydelran-go(númerodesalida)yelcorrespondientenúmeroxdeldominio(númerodeentrada),eslamismaparatodaslasparejasdelafunción.

Esdecir,si(x1,y1)y(x2,y2)soncualesquieradosparesordenadosdelafunción,entonces,secumpleque:

y1=kx1→y1/x1=ky2=kx2→y2/x2=k,entonces:=

y1x1

y2x2

Estaeslabienconocidaregla de tres.Paraencontrarlaexpresiónalgebraicadelafunciónen

términosdem,consideremoslafiguradeladerechaenlaqueunodelospuntostieneporcoordenadas(1,m),yelsegundopuntotienecoordenadasgenéricas(x,y):

PuestoquelostriángulosOACyOBPsonsemejantes,secumpleque:=

(x1, y1)

(x2, y2)

y = f(x) = kx

x1

y1

x2

y2

x

y

O(0,0)

y1

x1

y2

x2= = k

C(1, m) P(x, y) = P(x, f(x))

y = f(x)

1

m

xX

Y

O(0,0)

y

y

A Byx

m1

Resolviendoparay,obtenemos:y=mx.Obien:f(x)=mxEstassonlasfórmulasdelasfuncionesdevariacióndirectamenteproporcional.Acontinuación,averiguaremoslafórmulaparaaquellasfuncionesquesonlinealesperonosonde

variacióndirecta.

Fórmuladelasfuncioneslineales

Funcioneslinealessonútilesparamodelarmuchassituacionesdelmundoreal.Lasiguienteactividadexploraunasituacióndeestetipo:

Unvendedordeuniformes,paga$26,250porlacomprade100uniformesgrabadosconlasinicia-lesdequienlocompra,yvenderáa$350cadauniforme.(a)Describirenpalabraslarelaciónentregananciayelnúmero de uniformes vendidos;(b)¿Quépatronespuedesencontrarenlamaneraenlacualunacantidadvaríaenrelaciónconlaotracantidad?;(c)Escribeunareglaoexpresiónparaestarelación;(d)Utilizaunsoftwaredinámicoparatrazarlagráficadeestafunción;(e)Trazasobrelagráficaalmenosdostriángulosdependienteyutilízalosparacomprobarquelarazóndecambioesconstante.

Actividad 23


Ganancia(total),esunafuncióndelnúmerodeuniformes vendidosysedeterminaporelingresodevendernuniformesa$350lapieza,menoselgastodelvendedor($26250)alcomprar100uniformes.Puestoqueseempiezaconunadeudainicial(inversión)de$26,250.00,podemosestablecerquealte-ner0uniformesvendidos,lagananciaesde-$26,250.00,y,apartirdeesemomento,porcadauniformevendido,seiráreduciendoesadeudaen$350.00,hastallegaraunpuntoenquerealmenteempieceahaberganancias.

Uniformesvendidos(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ganancia(G) -26250 -25900-25550 -25200 -24850 -24500 -24150 -23800 -23450 -23100 -22750

+1 +1+1 +1 +1+1 +1+1 +1 +1

+350 +350 +350+350 +350+350 +350 +350+350 +350

Razón de cambio====350∆G∆n

3501

Cambioen GCambioen n

Razóndecambio====350∆G∆n

350010

Cambio en GCambio en n

Porcadauniformevendido,lagananciaseincrementaenunacantidadconstantede$350.

Larazóndecambioes:

EnlasiguientetablavemosvaloresdeG,paraincrementosden(uniformesvendidos)distintosde1.

+350 +350 +350+350 +350+350 +350 +350+350 +350

Uniformesvendidos(n) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ganancia(G) -26250 -22750 -19250 -15750 -12250 -8750 -5250 -1750 +1750 +5250 +8750

+10 +10 +10 +10+10 +10 +10 +10 +10 +10

Enesta tabla, seapreciaque lagananciaaumentaporunacantidadconstantede$3500porcadaaumentoen10enelnúmerodeuniformesvendidos.Entonces:

Observación.Enlatablaqueconsideravariacionesunitariasden,lasdiferenciasentrevaloresdeGsonigualesalarazóndecambio(350=350/1).Sinembargo,enlaotratablaconvariacionesenndis-tintasde1,lasdiferencias(3500),nosonigualesalarazóndecambioquesiguesiendo350.Lasrazonesdecambiodeunafunción,sonrazones,nodiferencias.

Paraencontrarunaexpresiónalgebraicaquerelacionegananciaconnúmerodeuniformesvendidos,debemostenerencuentadoscuestiones:primero,porcadauniformevendido,elgruporecibe$350.Esta ideasepuederepresentarcon350n.Segundo,estaexpresiónnotieneencuenta los$26250dedeudaporcomprar100uniformes;portanto,necesitamos incluir -$26250en lareglade la función,quedandocomo,G(n)=350n–26250.

Acontinuaciónsepresentaunapartedelagráficadeestafunciónsobrelaquesehantrazadodostriángulosdependiente:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

10000

5000

0

-5000

-10000

-15000

-20000

-25000

-30000 Avance(+20)

Avance(+15)

Elevación(+700)

Elevación(+5250)

(20, -19250)

(90, 5250)

Gan

anci

a (G

)

Númerodeuniformesvendidos(n)

G(n) = 350n – 26250


Utilizandoestostriángulos,lafórmuladelafunción,yladefiniciónderazóndecambioennotaciónfuncionalobtenemos:

Intervalo[0,20]:

Intervalo[75,90]:

Unavezmás,hemosdemostrado,queenunafunciónlineal,larazóndecambiopuedeobtenerseconcualesquieradosparesdepuntos(ocualesquieradosparesdetriángulosdependiente).

Ladefinicióngeométricade funciones lineales, como funcionesqueyacensobreuna recta,y losconceptosde lasemejanzadetriángulos,nospermitiránencontrar la fórmulaquecaracterizaaestasfunciones.

Seaf(x)unafuncióncuyagráficayacesobreunarecta.Seab= f(0)ym lapendientede larecta; SeaP(x, y) unpunto genérico sobre larecta(peronosobreelejeX).Conbaseenestainformaciónyteniendoencuentaquelapen-dientempuedeserilustradaencualquiertrián-gulopendiente,podemosdibujarlosiguiente:

A(0,b)

P(x, y) = P(x, f(x))y = f(x)

1

m

x X

Y

O(0,0)

y

y CB

D

1

b

y-b

700020==350

∆G∆npendiente=m=Razóndecambio===G(20)−G(0)

20−0(350(90)−26250)−(350(0)−26250)

20

525015==350

∆G∆npendiente=m=Razóndecambio===G(90)−G(75)

90−75(350(90)−26250)−(350(75)−26250)

20

PuestoquelostriángulosABDyACPsonsemejantes,secumpleque:=y−bx

m1

Resolviendoparay,obtenemos:y=mx+b.Puestoquey=f(x),podemosescribir:f(x)=mx +b

Resumiendo:

Lasfuncioneslinealesestáncaracterizadasporunarazóndecambioconstanteytienenunafórmu-ladeltipof(x)=mx+b,dondemeslarazóndecambioconstante(pendientedelarecta),ybeselvalordeycuandox=0(intersecciónconeleje Y).

Sib=0,lafunciónlinealcontienealpunto(0,0),yesdevariacióndirectacuyaecuación,yasabemosquees,y=mx.

Yaestamosencondicionesdedeterminar la expresiónalgebraicade toda funciónque sea lineal.Estudiaelsiguienteejemplo:

Ejemplo 1Determinasilafunciónexpresadaenlatabladevaloresdeladerecha,eslineal.Encasodequelosea,determinatambiénsuexpresiónalgebraica(regla).

x y0 −11 42 93 144 19


Puestoquelosvaloresenlasentradas,aumentanenunacanti-dadconstante,podemoscalcularsobrelatabla,lasdiferenciasenlosvaloresdesalida.Enestafunción,paracadaaumentoen1en la variable independiente, el valorde la variabledepen-dienteaumentaenunacantidadconstante.Porlotanto,esta-mosenpresenciadeunafunciónlineal.Entonces,suecuaciónesdelaforma:y=f(x)=mx+b.

Losvaloresquedebemosdeterminarsoneldem(razóndecambio)yeldeb(valordeycuandox=0).

Cálculodem.m=Razóndecambio====5

Solución

+1↓+1↓+1↓+1↓

4−(−1)=5

9−4=5

14−9=519−14=5

x y0 −11 42 93 144 19

Determinacióndeb.Puestoquey=−1,cuandox=0,entonces,b=−1.Sustituyendoestosvaloreseny=f(x)=mx+b:

y=f(x)=5x+(−1).y=f(x)=5x−1).

∆y∆x

51

Cambio en yCambio en x

Representagráficamentelafunciónanterior,ydeterminalapendienteatravésdeuntriángulodependiente.

Actividad 24


Cálculodeb.Enestecaso,noconocemoselvalordey cuandox=0.Asíque,debemoscalcularlo.Puestoquem=2,lafórmula"parcial"deestafunciónes:y=f(x)=2x+b.Pero,yasabemosquecualesquierpardepuntos(x,y)delafunción,essolucióndesuecuación.Siescogemoselprimerpardevalores:x=15,y=62.Sustituyendoestosvaloreseny=f(x)=2x+b: 62=f(15)=2(15)+b.Despejandoab:62=2(15)+b.62−30=b.b=32.

Estafunción,aunquenopresentaaumentosuni-tariosen losvaloresdeentrada,éstosaumentossonconstantes;asimismo,losvaloresdesalidapresentanaumen-tosconstantes.Porlotanto,estamosenpresenciadeunafunciónlineal.Entonces,suecuaciónesdelaforma:y=f(x)= mx+b.

Ejemplo 2Determinasilafunciónexpresadaenlatabladevaloresdeladerecha,eslineal.Encasodequelosea,determinatambiénsuexpresiónalgebraica(regla).Solución

x y15 6220 7225 8230 92

+5↓+5↓+5↓

72−62=10

82−72=10

92−82=10

x y15 6220 7225 8230 92

∆y∆x

105

Cambio en yCambio en xCálculodem.m=Razóndecambio====2

Sustituyendoestevaloreny=f(x)=2x+b,obte-nemoslafórmulapedida:y=f(x)=2x+32


Ejemplo 3Determinasilatabladevaloresdeladerecha,correspondeaunafun-ciónlineal.

Revisemossobrelatabla,lasdiferenciastantoenxcomoeny:

x −1 0 3 5 8y 3.5 5 6.5 8 9.5

x −1 0 3 5 8y 3.5 5 6.5 8 9.5

+1 +3 +2 +3

+1.5 +1.5 +1.5 +1.5

Estafunción,aunquepresentaaumentosconstantesenlosvaloresdey;éstonoesasíparalosvaloresdex.Porlotanto,estafunciónpodríanoeslineal.Calculemoslasrazo-nesdecambioparaverificarésto:

Nohaynecesidaddeseguirconestoscálculos;bastaconencontrardosrazonesdecam-biodiferentesparaconcluirquelafunciónnoeslineal.

Solución

Razóndecambio====1.5∆y∆x

1.51


Razóndecambio====0.5∆y∆x

1.53


1. Determinasilasiguientetablacorrespondeaunafunciónlineal.Siloes,siguelospasosindica-dosparaencontrarsuexpresiónalgebraica.

x −1 5 9 13 17y −3.25 −0.75 1.75 4.25 6.75

a. ¿Esunafunciónlineal?________¿Porque?_____________________________

b. Laexpresiónalgebraicapedidaesdelaforma____________¿Cuálessonlosdatosnecesariosparaestablcerlaexpresióndeestafunción?____________¿Cuáleslarazóndecambiodelafunción?________¿Cómoseobtieneb(elinterceptoconelejeY?______________Encuentraelvalordeb:Laexpresiónalgebraicaes:____________________

2. ¿Cuálesdelassiguientestablaspodríanrepresentarfuncioneslineales?Encuentralaecuacióndeaquellasquesílosean.

Actividad 25


x 0 1 2 3y 27 25 23 21

a. u 0 1 2 3v 5 10 18 28

b. x 5 9 11 14y 20 32 44 56

c.

3. Encadacaso,graficalarectaquepasaporelpuntodado,yquetienelapendientedada. a.(5,−2),m=2b.(−2,4),m=3/4c.(3,1),m=−1/3 d.(0,4),m=−3e.(4,2),m=0f.(−3,1),sinpendiente.


Hemosexploradofuncioneslinealeseidentificadospatroneslinealesdecambioentablas,gráficasyexpresionesalgebraicas.Ahoraconsideramosotrasclasesdefunciones,cuyasrazonesdecambionosonconstantes.Aunqueestasfuncionesnotienenrazonesdecambioconstantescomofuncioneslineales,ellastienenrazonesdecambioquesonpredecibles,yellaspuedenusarseparaparamodelarfenómenosdelmundo-realyrelacionesmatemáticas.

Funcionescuadráticas

Paracontinuarconelenfoquedecovariación,asumiremosquetienespresentelasiguientedefinicióndefuncionescuadráticas:

Lasfuncionescuadráticassonfuncionesquesepuedenescribirenlaformay=f(x)=ax2+bx+cparaalgunasconstantesa,byc,dondeanoes0.

Conlasiguienteactividad,empezaremosaexplorarestetipodefunciones.

Dadalaexpresiónalgebraicadetresfuncionescuadráticas:1. Determina una tabla de valores para cada

unadeellas. ¿Quéobservas?¿Quédestaca?Usaelenfo-

quedecovariaciónydeterminalasdiferen-ciasentrecadaunodelosvaloresinmediatoeinferior.¿Esunafunciónlineal?¿Porqué?

Actividad 26

Podríashaberobservadoqueadiferenciadelasfuncioneslineales,aquí,conformexseincrementaen1,yseincrementaenunacantidadnoconstante.

Aunqueestasfuncionesnotienenrazonesdecambioconstantescomofuncioneslineales,ellastie-nenrazonesdecambioquesonpredecibles,yellaspuedenusarseparamodelarfenómenosdelmundo-realyrelacionesmatemáticas.Lasiguienteactividadtepermitiráavanzarhaciaunacaracterizaciónquehagapredeciblesaestasfunciones.

x y−101234

x y−101234

x y−101234

c.y=x2+5x+2


Ahora, vamosadarunpasoadicional: en los inci-sosb)yc),determinalassegundasdiferenciasentrecadaunadelasprimerasdiferencias.¿Quéobservas?

Actividad 27

x y−1 30 21 32 63 114 18

−1+1

+3

+5

+7

Primerasdiferencias

Segundasdiferencias

1−(−1)=2

3−1=25−3=27−5=2

a.y=x2+2

a.y=x2+2 b.y=3x2+3x


Debisteobservarqueenestasfunciones,lasprimerasdiferencias,nosonconstantes,perolassegun-dasdiferencias,sísonconstantes.Estepatrónespecíficodecovariaciónexhibidoporestasfuncionesescaracterísticadelasfuncionescuadráticas.

Silosvaloresdeentradavaríanenformaconstante,ylassegundasdiferenciasenvaloresdesalidasonigualesaunaconstantediferentedecero,entonces,lafunciónescuadrática.

Aúnmás,enlastablasanteriores,losvaloresdeentrada(valoresdex)variaronenunaunidad,porloquelasdiferenciascalculadas,sondehechorazonesdecambio,asíquepodemosasegurarque:

Funcionescuadráticasestáncaracterizadasporrazonesdecambioqueellasmismasestáncam-biandoaunarazónconstante.Enotraspalabras,enunarelacióncuadrática,larazóndecambiodelarazóndecambioesconstante.

Ahorabien,lasfuncioneslinealestienenporgráficaunalínearecta,¿quétipodegráficatendráunafuncióncuadrática?

+18

+24

x y−1 00 01 62 183 364 60

0+6

+12

Primerasdiferencias

Segundasdiferencias

b.y=3x2+3x

x y−1 −20 21 82 163 264 38

Primerasdiferencias

Segundasdiferencias

+4+6

+8

+10

+12

c.y=x2+5x+2

Enlaactividad15yatrabajasteconunafuncióncuadrática,asaberA=l2,quedescribelarelaciónentreeláreadeunaparedcuadradaylalongituddesulado.Enelcontextoparticularconsiderado,sólovalorespositivosdel(longituddeloslados)tienensentido,porloquelagráficaobtenidasólodebetra-zarseenelprimercuadrante,talycomosemuestraacontinuaciónalaizquierda.Sinembargo,éstagráfi-ca(surgidadeuncontexto),espartedelagráficacorrespondienteay=x2,mostradaenlapartederecha:

0 1 2 3 4

16

14

12

10

8

6

4

2

Longitud (m)

Áre

a (m

2 )

A(l) = l2

f(x)

f(x) = x 2

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

16

14

12

10

8

6

4

2


Desdeelpuntodevistagráfico,unafuncióncuadráticaesaquellaquetieneporgráficaunacurvadenominadaparábola.Portanto,lagráficadecualquierfunciónconunaregladeltipof(x)=ax2+bx+c,paraadiferentedecero,tieneporgráficaunaparábola.

Yaestamosencondicionesdedeterminarlaexpresiónalgebraicadetodafunciónqueseacuadrática.Estudiaelsiguienteejemplo.

Solución Primerorevisemossilafunciónescuadrática.

Porlotanto,elproblemasereducearesolverelsistema:

Enesta función, al variar los valoresxen forma constante, las segundasdife-renciassonvaloresconstantes(+4).Porlotanto,esta-mosenpresenciadeunafuncióncuadrática.Entonces,suecuaciónesdelaforma:f(x)=ax2+bx+c.

El trabajoahora,esdeterminar losvaloresdea,byc.Puestoquetenemostresincógnitas,necesitamosutili-zartrescondicionesquesecumplanparaestasituación.Cadaparordenadodelatablapuedeutilizarse.

Delatablasabemosque:f(0)=5,entonces,f(0)=5=a(0)2+b(0)+c→5=cf(1)=3,entonces,f(1)=3=a(1)2+b(1)+c→3=a+b+cf(2)=5,entonces,f(2)=5=a(2)2+b(2)+c→5=4a+2b+c

EjemploDeterminalaexpresiónalgebraica(regla)delafunciónrepresentadaporlosdatosdelatabladeladerecha.

x y0 51 32 53 114 21

+1↓+1↓+1↓+1↓

x y0 51 32 53 114 21

Primerasdiferencias

Segundasdiferencias

−2 2−(−2)=4

6−2=410−6=4

2

+6

+10

c=5(1) a+b+c=3(2)4a+2b+c=5(3)

→

→→

Sustituyendo(1)en(2)y(3):

a+b+5=3(4)4a+2b+5=5(5)

Porlotanto,larepresentaciónalgebraicadeestafunciónes:y=f(x)=2x2−4x+5

Multiplicando(4)por−4ysumandoelresultadocon(5)

→

Sustituyendo(1)y(6)en(2):a+(−4)+5=3:a=2

Funcionescuadráticassonútilesparamodelarmuchassituacionesdelmundo-real.Lasiguienteac-tividadexploraunasituacióndeestetipo.

−4a−4b=84a+2b=0

−2b=8b=−4(6)


Númerodeparticipantes 2 3 4 5 6 7Númerodesaludosdemano 1 3 6 10 15 21

+1 +1 +1 +31

+2Primeras diferencias:

Númerodeparticipantes 2 3 4 5 6 7Númerodesaludosdemano 1 3 6 10 15 21

+1 +1 +1 +1

+2+1

+3 +4 +5 +6Primeras diferencias:segundas diferencias:

¿Lafuncióneslineal?_____¿Porqué?__________________________________

c. Lasiguienteopciónesindagarsilafunciónescuadrática;paraellodeterminalassegundasdife-rencias:


Sevaarealizaruntorneodeajedrez,yunodelosorganizadoresproponequecadaparticipantesa-ludedemanoacadaunodelosotrosparticipantes.Algunosorganizadoresapruebanestaidea,perootrospiensanquetantossaludosdemanopodríanllevarmuchotiempo.Paradecidirlacuestión,alguienpropusoqueseintentaraestimarcuantossaludosdemanopodríanocurrir,suponiendoqueson30losparticipanteseneltorneo.Elnúmerototaldesaludosdemanodependede,oesfunciónde,elnúmerodeparticipanteseneltorneo.Resuelvelassiguientescuestionesparadeterminarcúan-tossaludosdemanoseproducen.

a. Enlasiguientetablaregistraelnúmerodesaludosdemanopara2a7participantes.

Númerodeparticipantes 2 3 4 5 6 7Númerodesaludosdemano

b. Analizalafunciónconunenfoquedecovariación,empezandopordeterminarlasprimerasdife-rencias:

Actividad 28

Debisteencontrarque,lassegundasdiferencias(enotraspalabras,lasdiferenciasquemuestranelcambioenelcambio)sonconstantes.Portanto,estaesunafuncióncuadrática,porloquesuexpresiónalgebraicaesdelaformaf(x)=ax2+bx+c.

Eltrabajoahora,esdeterminarlosvaloresdea,byc.Puestoquetenemostresincógnitas,necesita-mosutilizartrescondicionesquesecumplanparaestasituación.Seaxelnúmerodeparticipantesyf(x)elnúmerodesaludosdemano.

Delatablasabemosque:f(2)=1,entonces,f(2)=1=a(2)2+b(2)+c→1=4a+2b+cf(3)=3,entonces,f(3)=3=a(3)2+b(3)+c→3=9a+3b+cf(4)=6,entonces,f(4)=6=a(4)2+b(4)+c→6=16a+4b+cPorlotanto,elproblemasereducearesolverelsistema: 4a+2b+c=1 9a+3b+c=3 16a+4b+c=6Laactividad25teinvitaaconcluirlaresolucióndeesteproblema.


x 2 4 6 8 10y 1 9 25 49 81

a. u 1 2 3 6v 2 5 10 17

b. x 3 6 9 12y 10 37 82 145

c.

Posición5Posición1 Posición2 Posición3 Posición4

10ángulos0ángulos 1ángulos 3ángulos 6ángulos


1. Resuelveelsistema:4a+2b+c=1 9a+3b+c=3 16a+4b+c=6

2. Sustituyelosvaloresdea,bycenf(x)=ax2+bx+c.3. Evalúaf(30). Debesencontrarque f(30)=435.Por tanto, los30participantesproducirán435 saludosde

mano.4. ¿Cuálesdelassiguientestablaspodríanrepresentarfuncionescuadráticas?Determinalaecua-

cióndeaquellasquesílosean.

Actividad 29

5. Considerarlaseriedeángulosformadospor1,2,3,4y5rayosconunextremocomún:

Alconsiderarelnúmerodeposiciónenlaseriecomox,variableindependiente(valordeentrada),yelnúmerodeángulosformadocomoy,variabledependiente(valordesalida),secreaunafuncióndenominadaángulos,conlasiguientetabladevalores:

x 1 2 3 4 5 ny 0 1 3 6 10 f(n)

Compruebaqueestaesunafuncióncuadráticayencuentrasufórmula.¿Cuántosángulosforman10rayos?

Funcionesexponenciales

Otradelasfuncionescongranaplicaciónenlavidarealsonlasfuncionesexponenciales.Lacaracterís-ticaquedefineaestasfuncionesesquecambian(aumentanodisminuyen)muyrápidamenteynoenformaconstantecomoocurreconlaslineales.

Funcionesexponencialesmodelanvariassituacionesdelmundorealenquecantidadesaumentanodisminuyenenunarazónproporcionalalacantidadpresente.Crecimientopoblacionalsobreeltiempoydepreciaciónenvalorsobreeltiemposonambosejemplosdefuncionesexponenciales.Aligualquelas funcionescuadráticas, funcionesexponenciales tienenuna razóndecambioquenoesconstante(comounafunciónlineal)sinoquecambia.Enelcrecimientoexponencial,larazóndecambioaumentasobreeltiempo,peroendecrecimientoexponencial,larazóndecambiodisminuyesobreeltiempo.


Enejemplo2,de lapágina51 exploramosuna funciónque resultó serexponencial.Acontinuaciónreproducimoseltrabajorealizadoconestafunción:

Enlatablaobservamoslosiguiente:• Losvaloresdexaumentanen1,ycadavalordeyes2veceselan-

terior.Esdecir,éstafunciónpresentaunaumento multiplicativo constanteenvaloresdesalida.

• El enfoquepor correspondencianospermitiódeterminar la ex-presiónalgebraicadeestafunción,asaber,y=f(x)=3×2x.

• Puedeobservarsequeelfactorporelquesemultiplicaunvalordeyparaobtenerelsiguiente,eslabasedelexponentexdelaecua-cióndelafunción;estefactorsedenominafactor de cambio.

• Elvalordeycuandoxes0,eselcoeficientededichaecuación.

Enelplanocoordenadodeladerecha,sehanlocalizadolascoordenadasmostradasenlatabla;unelospuntos.¿Quéformatienelagráfica:curvaorecta?¿Podríaserunaparábo-la?Utilizalafórmulaf(x)=3×2xquedescribeaestafunciónparadeterminarmáspuntosquecorrespondanavaloresdex negativos, e inclusive valores decimales tanto positivoscomonegativos.

Definiciónycaracterizacióndefuncionesexponenciales

×2

×2

×2×2

x y0 31 62 123 244 48x ¿?

+1↓+1↓+1↓+1↓

y=f(x)=3×2x

f(x)

f(x) = 3×2x

- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

24

21

18

15

12

9

6

3

f(x)

Lafunciónfdefinidaporf(x)=3×2x,paratodonúmerorealxsedenominafunciónexponencialconbase2.

Éstafunciónf(x)=3×2xes creciente,puestoquealmovernosdeizquierdaaderecha,sugráficasube.

Parareforzarlacomprensióndeestetipodefórmula,resuelvelasiguienteactividad:


Lasiguientetabladedatosrepresentaelcrecimientodeunaplantah,comofuncióndeltiempot.Analizalosdatosparaencontrarunpatróndecomportamientoparaestafunción;paraello,reflexio-naycontestaenlaslíneasloquesetepide.

Tiempot(semanas) 0 1 2 3 4Alturah(mm) 5 7.5 11.25 16.875 25.3125

a. ¿Latabladadacorrespondeaunmodelolineal?______¿Porqué?__________________b. ¿Latabladadacorrespondeaunmodelocuadrático?_____¿porqué?________________c. ¿Cómocrecelaalturadelaplanta?______________________________________d. ¿Quéalturadelaplantaesperasquehayaparalasextasemana?____________________e. ¿Quéhicisteparaobtenerlacantidadanterior?______________________________

Actividad 30


Paraencontrarestefactor,puedesdividirunvalordesalidaentreelvalordesalidaanterior:Segundo valor de salidaprimer valor de salida ==1.57.5

5Tercer valor de salida

Segundo valor de salida ==1.511.257.5

Cuarto valor de salidaTercer valor de salida ==1.516.875

11.25

Pudistehaberaplicadoelenfoquedecovariaciónyestablecerelsiguientecomportamientodelasprimerasysegundasdiferencias:

Porlotanto,estamosenpresenciadeunafunciónquenoesnilinealnicuadrática.Parapoderavan-zar,envezdeplanteardiferencias,analizamoscadaalturabuscandounfactorconstante;convéncetequeenestafunción,cadavalor(conexcepcióndel0th),seobtienemultiplicandoelanterior,porelfactorconstante1.5,talycomoseobservaenlasiguientetabla:

+1 +1 +1 +1

Primeras diferencias:Segundas diferencias:

+1

+2.5 +3.75 +5.625 +8.4375+1.25 +1.875 +2.8125


Para obtener un valor, el valor previo se multiplica por1.5.

+1 +1 +1+1 +1

×1.5 ×1.5 ×1.5 ×1.5


t h0 51 7.52 11.253 16.8754 25.3125

Paraencontrarhapartirdet,descomponemoslosvaloresdehenfactores,utili-zandoelfactorencontradoytratandodequeaparezcanenfuncióndet.

h t↓5=¿?7.5=1.5×5=5×1.5111.25=1.5×7.5=1.5×1.5×5=5×1.5216.875=1.5×11.25=1.5×1.5×7.5=1.5×1.5×1.5×5=5×1.53

25.3125=1.5×16.875=1.5×1.5×11.25=1.5×1.5×1.5×7.5=1.5×1.5×1.5×1.5×5=5×1.54

Elvalorinicialdehpuedeescribirse:5=5×1.50Concluimosque:h(t)=5×1.5t

Paraobtenerestafórmulah(t)=5×1.5tquedescribelaalturadeunaplanta,consideramosquelosvaloresdeentradaparateranenterospositivos,perolafórmulaparah(t)tienesentidoinclusivecuan-doasignamosatvaloresquenosonenteros.Estafunciónh(t)=5×1.5t,dondetpuedetomartodoslosnúmerosreales,esotroejemplodefunciónexponencial.Estasfuncionessecaracterizanportenerunfactor de cambioconstante;esdecir,podemosidentificarunnúmeroquealmultiplicarloporunvalorpresenteobtenemoselsiguientevalor.Esporesoqueestasfuncionescambianmuyrá-pidamente.

Trazalagráficadeestafunción,enelplanocoordenadodeladerecha.Utiliza su fórmulah(t)=5×1.5t paradeterminarmáspuntos que correspondan a valores de t negativos; si lo consi-deras necesario, también utiliza valores decimales para t tantopositivoscomonegativos.Estafunción,aligualqueladiscutidaanteriormente,tambiénescreciente.

h(t)

t


Acontinuación realiza la siguiente actvividadque tepermitirá exploraruna funciónexponencialdecreciente.


Analizalasiguienterepresentacióntabularquecorrespondeaunafunciónexponencial.(a)Calculasufactordecambio,(b)Determinasuecuación,(c)Trazasugráfica,¿Escrecien-teodecreciente?

Actividad 31

x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

60

50

40

30

20

10

f(x)

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3y 96 48 24 12 6 3 1.5 0.75 0.375

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

60

50

40

30

20

10

f(x)

Tu análisis debe permitirte establecer que esta función(cuyagráfica semuestra a laderecha), esdecreciente, yquetieneporfórmula,y=f(x)=3x

Lasgráficasanteriores,muestranquesia>1,entoncesfescrecienteentodoeldominio,y,elejeXesunaasíntotahorizontal.Si0<a<1,entoncesfesdecrecienteeneldominio,conelejeXtambiéncomoasíntotahorizontal.

Engeneral,sepuededefinirunafuncióncuyodominioesRyelrangoeselconjuntodelosnúmerosrealespositivos,talycomosemuestraacontinuación:

(0, b)

y

x(0, b)

y

x

Concepto Definición Gráficadefparaa>1 Gráficadefpara0<a<1Función exponencial fconbaseaeinterceptocony en(0,b)

y=f(x)=baxparatodaxenR,dondea>0ya≠1.

12

Sia=0,entonces,a0=00noestádefinido.Sia=1,entonces,y=b(1)0=b;representaaunarectahorizontal.

Enlafórmulay=f(x)=baxdeunafunciónexponencial,elpará-metrobeselinterceptoconelejeY(elvalordeycuandox=0),alquellamaremosvalorinicial,y,elparámetroasellamabasedelafunciónyrepresentaelfactor de cambiodelafunción.

y=f(x)=baxIntercepto con y

Factor de cambio

(−3)=√−3=noesreal12

(−3)=√(−3)3=noesreal34 4

Convieneaclararporquéexcluimosloscasosa≤0ya=1.Sia<0,entoncesaxnoesunnúmerorealparamuchovaloresdexcomoporejemplo:


x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

6

5

4

3

2

1

f(x)

Sea:x=−1;→f(−1)=2−1=2=1.3.

Lacurvapasapor(−1,1.3)

23

32

Sea:x=1;→f(1)=21=2=3.Lacurvapasapor(1,3)32

32

Sea:x=2;→f(2)=22==4.5.Lacurvapasapor(2,4.5)92

32

32

Trazodegráficasdefuncionesexponenciales

SoluciónLagráficaesdelaformay=f(x)=bax.Cona>0;porlotanto,representaaunafunciónexponencialcreciente,conintercepto(0,2)yasíntotahorizontalenelejeX.Conestainformación,bastacondeter-minardosotrespuntosadicionalesparauntrazoconfiabledelacurva.

EjemploTrazarlagráficadey=f(x)=2x

x y=3x+10 11 42 73 104 13n y=3n+1

→f(1)−f(0)=4−1=3→f(2)−f(1)=7−4=3→f(3)−f(2)=10−7=3→f(4)−f(3)=13−10=3→f(n)−f(n−1)=3

Ahorabien,puestoque loscálculosanexadosalatabla,serefierenaentradascon1unidaddedi-ferencia,elvalor3,constanteencadadiferenciaentreunvalordesalidayelanterior,estambiénla razóndecambiode la función;por lo tanto,podemosasegurarqueparatodafunciónlineal,con valores de entrada variando uno a uno, secumpleque:

f(n)−f(n−1)=Razón de cambio


Daunargumentodeporquélarazóndecambiodeestafunciónlineales3,yacontinuaciónverificalavalidezdelassiguientesafirmaciones:

Actividad 33

Debemostenerclaro,queelfactor de cambio,noeslarazón de cambioquehemosvenidotrabajan-do,y,puestoquelanaturalezadelarazóndecambiodeunafunción,determinaeltipodefórmulaquetiene,acontinuaciónrevisaremosquélugarocupalarazóndecambioenlasfuncionesexponenciales.Paraello,volveremosarevisarenlaactividadsiguiente,elcasodeunafunciónlineal,yposteriormentelafunciónexponencial.

a.f(x)=x


Trazalasgráficasdelassiguientesfuncionesexponenciales:

Actividad 32

12 b.f(x)=2

x12 c.f(x)=1.5

x43


→f(1)−f(0)=15−5=10=2(5)→f(2)−f(1)=45−15=30=2(15)→f(3)−f(2)=135−45=90=2(45)→f(4)−f(3)=405−135=270=2(135)→f(n)−f(n−1)=2f(n−1)

Al igualqueen la funciónanterior, losvaloresdeentradavaríandeunoenuno,yporlotanto,cadadiferenciaentreunvalordesalidayelanterior,estambiénlarazóndecambiodelafunción;Ade-más,seobservaqueestarazóndecam-bioes2veceselvalordesalidaanterioraltiempoevaluado.Enotraspalabras,la razón de cambio de esta función, es pro-porcional a la población,conconstantede proporcionalidad 2. Esta constantesedenominatasaoritmoconelquelafunciónaumenta(cuandoescreciente),odisminuye(cuandoesdecreciente).

Ahora,haremosunanálisisparecidoalanterior,para la tabladeuna funciónexponencial.Debesconvencertequeelfactordecambiodeestafunciónes3,yacontinuaciónverificalavalidezdelassiguientesafirmaciones:

Ahorabien,siloquesenecesitaparaestablecerlaecuacióndeunafunciónexponencialeselfactordecambio,¿quépapeljueganlarazón de cambioyladenominadatasa de variación?

Siloquetenemoscomoinformaciónesunatabladevalores(comoenlosejemplosprecedentes),loqueprocedeesdeterminarelfactordecambio,pero,lomáscomúnesquesenosproporcionelatasaoritmoconelquelafunciónaumentaodisminuye,talycomosemuestraenelsiguienteejemplo.

EjemploEnel2015,elInstitutoNacionaldeEstadísticayGeografíareportóquelapoblacióndenuestropaísal-canzó119.5millonesdehabitantesconunatasadecrecimientopromediode1.4%anualenlosúltimoscincoaños.Conestatasa,estimarlapoblaciónpara2016y2017.SoluciónPodemosconsiderarquelafechaactualest=0,lade2016est=1,ylade2017est=2,yconstruirlasiguientetabla:

t(años) P(millones)

0 119.5

1 ¿?

2 ¿?

t(años) P(millones)

0 119.5

1 121.2

2 122.9

→ Poblaciónactual:P=119.5

→ P=119.5

→ Poblaciónalpasar1año:P=119.5+1.4%(119.5)=119.5+0.014(119.5)=119.5+1.67=121.2

→ P=119.5+1.4%(119.5)=119.5+0.014(119.5)=119.5(1+0.014)=119.5(1.014)=121.2→ P=121.2+1.4%(121.2)=121.2+0.014(121.2)=121.2(1+0.014)=121.2(1.014)=122.9

→ Poblaciónalpasar2años:P=121.2+1.4%(121.2)=121.2+0.014(121.2)=121.2+1.767=122.9

x y0 51 152 453 1354 405n ¿?

×3

×3

×3×3


Elanálisisanterior,nospermitellegaralasiguienteconclusión:

Siunafunciónexponencialcrecientetieneunatasadecrecimientoder%cadaaño,elfactordecam-bioseobtienesumandounaunidadaesatasaanual.Similarmente,silafunciónesdecreciente,elfactorseobtienerestandoesatasadelaunidad.Esdecir,

Factordecambio=1+rSilafunciónescrecienteFactordecambio=1−rSilafunciónesdecreciente

Resuelve:¿Cuálserálapoblaciónparat=3?_____________________________Lafórmuladeestafunciónes:_______________Asíque,lacantidadennegritasnosindicaque,silapoblacióndeunciertoañolamultiplicamospor

1.014seobtendrálapoblacióndelsiguienteaño.Esdecir,elfactordecambiodeestafunciónes1.014.Resuelve:Paraestafunción,latasadevariaciónes0.014,ysufactordecambioes1.014,¿quérelación

hayentreellos?_________________________________

EjemploElnúmerodebacteriasdeuncultivoaumenta10%porminuto.Siinicialmentehay1000bacterias,plan-teaunafórmulaquepermitadeterminarelnúmerodebacterias(B)enfuncióndeltiempo.¿Cuántashabráluegodetresminutos?

SoluciónLainformación"aumenta10%porminuto",significaqueestamosenunasituacióndecrecimientoex-ponencial.Porlotanto,laecuaciónausares:f(x)=bax.Deestamismainformación,concluimosquelafuncióntieneunatasadecrecimientoiguala10%.Porlotanto,elfactordecambioaesiguala:1+0.20=1.20.Lainformación"inicialmentehay1000bacterias",nosindicaqueelvalorinicialbesiguala1000.Porlotanto,laecuaciónquepermitedeterminarelnúmerodebacteriasenfuncióndetiempoes:

B(t)=1000(1.20)t.Lacantidaddebacteriasquehabrádespuésde3minutosserá:

B(3)=1000(1.20)3=1000(1.728)=1728bacterias


a. Elcenso2010muestraqueciertaregióntieneunapoblaciónde40,000personas.Científicossocialespredicenqueestaregiónexperimentaráunatasadecrecimientode5.5%alaño.SeaP lafuncióntalqueP(t)eslapoblaciónpredichaparaestaregión.Determinalafórmulaparaestafunción,y,encuentralapoblaciónquehabráen2020silatasadecrecimientonocambia.

Actividad 34


Puestoquelafunciónesexponencial,laecuaciónausaresf(x)=bax.Delatablaobservamosqueb=3(valordeyparax=0).Entonces,podemosescribir:f(x)=3ax

Elusodelafórmulaf(x)=bax,sóloesválidosilosvaloresdelavariableindependientevaríandeunoenuno.Cuandoéstenoseaelcaso,el factordecambioesafectadoporunexponente.Paraqueesteexponentesemanifieste,no debemos sustituir directamenteenf(x)=bax,dichofactordecambio,sinoprocedertalycomoseindicaenelsiguienteejemplo:

Enlatablasiguientesemuestraunafunciónqueesexponencialconfactordecambioiguala5.deter-minarsuecuación

Establecerlafórmuladeunafunciónexponencialenlaquelosvaloresdeentradanocambiandeunoenuno

×5

+2

×5

+2

×5

+2x(años) 0 2 4 6

y(poblaciónenmillones) 3 15 75 375

Latablatambiénnosindicaqueelfactordecambioes5,perolosvaloresdexnocambiandeunoenuno,sinodedosendos.Éstonosimpidesustituirdirectamenteel5enlafórmula,porloqueprocede-moscomoseindicaacontinuación:

Yasabemosquelaecuaciónbuscadatienlaformar:f(x)=3ax

Pero,tambiénconocemostresparesdecoordenada(x,y)quedebensatisfaceresaecuación.Sielegimosx=2,ysurespectivaimageny=15,entoncessedebecumplirque:

f(2)=15=3a2

Despejandoa:15=3a2

Porlotanto,laecuaciónbuscadaes:f(x)=3((5)1/2)x=3×5x/2,engeneral,podemosconcluir:Enunafunciónexponencialconvalorinicialbyfactordecambioa,silosvaloresdexcambiandenenn,lafunciónquedaexpresadadelaformaf(x)=bax/n.

Acontinuaciónresolveremosalgunosejemplosqueconsistenendeterminarlafórmulaomodelodefuncionesexponenciales.

153 =a2

5=a2

(5)1/2=a → Ésteeselvalordeaquedebesustituirseenlafórmulaoriginalf(x)=bax

EjemploApartirdelasiguienterepresentacióntabularquecorrespondealaevolucióndeciertapoblación,de-terminalafórmuladelafunción.

x(años) 0 20 40 60y(poblaciónenmillones) 5 15 45 135

SoluciónPrimerodebemosidentificarquétipodefunciónes;veamossieslineal:

+10 +30 +90

+20 +20 +20x(años) 0 20 40 60

y(poblaciónenmillones) 5 15 45 1351020

3020

9020

Razonesdecambio:≠≠


Lafunciónpresentaal3comounfactordecambioconstante.Porlotanto,éstafunciónesexponencial.Ahorabien,puestoquelosvaloresdeentradavaríande20en20,nodebemosusarlaecuaciónf(x)= bax,sinoecuaciónmodificada,f(x)=bax/n.

Losdatosquenecesitamosconocerson,b,ayn.Enestecaso,lainformaciónproporcionadanospermi-teestablcerdemaneradirectaestosvalores,asaber:b=5,a=3yn=20.

Entonces,laecuacióndeestafunciónes:f(x)=5(3)x/20:

Deestaformaquedaindicadoqueelfactordecambiodelapoblaciónescada20años.Sinembargo,aplicandoleyesdeexponentes,podemosescribirf(x)=5(31/20)x;Elevando3alexponente1/20,laecuaciónquedaexpresadacomof(x)=5(1.056467)x.Estaexpresión,yapresentaunfactordecambioparavaloresdesalidaquepuedenobtenersecuandolosvaloresdeentradavaríandeunoenuno.


Enlatablaadjunta,semuestraelcrecimientodelapoblacióndeciertaciudad,elcualhasidoexponencialenelperiodode1990a2015.a. Planteaunafórmulaparaestapoblaciónenfuncióndeltiempo.b. Decontinuaresatendencia¿cuálserálapoblaciónen2020?

Actividad 35

Año 2010 2015Habitantes 345,291 1,536,723

Funcioneslogarítmicas

Lasfuncioneslogarítmicastienenampliasaplicaciones,peroenelpresenteestudiosóloatenderemoslosaspectosquesonnecesariosparacomplementaralgunoscálculosimplicadosenlasfuncionesexpo-nenciales.

¿Quéesunlogaritmo?Iniciemosresolviendolaecuación:2x=32Paracalcularelvalorde x,contestemoslapregunta:¿aquéexponentehayqueelevarlabase2para

obtenerelnúmero32?Larespuestaes5puestoque:25=32Éstenúmerox=5,recibeelnombredelogaritmo base2de32ysedenotapor:5=log232

EjemploResolver10x=10,000Solución Larespuestaesx=4puestoque:104=10,000Éstenúmerox=4,recibeelnombredelogaritmo base10de10,000ysedenotapor:4=log10,000Observación:¿Porquénoseescribe4=log1010,000?Porquecuandosetratadelabase10éstanoseescribe.Portanto,siemprequeveamosescritolog n,debemossobreentenderquelabasees10.

logn=log10n

155

4515

13545Factordecambio:===3

Lafunciónpresentarazonesdecambiodedistintovalor.Porlotanto,lafunciónnoeslineal.Revisemossilafunciónpresentaunfactordecambioconstante:



Revisalassiguientesproposicionesqueserefierenanotaciónlogarítmica,einterpretasusignificadoentérminosdeexponentes.Sigueelejemplo. Ejemplo:log5u=2→Significa:"elexponentealquehayqueelevarlabase5paraobtenerues2;

esdecir,lanotaciónlog5u=2,esequivalentea52= u". logb8=3→Significa:________________________________________________ r=logpq→Significa:________________________________________________ w=log4(2t+3)→Significa:___________________________________________ log x=3z→Significa:_______________________________________________

Actividad 36

Dadaunaecuaciónexponencial,despejarsuexponente

Enlosejemplospreviosenlosquesepedíaelvalordeunexponentex,nohubonecesidaddedespejarx.Sinembargo,¿cómoresolverporejemplolaecuación3x=25?

Esaquídondeaplicaremosloslogaritmos.Paraello,razonamosenformainversaacomosehizoenlaactividadprevia:esdecir,debemospasardelaformaexponencialalalogarítmica.

EjemploResolver10x=25

SoluciónRazonandoenfuncióndelanotaciónlogarítmica,procedemoscomosigue:Puestoqueelexponenteesellogaritmo,labasees10yloquedebeobtenersees25,ecribimos:

x=log1025.Pero,aquílabasees10,asíqueescribimos:x=log25.Leemos:"xesellogaritmobase10de25".Ahorabien,¿cómodeterminamoselvalordelog25?Debemosusarunacalculadoracientífica,enlaque,paradeterminarlog25,pulsamoslassiguientesteclas:

log25=Yobtenemos:1.398.Entonces,elvalordexen10x=25esx=1.398.Esteprocedimiento,que sebasaen la equivalenciaentre logaritmosyexponentes,puedecambiarseporunoqueconsisteenlaaplicacióndelasiguientepropiedad,quenospermite"bajar"elexponenteconvirtiéndoloencoeficiente:

loga(uc)=clogau

Argumentación: Sear=loga uEntonces,ar=u Interpretacióndelogaritmocomoexponenteuc =(ar)c Elevandoambosladosalapotenciac.uc=acr Propiedaddeexponentes.loga(uc)=loga(acr) Extraerlogaaambosladosloga(uc)=cr Interpretacióndelsignificadodelogaritmo.loga(uc)=cloga u Definiciónder.


Ejemplo 1Despejarx,de5x=N

Ejemplo 2Despejar10x=16

Ejemplo 3Miltruchas,cadaunadeellasde1año,seintroducenenungranestanque.SepronosticaqueelnúmerodeN(t)todavíavivasdespuésdetañosestarádadaporlaecuaciónN(t)=1000(0.9)t.¿Enquétiempo500truchasestaránvivas?

Solución

Solución

Extrayendologaamboslados:log(5x)=log N xlog5=log NPropiedad de logaritmos

Extrayendologaamboslados:log(10x)=log 16 xlog10=log 16Propiedad de logaritmos

SoluciónDelaecuaciónN(t)=1000(0.9)t,sabemosqueN(t)=500,ysenospreguntacuálesvalordetparaquesecumpladichacantidad.Elproblemasereducearesolverlaecuación:

log Nlog5x =Dividiendo ambos lados entrelog5

log 16log10x =Dividiendo ambos lados entrelog5

1.2041x ==1.204

500=1000(0.9)t

5001000 =0.9t

log0.5log0.9 =t

−0.301−0.046 =t

0.5=0.9t

log0.5=log(0.9t)log0.5=tlog(0.9)

t=6.54.Porlotanto,enelestan-que habrá 500 truchas en 6.54años

Extrayendologaamboslados:

3. Cienrenos,cadaunodeellosde1añodeedad,seintroducenenunareservadecaza.ElnúmeroN(t)vivosdespuésdetañossepronosticaqueesN(t)=100(0.9)t.Estimaelnúmerodeanima-lesvivosdespuésde:(a)1año;(b)5años;(c)10años.

4. Conlainformacióndelproblemaanterior,contesta:¿Cúantosañosdebenpasarparaquehaya10animalesvivos?


1. Resolverlasecuacionessiguientes: a.2x+1=3x b.72x−1=43x−2 c.2.97x=2.71x+2

2. Resolverlossistemasdeecuacionessiguientes:

Actividad 37

a.52x+3y=12023x+5y=30

b.134x−y=1575x−y=50


Cerraremosestaintroducciónaloslogaritmosconladefinicióndefunciónlogarítmicayeltrazadodesugráfica.

Seaaunnúmerorealpositivodiferentede1.La función logarítmicasedefinecomoy=f(x)=logaxsiysólosix=ay

paratodax>0ytodonúmerorealy.

Gráfica de la función logarítmica

Parapoderdeterminarunatabladevalores,necesitamosutilzarunacalculadora;sinembargo,puestoqueéstasólotrabajaenbase10,necesitamosunapropiedadquenoscambiecualquierbaseaunabase10.Éstapropiedadeslasiguiente:

logbu= loga uloga bSiu>0ysiaybsonnúmerorealpositivodiferentede1,entonces

Argumentación:Seanlassiguientesproposicionesequivalentes

w=logbuybw=uentoncespodemosestablecerque:

bw=u Enunciado loga(bw)=loga(u) Extraerlogaaamboslados wloga(b)=loga(u) Propiedaddelogarimtos

loga uloga bw=Dividiendoentreloga b

loga uloga blogb u=Sustituyendoelvalordew

log21===0log1log2

00.30

log22===1log2log2

0.300.30

log23===1.6log3log2

0.480.30

log24===2log4log2

0.600.30

log25===2.3log5log2

0.700.30

x - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

f(x)

EjemploTrazalagráficadey=f(x)=log2x.SoluciónTabulemosalgunospuntos(tenerencuentaque la calculadoranonosproporciona logaritmosparabasesdiferentesde10,yaquílabasees2).Loscálculosylagráficasemuestranacontinuación.

x 1 2 3 4 5f(x) 0 1 1.6 2




Actividad 38

Actividad 39

a. Enlagráficaanterior,verificaquex=0esunaasíntotaverticaldey=f(x)=log2x.

b. Enelmismoplanoenelquedibujastelagráficadey=f(x)=log2x,trazalasgráficasdey=f(x)= 2xyladey=f(x)=x.¿Quéobservas?

c. Ahora,enelmismoplanotrazalagráficadey=f(x)=x2,eneldomino[0,∞),ladef(x)=+√xylagráficadef(x)=x.¿Quéobservas?

1. Mediantetabulación,trazalasgráficasenelmismoplanocoordenadolassiguientesfunciones: a.f(x)=log3x, yf(x)=3xb.f(x)=logx,yf(x)=10xc.f(x)=log4x, yf(x)=4x

2. Utilizandolasgráficasqueobtuvistedelincisoa,yelmétododelastransformaciones,delasec-ción1.4,trazalasgráficasdelassiguientesfunciones:

a.f(x)=log3(x+2);b.f(x)=3x+1;c.f(x)=log(x−1); d.f(x)=10x−1;e.f(x)=log4(x +1);f.f(x)=4x+13. UtilizandoelsoftwareDesmos,trazalasgráficasdetodaslasfuncionesdelaactividadanterior,

yverificasilasquetuobtuviste,coincidenconlastrazadasconelsoftware.

Debellamartelaatención,quelasfunciónf(x)=log2x,esunreflejodef(x)=2xsobrelarectadadaporf(x)=x,ytambiénquelagráficadef(x)=x2esunreflejodef(x)=+√xsobrelarectaf(x)=x..

Las funciones que cumplen con esta propiedad, se llaman funciones inversas. Así, las funcionesf(x) =log2x,yf(x)=2xsonfuncionesinversas.Tambiénf(x)=x2esinversadef(x)=+√x.

Paralainterpretacióndegráficasfuncionales,podemosguiarnosconlassiguientescuatropreguntasysusrespectivasacciones:

1) ¿Qué cambia?Pararesponder,debemos:identificarvariables,ubicarpuntosenelplanoydeter-minarlosintervalosdevariación.

2) ¿Cuánto cambia?Serequierehacercomparacionesyoperacionesentrevaloresdeentradayva-loresdesalidadelafunciónyatenderlacovaraciónentreloscambios.

3) ¿Cómo cambia?Éstosedeterminaestableciendoelcrecimientoydecrecimientodelagráfica.4) ¿Qué tan rápido cambia?Paracontestar,debemostenerencuentalarazóndecambiopromedio

delavariabledependienteenrelaciónconlaindependiente.

1.6 Interpretación de gráficas cartesianas


a. ¿CuáleraelpesodeJoséalosnueveaños?¿yeldeRosaalosdiecisiete?b. ¿AquéedadJosépesaba50kg?¿yRosa20kg?c. ¿CuándoJosépesabamenosde50kg?¿yRosamenosde30kg?d. ¿CuándoJosépesabamásqueRosa?¿Cuándopesabanigual?e. ¿CuálfueelaumentodepesodeRosaentrelosdiezylosquinceaños?f. ¿Cuálfueelaumentopromedioporañoenelperiodoanterior?g. ¿CuándoaumentóRosamásrápidamentedepeso?¿yJosé?

0 1 2 3 4 5 6

80

60

40

20

t (segundos)h

(met

ros)

h(t) = 4.9t2

g(t) = 0.8t2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

80

70

60

50

40

30

20

10

peso

(kg)

Edad(años)

José

Rosa

EjemploEnlailustraciónadjunta,sehangraficadolasfuncionesh(t)=4.9t2ygt=0.8t2quedescribelacaídalibredeloscuerposenlasuperficieterrestre,yenlasupeficielunarrespectivamente.SupóngasequedoscuerpossedejancaersimultáneamentetantoenlaTierracomoenlaLuna.¿Cuáldeelloscaeconmayorrapidez?

Solución Sepuedeobservarqueeninterva-los igualesde tiempo, los cuerposrecorrenmayordistanciaen lasu-perficieterrestre;enotraspalabras,larazóndecambiod/tcon laquecaen los cuerpos es mayor en laTierraqueenlaLuna.

• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3Actividad 40

1. Enlasiguientegráficasemuestralaevolucióndelpesodeunjovenyunajovenhastalosveinteaños.Contestalassiguientespreguntas:


2. Lasiguientegráficamuestraladistanciarecorridapordosautomóvilesalrealizarelmismoviajede80km.Contestalassiguientespreguntas:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

80

70

60

50

40

30

20

10

Dis

tanc

ia (k

m)

Tiempo(min)

Automóvil 1

Automóvil 2

2 1

a. ¿Aquéhorasaliócadacoche?¿Cuálllegóantes?¿Cuálinvirtiómayortiempoenrealizarelrecorrido?

b. ¿Cuántotiempoestuvoparadocadacoche?¿Enquékmsedetuvieron?c. ¿Cuándolavelocidaddelprimercochefuemayor?¿Yladelsegundo?

3. Lasiguientegráficarepresen-talacantidaddegasolinaquehayeneldepósitodeunco-chea lo largodeunviajede300km.a. ¿Cuántos litros tenía el

depósitoalasalida?b. ¿Enquékilómetroseen-

contrabacuandotenía10litros?¿Ycuándoteníaeldepósitomáslleno?

c. ¿Qué sucedió en el km80?¿Yenel240?

d. ¿Cuándopusomásgaso-lina?

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Gas

olin

a (li

tros)

Distancia(km)

e. ¿Cuántoslitrosgastóduranteelviaje?¿Cuándogastómásgasolina?f. ¿Cuálfueelconsumomedio(litrosporcada100km)enesteviaje?g. ¿Sepuedesabereltiempoquetardóenhacerelviaje?¿Ylavelocidad?

4. Queremosrepresentarunagráficaparadescri-birlavariacióndevelocidadqueexperimentaunapelotadebásquetbolenunlanzamientodetrespuntos,desdeelmomentoenquesaledelasmanosdel jugadorhastaque llegaa laca-nasta.a) ¿Cuáldelasdosgráficasadjuntascreesque

esmáscorrecta?b) ¿Porqué?

Tiempo

Velo

cida

d

Tiempo

Velo

cida

d


EjemploEnelcontextodelllenadoderecipientes,unadelascuestionesquepuedeplantearsees:Cuandoviertesaguadeungrifoenunrecipientecilíndrico,quenotienefugas,avelocidadconstante,laalturadelaguaesunafunciondeltiempo.Dibujalagráficadelafunciontiempo-alturadelrecipientecilíndrico.

Solución Sepodríarazonardelasiguientemanera:Sisuponemosquepor cada unidad de tiempo,elniveldelaguaenelcilindroaumenta una unidad aenlaaltura,tenemosque

h

0 1 2 3 4 5 6

4a

3a

2a

a

Tiempo

Alt

ura

Tiempo Altura01234..t

0a2a3a4a..ta

+a

+a+a+a

+a

EjemploSetienendoscilindros(cuyasseccionestransversalessonconstantes),talesquelasecciontransversaldeunodeellosesmayoraladelotro;explicarquésucedealllenarlossimultáneamente.

SoluciónSe podría razonar de la siguiente ma-nera: Tenemos dos recipientes con lamismaalturayconseccióntransversalconstante. Según la fórmula del volu-menparauncilindro,V=πr2h,elvolu-mendellenadoy(porendelaalturadellenado),sedescribemedianteunarec-ta;ahorabien,conformesevanllenandolosdosrecipientes,yporendeaumentandolaalturah,elniveldelaguatiendeasubirmásrápidamenteporunidaddetiempoenelcilindrodemenorradio,ycuantomasgrandeseaelareaAdelasecciontransversaldelcilindro,maslentamenteaumentarálaaltura.

Tiempo

A B

Altu

ra

A B

EjemploConsidérenselasmismascuestionesdelapreguntaanteriorperoenreferenciaaunreci-pientecónico:

SoluciónSepodríarazonarde lasiguientemanera:Conformeseva llenandoelrecipientecónicoyporendeaumentando laalturah, elagua tiendeaocuparmayoráreaporunidaddetiempo,y,cuantomasgrandeseaelareaAdelasecciontransversaldelcilindro,maslentamenteaumentarálaaltura.

h

Tiempo

Velo

cida

d


EjemploSupongamosquesesirvecaféaunarazónconstanteenlatazaquesemuestraenlaFiguraad-junta.Hazunbocetodelagráficadelllenadodelatazaconrespectoaltiempo.SoluciónAlservirelcafédemaneraconstante,al inicioelnivelenlatasaserá lentopuestoqueelespacioinferioresamplioporquelabaseesmayor;perocon-formelatasasellena,alirsereduciendoelespacioyalmantenerconstanteelllenado,elnivelaumentarápidamentehastallegaraunpuntoderapidezdellenadomáximoubicadojustoenelcentrodelrecipientequeeslapartemásangosta;apartirdeestepunto,latasaseinviertedemodoqueencadaunidaddetiempoelniveldellenadoirádecreceráamedidaquelasecciónpasadeangostaaancha.

Tiempo

Volum

en

h

V(h) a.

h

V(h) b.

h

V(h) c.

h

V(h) a.

h

V(h) b.

h

V(h) c.

h

2. Elsiguienterecipienteseestállenandoconunlíquido.¿Quégráfica,volumencon-traaltura,representamejoralfenómeno?Justificaturespuesta.

h

Actividad 41

1. Elsiguienterecipienteseestállenandoconunlíquido.¿Quégráfica,volumencontraaltura,representamejoralfenómeno?Justificaturespuesta.

Lasfuncionessepuedencombinar,descomponerytransformardemuchamanerasdiferentes.Enformamásprecisa:lasfuncionessepuedensumar,sustraer,multiplicarydividir.Ademas,conestosobjetosmatemáticossepuederealizarunaoperacióndenominadacomposicióndefunciones.

1.7 Operaciones con funciones

Suma,multiplicaciónydivisióndefunciones

Dadasdosfuncionesfygqueasignannúmerosrealesytienenelmismodominio,podemosformarnue-vasfunciones,f +g,f−g,f•g,yf/g,definidasporlassiguientesreglas:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)(f−g)(x)=f(x)−g(x)(f•g)(x)=f(x)•g(x)(f/g)(x)=(f(x))/(g(x))

Estas funciones todas tienenelmismodominioque f yg, exceptoparaaquellasxpara lascualesg(x) =0puedenecesitarserremovidaparaeldominodef/g.


Sumarymultiplicarunafunciónporunaconstanteesdeinterésespecialporquesusefectossobrelagráficadeunafunciónsonfácilesdedescribir.Sisumamosunafunciónconstante,g(x)=c,(dondecesunaconstante),aunafunciónfcuyodominioestáenlosnúmerosreales,entonceslagráficadelafunciónsumaresultante,f+g,simplementesedesplazaverticalmente|c|unidadeshaciaarribasicespositivoyhaciaabajosicesnegativo.

Así,porejemplo,mientrascvatomandotodoslosnúmerosreales,lagráficadey =x2+cconsistede todos lospuntosde lagráficadey =x2,perodesplazadosverticalmente|c|unidades.

f(x)

x

f(x) = x2g(x) = c

(f +g)(x) = f(x) +g(x) = x2 + c

f(x)

x

(f + g)(x)

c

f(x) =

x2

h(x)

= 0.25

x2

g(x)=6

x2

y

x

r(x)

=-x

2

Composicióndefunciones

Seanf ygdosfuncionescualesquieratalesqueelrangodegseencuentradentrodeldominiodef;lacomposicióndef ygeslafuncióndadaporf(g(x)),ysedentotacomof°g,entonces:

(f°g)(x)=f(g(x))

EjemploSeaf(x)=4x2−9yg)(x)=2x−3.Determina:a)(f+g)(x);b)(f −g)(x);c)(fg)(x);d)(f /g)(x).

Solucióna) (f + g)(x)= f(x)+g(x)=(4x2 − 9)+(2x−3)=4x2 − 9+2x−3=4x2 +2x−12b) (f − g)(x)= f(x)−g(x)=(4x2 − 9)−(2x−3)=4x2 − 9−2x+3=4x2 −2x−6c) (f g)(x)= f(x)g(x)=(4x2 − 9)(2x−3)=8x3 − 12x2−18x+12d) (f /g)(x)= f(x)/g(x)=(4x2 − 9)/(2x−3)=2x+3

Multiplicando una función por una funciónconstante dilata la gráfica de la función vertical-mente,ytambiénreflejalagráficasobreelejeXsilaconstanteesnegativa.

Ejemplo 1Seaf(x)=x2yg(x)=x+2,determina(a)(f°g)(3)y(b)(g°f)(3)

Solución (a)(f°g)(3)=f(g(3))

Primeroencuentrag(3):g(3)=3+2=5

Despuésencuetraf(g(3))f(g(3))=f(5)=52=25.

(b)(g°f)(3)=g(f(3))

Primeroencuentraf(3):f(3)=32=9

Despuésencuetrag(f(3))g(f(3))=g(9)=9+2=11.


Ejemplo 2Seaf(x)=4x2−9yg(x)=2x−3.Determina(a)(f°g)(x)y(b)(g°f)(x)

Solución (a)(f°g)(x)=f(g(x))=f(2x−3)=4(2x−3)2−9=16×2−48x+27.

(b)(g°f)(x)=g(f(x))=g(4×2−9)=2(4×2−9)−3=8×2−21.

Podemosverlaadicióndeunafunciónconstanteaunafunción,ymultiplicacióndeunafunciónporunafunciónconstantecomolacomposicióndefunciones.Conéstefin,definamoslasfuncionesTkyDkdelasiguientemanera:

Paraunnúmerorealk,seanTkyDklasfuncionesdeRenR,definidascomo:

Tk(x)=x+k yDk(x)=kx

Seaf(x)unafuncióncualquiera;determinemos(Tk°f )(x)y(Dk°f)(x)

(Tk°f)(x)=Tk(f(x))=f(x)+k

(Dk°f )(x)=Dk(f(x))=kf(x)

Observamosqueparasumarlafunciónconstantekalafunciónf,podemosformarlafuncióncom-puestaTk°f,yparamultiplicarlafunciónfporlafunciónconstantek,podemosformarlafunciónDk°f.

Ahora,hagamoslacomposicióndeestasfuncionesperoenelordenopuesto:

(f°Tk)(x)=f(Tk(x))=f(x+k)(f°Dk)(x)=f(Dk(x))=f(kx)

Observamosquelagráficadef°Tkeslamismaquelagráficadefexceptoqueestátrasladadahorizon-tamente:setrasladaalaizquierdasikespostivo,ysetrasladaaladerecha|k|unidadessikespositivo.

Asimismo,lagráficadef°Dkeslamismaquelagráficadefexceptoqueestádilatada(odistorsiona)horizontalmenteytambiénestáreflejadaatravésdelejeYsikesnegativa.

• Aspecto a evaluar: Participaciónenclase• Evidencia: Trabajocolaborativo• Competencia o atributo a evaluar: 8.3Actividad 42

SeanlasfuncionesTk(x)=x+kyDk(x)=kx;f(x)=x2,h(x)=x3.Determinalascomposicionesin-dicadasytrazalagráficadelafunciónresultanteaplicandolastransformacionesalasqueequivalen.

a.(Tk°f)(x) b.(f°Tk)(x) c.(Dk °f)(x) d.(f°Dk)(x) e.(Tk°h)(x) f.(h°Tk)(x) g.(Dk °h)(x) h.(h°Dk)(x)


instrucciones:Resuelvelossiguientesproblemascomopreparaciónparaevaluarloindicado.Encadarespuestasedebeincluirelrazonamientoseguidoparallegaralasolución.

Problema 1.Trazalagráficadecadaunadelassiguientesecuaciones.Debesmostrarunanálisiscompletoqueincluya:tabulación,interceptos,simetrías,extensióndexyasíntotas(encasodesernecesario).

a)x2y−4xy+4y−1=0. b)y=√x−3

Problema 2.Unbarcodecargatieneuntanquedealmacenamientoparacombustiblepara2500litros.Alnavegarcadadíaconsumeaproximadamente150litrosdecombustible.SeaC(t)lafun-ción"cantidaddecombustible"ytlavariabletiempo.

a) Establecelaexpresiónalgebraicaquemodelaestasituación.b) ¿CuáleseldominiodelafunciónC?c) ¿CuáleselrangodelafunciónC?¿Despuésdecuantosdíasenelmarsedebellenareltan-

quedecombustible?d) Dibujalagráficacorrespondiente.

Problema 3.Searrojaunapelotadirectamentehaciaarribaconunavelocidadde32m/sporloquesualturatsegundosdespués,esy(t)=32t−5t2.

a)¿Cuáleseldominiodelafunción?b)¿Cuáleselrangodelafunción?c)¿Alcabodecuántotiemporegresarálapelota?d)¿Aquéalturaestálapelotaalos3segundos?e)¿Enquétiempoestálapelotaa30metrosdealtura?e)Dibujalagráficacorrespondiente.

Problema 4.Lagráficasiguientemuestraelcomportamientodeunafunción:

a) ¿Cuáleseldominiodelafunción?b) ¿Cuáleselrangodelafunción?c) ¿Enquéintervaloslafunciónescreciente?d) ¿Enquéintervaloslafunciónesdecreciente?e) ¿Enquéintervaloslafunciónescóncavahaciaabajo?f) ¿Enquéintervaloslafunciónescóncavahaciaarriba?

Problema 5.Determinademaneraanalíticaeldominiodelassiguientesfuncionesytrazasugráfica: a)f(x)=2x−5x2 b)y=+√x−3 c)y=+√x−3 +2

d)f(x)= e)f(x)=−3

• Aspectoaevaluar: Producto integrador de unidad• Evidencia: Examen (problemario)• Competenciaoatributoaevaluar: 2, 4 y 5.

EXAMEN 1 (PROBLEMARIO)

-3 -2 - 1 1 2 3

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

f(x)

x3x+6

4x+5


Problema 6.Paracadaunadelassiguientestablasestablecelafórmulaquerelacionaalasvaria-blesindicadas.

Problema 7.Algunasde lassiguientestablascorrespondena funciones lineales,cuadráticasoexponenciales.Encadacaso,identificaacualdeellascorrespondecuálesyestablecesufórmula.

Problema 8.Obténlaecuaciónparalafuncióndadaenlasiguientegráfica:

a)

a)

e)

g)

f)

c)

c)

e)

b)

b)

d)

d)

x 1 2 3 4 5y 3 6 9 12 15

x 1 2 3 4 5y 3 6 12 24 48

x 1.5 2 2.5 3 3.5y 172.3 155.07 139.56 125.61 113.05

x −1 3 7 11 15y 3.4 4.6 5.8 7 8.2

m 2 4 6 8 10n −8 −10 −13 −17 −22

x 1 2 3 4 5y 1 4 9 16 25

x −1 3 7 11 15y 3.4 4.6 5.8 7 8.2

x 0.1 0−5 1 1.5 2y 10 2 1 2/3 1/2

m 0 2 4 6 8n 0 2 4 6 8

m −2 1 4 7 10n 6.3 7.8 9.3 10.8 12.3

x 1 2 3 4 5y 1 8 27 64 125

p 1 2 3 4 5q 2 5 10 17 26

-3 -2 - 1 1 2 3

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

f(x)


Problema 9.Obténlaecuaciónparalafuncióndadaenlasiguientegráfica:

Problema 11.Asumiendoque lassiguientesgráficastienenuncomportamientoexponencial,determinasuecuación:

Problema 12. Elvalordeunacomputadoraesde$18,000.00.Despuésde5añossuvaloresde$12,600.00;suponiendouncomportamientoexponencial:

a) Determinalafórmulaquerelacioneelvalordelacomputadoraconeltiempo.b) ¿Cuálseráelvalordelacomputadora12despuésdesucompra?

Problema 13.Describacómolacantidaddeaguaenunapiscina(V,paraelvolumen)cambiaconeltiempo(t)encadacaso:

Problema 10.Aparirdelaconstruc-cióndeunatabla,determinarelvalordelasumade losángulosdeunpolígonoconocidoelnúmerodelados.

Número de lados 3 4 5 6 ?Suma de los ángulos 180 360 ? ? 1080

-3 -2 - 1 1 2 3

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

x

f(x)

x

f(x)

a)

(-1, 4)

(3, 1)

x

f(x)

b)

(0, 2)

(5, 10)

V(t) a. V(t) b.

t

t

V(t) c.t

t

V(t) d.

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