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8/17/2019 1.-ÁLGEBRA MATRICIAL
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CAPITULO I : ALGEBRA MATRICIAL22 SEPTIEMBRE 2009
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA CIVIL
ESTRUCTURAS III
Nombre: Conrado Díaz María Beln Fe!"a: ##de SC)r*o: Se$%&mo Se+)ndo
,- CA.ITULO , DEFINICI/N DE MATRI
m x n.
[A]= mxn… … … …
2. TIPOS DE MATRICESDentr !e "#$ e$tr%&t%r#$ %t'"'(#m$ &'ert t') !e m#tr'&e$.
2.1 MATRIZ CUADRADA
E$ #*%e""# *%e t'ene e" m'$m n+mer !e ,"#$ *%e !e &"%mn#$- e$ !e&'r m = n.
2 /
1 3 4 m=
[B]= 9 0 2 n=
/ 1 m=n
2.2 MATRIZ COLUMNAE$ %n# m#tr'( *%e $" t'ene %n# &"%mn#- e$ !e&'r- n =
1 m=1
[C]= 9 n=
/
3
2.3 MATRIZ FILAE$ %n# m#tr'( *%e $" t'ene %n# ,"#- e$ !e&'r m =
m=
[5]= 9 0 2 n=
2.4 MATRIZ DIAGONALE$ %n# m#tr'( &%#!r#!#- en "# *%e t!$ "$ e"ement$ n )ertene&'ente$ # "# !'#6n#" )r'n
Se ""#m# m#tr'( # t! &n7%nt re&t#n6%"#r !e e"ement$ a'7 !'$)%e$t$ en m ,"#$ 8 n &"%mn#
#
#2
#/
#n
#2
#22
#2/
#2n
#/ #/2 #// #/n
#m
#m2
#m/
#mn
-
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$n n%"$.
0 0 0 0 0
0 20 0 0 0 m=1
[D]= 0 0 /0 0 0 n=1
0 0 0 0 0 m=n
0 0 0 0 10
2.5 MATRIZ NULAE$ #*%e""# *%e t!$ $%$ e"ement$ $n 0
0 0 0
[]= 0 0 0
0 0 0
2.6 MATRIZ IDENTIDADE$ %n# m#tr'( e$"#r &n "$ e"ement$ !e "# !'#6n#" )r'n&')#" '6%#"e$ #
0 0 0 0
0 0 0 0 m=1
[I]= 0 0 0 0 n=1
0 0 0 0 m=n
0 0 0 0
2.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIORE$ &%#n! "$ e"ement$ *%e e$tn )r !e;#7 !e "# !'#6n#" )r'n&')#" $n &er$.
2 /
0 3 4 m=
[S]= 0 0 2 n=
0 0 0 m=n
2.8 MATRIZ TRIANGULA INFERIORE$ &%#n! "$ e"ement$ *%e e$tn )r en&'m# !e "# !'#6n#" )r'n&')#" $n &er$.
0 0 0
2 0 0 m=
[T]= / 0 n=
1 3 4 m=n
2.9 MATRIZ TRANSPUESTA
20 / 20 22 1 4
[A]= 3 / / 1
Se ""#m# tr#$)%e$t# !e A- # "# re)re$ent#&'
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1 0 9 4
m=n
2.10 MATRIZ SIMÉTRICA
2 / 1
2 3 4 m=n
[A]= / 3 / 0
1 4 0 9
3. OPERACIONES CON MATRICES
3.1 TRANSPOSICIÓN DE MATRICES
1 4 0 1 1
[E]= 1 2 0 2
9 2 4
/ 3 1 22 0 0
1 4 0
1 2 0
9 2
/ 3 1 22
3.2 SUMA RESTA DE MATRICES
EEMPLO
/ 1 4 1
[>]= 0 2 ? [@]= 4 9 [>] ?[@]=
3 / 9 3 / 2
EEMPLO
14 90 1 2
[M]= 0 1 0 ? []= / 1 ? [O]=
1 0 0 2
3 22
[M] ?[]?[O]= 1 2
3 1 2
EEMPLO
Un# )r)'e!#! !e "# m#tr'( tr#n$)%e$t# e$ "# $'6%'ente : E tt = E
[Et]=
[Et]t=
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9 1 1 4 1
[>]= 2 / [@]= 4 9 [>] [@]=
3 3 3 / 2
EEMPLO
2 0 1 1 2
[M]= 20 1 / []= 1 ? [O]=
1 0 0 2
1 3 /
[M] []?[O]= / 21 /
3 2
3.3 PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
EEMPLO
1 9 / 0 10
2 0 20 0
[A]= / 3 1 0[S]= /0 30
4 2 0 40
EEMPLO
[]=2[C]?/[L]
/ 1 4 1
[C]= 0 2 [L]= 4 9
3 / 9 3 / 2
2 0 2 2 1
2[C]= 20 2 2 /[L]= 1 / 23 []=
4 2 9 /
P!"#$%&'&%(
. [A] ?[B] = [A] ? [B] )r)'e!#! !'$tr';%t'F#2. [A] =[A] %n'!#!
3.4 PRODUCTO DE MATRICES
D#!#$ !$ m#tr'&e$ A 8 B- $% )r!%&t e$ tr# m#tr'( &%8$ e"ement$ $e ;t'enen m%"t')"
,"#$ !e A )r "#$ &"%mn#$ !e B.
EEMPLO
1 9 0 1 0
[A]= 3 1 [B]= 1 4 [A][B]=
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2 / 9 / 0
P!"#$%&'&%( . AHBHC = AHBHC
2. E" )r!%&t !e m#tr'&e$ en 6ener#" n e$ &nm%t#t'F.
/. E" )r!%&t !e m#tr'&e$ e$ !'$tr';%t'F re$)e&t !e "# $%m# !e m#tr'&e$: AHB ? C = AH
3.4 IN)ERSA DE UNA MATRIZ
EEMPLO
2 / 3 0.2/2 0.0/ 0.91
[A]= / 9 2 0.0/ 0.2 0.014
3 2 4 0.91 0.014 0.0/
P!"#$%&'&%(
3 / 0.121 0.001 0.02
[A]= 1 0.001 0.030 0.0/
/ 2 0.02 0.0/ 0.01/
9 2 0.22/ 0.99 0.01
[A]= 9 0 0.9/ 0.032 0.02
1 0.031 0.031 0.01
. InFer$# !e %n# m#tr'( &%#!r#!# [B][A]=[A][B]=[I]
0 / 0 2
[A]= / / /.1 3.1 [A][B]=[I]
/ / / 3
3.5 DETERMINANTESDentr !e "# 'n6en'er'# &'F'"- en e$tr%&t%r#$ n$ #8%!# # !eterm'n#r "# e$t#;'"'!#! !e "#$ e$
m'entr#$ m$ !e #&er*%e e" !eterm'n#nte # 0 m#$ 'ne$t#;"e $er "# m'$m# 8 m'entr#$ m#$
$er m#$ e$t#;"e
20 /
2 1 4
[A]= 3 / IDI = 101 0 9
[A]=
. [ A][A]=[A][A]=I
[A]= [A] [A]=
2. AHB =BA
/. A =A
[A]= [A]=
[B]=
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/ 0
2 9
[A]= 1 / 9 IDI = 1
0 1 /
21 /
2 1 1 4
[A]= 3 9 IDI = 190
1 0 0
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ESCUELA CIVIL
ESTRUCTURAS III
Nombre: Conrado Díaz María Beln Fe!"a: #1de SC)r*o: Se$%&mo Se+)ndo
,- CA.ITULO II SOLUCI/N DE ECUACIONES .OR MATRIC
Un $'$tem# !e e&%#&'ne$ "'ne#"e$- t#m;'n &n&'! &m $'$tem# "'ne#" !e e&%#&'ne$
$'m)"emente $'$tem# "'ne#"- e$ %n &n7%nt !e e&%#&'ne$ "'ne#"e$.
/x 28 ( =
2x 8 ( = 2
x 0-18 ( = 0
Cn$'$te en en&ntr#r "$ F#"re$ !e$&n&'!$ !e "#$ F#r'#;"e$ x- x2 8 x/ *%e $#t'$J#&en "
e&%#&'ne$
E" mt! m$ #)r)'#! )#r# "# m#ter'# !e e$tr%&t%r#$ $er )r me!' !e "# 'nFer$# !e %
x ;
8 = &
… … … … … !( e
EEMPLO
4 0 K 20
[]= 3 K2 = 0
#
#2
#/
#n
#2
#22
#2/
#2n
#m
#m2
#m/
#mn
[][θ]=[MJ]
[][][θ]=[][MJ]
[I][θ]=[][MJ]
[θ]=[][MJ]
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0 3 29 K/ 3
0.02 0.002 0.0001
0.002 0.02/4 0.00
0.0001 0.00 0.0/19
0.0/
= 0.14
0.20/
EEMPLO
2 1 0 0 K 3.29
[]= 1 0 K2 = 3.290 /4 3 K/ 3.29
0 0 3 2 K 3.29
0.023 0.001 0.0004 0
0.001 0.02/4 0.00 0.00
0.0004 0.00 0.024/ 0.004
0 0.00 0.004 0.001
0.239
= 0.0.24
0.2
[]=
[θ]=[][MJ]
[]=
[θ]=[][MJ]
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$%&embre #''(
&')#"
- !e %n r!en
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"%mn#$.
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9
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2 1
22
m=n
1 20
24 0
0 2
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/ 1
2 0 0
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/ 1
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90 /0
00 0
0 10
20 0
0 4 /1
/ 23 21
/1 / 4
#n! "#$
/0 93 9
33 34 1
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B ? AHC
.02/3 0.00 0.00
0.00 .001 0.00
0.00 0.00 .00/
9 2
9 0
1
0 0
0 0
0 0
r%&t%r#$
#"t e" F#"r
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$%&embre #''(
ES INVERSAS
"#$ tre$
# m#tr'(
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